Définition. La notation $a\mid b$ (lire « $a$ divise $b$ ») signifie : il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $b=ka$. On dit aussi que $a$ est un diviseur de $b$, ou que $b$ est un multiple de $a$.

• $𝒟(a)$ désigne l'ensemble des diviseurs de $a$ et $a\mathbb{Z}=\{ka,k\in \mathbb{Z}\}$ celui de ses multiples. On a $a\mid b⟺b\in a\mathbb{Z}⟺b\mathbb{Z}\subset a\mathbb{Z}$.
• Pour tout $a$ : $1\mid a$, $a\mid a$ et $a\mid 0$. En revanche, $0\mid b$ seulement si $b=0$.
• $𝒟(a)=𝒟(-a)$ ; si $a\mathrm{\ne }0$, $𝒟(a)$ est fini, contenu dans $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[-\mid a\mid ,\mid a\mid ]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$.

Règles de calcul.

1. Transitivité : $a\mid b$ et $b\mid c$ entraînent $a\mid c$.
2. Combinaisons : si $d\mid a$ et $d\mid b$, alors $d\mid au+bv$ pour tous $u,v\in \mathbb{Z}$ (en particulier $d\mid a+b$ et $d\mid a-b$).
3. Produits : $a\mid b\Rightarrow ac\mid bc$ ; $a\mid b$ et $c\mid d\Rightarrow ac\mid bd$ ; $a\mid b\Rightarrow a^n\mid b^n$.
4. $a\mid b$ et $b\mid a$ $⟺$ $\mid a\mid =\mid b\mid$ (entiers associés).
5. Si $a\mid b$ et $b\mathrm{\ne }0$, alors $\mid a\mid \le \mid b\mid$.

Les réciproques sont fausses en général : $4\mid 2\times 6$ alors que $4\nmid 2$ et $4\nmid 6$ ; $6\mid 12$ et $4\mid 12$ mais $24\nmid 12$. Ces deux pièges sont levés plus loin par le lemme d'Euclide et le corollaire de Gauss.

Outil indispensable : pour $n\ge 1$, $a-b\mid a^n-b^n$, et pour $n$ impair, $a+b\mid a^n+b^n$ (écrire $a^n+b^n=a^n-(-b{)}^n$).

Théorème (division euclidienne). Hypothèses : $a\in \mathbb{Z}$, $b\in \mathbb{Z}$, $b\mathrm{\ne }0$. Conclusion : un seul couple $(q,r)\in {\mathbb{Z}}^2$ vérifie à la fois $$0\le r<\mid b\mid \text{et}a=bq+r\mathrm{.}$$ On appelle $q$ le quotient et $r$ le reste obtenus en divisant $a$ par $b$.

• Pour $b>0$ : $q=E\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{a}{b}\right)$ et $r=a-bE\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{a}{b}\right)$.
• $b\mid a⟺r=0$.
• Le reste est toujours positif ou nul, même si $a<0$ : la division de $-17$ par $5$ donne $-17=5\times (-4)+3$, et non $5\times (-3)-2$.
• Idée de preuve (cas $b>0$) : existence en prenant pour $q$ le plus grand entier tel que $bq\le a$ ; unicité car deux restes distincts différeraient d'un multiple non nul de $b$ compris strictement entre $-b$ et $b$.

Usage type. Tout entier s'écrit d'une seule façon $n=mq+r$ avec $r\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,m-1]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ : pour prouver une propriété de tous les entiers, on peut discuter selon le reste de $n$ modulo $m$ (par exemple $n=3k$, $3k+1$ ou $3k+2$).

Définition. Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. On note $$a\equiv b[n](\text{on voit aussi }a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)),$$ (« $a$ congru à $b$ modulo $n$ ») lorsque $n\mid a-b$. Autrement dit, $a$ et $b$ laissent des restes égaux quand on les divise par $n$. En particulier, $a\equiv r[n]$ où $r$ est le reste de $a$, et $a\equiv 0[n]⟺n\mid a$.

