Définition. Soit $f:I\to 𝕂$. On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction $F:I\to 𝕂$ dérivable en chaque point de $I$, dont la dérivée coïncide avec $f$ : $F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)$ pour chaque $x\in I$.

Ensemble des primitives. Hypothèses : $f$ possède une primitive $F$ sur l'intervalle $I$. Conclusion : les primitives de $f$ sur $I$ sont exactement les fonctions $F+c$, $c\in 𝕂$ constante. (Preuve : si $G^{\mathrm{\prime }}=F^{\mathrm{\prime }}$ sur $I$, alors $(G-F{)}^{\mathrm{\prime }}=0$ sur l'intervalle $I$, donc $G-F$ est constante.)

Une constante par intervalle. Sur une réunion d'intervalles disjoints, il y a une constante sur chaque morceau. Les primitives de $x\mapsto \frac{1}{x}$ sur ${ℝ}^{\ast }$ sont $x\mapsto \ln \mid x\mid +c_1$ pour $x>0$ et $\ln \mid x\mid +c_2$ pour $x<0$, avec $c_1,c_2$ indépendantes.

Notation. On écrit ${\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+c}$ (ou, par abus, $\int f=F$) pour dire « $F^{\mathrm{\prime }}=f$ ». La variable $x$ est muette, et l'égalité n'a de sens qu'à une constante près et sur un intervalle précisé.

Règles immédiates. Lorsque $F^{\mathrm{\prime }}=f$ et $G^{\mathrm{\prime }}=g$ sur $I$, on a $(\lambda F+G{)}^{\mathrm{\prime }}=\lambda f+g$ pour tout $\lambda \in 𝕂$ (linéarité). Il n'y a pas de règle pour un produit : $\int fg\mathrm{\ne }\int f\int g$ ; c'est le rôle de l'intégration par parties.

Fonctions à valeurs complexes. La fonction $F=U+iV$ a pour dérivée $f=u+iv$ exactement quand $U^{\mathrm{\prime }}=u$ et $V^{\mathrm{\prime }}=v$ : on traite séparément parties réelle et imaginaire. Pour $\lambda \in {ℂ}^{\ast }$ : ${\displaystyle \int e^{\lambda x}dx=\frac{e^{\lambda x}}{\lambda }+c}$ (car $(e^{\lambda x}{)}^{\mathrm{\prime }}=\lambda e^{\lambda x}$).

Théorème fondamental (admis). Hypothèses : $f:I\to 𝕂$ continue sur l'intervalle $I$, $a\in I$. Conclusion : (i) $f$ admet des primitives sur $I$ ; (ii) la fonction $x\mapsto {\displaystyle {\int }_a^{x}f(t)dt}$ est l'unique primitive de $f$ qui s'annule en $a$ ; (iii) pour toute primitive $F$ de $f$ et tous $a,b\in I$ : $${\int }_a^{b}f(t)dt=F(b)-F(a)=[F(t){]}_a^b\mathrm{.}$$

On dit qu'une fonction est de classe $C^1$ quand elle est dérivable et que sa dérivée est continue : c'est le cas de $F$ dès que $f$ est continue (une fonction seulement dérivable peut avoir une dérivée discontinue). On note $C^1(I,𝕂)$ l'ensemble de ces fonctions.

Propriétés (admises), pour $f,g$ continues et $a,b,c\in I$.

• Linéarité : ${\int }_a^b(\lambda f+g)=\lambda {\int }_a^{b}f+{\int }_a^{b}g$ ; relation de Chasles : ${\int }_a^{c}f={\int }_a^{b}f+{\int }_b^{c}f$ ; ${\int }_b^{a}f=-{\int }_a^{b}f$.
• Si $a\le b$ et $f,g$ réelles : positivité ($f\ge 0\Rightarrow {\int }_a^{b}f\ge 0$), croissance ($f\le g\Rightarrow {\int }_a^{b}f\le {\int }_a^{b}g$), et $\mid {\int }_a^{b}f\mid \le {\int }_a^b\mid f\mid$ (vraie aussi pour $f$ complexe).
• Si $f$ est continue, positive et d'intégrale nulle sur $[a,b]$ ($a<b$), alors $f$ est nulle sur $[a,b]$.

