Un $𝕂$-espace vectoriel est un ensemble $E$ muni d'une addition $+$ et d'une multiplication externe $𝕂\times E\to E$, $(\lambda ,x)\mapsto \lambda \cdot x$, telles que :

• $(E,+)$ est un groupe commutatif ; son neutre $0_E$ est le vecteur nul ;
• pour tous $\lambda ,\mu \in 𝕂$ et $x,y\in E$ : $\lambda (x+y)=\lambda x+\lambda y$, $(\lambda +\mu )x=\lambda x+\mu x$, $\lambda (\mu x)=(\lambda \mu )x$ et $1\cdot x=x$.

Les éléments de $E$ sont des vecteurs, ceux de $𝕂$ des scalaires.

Règles de calcul. $\lambda x=0_E⟺(\lambda =0$ ou $x=0_E)$ ; $(-1)x=-x$ ; $\lambda (x-y)=\lambda x-\lambda y$.

Espaces de référence.

$ℂ$ est à la fois un $ℂ$-espace vectoriel et un $ℝ$-espace vectoriel : le corps des scalaires fait partie de la donnée, et il change la dimension (§ 5). Un produit $E\times F$ est un espace vectoriel pour les opérations composante par composante.

Combinaison linéaire de $x_1,\dots ,x_p$ : tout vecteur ${\lambda }_1{x}_1+\cdots +{\lambda }_p{x}_p$ avec ${\lambda }_i\in 𝕂$. Une combinaison linéaire porte toujours sur un nombre fini de vecteurs.

Une partie $F$ de $E$ est un sous-espace vectoriel lorsque, munie des lois de $E$, elle est elle-même un espace vectoriel.

Caractérisation (celle qu'on rédige). Hypothèse : $F\subset E$. Conclusion : pour que $F$ soit un sous-espace vectoriel de $E$, il faut et il suffit que (i) $0_E\in F$ et (ii) pour tous $x,y\in F$ et $\lambda ,\mu \in 𝕂$, $\lambda x+\mu y\in F$.

Pour montrer qu'un ensemble est un espace vectoriel, on le présente presque toujours comme sous-espace d'un espace de référence : c'est beaucoup plus court que de vérifier les huit axiomes.

Exemples. $\{(x,y,z)\in {ℝ}^3,x-2y+3z=0\}$ ; plus généralement l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène ; $\{P\in 𝕂[X],P(1)=0\}$ ; ${𝕂}_n[X]\subset 𝕂[X]$ ; les fonctions continues, dérivables, de classe $C^1$ ; les suites convergentes ; les solutions d'une équation différentielle linéaire homogène (cours d'Analyse). Contre-exemples. $\{x+y+z=1\}$ (ne contient pas $0$) ; $\{(x,y),x^2=y^2\}$ (réunion de deux droites, non stable par somme) ; $\{(x,y),x\ge 0\}$ (non stable par multiplication par $-1$).

Opérations.

• Une intersection (quelconque) de sous-espaces est un sous-espace.
• Une réunion de deux sous-espaces n'en est pas un en général : $F\cup G$ est un sous-espace si et seulement si $F\subset G$ ou $G\subset F$.

Sous-espace engendré. Pour $A\subset E$, $\mathrm{Vect}(A)$ est le plus petit sous-espace contenant $A$ ; c'est l'ensemble des combinaisons linéaires (finies) d'éléments de $A$, et $\mathrm{Vect}(\mathrm{\varnothing })=\{0_E\}$. $\mathrm{Vect}(u)=𝕂u$ est une droite vectorielle si $u\mathrm{\ne }0$ ; $\mathrm{Vect}(u,v)$ est un plan vectoriel si $u$ et $v$ ne sont pas colinéaires. Règle pratique : on ne change pas $\mathrm{Vect}(x_1,\dots ,x_p)$ en ajoutant à l'un des $x_i$ une combinaison linéaire des autres, en le multipliant par un scalaire non nul, ou en retirant un $x_i$ qui est combinaison linéaire des autres.

Somme. $F+G=\{y+z,y\in F,z\in G\}$ est un sous-espace : c'est $\mathrm{Vect}(F\cup G)$, le plus petit sous-espace contenant $F$ et $G$.

Somme directe. La somme $F+G$ est directe, notée $F\oplus G$, si tout vecteur de $F+G$ s'écrit de façon unique $y+z$ avec $y\in F$, $z\in G$. Critère : $F+G$ est directe $⟺F\cap G=\{0_E\}$.

