Définition. Soit $f:[a,b[\to 𝕂$ c.p.m., avec $a\in ℝ$ et $b\in ℝ\cup \{+\mathrm{\infty }\}$. On dit que l'intégrale ${\int }_a^{b}f(t)dt$ converge lorsque la fonction $$F:x⟼{\int }_a^{x}f(t)dt$$ admet une limite finie quand $x\to b^{-}$. Cette limite est notée ${\int }_a^{b}f(t)dt$. Sinon, l'intégrale diverge (la limite est infinie ou n'existe pas). Déterminer si elle converge, c'est en étudier la nature.

• Même définition sur $]a,b]$ avec $x\mapsto {\int }_x^{b}f$ quand $x\to a^{+}$.
• Sur un intervalle ouvert $]a,b[$ : on choisit $c\in ]a,b[$ ; l'intégrale converge si les deux intégrales ${\int }_a^{c}f$ et ${\int }_c^{b}f$ convergent, et la valeur ne dépend pas de $c$. On ne fait jamais tendre les deux bornes ensemble : ${\int }_{-x}^{x}tdt=0$ pour tout $x$, mais ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}tdt$ diverge.
• Faux problème : si $b$ est réel et si $f$ (continue sur $[a,b[$) admet une limite finie en $b$, l'intégrale converge (on prolonge $f$ par continuité, l'intégrale devient celle d'un segment). Exemple : ${\int }_0^1\frac{\sin t}{t}dt$.
• Reste : si ${\int }_a^{b}f$ converge, $R(x)={\int }_x^{b}f(t)dt$ est défini pour $x\in [a,b[$ et tend vers $0$ quand $x\to b$.

Propriétés. Pour des intégrales convergentes sur un même intervalle : linéarité, relation de Chasles, positivité ($f\ge 0\Rightarrow {\int }_a^{b}f\ge 0$) et croissance ($f\le g\Rightarrow {\int }_a^{b}f\le {\int }_a^{b}g$, les deux intégrales convergeant). Si $f$ est continue, positive et d'intégrale nulle sur $I$, alors $f=0$ sur $I$. Pour $f$ à valeurs complexes : $\int f$ converge exactement lorsque les intégrales de la partie réelle et de la partie imaginaire convergent.

Attention. La convergence de ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f$ n'impose pas $f(t)\to 0$ (une fonction faite de « pics » de plus en plus étroits a une intégrale convergente sans tendre vers $0$). En revanche, si $f$ admet une limite $\mathrm{\ell }$ en $+\mathrm{\infty }$ et si ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f$ converge, alors $\mathrm{\ell }=0$.

À connaître par cœur, avec leur démonstration (calcul d'une primitive puis passage à la limite).

En particulier ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{dt}{t^{\alpha }}$ diverge pour tout $\alpha$ (il faudrait à la fois $\alpha <1$ et $\alpha >1$), et ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{dt}{t}$ comme ${\int }_0^1\frac{dt}{t}$ divergent : $\alpha =1$ est le cas limite des deux côtés.

Moyen mnémotechnique : en $+\mathrm{\infty }$ il faut décroître plus vite que $\frac{1}{t}$, en $0$ il suffit d'exploser moins vite que $\frac{1}{t}$. C'est le parallèle exact des séries de Riemann (Séries numériques §8).

Pour $f\ge 0$ c.p.m. sur $[a,b[$, la fonction $F(x)={\int }_a^{x}f$ est croissante : ${\int }_a^{b}f$ converge si et seulement si $F$ est majorée sur $[a,b[$ (théorème de la limite monotone). C'est la base de tous les critères qui suivent.

Théorème de comparaison. Soient $f,g$ c.p.m. sur $[a,b[$. Hypothèses : (i) $0\le f\le g$ au voisinage de $b$ (ou : $f$ et $g$ positives et $f=O(g)$, ou $f=o(g)$ en $b$). Conclusion : si ${\int }_a^{b}g$ converge, alors ${\int }_a^{b}f$ converge ; si ${\int }_a^{b}f$ diverge, alors ${\int }_a^{b}g$ diverge.

