Règles de calcul (pour des réels $a,b,c,d$) :

• on peut ajouter membre à membre : $a\le b$ et $c\le d$ donnent $a+c\le b+d$ ; on ne peut pas soustraire ;
• multiplier par $\lambda \ge 0$ conserve le sens, par $\lambda \le 0$ le renverse ;
• on peut multiplier membre à membre deux inégalités entre réels positifs : $0\le a\le b$ et $0\le c\le d$ donnent $ac\le bd$ ;
• inverse : si $a$ et $b$ sont non nuls et de même signe, $a\le b⟺\frac{1}{b}\le \frac{1}{a}$ ;
• carré, racine : pour $a,b\ge 0$, $a\le b⟺a^2\le b^2⟺\sqrt{a}\le \sqrt{b}$.

Valeur absolue. $\mid x\mid =\max (x,-x)$, $\sqrt{x^2}=\mid x\mid$, $\mid xy\mid =\mid x\mid \mid y\mid$, et pour $r\ge 0$ : $\mid x-a\mid \le r⟺a-r\le x\le a+r$. Inégalités triangulaires : $\mid \mid x\mid -\mid y\mid \mid \le \mid x+y\mid \le \mid x\mid +\mid y\mid$.

Intervalles. Une partie $I$ de $ℝ$ est un intervalle lorsque, dès qu'elle contient $a$ et $b$, elle contient tout réel compris entre $a$ et $b$. Notations à la française : $[a,b]$, $]a,b[$, $[a,+\mathrm{\infty }[$, etc.

Comment prouver une inégalité. (1) Calcul direct : former la différence et l'écrire comme un carré, un produit ou un quotient de signe connu (exemple : $x^2+y^2-2xy=(x-y{)}^2\ge 0$). (2) Étude de fonction : on fixe une variable et on étudie le signe de la différence par sa dérivée (§ 4 et § 12). (3) Récurrence pour les inégalités qui dépendent d'un entier (exemple : $(1+x{)}^n\ge 1+nx$ pour $x\ge -1$, inégalité de Bernoulli).

Une fonction $f$ de la variable réelle est définie sur une partie $D_f$ de $ℝ$ (son domaine de définition) ; son graphe (ou courbe représentative) est ${𝒞}_f=\{(x,f(x)),x\in D_f\}$. La composée $g\circ f$ n'a de sens que si $f$ prend ses valeurs dans le domaine de $g$ ; en général $g\circ f\mathrm{\ne }f\circ g$.

Bornes, extremums. $f$ est majorée sur $A$ s'il existe $M$ tel que $f(x)\le M$ pour tout $x\in A$ ; bornée si $\mid f\mid$ est majorée. $f$ admet un maximum en $a$ si $f(x)\le f(a)$ pour tout $x\in A$, un maximum local si cette inégalité n'est vraie que pour les $x$ de $A$ assez proches de $a$.

Monotonie. $f$ est croissante sur $A$ si $x\le y\Rightarrow f(x)\le f(y)$, strictement croissante si $x<y\Rightarrow f(x)<f(y)$. Règles sans dériver :

• somme de deux fonctions croissantes : croissante ;
• composée : deux fonctions de même sens donnent une composée croissante, de sens contraires une composée décroissante ;
• pour un produit, la croissance des deux facteurs ne suffit pas : il faut en plus qu'ils soient positifs ($x\mapsto x\cdot x$ sur $ℝ$).

Parité, périodicité, symétries ($D_f$ supposé adapté) :

Avec la parité et la période, on réduit l'étude : une fonction paire et $2\pi$-périodique s'étudie sur $[0,\pi ]$.

Fonction lipschitzienne. $f$ est $k$-lipschitzienne sur $A$ ($k\ge 0$) si $\mid f(x)-f(y)\mid \le k\mid x-y\mid$ pour tous $x,y\in A$. Exemple : $\mid \sin x-\sin y\mid \le \mid x-y\mid$ (on le prouvera au chapitre « Dérivabilité » ; ici on l'admet).

Soit $f:A\to B$. Elle est injective si deux points distincts ont des images distinctes ($f(x)=f(x^{\mathrm{\prime }})\Rightarrow x=x^{\mathrm{\prime }}$), surjective si tout $y\in B$ a au moins un antécédent, bijective si tout $y\in B$ a exactement un antécédent.