Supplémentaires. $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ si $E=F\oplus G$, c'est-à-dire $$\mathrm{\forall }x\in E,\mathrm{\exists }!(y,z)\in F\times G,x=y+z⟺E=F+G\text{ et }F\cap G=\{0_E\}\mathrm{.}$$ Un sous-espace a en général une infinité de supplémentaires : on dit « un supplémentaire », jamais « le ». Ne pas confondre avec le complémentaire ensembliste $E\setminus F$, qui n'est jamais un sous-espace.

Exemples.

• $ℱ(ℝ,ℝ)=𝒫\oplus ℐ$ (fonctions paires, impaires) : $f(t)=\frac{f(t)+f(-t)}{2}+\frac{f(t)-f(-t)}{2}$.
• ${ℳ}_n(𝕂)={𝒮}_n\oplus {𝒜}_n$ (symétriques, antisymétriques), déjà vu dans Calcul matriciel § 6.
• $𝕂[X]={𝕂}_n[X]\oplus X^{n+1}𝕂[X]$ (troncature d'un polynôme).

Méthode analyse-synthèse pour prouver $E=F\oplus G$ sans dimension : analyse — on suppose $x=y+z$ et on exprime $y$ et $z$ en fonction de $x$ (unicité) ; synthèse — on vérifie que ces $y$, $z$ conviennent (existence).

Plusieurs sous-espaces. $F_1+\cdots +F_p$ est directe si $0_E=y_1+\cdots +y_p$ avec $y_i\in F_i$ impose $y_1=\cdots =y_p=0_E$ (unicité de la décomposition). Avertissement : $F_i\cap F_j=\{0\}$ pour $i\mathrm{\ne }j$ ne suffit pas (trois droites distinctes du plan). Critère utile : la somme est directe si et seulement si, pour tout $k\ge 2$, $F_k\cap (F_1+\cdots +F_{k-1})=\{0_E\}$.

Soit $(x_1,\dots ,x_p)$ une famille finie de vecteurs de $E$ (les IPEIM écrivent souvent $\{x_1,\dots ,x_p\}$).

Une famille infinie $(x_i{)}_{i\in I}$ est libre si toutes ses sous-familles finies sont libres.

Propriétés.

• Une famille est liée si et seulement si l'un de ses vecteurs est combinaison linéaire des autres. Une famille contenant $0_E$, ou deux fois le même vecteur, est liée ; deux vecteurs forment une famille liée si et seulement s'ils sont colinéaires.
• Toute sous-famille d'une famille libre est libre ; toute sur-famille d'une famille génératrice est génératrice.
• Si $(x_1,\dots ,x_p)$ est libre et $x\mathrm{\notin }\mathrm{Vect}(x_1,\dots ,x_p)$, alors $(x_1,\dots ,x_p,x)$ est libre.
• Degrés échelonnés : une famille de polynômes non nuls de degrés deux à deux distincts est libre. Ainsi, si $\mathrm{deg}{P}_k=k$ pour $0\le k\le n$, $(P_0,\dots ,P_n)$ est une base de ${𝕂}_n[X]$.

Coordonnées. $(e_1,\dots ,e_n)$ est une base de $E$ si et seulement si tout $x\in E$ s'écrit de façon unique $x=x_1{e}_1+\cdots +x_n{e}_n$ ; les scalaires $x_1,\dots ,x_n$ sont les coordonnées de $x$ dans cette base.

Bases canoniques. $(e_1,\dots ,e_n)$ dans ${𝕂}^n$ ($e_i$ a un $1$ en position $i$ et des $0$ ailleurs) ; $(1,X,\dots ,X^n)$ dans ${𝕂}_n[X]$ ; $(E_{ij}{)}_{1\le i\le n,1\le j\le p}$ dans ${ℳ}_{n,p}(𝕂)$ ; $(X^k{)}_{k\in \mathbb{N}}$ dans $𝕂[X]$ (base infinie) ; $(1,i)$ dans $ℂ$ vu comme $ℝ$-espace vectoriel.

Montrer qu'une famille de fonctions est libre : on suppose $\sum {\lambda }_k{f}_k=0$ (fonction nulle) et l'on évalue en des points bien choisis, ou l'on dérive, ou l'on étudie le comportement en $+\mathrm{\infty }$ (croissances comparées).

$E$ est de dimension finie s'il possède une famille génératrice finie. Sinon il est de dimension infinie ($𝕂[X]$, $ℱ(ℝ,ℝ)$, ${𝕂}^{\mathbb{N}}$).

Théorème de la base incomplète. Hypothèses : $E\mathrm{\ne }\{0_E\}$ de dimension finie ; $ℒ$ une famille libre de $E$ ; $𝒢$ une famille génératrice finie de $E$. Conclusion : on peut compléter $ℒ$ par des vecteurs pris dans $𝒢$ de façon à obtenir une base de $E$.