Fonctions définies par une intégrale. Hypothèses : $f$ continue sur $I$ ; $u,v:J\to I$ dérivables sur l'intervalle $J$. Conclusion : $\phi (x)={\displaystyle {\int }_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt}$ est dérivable sur $J$ et ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(x)=v^{\mathrm{\prime }}(x)f(v(x))-u^{\mathrm{\prime }}(x)f(u(x))$. Preuve : avec $F$ primitive de $f$ sur $I$, $\phi =F\circ v-F\circ u$. On ne calcule jamais $F$ pour dériver $\phi$.

Parité, périodicité ($f$ continue sur $ℝ$, ou sur $[-a,a]$) :

• $f$ impaire : ${\int }_{-a}^{a}f=0$ ; $f$ paire : ${\int }_{-a}^{a}f=2{\int }_0^{a}f$ ;
• $f$ $T$-périodique : ${\int }_{\alpha }^{\alpha +T}f={\int }_0^{T}f$ pour tout réel $\alpha$. Ces résultats se prouvent par le changement de variable $t=-x$ ou $t=x-T$ (§6).

À savoir par cœur, avec l'intervalle. $c$ désigne une constante.

Deux primitives d'aspect différent diffèrent d'une constante sur chaque intervalle : $\arcsin x$ et $-\arccos x$ (car $\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}$), ou $\arctan x$ et $-\arctan \frac{1}{x}$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$. Avant de conclure à une erreur, dériver.

À retenir aussi : ${\displaystyle \int \frac{dx}{\cos x}=\ln \mid \tan (\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4})\mid }$, ${\displaystyle \int \frac{dx}{\sin x}=\ln \mid \tan \frac{x}{2}\mid }$, ${\displaystyle \int \frac{dx}{\mathrm{ch}x}=2\arctan (e^x)}$ (ou $\arctan (\mathrm{sh}x)$). On les retrouve par les méthodes du §8 et du §9 ; le plus sûr reste de dériver le résultat.

Soit $u:I\to J$ dérivable et $G$ telle que $G^{\mathrm{\prime }}=g$ sur $J$. La dérivée d'une composée donne $(G\circ u{)}^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}\cdot (g\circ u)$ sur $I$. On reconnaît donc la forme $u^{\mathrm{\prime }}(x)g(u(x))$, quitte à ajuster une constante multiplicative.

Exemples : ${\displaystyle \int \frac{x}{x^2+3}dx=\frac{1}{2}\ln (x^2+3)}$ (forme $\frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}$ avec $u=x^2+3$, au facteur $\frac{1}{2}$ près) ; ${\displaystyle \int \frac{e^x}{1+e^{2x}}dx=\arctan (e^x)}$ ; ${\displaystyle \int \frac{\ln x}{x}dx=\frac{(\ln x{)}^2}{2}}$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ ; ${\displaystyle \int \cos x{\sin }^{4}xdx=\frac{{\sin }^{5}x}{5}}$.

Fonction affine à l'intérieur. Pour $a\mathrm{\ne }0$ et $F^{\mathrm{\prime }}=f$, la dérivée de $x\mapsto \frac{1}{a}F(ax+b)$ vaut $f(ax+b)$. Exemple : $\int \cos (3x-1)dx=\frac{1}{3}\sin (3x-1)$.

Théorème. Hypothèses : $u,v$ de classe $C^1$ sur l'intervalle $I$ (à valeurs dans $𝕂$) ; $a,b\in I$. Conclusion : $${\int }_a^b{u}^{\mathrm{\prime }}(t)v(t)dt=[u(t)v(t){]}_a^b-{\int }_a^{b}u(t)v^{\mathrm{\prime }}(t)dt,\text{et, pour les primitives,}\int u^{\mathrm{\prime }}v=uv-\int u{v}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{.}$$ Preuve : $(uv{)}^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}v+u{v}^{\mathrm{\prime }}$ est continue, on l'intègre entre $a$ et $b$ (théorème fondamental).

Quoi dériver, quoi intégrer ? On dérive la fonction que la dérivation simplifie, on intègre celle dont on connaît une primitive.