Réciproque. Si $f:A\to B$ est bijective, la fonction $f^{-1}:B\to A$ associe à $y$ son unique antécédent : $$\mathrm{\forall }x\in A,\mathrm{\forall }y\in B,y=f(x)⟺x=f^{-1}(y)\mathrm{.}$$ On a $f^{-1}\circ f={\mathrm{I}\mathrm{d}}_A$ et $f\circ f^{-1}={\mathrm{I}\mathrm{d}}_B$. Dans un repère orthonormé, ${𝒞}_{f^{-1}}$ est la symétrique de ${𝒞}_f$ par rapport à la première bissectrice $y=x$.

Propriétés transmises. Si $f:A\to B$ est bijective :

• $f$ strictement croissante $\Rightarrow f^{-1}$ strictement croissante (même chose avec « décroissante ») ;
• $A$ symétrique et $f$ impaire $\Rightarrow B$ symétrique et $f^{-1}$ impaire. Une fonction strictement monotone est injective ; la réciproque est fausse en général ($x\mapsto 1\mathrm{/}x$ sur ${ℝ}^{\ast }$).

Théorème de la bijection (admis à ce stade, démontré au chapitre « Limites et continuité »). Hypothèses : (i) $f$ est continue sur l'intervalle $I$ ; (ii) $f$ est strictement monotone sur $I$. Conclusion : $J=f(I)$ est un intervalle, $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J$, et $f^{-1}$ est continue sur $J$, strictement monotone de même sens que $f$. Les bornes de $J$ sont les limites (ou valeurs) de $f$ aux bornes de $I$ : pour $f$ croissante sur $]a,b[$, $J=]{\lim }_{a}f,{\lim }_{b}f[$.

Dérivée de la réciproque (admise). Hypothèses : (i) $f$ est strictement monotone et dérivable sur $I$ ; (ii) $f^{\mathrm{\prime }}$ ne s'annule pas sur $I$. Conclusion : $f^{-1}$ est dérivable sur $J=f(I)$ et $${\left(f^{-1}\right)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}\circ f^{-1}},\text{c’est-}\grave{\text{a}}\text{-dire}{\left(f^{-1}\right)}^{\mathrm{\prime }}(y)=\frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}(x)}\text{ o}\grave{\text{u}}x=f^{-1}(y)\mathrm{.}$$ Si $f^{\mathrm{\prime }}(x_0)=0$, la courbe de $f^{-1}$ admet au point $(f(x_0),x_0)$ une tangente verticale et $f^{-1}$ n'est pas dérivable en $f(x_0)$ (cas de $\arcsin$ en $\pm 1$).

On dit que $f$ admet un nombre dérivé en $x_0$ lorsque le quotient ${\displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$ possède une limite finie quand $x\to x_0$ ; cette limite est $f^{\mathrm{\prime }}(x_0)$, pente de la tangente $y=f^{\mathrm{\prime }}(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$. Dérivable entraîne continue ; la réciproque est fausse ($\mid x\mid$ en 0, $\sqrt{x}$ en 0).

Opérations (admises) : $(f+g{)}^{\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }}+g^{\mathrm{\prime }}$, $(fg{)}^{\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }}g+f{g}^{\mathrm{\prime }}$, ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{f^{\mathrm{\prime }}g-f{g}^{\mathrm{\prime }}}{g^2}$ si $g$ ne s'annule pas, $(g\circ f{)}^{\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }}\times (g^{\mathrm{\prime }}\circ f)$.

Lien avec la monotonie (admis), sur un intervalle $I$ :

• $f$ croît sur $I$ si et seulement si $f^{\mathrm{\prime }}$ est positive en tout point de $I$ ;
• si $f^{\mathrm{\prime }}$ est strictement positive sur $I$, hormis en quelques points isolés (en nombre fini) où elle vaut $0$, alors $f$ y est strictement croissante ;
• $f$ est constante sur $I$ si et seulement si $f^{\mathrm{\prime }}$ y est identiquement nulle. Sur une réunion d'intervalles, $f^{\mathrm{\prime }}=0$ ne donne qu'une constante par intervalle : $x\mapsto \arctan x+\arctan \frac{1}{x}$ a une dérivée nulle sur ${ℝ}^{\ast }$ mais vaut $\frac{\pi }{2}$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ et $-\frac{\pi }{2}$ sur $]-\mathrm{\infty },0[$.