Conséquences : tout espace $E\mathrm{\ne }\{0\}$ de dimension finie possède une base ; de toute famille génératrice finie on peut extraire une base ; toute famille libre peut être complétée en une base.

Lemme clé. Si $E$ est engendré par $n$ vecteurs, toute famille de $n+1$ vecteurs de $E$ est liée. D'où le théorème de la dimension : toutes les bases de $E$ ont le même nombre d'éléments, appelé dimension de $E$ et noté $\dim E$ (ou ${\dim }_{𝕂}E$ si le corps peut prêter à confusion). Par convention $\dim \{0_E\}=0$.

Dans un espace de dimension $n$.

• Une famille libre a au plus $n$ vecteurs ; une famille génératrice en a au moins $n$.
• Pour une famille d'exactement $n$ vecteurs : libre $⟺$ génératrice $⟺$ base. On ne vérifie donc qu'une des deux propriétés, à condition de compter les vecteurs et de connaître $\dim E$.

Sous-espaces en dimension finie. Soit $F$ un sous-espace de $E$, avec $\dim E=n$.

• $F$ est de dimension finie et $\dim F\le n$ ; si de plus $\dim F=\dim E$, alors $F=E$ (l'inclusion est indispensable).
• $F$ admet au moins un supplémentaire (compléter une base de $F$ en une base de $E$).
• Si $E=F\oplus G$, la réunion d'une base de $F$ et d'une base de $G$ est une base de $E$ (base adaptée) et $\dim F+\dim G=\dim E$.
• Critère de supplémentarité : $E=F\oplus G⟺(F\cap G=\{0_E\}$ et $\dim F+\dim G=\dim E)$.
• Formule de Grassmann : $$\dim (F+G)=\dim F+\dim G-\dim (F\cap G)\mathrm{.}$$
• Pour $p$ sous-espaces : $\dim (F_1+\cdots +F_p)\le \sum \dim F_i$, avec égalité si et seulement si la somme est directe.

Le rang de $(x_1,\dots ,x_p)$ est $\mathrm{rg}(x_1,\dots ,x_p)=\dim \mathrm{Vect}(x_1,\dots ,x_p)$.

• $\mathrm{rg}(x_1,\dots ,x_p)\le p$, avec égalité si et seulement si la famille est libre ;
• si $\dim E=n$ : $\mathrm{rg}(x_1,\dots ,x_p)\le n$, avec égalité si et seulement si la famille est génératrice de $E$.

Calcul par échelonnement (le pivot de Gauss appliqué aux vecteurs). Les opérations suivantes ne changent pas $\mathrm{Vect}$, donc pas le rang : échanger deux vecteurs ; multiplier un vecteur par un scalaire non nul ; ajouter à un vecteur une combinaison linéaire des autres. On les utilise pour obtenir une famille échelonnée (le premier coefficient non nul recule d'un rang à l'autre) : son rang est le nombre de vecteurs non nuls restants.

Exemple. Dans ${ℝ}^4$, $u_1=(1,1,0,1)$, $u_2=(2,1,1,0)$, $u_3=(0,1,-1,2)$. On remplace $u_2$ par $u_2-2u_1=(0,-1,1,-2)$, qui vaut $-u_3$. Donc $\mathrm{Vect}(u_1,u_2,u_3)=\mathrm{Vect}(u_1,u_3)$, la famille est liée ($2u_1-u_2-u_3=0$) et $\mathrm{rg}(u_1,u_2,u_3)=2$ ($u_1$ et $u_3$ ne sont pas colinéaires).

$f:E\to F$ est linéaire si, pour tous $x,y\in E$ et $\lambda ,\mu \in 𝕂$, $f(\lambda x+\mu y)=\lambda f(x)+\mu f(y)$. Alors $f(0_E)=0_F$ et $f(\sum {\lambda }_i{x}_i)=\sum {\lambda }_{i}f(x_i)$.

Exemples. $P\mapsto P^{\mathrm{\prime }}$ sur $𝕂[X]$ ; $P\mapsto P(a)$ ; $A\mapsto \mathrm{tr}(A)$ et $A\mapsto {}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A$ sur ${ℳ}_n(𝕂)$ ; $M\mapsto AM$ ; $f\mapsto {\int }_a^{b}f(t)dt$ sur $C([a,b],ℝ)$ ; $(u_n)\mapsto (u_{n+1})$ (décalage) ; les homothéties $\lambda {\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$. Non linéaires : $x\mapsto x+a$ avec $a\mathrm{\ne }0$ (translation), $(x,y)\mapsto xy$, $P\mapsto P^2$.

Structure.