• Pour $P$ de degré $n$, il faut $n$ intégrations par parties (ou chercher directement une primitive $Q(x)e^{\lambda x}$ avec $\mathrm{deg}Q=n$).
• Astuce de la constante : en intégrant $u^{\mathrm{\prime }}=x$, on peut choisir $u=\frac{x^2-1}{2}$ au lieu de $\frac{x^2}{2}$ pour simplifier la suite (exemple : $\int x\ln (1+x)dx$).
• $e^{ax}\cos (bx)$ et $e^{ax}\sin (bx)$ : soit deux intégrations par parties qui font réapparaître l'intégrale cherchée, soit, plus rapide, $e^{ax}\cos (bx)=\mathrm{Re}\left(e^{(a+ib)x}\right)$ et $$\int e^{(a+ib)x}dx=\frac{e^{(a+ib)x}}{a+ib}=\frac{(a-ib)e^{ax}(\cos bx+i\sin bx)}{a^2+b^2}((a,b)\mathrm{\ne }(0,0)),$$ d'où ${\displaystyle \int e^{ax}\cos (bx)dx=\frac{e^{ax}(a\cos bx+b\sin bx)}{a^2+b^2}}$ et ${\displaystyle \int e^{ax}\sin (bx)dx=\frac{e^{ax}(a\sin bx-b\cos bx)}{a^2+b^2}}$.
• Suites d'intégrales $I_n={\int }_a^b{f}_n$ : une intégration par parties fournit une formule qui lie $I_n$ à $I_{n-1}$ (ou à $I_{n-2}$) ; on en tire ensuite une expression explicite par récurrence. Exemple type : $I_n={\int }_0^1{x}^n{e}^{x}dx$ vérifie $I_n=e-n{I}_{n-1}$.

Ne pas oublier de vérifier que $u$ et $v$ sont $C^1$ sur tout le segment : $v(x)=\arcsin x$ n'est pas dérivable en $\pm 1$, et $v(x)=\sqrt{x}$ n'est pas dérivable en $0$. Dans ce cas on travaille sur un segment plus petit, ou on change de méthode.

Théorème. Hypothèses : $\phi :I\to ℝ$ de classe $C^1$ ; $f$ continue sur un intervalle $J$ contenant $\phi (I)$ ; $a,b\in I$. Conclusion : $${\int }_a^{b}f(\phi (t)){\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)dt={\int }_{\phi (a)}^{\phi (b)}f(x)dx\mathrm{.}$$ Preuve : avec $F^{\mathrm{\prime }}=f$ sur $J$, on a $(F\circ \phi {)}^{\mathrm{\prime }}=(f\circ \phi ){\phi }^{\mathrm{\prime }}$ ; le théorème fondamental appliqué des deux côtés conclut.

Mode d'emploi, sens 1 : « on pose $x=\phi (t)$ » (calcul de ${\int }_{\alpha }^{\beta }f(x)dx$).

1. Choisir $\phi$ de classe $C^1$ et bijective d'un intervalle $[a,b]$ sur $[\alpha ,\beta ]$ (exemple : $x=\sin t$, $t\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$).
2. Remplacer : $dx={\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)dt$.
3. Changer les bornes : $a={\phi }^{-1}(\alpha )$, $b={\phi }^{-1}(\beta )$.
4. Simplifier en surveillant les signes : avec $x=\sin t$ et $t\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$, on a $\sqrt{1-x^2}=\cos t$ car $\cos t\ge 0$.

Sens 2 : « on pose $u=\psi (x)$ » quand on reconnaît ${\psi }^{\mathrm{\prime }}(x)dx$ dans l'intégrande. Exemple : dans ${\int }_0^1\frac{xdx}{1+x^4}$, le changement $u=x^2$ (donc $du=2xdx$) montre que l'intégrale vaut $\frac{1}{2}{\int }_0^1\frac{du}{1+u^2}=\frac{\pi }{8}$.

Pour une primitive (sans bornes) : on calcule $G(t)=\int f(\phi (t)){\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)dt$, puis on revient à la variable de départ par $t={\phi }^{-1}(x)$ : $F=G\circ {\phi }^{-1}$. Il faut donc que $\phi$ soit une bijection $C^1$ entre intervalles, et préciser sur quel intervalle on travaille.

Changements classiques.

Ce qu'on admet en octobre. La décomposition en éléments simples est démontrée au cours d'Algèbre (chapitre « Polynômes et fractions rationnelles », plus tard dans l'année : voir la fiche Polynômes, §11 et §12, pour les énoncés d'existence et d'unicité et la boîte à outils du calcul des coefficients). Ici on l'utilise comme une méthode de calcul.

Méthode pour ${\displaystyle \int \frac{A(x)}{B(x)}dx}$.