Limites de référence, issues du taux d'accroissement en 0 : $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1,\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1,\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1,\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x}{x}=1.$$ (Chacune est le nombre dérivé en 0 de $\sin$, $x\mapsto \ln (1+x)$, $\exp$, $\tan$.)

Dérivée $n$-ième. $f^{(0)}=f$, $f^{(n+1)}=(f^{(n)}{)}^{\mathrm{\prime }}$. À connaître : $(e^{ax}{)}^{(n)}=a^n{e}^{ax}$, ${\sin }^{(n)}x=\sin (x+\frac{n\pi }{2})$, ${\cos }^{(n)}x=\cos (x+\frac{n\pi }{2})$, ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{(n)}=\frac{(-1{)}^{n}n!}{x^{n+1}}$. Formule de Leibniz : $(fg{)}^{(n)}={\sum }_{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)f^{(k)}{g}^{(n-k)}$.

Logarithme népérien. $\ln$ est la primitive sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ de $x\mapsto \frac{1}{x}$ qui vaut $0$ en $1$ (l'existence de cette primitive est admise). Donc $\ln$ est dérivable, ${\ln }^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{x}>0$ : $\ln$ est strictement croissante.

• Pour $x,y>0$ et $n\in \mathbb{Z}$ : $\ln (xy)=\ln x+\ln y$, $\ln \frac{1}{x}=-\ln x$, $\ln \frac{x}{y}=\ln x-\ln y$, $\ln (x^n)=n\ln x$. Idée de preuve : à $y$ fixé, $x\mapsto \ln (xy)-\ln x$ a une dérivée nulle sur l'intervalle $]0,+\mathrm{\infty }[$, donc elle est constante, égale à sa valeur en $1$.
• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln x=-\mathrm{\infty }$, $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\ln x=+\mathrm{\infty }$ ; $\ln$ est une bijection de $]0,+\mathrm{\infty }[$ sur $ℝ$.
• Le nombre $e$ est l'unique réel tel que $\ln e=1$. On a $2<e<3$ (exercice 6).

Exponentielle. $\exp :ℝ\to ]0,+\mathrm{\infty }[$ est la réciproque de $\ln$ ; on note $e^x=\exp (x)$.

• $y=e^x⟺x=\ln y$ ($y>0$) ; $\ln (e^x)=x$ pour tout réel $x$, $e^{\ln y}=y$ pour tout $y>0$.
• Dérivée de la réciproque : ${\exp }^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{{\ln }^{\mathrm{\prime }}(e^x)}=e^x$.
• $e^{x+y}=e^x{e}^y$, $e^{-x}=\frac{1}{e^x}$, $(e^x{)}^n=e^{nx}$ ; $\underset{-\mathrm{\infty }}{\lim }{e}^x=0$, $\underset{+\mathrm{\infty }}{\lim }{e}^x=+\mathrm{\infty }$.

Deux inégalités fondamentales (étude de fonction, § 12) : $$\mathrm{\forall }x>-1,\ln (1+x)\le x\mathrm{\forall }x\in ℝ,e^x\ge 1+x,$$ avec égalité seulement pour $x=0$. Géométriquement : la courbe est au-dessous (pour $\ln$) ou au-dessus (pour $\exp$) de sa tangente en $0$.

Bases quelconques ($a>0$) : $a^x=e^{x\ln a}$ ; pour $a\mathrm{\ne }1$, ${\log }_{a}x={\displaystyle \frac{\ln x}{\ln a}}$ (logarithme de base $a$, réciproque de $x\mapsto a^x$). ${\log }_{10}$ est le logarithme décimal. $x\mapsto a^x$ est croissante si $a>1$, décroissante si $0<a<1$.

Pour $\alpha \in ℝ$ et $x>0$ : $\boxed{{\displaystyle x^{\alpha }=e^{\alpha \ln x}}}$. Cette définition prolonge les puissances entières et $\sqrt{x}=x^{1\mathrm{/}2}$.