Propriétés. À $n$ fixé, la relation « être congrus modulo $n$ » est réflexive, symétrique et transitive (c'est une relation d'équivalence de $\mathbb{Z}$) ; elle est compatible avec l'addition et la multiplication : si $a\equiv b[n]$ et $c\equiv d[n]$, alors $$a+c\equiv b+d[n],ac\equiv bd[n],a^k\equiv b^k[n](k\in \mathbb{N})\mathrm{.}$$

Ce qui est interdit : simplifier. $2\times 3\equiv 2\times 8[10]$ mais $3\equiv ̸8[10]$. On peut simplifier par $c$ dans $ca\equiv cb[n]$ seulement si $c\wedge n=1$ (corollaire de Gauss, §6). Plus généralement, $ca\equiv cb[cn]⟺a\equiv b[n]$ pour $c\ge 1$.

Puissances modulo $n$ : méthode. Pour calculer le reste de $a^N$ modulo $n$, on cherche un petit exposant $t\ge 1$ tel que $a^t\equiv 1[n]$ (ou $a^t\equiv \pm 1$), puis on divise $N$ par $t$ : si $N=tq+s$, alors $a^N=(a^t{)}^q{a}^s\equiv a^s[n]$. Les restes des puissances successives forment alors une suite périodique.

Critères usuels (écriture décimale) : $10\equiv 1[9]$ donne le critère de divisibilité par $3$ et par $9$ (somme des chiffres) ; $10\equiv -1[11]$ donne le critère par $11$ (somme alternée des chiffres).

Définition. Pour $(a,b)\mathrm{\ne }(0,0)$, on note $a\wedge b$ (PGCD, pour « plus grand commun diviseur ») le plus grand élément de $𝒟(a)\cap 𝒟(b)$ (ensemble fini, non vide car il contient $1$). On écrit aussi $\mathrm{pgcd}(a,b)$. Par convention $0\wedge 0=0$.

Premières propriétés : $a\wedge b=b\wedge a=\mid a\mid \wedge \mid b\mid$ ; $a\wedge 0=\mid a\mid$ ; $a\wedge 1=1$ ; $a\mid b⟺a\wedge b=\mid a\mid$.

Lemme clé. Pour tout $k\in \mathbb{Z}$, $𝒟(a)\cap 𝒟(b)=𝒟(b)\cap 𝒟(a-kb)$, donc $a\wedge b=b\wedge (a-kb)$. En prenant pour $k$ le quotient de $a$ par $b$, on obtient $a\wedge b=b\wedge r$, où $r$ est le reste.

Algorithme d'Euclide. Pour $a\ge b>0$, on pose $r_0=a$, $r_1=b$ et, tant que $r_k\mathrm{\ne }0$, on note $r_{k+1}$ le reste de la division de $r_{k-1}$ par $r_k$. Les restes forment une suite d'entiers naturels strictement décroissante : elle atteint $0$ en un nombre fini d'étapes, et $$a\wedge b=\text{le dernier reste non nul.}$$ Exemple : $84=60\times 1+24$, $60=24\times 2+12$, $24=12\times 2+0$, donc $84\wedge 60=12$.

Caractérisation. $𝒟(a)\cap 𝒟(b)=𝒟(a\wedge b)$ : les diviseurs communs à $a$ et $b$ sont exactement les diviseurs de $a\wedge b$. Autrement dit, pour $d\ge 0$ : $$d=a\wedge b⟺(d\mid a,d\mid b,\text{ et }d\text{ est multiple de chaque diviseur commun }\grave{\text{a}}a\text{ et }b)\mathrm{.}$$

Homogénéité. Pour $c\in \mathbb{N}$ : $(ca)\wedge (cb)=c(a\wedge b)$. Si $d=a\wedge b\mathrm{\ne }0$, on écrit $a=d{a}^{\mathrm{\prime }}$, $b=d{b}^{\mathrm{\prime }}$ avec $a^{\mathrm{\prime }}\wedge b^{\mathrm{\prime }}=1$ : c'est la mise en facteur du PGCD, point de départ de nombreux exercices.

Plusieurs entiers. $a\wedge b\wedge c=(a\wedge b)\wedge c$ (le PGCD est associatif). On dit que $a_1,\dots ,a_n$ sont premiers entre eux dans leur ensemble si leur PGCD vaut $1$, et premiers entre eux deux à deux si $a_i\wedge a_j=1$ pour $i\mathrm{\ne }j$. Le second implique le premier, pas l'inverse : $6,10,15$ ont un PGCD égal à $1$ mais aucun couple n'est premier entre lui.

