Définition. Pour $p\le n$, ${\displaystyle \sum _{k=p}^n{a}_k=a_p+a_{p+1}+\cdots +a_n}$. Plus généralement, pour un ensemble fini $I$, ${\sum }_{k\in I}{a}_k$ est la somme des $a_k$ quand $k$ décrit $I$ ; elle vaut $0$ si $I=\mathrm{\varnothing }$ (convention).

• L'indice est muet : ${\sum }_{k=p}^n{a}_k={\sum }_{j=p}^n{a}_j$. Il n'a aucun sens hors de la somme.
• La somme ${\sum }_{k=p}^n{a}_k$ compte $n-p+1$ termes ; ainsi ${\sum }_{k=p}^{n}c=(n-p+1)c$ pour une constante $c$.
• Linéarité : $\sum (\lambda a_k+\mu b_k)=\lambda \sum a_k+\mu \sum b_k$ pour $\lambda ,\mu$ indépendants de $k$.
• Chasles : pour $p\le m<n$, ${\sum }_{k=p}^n{a}_k={\sum }_{k=p}^m{a}_k+{\sum }_{k=m+1}^n{a}_k$.
• $\mathrm{Re}(\sum a_k)=\sum \mathrm{Re}{a}_k$, $\mathrm{Im}(\sum a_k)=\sum \mathrm{Im}{a}_k$, $\overline{\sum a_k}=\sum \overline{a_k}$.
• Attention : $\sum a_k{b}_k\mathrm{\ne }(\sum a_k)(\sum b_k)$ en général.

Changement d'indice. On remplace $k$ par une nouvelle variable liée à $k$ par une bijection :

• translation $j=k+q$ : ${\displaystyle \sum _{k=p}^n{a}_{k+q}=\sum _{j=p+q}^{n+q}{a}_j}$ (les bornes bougent avec l'indice) ;
• renversement $j=n-k$ : ${\displaystyle \sum _{k=0}^n{a}_{n-k}=\sum _{j=0}^n{a}_j}$. Exemple : ${\sum }_{k=0}^{n}k={\sum }_{k=0}^n(n-k)$, donc en ajoutant, $2{\sum }_{k=0}^{n}k=n(n+1)$.

Sommes télescopiques. Pour $p\le n$ : $$\sum _{k=p}^n(u_{k+1}-u_k)=u_{n+1}-u_p\mathrm{.}$$ Méthode : écrire le terme général comme une différence de deux termes consécutifs d'une même suite. Exemple : $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$, d'où ${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}$. Pour une fraction rationnelle en $k$, on cherche des constantes $a,b,\dots$ telles que $\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{a}{k}+\frac{b}{k+1}+\frac{c}{k+2}$ (on multiplie par un facteur puis on donne à $k$ la valeur qui l'annule).

Sommes à connaître ($n\ge 1$) : $$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2},\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\sum _{k=1}^n{k}^3={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2\mathrm{.}$$

• Suite arithmétique : somme $=$ (nombre de termes) $\times {\displaystyle \frac{\text{premier}+\text{dernier}}{2}}$.
• Somme géométrique : pour $q\in ℂ$, $q\mathrm{\ne }1$ : ${\displaystyle \sum _{k=p}^n{q}^k=q^p\frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}}$ ; pour $q=1$, la somme vaut $n-p+1$.
• Factorisation : $a^n-b^n=(a-b){\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}{a}^k{b}^{n-1-k}}$ pour $n\ge 1$ ; pour $n$ impair, $a^n+b^n=(a+b){\sum }_{k=0}^{n-1}(-1{)}^k{a}^{n-1-k}{b}^k$.

La formule de $\sum k^2$ se retrouve par télescopage : ${\sum }_{k=1}^n((k+1{)}^3-k^3)=(n+1{)}^3-1$ et $(k+1{)}^3-k^3=3k^2+3k+1$.

