Une équation différentielle linéaire du premier ordre (EDL d'ordre 1) sous forme normalisée (on dit aussi « résolue ») s'écrit $$(E)y^{\mathrm{\prime }}+a(x)y=b(x),a,b:I\to 𝕂\text{ continues}\mathrm{.}$$

• On appelle solution de $(E)$ sur $I$ toute application dérivable $y:I\to 𝕂$ telle que $y^{\mathrm{\prime }}(x)+a(x)y(x)=b(x)$ pour tout $x\in I$.
• $b$ est le second membre ; l'équation homogène associée (ou « sans second membre ») est $(H):y^{\mathrm{\prime }}+a(x)y=0$.
• Résoudre (ou intégrer) $(E)$ sur $I$, c'est décrire l'ensemble ${𝒮}_E$ de toutes ses solutions sur $I$ : la solution générale. Une solution donnée est une solution particulière. Le graphe d'une solution s'appelle une courbe intégrale.

Une équation $\alpha (x)y^{\mathrm{\prime }}+\beta (x)y=\gamma (x)$ est dite non normalisée : on ne peut la diviser par $\alpha (x)$ que sur un intervalle où $\alpha$ ne s'annule pas (§7).

Une EDL du second ordre à coefficients constants s'écrit $$(E_2)y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{y}^{\mathrm{\prime }}+by=f(x),a,b\in 𝕂\text{ constantes},f:I\to 𝕂\text{ continue}\mathrm{.}$$ Ses solutions sont les applications deux fois dérivables sur $I$ qui satisfont l'égalité en chaque point de $I$. Si l'équation est écrite $\alpha y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+\beta y^{\mathrm{\prime }}+\gamma y=f$ avec $\alpha \mathrm{\ne }0$, on divise d'abord par $\alpha$.

Le mot « linéaire ». L'application $L:y\mapsto y^{\mathrm{\prime }}+ay$ (ou $y\mapsto y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{y}^{\mathrm{\prime }}+by$) vérifie $L(\lambda y+\mu z)=\lambda L(y)+\mu L(z)$. Une équation comme $y^{\mathrm{\prime }}=y^2$ ou $y^{\mathrm{\prime }}+\sin y=0$ n'est pas linéaire : rien de ce qui suit ne s'y applique directement.

Théorème (structure). Hypothèses : $L$ est l'un des deux opérateurs ci-dessus ; $y_p$ est une solution de $L(y)=b$ sur $I$. Conclusion :

• les solutions de l'équation homogène forment un ensemble ${𝒮}_H$ qui contient $0$ et qu'une combinaison linéaire ne fait pas quitter ;
• $y$ est solution de $L(y)=b$ si et seulement si $y-y_p$ est solution de l'équation homogène : $${𝒮}_E=\{y_p+h:h\in {𝒮}_H\}\mathrm{.}$$

Preuve : par linéarité, $L(y)=b=L(y_p)⟺L(y-y_p)=0$.

Solution générale = une solution particulière + solution générale de l'équation homogène. D'où le plan de résolution, toujours le même : (1) équation homogène ; (2) une solution particulière ; (3) conclusion.

Principe de superposition. Hypothèses : $L(y_1)=b_1$ et $L(y_2)=b_2$ sur $I$ ; ${\lambda }_1,{\lambda }_2\in 𝕂$. Conclusion : $L({\lambda }_1{y}_1+{\lambda }_2{y}_2)={\lambda }_1{b}_1+{\lambda }_2{b}_2$. On découpe donc un second membre compliqué en morceaux simples, on traite chaque morceau, puis on additionne.

Équation réelle, solutions complexes. Si les coefficients sont réels et que $y$ est une solution complexe de $L(y)=b_1+i{b}_2$ ($b_1,b_2$ réels), alors $\mathrm{Re}y$ est solution de $L(y)=b_1$ et $\mathrm{Im}y$ de $L(y)=b_2$ (car $L(\mathrm{Re}y)=\mathrm{Re}L(y)$ lorsque $L$ est à coefficients réels). C'est la clé des seconds membres trigonométriques (§6 et §11).

Théorème. Hypothèses : $a:I\to 𝕂$ continue ; $A$ une primitive de $a$ sur $I$ (elle existe car $a$ est continue sur un intervalle). Conclusion : les solutions sur $I$ de $(H)y^{\mathrm{\prime }}+a(x)y=0$ sont exactement les fonctions $$x⟼\lambda e^{-A(x)},\lambda \in 𝕂\mathrm{.}$$

Preuve (à savoir refaire). Pour $y$ dérivable sur $I$, posons $z(x)=y(x)e^{A(x)}$. Alors $z^{\mathrm{\prime }}=(y^{\mathrm{\prime }}+ay)e^A$. Donc $y$ est solution de $(H)$ $⟺$ $z^{\mathrm{\prime }}=0$ sur $I$ $⟺$ $z$ est constante sur l'intervalle $I$ $⟺$ $y=\lambda e^{-A}$.