• $ℒ(E,F)$ est un espace vectoriel ; la composée de deux applications linéaires est linéaire.
• $(ℒ(E),+,\circ )$ est un anneau non commutatif (dès que $\dim E\ge 2$), de neutre ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ ; on note $f^0={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ et $f^{k+1}=f^k\circ f$. La formule du binôme pour $(f+g{)}^m$ n'est valable que si $f\circ g=g\circ f$ (voir Structures algébriques § 7).
• La réciproque d'un isomorphisme est linéaire ; $(GL(E),\circ )$ est un groupe.

Une application linéaire est déterminée par l'image d'une base. Hypothèses : $(e_1,\dots ,e_n)$ base de $E$ ; $y_1,\dots ,y_n$ vecteurs quelconques de $F$. Conclusion : il existe une unique $f\in ℒ(E,F)$ telle que $f(e_i)=y_i$ pour tout $i$, à savoir $f(\sum x_i{e}_i)=\sum x_i{y}_i$. Conséquence : $f\mapsto (f(e_1),\dots ,f(e_n))$ est un isomorphisme de $ℒ(E,F)$ sur $F^n$, d'où $\dim ℒ(E,F)=\dim E\cdot \dim F$. Deux applications linéaires qui coïncident sur une base (ou sur une famille génératrice) sont égales.

Pour $f\in ℒ(E,F)$ : $$\mathrm{Ker}f=\{x\in E,f(x)=0_F\}\text{(sous-espace de }E),\mathrm{Im}f=f(E)=\{f(x),x\in E\}\text{(sous-espace de }F)\mathrm{.}$$ Plus généralement, l'image directe d'un sous-espace et l'image réciproque d'un sous-espace sont des sous-espaces.

• $f$ injective $⟺\mathrm{Ker}f=\{0_E\}$ (preuve : $f(x)=f(x^{\mathrm{\prime }})⟺x-x^{\mathrm{\prime }}\in \mathrm{Ker}f$).
• $f$ surjective $⟺\mathrm{Im}f=F$.
• Si $(x_1,\dots ,x_p)$ engendre $E$, alors $(f(x_1),\dots ,f(x_p))$ engendre $\mathrm{Im}f$. En particulier $\mathrm{Im}f=\mathrm{Vect}(f(e_1),\dots ,f(e_n))$ pour une base $(e_i)$ de $E$.
• $f$ injective $⟺$ l'image de toute famille libre est libre ; $f$ bijective $⟺$ l'image d'une base (ou de toute base) est une base.

Inclusions classiques ($f\in ℒ(E,F)$, $g\in ℒ(F,G)$) : $\mathrm{Ker}f\subset \mathrm{Ker}(g\circ f)$ ; $\mathrm{Im}(g\circ f)\subset \mathrm{Im}g$ ; $g\circ f=0⟺\mathrm{Im}f\subset \mathrm{Ker}g$. Pour un endomorphisme : $\mathrm{Ker}f\subset \mathrm{Ker}{f}^2\subset \cdots$ et $\cdots \subset \mathrm{Im}{f}^2\subset \mathrm{Im}f$.

Équations linéaires. Si $y\in \mathrm{Im}f$ et $f(x_0)=y$, les solutions de $f(x)=y$ sont les $x_0+k$ avec $k\in \mathrm{Ker}f$ (« solution particulière + solutions de l'équation homogène », même structure que pour les équations différentielles linéaires).

Vocabulaire des sujets : pour $\lambda \in 𝕂$, $\mathrm{Ker}(f-\lambda {\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)=\{x,f(x)=\lambda x\}$ ; lorsqu'il n'est pas réduit à $\{0_E\}$, l'énoncé l'appelle sous-espace propre et $\lambda$ valeur propre (définitions toujours rappelées en 1re année).

Espaces isomorphes. S'il existe un isomorphisme de $E$ sur $F$, ces espaces sont dits isomorphes. En dimension finie : $E$ et $F$ sont isomorphes $⟺\dim E=\dim F$. Exemple : ${𝕂}_n[X]\to {𝕂}^{n+1}$, $P\mapsto (a_0,\dots ,a_n)$.

Rang d'une application linéaire : $\mathrm{rg}f=\dim \mathrm{Im}f$ (quand $\mathrm{Im}f$ est de dimension finie). C'est le rang de la famille $(f(e_1),\dots ,f(e_n))$ pour une base $(e_i)$ de $E$.

Théorème du rang. Hypothèses : $E$ de dimension finie, $F$ quelconque, $f\in ℒ(E,F)$. Conclusion : $\dim E=\dim \mathrm{Ker}f+\mathrm{rg}f$. Idée de la preuve : si $S$ est un supplémentaire de $\mathrm{Ker}f$ dans $E$, la restriction de $f$ à $S$ est un isomorphisme de $S$ sur $\mathrm{Im}f$. Retenir ce résultat intermédiaire : il sert souvent tel quel.

