Une fonction $f:U\subset {ℝ}^n\to {ℝ}^p$ s'écrit $f=(f_1,\dots ,f_p)$ ; les $f_i:U\to ℝ$ sont ses fonctions coordonnées. Pour $n=2$ on note $f(x,y)$, pour $n=3$ $f(x,y,z)$.

• $f$ est continue en $a$ si et seulement si chaque $f_i$ l'est. Toute fonction polynomiale en les coordonnées est continue (par exemple $(x,y)\mapsto x^{3}y-2y^2$, ou $\det$ sur ${ℳ}_n(ℝ)$) ; quotients et composées de fonctions continues aussi.
• Pourquoi un ouvert : chaque point $a\in U$ est le centre d'une boule ouverte $B(a,r)$, de rayon $r>0$, incluse dans $U$ ; on peut donc faire tendre $a+h$ vers $a$ dans toutes les directions sans sortir de $U$. Tous les théorèmes de ce chapitre l'utilisent.
• Étudier une limite en $(0,0)$ : si l'on trouve deux chemins donnant des limites différentes, il n'y a pas de limite ; pour prouver une limite, on majore $\mid f(x,y)-\mathrm{\ell }\mid$ par une quantité qui ne dépend que de $\rho =\sqrt{x^2+y^2}$ et tend vers $0$ (souvent avec $\mid x\mid \le \rho$, $\mid y\mid \le \rho$, $\mid xy\mid \le \frac{{\rho }^2}{2}$, ou en polaires $x=\rho \cos \theta$, $y=\rho \sin \theta$, à condition que la majoration soit uniforme en $\theta$).

Définition. Soit $a\in U$ et $v\in E$. On dit que $f$ admet une dérivée en $a$ selon le vecteur $v$ (ou dérivée directionnelle) si $t\mapsto f(a+tv)$, définie près de $0$, est dérivable en $0$ ; on note $$D_{v}f(a)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(a+tv)-f(a)}{t}\mathrm{.}$$

Dérivées partielles. Dans ${ℝ}^n$ muni de la base canonique $(e_1,\dots ,e_n)$, la $j$-ième dérivée partielle de $f$ en $a$ est $$\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }{x}_j}(a)=D_{e_j}f(a)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(a_1,\dots ,a_j+t,\dots ,a_n)-f(a)}{t}\mathrm{.}$$ En pratique : on dérive par rapport à $x_j$ en gelant les autres variables. Autres notations : ${\mathrm{\partial }}_{j}f(a)$, $f_x^{\mathrm{\prime }}(a)$ ; en deux variables $\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}$ et $\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}$.

Attention. L'existence de toutes les dérivées partielles, et même de toutes les dérivées directionnelles, en un point n'entraîne pas la continuité en ce point. Exemple : $f(x,y)={\displaystyle \frac{x^{2}y}{x^4+y^2}}$ et $f(0,0)=0$ admet en $(0,0)$ une dérivée selon tout vecteur, mais $f(x,x^2)=\frac{1}{2}$ ne tend pas vers $0$. C'est pourquoi on a besoin d'une notion plus forte : la différentiabilité.

Définition. $f$ est différentiable en $a\in U$ s'il existe une application linéaire $L:E\to F$ telle que $$f(a+h)=f(a)+L(h)+o(\parallel h\parallel )(h\to 0),$$ c'est-à-dire $f(a+h)=f(a)+L(h)+\parallel h\parallel \epsilon (h)$ avec $\epsilon (h)\to 0$ quand $h\to 0$. Cette application $L$ est unique ; on l'appelle la différentielle de $f$ en $a$ et on la note $df(a)$ (ou $d{f}_a$, $Df(a)$). On écrit $df(a)\cdot h$ ou $df(a)(h)$. En dimension finie, $L$ est automatiquement continue. $f$ est différentiable sur $U$ si elle l'est en tout point de $U$.

Pour $E=ℝ$, être différentiable en $a$ équivaut à être dérivable en $a$, et $df(a)\cdot h=h{f}^{\mathrm{\prime }}(a)$.

Propriétés. Supposons $f$ différentiable en $a$.

1. $f$ est continue en $a$.
2. $f$ admet une dérivée selon tout vecteur $v$, et $D_{v}f(a)=df(a)\cdot v$ : la dérivée directionnelle est linéaire en $v$.
3. Dans ${ℝ}^n$ : ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }{x}_j}}(a)=df(a)\cdot e_j$ et, pour $h=(h_1,\dots ,h_n)$, $$df(a)\cdot h=\sum _{j=1}^n{h}_j\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }{x}_j}(a)\mathrm{.}$$ Avec les formes coordonnées $d{x}_j:h\mapsto h_j$, on écrit $df(a)={\sum }_j\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }{x}_j}(a)d{x}_j$.

