Une assertion (on dit aussi proposition) est un énoncé mathématique qui a une seule valeur logique : vrai (V) ou faux (F). « $7$ est premier » est une assertion vraie ; « $x>2$ » n'en est une que si $x$ est fixé.

• Le « ou » mathématique est inclusif : « $P$ ou $Q$ » est vraie quand les deux le sont.
• Deux assertions sont équivalentes (on écrit $\equiv$ ou $\iff$) quand elles ont la même table de vérité. Une tautologie est une assertion toujours vraie, quelles que soient les valeurs de ses composantes.

Règles de calcul (toutes se vérifient sur une table de vérité) :

• double négation : non(non $P$) $\equiv P$ ;
• lois de De Morgan : non($P$ et $Q$) $\equiv$ (non $P$) ou (non $Q$) ; non($P$ ou $Q$) $\equiv$ (non $P$) et (non $Q$) ;
• distributivité : $P$ et ($Q$ ou $R$) $\equiv$ ($P$ et $Q$) ou ($P$ et $R$), et la règle obtenue en échangeant « et » et « ou ».

$P\Rightarrow Q$ est, par définition, l'assertion « (non $P$) ou $Q$ ». Elle n'est fausse que dans un cas : $P$ vraie et $Q$ fausse. En particulier, une implication dont l'hypothèse est fausse est vraie.

• Condition nécessaire, condition suffisante. Si $P\Rightarrow Q$ est vraie : $P$ est une condition suffisante pour $Q$, et $Q$ est une condition nécessaire pour $P$. « $P$ si et seulement si $Q$ » signifie $P\iff Q$ (CNS).
• La négation d'une implication n'est pas une implication : contredire « s'il pleut, je prends mon parapluie », c'est trouver un jour où il pleut et où je n'ai pas de parapluie.
• Transitivité : (($P\Rightarrow Q$) et ($Q\Rightarrow R$)) $\Rightarrow$ ($P\Rightarrow R$) est une tautologie. C'est ce qui permet d'enchaîner les implications dans une démonstration.

Soit $P(x)$ une assertion qui dépend d'un élément $x$ d'un ensemble $E$.

• $\mathrm{\forall }x\in E,P(x)$ : « pour tout $x$ de $E$, $P(x)$ est vraie » (quantificateur universel) ;
• $\mathrm{\exists }x\in E,P(x)$ : « il existe au moins un $x$ de $E$ tel que $P(x)$ » (quantificateur existentiel) ;
• $\mathrm{\exists }!x\in E,P(x)$ : « il existe un et un seul $x$ de $E$ tel que $P(x)$ ».

Négation. On échange $\mathrm{\forall }$ et $\mathrm{\exists }$ et on nie l'assertion finale : $$\text{non}(\mathrm{\forall }x\in E,P(x))\equiv \mathrm{\exists }x\in E,\text{ non }P(x),\text{non}(\mathrm{\exists }x\in E,P(x))\equiv \mathrm{\forall }x\in E,\text{ non }P(x)\mathrm{.}$$ Exemple : « $f$ est majorée » s'écrit $\mathrm{\exists }M\in ℝ,\mathrm{\forall }x\in ℝ,f(x)\le M$ ; sa négation est $\mathrm{\forall }M\in ℝ,\mathrm{\exists }x\in ℝ,f(x)>M$.

Ordre des quantificateurs.

• Deux quantificateurs de même nature se permutent : $\mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }y$ équivaut à $\mathrm{\forall }y\mathrm{\forall }x$.
• Un $\mathrm{\forall }$ et un $\mathrm{\exists }$ ne se permutent pas : $\mathrm{\forall }x\in ℝ,\mathrm{\exists }y\in ℝ,y>x$ est vraie ($y=x+1$ convient, et $y$ dépend de $x$) ; $\mathrm{\exists }y\in ℝ,\mathrm{\forall }x\in ℝ,y>x$ est fausse (un réel plus grand que tous les réels n'existe pas).
• Dans « $\mathrm{\forall }x,\mathrm{\exists }y$ », le $y$ choisi peut dépendre de $x$ ; dans « $\mathrm{\exists }y,\mathrm{\forall }x$ », il est le même pour tous.