Théorème des équivalents. Hypothèses : (i) $g$ est de signe constant au voisinage de $b$ ; (ii) . Conclusion : ${\int }_a^{b}f$ et ${\int }_a^{b}g$ sont de même nature.

Sans l'hypothèse de signe, le théorème des équivalents est faux : en $+\mathrm{\infty }$, $\frac{\sin t}{\sqrt{t}}\sim \frac{\sin t}{\sqrt{t}}+\frac{{\sin }^{2}t}{t}$ ; la première intégrale converge (§5), la seconde diverge.

Règle pratique en $+\mathrm{\infty }$ (« règle $t^{\alpha }f(t)$ »). Pour $f\ge 0$ :

• s'il existe $\alpha >1$ tel que $t^{\alpha }f(t)\to 0$ (ou reste borné), alors ${\int }^{+\mathrm{\infty }}f$ converge ;
• si $tf(t)\to +\mathrm{\infty }$ (ou à une limite $>0$), alors ${\int }^{+\mathrm{\infty }}f$ diverge.

En $0^{+}$ : s'il existe $\alpha <1$ tel que $t^{\alpha }f(t)$ est bornée, ${\int }_{0}f$ converge ; si $tf(t)$ a une limite $>0$ (ou infinie), elle diverge. Exemples : $t^2\cdot t^3{e}^{-\sqrt{t}}\to 0$, donc ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^3{e}^{-\sqrt{t}}dt$ converge en $+\mathrm{\infty }$. Pour $\frac{(\ln t{)}^5}{t^{3\mathrm{/}2}}$, on choisit $\alpha$ strictement entre $1$ et l'exposant $\frac{3}{2}$ : $t^{5\mathrm{/}4}\cdot \frac{(\ln t{)}^5}{t^{3\mathrm{/}2}}=\frac{(\ln t{)}^5}{t^{1\mathrm{/}4}}\to 0$, donc l'intégrale converge en $+\mathrm{\infty }$. En $0^{+}$, $\sqrt{t}\mid \ln t\mid \to 0$ : $\ln t$ est intégrable en $0$ (avec $\alpha =\frac{1}{2}$).

Changement de variable logarithmique (pour les cas limites) : avec $u=\ln t$, ${\int }_e^{+\mathrm{\infty }}\frac{dt}{t(\ln t{)}^{\beta }}={\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{du}{u^{\beta }}$ converge si et seulement si $\beta >1$.

Définition. $f:I\to 𝕂$ c.p.m. est intégrable sur $I$ si ${\int }_I\mid f\mid$ converge. On dit aussi que ${\int }_{I}f$ est absolument convergente.

Théorème. Si $f$ est intégrable sur $I$, alors ${\int }_{I}f$ converge et $$\mid {\int }_{I}f(t)dt\mid \le {\int }_I\mid f(t)\mid dt\mathrm{.}$$ (Pour $f$ réelle : $f^{+}=\max (f,0)$ et $f^{-}=\max (-f,0)$ vérifient $0\le f^{\pm }\le \mid f\mid$ et $f=f^{+}-f^{-}$ ; pour $f$ complexe, on applique cela à $\mathrm{Re}f$ et $\mathrm{Im}f$.)

Conséquences pratiques.

• Pour montrer qu'une fonction de signe quelconque est intégrable, on compare $\mid f\mid$ à une fonction de référence : $\mid \frac{\sin t}{t^{3\mathrm{/}2}}\mid \le \frac{1}{t^{3\mathrm{/}2}}$ sur $[1,+\mathrm{\infty }[$.
• $f$ intégrable et $g$ bornée (c.p.m.) $\Rightarrow$ $fg$ intégrable.
• Intégrable en un point : on dit « $f$ est intégrable en $b$ » pour « intégrable sur $[c,b[$ pour un $c$ proche de $b$ ». Sur $]a,b[$, on étudie séparément chaque borne où il y a un problème.
• L'ensemble des fonctions continues intégrables sur $I$ est un $𝕂$-espace vectoriel, et $f\mapsto {\int }_I\mid f\mid$ y est une norme (notée $\parallel f{\parallel }_1$) ; de même pour les fonctions de carré intégrable (${\int }_I\mid f{\mid }^2$ converge), avec l'inégalité de Cauchy-Schwarz $\mid {\int }_{I}fg\mid \le \sqrt{{\int }_I\mid f{\mid }^2}\sqrt{{\int }_I\mid g{\mid }^2}$.