Matrice jacobienne. Pour $f:U\subset {ℝ}^n\to {ℝ}^p$ différentiable en $a$, la matrice de $df(a)$ dans les bases canoniques est $$J_f(a)={(\frac{\mathrm{\partial }{f}_i}{\mathrm{\partial }{x}_j}(a))}_{\begin{array}{c}1\le i\le p\\ 1\le j\le n\end{array}}\in {ℳ}_{p,n}(ℝ)\mathrm{.}$$ Ligne $i$ : les dérivées partielles de $f_i$ ; colonne $j$ : la dérivée partielle $\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }{x}_j}$. Si $n=p$, son déterminant est le jacobien de $f$ en $a$.

Exemples à connaître.

• Une application constante a une différentielle nulle. Une application linéaire $u$ est différentiable partout et $du(a)=u$ (la différentielle ne dépend pas de $a$).
• Une application bilinéaire $B:E_1\times E_2\to F$ est différentiable et $dB(a,b)\cdot (h,k)=B(h,b)+B(a,k)$, car le reste $B(h,k)$ est un $o(\parallel (h,k)\parallel )$ (en dimension finie, $\parallel B(h,k)\parallel \le C\parallel h\parallel \parallel k\parallel$).
• $q(x)=\parallel x{\parallel }^2=⟨x,x⟩$ sur un espace euclidien : $q(a+h)=q(a)+2⟨a,h⟩+\parallel h{\parallel }^2$, donc $dq(a)\cdot h=2⟨a,h⟩$.
• Toute fonction polynomiale en les coordonnées est différentiable sur tout l'espace (voir § 4).

Montrer qu'une fonction n'est pas différentiable en $a$ : il suffit de trouver une des conditions nécessaires en défaut (non continue en $a$ ; une dérivée directionnelle qui n'existe pas ; $v\mapsto D_{v}f(a)$ non linéaire). Montrer qu'elle l'est : calculer les dérivées partielles en $a$, former le candidat $L(h)={\sum }_j{h}_j\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }{x}_j}(a)$ et prouver que ${\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)-L(h)}{\parallel h\parallel }}\to 0$.

Définition. $f$ est de classe $C^1$ sur $U$ si elle est différentiable sur $U$ et si l'application $a\mapsto df(a)$, de $U$ dans $ℒ(E,F)$, est continue.

Théorème (caractérisation par les dérivées partielles, admis). Hypothèses : $U$ ouvert de ${ℝ}^n$ ; en tout point de $U$, les $n$ dérivées partielles $\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }{x}_j}$ existent ; elles sont continues sur $U$. Conclusion : $f$ appartient à $C^1(U)$, et en particulier elle est différentiable en chaque point de $U$. Réciproquement, si $f$ est $C^1$, ses dérivées partielles existent et sont continues.

C'est l'outil de base : on prouve la différentiabilité sans revenir à la définition, en montrant que les dérivées partielles sont continues. Les implications à retenir : $$C^1⟹\text{diff}\acute{\text{e}}\text{rentiable}⟹\text{continue et d}\acute{\text{e}}\text{riv}\acute{\text{e}}\text{es selon tout vecteur},$$ et aucune réciproque n'est vraie ; « dérivées partielles en un point » n'entraîne rien du tout.

Opérations. Sommes, produits par un scalaire, produits de fonctions numériques, quotients (dénominateur non nul), composées de fonctions $C^1$ sont $C^1$. En particulier : les fonctions polynomiales en les coordonnées sont $C^1$ (et même $C^{\mathrm{\infty }}$) ; les fractions rationnelles le sont sur l'ouvert où leur dénominateur ne s'annule pas.

Point « à problème ». Typiquement $f$ est donnée par une formule sur ${ℝ}^2\setminus \{(0,0)\}$ et par une valeur en $(0,0)$.

1. Sur l'ouvert ${ℝ}^2\setminus \{(0,0)\}$ : $f$ est $C^1$ par opérations ; calculer $\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}$ et $\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}$.
2. En $(0,0)$ : calculer les dérivées partielles par la définition (taux d'accroissement $\frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}$).
3. Étudier la continuité en $(0,0)$ des dérivées partielles trouvées (majoration en $\rho$). Si elles sont continues, $f$ est $C^1$ sur ${ℝ}^2$ ; sinon, revenir à la définition de la différentiabilité.

Théorème (différentielle d'une composée). Hypothèses : $f:U\subset E\to F$ différentiable en $a$ ; $V$ ouvert de $F$ contenant $f(U)$ ; $g:V\to G$ différentiable en $f(a)$. Conclusion : $g\circ f$ est différentiable en $a$ et $$d(g\circ f)(a)=dg(f(a))\circ df(a),J_{g\circ f}(a)=J_g(f(a))J_f(a)\mathrm{.}$$ Si $f$ et $g$ sont $C^1$, $g\circ f$ est $C^1$.

Dérivée le long d'un arc. Si $\gamma :I\to U$ est dérivable ($I$ intervalle) et $f:U\to ℝ$ différentiable, alors $$(f\circ \gamma {)}^{\mathrm{\prime }}(t)=df(\gamma (t))\cdot {\gamma }^{\mathrm{\prime }}(t)=\sum _{j=1}^n{\gamma }_j^{\mathrm{\prime }}(t)\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }{x}_j}(\gamma (t))\mathrm{.}$$ Cas particulier : $\phi (t)=f(a+th)$ donne ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)=df(a+th)\cdot h$.

