Un ensemble $I$ est dénombrable s'il est en bijection avec $\mathbb{N}$ ; il est au plus dénombrable s'il est fini ou dénombrable, ce qui revient à dire qu'il existe une injection de $I$ dans $\mathbb{N}$. On peut alors écrire ses éléments en suite : $I=\{i_n,n\in \mathbb{N}\}$.

Pour ${\mathbb{N}}^2$, l'application $(a,b)\mapsto 2^a(2b+1)-1$ est une bijection sur $\mathbb{N}$ (écriture d'un entier non nul comme puissance de $2$ fois un impair). L'univers d'une infinité de lancers, $\{0,1{\}}^{{\mathbb{N}}^{\ast }}$, n'est pas dénombrable : c'est pourquoi on ne le décrit jamais point par point, on travaille avec des événements et une tribu.

Ce qu'on utilise des familles sommables. Soit $(u_i{)}_{i\in I}$ une famille de réels indexée par un ensemble au plus dénombrable.

1. Si $u_i\ge 0$ pour tout $i$, la somme ${\sum }_{i\in I}{u}_i\in [0,+\mathrm{\infty }]$ ne dépend pas de l'ordre d'énumération ; la famille est sommable si cette somme est finie.
2. Une famille réelle est sommable si $(\mid u_i\mid )$ l'est ; pour $I=\mathbb{N}$, cela équivaut à la convergence absolue de $\sum u_n$.
3. Sommation par paquets : si $I={⨆}_k{I}_k$ (réunion disjointe au plus dénombrable) et si la famille est sommable, ou positive, alors ${\sum }_{i\in I}{u}_i={\sum }_k{\sum }_{i\in I_k}{u}_i$. Cas $I={\mathbb{N}}^2$ : on somme par lignes, par colonnes ou par diagonales $a+b=n$ (Fubini), avec le même résultat.

Tribu. Une partie $𝒜$ de $𝒫(\mathrm{\Omega })$ est une tribu (ou $\sigma$-algèbre) si : (i) $\mathrm{\Omega }\in 𝒜$ ; (ii) $A\in 𝒜\Rightarrow \bar{A}\in 𝒜$ ; (iii) pour toute suite $(A_n)$ d'éléments de $𝒜$, ${\bigcup }_n{A}_n\in 𝒜$. Le couple $(\mathrm{\Omega },𝒜)$ est un espace probabilisable ; les éléments de $𝒜$ sont les événements. Une tribu contient $\mathrm{\varnothing }$ et elle est stable par réunion finie, intersection finie ou dénombrable, différence. Exemples : $𝒫(\mathrm{\Omega })$ ; $\{\mathrm{\varnothing },A,\bar{A},\mathrm{\Omega }\}$ ; c'est toujours $𝒫(\mathrm{\Omega })$ quand $\mathrm{\Omega }$ est au plus dénombrable.

Probabilité. Une application $P:𝒜\to [0,1]$ est une probabilité si $P(\mathrm{\Omega })=1$ et si elle est $\sigma$-additive : pour toute suite $(A_n)$ d'événements incompatibles deux à deux, $$P\left(\bigcup _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{A}_n\right)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}P(A_n)(\text{la s}\acute{\text{e}}\text{rie converge})\mathrm{.}$$ On en déduit, comme dans le cas fini : $P(\mathrm{\varnothing })=0$, additivité finie, $P(\bar{A})=1-P(A)$, croissance, $P(B\setminus A)=P(B)-P(A)$ si $A\subset B$, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

Système complet d'événements : famille au plus dénombrable $(A_i{)}_{i\in I}$ d'événements incompatibles deux à deux, de réunion $\mathrm{\Omega }$. Alors ${\sum }_{i\in I}P(A_i)=1$. Certains cours admettent aussi les systèmes quasi-complets (réunion de probabilité $1$ au lieu de $\mathrm{\Omega }$) : les formules du §4 restent vraies.