• Règles ($x,y>0$) : $x^{\alpha +\beta }=x^{\alpha }{x}^{\beta }$, $(x^{\alpha }{)}^{\beta }=x^{\alpha \beta }$, $(xy{)}^{\alpha }=x^{\alpha }{y}^{\alpha }$, $x^{-\alpha }=\frac{1}{x^{\alpha }}$, $\ln (x^{\alpha })=\alpha \ln x$.
• Dérivée : $(x^{\alpha }{)}^{\mathrm{\prime }}=\alpha x^{\alpha -1}$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.
• Variations : croissante si $\alpha >0$, décroissante si $\alpha <0$, constante égale à $1$ si $\alpha =0$.
• En 0 (pour $\alpha >0$) : $x^{\alpha }\to 0$, on prolonge par continuité en posant $0^{\alpha }=0$. Ce prolongement est dérivable en 0 si $\alpha >1$ (tangente horizontale), pas si $0<\alpha <1$ (tangente verticale) ; pour $\alpha =1$ c'est $x\mapsto x$.
• Racine $n$-ième : pour $n\ge 1$, $x\mapsto x^n$ est une bijection de $[0,+\mathrm{\infty }[$ sur lui-même ; sa réciproque est $\sqrt[n]{x}$, qui coïncide avec $x^{1\mathrm{/}n}$ pour $x>0$. Si $n$ est impair, $x\mapsto x^n$ est même une bijection de $ℝ$ sur $ℝ$ et $\sqrt[n]{x}$ est définie pour $x<0$ ($\sqrt[3]{-8}=-2$), mais $x^{1\mathrm{/}3}$ ne l'est pas.

Forme $u(x{)}^{v(x)}$ (avec $u>0$) : on écrit toujours $u^v=e^{v\ln u}$, puis ${\left(u^v\right)}^{\mathrm{\prime }}=u^v(v^{\mathrm{\prime }}\ln u+v{\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}})$. Exemple : $(x^x{)}^{\mathrm{\prime }}=x^x(\ln x+1)$.

Croissances comparées ($\alpha >0$, $\beta >0$) : $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(\ln x{)}^{\beta }}{x^{\alpha }}=0,\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^{\alpha }}{e^{\beta x}}=0,\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^{\alpha }\mid \ln x{\mid }^{\beta }=0.$$ À retenir : en $+\mathrm{\infty }$, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance, qui l'emporte sur toute puissance du logarithme. Conséquence : $x^x=e^{x\ln x}\to 1$ quand $x\to 0^{+}$.

$\cos$ et $\sin$ sont $2\pi$-périodiques, $\cos$ est paire, $\sin$ impaire ; ${\cos }^{\mathrm{\prime }}=-\sin$, ${\sin }^{\mathrm{\prime }}=\cos$, ${\cos }^2+{\sin }^2=1$. $\tan =\frac{\sin }{}$ est définie sur $ℝ\setminus \{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$, impaire, $\pi$-périodique, et $${\tan }^{\mathrm{\prime }}x=1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}\mathrm{.}$$

Formules à savoir sans hésiter (vues aussi en Algèbre) :

• $\cos (a\pm b)=\cos a\cos b\mp \sin a\sin b$ ; $\sin (a\pm b)=\sin a\cos b\pm \cos a\sin b$ ; $\tan (a+b)={\displaystyle \frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}}$ (quand tout est défini) ;
• $\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=2{\cos }^{2}a-1=1-2{\sin }^{2}a$ ; $\sin 2a=2\sin a\cos a$ ; $\tan 2a={\displaystyle \frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}}$ ;
• avec $t=\tan \frac{a}{2}$ : $\cos a={\displaystyle \frac{1-t^2}{1+t^2}}$, $\sin a={\displaystyle \frac{2t}{1+t^2}}$, $\tan a={\displaystyle \frac{2t}{1-t^2}}$ ;
• $\cos p+\cos q=2\cos \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2}$, $\sin p+\sin q=2\sin \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2}$ ;
• $\cos (\pi -x)=-\cos x$, $\sin (\pi -x)=\sin x$, $\cos (\frac{\pi }{2}-x)=\sin x$, $\tan (\frac{\pi }{2}-x)=\frac{1}{\tan x}$.