Dérivées partielles d'une composée. Si $g(u,v)=f(x(u,v),y(u,v))$ avec $x,y,f$ de classe $C^1$ : $$\frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }u}=\frac{\mathrm{\partial }x}{\mathrm{\partial }u}\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(x(u,v),y(u,v))+\frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }u}\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}(x(u,v),y(u,v)),$$ et de même pour $\frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }v}$. Écrire le point où l'on évalue $\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}$ : c'est l'erreur la plus fréquente.

Coordonnées polaires. Pour $g(r,\theta )=f(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ avec $f$ de classe $C^1$ : $$\frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }r}=\cos \theta \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}+\sin \theta \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y},\frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }\theta }=-r\sin \theta \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}+r\cos \theta \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y},$$ les dérivées de $f$ étant prises en $(r\cos \theta ,r\sin \theta )$. Autrement dit $r\frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }r}=x\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}+y\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}$ et $\frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }\theta }=x\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}-y\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}$.

Fonctions à différentielle nulle. Hypothèses : $U$ ouvert connexe par arcs (par exemple convexe) ; $f:U\to F$ différentiable ; $df(a)=0$ pour tout $a\in U$. Conclusion : $f$ est constante sur $U$. Preuve dans le cas convexe : pour $a,b\in U$, $\phi (t)=f(a+t(b-a))$ est dérivable sur $[0,1]$ de dérivée $df(a+t(b-a))\cdot (b-a)=0$, donc $f(b)=\phi (1)=\phi (0)=f(a)$. Si $U$ n'est pas connexe par arcs, la conclusion devient « constante sur chaque morceau ». Pour $f$ de classe $C^1$ et $[a,b]\subset U$, on a de même $f(b)-f(a)={\displaystyle {\int }_0^{1}df(a+t(b-a))\cdot (b-a)dt}$.

Ici $E$ est euclidien (produit scalaire $⟨\cdot ,\cdot ⟩$) et $f:U\to ℝ$ est différentiable en $a$. La forme linéaire $df(a)$ est représentée par un unique vecteur, le gradient de $f$ en $a$, noté $\mathrm{\nabla }f(a)$ ou $\stackrel{}{\mathrm{grad}}f(a)$ : $$\mathrm{\forall }h\in E,df(a)\cdot h=⟨\mathrm{\nabla }f(a),h⟩\mathrm{.}$$ Dans ${ℝ}^n$ muni du produit scalaire canonique (ou dans toute base orthonormée) : $\mathrm{\nabla }f(a)=(\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }{x}_1}(a),\dots ,\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }{x}_n}(a))$. Le développement s'écrit $f(a+h)=f(a)+⟨\mathrm{\nabla }f(a),h⟩+o(\parallel h\parallel )$.

Dérivées directionnelles et plus grande pente. Pour $v$ unitaire, $D_{v}f(a)=⟨\mathrm{\nabla }f(a),v⟩$. Par Cauchy-Schwarz, $\mid D_{v}f(a)\mid \le \parallel \mathrm{\nabla }f(a)\parallel$, avec égalité si et seulement si $v$ est colinéaire à $\mathrm{\nabla }f(a)$. Si $\mathrm{\nabla }f(a)\mathrm{\ne }0$, la dérivée directionnelle est maximale pour $v=\frac{\mathrm{\nabla }f(a)}{\parallel \mathrm{\nabla }f(a)\parallel }$ (direction de plus forte croissance) et vaut alors $\parallel \mathrm{\nabla }f(a)\parallel$ ; elle est nulle pour les $v$ orthogonaux au gradient.

Gradient et lignes de niveau. Si $\gamma :I\to U$ est un arc dérivable tracé sur une ligne de niveau ($f(\gamma (t))=c$ pour tout $t$), alors $⟨\mathrm{\nabla }f(\gamma (t)),{\gamma }^{\mathrm{\prime }}(t)⟩=0$ : le gradient est orthogonal aux lignes de niveau. Pour la surface $f(x,y,z)=c$, le plan tangent en un point $a$ où $\mathrm{\nabla }f(a)\mathrm{\ne }0$ est le plan passant par $a$ et orthogonal à $\mathrm{\nabla }f(a)$.

Plan tangent à une surface $z=f(x,y)$. Si $f$ est différentiable en $(x_0,y_0)$ et $z_0=f(x_0,y_0)$, le plan tangent au graphe au point $(x_0,y_0,z_0)$ a pour équation $$z=z_0+\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(x_0,y_0)(x-x_0)+\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}(x_0,y_0)(y-y_0)\mathrm{.}$$ C'est le graphe de l'approximation affine $f(a)+df(a)\cdot (X-a)$ ; il est horizontal exactement en un point critique (§ 8).