Identité de Bézout. Hypothèses : $a,b\in \mathbb{Z}$. Conclusion : il existe $u,v\in \mathbb{Z}$ tels que $au+bv=a\wedge b$. Les coefficients $u,v$ ne sont pas uniques : $(u,v)$ et $(u+k{b}^{\mathrm{\prime }},v-k{a}^{\mathrm{\prime }})$ conviennent aussi, avec $a=d{a}^{\mathrm{\prime }}$, $b=d{b}^{\mathrm{\prime }}$.

Théorème de Bézout. $$a\wedge b=1⟺\mathrm{\exists }(u,v)\in {\mathbb{Z}}^2,au+bv=1.$$ Le sens « $\Leftarrow$ » est immédiat : un diviseur commun à $a$ et $b$ divise $au+bv=1$. Attention : l'égalité $au+bv=d$ avec $d>1$ prouve seulement que $a\wedge b$ divise $d$, pas que $a\wedge b=d$ ($2\times 2+3\times 1=7$ alors que $2\wedge 3=1$).

Conséquences.

• $a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}=(a\wedge b)\mathbb{Z}$ : les entiers de la forme $au+bv$ sont exactement les multiples de $a\wedge b$.
• L'équation $ax+by=c$ (inconnues entières) a des solutions si et seulement si $a\wedge b\mid c$.

Algorithme d'Euclide étendu (« remonter » l'algorithme). On exprime chaque reste comme combinaison de $a$ et $b$, en partant du dernier reste non nul. Avec $a=84$, $b=60$ : $12=60-2\times 24$ et $24=84-60$, donc $12=60-2(84-60)=84\times (-2)+60\times 3$. On vérifie toujours le résultat à la fin.

Une présentation en tableau est commode : on suit $r_k=a{u}_k+b{v}_k$ avec $(u_0,v_0)=(1,0)$, $(u_1,v_1)=(0,1)$ et $u_{k+1}=u_{k-1}-q_k{u}_k$, $v_{k+1}=v_{k-1}-q_k{v}_k$, où $q_k$ est le quotient de $r_{k-1}$ par $r_k$.

Inverse modulo $n$. Si $a\wedge n=1$, une relation $au+nv=1$ donne $au\equiv 1[n]$ : l'entier $u$ est alors appelé inverse de $a$ modulo $n$ (il n'est défini qu'à un multiple de $n$ près). Réciproquement, si $a$ admet un inverse modulo $n$, alors $a\wedge n=1$. L'équation $ax\equiv c[n]$ se résout alors par $x\equiv uc[n]$.

Lemme de Gauss. Hypothèses : $a\mid bc$ et $a\wedge b=1$. Conclusion : $a\mid c$. Preuve en une ligne : $au+bv=1$ donne $c=acu+bcv$, et $a$ divise les deux termes.

Corollaires.

1. Si $a\mid c$, $b\mid c$ et $a\wedge b=1$, alors $ab\mid c$. (Faux sans l'hypothèse : $4\mid 12$, $6\mid 12$, $24\nmid 12$.)
2. Si $a\wedge b=1$ et $a\wedge c=1$, alors $a\wedge bc=1$ ; plus généralement $a\wedge b=1\Rightarrow a^m\wedge b^n=1$.
3. Simplification : si $c\wedge n=1$ et $ca\equiv cb[n]$, alors $a\equiv b[n]$.
4. Forme irréductible : tout rationnel s'écrit de façon unique $\frac{p}{q}$ avec $q\ge 1$ et $p\wedge q=1$.

Équation $ax+by=c$ : méthode complète.

1. Calculer $d=a\wedge b$. Si $d\nmid c$ : aucune solution.
2. Sinon, diviser par $d$ : $a^{\mathrm{\prime }}x+b^{\mathrm{\prime }}y=c^{\mathrm{\prime }}$ avec $a^{\mathrm{\prime }}\wedge b^{\mathrm{\prime }}=1$.
3. Trouver une solution particulière $(x_0,y_0)$ (Bézout puis multiplication par $c^{\mathrm{\prime }}$, ou à vue).
4. Soustraire : $a^{\mathrm{\prime }}(x-x_0)=-b^{\mathrm{\prime }}(y-y_0)$. Comme $a^{\mathrm{\prime }}\mid b^{\mathrm{\prime }}(y-y_0)$ et $a^{\mathrm{\prime }}\wedge b^{\mathrm{\prime }}=1$, Gauss donne $a^{\mathrm{\prime }}\mid y-y_0$ ; on écrit $y=y_0-k{a}^{\mathrm{\prime }}$, puis $x=x_0+k{b}^{\mathrm{\prime }}$.
5. Vérifier la réciproque (ces couples sont bien solutions) et conclure : $𝒮=\{(x_0+k{b}^{\mathrm{\prime }},y_0-k{a}^{\mathrm{\prime }}),k\in \mathbb{Z}\}$.