Quantificateur et connecteurs. $\mathrm{\forall }$ se distribue sur « et », $\mathrm{\exists }$ sur « ou ». En revanche $(\mathrm{\forall }x,P(x)\text{ ou }Q(x))$ n'entraîne pas $(\mathrm{\forall }x,P(x))$ ou $(\mathrm{\forall }x,Q(x))$ : tout entier est pair ou impair, mais les entiers ne sont pas tous pairs, ni tous impairs.

Rédaction. Une variable quantifiée est muette : $\mathrm{\forall }x,P(x)$ et $\mathrm{\forall }t,P(t)$ disent la même chose. On n'écrit jamais un quantificateur après l'assertion qu'il gouverne (« $f(x)\ge 0,\mathrm{\forall }x$ » est toléré à l'oral, pas dans une assertion composée). Les symboles $\mathrm{\forall }$, $\mathrm{\exists }$ ne servent pas d'abréviations dans une phrase en français.

• Raisonnement direct. Pour montrer $P\Rightarrow Q$ : on suppose $P$ vraie et on en déduit $Q$ par une suite d'implications. Pour montrer $\mathrm{\forall }x\in E,P(x)$ : on écrit « Soit $x\in E$ », puis on prouve $P(x)$ pour ce $x$ quelconque.

• Équivalence. On prouve les deux implications séparément, ou on enchaîne des équivalences en vérifiant chacune (élever au carré, diviser par une quantité qui peut s'annuler… ne donnent qu'une implication).

• Disjonction de cas. Si $P_1$ ou $P_2$ est toujours vraie et si $P_1\Rightarrow Q$ et $P_2\Rightarrow Q$, alors $Q$ est vraie. Exemple : un entier est pair ou impair ; un entier s'écrit $3k$, $3k+1$ ou $3k+2$.

• Contre-exemple. Pour montrer qu'une assertion « $\mathrm{\forall }x\in E,P(x)$ » est fausse, il suffit d'exhiber un $x$ pour lequel $P(x)$ est fausse. À l'inverse, des exemples, même nombreux, ne prouvent jamais un « pour tout ».

• Existence. Pour prouver $\mathrm{\exists }x,P(x)$, on peut construire $x$ explicitement, ou raisonner par l'absurde.

• Analyse-synthèse. Pour déterminer tous les objets vérifiant une propriété (ou prouver qu'un objet existe et est unique) :

  1. Analyse : on suppose qu'un objet convient et on en déduit des conditions nécessaires qui le déterminent (souvent : il ne peut être que tel objet) ;
  2. Synthèse : on vérifie que le ou les candidats obtenus conviennent réellement.

  Exemple type : toute fonction $f:ℝ\to ℝ$ s'écrit de façon unique $f=p+i$ avec $p$ paire et $i$ impaire. L'analyse donne $p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$ et $i(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$ (d'où l'unicité) ; la synthèse vérifie que ces deux fonctions conviennent (d'où l'existence).

Par contraposée. Pour prouver $P\Rightarrow Q$, on prouve (non $Q$) $\Rightarrow$ (non $P$), qui lui est équivalente. C'est utile quand « non $Q$ » donne une information plus maniable que $P$. Exemple : pour $n\in \mathbb{Z}$, « $n^2$ pair $\Rightarrow n$ pair » se prouve par la contraposée : si $n=2k+1$, alors $n^2=2(2k^2+2k)+1$ est impair.

Par l'absurde. Pour prouver $P$, on suppose non $P$ et on aboutit à une contradiction (une assertion à la fois vraie et fausse, ou contraire à une hypothèse). Alors non $P$ est fausse, donc $P$ est vraie. Exemple : $\sqrt{2}\mathrm{\notin }\mathbb{Q}$. Sinon $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ avec $p,q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ sans facteur commun ; alors $p^2=2q^2$, donc $p$ est pair, $p=2p^{\mathrm{\prime }}$, puis $q^2=2p^{\mathrm{\prime }2}$ et $q$ est pair : contradiction avec le choix de $\frac{p}{q}$ irréductible.