Gradients usuels.

Si les dérivées partielles de $f:U\subset {ℝ}^n\to ℝ$ admettent elles-mêmes des dérivées partielles, on note $$\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{x}_i\mathrm{\partial }{x}_j}=\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}_i}\left(\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }{x}_j}\right),\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{x}_i^2}=\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}_i}\left(\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }{x}_i}\right)\mathrm{.}$$ (On dérive d'abord par rapport à la variable écrite à droite.) $f$ est de classe $C^2$ sur $U$ si toutes ses dérivées partielles d'ordre $2$ existent et sont continues sur $U$ ; de même $C^k$, $C^{\mathrm{\infty }}$. Les opérations du § 4 conservent la classe $C^2$.

Théorème de Schwarz. Hypothèses : $f$ de classe $C^2$ sur l'ouvert $U$. Conclusion : pour tous $i,j$ et tout $a\in U$, ${\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{x}_i\mathrm{\partial }{x}_j}}(a)={\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{x}_j\mathrm{\partial }{x}_i}}(a)$.

Usage le plus fréquent en devoir : par contraposée, des dérivées croisées différentes en un point prouvent que $f$ n'est pas $C^2$. L'hypothèse « $C^2$ » est indispensable : il existe des fonctions $C^1$ dont les deux dérivées croisées existent en $(0,0)$ et diffèrent (exercice 5).

Matrice hessienne. Pour $f$ de classe $C^2$, la hessienne de $f$ en $a$ est $$H_f(a)={(\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{x}_i\mathrm{\partial }{x}_j}(a))}_{1\le i,j\le n}\in {𝒮}_n(ℝ),$$ symétrique d'après Schwarz. C'est la matrice jacobienne de l'application $x\mapsto \mathrm{\nabla }f(x)$. En deux variables, avec les notations de Monge que l'on rencontre dans les cours, $$r=\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{x}^2}(a),s=\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }x\mathrm{\partial }y}(a),t=\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{y}^2}(a),H_f(a)=\left(\begin{array}{cc}r& s\\ s& t\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Formule de Taylor-Young à l'ordre 2 (admise). Pour $f\in C^2(U)$ et $a\in U$ : $$f(a+h)=f(a)+⟨\mathrm{\nabla }f(a),h⟩+\frac{1}{2}{}^{t}h{H}_f(a)h+o(\parallel h{\parallel }^2)(h\to 0)\mathrm{.}$$ On peut la retrouver en appliquant Taylor à une variable à $\phi (t)=f(a+th)$ : ${\phi }^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)={}^{t}h{H}_f(a)h={\sum }_{i,j}{h}_i{h}_j\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{x}_i\mathrm{\partial }{x}_j}(a)$.

Laplacien. Pour $f$ de classe $C^2$ sur un ouvert de ${ℝ}^2$, $\mathrm{\Delta }f={\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{x}^2}}+{\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{y}^2}}=\mathrm{tr}{H}_f$ ; $f$ est harmonique si $\mathrm{\Delta }f=0$ (exemples : $x^2-y^2$, $e^x\cos y$, $\ln (x^2+y^2)$ sur ${ℝ}^2\setminus \{(0,0)\}$). En polaires, avec $g(r,\theta )=f(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ : $\mathrm{\Delta }f={\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}g}{\mathrm{\partial }{r}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{r}}{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }r}}+{\displaystyle \frac{1}{r^2}}{\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}g}{\mathrm{\partial }{\theta }^2}}$ (à savoir retrouver par la règle de la chaîne).

Définitions. Soit $f:A\to ℝ$, $A\subset E$ et $a\in A$. $f$ admet en $a$ un maximum local s'il existe $r>0$ tel que $f(x)\le f(a)$ pour tout $x\in A\cap B(a,r)$ ; un maximum global si $f(x)\le f(a)$ pour tout $x\in A$. Mêmes définitions pour le minimum ; strict si l'inégalité est stricte pour $x\mathrm{\ne }a$. Un extremum est un maximum ou un minimum.

Point critique. $a\in U$ est un point critique de $f:U\to ℝ$ différentiable si $df(a)=0$, c'est-à-dire $\mathrm{\nabla }f(a)=0$, c'est-à-dire toutes les dérivées partielles de $f$ s'annulent en $a$.

Théorème (condition nécessaire du premier ordre). Hypothèses : (i) $U$ est un ouvert ; (ii) $f:U\to ℝ$ est différentiable en $a\in U$ ; (iii) $f$ admet un extremum local en $a$. Conclusion : $a$ est un point critique de $f$. Preuve : pour tout $v$, la fonction $t\mapsto f(a+tv)$ est définie près de $0$ (car $U$ est ouvert), dérivable en $0$ et y présente un extremum local ; sa dérivée $df(a)\cdot v$ est donc nulle (fiche « Dérivabilité »).

Ce que le théorème ne dit pas.