Univers au plus dénombrable. Hypothèses : $\mathrm{\Omega }$ au plus dénombrable ; $(p_{\omega }{)}_{\omega \in \mathrm{\Omega }}$ famille de réels positifs de somme $1$. Conclusion : une probabilité $P$ et une seule sur $(\mathrm{\Omega },𝒫(\mathrm{\Omega }))$ vérifie $P(\{\omega \})=p_{\omega }$ pour tout $\omega$, et $P(A)={\sum }_{\omega \in A}{p}_{\omega }$ pour toute partie $A$. Conséquence : il n'existe pas de probabilité uniforme sur $\mathbb{N}$ (des $p_n$ tous égaux auraient une somme nulle ou infinie). « Un entier choisi au hasard » n'a de sens que si l'énoncé donne la loi.

Continuité croissante. Hypothèse : $(A_n)$ suite croissante d'événements ($A_n\subset A_{n+1}$). Conclusion : $P(A_n)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{⟶}P\left({\bigcup }_n{A}_n\right)$.

Continuité décroissante. Hypothèse : $(A_n)$ suite décroissante d'événements ($A_{n+1}\subset A_n$). Conclusion : $P(A_n)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{⟶}P\left({\bigcap }_n{A}_n\right)$.

Preuve de la première : les $B_0=A_0$, $B_n=A_n\setminus A_{n-1}$ sont incompatibles, de réunion $\bigcup A_n$, et $P(A_n)={\sum }_{k\le n}P(B_k)$ ; la seconde s'obtient en passant aux contraires. Pour une suite quelconque : $P\left({\bigcup }_{k=0}^n{A}_k\right)\to P\left({\bigcup }_k{A}_k\right)$ et $P\left({\bigcap }_{k=0}^n{A}_k\right)\to P\left({\bigcap }_k{A}_k\right)$ (on applique le théorème aux réunions et intersections partielles, qui sont monotones).

Sous-additivité. Pour toute suite d'événements, $P\left({\bigcup }_n{A}_n\right)\le {\sum }_{n}P(A_n)$ (inégalité triviale si la série diverge).

Négligeable, presque sûr. Un événement de probabilité $0$ est négligeable ; de probabilité $1$, presque sûr. Une réunion au plus dénombrable d'événements négligeables est encore négligeable ; en passant aux contraires, une intersection au plus dénombrable d'événements de probabilité $1$ reste de probabilité $1$. Négligeable ne veut pas dire impossible : « Pile à chaque lancer » est un événement non vide, de probabilité nulle.

Exemple type. On lance indéfiniment une pièce donnant Pile avec probabilité $p\in ]0,1[$, lancers indépendants. Soit $F_n$ : « Face aux $n$ premiers lancers ». La suite $(F_n)$ décroît, $P(F_n)=q^n\to 0$, donc « ne jamais obtenir Pile », qui est ${\bigcap }_n{F}_n$, est négligeable : Pile finit presque sûrement par sortir.

Définitions et formules sont celles de 1re année (fiche §7-8) ; deux choses changent :

• $P_B=P(\cdot \mid B)$ est une probabilité sur $(\mathrm{\Omega },𝒜)$ : elle est $\sigma$-additive, et la continuité monotone s'applique à elle.
• La formule des probabilités totales vaut pour un système complet (ou quasi-complet) dénombrable $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ : $$P(B)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}P(B\cap A_n)=\sum _{n:P(A_n)>0}P(A_n)P(B\mid A_n),$$ la série étant convergente. Le cas typique est $A_n=(N=n)$, où $N$ est une variable à valeurs dans $\mathbb{N}$ (nombre de clients, d'essais, de lancers…).
• La formule de Bayes s'écrit avec ce même système dénombrable au dénominateur.