Produits. ${\displaystyle \prod _{k=p}^n{a}_k=a_p{a}_{p+1}\cdots a_n}$ (produit vide $=1$). Règles : $\prod (a_k{b}_k)=\prod a_k\prod b_k$, ${\prod }_{k=p}^n\lambda ={\lambda }^{n-p+1}$ (attention à l'exposant), ${\prod }_{k=1}^{n}k=n!$, ${\prod }_{k=1}^n(2k)=2^{n}n!$. Produit télescopique : si les $u_k$ sont non nuls, ${\prod }_{k=p}^n\frac{u_{k+1}}{u_k}=\frac{u_{n+1}}{u_p}$. Avec des exponentielles : $\prod e^{a_k}=e^{\sum a_k}$, et pour des réels strictement positifs $\ln \prod a_k=\sum \ln a_k$.

Pour une famille $(a_{ij})$ indexée par une partie finie de ${\mathbb{N}}^2$, la somme double additionne tous les termes ; l'ordre de sommation est libre.

Cas rectangulaire ($1\le i\le n$, $1\le j\le m$) : les bornes de $j$ ne dépendent pas de $i$, on intervertit librement. $$\sum _{\begin{array}{c}1\le i\le n\\ 1\le j\le m\end{array}}{a}_{ij}=\sum _{i=1}^n\left(\sum _{j=1}^m{a}_{ij}\right)=\sum _{j=1}^m\left(\sum _{i=1}^n{a}_{ij}\right),\sum _{\begin{array}{c}1\le i\le n\\ 1\le j\le m\end{array}}{x}_i{y}_j=\left(\sum _{i=1}^n{x}_i\right)\left(\sum _{j=1}^m{y}_j\right)\mathrm{.}$$

Cas triangulaire ($1\le i\le j\le n$) : les bornes de l'indice intérieur dépendent de l'autre. $$\sum _{1\le i\le j\le n}{a}_{ij}=\sum _{j=1}^n\left(\sum _{i=1}^j{a}_{ij}\right)=\sum _{i=1}^n\left(\sum _{j=i}^n{a}_{ij}\right)\mathrm{.}$$ Pour intervertir, dessiner le triangle des couples $(i,j)$ et lire les bornes ligne par ligne puis colonne par colonne. Même chose avec l'inégalité stricte $i<j$ (on enlève la diagonale).

Carré d'une somme. $$(\sum _{k=1}^n{a}_k{)}^2=\sum _{k=1}^n{a}_k^2+2\sum _{1\le i<j\le n}{a}_i{a}_j\mathrm{.}$$ Il vient de ${\sum }_{1\le i,j\le n}{a}_i{a}_j$ découpé en trois zones ($i=j$, $i<j$, $i>j$), les deux dernières ayant la même somme.

Astuce : une somme simple peut devenir double, par exemple $k={\sum }_{i=1}^{k}1$ ; on intervertit ensuite.

$0!=1$ et $n!=1\times 2\times \cdots \times n$ pour $n\ge 1$ ; $(n+1)!=(n+1)n!$.

Définition. Pour $n\in \mathbb{N}$ et $p\in \mathbb{Z}$, le coefficient binomial est $$C_n^p=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{p}\right)=\frac{n!}{p!(n-p)!}\text{ si }0\le p\le n,C_n^p=0\text{ sinon.}$$ $C_n^0=C_n^n=1$, $C_n^1=n$, $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$. $C_n^p$ est aussi le nombre de parties à $p$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments (chapitre « Dénombrement », en Analyse).

Propriétés. Pour $n\in \mathbb{N}$, $p\in \mathbb{Z}$ :

• symétrie : $C_n^p=C_n^{n-p}$ ;
• relation de Pascal : $C_n^p+C_n^{p+1}=C_{n+1}^{p+1}$ (triangle de Pascal ; elle prouve par récurrence que $C_n^p\in \mathbb{N}$) ;
• formule « du pion » : pour $n\ge 1$, $p{C}_n^p=n{C}_{n-1}^{p-1}$.

Formule du binôme de Newton. Hypothèses : $a,b\in ℂ$ (plus généralement deux éléments qui commutent d'un anneau), $n\in \mathbb{N}$. Conclusion : $$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^k{b}^{n-k}=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k\mathrm{.}$$ La somme commence à $k=0$ et compte $n+1$ termes. Preuve par récurrence sur $n$ avec la relation de Pascal. (Pour des matrices : § Puissances ; dans un anneau : § Anneaux.)