Définition. Pour $a,b$ non nuls, on note $a\vee b$ (PPCM, pour « plus petit commun multiple ») le plus petit élément strictement positif de $a\mathbb{Z}\cap b\mathbb{Z}$. On écrit aussi $\mathrm{ppcm}(a,b)$ ; par convention $a\vee 0=0$.

• Caractérisation : $a\mathbb{Z}\cap b\mathbb{Z}=(a\vee b)\mathbb{Z}$ ; les multiples communs de $a$ et $b$ sont exactement les multiples de $a\vee b$.
• Relation fondamentale : pour $a,b\in \mathbb{N}$, $(a\wedge b)(a\vee b)=ab$. En particulier $a\wedge b=1\Rightarrow a\vee b=ab$.
• Homogénéité : $(ca)\vee (cb)=c(a\vee b)$ pour $c\in \mathbb{N}$.

Définition. Un entier $p\ge 2$ est dit premier lorsqu'il n'admet que deux diviseurs positifs : $1$ et lui-même. Un entier $n\ge 2$ non premier est dit composé : il s'écrit $n=ab$ avec $2\le a\le b<n$. L'ensemble des nombres premiers est souvent noté $𝒫=\{2,3,5,7,11,13,\dots \}$. Attention : $1$ n'est pas premier ; $2$ est le seul premier pair.

Résultats de base.

1. Tout entier $n\ge 2$ admet au moins un diviseur premier (son plus petit diviseur $\ge 2$ est premier).
2. Test de primalité : si $n\ge 2$ n'a aucun diviseur premier $p$ avec $p^2\le n$, alors $n$ est premier (car un entier composé $n=ab$ avec $a\le b$ vérifie $a^2\le n$). C'est le principe du crible d'Ératosthène.
3. Il existe une infinité de nombres premiers : si $p_1,\dots ,p_N$ étaient tous les premiers, l'entier $p_1{p}_2\cdots p_N+1$ posséderait un facteur premier ; or aucun $p_i$ ne le divise, puisqu'il diviserait alors $1$.
4. Pour $p$ premier et $a\in \mathbb{Z}$ : soit $p\mid a$, soit $p\wedge a=1$ (seule alternative possible).
5. Deux premiers distincts sont premiers entre eux.

Lemme d'Euclide. Hypothèses : $p$ premier, $p\mid ab$. Conclusion : $p\mid a$ ou $p\mid b$. (Si $p\nmid a$, alors $p\wedge a=1$ et Gauss donne $p\mid b$.) Par récurrence : si $p\mid a_1{a}_2\cdots a_n$, alors $p$ divise l'un des $a_i$ ; si $p\mid a^n$, alors $p\mid a$. L'hypothèse « $p$ premier » est indispensable : $6\mid 3\times 4$ sans diviser ni $3$ ni $4$.

Théorème fondamental de l'arithmétique. Tout entier $n\ge 2$ s'écrit $$n=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\cdots p_r^{{\alpha }_r},$$ avec $p_1<p_2<\cdots <p_r$ premiers et ${\alpha }_i\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, et cette écriture est unique. L'existence se prouve par récurrence forte ; l'unicité repose sur le lemme d'Euclide.

Valuation $p$-adique. L'exposant de $p$ dans la décomposition de $n$ se note $v_p(n)$ (il vaut $0$ si $p\nmid n$). On a $v_p(ab)=v_p(a)+v_p(b)$, et pour $a,b\ge 1$ : $$a\mid b⟺\mathrm{\forall }p\in 𝒫,v_p(a)\le v_p(b),$$ $$a\wedge b=\prod _p{p}^{\min (v_p(a),v_p(b))},a\vee b=\prod _p{p}^{\max (v_p(a),v_p(b))}\mathrm{.}$$ On retrouve $(a\wedge b)(a\vee b)=ab$ grâce à $\min +\max =v_p(a)+v_p(b)$.