Ne pas confondre. La contraposée garde la structure « hypothèse ⇒ conclusion » et ne vise aucune contradiction ; l'absurde suppose le contraire de ce qu'on veut montrer (pour $P\Rightarrow Q$ : on suppose $P$ et non $Q$). Rédaction attendue : annoncer « Raisonnons par l'absurde : supposons que… », puis conclure « …ce qui est absurde ».

Il repose sur une propriété de $\mathbb{N}$ : toute partie non vide de $\mathbb{N}$ admet un plus petit élément.

Récurrence simple. Soit $P(n)$ une assertion dépendant de $n\in \mathbb{N}$ et $n_0\in \mathbb{N}$. Hypothèses : (i) initialisation : $P(n_0)$ est vraie ; (ii) hérédité : pour tout $n\ge n_0$, $P(n)\Rightarrow P(n+1)$. Conclusion : $P(n)$ est satisfaite pour chaque entier $n\ge n_0$.

Récurrence double (pour une suite définie par deux termes et une relation $u_{n+2}=f(u_{n+1},u_n)$). Hypothèses : (i) $P(n_0)$ et $P(n_0+1)$ vraies ; (ii) pour tout $n\ge n_0$, ($P(n)$ et $P(n+1)$) $\Rightarrow P(n+2)$. Conclusion : $P(n)$ est satisfaite pour chaque entier $n\ge n_0$.

Récurrence forte. Hypothèses : (i) $P(n_0)$ vraie ; (ii) pour tout $n\ge n_0$, si $P(k)$ est vraie pour tout $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[n_0,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, alors $P(n+1)$ est vraie. Conclusion : $P(n)$ est satisfaite pour chaque entier $n\ge n_0$. On l'emploie quand le rang $n+1$ s'appuie sur un rang quelconque antérieur (exemple : tout entier $n\ge 2$ a un diviseur premier, car soit $n$ est premier, soit $n=ab$ avec $2\le a<n$ et $a$ a un diviseur premier).

Rédaction modèle.

1. Énoncer $P(n)$ clairement, avec le rang de départ.
2. Initialisation : vérifier $P(n_0)$ (et $P(n_0+1)$ pour une récurrence double).
3. « Soit $n\ge n_0$ ; supposons $P(n)$ vraie (hypothèse de récurrence) et montrons $P(n+1)$. »
4. Conclure : « Par récurrence, $P(n)$ est satisfaite pour chaque entier $n\ge n_0$. »

Pièges. L'hérédité seule ne prouve rien (« $n+1\le n$ » est héréditaire mais toujours fausse). Le rang $n$ de l'hérédité est fixé quelconque : écrire « supposons $P(n)$ vraie pour tout $n$ » revient à supposer le résultat.

Appartenance, inclusion. $x\in E$ : $x$ est un élément de $E$. $A\subset E$ ($A$ est une partie de $E$) signifie $\mathrm{\forall }x\in A,x\in E$. Deux ensembles sont égaux si chacun est inclus dans l'autre : c'est la méthode de la double inclusion. L'ensemble vide $\mathrm{\varnothing }$ est inclus dans tout ensemble. Ne pas confondre $\in$ (un élément dans un ensemble) et $\subset$ (un ensemble dans un ensemble) : $1\in \{1,2\}$, $\{1\}\subset \{1,2\}$, $\{1\}\in 𝒫(\{1,2\})$.

Ensemble des parties. Les parties de $E$ forment elles-mêmes un ensemble, noté $𝒫(E)$ ; ainsi $A\in 𝒫(E)⟺A\subset E$. On a toujours $\mathrm{\varnothing }\in 𝒫(E)$ et $E\in 𝒫(E)$. Exemple : $𝒫(\{a,b\})=\{\mathrm{\varnothing },\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$. Si $E$ a $n$ éléments, $𝒫(E)$ en a $2^n$ (se prouve par récurrence sur $n$).

Opérations (pour $A,B\subset E$) :

$A$ et $B$ sont disjointes si $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$.