Intégrale semi-convergente : convergente mais pas absolument. L'exemple type est ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin t}{t}dt$ :

• elle converge : une intégration par parties sur $[1,x]$ donne ${\int }_1^x\frac{\sin t}{t}dt=\cos 1-\frac{\cos x}{x}-{\int }_1^x\frac{\cos t}{t^2}dt$, et la dernière intégrale est absolument convergente ;
• elle n'est pas absolument convergente : $\mid \sin t\mid \ge {\sin }^{2}t=\frac{1-\cos 2t}{2}$, et ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{dt}{2t}$ diverge tandis que ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{\cos 2t}{2t}dt$ converge (même argument).

Retenir : intégrable $\Rightarrow$ convergente, la réciproque est fausse. Les théorèmes des sections 7 à 10 (convergence dominée, terme à terme, intégrales à paramètre) parlent tous de fonctions intégrables.

Intégration par parties. Hypothèses : (i) $u,v$ de classe $C^1$ sur $[a,b[$ ; (ii) le produit $uv$ admet une limite finie en $b$. Conclusion : ${\int }_a^b{u}^{\mathrm{\prime }}v$ et ${\int }_a^{b}u{v}^{\mathrm{\prime }}$ sont de même nature et, en cas de convergence, $${\int }_a^b{u}^{\mathrm{\prime }}(t)v(t)dt=[uv{]}_a^b-{\int }_a^{b}u(t)v^{\mathrm{\prime }}(t)dt,[uv{]}_a^b=\underset{t\to b}{\lim }u(t)v(t)-u(a)v(a)\mathrm{.}$$ Prudence de rédaction : sans l'hypothèse (ii), faire l'IPP sur un segment $[a,x]$, puis faire tendre $x$ vers $b$. C'est la rédaction la plus sûre en devoir, et celle que le jury attend quand le crochet n'est pas évident.

Changement de variable. Hypothèses : (i) $f$ continue sur $]a,b[$ ; (ii) $\phi :]\alpha ,\beta [\to ]a,b[$ bijective, de classe $C^1$ et strictement croissante. Conclusion : ${\int }_a^{b}f(t)dt$ et ${\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (u)){\phi }^{\mathrm{\prime }}(u)du$ sont de même nature et égales en cas de convergence. Si $\phi$ est strictement décroissante, même chose en échangeant les bornes (${\int }_a^{b}f={\int }_{\beta }^{\alpha }f(\phi (u)){\phi }^{\mathrm{\prime }}(u)du$).

Changements usuels : $u=\frac{1}{t}$ (échange $]0,1]$ et $[1,+\mathrm{\infty }[$), $t=u^2$ ou $u=\sqrt{t}$ (racines), $u=e^t$ (fonctions de $e^t$, $\mathrm{ch}$, $\mathrm{sh}$), $t={\sin }^2\theta$ (expressions en $\sqrt{t(1-t)}$), $u=xt$ (faire sortir un paramètre). Le changement de variable sert aussi à transformer la nature d'une intégrale : ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\sin (t^2)dt$ se ramène par $u=t^2$ à ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin u}{2\sqrt{u}}du$.

Primitives et fonction de la borne. Si $f$ est continue sur $[a,b[$ et ${\int }_a^{b}f$ converge, le reste $R(x)={\int }_x^{b}f$ est de classe $C^1$ avec $R^{\mathrm{\prime }}=-f$ ; si $f$ est continue sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, la fonction $x\mapsto {\int }_x^{+\mathrm{\infty }}f$ se dérive de même. On utilise ces fonctions comme en 1re année (Intégration §9).

Soit $g\ge 0$ c.p.m. sur $[a,b[$ et $f$ c.p.m. sur $[a,b[$, à valeurs dans $𝕂$.