1. Partie entière : si $\mathrm{deg}A\ge \mathrm{deg}B$, faire la division euclidienne $A=BQ+R$ ($\mathrm{deg}R<\mathrm{deg}B$) ; alors $\frac{A}{B}=Q+\frac{R}{B}$.
2. Factoriser $B$ dans $ℝ$ en facteurs $(x-a{)}^k$ et $(x^2+px+q{)}^k$ avec $p^2-4q<0$.
3. Décomposer $\frac{R}{B}$ en éléments simples : ${\displaystyle \frac{\lambda }{(x-a{)}^k}}$ (1re espèce) et ${\displaystyle \frac{\mu x+\nu }{(x^2+px+q{)}^k}}$ (2e espèce). Coefficients : pôle simple $a$ : $\lambda =[(x-a)\frac{R}{B}](a)$ ; coefficient du terme de plus haut degré d'un pôle multiple, même idée avec $(x-a{)}^k$ ; ensuite valeurs particulières, limite de $x\frac{R}{B}(x)$ en $+\mathrm{\infty }$, identification.
4. Intégrer chaque élément :
   • ${\displaystyle \int \frac{dx}{x-a}=\ln \mid x-a\mid }$ ; pour $k\ge 2$, ${\displaystyle \int \frac{dx}{(x-a{)}^k}=-\frac{1}{(k-1)(x-a{)}^{k-1}}}$ ;
   • pour ${\displaystyle \frac{\mu x+\nu }{x^2+px+q}}$ ($p^2-4q<0$) : faire apparaître la dérivée $2x+p$ du dénominateur, $$\frac{\mu x+\nu }{x^2+px+q}=\frac{\mu }{2}\cdot \frac{2x+p}{x^2+px+q}+(\nu -\frac{\mu p}{2})\frac{1}{{(x+\frac{p}{2})}^2+{\omega }^2},\omega =\frac{\sqrt{4q-p^2}}{2}>0,$$ d'où une primitive ${\displaystyle \frac{\mu }{2}}\ln (x^2+px+q)+(\nu -{\displaystyle \frac{\mu p}{2}}){\displaystyle \frac{1}{\omega }}\arctan {\displaystyle \frac{x+\frac{p}{2}}{\omega }}$.

Le cas de ${\displaystyle \int \frac{dx}{x^2+px+q}}$ (discriminant $\mathrm{\Delta }=p^2-4q$) :

• $\mathrm{\Delta }>0$, racines $x_1<x_2$ : ${\displaystyle \frac{1}{(x-x_1)(x-x_2)}}={\displaystyle \frac{1}{x_2-x_1}}({\displaystyle \frac{1}{x-x_2}}-{\displaystyle \frac{1}{x-x_1}})$, primitive ${\displaystyle \frac{1}{x_2-x_1}}\ln \mid {\displaystyle \frac{x-x_2}{x-x_1}}\mid$ ;
• $\mathrm{\Delta }=0$, racine double $x_0$ : primitive $-{\displaystyle \frac{1}{x-x_0}}$ ;
• $\mathrm{\Delta }<0$ : forme canonique ${(x+\frac{p}{2})}^2+{\omega }^2$, primitive ${\displaystyle \frac{1}{\omega }}\arctan {\displaystyle \frac{2x+p}{2\omega }}$. Exemple : $x^2+2x+5=(x+1{)}^2+4$, donc ${\displaystyle \int \frac{dx}{x^2+2x+5}=\frac{1}{2}\arctan \frac{x+1}{2}}$.

Éléments de 2e espèce de degré $k\ge 2$. Après la forme canonique et $y=\frac{x+p\mathrm{/}2}{\omega }$, on est ramené à $J_k=\int \frac{dy}{(1+y^2{)}^k}$ :

• une intégration par parties sur $J_k$ donne $2k{J}_{k+1}=(2k-1)J_k+{\displaystyle \frac{y}{(1+y^2{)}^k}}$ ; en particulier ${\displaystyle \int \frac{dy}{(1+y^2{)}^2}=\frac{1}{2}(\frac{y}{1+y^2}+\arctan y)}$ ;
• ou bien $y=\tan \theta$, qui donne $\int {\cos }^{2k-2}\theta d\theta$ (linéarisation).

Polynômes en $\sin$ et $\cos$ : $\int {\cos }^{p}x{\sin }^{q}xdx$ ($p,q\in \mathbb{N}$).