Règles (elles traduisent les règles du § 1) : $\cup$ et $\cap$ sont commutatives et associatives ; chacune est distributive sur l'autre ; $\overline{\stackrel{‾}{A}}=A$ ; De Morgan : $\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap \bar{B}$ et $\overline{A\cap B}=\bar{A}\cup \bar{B}$ ; $A\subset B⟺\bar{B}\subset \bar{A}⟺A\cap B=A⟺A\cup B=B$. Ces règles s'étendent aux familles $(A_i{)}_{i\in I}$ : $\overline{{\bigcup }_i{A}_i}={\bigcap }_i\overline{A_i}$.

Produit cartésien. $E\times F=\{(x,y)\mid x\in E,y\in F\}$ : ensemble des couples. L'ordre compte : $(x,y)=(x^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }})⟺x=x^{\mathrm{\prime }}$ et $y=y^{\mathrm{\prime }}$. On note $E^2=E\times E$ et $E^n$ l'ensemble des $n$-uplets. Attention : $(A\times B)\cup (C\times D)$ est en général différent de $(A\cup C)\times (B\cup D)$.

Partition. Une famille de parties de $E$ non vides, deux à deux disjointes et de réunion $E$ est une partition de $E$.

Fonction caractéristique (outil fréquent en série). Pour $A\subset E$, ${\mathrm{𝟙}}_A:E\to \{0,1\}$ vaut $1$ sur $A$ et $0$ ailleurs. Alors ${\mathrm{𝟙}}_{A\cap B}={\mathrm{𝟙}}_A{\mathrm{𝟙}}_B$, ${\mathrm{𝟙}}_{\bar{A}}=1-{\mathrm{𝟙}}_A$, ${\mathrm{𝟙}}_{A\cup B}={\mathrm{𝟙}}_A+{\mathrm{𝟙}}_B-{\mathrm{𝟙}}_A{\mathrm{𝟙}}_B$, et $A=B⟺{\mathrm{𝟙}}_A={\mathrm{𝟙}}_B$. On la note aussi ${\chi }_A$ ou ${\phi }_A$.

Une application $f:E\to F$ associe à chaque élément $x$ de $E$ (ensemble de départ) un unique élément $f(x)$ de $F$ (ensemble d'arrivée). $f(x)$ est l'image de $x$ ; tout $x$ tel que $f(x)=y$ est un antécédent de $y$. Le graphe de $f$ est $\{(x,f(x))\mid x\in E\}\subset E\times F$. Les applications de $E$ vers $F$ forment un ensemble noté $ℱ(E,F)$ ou $F^E$ ; on note ${\mathrm{I}\mathrm{d}}_E$ l'application identité de $E$.

• Égalité : $f=g$ si elles ont mêmes ensembles de départ et d'arrivée et $f(x)=g(x)$ pour tout $x$.
• Restriction à $A\subset E$ : $f_{\mathrm{\mid }A}:A\to F$, $x\mapsto f(x)$. Prolongement : opération inverse.
• Composée de $f:E\to F$ et $g:F\to G$ : $g\circ f:E\to G$, $x\mapsto g(f(x))$. Elle est associative, mais pas commutative en général (et $f\circ g$ n'a parfois même pas de sens).

Image directe d'une partie $A\subset E$ : $f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}\subset F$. Ainsi $y\in f(A)⟺\mathrm{\exists }x\in A,y=f(x)$. Image réciproque d'une partie $B\subset F$ : $f^{-1}(B)=\{x\in E\mid f(x)\in B\}\subset E$. Ainsi $x\in f^{-1}(B)⟺f(x)\in B$. La notation $f^{-1}(B)$ a un sens pour toute application, même non bijective.

Propriétés ($A,A^{\mathrm{\prime }}\subset E$, $B,B^{\mathrm{\prime }}\subset F$) :

L'image réciproque respecte toutes les opérations ; l'image directe ne respecte que la réunion. Contre-exemple pour l'intersection : $f(x)=x^2$, $A=\{-1\}$, $A^{\mathrm{\prime }}=\{1\}$ : $f(A\cap A^{\mathrm{\prime }})=\mathrm{\varnothing }$ mais $f(A)\cap f(A^{\mathrm{\prime }})=\{1\}$.