Conséquence importante. Une solution de $(H)$ qui s'annule en un point de $I$ est la fonction nulle (car $e^{-A}$ ne s'annule jamais). Autrement dit, une solution non nulle de $(H)$ ne s'annule pas sur $I$ et, si elle est réelle, garde un signe constant.

Pratique (pour éviter les fautes de signe). On écrit $y^{\mathrm{\prime }}=-a(x)y$, on cherche une primitive $-A$ du facteur de $y$, et l'on conclut $y=\lambda e^{-A}$.

Exemples.

• $y^{\mathrm{\prime }}+3x^{2}y=0$ sur $ℝ$ : $y^{\mathrm{\prime }}=-3x^{2}y$, une primitive de $-3x^2$ est $-x^3$, donc $\boxed{{\displaystyle y=\lambda e^{-x^3}}}$.
• $x{y}^{\mathrm{\prime }}-3y=0$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ : $y^{\mathrm{\prime }}=\frac{3}{x}y$, une primitive de $\frac{3}{x}$ est $3\ln x$, donc $y=\lambda e^{3\ln x}=\lambda x^3$.
• Sur $]-\mathrm{\infty },0[$, une primitive de $\frac{1}{x}$ est $\ln \mid x\mid$ : la solution de $y^{\mathrm{\prime }}=-\frac{1}{x}y$ s'écrit $\frac{\lambda }{\mid x\mid }$, c'est-à-dire $\frac{\mu }{x}$ en changeant $\lambda$ en $-\mu$. Écrire $\ln \mid x\mid$ puis simplifier la valeur absolue en jouant sur la constante.

Solution évidente. Toujours regarder d'abord si une constante, un polynôme de bas degré ou une fonction proche du second membre convient. Exemple : $y^{\mathrm{\prime }}+2xy=2x$ admet la solution constante $1$.

Variation de la constante : la méthode. On garde la forme $\lambda e^{-A}$ de la solution homogène, mais on remplace la constante par une fonction dérivable $\lambda (x)$. Pour $y=\lambda e^{-A}$ : $$y^{\mathrm{\prime }}+ay={\lambda }^{\mathrm{\prime }}{e}^{-A}-a\lambda e^{-A}+a\lambda e^{-A}={\lambda }^{\mathrm{\prime }}(x)e^{-A(x)}\mathrm{.}$$ Les termes en $\lambda$ se simplifient toujours (c'est un bon contrôle du calcul). Donc $$y=\lambda e^{-A}\text{ est solution de }(E)⟺{\lambda }^{\mathrm{\prime }}(x)=b(x)e^{A(x)}\mathrm{.}$$ On choisit une primitive $\lambda$ de $b{e}^A$ : on obtient une solution particulière. Si l'on garde la constante d'intégration, on obtient directement la solution générale : $$y(x)=(C+\mathrm{\Lambda }(x))e^{-A(x)},\mathrm{\Lambda }\text{ primitive de }b{e}^A,C\in 𝕂\mathrm{.}$$

Exemple. Sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, $y^{\mathrm{\prime }}+\frac{1}{x}y=e^x$. Homogène : $y=\frac{\lambda }{x}$. Variation : $\frac{{\lambda }^{\mathrm{\prime }}(x)}{x}=e^x$, soit ${\lambda }^{\mathrm{\prime }}(x)=x{e}^x$ ; par parties, $\lambda (x)=(x-1)e^x$. Solution générale : $\boxed{{\displaystyle y(x)={\displaystyle \frac{(x-1)e^x+C}{x}},C\in ℝ}}$.

Toute la difficulté est reportée sur le calcul d'une primitive : c'est pourquoi les devoirs commencent souvent par une question « Calculer $F(x)=\int \dots$ » qui sert ensuite dans la variation de la constante.

Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire (ordre 1). Hypothèses : $a,b:I\to 𝕂$ continues sur l'intervalle $I$ ; $x_0\in I$ ; $y_0\in 𝕂$. Conclusion : l'équation $y^{\mathrm{\prime }}+a(x)y=b(x)$ possède sur $I$ exactement une solution $y$ vérifiant $y(x_0)=y_0$. Elle s'écrit, avec $A(x)={\int }_{x_0}^{x}a(t)dt$ : $$y(x)=e^{-A(x)}(y_0+{\int }_{x_0}^{x}b(t)e^{A(t)}dt)\mathrm{.}$$

Preuve. D'après §3-§4, les solutions sont les $(C+\mathrm{\Lambda })e^{-A}$ ; en prenant les primitives nulles en $x_0$, la condition $y(x_0)=y_0$ s'écrit $C=y_0$ : une seule valeur possible.

Conséquences à connaître.