Conséquences immédiates. ${\sum }_{k=0}^n{C}_n^k=2^n$ ; pour $n\ge 1$, ${\sum }_{k=0}^n(-1{)}^k{C}_n^k=0$, donc la somme des $C_n^k$ d'indice pair et celle d'indice impair valent chacune $2^{n-1}$.

Trois techniques pour les sommes binomiales.

1. Reconnaître $(a+b{)}^n$ : $\sum C_n^k{2}^k=3^n$, $\sum C_n^k(-1{)}^k{3}^{n-k}=2^n$.
2. Dériver $f(x)=(1+x{)}^n=\sum C_n^k{x}^k$ : $f^{\mathrm{\prime }}(x)=n(1+x{)}^{n-1}={\sum }_{k=1}^{n}k{C}_n^k{x}^{k-1}$, puis donner une valeur à $x$ ($x=1$ : $\sum k{C}_n^k=n{2}^{n-1}$). Même résultat avec la formule du pion.
3. Passer par les complexes : $\sum C_n^k\cos (kx)=\mathrm{Re}((1+e^{ix}{)}^n)$, puis l'angle moitié (§6). Les sommes $\sum C_n^{2k}(-1{)}^k$ s'obtiennent avec $(1+i{)}^n$ ; les sommes $\sum C_n^{3k}$ avec $j$ (§7).

Tout $z\in ℂ$ s'écrit de façon unique $z=x+iy$ avec $x,y$ réels : $x=\mathrm{Re}z$, $y=\mathrm{Im}z$ (forme algébrique). Deux complexes sont égaux si et seulement s'ils ont mêmes parties réelle et imaginaire. Dans $ℂ$, $i^2=-1$ et il n'y a pas d'ordre : $z\le w$ n'a de sens que pour des réels.

Conjugué : $\bar{z}=x-iy$. Pour tous $z,w$ : $\overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w}$, $\overline{zw}=\bar{z}\bar{w}$, $\overline{z\mathrm{/}w}=\bar{z}\mathrm{/}\bar{w}$ ($w\mathrm{\ne }0$), $\overline{\stackrel{‾}{z}}=z$, $$\mathrm{Re}z=\frac{z+\bar{z}}{2},\mathrm{Im}z=\frac{z-\bar{z}}{2i},z\in ℝ⟺\bar{z}=z,z\in iℝ⟺\bar{z}=-z\mathrm{.}$$ Pour écrire un quotient sous forme algébrique, on multiplie par le conjugué du dénominateur : ${\displaystyle \frac{1}{x+iy}}={\displaystyle \frac{x-iy}{x^2+y^2}}$.

$\mid z\mid =\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\bar{z}}$ ; c'est la distance de $0$ au point d'affixe $z$, et $\mid z-w\mid$ la distance entre les points d'affixes $z$ et $w$.

• $\mid zw\mid =\mid z\mid \mid w\mid$, $\mid \frac{z}{w}\mid =\frac{\mid z\mid }{\mid w\mid }$, $\mid z^n\mid =\mid z{\mid }^n$, $\mid \bar{z}\mid =\mid z\mid$ ;
• $\mid \mathrm{Re}z\mid \le \mid z\mid$, $\mid \mathrm{Im}z\mid \le \mid z\mid$ ; si $z\mathrm{\ne }0$, $\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{\mid z{\mid }^2}$ ;
• $\mid z+w{\mid }^2=\mid z{\mid }^2+\mid w{\mid }^2+2\mathrm{Re}(z\bar{w})$.

Inégalité triangulaire. Conclusion : pour tous $z,w\in ℂ$, $\mid \mid z\mid -\mid w\mid \mid \le \mid z+w\mid \le \mid z\mid +\mid w\mid$ ; plus généralement $\mid \sum z_k\mid \le \sum \mid z_k\mid$. Cas d'égalité : pour $w\mathrm{\ne }0$, $\mid z+w\mid =\mid z\mid +\mid w\mid$ si et seulement s'il existe un réel $\lambda \ge 0$ tel que $z=\lambda w$ (les deux vecteurs ont même direction et même sens). Pour $n$ termes non nuls : égalité si et seulement si tous les $z_k$ ont un même argument.