Équations : $\cos x=\cos a⟺x\equiv \pm a[2\pi ]$ ; $\sin x=\sin a⟺x\equiv a[2\pi ]$ ou $x\equiv \pi -a[2\pi ]$ ; $\tan x=\tan a⟺x\equiv a[\pi ]$.

Encadrement : $\mid \sin x\mid \le \mid x\mid$ pour tout réel $x$, et $\sin x\le x\le \tan x$ pour $x\in [0,\frac{\pi }{2}[$.

Les fonctions circulaires ne sont pas injectives sur $ℝ$ : on les restreint à un intervalle où elles sont continues et strictement monotones, puis on applique le théorème de la bijection.

Valeurs à connaître : $\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}$, $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4}$, $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{3}$, $\arcsin 1=\frac{\pi }{2}$ ; $\arccos 0=\frac{\pi }{2}$, $\arccos (-\frac{1}{2})=\frac{2\pi }{3}$, $\arccos (-1)=\pi$ ; $\arctan 1=\frac{\pi }{4}$, $\arctan \sqrt{3}=\frac{\pi }{3}$, $\arctan \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi }{6}$.

Calcul de la dérivée de $\arcsin$ (modèle des trois) : sur $]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$, ${\sin }^{\mathrm{\prime }}=\cos$ ne s'annule pas, donc $\arcsin$ est dérivable sur $]-1,1[$ et ${\arcsin }^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{\cos (\arcsin x)}}$. Or $\cos (\arcsin x)\ge 0$ (car $\arcsin x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$) et ${\cos }^2(\arcsin x)=1-x^2$, d'où $\cos (\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}$.

Composées : l'ordre compte.

• $\sin (\arcsin x)=x$ pour tout $x\in [-1,1]$, mais $\arcsin (\sin x)=x$ seulement si $x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$.
• $\cos (\arccos x)=x$ sur $[-1,1]$ ; $\arccos (\cos x)=x⟺x\in [0,\pi ]$.
• $\tan (\arctan x)=x$ sur $ℝ$ ; $\arctan (\tan x)=x⟺x\in ]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$. Pour calculer $\arcsin (\sin a)$ : chercher l'unique $b\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ tel que $\sin b=\sin a$ (avec $\sin (\pi -a)=\sin a$ et la $2\pi$-périodicité). Exemple : $\arcsin (\sin \frac{5\pi }{6})=\frac{\pi }{6}$. La fonction $x\mapsto \arcsin (\sin x)$ est $2\pi$-périodique, impaire, et son graphe est une ligne brisée « en dents de scie ».

Formules mixtes (à savoir redémontrer) :

• $\cos (\arcsin x)=\sin (\arccos x)=\sqrt{1-x^2}$ pour $x\in [-1,1]$ ;
• $\cos (\arctan x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}$, $\sin (\arctan x)={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}$ pour $x\in ℝ$ ;
• $\tan (\arcsin x)={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}$ pour $x\in ]-1,1[$.

Relations fondamentales.

• $\mathrm{\forall }x\in [-1,1],\arcsin x+\arccos x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.
• $\mathrm{\forall }x\mathrm{\ne }0,\arctan x+\arctan {\displaystyle \frac{1}{x}}=\{\begin{array}{ll}\frac{\pi }{2}& \text{si }x>0\\ -\frac{\pi }{2}& \text{si }x<0\end{array}$
• Pour $a,b$ réels avec $ab\mathrm{\ne }1$ : $\arctan a+\arctan b=\arctan {\displaystyle \frac{a+b}{1-ab}}+k\pi$ où $k=0$ lorsque $ab<1$ ; lorsque $ab>1$, $k$ vaut $1$ ou $-1$ selon le signe de $a$ (exercice 8).

Deux méthodes pour démontrer ce type de relation : (a) dériver et trouver une dérivée nulle sur chaque intervalle, puis calculer la constante en un point ; (b) appliquer $\sin$, $\cos$ ou $\tan$ aux deux membres, puis vérifier que les deux membres sont dans un intervalle où la fonction appliquée est injective.