Diviseurs. Les diviseurs positifs de $n=\prod p_i^{{\alpha }_i}$ sont les $\prod p_i^{{\beta }_i}$ avec $0\le {\beta }_i\le {\alpha }_i$ ; il y en a $$({\alpha }_1+1)({\alpha }_2+1)\cdots ({\alpha }_r+1)\mathrm{.}$$ Exemple : $360=2^3\times 3^2\times 5$ a $4\times 3\times 2=24$ diviseurs positifs.

Carrés et puissances. $n\ge 1$ est un carré parfait si et seulement si toutes ses valuations sont paires. Cela permet de prouver l'irrationalité de $\sqrt{2}$, ou de $\sqrt{m}$ lorsque $m$ n'est pas un carré parfait.

Valuation de $n!$ (formule de Legendre, souvent en exercice) : $v_p(n!)={\displaystyle \sum _{k\ge 1}E\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{n}{p^k}\right)}$, somme finie.

Résultat présent dans certains cours de 1re année et sinon traité en exercice ; il est utilisé en 2e année (anneaux $\mathbb{Z}\mathrm{/}n\mathbb{Z}$, cryptographie RSA en informatique).

Lemme. Si $p$ est premier et $1\le k\le p-1$, alors $p\mid \left(\genfrac{}{}{0px}{}{p}{k}\right)$. (Partir de $k\left(\genfrac{}{}{0px}{}{p}{k}\right)=p\left(\genfrac{}{}{0px}{}{p-1}{k-1}\right)$ : $p$ divise $k\left(\genfrac{}{}{0px}{}{p}{k}\right)$ et $p\wedge k=1$, donc Gauss conclut.)

Petit théorème de Fermat. Hypothèses : $p$ premier, $a\in \mathbb{Z}$. Conclusion : $a^p\equiv a[p]$ ; si de plus $p\nmid a$, alors $a^{p-1}\equiv 1[p]$.

Preuve : récurrence sur $a\in \mathbb{N}$ avec $(a+1{)}^p\equiv a^p+1[p]$ (binôme et lemme), puis $a<0$ par $a\equiv r[p]$ ; la seconde forme s'obtient en simplifiant par $a$, premier avec $p$ (§6).

Usage. Réduire un exposant : si $p\nmid a$, alors $a^N\equiv a^s[p]$ où $s$ est le reste de $N$ modulo $p-1$. La réciproque est fausse : $2^{340}\equiv 1[341]$ alors que $341=11\times 31$ n'est pas premier.

Hors du chapitre en MP1 : l'anneau $\mathbb{Z}\mathrm{/}n\mathbb{Z}$, l'indicatrice d'Euler et le théorème d'Euler relèvent de la 2e année (Mathématiques II) ; on n'emploie ici que la notation $a\equiv b[n]$.

Montrer qu'un entier est divisible par $m$

1. Discussion selon le reste de $n$ modulo $m$ (ou modulo les facteurs de $m$) : on teste les $m$ cas.
2. Récurrence : écrire $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ plus un multiple évident de $m$.
3. Factorisation : $a^n-b^n=(a-b)(\dots )$, produit d'entiers consécutifs ($k$ entiers consécutifs comptent un multiple de $k$).
4. Découper $m$ en facteurs premiers entre eux deux à deux ($42=2\times 3\times 7$) et utiliser le corollaire de Gauss.
5. Congruences : calculer modulo $m$ en remplaçant chaque nombre par un représentant simple (souvent $0$ ou $\pm 1$).

Calculer un PGCD qui dépend d'un paramètre $n$

Poser $d=A(n)\wedge B(n)$ et éliminer $n$ par des combinaisons : $d$ divise toute combinaison $uA+vB$. On obtient $d\mid c$ pour une constante $c$, puis on cherche pour quelles valeurs de $n$ chaque diviseur de $c$ divise à la fois $A$ et $B$ (discussion selon le reste de $n$ modulo $c$). Le lemme $a\wedge b=b\wedge (a-kb)$ fait le même travail en version « division euclidienne » ; il s'applique aussi à des puissances : $(a^m-1)\wedge (a^n-1)$ se traite en suivant l'algorithme d'Euclide sur les exposants.