Le cercle unité $𝕌=\{z\in ℂ,\mid z\mid =1\}$. Pour $\theta \in ℝ$, on note $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \in 𝕌$, et tout élément de $𝕌$ s'écrit ainsi.

• $e^{i(\theta +{\theta }^{\mathrm{\prime }})}=e^{i\theta }{e}^{i{\theta }^{\mathrm{\prime }}}$, $\overline{e^{i\theta }}=e^{-i\theta }=\frac{1}{e^{i\theta }}$ ;
• $e^{i\theta }=e^{i{\theta }^{\mathrm{\prime }}}⟺\theta \equiv {\theta }^{\mathrm{\prime }}[2\pi ]$ ;
• valeurs : $e^{i0}=1$, $e^{i\pi \mathrm{/}2}=i$, $e^{i\pi }=-1$, $e^{i\pi \mathrm{/}3}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$, $e^{i\pi \mathrm{/}4}=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$.

Forme trigonométrique. Tout $z\mathrm{\ne }0$ s'écrit $z=r{e}^{i\theta }$ avec $r=\mid z\mid >0$ et $\theta \in ℝ$ ; $\theta$ est un argument de $z$, défini modulo $2\pi$ : on écrit $\arg z\equiv \theta [2\pi ]$. L'argument principal est celui de $]-\pi ,\pi ]$. $0$ n'a pas d'argument.

• $\arg (zw)\equiv \arg z+\arg w$, $\arg \frac{z}{w}\equiv \arg z-\arg w$, $\arg \bar{z}\equiv -\arg z$, $\arg (z^n)\equiv n\arg z[2\pi ]$ ;
• $z\in {ℝ}_{+}^{\ast }⟺\arg z\equiv 0$ ; $z\in {ℝ}^{\ast }⟺\arg z\equiv 0[\pi ]$ ; $z\in i{ℝ}^{\ast }⟺\arg z\equiv \frac{\pi }{2}[\pi ]$.

Pour passer de $x+iy$ à $r{e}^{i\theta }$ : $r=\sqrt{x^2+y^2}$, puis $\cos \theta =\frac{x}{r}$ et $\sin \theta =\frac{y}{r}$ (les deux conditions). Exemple : $-1+i=\sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})=\sqrt{2}{e}^{3i\pi \mathrm{/}4}$.

Factorisation par l'angle moitié (outil central) : $$e^{ia}+e^{ib}=e^{i\frac{a+b}{2}}\cdot 2\cos \frac{a-b}{2},e^{ia}-e^{ib}=e^{i\frac{a+b}{2}}\cdot 2i\sin \frac{a-b}{2}\mathrm{.}$$ En particulier $1+e^{i\theta }=2\cos \frac{\theta }{2}{e}^{i\theta \mathrm{/}2}$ et $1-e^{i\theta }=-2i\sin \frac{\theta }{2}{e}^{i\theta \mathrm{/}2}$. Le facteur réel peut être négatif : avant de lire un module ou un argument, étudier son signe selon $\theta$ (si $\cos \frac{\theta }{2}<0$, on écrit $-2\cos \frac{\theta }{2}{e}^{i(\theta \mathrm{/}2+\pi )}$).

Euler : pour $\theta \in ℝ$, $\cos \theta ={\displaystyle \frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$ et $\sin \theta ={\displaystyle \frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}$. Moivre : pour $\theta \in ℝ$ et $n\in \mathbb{Z}$, $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos (n\theta )+i\sin (n\theta )$, c'est-à-dire $(e^{i\theta }{)}^n=e^{in\theta }$ (récurrence pour $n\ge 0$, puis passage à l'inverse pour $n<0$).