Conséquences.

• $\mathrm{rg}f\le \min (\dim E,\dim F)$ ; $f$ injective $⟺\mathrm{rg}f=\dim E$ ; $f$ surjective $⟺\mathrm{rg}f=\dim F$.
• Si $\dim E=\dim F$ (finie) : $f$ injective $⟺f$ surjective $⟺f$ bijective. En particulier pour un endomorphisme d'un espace de dimension finie ; et $g\circ f={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ suffit alors pour que $f$ soit bijective d'inverse $g$.
• Ces équivalences sont fausses en dimension infinie : sur $𝕂[X]$, $P\mapsto P^{\mathrm{\prime }}$ est surjective non injective, et $P\mapsto XP$ est injective non surjective.
• $\mathrm{rg}(g\circ f)\le \min (\mathrm{rg}f,\mathrm{rg}g)$ ; composer par un isomorphisme ne change pas le rang.

Attention : $\dim \mathrm{Ker}f+\dim \mathrm{Im}f=\dim E$ n'entraîne pas $E=\mathrm{Ker}f\oplus \mathrm{Im}f$. Exemple : $f(x,y)=(y,0)$ sur ${ℝ}^2$ vérifie $\mathrm{Ker}f=\mathrm{Im}f=ℝ\times \{0\}$. Pour avoir la somme directe, il suffit de prouver $\mathrm{Ker}f\cap \mathrm{Im}f=\{0_E\}$ (et le théorème du rang donne le reste).

On suppose $E=F\oplus G$ ; tout $x$ s'écrit de façon unique $x=y+z$, $y\in F$, $z\in G$.

Projection sur $F$ parallèlement à $G$ : $p(x)=y$. Symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G$ : $s(x)=y-z$.

• $p$ est linéaire, $p\circ p=p$, $\mathrm{Im}p=F=\mathrm{Ker}(p-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)=\{x,p(x)=x\}$, $\mathrm{Ker}p=G$.
• $q={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E-p$ est la projection sur $G$ parallèlement à $F$ ; $p\circ q=q\circ p=0$ ; $p+q={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$.
• $s=2p-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E=p-q$ ; $s\circ s={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ ; $F=\mathrm{Ker}(s-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)$, $G=\mathrm{Ker}(s+{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)$.

Caractérisation des projecteurs. Hypothèse : $p\in ℒ(E)$ vérifie $p\circ p=p$ (on dit que $p$ est un projecteur). Conclusion : $E=\mathrm{Im}p\oplus \mathrm{Ker}p$, $\mathrm{Im}p=\mathrm{Ker}(p-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)$, et $p$ est la projection sur $\mathrm{Im}p$ parallèlement à $\mathrm{Ker}p$. (Décomposition : $x=p(x)+(x-p(x))$.)

Caractérisation des symétries. Hypothèse : $s\in ℒ(E)$ vérifie $s\circ s={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$. Conclusion : $E=\mathrm{Ker}(s-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)\oplus \mathrm{Ker}(s+{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)$ et $s$ est la symétrie par rapport au premier parallèlement au second ; $p=\frac{1}{2}(s+{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)$ est la projection associée. (Le $\frac{1}{2}$ existe car $𝕂=ℝ$ ou $ℂ$.)

Expression analytique (méthode). Pour $F=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3,x+y-z=0\}$ et $G=\mathrm{Vect}(1,1,1)$ : on cherche $v=w+t(1,1,1)$ avec $w\in F$, ce qui impose $(x-t)+(y-t)-(z-t)=0$, soit $t=x+y-z$. Ainsi $$p(x,y,z)=(-y+z,-x+z,-x-y+2z),s(x,y,z)=(-x-2y+2z,-2x-y+2z,-2x-2y+3z)\mathrm{.}$$ Contrôles : $p(1,1,1)=0$, $p(1,0,1)=(1,0,1)$ (vecteur de $F$), et $p\circ p=p$.

Pour $P={\sum }_{k=0}^N{a}_k{X}^k\in 𝕂[X]$ et $f\in ℒ(E)$, on pose $P(f)={\sum }_{k=0}^N{a}_k{f}^k=a_0{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E+a_{1}f+\cdots +a_N{f}^N$ (même définition que pour les matrices, Polynômes § 10).