Résoudre une équation de congruence $ax\equiv c[n]$

Calculer $d=a\wedge n$. Si $d\nmid c$ : pas de solution. Sinon diviser par $d$, inverser $a^{\mathrm{\prime }}$ modulo $n^{\mathrm{\prime }}=n\mathrm{/}d$ par Bézout, et conclure $x\equiv u{c}^{\mathrm{\prime }}[n^{\mathrm{\prime }}]$ (soit $d$ classes de solutions modulo $n$).

Résoudre un système $x\equiv \alpha [m]$, $x\equiv \beta [n]$ avec $m\wedge n=1$

Écrire $x=\alpha +mk$, reporter dans la seconde congruence ($mk\equiv \beta -\alpha [n]$), inverser $m$ modulo $n$, puis conclure : les solutions forment une seule classe modulo $mn$. Toujours vérifier la solution trouvée dans les deux congruences.

Exploiter $a\wedge b=d$

Écrire $a=d{a}^{\mathrm{\prime }}$, $b=d{b}^{\mathrm{\prime }}$ avec $a^{\mathrm{\prime }}\wedge b^{\mathrm{\prime }}=1$, puis $a\vee b=d{a}^{\mathrm{\prime }}{b}^{\mathrm{\prime }}$. Les problèmes « trouver $a,b$ connaissant leur somme, leur produit, leur PGCD ou leur PPCM » se ramènent ainsi à un couple premier entre eux.

1. Reste négatif : dans $a=bq+r$, on exige $0\le r<\mid b\mid$. Un « reste » de $-2$ dans la division par $5$ n'en est pas un.
2. Simplifier une congruence sans vérifier $c\wedge n=1$ ($6\equiv 16[10]$ ne donne pas $3\equiv 8[10]$).
3. Gauss sans hypothèse : conclure $a\mid c$ de $a\mid bc$ sans avoir prouvé $a\wedge b=1$ ; conclure $ab\mid c$ de $a\mid c$ et $b\mid c$ sans $a\wedge b=1$.
4. Bézout à l'envers : $au+bv=d$ ne prouve pas $a\wedge b=d$ si $d\mathrm{\ne }1$ ; seulement $a\wedge b\mid d$.
5. Équation diophantienne incomplète : oublier la réciproque, ou donner une seule solution, ou écrire $x=x_0+kb$ au lieu de $x=x_0+k{b}^{\mathrm{\prime }}$ (il faut diviser par le PGCD d'abord).
6. Lemme d'Euclide appliqué à un non-premier ($6\mid ab$ n'implique pas $6\mid a$ ou $6\mid b$).
7. Croire que $1$ est premier, ou que « $a$ et $b$ impairs » entraîne « premiers entre eux » ($9\wedge 15=3$).
8. Confondre premiers entre eux dans leur ensemble et deux à deux.
9. Utiliser le petit théorème de Fermat sous la forme $a^{p-1}\equiv 1$ sans vérifier $p\nmid a$, ou avec $p$ non premier.
10. Rédaction : écrire « $a\mathrm{/}b$ » sans préciser qu'il s'agit de la divisibilité (et non d'une fraction), oublier le « $[n]$ » dans une congruence, ou affirmer « d'après le cours » sans nommer le théorème (Bézout, Gauss, Euclide).

• PGCD noté $a\wedge b$ (très majoritaire), parfois $\mathrm{pgcd}(a,b)$ ou P.G.C.D ; PPCM noté $a\vee b$.
• Divisibilité : $a\mid b$ ; dans plusieurs cours et énoncés de 1re année, on trouve l'écriture $a\mathrm{/}b$ (« $a$ divise $b$ »), à ne pas confondre avec un quotient.
• Congruence : $a\equiv b[n]$, avec des crochets (forme la plus courante) ; $a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$ se rencontre aussi.
• $𝒟(a)$ pour l'ensemble des diviseurs, $n\mathbb{Z}$ pour les multiples de $n$, $𝒫$ pour les nombres premiers, $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ pour les entiers de $1$ à $n$.
• « Équation diophantienne » pour une équation à inconnues entières ; « premiers entre eux » ; « décomposition en produit de facteurs premiers » ou « décomposition primaire ».
• Énoncés : « Montrer que… », « En déduire… », « Résoudre dans ${\mathbb{Z}}^2$ l'équation… », ou une demande de reste d'une division euclidienne. Barème affiché par exercice.
• Calculatrice interdite : les nombres sont choisis pour que les divisions se posent à la main ; une puissance comme $5^{2026}$ ne se calcule jamais, on la réduit modulo $n$.