Pour $x\in ℝ$ : $$\mathrm{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}{2},\mathrm{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2},\mathrm{th}x=\frac{\mathrm{sh}x}{\mathrm{ch}x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\mathrm{.}$$ $\mathrm{ch}$ est la partie paire de $\exp$, $\mathrm{sh}$ sa partie impaire : $e^x=\mathrm{ch}x+\mathrm{sh}x$, $e^{-x}=\mathrm{ch}x-\mathrm{sh}x$.

Relation fondamentale : ${\mathrm{ch}}^{2}x-{\mathrm{sh}}^{2}x=1$ (le point $(\mathrm{ch}t,\mathrm{sh}t)$ décrit une branche d'hyperbole).

Formules d'addition : $\mathrm{ch}(a+b)=\mathrm{ch}a\mathrm{ch}b+\mathrm{sh}a\mathrm{sh}b$, $\mathrm{sh}(a+b)=\mathrm{sh}a\mathrm{ch}b+\mathrm{ch}a\mathrm{sh}b$, $\mathrm{th}(a+b)={\displaystyle \frac{\mathrm{th}a+\mathrm{th}b}{1+\mathrm{th}a\mathrm{th}b}}$ ; en particulier $\mathrm{ch}2a={\mathrm{ch}}^{2}a+{\mathrm{sh}}^{2}a=2{\mathrm{ch}}^{2}a-1$, $\mathrm{sh}2a=2\mathrm{sh}a\mathrm{ch}a$. Moyen mnémotechnique : on part d'une formule de trigonométrie et on change le signe devant chaque produit de deux $\sin$. Ce n'est qu'un moyen de mémoire : toute formule hyperbolique se démontre en revenant aux exponentielles.

Comparaisons utiles : $\mid \mathrm{sh}x\mid <\mathrm{ch}x$ et $\mid \mathrm{th}x\mid <1$ pour tout $x$ ; $\mathrm{sh}x\ge x$ et $\mathrm{th}x\le x$ pour $x\ge 0$ ; $\mathrm{ch}x\ge 1+\frac{x^2}{2}$.

Équations en $\mathrm{ch},\mathrm{sh}$ : on pose $t=e^x>0$ ; l'équation devient polynomiale en $t$ ; on ne garde que les racines strictement positives, puis $x=\ln t$.

Présentes dans certains cours de MP1 (pas dans tous les devoirs). Chacune se calcule en résolvant une équation du second degré en $t=e^y$.

Exemple de calcul : $y=\mathrm{argsh}x⟺e^y-e^{-y}=2x⟺t^2-2xt-1=0$ avec $t=e^y>0$. Les racines ont un produit égal à $-1$, une seule est positive : $t=x+\sqrt{x^2+1}$, d'où $y=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$. Formules mixtes : $\mathrm{ch}(\mathrm{argsh}x)=\sqrt{1+x^2}$, $\mathrm{sh}(\mathrm{argch}x)=\sqrt{x^2-1}$. Lecture à l'envers (primitives, chapitre suivant) : ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}$ a pour primitive $\mathrm{argsh}x$, à comparer avec ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$ (primitive $\arcsin x$) et ${\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$ (primitive $\arctan x$).

Une fonction $f:I\to ℂ$ s'écrit $f=u+iv$ avec $u=\mathrm{Re}f$, $v=\mathrm{Im}f$ réelles. Elle est dérivable si et seulement si $u$ et $v$ le sont, et alors $f^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}+i{v}^{\mathrm{\prime }}$. Les règles de calcul (somme, produit, quotient) restent valables ; la monotonie et les inégalités n'ont plus de sens pour $f$ elle-même.

Pour $a=\alpha +i\beta \in ℂ$, on pose $e^{at}=e^{\alpha t}(\cos \beta t+i\sin \beta t)$. Alors $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{e}^{at}=a{e}^{at},e^{a(t+s)}=e^{at}{e}^{as},\mid e^{at}\mid =e^{\alpha t}\mathrm{.}$$ C'est l'outil clé du chapitre « Équations différentielles » ($y^{\mathrm{\prime }}=ay$ a pour solutions $t\mapsto C{e}^{at}$). Formules d'Euler : $\cos t=\frac{e^{it}+e^{-it}}{2}$, $\sin t=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}$ (comparer avec $\mathrm{ch}$ et $\mathrm{sh}$).