• Cas intégrable (${\int }_a^{b}g$ converge) : si $f=O(g)$ (resp. $f=o(g)$) en $b$, alors $f$ est intégrable en $b$ et ${\int }_x^{b}f=O\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\int }_x^{b}g\right)$ (resp. $o$) quand $x\to b$. Si $f\sim g$, alors ${\int }_x^{b}f\sim {\int }_x^{b}g$ : les restes sont équivalents.
• Cas non intégrable (${\int }_a^{b}g$ diverge) : si $f=O(g)$ (resp. $o$, $\sim$), alors ${\int }_a^{x}f=O\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\int }_a^{x}g\right)$ (resp. $o$, $\sim$) : les intégrales partielles sont équivalentes.

Exemple : en $+\mathrm{\infty }$, $\frac{1}{t^2+\sqrt{t}}\sim \frac{1}{t^2}$, donc ${\int }_x^{+\mathrm{\infty }}\frac{dt}{t^2+\sqrt{t}}\sim {\int }_x^{+\mathrm{\infty }}\frac{dt}{t^2}=\frac{1}{x}$.

Séries et intégrales. Pour $f$ continue, positive et décroissante sur $[n_0,+\mathrm{\infty }[$, la série $\sum f(n)$ et l'intégrale ${\int }_{n_0}^{+\mathrm{\infty }}f$ ont même nature, avec l'encadrement du reste vu en 1re année (Séries numériques §9). La positivité et la monotonie sont indispensables. Une intégrale ne se traite pas comme une série : on ne parle ni de « terme général » ni de règle de d'Alembert pour une intégrale.

C'est l'outil central pour intervertir limite et intégrale sur un intervalle quelconque (la convergence uniforme ne suffit plus hors d'un segment : Suites et séries de fonctions §5).

Théorème de convergence dominée. Soit $(f_n)$ une suite de fonctions de $I$ dans $𝕂$. Hypothèses : (i) chaque $f_n$ est c.p.m. sur $I$ ; (ii) la suite $(f_n)$ admet sur $I$ une limite simple $f$, elle-même c.p.m. sur $I$ ; (iii) domination : il existe $\phi :I\to {ℝ}_{+}$ c.p.m. et intégrable sur $I$, indépendante de $n$, telle que $$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }t\in I,\mid f_n(t)\mid \le \phi (t)\mathrm{.}$$ Conclusion : les $f_n$ et $f$ sont intégrables sur $I$ et $${\int }_I{f}_n(t)dt\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{⟶}{\int }_{I}f(t)dt\mathrm{.}$$

Version à paramètre continu. Même énoncé pour une famille $(f_{\lambda }{)}_{\lambda \in J}$ ($J$ intervalle) quand $\lambda \to {\lambda }_0$ (${\lambda }_0$ adhérent à $J$, éventuellement infini) : convergence simple vers $f$ c.p.m. et $\mid f_{\lambda }\mid \le \phi$ intégrable pour tout $\lambda$ (au moins au voisinage de ${\lambda }_0$). On l'appelle aussi théorème du passage à la limite sous l'intégrale ; on peut aussi l'obtenir par la caractérisation séquentielle.

Comment trouver $\phi$. Majorer $\mid f_n(t)\mid$ par une expression où $n$ n'apparaît plus : $\mid \sin u\mid \le \mid u\mid$, $\ln (1+u)\le u$ (d'où $(1-\frac{t}{n}{)}^n\le e^{-t}$ sur $[0,n]$), $\frac{1}{1+u}\le 1$ pour $u\ge 0$, monotonie en $n$ ($\mid f_n\mid \le \mid f_0\mid$)… On peut aussi ne dominer qu'à partir d'un rang $n_0$.

Contre-exemples à connaître (quand la domination manque) : $f_n={\mathrm{𝟏}}_{[n,n+1]}$ sur ${ℝ}_{+}$ (la « bosse qui s'en va ») et $f_n(t)=n{e}^{-nt}$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ (la bosse qui se concentre en $0$) tendent simplement vers $0$, mais $\int f_n=1$ pour tout $n$.