$A$ et $B$ sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)P(B)$. Une famille quelconque $(A_i{)}_{i\in I}$ est mutuellement indépendante si pour toute partie finie $J\subset I$, $P\left({\bigcap }_{i\in J}{A}_i\right)={\prod }_{i\in J}P(A_i)$. Comme en 1re année : mutuelle $\Rightarrow$ deux à deux (réciproque fausse) ; on peut remplacer certains $A_i$ par leurs contraires.

Passage à l'infini. Si $(A_n)$ est mutuellement indépendante, la continuité décroissante donne $$P\left(\bigcap _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{A}_n\right)=\underset{N\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\prod _{n=0}^{N}P(A_n)\mathrm{.}$$ C'est ainsi qu'on calcule la probabilité d'un événement portant sur une infinité d'épreuves indépendantes.

Définition. Une variable aléatoire discrète sur $(\mathrm{\Omega },𝒜)$, à valeurs dans un ensemble $E$, est une application $X:\mathrm{\Omega }\to E$ telle que : (i) $X(\mathrm{\Omega })$ est au plus dénombrable ; (ii) pour tout $x\in X(\mathrm{\Omega })$, $(X=x)=X^{-1}(\{x\})\in 𝒜$. Si $E\subset ℝ$, c'est une variable aléatoire réelle discrète (abrégée V.A.D dans certains énoncés, jamais dans une copie). Pour toute partie $B\subset E$, $(X\in B)={\bigcup }_{x\in B\cap X(\mathrm{\Omega })}(X=x)$ est un événement (réunion au plus dénombrable).

Loi. La loi de $X$ est l'application $P_X:B\mapsto P(X\in B)$, probabilité sur $X(\mathrm{\Omega })$. Elle est déterminée par les $P(X=x)$, $x\in X(\mathrm{\Omega })$ : « déterminer la loi de $X$ », c'est donner $X(\mathrm{\Omega })$ et ces nombres, puis vérifier que leur somme vaut $1$. Deux variables de même loi peuvent être différentes (sur un même $\mathrm{\Omega }$, $X$ et $1-X$ avec $X\hookrightarrow ℬ(\frac{1}{2})$).

Existence d'une variable de loi donnée. Hypothèses : $E$ au plus dénombrable ; $(p_x{)}_{x\in E}$ réels positifs de somme $1$. Conclusion : il existe un espace probabilisé et une variable $X$ sur cet espace avec $X(\mathrm{\Omega })=E$ et $P(X=x)=p_x$ pour tout $x$ (prendre $\mathrm{\Omega }=E$, $X={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$). C'est ce qui permet aux énoncés de dire « soit $X$ une variable de loi… » sans construire $\mathrm{\Omega }$.

Image. Si $f$ est définie sur $X(\mathrm{\Omega })$, $f(X)=f\circ X$ est une variable discrète et $P(f(X)=y)={\sum }_{x\in X(\mathrm{\Omega }),f(x)=y}P(X=x)$ (somme au plus dénombrable).

Fonction de répartition, queues. $F_X(x)=P(X\le x)$ comme en 1re année. Pour une variable à valeurs dans $\mathbb{N}$, on travaille souvent avec $P(X>n)$ : la suite $(P(X>n){)}_n$ décroît vers $0$ (continuité décroissante) et $P(X=n)=P(X>n-1)-P(X>n)$ pour $n\ge 1$.

Couple. Si $X$ et $Y$ sont discrètes, $(X,Y)$ l'est aussi ($X(\mathrm{\Omega })\times Y(\mathrm{\Omega })$ est au plus dénombrable). Sa loi conjointe est la famille $P(X=x,Y=y)$ ; les lois marginales s'en déduisent par la formule des probabilités totales (somme dénombrable) : $P(X=x)={\sum }_{y\in Y(\mathrm{\Omega })}P(X=x,Y=y)$. Loi conditionnelle de $Y$ sachant $(X=x)$ (si $P(X=x)>0$) : $y\mapsto P(Y=y\mid X=x)$.