• Deux solutions de $(E)$ qui coïncident en un point sont égales sur $I$ : deux courbes intégrales distinctes ne se coupent jamais.
• Pour une équation réelle, si deux solutions vérifient $y_1(x_0)<y_2(x_0)$, alors $y_1<y_2$ sur tout $I$ (la différence est une solution de $(H)$ qui ne s'annule pas).
• Symétries. Si $y$ est solution, on vérifie parfois que $x\mapsto -y(-x)$, $x\mapsto y(-x)$ ou $x\mapsto y(x+T)$ l'est aussi ; l'unicité du problème de Cauchy permet alors de conclure à l'imparité, à la parité ou à la périodicité d'une solution (on compare les deux solutions en un seul point).

Pour $y^{\mathrm{\prime }}+ay=b(x)$ avec $a\in 𝕂$ constant, l'équation homogène donne $y=\lambda e^{-ax}$, et l'on cherche une solution particulière « de la forme du second membre ».

Justification. Avec $y=Q(x)e^{mx}$ : $y^{\mathrm{\prime }}+ay=(Q^{\mathrm{\prime }}+(m+a)Q)e^{mx}$. Si $m+a\mathrm{\ne }0$, l'équation $Q^{\mathrm{\prime }}+(m+a)Q=P$ se résout par identification avec $\mathrm{deg}Q=\mathrm{deg}P$ ; si $m+a=0$, il reste $Q^{\mathrm{\prime }}=P$.

Exemples (sur $ℝ$, équation $y^{\mathrm{\prime }}+2y=b(x)$, homogène $\lambda e^{-2x}$).

• $b(x)=3e^x$ : $Q=c$ constante, $3c=3$, d'où $y_p=e^x$.
• $b(x)=x{e}^{-2x}$ : ici $m=-2=-a$, donc $Q^{\mathrm{\prime }}=x$ et $y_p=\frac{x^2}{2}{e}^{-2x}$.
• $b(x)=\cos x$ : on résout $y^{\mathrm{\prime }}+2y=e^{ix}$ avec $y=c{e}^{ix}$, soit $c(i+2)=1$, $c=\frac{2-i}{5}$ ; puis $y_p=\mathrm{Re}\left(\frac{2-i}{5}{e}^{ix}\right)=\frac{2\cos x+\sin x}{5}$.

Soit $(E)\alpha (x)y^{\mathrm{\prime }}+\beta (x)y=\gamma (x)$ sur $I$, avec $\alpha ,\beta ,\gamma$ continues, et supposons que $\alpha$ s'annule en un seul point $x_0$ intérieur à $I$. Sur $I_1=I\cap ]-\mathrm{\infty },x_0[$ et sur $I_2=I\cap ]x_0,+\mathrm{\infty }[$, on peut diviser par $\alpha$ : on résout l'équation normalisée sur chacun de ces intervalles (§3 à §6). Il reste à savoir quelles solutions se recollent en une solution sur $I$ tout entier.

Méthode du raccordement (analyse puis synthèse).

1. Analyse. Soit $y$ une solution sur $I$. Ses restrictions à $I_1$ et $I_2$ sont solutions de l'équation normalisée, donc $y=y_1$ sur $I_1$ et $y=y_2$ sur $I_2$, avec chacune sa propre constante $C_1$, $C_2$.
2. Valeur en $x_0$. L'équation écrite au point $x_0$ donne $\beta (x_0)y(x_0)=\gamma (x_0)$ (puisque $\alpha (x_0)=0$).
3. Continuité en $x_0$ ($y$ dérivable donc continue) : $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }{y}_1(x)$ et $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }{y}_2(x)$ doivent exister, être finies et valoir $y(x_0)$. Cela impose souvent des conditions sur $C_1$, $C_2$.
4. Dérivabilité en $x_0$ : on étudie le taux d'accroissement $\frac{y(x)-y(x_0)}{x-x_0}$ à gauche et à droite ; les deux limites doivent être finies et égales.
5. Synthèse. On vérifie que les fonctions retenues sont bien dérivables sur $I$ et vérifient l'équation aussi au point $x_0$.

Selon l'équation, on peut trouver : aucune solution sur $I$, une seule, une infinité dépendant d'un paramètre, ou même de deux paramètres. En particulier, le théorème de Cauchy ne s'applique pas à une équation non normalisée au point $x_0$.

Exemple. $2x{y}^{\mathrm{\prime }}-y=0$ sur $ℝ$. Sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ : $y^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{2x}y$, donc $y=C_2\sqrt{x}$ ; sur $]-\mathrm{\infty },0[$ : $y=C_1\sqrt{-x}$. Le point 2 donne $y(0)=0$, la continuité est automatique. À droite, $\frac{y(x)-y(0)}{x}=\frac{C_2}{\sqrt{x}}$ n'a une limite finie que si $C_2=0$ ; de même $C_1=0$ à gauche. Synthèse : la fonction nulle convient. Seule la fonction nulle est solution sur $ℝ$ ; en particulier aucune solution ne vérifie $y(0)=1$.