Théorème d'intégration terme à terme. Soit $\sum u_n$ une série de fonctions de $I$ dans $𝕂$. Hypothèses : (i) chaque $u_n$ est c.p.m. et intégrable sur $I$ ; (ii) $\sum u_n$ converge simplement sur $I$ vers une fonction $S$ c.p.m. sur $I$ ; (iii) la série numérique ${\displaystyle \sum _n{\int }_I\mid u_n(t)\mid dt}$ converge. Conclusion : $S$ est intégrable sur $I$ et $${\int }_I\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n(t)dt=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_I{u}_n(t)dt\mathrm{.}$$

• L'hypothèse (iii) porte sur les intégrales des modules. Pour des $u_n\ge 0$, elle se réduit à la convergence de $\sum {\int }_I{u}_n$ (et le calcul de $\sum \int u_n$ suffit).
• Sur un segment, la convergence uniforme de $\sum u_n$ suffit (Suites et séries de fonctions §9) ; ce n'est plus vrai sur un intervalle non borné.
• Quand (iii) échoue (séries alternées typiquement), on applique la convergence dominée aux sommes partielles $S_N={\sum }_{n=0}^N{u}_n$ : il suffit de trouver $\phi$ intégrable avec $\mid S_N\mid \le \phi$ pour tout $N$. Exemple : sur $[0,1[$, $\mid {\sum }_{n=0}^N(-t{)}^n\mid =\frac{\mid 1-(-t{)}^{N+1}\mid }{1+t}\le \frac{2}{1+t}\le 2$, d'où $\ln 2={\int }_0^1\frac{dt}{1+t}={\sum }_{n\ge 0}\frac{(-1{)}^n}{n+1}$.
• Exemple type de (iii) : pour $t>0$, $\frac{t}{e^t-1}={\sum }_{n\ge 1}t{e}^{-nt}$ et ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}t{e}^{-nt}dt=\frac{1}{n^2}$ ; la série de Riemann $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, donc on intègre terme à terme.

On étudie $F(x)={\displaystyle {\int }_{I}f(x,t)dt}$ pour $x$ dans un intervalle $A$ (ou une partie de $ℝ$), où $f:A\times I\to 𝕂$. La variable d'intégration est $t$ ; $x$ est le paramètre.

Théorème de continuité. Hypothèses : (i) pour tout $x\in A$, $t\mapsto f(x,t)$ est c.p.m. sur $I$ ; (ii) pour tout $t\in I$, $x\mapsto f(x,t)$ est continue sur $A$ ; (iii) domination : il existe $\phi$ c.p.m., positive et intégrable sur $I$ telle que $\mid f(x,t)\mid \le \phi (t)$ pour tout $(x,t)\in A\times I$. Conclusion : $F$ est définie et continue sur $A$.

Domination locale. La continuité est une propriété locale : il suffit que (iii) ait lieu sur tout segment $[c,d]\subset A$ (ou sur tout $[c,+\mathrm{\infty }[\subset A$), avec une fonction ${\phi }_{[c,d]}$ qui peut dépendre du segment. C'est le cas usuel : pour $F(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-xt}g(t)dt$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, on domine sur $[c,+\mathrm{\infty }[$ par $e^{-ct}\mid g(t)\mid$, pas sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ entier.

Limite aux bornes. Pour la limite de $F$ en une borne $x_0$ de $A$ (finie ou infinie), on applique la version à paramètre continu de la convergence dominée (§7) : limite simple $\mathrm{\ell }(t)={\lim }_{x\to x_0}f(x,t)$ c.p.m., domination au voisinage de $x_0$. Autres outils fréquents : un changement de variable $u=xt$ qui fait passer le paramètre dans les bornes, une minoration pour montrer que $F\to +\mathrm{\infty }$ (convergence dominée impossible si la limite est infinie), un encadrement pour un équivalent.