Développer $\cos (n\theta )$, $\sin (n\theta )$ en fonction de $c=\cos \theta$ et $s=\sin \theta$ : on écrit $\cos n\theta =\mathrm{Re}((c+is{)}^n)$ et on développe par le binôme, puis on remplace $s^2$ par $1-c^2$. Exemples : $\cos 3\theta =4c^3-3c$, $\sin 3\theta =3s-4s^3$, $\cos 4\theta =8c^4-8c^2+1$.

Sommes trigonométriques. Pour $\theta \equiv ̸0[2\pi ]$, la somme géométrique et l'angle moitié donnent $$\sum _{k=0}^n{e}^{ik\theta }=\frac{e^{i(n+1)\theta }-1}{e^{i\theta }-1}=e^{in\theta \mathrm{/}2}\frac{\sin \frac{(n+1)\theta }{2}}{\sin \frac{\theta }{2}},\sum _{k=0}^n\cos k\theta =\frac{\cos \frac{n\theta }{2}\sin \frac{(n+1)\theta }{2}}{\sin \frac{\theta }{2}}\mathrm{.}$$ Ne pas apprendre la seconde formule : savoir la refaire (partie réelle de la première). Pour $\theta \equiv 0[2\pi ]$, la somme vaut $n+1$.

Linéariser ${\cos }^p\theta {\sin }^q\theta$, c'est l'écrire comme combinaison de $\cos (k\theta )$ et $\sin (k\theta )$ (utile pour les primitives et les équations différentielles, en Analyse). Méthode :

1. remplacer $\cos \theta$ et $\sin \theta$ par les formules d'Euler ;
2. développer avec le binôme (en posant $u=e^{i\theta }$, $\bar{u}=e^{-i\theta }$, $u\bar{u}=1$) ;
3. regrouper les termes conjugués $e^{ik\theta }+e^{-ik\theta }=2\cos k\theta$ et $e^{ik\theta }-e^{-ik\theta }=2i\sin k\theta$.

Exemples : ${\cos }^2\theta =\frac{1+\cos 2\theta }{2}$, ${\sin }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{2}$, ${\cos }^3\theta =\frac{\cos 3\theta +3\cos \theta }{4}$, ${\sin }^3\theta =\frac{3\sin \theta -\sin 3\theta }{4}$. Contrôle rapide : en $\theta =0$, les deux membres doivent coïncider ; un produit qui contient un nombre impair de sinus donne des sinus, sinon des cosinus.

Racines $n$-ièmes de l'unité. Pour $n\ge 1$, l'équation $z^n=1$ a exactement $n$ solutions : $${𝕌}_n=\{z\in ℂ,z^n=1\}=\{{\omega }_k=e^{2ik\pi \mathrm{/}n},k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,n-1]\text{\hspace{0.17em}⁣}]\}=\{1,\omega ,{\omega }^2,\dots ,{\omega }^{n-1}\},\omega =e^{2i\pi \mathrm{/}n}\mathrm{.}$$ (Preuve : $z^n=1$ impose $\mid z\mid =1$ ; avec $z=e^{i\theta }$, $n\theta \equiv 0[2\pi ]$, soit $\theta =\frac{2k\pi }{n}$, et $k$ et $k+n$ donnent le même point.)

• ${𝕌}_2=\{1,-1\}$, ${𝕌}_3=\{1,j,j^2\}$ avec $j=e^{2i\pi \mathrm{/}3}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$, ${𝕌}_4=\{1,i,-1,-i\}$.
• Propriétés de $j$ : $j^3=1$, $1+j+j^2=0$, $\bar{j}=j^2=\frac{1}{j}$.
• $\overline{{\omega }_k}={\omega }_{n-k}$ ; le produit et l'inverse de deux éléments de ${𝕌}_n$ restent dans ${𝕌}_n$ (la structure de groupe est au chapitre Structures algébriques).
• Somme : pour $n\ge 2$, ${\sum }_{k=0}^{n-1}{\omega }^k=\frac{1-{\omega }^n}{1-\omega }=0$. Plus généralement, pour $p\in \mathbb{Z}$, ${\displaystyle \sum _{z\in {𝕌}_n}{z}^p=n}$ si $n\mid p$ et $0$ sinon.
• Géométrie : les points d'affixes ${\omega }_k$ sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité, qui passe par le point d'affixe $1$ (triangle équilatéral pour $n=3$, carré pour $n=4$).