Plus tard. Au chapitre « Dérivabilité », le théorème du prolongement dérivable (§9) remplacera souvent l'étude du taux d'accroissement au point 4.

On considère $(H_2)y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{y}^{\mathrm{\prime }}+by=0$ avec $a,b\in 𝕂$. Pour $r\in ℂ$, $(e^{rx}{)}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a(e^{rx}{)}^{\mathrm{\prime }}+b{e}^{rx}=(r^2+ar+b)e^{rx}$ ; d'où l'équation caractéristique $$(EC)r^2+ar+b=0,\mathrm{\Delta }=a^2-4b\mathrm{.}$$ $x\mapsto e^{rx}$ est solution de $(H_2)$ si et seulement si $r$ est racine de $(EC)$.

Théorème (solutions complexes, $a,b\in ℂ$).

• $\mathrm{\Delta }\mathrm{\ne }0$, deux racines distinctes $r_1\mathrm{\ne }{r}_2$ : $y=\lambda e^{r_{1}x}+\mu e^{r_{2}x}$, $(\lambda ,\mu )\in {ℂ}^2$.
• $\mathrm{\Delta }=0$, racine double $r_0=-\frac{a}{2}$ : $y=(\lambda x+\mu )e^{r_{0}x}$, $(\lambda ,\mu )\in {ℂ}^2$.

Théorème (solutions réelles, $a,b\in ℝ$).

• $\mathrm{\Delta }>0$, racines réelles $r_1\mathrm{\ne }{r}_2$ : $y=\lambda e^{r_{1}x}+\mu e^{r_{2}x}$, $(\lambda ,\mu )\in {ℝ}^2$.
• $\mathrm{\Delta }=0$, racine double réelle $r_0$ : $y=(\lambda x+\mu )e^{r_{0}x}$, $(\lambda ,\mu )\in {ℝ}^2$.
• $\mathrm{\Delta }<0$, racines $\alpha \pm i\omega$ ($\omega >0$) : $y=e^{\alpha x}(\lambda \cos (\omega x)+\mu \sin (\omega x))$, $(\lambda ,\mu )\in {ℝ}^2$.

Idée de la preuve (le calcul est un classique de devoir). Soit $r_1$ une racine et $y=z{e}^{r_{1}x}$. Comme $r_1^2+a{r}_1+b=0$ et $2r_1+a=r_1-r_2$ (car $r_1+r_2=-a$), on obtient $$y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{y}^{\mathrm{\prime }}+by=(z^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+(r_1-r_2)z^{\mathrm{\prime }})e^{r_{1}x}\mathrm{.}$$ Donc $y$ est solution $⟺$ $z^{\mathrm{\prime }}$ est solution de l'EDL d'ordre 1 $u^{\mathrm{\prime }}+(r_1-r_2)u=0$ : $z^{\mathrm{\prime }}=k{e}^{(r_2-r_1)x}$, puis on intègre ($z=\lambda +\mu e^{(r_2-r_1)x}$ si $r_1\mathrm{\ne }{r}_2$, $z=\lambda x+\mu$ si $r_1=r_2$). Pour le cas réel avec $\mathrm{\Delta }<0$, on prend les parties réelles des solutions complexes : $\mathrm{Re}(e^{(\alpha +i\omega )x})=e^{\alpha x}\cos \omega x$ et $\mathrm{Im}(e^{(\alpha +i\omega )x})=e^{\alpha x}\sin \omega x$ sont solutions réelles, et toute solution réelle est combinaison réelle de ces deux-là.

Exemples.

• $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+2y^{\mathrm{\prime }}-3y=0$ : $r^2+2r-3=(r-1)(r+3)$, donc $y=\lambda e^x+\mu e^{-3x}$.
• $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-6y^{\mathrm{\prime }}+9y=0$ : racine double $3$, donc $y=(\lambda x+\mu )e^{3x}$.
• $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+2y^{\mathrm{\prime }}+10y=0$ : $\mathrm{\Delta }=-36$, racines $-1\pm 3i$, donc $y=e^{-x}(\lambda \cos 3x+\mu \sin 3x)$.
• $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+{\omega }^{2}y=0$ ($\omega >0$) : $y=\lambda \cos \omega x+\mu \sin \omega x$ ; $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-{\omega }^{2}y=0$ : $y=\lambda \mathrm{ch}\omega x+\mu \mathrm{sh}\omega x$ (forme équivalente à ${\lambda }^{\mathrm{\prime }}{e}^{\omega x}+{\mu }^{\mathrm{\prime }}{e}^{-\omega x}$, souvent plus commode pour les conditions en $0$).
• Coefficients complexes : $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-2i{y}^{\mathrm{\prime }}-y=0$, $(EC)(r-i{)}^2=0$, donc $y=(\lambda x+\mu )e^{ix}$ avec $\lambda ,\mu \in ℂ$.