Théorème de dérivation (classe $C^1$). Hypothèses : (i) pour tout $x\in A$ ($A$ intervalle), $t\mapsto f(x,t)$ est c.p.m. et intégrable sur $I$ ; (ii) $f$ admet une dérivée partielle $\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}$ sur $A\times I$, telle que $t\mapsto \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(x,t)$ est c.p.m. sur $I$ pour tout $x$, et $x\mapsto \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(x,t)$ est continue sur $A$ pour tout $t$ ; (iii) domination de la dérivée : sur tout segment $K\subset A$, il existe ${\phi }_K$ intégrable sur $I$ avec $\mid \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(x,t)\mid \le {\phi }_K(t)$ pour tout $(x,t)\in K\times I$. Conclusion : $F$ est de classe $C^1$ sur $A$ et $$\mathrm{\forall }x\in A,F^{\mathrm{\prime }}(x)={\int }_I\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(x,t)dt(\text{formule de Leibniz})\mathrm{.}$$

Classe $C^k$. Si les dérivées partielles $\frac{{\mathrm{\partial }}^{j}f}{\mathrm{\partial }{x}^j}$ existent pour $j\le k$, sont continues en $x$ et c.p.m. en $t$, si $t\mapsto \frac{{\mathrm{\partial }}^{j}f}{\mathrm{\partial }{x}^j}(x,t)$ est intégrable pour $0\le j\le k-1$ et si $\frac{{\mathrm{\partial }}^{k}f}{\mathrm{\partial }{x}^k}$ est dominée sur tout segment de $A$, alors $F$ est $C^k$ et $F^{(j)}(x)={\int }_I\frac{{\mathrm{\partial }}^{j}f}{\mathrm{\partial }{x}^j}(x,t)dt$ pour $j\le k$. Pour la classe $C^{\mathrm{\infty }}$ : dominer chaque dérivée sur tout segment.

Sur un segment $I=[a,b]$ : si $f$ et $\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}$ sont continues sur $A\times [a,b]$, l'hypothèse de domination est automatique sur tout segment de $A$ (une fonction continue sur le compact $K\times [a,b]$ est bornée). Le jury 2024 a noté que peu de candidats avaient remarqué que l'intervalle d'intégration était un segment.

Plan d'étude d'une fonction définie par une intégrale.

1. Ensemble de définition : pour chaque $x$, étudier l'intégrabilité de $t\mapsto f(x,t)$ (continuité, puis chaque borne).
2. Continuité / dérivabilité : vérifier les hypothèses des théorèmes, domination locale à l'appui.
3. Calcul de $F^{\mathrm{\prime }}$ (souvent une intégrale explicite, ou une équation différentielle vérifiée par $F$).
4. Limites, équivalents aux bornes : convergence dominée, changement de variable, encadrement.
5. Éventuellement valeur de $F$ : intégrer $F^{\mathrm{\prime }}$ et trouver la constante par une valeur ou une limite connue.

Définition. Pour $x>0$, ${\displaystyle \mathrm{\Gamma }(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{x-1}{e}^{-t}dt}$.

Ensemble de définition : $]0,+\mathrm{\infty }[$. La fonction $t\mapsto t^{x-1}{e}^{-t}$ est continue et positive sur $]0,+\mathrm{\infty }[$. En $0$ : $t^{x-1}{e}^{-t}\sim t^{x-1}=\frac{1}{t^{1-x}}$, intégrable si et seulement si $1-x<1$, soit $x>0$. En $+\mathrm{\infty }$ : $t^2\cdot t^{x-1}{e}^{-t}\to 0$ (croissances comparées), donc intégrable pour tout $x$.

Propriétés.