• La réciproque est fausse : $(0,0)$ est critique pour $f(x,y)=x^2-y^2$ sans être un extremum ($f(x,0)>0>f(0,y)$ pour $x,y\mathrm{\ne }0$) ; on parle de point col (ou point selle).
• Sur une partie non ouverte (disque fermé, carré fermé…), un extremum situé sur le bord n'annule pas forcément le gradient.
• Il ne dit rien des points où $f$ n'est pas différentiable : $(x,y)\mapsto \sqrt{x^2+y^2}$ est minimale en $(0,0)$ sans y être différentiable.

Démarche. Les extremums locaux d'une fonction différentiable sur un ouvert sont à chercher parmi les points critiques. On résout le système $\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }{x}_1}=\cdots =\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }{x}_n}=0$ complètement (ne perdre aucune solution : factoriser, distinguer les cas), puis on étudie chaque point critique.

Soit $f$ de classe $C^2$ sur l'ouvert $U$ et $a$ un point critique. La formule de Taylor-Young donne $f(a+h)-f(a)=\frac{1}{2}{}^{t}h{H}_f(a)h+o(\parallel h{\parallel }^2)$ : le signe de $f(a+h)-f(a)$ est gouverné par celui de ${}^{t}h{H}_f(a)h$, donc par les valeurs propres de la matrice symétrique $H_f(a)$ (voir Endomorphismes euclidiens § Positifs et § Applications, quotient de Rayleigh).

Théorème (conditions du second ordre). On note ${\lambda }_1\le \cdots \le {\lambda }_n$ les valeurs propres de $H_f(a)$, $a$ point critique.

1. Condition nécessaire : si $f$ admet un minimum local en $a$, alors $H_f(a)\in {𝒮}_n^{+}(ℝ)$ (toutes les ${\lambda }_i\ge 0$) ; si c'est un maximum local, $-H_f(a)\in {𝒮}_n^{+}(ℝ)$.
2. Condition suffisante : si $H_f(a)\in {𝒮}_n^{++}(ℝ)$ (toutes les ${\lambda }_i>0$), $f$ admet en $a$ un minimum local strict ; si toutes les ${\lambda }_i<0$, un maximum local strict.
3. Si $H_f(a)$ a une valeur propre $>0$ et une valeur propre $<0$, $a$ n'est pas un extremum : c'est un point col.
4. Dans les autres cas (une valeur propre nulle, les autres de même signe), on ne peut pas conclure avec la hessienne.

Idée de la preuve de 2 : avec $m={\lambda }_1>0$, Rayleigh donne ${}^{t}h{H}_f(a)h\ge m\parallel h{\parallel }^2$, donc $f(a+h)-f(a)\ge \parallel h{\parallel }^2(\frac{m}{2}+\epsilon (h))>0$ pour $h\mathrm{\ne }0$ assez petit. Preuve de 3 : si $H_f(a)v=\lambda v$ avec $v\mathrm{\ne }0$, alors $f(a+tv)-f(a)=\frac{\lambda }{2}{t}^2\parallel v{\parallel }^2+o(t^2)$ a le signe de $\lambda$ pour $t\mathrm{\ne }0$ petit ; deux directions de signes opposés interdisent l'extremum.

Cas de deux variables (le plus fréquent). $\det H_f(a)=rt-s^2={\lambda }_1{\lambda }_2$ et $\mathrm{tr}{H}_f(a)=r+t={\lambda }_1+{\lambda }_2$ :

(Si $rt-s^2>0$, alors $rt>s^2\ge 0$, donc $r\mathrm{\ne }0$ et $r$, $t$ ont le même signe.)

Cas douteux : étude directe. Étudier le signe de $f(a+h)-f(a)$ à la main : restrictions à des droites ou à des courbes passant par $a$ ($h=(u,0)$, $(0,u)$, $(u,u)$, $(u,u^2)$…) pour prouver qu'il n'y a pas d'extremum ; mise sous forme de carrés, inégalités, pour prouver qu'il y en a un. Exemples : $x^4+y^4$ (minimum strict, hessienne nulle), $x^4-y^4$ (col, hessienne nulle), $x^2+y^3$ (pas d'extremum, $rt-s^2=0$). Une fonction peut être minimale en $a$ le long de toute droite passant par $a$ sans que $a$ soit un minimum local (exercice 3).

Sur un ouvert. Un extremum global atteint en un point de l'ouvert $U$ est en particulier local : il est atteint en un point critique. Pour prouver qu'un point critique donne un extremum global, il faut un argument global : écrire $f(a+h)-f(a)$ comme une somme de carrés, utiliser une inégalité classique, ou un argument de compacité. Pour réfuter un extremum global, exhiber une suite de points où $f$ tend vers $\pm \mathrm{\infty }$ ou dépasse la valeur candidate.

Sur un compact (méthode type). Hypothèses : $K$ compact non vide de ${ℝ}^n$ (fermé et borné), $f:K\to ℝ$ continue, de classe $C^1$ sur l'intérieur $\mathring{K}$.