Forme amplitude-phase (utile en physique) : si $\mathrm{\Delta }<0$, $\lambda \cos \omega x+\mu \sin \omega x=R\cos (\omega x-\phi )$ avec $R=\sqrt{{\lambda }^2+{\mu }^2}$.

Théorème. Hypothèses : $a,b\in 𝕂$ ; $f:I\to 𝕂$ continue ; $x_0\in I$ ; $(y_0,y_1)\in {𝕂}^2$. Conclusion : l'équation $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{y}^{\mathrm{\prime }}+by=f(x)$ possède sur $I$ exactement une solution vérifiant $y(x_0)=y_0$ et $y^{\mathrm{\prime }}(x_0)=y_1$.

Deux conditions, portant sur $y$ et $y^{\mathrm{\prime }}$ au même point. Avec deux conditions en deux points différents (« conditions aux limites »), il peut n'y avoir aucune solution ou une infinité : $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+y=0$, $y(0)=0$, $y(\pi )=0$ a pour solutions toutes les fonctions $\mu \sin x$.

Réduction à deux équations du premier ordre (preuve du théorème et méthode de secours). Soient $r_1,r_2$ les racines de $(EC)$ (éventuellement égales). On a $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{y}^{\mathrm{\prime }}+by=(y^{\mathrm{\prime }}-r_{1}y{)}^{\mathrm{\prime }}-r_2(y^{\mathrm{\prime }}-r_{1}y)$. En posant $u=y^{\mathrm{\prime }}-r_{1}y$ : $$y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{y}^{\mathrm{\prime }}+by=f⟺\{\begin{array}{l}{u}^{\mathrm{\prime }}-r_{2}u=f\\ y^{\mathrm{\prime }}-r_{1}y=u\mathrm{.}\end{array}$$ On résout la première équation (ordre 1, §3-§5), puis la seconde. Chaque étape a une solution unique pour une condition initiale donnée ($u(x_0)=y_1-r_1{y}_0$, puis $y(x_0)=y_0$), ce qui prouve le théorème ; et la méthode fonctionne pour tout second membre continu, même quand les formes des §10-§11 ne s'appliquent pas.

En pratique : on écrit la solution générale $y_p+\lambda y_1+\mu y_2$ d'abord, puis on impose les conditions initiales à cette expression complète (jamais à la seule solution homogène).

Théorème. Hypothèses : $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{y}^{\mathrm{\prime }}+by=P(x)e^{mx}$ sur $ℝ$, avec $a,b,m\in 𝕂$ et $P$ polynôme de degré $n$. Conclusion : l'équation admet une solution particulière de la forme $$y_p(x)=x^{k}Q(x)e^{mx},\mathrm{deg}Q=n,$$ où $k=0$ lorsque $(EC)$ n'admet pas $m$ pour racine, $k=1$ si $m$ est racine simple, $k=2$ si $m$ est racine double.

Pourquoi. Pour $y=z{e}^{mx}$ : $$y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{y}^{\mathrm{\prime }}+by=(z^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+(2m+a)z^{\mathrm{\prime }}+(m^2+am+b)z)e^{mx}\mathrm{.}$$ On cherche donc un polynôme $z$ avec $z^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+(2m+a)z^{\mathrm{\prime }}+(m^2+am+b)z=P$ : de degré $n$ si $m^2+am+b\mathrm{\ne }0$ ; si $m$ est racine simple ($m^2+am+b=0$, $2m+a\mathrm{\ne }0$), $z^{\mathrm{\prime }}$ de degré $n$ donc $z$ de degré $n+1$, et l'on peut prendre $z$ sans terme constant, d'où le facteur $x$ ; si $m$ est racine double, il reste $z^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=P$. Retenir la formule encadrée de $z$ : elle évite de dériver deux fois un produit à chaque exercice.

Cas particulier $m=0$ : second membre polynôme ; $k=0$ si $b\mathrm{\ne }0$, $k=1$ si $b=0$ et $a\mathrm{\ne }0$, $k=2$ si $a=b=0$.

Exemples (avec $(EC)r^2+2r-3=0$, racines $1$ et $-3$).

• $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+2y^{\mathrm{\prime }}-3y=6x+1$ : $y_p=\alpha x+\beta$, $2\alpha -3(\alpha x+\beta )=6x+1$ donne $\alpha =-2$, $\beta =-\frac{5}{3}$.
• $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+2y^{\mathrm{\prime }}-3y=8e^x$ : $m=1$ racine simple, $z^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+4z^{\mathrm{\prime }}=8$, $z=2x$, d'où $y_p=2x{e}^x$.
• $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-6y^{\mathrm{\prime }}+9y=e^{3x}$ : $m=3$ racine double, $z^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=1$, $y_p=\frac{x^2}{2}{e}^{3x}$.