• $(\lambda P+Q)(f)=\lambda P(f)+Q(f)$ et $(PQ)(f)=P(f)\circ Q(f)$ ; donc deux polynômes en $f$ commutent.
• $𝕂[f]=\{P(f),P\in 𝕂[X]\}$ est l'image de l'application linéaire $P\mapsto P(f)$ : c'est un sous-espace de $ℒ(E)$, stable par composition, et commutatif.
• $P$ est un polynôme annulateur de $f$ si $P(f)=0$. En dimension $n$, la famille $({\mathrm{i}\mathrm{d}}_E,f,\dots ,f^{n^2})$ a $n^2+1$ éléments dans $ℒ(E)$, de dimension $n^2$ : elle est liée, donc $f$ admet un polynôme annulateur non nul.
• Inverse : si $P$ annule $f$ et $P(0)\mathrm{\ne }0$, alors $f\in GL(E)$ et $f^{-1}\in 𝕂[f]$ (même calcul que pour les matrices).

Théorème (deux racines distinctes). Hypothèses : $f\in ℒ(E)$, $a\mathrm{\ne }b$ dans $𝕂$, $(f-a{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)\circ (f-b{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)=0$. Conclusion : $E=\mathrm{Ker}(f-a{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)\oplus \mathrm{Ker}(f-b{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)$ ; la projection sur le premier parallèlement au second est $p=\frac{1}{a-b}(f-b{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)$, l'autre est $q=\frac{1}{b-a}(f-a{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)$ ; enfin $f=ap+bq$ et $f^m=a^{m}p+b^{m}q$ pour $m\in \mathbb{N}$. Clé : l'égalité $1=\frac{X-b}{a-b}+\frac{X-a}{b-a}$ évaluée en $f$ donne ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_E=p+q$. Avec plus de racines, on remplace ces deux polynômes par les polynômes de Lagrange (exercice 6) ; l'énoncé général (lemme des noyaux) est un résultat de 2e année. Cas particuliers : $f^2=f$ (projecteur, $a=1$, $b=0$), $f^2={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ (symétrie, $a=1$, $b=-1$).

Endomorphismes nilpotents. $f$ est nilpotent s'il existe $p\ge 1$ tel que $f^p=0$ ; le plus petit tel $p$ est l'indice de nilpotence. Si $f^{q-1}(x_0)\mathrm{\ne }0$, la famille $(x_0,f(x_0),\dots ,f^{q-1}(x_0))$ est libre ; en dimension $n$, l'indice est donc au plus $n$ et $f^n=0$. De plus ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_E-f$ est inversible, d'inverse ${\sum }_{k=0}^{q-1}{f}^k$.

Le polynôme minimal n'est pas au programme de 1re année : les sujets qui l'utilisent en donnent la définition et les propriétés.

Une forme linéaire est une application linéaire de $E$ dans $𝕂$ ; leur ensemble est le dual $E^{\ast }=ℒ(E,𝕂)$. Exemples : $x\mapsto x_i$ ($i$-ème coordonnée dans une base) ; $P\mapsto P(a)$, $P\mapsto P^{\mathrm{\prime }}(0)$, $P\mapsto {\int }_0^{1}P(t)dt$ ; $\mathrm{tr}$.

• Une forme linéaire non nulle est surjective : $\mathrm{Im}\phi$ est un sous-espace non nul de $𝕂$, donc $𝕂$.
• Dans une base $(e_1,\dots ,e_n)$, toute forme s'écrit $\phi (x)=a_1{x}_1+\cdots +a_n{x}_n$ avec $a_i=\phi (e_i)$.

Hyperplans. Un hyperplan de $E$ est le noyau d'une forme linéaire non nulle.

• $H$ est un hyperplan $⟺$ il existe une droite $D$ telle que $E=H\oplus D$. Plus précisément, si $H=\mathrm{Ker}\phi$ et $a\mathrm{\notin }H$, alors $E=H\oplus 𝕂a$ (décomposition $x=(x-\frac{\phi (x)}{\phi (a)}a)+\frac{\phi (x)}{\phi (a)}a$).
• En dimension $n$ : les hyperplans sont exactement les sous-espaces de dimension $n-1$ ; une équation de $H$ dans une base est $a_1{x}_1+\cdots +a_n{x}_n=0$ avec $(a_1,\dots ,a_n)\mathrm{\ne }(0,\dots ,0)$.
• Deux formes non nulles ont le même noyau si et seulement si elles sont proportionnelles : $\mathrm{Ker}\phi =\mathrm{Ker}\psi ⟺\mathrm{\exists }\lambda \mathrm{\ne }0,\psi =\lambda \phi$. L'équation d'un hyperplan est donc unique à un facteur non nul près.
• Exemple : $\mathrm{Ker}\mathrm{tr}=\{A,\mathrm{tr}A=0\}$ est un hyperplan de ${ℳ}_n(𝕂)$, de dimension $n^2-1$, et ${ℳ}_n(𝕂)=\mathrm{Ker}\mathrm{tr}\oplus 𝕂I_n$.