1. Existence : $f$ admet sur $K$ un maximum et un minimum (théorème des bornes atteintes, EVN § Compacité).
2. Intérieur : si un extremum est atteint en un point de $\mathring{K}$ (ouvert), ce point est critique ; on calcule les points critiques situés dans $\mathring{K}$ et les valeurs de $f$ en ces points.
3. Bord : on paramètre le bord ($x=\cos \theta$, $y=\sin \theta$ pour un cercle ; chaque côté d'un polygone par un segment) et on étudie des fonctions d'une variable sur des segments, sans oublier les sommets.
4. Comparaison : le maximum de $f$ sur $K$ est la plus grande des valeurs trouvées aux étapes 2 et 3, le minimum la plus petite.

Sans compact au départ. Si $f$ est continue sur un fermé $A$ non borné et tend vers $+\mathrm{\infty }$ quand $\parallel x\parallel \to +\mathrm{\infty }$ (« $f$ est coercive »), on se ramène à un compact : on fixe $x_0\in A$, on choisit $R$ tel que $f(x)>f(x_0)$ pour $\parallel x\parallel >R$, et le minimum de $f$ sur le compact $A\cap \bar{B}(0,R)$ est le minimum de $f$ sur $A$.

Lien avec l'algèbre. Le maximum de $X\mapsto {}^{t}XSX$ ($S$ symétrique) sur la sphère unité est la plus grande valeur propre de $S$ (Endomorphismes euclidiens § Applications). Par le calcul différentiel : le quotient $\rho (X)=\frac{{}^{t}XSX}{{}^{t}XX}$ est différentiable sur ${ℝ}^n\setminus \{0\}$, de gradient $\frac{2}{\parallel X{\parallel }^2}(SX-\rho (X)X)$ ; il est constant sur chaque demi-droite, donc ses extremums sur ${ℝ}^n\setminus \{0\}$ sont ceux de sa restriction à la sphère (compacte), et ils sont atteints en des points critiques, c'est-à-dire en des vecteurs propres. C'est un thème classique de Mathématiques II et des concours blancs.

${ℳ}_n(ℝ)$ est de dimension finie $n^2$ ; on le munit de n'importe quelle norme (souvent une norme sous-multiplicative, ou la norme euclidienne associée à $⟨A,B⟩=\mathrm{tr}({}^{t}AB)$). On calcule la différentielle en développant $f(A+H)$ et en isolant la partie linéaire en $H$ ; le reste doit être un $o(\parallel H\parallel )$.

Attention à la commutativité : $(A+H{)}^2=A^2+AH+HA+H^2$, et pas $A^2+2AH+H^2$ ; la différentielle de $M\mapsto M^2$ en $A$ n'est pas $H\mapsto 2AH$ (sauf si $H$ commute avec $A$).

Déterminant. $\det$ est polynomial en les coefficients, donc $C^{\mathrm{\infty }}$.

• En $I_n$ : $\det (I_n+H)=1+\mathrm{tr}(H)+R(H)$, où $R(H)$ est une somme de produits d'au moins deux coefficients de $H$, donc un $O(\parallel H{\parallel }^2)$. Ainsi $d\det (I_n)\cdot H=\mathrm{tr}(H)$.
• En $A\in G{L}_n(ℝ)$ : $\det (A+H)=\det A\det (I_n+A^{-1}H)$, d'où $d\det (A)\cdot H=\det (A)\mathrm{tr}(A^{-1}H)=\mathrm{tr}({}^t\mathrm{com}(A)H)$, car $\det (A)A^{-1}={}^t\mathrm{com}(A)$.
• En $A$ quelconque : $d\det (A)\cdot H={\sum }_{i,j}{h}_{ij}\frac{\mathrm{\partial }\det }{\mathrm{\partial }{a}_{ij}}(A)$ et, en développant selon la ligne $i$, $\frac{\mathrm{\partial }\det }{\mathrm{\partial }{a}_{ij}}(A)$ est le cofacteur d'indice $(i,j)$ ; on retrouve $\mathrm{tr}({}^t\mathrm{com}(A)H)$ pour toute $A$. Pour le produit scalaire $\mathrm{tr}({}^{t}AB)$, le gradient de $\det$ en $A$ est $\mathrm{com}(A)$.

Inverse. $G{L}_n(ℝ)$ est un ouvert (EVN § Dimension finie). Pour $A\in G{L}_n(ℝ)$ et $H$ assez petite pour que $A+H$ soit inversible : $$(A+H{)}^{-1}-A^{-1}+A^{-1}H{A}^{-1}=(A+H{)}^{-1}H{A}^{-1}H{A}^{-1},$$ (multiplier à gauche par $A+H$ pour le vérifier) ; le membre de droite est un $O(\parallel H{\parallel }^2)$ car $(A+H{)}^{-1}\to A^{-1}$ (les coefficients de l'inverse sont des fractions rationnelles continues). D'où $d(M\mapsto M^{-1})(A)\cdot H=-A^{-1}H{A}^{-1}$, l'analogue de ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\mathrm{\prime }}=-\frac{1}{x^2}$.