Pour une équation à coefficients réels et un second membre $e^{\alpha x}(P(x)\cos \beta x+R(x)\sin \beta x)$ :

Méthode complexe (recommandée). On écrit $\cos \beta x=\mathrm{Re}(e^{i\beta x})$, $\sin \beta x=\mathrm{Im}(e^{i\beta x})$. On résout avec le second membre complexe $P(x)e^{(\alpha +i\beta )x}$ (§10, avec $m=\alpha +i\beta$), puis on prend la partie réelle (pour un cosinus) ou imaginaire (pour un sinus) de la solution trouvée (§2).

Méthode réelle (équivalente). On cherche $y_p=x^k{e}^{\alpha x}(U(x)\cos \beta x+V(x)\sin \beta x)$ avec $U,V$ de degré $\le \max (\mathrm{deg}P,\mathrm{deg}R)$, et $k$ la multiplicité de $\alpha +i\beta$ comme racine de $(EC)$ ($k\in \{0,1\}$ puisque $\beta \mathrm{\ne }0$).

Exemples.

• $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+4y=\sin x$ : $i$ n'est pas racine de $r^2+4$, on essaie $c\sin x$ : $-c+4c=1$, $y_p=\frac{1}{3}\sin x$.
• $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+4y=\cos 2x$ (résonance : $2i$ est racine) : $y=z{e}^{2ix}$ donne $z^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+4i{z}^{\mathrm{\prime }}=1$, $z=-\frac{i}{4}x$, et $y_p=\mathrm{Re}(-\frac{i}{4}x{e}^{2ix})=\frac{x}{4}\sin 2x$. Cette solution n'est pas bornée sur $ℝ$.
• $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+2y^{\mathrm{\prime }}+2y=e^x\cos x$ : $m=1+i$, $m^2+2m+2=4+4i\mathrm{\ne }0$, donc $y_p=\mathrm{Re}\left({\displaystyle \frac{e^{(1+i)x}}{4+4i}}\right)={\displaystyle \frac{e^x(\cos x+\sin x)}{8}}$.

Linéariser d'abord. Un second membre comme ${\cos }^{2}x$, $\sin x\cos 3x$ ou $\mathrm{ch}x$ se réécrit en somme d'exponentielles ou de $\cos$, $\sin$ simples (fiche Calculs algébriques et complexes §8), puis on applique le principe de superposition.

Une équation qui n'est pas à coefficients constants se ramène souvent à une équation connue. L'énoncé indique le changement ; il faut savoir mener le calcul proprement et justifier l'équivalence (« $y$ solution de $(E)$ $⟺$ $z$ solution de $(F)$ »).

Changement de variable $x=\phi (t)$

On pose $z(t)=y(\phi (t))$ où $\phi$ est une bijection de classe $C^2$ d'un intervalle $J$ sur $I$, de réciproque dérivable. Alors $y=z\circ {\phi }^{-1}$ est deux fois dérivable si et seulement si $z$ l'est. On exprime $y^{\mathrm{\prime }}$ et $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ à l'aide de $z^{\mathrm{\prime }}$, $z^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ (ou l'inverse) et on substitue.

Calcul type (Euler). $z(t)=y(e^t)$ donne $z^{\mathrm{\prime }}(t)=e^t{y}^{\mathrm{\prime }}(e^t)$ et $z^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=e^t{y}^{\mathrm{\prime }}(e^t)+e^{2t}{y}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(e^t)$. Avec $x=e^t$ : $x{y}^{\mathrm{\prime }}(x)=z^{\mathrm{\prime }}(t)$ et $x^2{y}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=z^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)-z^{\mathrm{\prime }}(t)$. Exemple : $x^2{y}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-x{y}^{\mathrm{\prime }}-3y=0$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ devient $z^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-2z^{\mathrm{\prime }}-3z=0$, d'où $z=\lambda e^{3t}+\mu e^{-t}$ et, en revenant à $x$ ($t=\ln x$), $\boxed{{\displaystyle y=\lambda x^3+{\displaystyle \frac{\mu }{x}}}}$.

Raccordement en $0$. Une équation d'Euler se résout séparément sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ et $]-\mathrm{\infty },0[$ ; pour les solutions sur $ℝ$, on raccorde (§7) en exigeant que $y$ soit deux fois dérivable en $0$.

Changement de fonction $y=uz$

• Une solution $u$ de l'équation homogène est connue (et ne s'annule pas) : on pose $y=uz$. Pour une équation du second ordre, les termes en $z$ disparaissent et il reste une équation du premier ordre en $z^{\mathrm{\prime }}$ (comme dans la preuve du §8). On résout en $z^{\mathrm{\prime }}$, puis on intègre.
• Facteur intégrant visible : si $(uy{)}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ ou $(uy{)}^{\mathrm{\prime }}$ apparaît dans l'équation, poser $z=uy$. Exemple : $((1+x^2)y{)}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=(1+x^2)y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+4x{y}^{\mathrm{\prime }}+2y$.
• Fonction auxiliaire $z=x{y}^{\mathrm{\prime }}-y$, $z=y^{\mathrm{\prime }}-ry$ : elle transforme une équation du second ordre en un système de deux équations du premier ordre (voir §9).