Base duale (dimension finie $n$). $\dim E^{\ast }=\dim ℒ(E,𝕂)=n$. Si $ℬ=(e_1,\dots ,e_n)$ est une base de $E$, les formes coordonnées $e_1^{\ast },\dots ,e_n^{\ast }$ définies par $e_i^{\ast }(e_j)={\delta }_{ij}$ (symbole de Kronecker) forment une base de $E^{\ast }$, la base duale de $ℬ$. Pour tout $x\in E$ et tout $\phi \in E^{\ast }$ : $$x=\sum _{i=1}^n{e}_i^{\ast }(x)e_i,\phi =\sum _{i=1}^n\phi (e_i)e_i^{\ast }\mathrm{.}$$ Exemple : pour $a_0,\dots ,a_n$ distincts, les formes $P\mapsto P(a_i)$ forment la base duale de la base de Lagrange $(L_0,\dots ,L_n)$ de ${𝕂}_n[X]$, puisque $L_j(a_i)={\delta }_{ij}$ (Polynômes § 9). Toute forme linéaire sur ${𝕂}_n[X]$ est donc une combinaison $\phi (P)={\sum }_i\phi (L_i)P(a_i)$ : c'est le principe des formules de quadrature.

Intersections d'hyperplans. L'intersection de $p$ hyperplans d'un espace de dimension $n$ est de dimension $\ge n-p$, avec égalité si les formes sont linéairement indépendantes ; tout sous-espace de dimension $n-p$ est l'intersection de $p$ hyperplans (un système de $p$ équations indépendantes). Exercice 10.

Transposée (aperçu). Pour $f\in ℒ(E)$, ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}f:\phi \mapsto \phi \circ f$ est un endomorphisme de $E^{\ast }$ ; il apparaît dans les sujets d'examen, défini dans l'énoncé.

Remarque d'orientation : la notion d'hyperplan figure en MP ; le rapport du jury 2025 la déclare hors programme en PC et T.

Montrer qu'un ensemble est un espace vectoriel

Le présenter comme partie d'un espace de référence, puis vérifier $0\in F$ et la stabilité par combinaison linéaire. Encore plus court : l'écrire comme un noyau ($F=\mathrm{Ker}f$ avec $f$ linéaire), une image, ou un $\mathrm{Vect}$.

Trouver une base et la dimension d'un sous-espace défini par des équations

Résoudre le système (en exprimant certaines inconnues en fonction des autres), écrire le vecteur général comme combinaison des paramètres : $F=\mathrm{Vect}(\dots )$. Vérifier que la famille obtenue est libre (elle l'est automatiquement si chaque paramètre « pilote » une coordonnée). Dimension = nombre d'inconnues − nombre d'équations indépendantes.

Montrer que $E=F\oplus G$

• En dimension finie : $F\cap G=\{0\}$ et $\dim F+\dim G=\dim E$ ; ou bien concaténer des bases et montrer qu'on obtient une base.
• Sans dimension : analyse-synthèse ; ou exhiber un projecteur ($E=\mathrm{Im}p\oplus \mathrm{Ker}p$) ; ou un polynôme annulateur à racines simples (§ 11).

Étudier une application linéaire $f$

1. Linéarité : $f(\lambda x+\mu y)=\lambda f(x)+\mu f(y)$ (et dire où $f$ arrive : « $f(P)\in {ℝ}_n[X]$ » pour un endomorphisme).
2. Noyau : résoudre $f(x)=0$ ; en donner une base.
3. Image : $\mathrm{Im}f=\mathrm{Vect}(f(e_1),\dots ,f(e_n))$ ; extraire une base par échelonnement ; le théorème du rang donne $\dim \mathrm{Im}f$ sans calcul dès que $\dim \mathrm{Ker}f$ est connue. Dans ${𝕂}^3$, une image de dimension $2$ est un plan : en chercher l'équation.
4. Bijectivité : en dimension finie égale, l'injectivité suffit.

Montrer qu'une famille est une base

Compter les vecteurs ($=\dim E$ ?), puis prouver la liberté (le plus souvent) ; ou degrés échelonnés pour des polynômes ; ou image d'une base par un isomorphisme.

Projecteur ou symétrie donnés par une relation

Vérifier $p\circ p=p$ (ou $s\circ s=\mathrm{i}\mathrm{d}$) en composant, puis identifier $\mathrm{Im}p=\{x,p(x)=x\}$ et $\mathrm{Ker}p$.