• $\mathrm{\Gamma }(x)>0$ (intégrale d'une fonction continue, positive, non nulle).
• Relation fonctionnelle : $\mathrm{\Gamma }(x+1)=x\mathrm{\Gamma }(x)$ pour $x>0$ (IPP sur $[\epsilon ,A]$ avec $u=t^x$, $v^{\mathrm{\prime }}=e^{-t}$, puis $\epsilon \to 0$, $A\to +\mathrm{\infty }$ : le crochet $[-t^x{e}^{-t}]$ tend vers $0$ aux deux bornes car $x>0$).
• $\mathrm{\Gamma }(1)=1$, d'où $\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!$ pour $n\in \mathbb{N}$ : $\mathrm{\Gamma }$ prolonge la factorielle.
• $\mathrm{\Gamma }\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$, par $t=u^2$ : $\mathrm{\Gamma }\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{2}\right)=2{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-u^2}du$, et l'intégrale de Gauss ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-u^2}du=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$ (calcul classique par une intégrale à paramètre, à savoir refaire). Puis $\mathrm{\Gamma }\text{\hspace{0.17em}⁣}(n+\frac{1}{2})=\frac{(2n)!}{4^{n}n!}\sqrt{\pi }$.
• Régularité : $\mathrm{\Gamma }$ est de classe $C^{\mathrm{\infty }}$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ et $${\mathrm{\Gamma }}^{(k)}(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}(\ln t{)}^k{t}^{x-1}{e}^{-t}dt\mathrm{.}$$ Domination sur $[a,b]\subset ]0,+\mathrm{\infty }[$ : pour $t\in ]0,1]$, $t^{x-1}\le t^{a-1}$ ; pour $t\ge 1$, $t^{x-1}\le t^{b-1}$ ; donc $\mid (\ln t{)}^k{t}^{x-1}{e}^{-t}\mid \le \mid \ln t{\mid }^k(t^{a-1}+t^{b-1})e^{-t}$, fonction intégrable sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.
• Convexité : ${\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}(\ln t{)}^2{t}^{x-1}{e}^{-t}dt>0$, donc $\mathrm{\Gamma }$ est strictement convexe. Comme $\mathrm{\Gamma }(1)=\mathrm{\Gamma }(2)=1$, le théorème de Rolle donne un unique point de $]1,2[$ où ${\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\prime }}$ s'annule (${\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\prime }}$ strictement croissante) : $\mathrm{\Gamma }$ y atteint son minimum.
• Comportement aux bornes : (continuité de $\mathrm{\Gamma }$ en $1$) ; $\mathrm{\Gamma }(x)\to +\mathrm{\infty }$ en $+\mathrm{\infty }$ (croissante sur $[2,+\mathrm{\infty }[$ et $\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!$).

Étudier la nature de ${\int }_{I}f$

1. Dire où $f$ est continue (ou c.p.m.) : c'est la première ligne attendue, le jury la réclame à chaque rapport.
2. Repérer les bornes à problème (bornes infinies, points où $f$ n'est pas définie) ; couper l'intervalle avec Chasles.
3. À chaque borne : faux problème (limite finie) ? Sinon, si $f$ est de signe constant au voisinage, équivalent ou comparaison à une intégrale de référence (en précisant à quelle borne et pourquoi). Sinon, valeur absolue (intégrabilité), et en dernier recours IPP ou changement de variable (semi-convergence).
4. Conclure en une phrase : « donc ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f$ converge » ou « $f$ est intégrable sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ ».

Calculer une intégrale généralisée

Primitive explicite puis limite ; IPP sur un segment puis passage à la limite ; changement de variable (justifier : $C^1$, bijectif, strictement monotone) ; symétrie ($u=\frac{1}{t}$, $u=\frac{\pi }{2}-t$) ; relation de récurrence sur $I_n$ ; terme à terme.

Limite d'une suite d'intégrales ${\int }_I{f}_n$

Limite simple $f$ ; domination par $\phi$ intégrable indépendante de $n$ ; conclure par convergence dominée. Si la limite simple est nulle sauf en un point (type $t^n$ sur $[0,1]$), la limite des intégrales est souvent $0$ ; pour un équivalent, faire d'abord un changement de variable ($u=t^n$, $u=nt$) qui « déplie » la suite.

Étudier $F(x)={\int }_{I}f(x,t)dt$

Suivre le plan du §10. Toujours écrire les trois hypothèses avec la fonction dominante explicite, préciser sur quel segment on domine, et justifier l'intégrabilité de la fonction dominante.

Calculer une intégrale grâce à un paramètre

Introduire $F(x)$ telle que l'intégrale cherchée soit $F(x_1)$ ; calculer $F^{\mathrm{\prime }}(x)$ (plus simple que $F$) ; intégrer ; déterminer la constante par une valeur particulière ($F(0)$) ou une limite ($x\to +\mathrm{\infty }$ par convergence dominée).