Changement de fonction non linéaire (équations hors du cadre linéaire)

• Bernoulli : $y^{\mathrm{\prime }}+a(x)y=b(x)y^n$ ($n\mathrm{\ne }0,1$). Sur un intervalle où $y$ ne s'annule pas (et, si besoin, reste positive), $z=y^{1-n}$ vérifie l'EDL $z^{\mathrm{\prime }}+(1-n)a(x)z=(1-n)b(x)$.
• Riccati : $y^{\mathrm{\prime }}=a(x)y^2+b(x)y+c(x)$. Si une solution $y_0$ est connue, $u=y-y_0$ vérifie une équation de Bernoulli avec $n=2$ (puis $z=\frac{1}{u}$ donne une EDL). Ces équations ne sont pas linéaires : le principe de superposition et la structure du §2 ne s'y appliquent pas.

Beaucoup d'exercices de devoir demandent « toutes les fonctions $f$ telles que… » ; on se ramène à une EDL.

Équation intégrale. Si $f$ est continue et $f(x)=g(x)+{\int }_0^{x}k(t)f(t)dt$ avec $g$ dérivable et $k$ continue, alors le second membre est dérivable (une fonction continue a une primitive), donc $f$ l'est : $f^{\mathrm{\prime }}=g^{\mathrm{\prime }}+kf$ et $f(0)=g(0)$. On résout ce problème de Cauchy, puis on vérifie que la fonction trouvée satisfait l'équation de départ. Pour une intégrale du type ${\int }_0^x(x-t)f(t)dt=x{\int }_0^{x}f-{\int }_0^{x}tf(t)dt$, on développe avant de dériver : sa dérivée est ${\int }_0^{x}f$, sa dérivée seconde est $f$.

Équation fonctionnelle. Exemple type : $f$ dérivable sur $ℝ$ avec $f(x+t)=f(x)f(t)$ pour tous $x,t$. On fixe $x$ et l'on dérive par rapport à $t$, puis on prend $t=0$ : $f^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)f^{\mathrm{\prime }}(0)$. Donc $f=C{e}^{kx}$ avec $k=f^{\mathrm{\prime }}(0)$, et la relation en $x=t=0$ impose $C=C^2$. Synthèse : $f=0$ ou $f=e^{kx}$, $k\in ℝ$.

Relation entre $f^{\mathrm{\prime }}$ et $f$ en un autre point (par exemple $f^{\mathrm{\prime }}(x)=f(-x)$). On dérive une deuxième fois et l'on réutilise la relation : on obtient une EDL du second ordre ; mais toutes ses solutions ne conviennent pas, il faut reporter dans la relation de départ pour trouver les contraintes sur les constantes.

Dans ces trois situations, le raisonnement est une analyse-synthèse : les conditions trouvées sont nécessaires ; la vérification finale les rend suffisantes.

Résoudre une EDL d'ordre 1

1. Préciser l'intervalle et, si besoin, normaliser (diviser par le coefficient de $y^{\mathrm{\prime }}$ là où il ne s'annule pas).
2. Équation homogène : $y^{\mathrm{\prime }}=-a(x)y$, primitive de $-a$, $y=\lambda e^{-A}$.
3. Solution particulière : évidente, sinon forme du second membre (coefficient constant, §6), sinon variation de la constante.
4. Conclure par ${𝒮}_E=\{y_p+\lambda e^{-A},\lambda \in 𝕂\}$ ; condition initiale en dernier.
5. Vérifier la solution particulière en la remplaçant dans l'équation (rapide, et cela évite de perdre tous les points).

Résoudre $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{y}^{\mathrm{\prime }}+by=f(x)$

1. Équation caractéristique, discriminant, racines ; écrire la solution homogène (réelle si l'énoncé est réel).
2. Découper $f$ (superposition), linéariser si besoin.
3. Pour chaque morceau $P(x)e^{mx}$ : comparer $m$ aux racines (0, 1 ou 2 fois racine) ; poser $y=z{e}^{mx}$ et utiliser $z^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+(2m+a)z^{\mathrm{\prime }}+(m^2+am+b)z=P$.
4. Pour un $\cos$ ou un $\sin$ : passer par $e^{i\beta x}$, puis partie réelle ou imaginaire.
5. Second membre « exotique » ($\frac{1}{1+e^x}$, $\frac{1}{\cos x}$…) : réduction à deux équations d'ordre 1 (§9).
6. Conditions initiales sur la solution générale.