Utiliser une relation polynomiale $P(f)=0$

Factoriser $P$ ; si les racines sont simples, décomposer $E$ en somme directe de noyaux (§ 11) ; si $P(0)\mathrm{\ne }0$, en tirer $f^{-1}$ ; pour $f^m$, utiliser les projecteurs ou la division euclidienne de $X^m$ par $P$.

1. Oublier $0\in F$ ou vérifier la stabilité sur un exemple numérique au lieu de vecteurs quelconques.
2. Confondre supplémentaire et complémentaire, ou écrire « le supplémentaire » ; croire que $F\cap G=\{0\}$ suffit pour $E=F\oplus G$ sans argument de dimension ou de somme.
3. Sommes de plusieurs sous-espaces : conclure que la somme est directe parce que les intersections deux à deux sont nulles.
4. Liberté mal rédigée : partir de « ${\lambda }_1=\cdots ={\lambda }_p=0$ » ; ou prouver la liberté de vecteurs deux à deux non colinéaires (insuffisant dès trois vecteurs).
5. Oublier une hypothèse de dimension : appliquer « libre à $n$ éléments ⇒ base » sans avoir vérifié $\dim E=n$ ; appliquer « injective ⇔ surjective » en dimension infinie ou entre espaces de dimensions différentes ; oublier l'inclusion dans « $\dim F=\dim E$ donc $F=E$ ».
6. Théorème du rang mal écrit : $\dim F=\dim \mathrm{Ker}f+\mathrm{rg}f$ (c'est $\dim E$, l'espace de départ) ; ou en déduire $E=\mathrm{Ker}f\oplus \mathrm{Im}f$.
7. $\dim {𝕂}_n[X]=n$ (c'est $n+1$).
8. Écritures dénuées de sens, relevées par les correcteurs : $\frac{f}{g}$ pour des endomorphismes, $f(x)\cdot g(x)$ dans un espace vectoriel quelconque, « $\mathrm{Ker}f=0$ » au lieu de $\{0_E\}$, $x^2$ pour un vecteur.
9. Commutativité : développer $(f+g{)}^2$ ou $(f-a\mathrm{i}\mathrm{d})\circ (g-b\mathrm{i}\mathrm{d})$ comme dans $𝕂$ sans vérifier $f\circ g=g\circ f$ (en revanche, deux polynômes en un même $f$ commutent toujours).
10. Rédaction : abréviations « s.e.v », « e.v », « ssi » dans une copie (les correcteurs les refusent), résultat non encadré, théorème cité sans son nom.

• « $𝕂$-espace vectoriel », « sous-espace vectoriel » (abrégés K-e.v, s.e.v dans les résumés de cours seulement) ; $𝕂$ = $ℝ$ ou $ℂ$, écrit IK, IR dans les documents tapés sous Word.
• $ℒ(E)$, $ℒ(E,F)$, $GL(E)$, ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ (ou $I{d}_E$) ; $\mathrm{Ker}f$ (parfois $\ker f$), $\mathrm{Im}f$, $\mathrm{rg}f$ (ou $\mathrm{rg}(f)$) ; $\mathrm{Vect}(\dots )$ ou $\mathrm{vect}\{\dots \}$ ; familles notées $(x_1,\dots ,x_p)$ ou $\{x_1,\dots ,x_p\}$ ; $E^{\ast }=ℒ(E,𝕂)$ ; ${𝕂}_n[X]=\{P\in 𝕂[X],\mathrm{deg}P\le n\}$, le degré étant parfois noté $d^{\circ }P$.
• « Projection vectorielle sur $F$ parallèlement à $G$ », « symétrie vectorielle par rapport à $F$ parallèlement à $G$ », « projecteurs associés » ($p+q=\mathrm{i}\mathrm{d}$, $p\circ q=q\circ p=0$).
• Énoncés : « Prouver que $F$ est un sous-espace de ${ℝ}^3$, puis en exhiber une base », « Déterminer $\mathrm{Ker}f$ et $\mathrm{Im}f$ », « En déduire que $E=\mathrm{Ker}f\oplus \mathrm{Im}f$ », « Rappeler la dimension de $E^{\ast }$ », « sans faire aucun calcul », « Exprimer $f^{-1}$ en fonction de $f$ et de ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ », « La relation obtenue reste-t-elle valable pour $n=-1$ ? ».
• Les problèmes de février-mai définissent souvent dans l'énoncé : $P(f)$, $𝕂[f]$, polynôme annulateur, polynôme minimal, nilpotent, sous-espace stable, valeur propre, endomorphisme cyclique, transposée ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}f$. Lire ces définitions avant de commencer.
• Devoirs : barème affiché, calculatrice interdite, tout résultat de l'énoncé peut être admis pour la suite.