1. Oublier la continuité de la fonction avant de parler d'intégrabilité, ou ne pas préciser l'intervalle : « $f$ est intégrable » n'a pas de sens sans « sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ ». Le jury (2024, 2025) le relève systématiquement.
2. Étudier la mauvaise borne : vérifier l'intégrabilité « en $0$ » pour une intégrale sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ où $f$ est continue en $0$, et oublier $+\mathrm{\infty }$.
3. Utiliser un équivalent pour une fonction qui change de signe (§3), ou comparer avec une fonction de référence sans dire qu'elle est positive.
4. Domination qui dépend du paramètre : « $\mid f_n(t)\mid \le \frac{n}{1+n^2{t}^2}$ » n'est pas une domination. Autres fautes notées par le jury : oublier le module (dominer $f$ au lieu de $\mid f\mid$), dominer une fonction complexe par une expression complexe, ne pas justifier que la fonction dominante est intégrable.
5. Intervertir sans théorème : écrire $\lim \int =\int \lim$ ou $\int \sum =\sum \int$ sans citer la convergence dominée ou l'intégration terme à terme et sans vérifier leurs hypothèses.
6. Intégration terme à terme sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ avec la seule convergence uniforme : insuffisant hors d'un segment.
7. IPP généralisée mal rédigée : crochet divergent ou non étudié ; écrire ${\int }_a^b{u}^{\mathrm{\prime }}v=[uv{]}_a^b-{\int }_a^{b}u{v}^{\mathrm{\prime }}$ alors qu'aucune des deux intégrales ne converge. Faire l'IPP sur $[a,x]$.
8. Faire tendre les deux bornes ensemble sur $]-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }[$ (${\int }_{-x}^x$), ou croire que ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f$ convergente impose $f\to 0$.
9. Confondre convergence et intégrabilité : $\frac{\sin t}{t}$ a une intégrale convergente sur $[1,+\mathrm{\infty }[$ mais n'y est pas intégrable ; on ne peut pas lui appliquer les théorèmes des §7 à §10 tels quels.
10. Changement de variable non justifié (non bijectif, non $C^1$), ou du type « $t=t+x$ » (même lettre des deux côtés), signalé en 2024.

• « Intégrale généralisée » (on lit aussi « intégrale impropre » dans des documents plus anciens) ; « justifier l'existence de $F(x)$ » ou « montrer que $F$ est bien définie » ; « étudier l'intégrabilité de $f$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ » ; « l'intégrale est convergente », « absolument convergente », « semi-convergente ».
• « Fonction de carré intégrable », « intégrale de Gauss », « fonction $\mathrm{\Gamma }$ d'Euler », « intégrale de Dirichlet » (${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin t}{t}dt=\frac{\pi }{2}$), « intégrales de Wallis ».
• « Théorème de convergence dominée » (TCD), « domination », « hypothèse de domination locale », « théorème de dérivation sous le signe intégrale » (ou « sous le signe somme »), « formule de Leibniz », « théorème du passage à la limite sous l'intégrale », « intégration terme à terme » ; « permuter » ou « intervertir » les symboles $\lim$, $\sum$ et $\int$.
• Notations : ${ℝ}_{+}^{\ast }$ ou $]0,+\mathrm{\infty }[$ ; $C^1$, $C^{\mathrm{\infty }}$ ; continue par morceaux noté $C_m$ ou $𝒞ℳ$ ; $\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}$ ; $\ln$, $\mathrm{ch}$, $\mathrm{sh}$, $\mathrm{th}$, $\arctan$ (parfois $\mathrm{Arctg}$) ; partie entière $E(x)$ ou $[t]$.
• Énoncés : « Prouver que $F$ est $C^1$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, puis donner $F^{\mathrm{\prime }}(x)$ », « À l'aide du théorème de convergence dominée, déterminer la limite de… », « Justifier la permutation des symboles », « En déduire un équivalent de $F(x)$ au voisinage de $0^{+}$ », « Sans calculer $F(x)$, justifier… ». Calculatrice interdite : toutes les valeurs sont exactes ($\pi$, $\ln 2$, $\sqrt{\pi }$).
• Concours (Maths I, 4 h, document réponse) : questions numérotées Q.1, Q.2… ; un problème sur une fonction définie par une intégrale revient presque chaque année. Une réponse sans hypothèses vérifiées ne rapporte rien.