Trouver les solutions sur un intervalle où le coefficient dominant s'annule

Résoudre de chaque côté avec deux constantes distinctes, puis : valeur imposée au point, continuité, dérivabilité (taux d'accroissement), synthèse (§7). Répondre clairement à la question posée : nombre de solutions, existence pour une condition initiale.

Mener un changement de variable imposé

1. Justifier la régularité (bijection $C^2$, réciproque dérivable) ; écrire $y$ en fonction de $z$ ou l'inverse.
2. Calculer $y^{\mathrm{\prime }}$, $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ soigneusement (dérivée d'une composée) et substituer.
3. Rédiger l'équivalence, résoudre l'équation en $z$, revenir à la variable $x$.

Montrer une propriété d'une solution sans la calculer

Parité, imparité, périodicité : montrer que la fonction transformée est encore solution, puis invoquer l'unicité du problème de Cauchy en un point bien choisi. Signe : une solution non nulle de $(H)$ ne s'annule pas.

1. Oublier l'intervalle, ou diviser par $\alpha (x)$ sans vérifier qu'il ne s'annule pas. Les résultats du cours supposent un intervalle : sur ${ℝ}^{\ast }$, les constantes peuvent être différentes de chaque côté.
2. Erreur de signe dans $e^{-A}$ : la solution de $y^{\mathrm{\prime }}+ay=0$ est $e^{-A}$, celle de $y^{\mathrm{\prime }}=ay$ est $e^A$. Revenir à l'écriture $y^{\mathrm{\prime }}=(\dots )y$ avant d'intégrer.
3. Valeur absolue perdue : une primitive de $\frac{1}{x}$ est $\ln \mid x\mid$ ; on la supprime ensuite en le disant (changement de constante).
4. Oublier la constante d'intégration après la variation de la constante… ou l'écrire deux fois.
5. Imposer la condition initiale à la solution homogène au lieu de la solution générale complète.
6. Résonance ignorée : chercher $c{e}^{mx}$ alors que $m$ est racine de $(EC)$ (le calcul aboutit à « $0=1$ ») ; il faut multiplier par $x$ (racine simple) ou $x^2$ (racine double).
7. Solutions complexes données à une équation réelle qui demande des solutions réelles, ou constantes $\lambda ,\mu$ complexes laissées dans une réponse réelle.
8. Prendre la partie réelle d'une solution d'une équation à coefficients complexes : la méthode du §2 exige des coefficients réels.
9. Raccordement incomplet : oublier l'équation au point singulier, la dérivabilité, ou la synthèse finale ; ou invoquer le théorème de Cauchy en un point où le coefficient de $y^{\mathrm{\prime }}$ s'annule.
10. Changement de variable : confondre $z^{\mathrm{\prime }}(t)$ et $y^{\mathrm{\prime }}(x)$, oublier le facteur venant de la dérivée de la composée, ou ne pas revenir à $x$ à la fin.
11. Appliquer la superposition à une équation non linéaire (Bernoulli, Riccati).
12. Rédaction : « d'après le cours » sans nommer le théorème ; solution non encadrée ; pas de phrase de conclusion donnant ${𝒮}_E$ et l'intervalle.

• L'équation est nommée entre parenthèses : $(E)$, $(E_m)$, $(F)$ ; l'équation homogène $(H)$ ou $(E_0)$, dite aussi « équation sans second membre » ; l'équation caractéristique est parfois notée $(EC)$.
• « Résoudre $(E)$ sur $I$ », « Déterminer la solution générale de $(E)$ », « Trouver l'unique solution de $(E)$ vérifiant $y(0)=\dots$ », « Montrer que l'on a : $y$ solution de $(E)$ $⟺$ $z$ solution de $(F)$ », « Y a-t-il une solution de $(E)$ définie sur $I$ ? » (raccordement).
• L'inconnue est précisée : « où $y:]0,+\mathrm{\infty }[\to ℝ$ est la fonction inconnue, deux fois dérivable ».
• Ensembles de solutions notés ${𝒮}_E$, $S_H$ ; constantes $\lambda$, $\mu$, $C$, $k$ (« $\lambda \in ℝ$ »).
• Notations de fonctions : $\ln$, $\mathrm{ch}$, $\mathrm{sh}$, $\mathrm{th}$, $\mathrm{argsh}$ ; $\arctan$ (parfois $\mathrm{Arctan}$, $\mathrm{Arctg}$).
• Les devoirs combinent souvent ce chapitre avec les fonctions circulaires réciproques et les primitives : la première question calcule une primitive utilisée plus loin, et un changement de variable trigonométrique ($x=\cos \theta$, $x=\tan t$) relie les deux.
• Barème affiché par exercice (« Exercice 2 (7 points) ») ; aucun document, calculatrice interdite : les constantes se calculent à la main et restent exactes ($\frac{\sqrt{2}}{2}$, $e^{-\pi }$, $\ln 2$).
• Un résultat de l'énoncé peut être admis pour traiter la suite : ne pas bloquer sur une question de calcul.