Méthode de l'étude de fonction. Pour montrer $f(x)\le g(x)$ sur un intervalle $I$ : poser $h=g-f$, étudier le signe de $h^{\mathrm{\prime }}$ (au besoin de $h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$), dresser le tableau de variations, conclure avec la valeur de $h$ en une borne. Si le signe de $h^{\mathrm{\prime }}$ n'est pas évident, on étudie $h^{\mathrm{\prime }}$ à son tour.

Tableau des dérivées usuelles

Avec la composée : $(\ln \mid u\mid {)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}$, $(e^u{)}^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}{e}^u$, $(\arctan u{)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{u^{\mathrm{\prime }}}{1+u^2}$, $(\arcsin u{)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{u^{\mathrm{\prime }}}{\sqrt{1-u^2}}$ là où $\mid u\mid <1$.

Étudier une fonction (plan attendu en devoir)

1. Domaine de définition : conditions $\mid u\mid \le 1$ sous $\arcsin$, $\arccos$ ; $u>0$ sous $\ln$ ; dénominateurs non nuls ; $u\ge 0$ sous une racine.
2. Réduction : parité, période, axe de symétrie.
3. Domaine de dérivabilité : sous $\arcsin$ et $\arccos$, exiger $\mid u\mid <1$ ; sous $\sqrt{u}$, exiger $u>0$. Aux points exclus, étudier à part (taux d'accroissement ou limite de $f^{\mathrm{\prime }}$ si on la connaît).
4. Dérivée, signe, tableau de variations, limites aux bornes.
5. Graphe : tangentes remarquables (horizontales, verticales), asymptotes, symétries.

Simplifier une expression comme $\arccos (u(x))$ ou $\arctan (u(x))$

• Par la dérivée : sur chaque intervalle $I$ du domaine de dérivabilité, calculer $f^{\mathrm{\prime }}$ ; si $f^{\mathrm{\prime }}$ est la dérivée d'une fonction connue $g$ (souvent $\pm 2\arctan$, $\pm \arcsin$), alors $f-g$ est constante sur $I$ ; calculer la constante en un point ou par une limite. Une constante par intervalle.
• Par un changement de variable adapté à la forme de $u$ :
  • $1+x^2$, $\frac{1-x^2}{1+x^2}$, $\frac{2x}{1+x^2}$ : poser $x=\tan \theta$, $\theta \in ]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$ ;
  • $\sqrt{1-x^2}$ : poser $x=\sin \theta$, $\theta \in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ (alors $\sqrt{1-x^2}=\cos \theta$), ou $x=\cos \theta$, $\theta \in [0,\pi ]$ (alors $\sqrt{1-x^2}=\sin \theta$) ;
  • $\sqrt{1+x^2}$ : $x=\tan \theta$ (alors $\sqrt{1+x^2}=\frac{1}{\cos \theta }$) ou $x=\mathrm{sh}t$ (alors $\sqrt{1+x^2}=\mathrm{ch}t$). Puis ramener l'angle obtenu dans l'intervalle image de la réciproque (en distinguant des cas), et revenir à $x$ par $\theta =\arctan x$, $\arcsin x$ ou $\arccos x$.
• Les devoirs demandent souvent les deux méthodes : la seconde sert de contrôle.

Résoudre une équation contenant $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$

1. Écrire les conditions d'existence.
2. Appliquer $\sin$, $\cos$ ou $\tan$ : on obtient une condition nécessaire (équation algébrique).
3. Vérifier chaque solution trouvée (signe, intervalle) : appliquer $\tan$ n'est pas une équivalence, car $\tan$ n'est pas injective sur $ℝ$. Une étude rapide du signe des deux membres élimine les solutions parasites.

Montrer qu'une fonction est bijective et étudier sa réciproque

1. Continuité et stricte monotonie sur un intervalle $I$ (signe de $f^{\mathrm{\prime }}$) ; limites aux bornes : $J=f(I)$.
2. Théorème de la bijection : $f:I\to J$ bijective, $f^{-1}$ continue, de même monotonie.
3. Dérivabilité de $f^{-1}$ là où $f^{\mathrm{\prime }}(f^{-1}(y))\mathrm{\ne }0$, avec $(f^{-1}{)}^{\mathrm{\prime }}(y)=\frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}(f^{-1}(y))}$ ; en particulier $(f^{-1}{)}^{\mathrm{\prime }}(f(a))=\frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}(a)}$, sans connaître $f^{-1}$.
4. Si possible, expliciter $f^{-1}$ en résolvant $y=f(x)$ d'inconnue $x\in I$.