• Si $q$ est impair : poser $u=\cos x$ (on garde un $\sin x$ pour $du=-\sin xdx$ et on écrit ${\sin }^{q-1}x=(1-u^2{)}^{\frac{q-1}{2}}$).
• Si $p$ est impair : poser $u=\sin x$.
• Si $p$ et $q$ sont pairs : linéariser par les formules d'Euler, $\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$, $\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$, ou par ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$, ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$, $\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}$. Exemple : ${\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=\frac{{\sin }^{2}2x}{4}=\frac{1-\cos 4x}{8}$, donc $\int {\sin }^{2}x{\cos }^{2}xdx=\frac{x}{8}-\frac{\sin 4x}{32}$.
• Produits $\cos (ax)\cos (bx)$, $\sin (ax)\cos (bx)$… : les transformer en sommes ($2\cos a\cos b=\cos (a+b)+\cos (a-b)$, etc.).

Fractions rationnelles en $\sin x$ et $\cos x$ : règles de Bioche. Soit $f(x)=R(\sin x,\cos x)$ et $\omega (x)=f(x)dx$ l'« élément différentiel » (on tient compte de $dx$, qui change de signe quand $x\mapsto -x$ ou $x\mapsto \pi -x$).

Ces règles sont des indications pratiques (rien à démontrer) : elles disent quel changement rend le calcul court.

Changement $t=\tan \frac{x}{2}$, sur un intervalle contenu dans $]-\pi +2k\pi ,\pi +2k\pi [$ : $$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\tan x=\frac{2t}{1-t^2},dx=\frac{2dt}{1+t^2}\mathrm{.}$$ On obtient une fraction rationnelle en $t$ (§7). Attention : $\tan \frac{x}{2}$ n'est pas défini en $x=\pi$ ; une intégrale sur $[0,\pi ]$ ou sur $[0,2\pi ]$ ne se traite pas directement ainsi (couper, ou utiliser une symétrie).

Changement $u=\tan x$ : $dx=\frac{du}{1+u^2}$, ${\cos }^{2}x=\frac{1}{1+u^2}$, ${\sin }^{2}x=\frac{u^2}{1+u^2}$, sur un intervalle où $\cos x\mathrm{\ne }0$. Exemple : ${\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}\frac{dx}{1+{\cos }^{2}x}={\int }_0^1\frac{du}{(1+u^2)(1+\frac{1}{1+u^2})}={\int }_0^1\frac{du}{u^2+2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \frac{1}{\sqrt{2}}}$.

• Polynômes en $\mathrm{ch}$, $\mathrm{sh}$ : linéariser en revenant aux exponentielles ($\mathrm{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$, $\mathrm{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$), ou, si une puissance est impaire, poser $u=\mathrm{ch}x$ ou $u=\mathrm{sh}x$ comme en trigonométrie (avec ${\mathrm{ch}}^2-{\mathrm{sh}}^2=1$). Exemple : ${\mathrm{sh}}^{3}x=\mathrm{sh}x({\mathrm{ch}}^{2}x-1)$, donc $\int {\mathrm{sh}}^{3}xdx=\frac{{\mathrm{ch}}^{3}x}{3}-\mathrm{ch}x$.
• Fractions rationnelles en $e^x$ (donc en $\mathrm{ch}x$, $\mathrm{sh}x$, $\mathrm{th}x$) : le changement $u=e^x$, $dx=\frac{du}{u}$, ramène toujours à une fraction rationnelle en $u$. Exemple : ${\displaystyle \int \frac{dx}{\mathrm{ch}x}=\int \frac{2e^{x}dx}{e^{2x}+1}=2\arctan (e^x)}$.
• Raccourci : quand la règle de Bioche appliquée à l'expression trigonométrique analogue conseille $u=\cos x$, $\sin x$ ou $\tan x$, on peut essayer $u=\mathrm{ch}x$, $\mathrm{sh}x$ ou $\mathrm{th}x$. Ce n'est qu'une piste ; $u=e^x$ reste la méthode sûre.