Calcul pratique pour une fonction réelle. Pour $f(A)$ : tableau de variations de $f$ sur $A$. Pour $f^{-1}(B)$ : résoudre l'inéquation $f(x)\in B$. Exemple : $f(x)=x^2$, $f([-1,2])=[0,4]$ et $f^{-1}([1,4])=[-2,-1]\cup [1,2]$.

Soit $f:E\to F$.

• Nier l'injectivité : trouver $x\mathrm{\ne }{x}^{\mathrm{\prime }}$ avec $f(x)=f(x^{\mathrm{\prime }})$. Nier la surjectivité : trouver $y\in F$ sans antécédent.
• Ces propriétés dépendent des ensembles de départ et d'arrivée : $x\mapsto x^2$ n'est ni injective ni surjective de $ℝ$ dans $ℝ$, mais elle est bijective de ${ℝ}_{+}$ dans ${ℝ}_{+}$.
• Fonction réelle strictement monotone sur un intervalle $\Rightarrow$ injective.

Réciproque. Si $f$ est bijective, l'application $f^{-1}:F\to E$ qui à $y$ associe son unique antécédent vérifie $f^{-1}\circ f={\mathrm{I}\mathrm{d}}_E$ et $f\circ f^{-1}={\mathrm{I}\mathrm{d}}_F$. Pour la calculer : résoudre $y=f(x)$ d'inconnue $x$.

Caractérisation. Hypothèses : $f:E\to F$ et $g:F\to E$ vérifient $g\circ f={\mathrm{I}\mathrm{d}}_E$ et $f\circ g={\mathrm{I}\mathrm{d}}_F$. Conclusion : $f$ est bijective et $f^{-1}=g$. Une seule des deux égalités ne suffit pas : avec $f(n)=n+1$ et $g(n)=\max (n-1,0)$ sur $\mathbb{N}$, on a $g\circ f={\mathrm{I}\mathrm{d}}_{\mathbb{N}}$, mais $f$ n'est pas surjective. Une application $s:E\to E$ telle que $s\circ s={\mathrm{I}\mathrm{d}}_E$ (une involution) est bijective et $s^{-1}=s$.

Composition. Soient $f:E\to F$ et $g:F\to G$.

• $f$ et $g$ injectives $\Rightarrow g\circ f$ injective ; $f$ et $g$ surjectives $\Rightarrow g\circ f$ surjective ;
• $f$ et $g$ bijectives $\Rightarrow g\circ f$ bijective et $(g\circ f{)}^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$ (l'ordre s'inverse) ;
• $g\circ f$ injective $\Rightarrow f$ injective ; $g\circ f$ surjective $\Rightarrow g$ surjective.

Lien avec les images : si $f$ est bijective, l'image réciproque $f^{-1}(B)$ coïncide avec l'image directe de $B$ par l'application $f^{-1}$, ce qui justifie la notation commune.

Une relation binaire $ℛ$ sur $E$ est une propriété $xℛy$ portant sur les couples $(x,y)\in E^2$.

Une relation d'équivalence est réflexive, symétrique et transitive. La classe d'équivalence de $x$ est $\mathrm{c}\mathrm{l}(x)=\{y\in E\mid xℛy\}$ (notée aussi $\dot{x}$, $\bar{x}$ ou $C(x)$). L'ensemble des classes est l'ensemble quotient $E\mathrm{/}ℛ$.

Théorème (classes et partitions). Hypothèse : $ℛ$ est une relation d'équivalence sur $E$. Conclusion : (i) $x\in \mathrm{c}\mathrm{l}(x)$ ; (ii) $\mathrm{c}\mathrm{l}(x)=\mathrm{c}\mathrm{l}(y)⟺xℛy$ ; (iii) deux classes sont égales ou disjointes ; les classes forment donc une partition de $E$. Réciproquement, toute partition de $E$ définit une relation d'équivalence (« être dans la même partie »).