Composées. La règle de la chaîne s'applique telle quelle : par exemple, sur l'ouvert $\{\det M>0\}$, $d(\ln \circ \det )(A)\cdot H=\mathrm{tr}(A^{-1}H)$. Pour une fonction $\phi$ de ${ℳ}_n(ℝ)$ dans $ℝ$, un extremum en un point intérieur du domaine annule $d\phi$ : c'est ainsi que les problèmes de Mathématiques II tirent une relation matricielle ($AN=\lambda N$, $S=I_n$…) d'un maximum ou d'un minimum (exercice 9).

On cherche les fonctions $f$ de classe $C^1$ (ou $C^2$) sur un ouvert $U$ de ${ℝ}^2$ vérifiant une relation entre $f$ et ses dérivées partielles. Au programme : les équations simples, que l'on ramène par un changement de variables à l'un des deux modèles suivants.

Modèle 1 : ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }u}}=0$. Hypothèses : $g$ de classe $C^1$ sur un ouvert $V$ convexe (ou un pavé $I\times J$, ou plus généralement un ouvert dont l'intersection avec chaque droite horizontale est un intervalle) ; $\frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }u}=0$ sur $V$. Conclusion : il existe $\phi$ de classe $C^1$ telle que $g(u,v)=\phi (v)$. (Réciproque immédiate.) L'hypothèse sur la forme de $V$ compte : sur un domaine en forme de « U », $g$ peut prendre deux valeurs différentes sur une même horizontale. Plus généralement, $\frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }u}=c(u,v)$ donne $g(u,v)=C(u,v)+\phi (v)$ où $C$ est une primitive de $c$ par rapport à $u$.

Modèle 2 : ${\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}g}{\mathrm{\partial }u\mathrm{\partial }v}}=0$ sur ${ℝ}^2$ (ou un pavé) avec $g$ de classe $C^2$ : $\frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }v}$ ne dépend que de $v$, donc $\frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }v}(u,v)=\beta (v)$, puis $g(u,v)=A(u)+B(v)$ avec $A$, $B$ de classe $C^2$.

Méthode du changement de variables.

1. Poser $f(x,y)=g(u,v)$, où $(u,v)=\mathrm{\Phi }(x,y)$ et $\mathrm{\Phi }:U\to V$ est une bijection de classe $C^1$ dont la réciproque est $C^1$ (on dit un $C^1$-difféomorphisme). Le justifier : souvent $\mathrm{\Phi }$ est linéaire inversible, ou l'on explicite ${\mathrm{\Phi }}^{-1}$.
2. Comme $g=f\circ {\mathrm{\Phi }}^{-1}$ et $f=g\circ \mathrm{\Phi }$, $f$ est $C^1$ si et seulement si $g$ l'est.
3. Exprimer les dérivées partielles de $f$ en fonction de celles de $g$ (règle de la chaîne), reporter dans l'équation : on obtient une équation en $g$ du type modèle 1 ou 2 équivalente à l'équation de départ.
4. Résoudre, revenir à $f$, et vérifier (ou dire que l'on a raisonné par équivalences).

Changements de variables classiques.

La dernière ligne est la relation d'Euler : une fonction $C^1$ est homogène de degré $\alpha$ ($f(tx,ty)=t^{\alpha }f(x,y)$ pour $t>0$) si et seulement si $x\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}+y\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}=\alpha f$ (sens direct : dériver $t\mapsto f(tx,ty)$ en $t=1$).

Étudier la différentiabilité en $(0,0)$ d'une fonction définie par morceaux

1. Continuité en $(0,0)$ : majorer $\mid f(x,y)-f(0,0)\mid$ en fonction de $\rho =\sqrt{x^2+y^2}$, ou trouver deux chemins de limites différentes.
2. Dérivées partielles en $(0,0)$ par les taux d'accroissement sur les axes.
3. Candidat $L(h,k)=h\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(0,0)+k\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}(0,0)$ ; étudier ${\displaystyle \frac{f(h,k)-f(0,0)-L(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}}$ : limite nulle $\Rightarrow$ différentiable ; sinon (par exemple $D_{v}f(0,0)\mathrm{\ne }L(v)$ pour un vecteur $v$), non différentiable.
4. Pour la classe $C^1$ : continuité en $(0,0)$ des dérivées partielles calculées hors de l'origine.

Trouver et classer les points critiques de $f(x,y)$

1. Justifier que $f$ est $C^2$ sur l'ouvert (polynôme, opérations).
2. Résoudre $\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}=\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}=0$ en entier, en tirant une variable d'une équation.
3. En chaque point critique : calculer $r$, $s$, $t$, puis $rt-s^2$ et conclure avec le tableau du § 9.
4. Si $rt-s^2=0$ : étude directe de $f(a+h)-f(a)$.
5. Extremum global ? Chercher une direction où $f\to \pm \mathrm{\infty }$ (alors pas d'extremum global de ce type), ou une écriture qui prouve l'inégalité globale.