Racines $n$-ièmes d'un complexe non nul. Soit $w=\rho e^{i\phi }$ avec $\rho >0$. Les solutions de $z^n=w$ sont les $n$ nombres $$z_k={\rho }^{1\mathrm{/}n}{e}^{i\frac{\phi +2k\pi }{n}},k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,n-1]\text{\hspace{0.17em}⁣}]\mathrm{.}$$ Si $z_0$ est l'une d'elles, ce sont exactement les $z_0\omega$ avec $\omega \in {𝕌}_n$. Les factorisations de $X^n-1$ et les produits $\prod (1-{\omega }_k)$ sont traités au chapitre Polynômes.

Racines carrées sous forme algébrique. Pour $Z=a+ib\mathrm{\ne }0$, on cherche $z=x+iy$ avec $z^2=Z$. On écrit le système $$x^2-y^2=a,x^2+y^2=\sqrt{a^2+b^2}(\acute{\text{e}}\text{galit}\acute{\text{e}}\text{ des modules}),2xy=b\mathrm{.}$$ Les deux premières équations donnent $x^2$ et $y^2$ ; le signe de $b$ (troisième équation) dit si $x$ et $y$ sont de même signe. On obtient toujours deux racines opposées $\pm \delta$. Exemple : $8+6i$ : $x^2-y^2=8$, $x^2+y^2=10$, $xy>0$, d'où $\pm (3+i)$. Si $Z$ a un argument simple, la forme trigonométrique est plus rapide : les racines carrées de $r{e}^{i\theta }$ sont $\pm \sqrt{r}{e}^{i\theta \mathrm{/}2}$.

Équation $a{z}^2+bz+c=0$ ($a,b,c\in ℂ$, $a\mathrm{\ne }0$). On pose $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ et on choisit $\delta$ tel que ${\delta }^2=\mathrm{\Delta }$.

• Si $\mathrm{\Delta }\mathrm{\ne }0$ : deux solutions distinctes $z_{1,2}={\displaystyle \frac{-b\pm \delta }{2a}}$ ;
• si $\mathrm{\Delta }=0$ : une solution double $-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$.

Il n'y a pas de discussion selon le signe de $\mathrm{\Delta }$ (qui n'a pas de sens si $\mathrm{\Delta }\mathrm{\notin }ℝ$). Dans tous les cas $z_1+z_2=-\frac{b}{a}$ et $z_1{z}_2=\frac{c}{a}$ ; réciproquement, deux nombres de somme $S$ et de produit $P$ sont les racines de $z^2-Sz+P=0$. Si $a,b,c$ sont réels et $\mathrm{\Delta }<0$, les racines sont conjuguées : $\frac{-b\pm i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{2a}$.

Pour $z=x+iy$ ($x,y$ réels), on pose $e^z=e^x{e}^{iy}=e^x(\cos y+i\sin y)$.

• $e^{z+z^{\mathrm{\prime }}}=e^z{e}^{z^{\mathrm{\prime }}}$, $e^z\mathrm{\ne }0$, $\frac{1}{e^z}=e^{-z}$, $(e^z{)}^n=e^{nz}$ pour $n\in \mathbb{Z}$ ;
• $\mid e^z\mid =e^{\mathrm{Re}z}$ et $\mathrm{Im}z$ est un argument de $e^z$ ;
• $e^z=e^{z^{\mathrm{\prime }}}⟺z-z^{\mathrm{\prime }}\in 2i\pi \mathbb{Z}$ (et non $z=z^{\mathrm{\prime }}$ : l'exponentielle complexe n'est pas injective).

Résoudre $e^z=w$. Si $w=0$ : aucune solution. Si $w=\rho e^{i\phi }\mathrm{\ne }0$ : $e^x{e}^{iy}=\rho e^{i\phi }⟺e^x=\rho$ et $y\equiv \phi [2\pi ]$, d'où $$𝒮=\{\ln \rho +i(\phi +2k\pi ),k\in \mathbb{Z}\}\mathrm{.}$$ Exemple : $e^z=-3$ a pour solutions $\ln 3+i(\pi +2k\pi )$, $k\in \mathbb{Z}$. (Dérivée de $t\mapsto e^{at}$ : fiche Fonctions usuelles.)