Calculer une limite en forme indéterminée (sans développement limité)

Faire apparaître un taux d'accroissement de référence ($\frac{\sin u}{u}$, $\frac{\ln (1+u)}{u}$, $\frac{e^u-1}{u}$ avec $u\to 0$), une croissance comparée, ou écrire $u^v=e^{v\ln u}$. Exemple : ${(1+\frac{a}{x})}^x=e^{x\ln (1+a\mathrm{/}x)}\to e^a$ quand $x\to +\mathrm{\infty }$.

1. Écrire $\arcsin (\sin x)=x$ pour tout $x$ : faux hors de $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ ($\arcsin (\sin \pi )=0$). Même piège avec $\arccos (\cos x)$ et $\arctan (\tan x)$.
2. Oublier que $f^{\mathrm{\prime }}=0$ ne donne une constante que sur un intervalle : sur ${ℝ}^{\ast }$, deux constantes possibles.
3. Dériver $\arcsin u$ là où $\mid u\mid =1$ : le domaine de dérivabilité est plus petit que le domaine de définition ; il faut l'écrire avant de dériver.
4. Simplifier $\sqrt{{\cos }^2\theta }$ en $\cos \theta$ sans vérifier le signe : $\sqrt{a^2}=\mid a\mid$.
5. Appliquer $\tan$ (ou $\cos$) et garder l'équivalence : on obtient une condition nécessaire, il faut vérifier les solutions.
6. Confondre $\arctan x$ et $\frac{1}{\tan x}$, ou ${\sin }^{-1}$ au sens de la réciproque et au sens de l'inverse : on écrit $\arcsin$, jamais ${\sin }^{-1}$.
7. Utiliser le théorème de la bijection sans intervalle ou sans stricte monotonie ; oublier de déterminer $J=f(I)$.
8. Écrire $x^{\alpha }$ pour $x<0$ avec $\alpha$ non entier, ou dériver $x^x$ comme $x\cdot x^{x-1}$ : on passe par $e^{x\ln x}$.
9. Mélanger trigonométrie et hyperbolique : ${\mathrm{ch}}^2-{\mathrm{sh}}^2=1$ (et non $+$), ${\mathrm{ch}}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{sh}$ (sans signe moins).
10. Démontrer une inégalité avec un outil pas encore vu (développement limité, accroissements finis) : en octobre, la méthode attendue est l'étude de fonction. Les correcteurs vérifient aussi que l'intervalle est précisé.
11. Rédaction : « d'après le cours » sans nommer le résultat, abréviations, tableau de variations sans justification du signe de la dérivée.

• Réciproques circulaires : $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$ ; on rencontre aussi $\mathrm{Arcsin}$, $\mathrm{Arccos}$, $\mathrm{Arctan}$ (majuscule) et, dans les documents plus anciens, $\mathrm{Arctg}$ ou $\mathrm{arctg}$ et $\mathrm{tg}$ pour la tangente.
• Hyperboliques : $\mathrm{ch}$, $\mathrm{sh}$, $\mathrm{th}$ (jamais cosh) ; réciproques $\mathrm{argsh}$, $\mathrm{argch}$, $\mathrm{argth}$.
• $\ln$ pour le logarithme népérien ; ${ℝ}_{+}^{\ast }=]0,+\mathrm{\infty }[$ ; parfois IR dans des documents tapés sous Word.
• Énoncés : « Déterminer le domaine de définition $D_f$ », « le domaine de dérivabilité », « Dresser le tableau de variations », « Donner une expression simple de $f(x)$ », « Retrouver ce résultat en utilisant le changement de variable… », « En déduire… ». Barème affiché par exercice (« Exercice 1 (8 points) »).
• Devoir de contrôle n°1 : 1 h à 1 h 30, sans document, calculatrice interdite : aucun résultat décimal n'est demandé, les comparaisons se font sur des fractions ou des entiers.
• Un résultat donné par l'énoncé peut être admis pour traiter la suite.