• $R(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})$ ($ad-bc\mathrm{\ne }0$) : poser $u=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$ ; on exprime $x$ comme fraction rationnelle de $u$, et l'intégrande devient une fraction rationnelle en $u$. Cas fréquent : $u=\sqrt{ax+b}$, $x=\frac{u^2-b}{a}$, $dx=\frac{2u}{a}du$. Exemple : sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, avec $u=\sqrt{x}$, ${\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}=\int \frac{2du}{1+u^2}=2\arctan \sqrt{x}}$.
• $R(x,\sqrt{a{x}^2+bx+c})$ ($a\mathrm{\ne }0$) : mettre le trinôme sous forme canonique, puis selon le cas :
  • $a<0$ : $\sqrt{k^2-(x-\alpha {)}^2}\cdot \sqrt{\mid a\mid }$ → poser $x-\alpha =k\sin t$ ;
  • $a>0$ et $\mathrm{\Delta }<0$ : $\sqrt{a}\sqrt{(x-\alpha {)}^2+k^2}$ → poser $x-\alpha =k\mathrm{sh}t$ (ou $k\tan t$) ;
  • $a>0$ et $\mathrm{\Delta }>0$ : $\sqrt{a}\sqrt{(x-\alpha {)}^2-k^2}$ → poser $x-\alpha =k\mathrm{ch}t$ (sur la partie où $x-\alpha >k$).
• Primitives directes à reconnaître après la forme canonique : ${\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{k^2-(x-\alpha {)}^2}}=\arcsin \frac{x-\alpha }{k}}$ et ${\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{(x-\alpha {)}^2+k}}=\ln \mid x-\alpha +\sqrt{(x-\alpha {)}^2+k}\mid }$ ($k\mathrm{\ne }0$). Exemple : ${\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{2x-x^2}}=\int \frac{dx}{\sqrt{1-(x-1{)}^2}}=\arcsin (x-1)}$ sur $]0,2[$.
• Deux primitives classiques : ${\displaystyle \int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}}$ sur $[-a,a]$ et ${\displaystyle \int \sqrt{x^2+1}dx=\frac{1}{2}(x\sqrt{x^2+1}+\mathrm{argsh}x)}$ sur $ℝ$.

Trouver une primitive : l'ordre des questions à se poser

1. Forme usuelle ou composée ? Chercher $u^{\mathrm{\prime }}$ dans l'expression (§3, §4). C'est le cas le plus fréquent en devoir.
2. Produit d'un polynôme (ou d'une puissance) par $e^{\lambda x}$, $\cos$, $\sin$, $\ln$, $\arctan$ : intégration par parties (§5).
3. Fraction rationnelle : partie entière, factorisation du dénominateur, éléments simples (§7).
4. Trigonométrique : puissances (parité des exposants) ou fraction (Bioche, sinon $\tan \frac{x}{2}$) (§8).
5. Exponentielles, hyperboliques : linéariser ou poser $u=e^x$ (§9).
6. Racines : $\sqrt[n]{\text{affine}}$ → $u=$ la racine ; $\sqrt{\text{trin}\hat{\text{o}}\text{me}}$ → forme canonique puis $\sin$, $\mathrm{sh}$, $\mathrm{ch}$ (§10).
7. Toujours vérifier en dérivant le résultat, et préciser l'intervalle.

Calculer une intégrale ${\int }_a^{b}f$

• Vérifier que $f$ est continue sur $[a,b]$ (sinon l'intégrale n'a pas de sens à ce stade de l'année).
• Une primitive suffit : ${\int }_a^{b}f=F(b)-F(a)$. Avec un changement de variable, changer les bornes au lieu de revenir à $x$.
• Penser aux symétries avant de calculer : parité sur $[-a,a]$ ; $t=a+b-x$ quand l'intégrande se transforme simplement (on obtient souvent une équation $I=\text{(connu)}-I$) ; périodicité.

Étudier une suite d'intégrales $I_n={\int }_a^b{f}_n$

1. Premières valeurs $I_0$, $I_1$ par calcul direct.
2. Relation de récurrence par intégration par parties (dériver la partie qui contient $n$ de façon à faire apparaître $f_{n-1}$).
3. Formule explicite par récurrence ; signe et monotonie par positivité et croissance de l'intégrale (comparer $f_{n+1}$ et $f_n$).

Dériver une fonction définie par une intégrale $\phi (x)={\int }_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt$

Justifier : $f$ continue sur un intervalle $I$, donc elle a une primitive $F$ ; $u$, $v$ dérivables à valeurs dans $I$. Écrire $\phi =F\circ v-F\circ u$, puis dériver. Si l'on trouve ${\phi }^{\mathrm{\prime }}=0$ sur un intervalle, $\phi$ y est constante : on calcule la constante en un point bien choisi.