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct ; le point $M(x,y)$ a pour affixe $z=x+iy$, le vecteur $\vec{u}(x,y)$ aussi.

• $AB=\mid b-a\mid$ ; le milieu de $[AB]$ a pour affixe $\frac{a+b}{2}$.
• Pour $A,B,C$ distincts : $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\equiv \arg {\displaystyle \frac{c-a}{b-a}}[2\pi ]$.
• $A,B,C$ alignés $⟺\frac{c-a}{b-a}\in ℝ$ ; $(AB)\perp (AC)⟺\frac{c-a}{b-a}\in iℝ$.
• L'ensemble $\{M,\mid z-a\mid =r\}$ est le cercle de centre $A$ et de rayon $r$ ; $\{M,\mid z-a\mid =\mid z-b\mid \}$ est la médiatrice de $[AB]$.

Transformations $z\mapsto az+b$ ($a\in {ℂ}^{\ast }$, $b\in ℂ$) :

Pour $a\mathrm{\ne }1$, $z\mapsto az+b$ a un unique point fixe $\omega =\frac{b}{1-a}$ et s'écrit $z^{\mathrm{\prime }}-\omega =a(z-\omega )$ : c'est la composée de la rotation de centre $\mathrm{\Omega }$ d'angle $\arg a$ et de l'homothétie de centre $\mathrm{\Omega }$ de rapport $\mid a\mid$ (une rotation si $\mid a\mid =1$, une homothétie si $a\in ℝ$).

Triangle équilatéral. $ABC$ est équilatéral direct (sommets parcourus dans le sens trigonométrique) si et seulement si $c-a=e^{i\pi \mathrm{/}3}(b-a)$, si et seulement si $a+jb+j^{2}c=0$.

Calculer une somme ${\sum }_{k=p}^n{a}_k$

1. Reconnaître une somme usuelle (arithmétique, géométrique, $\sum k^2$) après linéarité.
2. Chercher un télescopage : écrire $a_k=u_{k+1}-u_k$ (fraction rationnelle décomposée, différence de logarithmes, de factorielles comme $k\cdot k!=(k+1)!-k!$).
3. Faire un changement d'indice pour faire apparaître une somme connue, ou un renversement $k\mapsto n-k$ qui, ajouté à la somme de départ, simplifie.
4. Somme de cosinus ou de sinus : passer par $\mathrm{Re}$ ou $\mathrm{Im}$ d'une somme géométrique d'exponentielles.
5. Présence de $C_n^k$ : binôme, dérivation de $(1+x{)}^n$, formule du pion, ou complexes.
6. Si rien ne marche : conjecturer sur $n=1,2,3$ puis démontrer par récurrence.

Calculer une somme double

Dessiner l'ensemble des couples d'indices ; sommer d'abord sur l'indice qui rend la somme intérieure la plus simple ; pour une somme triangulaire, écrire les bornes de l'indice intérieur en fonction de l'autre.

Mettre un complexe sous forme trigonométrique

Forme algébrique simple : module, puis $\cos \theta$ et $\sin \theta$. Somme ou différence d'exponentielles : angle moitié, puis signe du facteur réel. Produit ou quotient : modules et arguments séparément. Puissance : forme trigonométrique de la base, puis Moivre.

Résoudre une équation dans $ℂ$

• $z^n=w$ : forme trigonométrique de $w$, puis les $n$ racines.
• Équation du second degré : $\mathrm{\Delta }$, racine carrée $\delta$ (algébriquement si l'argument de $\mathrm{\Delta }$ n'est pas simple), formules.
• Équation contenant $\bar{z}$ ou $\mid z\mid$ : poser $z=x+iy$ et identifier, ou passer aux modules d'abord.
• Équation ${\left(\frac{z-a}{z-b}\right)}^n=1$ : poser $Z=\frac{z-a}{z-b}$, chercher $Z\in {𝕌}_n$, revenir à $z$ (en excluant $Z=1$).
• $e^z=w$ : forme trigonométrique de $w$, puis $x=\ln \rho$, $y\equiv \phi [2\pi ]$.