Exemple fondamental : relation associée à une application. Pour $f:E\to F$, la relation $xℛy⟺f(x)=f(y)$ est une relation d'équivalence (les trois propriétés viennent de celles de l'égalité), et $\mathrm{c}\mathrm{l}(x)=f^{-1}(\{f(x)\})$. Beaucoup de relations de devoir sont de ce type : $x^2-x=y^2-y$, $\mid z\mid =\mid z^{\mathrm{\prime }}\mid$… Il faut le reconnaître : cela donne la relation d'équivalence en une ligne et les classes par une équation.

Congruence modulo $n$ ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) : $a\equiv b[n]⟺n\mid a-b$ est une relation d'équivalence sur $\mathbb{Z}$, à $n$ classes $\bar{0},\bar{1},\dots ,\overline{n-1}$ (division euclidienne). Elle sera reprise dans « Arithmétique dans $\mathbb{Z}$ ».

Une relation d'ordre est réflexive, antisymétrique et transitive ; on la note souvent $\preccurlyeq$. L'ordre est total si deux éléments sont toujours comparables ($x\preccurlyeq y$ ou $y\preccurlyeq x$), partiel sinon.

Exemples : $\le$ sur $ℝ$ (total) ; l'inclusion sur $𝒫(E)$ (partiel dès que $E$ a deux éléments) ; la divisibilité sur ${\mathbb{N}}^{\ast }$ (partiel : $2$ et $3$ ne sont pas comparables). Sur $\mathbb{Z}$, la divisibilité n'est pas antisymétrique ($2\mid -2$ et $-2\mid 2$).

Soit $A$ une partie de $E$ ordonné par $\preccurlyeq$.

• $M$ est un majorant de $A$ si $\mathrm{\forall }a\in A,a\preccurlyeq M$ (minorant : symétriquement) ;
• $A$ admet un plus grand élément s'il existe un majorant de $A$ qui appartient à $A$ ; il est alors unique (antisymétrie) ;
• la borne supérieure de $A$, si elle existe, est le plus petit élément de l'ensemble des majorants de $A$.

Un plus grand élément est une borne supérieure ; la réciproque est fausse ($\sup ]0,1[=1\mathrm{\notin }]0,1[$). Dans $({\mathbb{N}}^{\ast },\mid )$, la borne supérieure de $\{a,b\}$ est leur plus petit multiple commun et la borne inférieure leur pgcd ; dans $(𝒫(E),\subset )$, la borne supérieure de $\{A,B\}$ est $A\cup B$. L'étude de la borne supérieure dans $ℝ$ est faite dans le chapitre d'Analyse « Nombres réels ».

Écrire la négation d'une assertion quantifiée

Changer chaque $\mathrm{\forall }$ en $\mathrm{\exists }$ et inversement, garder l'ordre et les domaines ($\mathrm{\forall }\epsilon >0$ devient $\mathrm{\exists }\epsilon >0$), puis nier la fin : « $P\Rightarrow Q$ » devient « $P$ et non $Q$ », « $\le$ » devient « $>$ ».

Choisir un mode de raisonnement

• Conclusion de la forme « non… », « irrationnel », « il n'existe pas » : absurde.
• Implication dont la conclusion est pauvre et l'hypothèse riche une fois niée : contraposée.
• Propriété indexée par un entier : récurrence (double si deux termes initiaux, forte si on remonte plus loin).
• « Déterminer toutes les fonctions (les parties, les couples…) telles que » : analyse-synthèse.
• « Vrai ou faux » : si faux, un contre-exemple précis ; si vrai, une preuve.

Montrer une égalité d'ensembles

Double inclusion « Soit $x\in A$, montrons $x\in B$ » puis l'inverse ; ou chaîne d'équivalences sur l'appartenance ($x\in A⟺\cdots ⟺x\in B$) quand chaque étape est réversible. Pour des parties d'un même ensemble, les fonctions caractéristiques transforment l'égalité en calcul.