Extremums d'une fonction continue sur un compact

Existence (bornes atteintes) $\to$ points critiques intérieurs $\to$ bord paramétré (fonctions d'une variable, sommets compris) $\to$ tableau des valeurs et comparaison. Rédiger chaque étape, en particulier la phrase d'existence.

Calculer une différentielle sur ${ℳ}_n(ℝ)$

Développer $f(A+H)$, isoler les termes de degré $1$ en $H$ (en respectant l'ordre des produits), vérifier que $H\mapsto L(H)$ est linéaire et majorer le reste par $C\parallel H{\parallel }^2$ (norme sous-multiplicative). Pour $\det$ et $M^{-1}$, utiliser les formules du § 11 en les justifiant.

Résoudre une équation aux dérivées partielles

Changement de variables bijectif, $C^1$ dans les deux sens $\to$ dérivées de $f$ en fonction de celles de $g$ $\to$ équation en $g$ $\to$ intégration sur un domaine convexe $\to$ retour à $f$ $\to$ éventuelles conditions données (valeurs sur un axe) pour fixer les fonctions arbitraires.

1. « Différentielle nulle donc minimum » : un point critique n'est pas forcément un extremum (le jury 2025 cite cette confusion entre condition nécessaire et suffisante). Inversement, la condition $\mathrm{\nabla }f(a)=0$ ne vaut qu'en un point intérieur : sur le bord d'un compact, elle ne s'applique pas.
2. Dérivées partielles en un point $\Rightarrow$ différentiable : faux, même pas continue. Seule la continuité des dérivées partielles sur un ouvert donne la classe $C^1$, donc la différentiabilité.
3. Conclure avec la hessienne alors que $rt-s^2=0$ ; ou conclure « maximum » avec $rt-s^2>0$ sans regarder le signe de $r$.
4. Oublier de justifier l'existence d'un extremum sur un compact (bornes atteintes) avant de le chercher ; oublier les sommets d'un polygone ; chercher des points critiques hors du domaine.
5. Confondre local et global : un minimum local strict n'est pas forcément global ($x^3-12xy+8y^3$, exercice 3).
6. Règle de la chaîne : oublier le point d'évaluation ($\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(x(u,v),y(u,v))$), oublier un terme, ou dériver deux fois sans appliquer de nouveau la règle aux dérivées partielles composées.
7. Sur ${ℳ}_n(ℝ)$ : écrire $2AH$ pour la différentielle de $M\mapsto M^2$ (commutativité), ou diviser par une matrice.
8. Appliquer Schwarz à une fonction dont on n'a pas montré qu'elle est $C^2$ ; ou croire que deux dérivées croisées égales en un point prouvent la classe $C^2$.
9. Équation aux dérivées partielles : écrire « $\frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }u}=0$ donc $g$ constante » (c'est $g(u,v)=\phi (v)$) ; oublier de vérifier que le changement de variables est bijectif et $C^1$ dans les deux sens ; ignorer la forme du domaine.
10. Rédaction : « d'après le cours » sans nommer le théorème ; abréviations ; résultat non encadré.

• Le chapitre est enseigné dans le cours d'Algèbre (Mathématiques II) en MP2 ; en PC2-T2, l'examen d'Algèbre de mai contient un exercice d'extremums et d'équation aux dérivées partielles.
• Différentielle : $df(a)$, $d{f}_a$ ou $Df(a)$, appliquée à $h$ : $df(a)\cdot h$, $df(a)(h)$, $Df(a)H$ pour une variable matricielle.
• « Extrémum relatif » (ou local) et « extrémum global » (ou absolu) : « Déterminer les extrémums relatifs de $f$ », puis « Montrer que $f$ admet un extrémum global ».
• Gradient : $\mathrm{\nabla }f(a)$ ou $\stackrel{}{\mathrm{grad}}f(a)$. Hessienne : $H_f(a)$ ou $\mathrm{Hess}f(a)$ ; notations de Monge $r,s,t$ en deux variables.
• Ensembles : ${ℳ}_n(ℝ)$, $G{L}_n(ℝ)$, ${𝒮}_n(ℝ)$, ${𝒮}_n^{+}(ℝ)$, ${𝒮}_n^{++}(ℝ)$, $O_n(ℝ)$ ; transposée ${}^{t}A$, comatrice $\mathrm{com}(A)$, trace $\mathrm{tr}$ (ou $\mathrm{Tr}$).
• Énoncés : « Justifier que $f$ est $C^1$ sur ${ℝ}^2$ », « Déterminer les points critiques de $f$ et préciser leur nature », « Montrer que $f$ admet un maximum sur $K$ et le déterminer », « Résoudre l'équation aux dérivées partielles (E) à l'aide du changement de variables… », « $f$ est-elle de classe $C^2$ ? ». Barème affiché par exercice.
• Pas de calculatrice : les valeurs des extremums sont exactes ($-8$, $\frac{9}{4}$, $2+\sqrt{2}$…), jamais décimales.