Linéariser ou développer

Linéariser : Euler, binôme, regroupement. Développer $\cos n\theta$ : Moivre, binôme, partie réelle.

1. Bornes et nombre de termes : oublier de changer les bornes lors d'un changement d'indice ; écrire ${\sum }_{k=1}^{n}c=nc$ quand la somme commence à $k=0$ ($n+1$ termes) ; ${\prod }_{k=1}^{n}2=2^n$ et non $2n$.
2. Somme du binôme commencée à $k=1$, ou dérivée de $\sum C_n^k{x}^k$ écrite avec $k=0$ sans précaution : le terme $k=0$ disparaît à la dérivation. Le rapport du jury du concours 2025 signale cette faute.
3. Binôme sans commutativité (pour des matrices : il faut $AB=BA$).
4. Produit de sommes : $(\sum a_k)(\sum b_k)\mathrm{\ne }\sum a_k{b}_k$ ; ${(\sum a_k)}^2\mathrm{\ne }\sum a_k^2$.
5. Interversion d'une somme triangulaire avec les mêmes bornes, comme si elle était rectangulaire.
6. Somme géométrique de raison $1$ : la formule $\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ n'est valable que pour $q\mathrm{\ne }1$ ; pour $q=e^{i\theta }$, traiter à part $\theta \equiv 0[2\pi ]$.
7. Signe du facteur réel dans $1+e^{i\theta }=2\cos \frac{\theta }{2}{e}^{i\theta \mathrm{/}2}$ : le module est $2\mid \cos \frac{\theta }{2}\mid$, pas $2\cos \frac{\theta }{2}$.
8. Argument par la seule tangente : $\tan \theta =\frac{y}{x}$ ne fixe $\theta$ qu'à $\pi$ près ; vérifier le signe de $x$.
9. Ordre dans $ℂ$ : « $z\ge 0$ », « $\mathrm{\Delta }<0$ » pour un $\mathrm{\Delta }$ complexe, $\sqrt{-3-4i}$ (la notation $\sqrt{}$ est réservée aux réels positifs).
10. $e^z=e^{z^{\mathrm{\prime }}}\Rightarrow z=z^{\mathrm{\prime }}$ est faux ; l'oubli de $2ik\pi$ dans les solutions de $e^z=w$ ou de $z^n=w$.
11. Racines $n$-ièmes : donner $n+1$ racines (avec $k=0$ et $k=n$), ou oublier le module ${\rho }^{1\mathrm{/}n}$.
12. Rédaction : « d'après le cours » sans nommer la formule, résultat non encadré, abréviations.

• Coefficients binomiaux notés $C_n^k$ (lire « C n k »), parfois $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)$ dans les sujets récents ; les deux désignent le même nombre.
• Racines $n$-ièmes de l'unité : $U_n$ ou ${𝕌}_n$ ; cercle unité $𝕌$ ; $j=e^{2i\pi \mathrm{/}3}$.
• « Forme trigonométrique » désigne l'écriture $r{e}^{i\theta }$ (on dit aussi forme exponentielle) ; « forme cartésienne » ou « algébrique » l'écriture $x+iy$. Argument principal dans $]-\pi ,\pi ]$.
• Ensembles $ℝ$, $ℂ$, ${\mathbb{N}}^{\ast }$ (parfois IR, IN dans des documents plus anciens) ; intervalles d'entiers $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ ou $\{1,\dots ,n\}$.
• Consignes : « Calculer », « Simplifier », « Linéariser », « Écrire sous forme trigonométrique », « Résoudre dans $ℂ$ », « Répondre par vrai ou faux en justifiant » (fréquent au devoir de contrôle), « Interpréter géométriquement ».
• Barème affiché par exercice (« Exercice 2 (06 pts) ») ; devoir de contrôle de 1 h à 1 h 30, calculatrice et téléphone interdits : toutes les valeurs (cosinus, tangentes, racines) se calculent exactement à la main.