Prouver qu'une application est (ou n'est pas) injective, surjective

1. Injectivité : « Soient $x,x^{\mathrm{\prime }}$ tels que $f(x)=f(x^{\mathrm{\prime }})$ », puis montrer $x=x^{\mathrm{\prime }}$ ; ou une stricte monotonie.
2. Surjectivité : « Soit $y\in F$ », chercher $x\in E$ avec $f(x)=y$ (résoudre l'équation et vérifier que $x\in E$).
3. Si l'équation $f(x)=y$ a une unique solution pour tout $y$, on a la bijectivité et la réciproque d'un coup.
4. Pour nier : un couple $x\mathrm{\ne }{x}^{\mathrm{\prime }}$ de même image, ou un $y$ sans antécédent.

Étudier une relation

Vérifier chaque propriété avec ses quantificateurs. Si la relation s'écrit $f(x)=f(y)$, conclure directement. Pour les classes : résoudre $f(y)=f(x)$ d'inconnue $y$ et discuter selon $x$ le nombre de solutions.

1. Nier une implication par une implication : la négation de $P\Rightarrow Q$ est « $P$ et non $Q$ ».
2. Permuter $\mathrm{\forall }$ et $\mathrm{\exists }$, ou laisser un $\mathrm{\exists }$ dépendre d'une variable introduite après lui.
3. Confondre réciproque et contraposée ; croire qu'une implication vraie a une réciproque vraie.
4. Récurrence mal rédigée : hérédité « supposons $P(n)$ vraie pour tout $n$ », initialisation oubliée, ou récurrence simple utilisée alors que le rang $n+1$ demande les rangs $n$ et $n-1$.
5. Prouver un « pour tout » par des exemples, ou réfuter un « il existe » par un seul exemple.
6. Écrire $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$ sans injectivité, ou $f(f^{-1}(B))=B$ sans surjectivité.
7. Utiliser $f^{-1}$ comme une application alors que $f$ n'est pas bijective (seule l'image réciproque d'une partie a un sens).
8. Confondre $\in$ et $\subset$, $x$ et $\{x\}$ : on écrit $f^{-1}(\{y\})$, pas $f^{-1}(y)$, quand $f$ n'est pas bijective.
9. Oublier l'ensemble d'arrivée en étudiant une surjectivité, ou vérifier que l'antécédent trouvé est bien dans $E$.
10. Oublier une des trois propriétés d'une relation d'équivalence, ou vérifier l'antisymétrie avec une seule inégalité.
11. Analyse-synthèse sans synthèse : les conditions nécessaires trouvées ne garantissent pas l'existence.

• Assertion (plus fréquent que « proposition ») ; « valeur logique » ; « c-à-d » ou « c'est-à-dire » dans les cours.
• Complémentaire : ${\mathrm{\complement }}_{E}A$, $C_{E}A$ ou $\bar{A}$ ; différence $A\setminus B$ (parfois $A-B$) ; $𝒫(E)$.
• Image réciproque $f^{-1}(B)$ ; identité ${\mathrm{I}\mathrm{d}}_E$ ou $i{d}_E$ ; fonction caractéristique ${\chi }_A$ ou ${\phi }_A$.
• Classe d'équivalence $\mathrm{c}\mathrm{l}(x)$, $Cl(x)$ ou $\dot{x}$ ; ensemble quotient $E\mathrm{/}ℛ$ ; « classe de $x$ modulo $ℛ$ ».
• $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $ℝ$ ajourés (IN, IR dans d'anciens documents) ; intervalle d'entiers $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$.
• Énoncés : « Montrer que… », « En déduire… », « L'application … est-elle injective ? surjective ? bijective ? », « La réciproque est-elle vraie ? », « Répondre par vrai ou faux en justifiant », « Déterminer la classe de… ».
• Barème affiché par exercice (« Exercice 2 (06 pts) ») ; le devoir de contrôle n°1 dure de 1 h à 1 h 30, sans calculatrice.
• Dans une copie : pas d'abréviation (« inj », « surj »), pas de $\mathrm{\forall }$ ou $\mathrm{\exists }$ glissés dans une phrase, et une conclusion écrite en clair.