Intégrer avec les complexes

$\cos (bx)=\mathrm{Re}(e^{ibx})$, $\sin (bx)=\mathrm{Im}(e^{ibx})$ ; on intègre $e^{(a+ib)x}$, puis on prend la partie réelle ou imaginaire. Utile pour $e^{ax}\cos (bx)$, $P(x)\cos (bx)$ et pour linéariser.

1. Oublier l'intervalle : « une primitive de $\frac{1}{x}$ est $\ln x$ » est faux sur $]-\mathrm{\infty },0[$ ; il faut $\ln \mid x\mid$ et une constante par intervalle.
2. Intégrer à travers une valeur interdite : ${\int }_{-1}^1\frac{dx}{x^2}$ n'est pas « ${[-\frac{1}{x}]}_{-1}^1=-2$ » (résultat négatif pour une fonction positive !) : la fonction n'est pas continue sur $[-1,1]$.
3. Oublier de changer les bornes dans un changement de variable, ou garder $dx$ au lieu de ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)dt$.
4. Simplifier $\sqrt{{\cos }^{2}t}$ en $\cos t$ sans vérifier que $\cos t\ge 0$ sur l'intervalle choisi : $\sqrt{a^2}=\mid a\mid$.
5. Changement de variable non $C^1$ ou non bijectif sur tout l'intervalle : $t=\tan \frac{x}{2}$ sur un intervalle qui contient $\pi$ ; $x=\sin t$ sans préciser $t\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$.
6. Décomposer sans faire la division euclidienne quand $\mathrm{deg}A\ge \mathrm{deg}B$ : la partie entière est oubliée.
7. Règles de Bioche sans le $dx$ : tester $f(-x)=f(x)$ au lieu de $f(-x)=-f(x)$ conduit au mauvais changement.
8. Intégration par parties avec une fonction non $C^1$ sur le segment ($\arcsin$ en $\pm 1$, $\sqrt{x}$ en $0$, $\mid x\mid$ en $0$).
9. Écrire $\int fg=\int f\int g$, ou $\int \frac{1}{x^2+4}=\arctan \frac{x}{2}$ (le facteur $\frac{1}{2}$ manque).
10. Ne pas vérifier : un résultat de primitive se contrôle en dérivant ; une intégrale d'une fonction positive sur $[a,b]$, $a<b$, est positive. Les correcteurs sanctionnent un théorème appliqué sans ses hypothèses (continuité, classe $C^1$).
11. Rédaction : « on intègre » sans dire comment (par parties ? changement de variable lequel ?), constante oubliée dans une primitive générale, résultat non encadré.

• ${\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+c}$ ou « $+\lambda$, $\lambda \in ℝ$ » ; « une primitive », « les primitives », « la primitive qui s'annule en $a$ ».
• « $f$ est de classe $C^1$ sur $I$ », $C^1(I,𝕂)$, $C(I,𝕂)$ ; « i.p.p. » pour intégration par parties dans les indications (« Ind. utiliser une i.p.p. »), à écrire en toutes lettres dans une copie.
• Énoncés : « Calculer sur $I$ l'expression de $F(x)=\int f(x)dx$ », « En utilisant le changement de variable $t=\sin x$ (ou $t=\tan \frac{x}{2}$, $t=\sqrt{x}$), calculer… », « En utilisant une double intégration par parties… », « Trouver les réels $a$, $b$, $c$ tels que… » (décomposition guidée), « Retrouver ce résultat… ».
• Fonctions : $\arctan$, $\arcsin$, $\arccos$ (parfois $\mathrm{Arctan}$, et $\mathrm{Arctg}$, $\mathrm{tg}$, $\mathrm{cotg}$ dans des documents plus anciens) ; $\mathrm{ch}$, $\mathrm{sh}$, $\mathrm{th}$ ; $\mathrm{argsh}$, $\mathrm{argch}$, $\mathrm{argth}$ ; $\ln$.
• Devoir de contrôle n°1 : 1 h à 1 h 30, sans document, calculatrice interdite : les résultats restent exacts ($\frac{\pi }{9}$, $\ln \frac{3}{2}$, $\frac{\pi \ln 2}{8}$), jamais décimaux. Barème affiché par exercice.