Indépendance de deux variables. Les variables $X$ et $Y$ sont dites indépendantes lorsque, pour tous $x,y$ : $P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)$. Il en résulte $P(X\in A,Y\in B)=P(X\in A)P(Y\in B)$ pour toutes parties $A,B$ (sommation par paquets), et l'indépendance de $f(X)$ et $g(Y)$.

Famille de variables. $(X_i{)}_{i\in I}$ est mutuellement indépendante si pour toute partie finie $J\subset I$ et tous $x_i\in X_i(\mathrm{\Omega })$, $P({\bigcap }_{i\in J}(X_i=x_i))={\prod }_{i\in J}P(X_i=x_i)$. Les fonctions $f_i(X_i)$ sont alors encore mutuellement indépendantes.

Lemme des coalitions. Hypothèses : $X_1,\dots ,X_n$ discrètes, mutuellement indépendantes ; $1\le k<n$ ; $f$ définie sur $X_1(\mathrm{\Omega })\times \cdots \times X_k(\mathrm{\Omega })$, $g$ définie sur $X_{k+1}(\mathrm{\Omega })\times \cdots \times X_n(\mathrm{\Omega })$. Conclusion : $f(X_1,\dots ,X_k)$ et $g(X_{k+1},\dots ,X_n)$ sont indépendantes. Plus généralement, des fonctions de paquets disjoints de variables mutuellement indépendantes sont mutuellement indépendantes. Usage : $X_1+X_2$ et $X_3{X}_4$ sont indépendantes ; $S_n=X_1+\cdots +X_n$ et $X_{n+1}$ le sont (récurrence sur la loi de $S_n$). Le jury 2025 cite ce lemme parmi les outils attendus : le nommer quand on s'en sert.

Suites de variables indépendantes (admis). Pour toute suite de lois discrètes $({ℒ}_n)$, il existe un espace probabilisé portant une suite $(X_n)$ de variables mutuellement indépendantes avec $X_n\hookrightarrow {ℒ}_n$. C'est le cadre du jeu de Pile ou Face infini.

Loi d'une somme. Pour deux variables indépendantes $X$, $Y$ prenant leurs valeurs dans $\mathbb{N}$ : $$P(X+Y=n)=\sum _{k=0}^{n}P(X=k)P(Y=n-k)\mathrm{.}$$ Sans indépendance, on garde $P(X+Y=n)={\sum }_{k=0}^{n}P(X=k,Y=n-k)$.

Les lois de Bernoulli $ℬ(p)$ et binomiale $ℬ(n,p)$ sont celles de 1re année (fiche §13). S'y ajoutent deux lois infinies.

Loi géométrique. Dans une suite d'épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$, le rang $T$ du premier succès vérifie $(T=k)=\overline{S_1}\cap \cdots \cap \overline{S_{k-1}}\cap S_k$, d'où $P(T=k)=q^{k-1}p$, et $(T>k)$ = « échec aux $k$ premières épreuves », d'où $P(T>k)=q^k$. Le nombre d'échecs avant le premier succès, $T-1$, est à valeurs dans $\mathbb{N}$ : ce n'est pas $𝒢(p)$. Toujours vérifier l'ensemble des valeurs que l'énoncé utilise.

Absence de mémoire. Hypothèses : $X$ à valeurs dans ${\mathbb{N}}^{\ast }$, $P(X>n)>0$ pour tout $n$. Conclusion : $X$ suit une loi géométrique exactement lorsque $P(X>n+k\mid X>n)=P(X>k)$ pour tous $n,k\in \mathbb{N}$. (Sens réciproque : $u_n=P(X>n)$ vérifie $u_{n+1}=u_1{u}_n$, donc $u_n=u_1^n$, puis $P(X=n)=u_{n-1}-u_n$.)

Loi de Poisson et approximation binomiale. Hypothèses : $X_n\hookrightarrow ℬ(n,p_n)$ pour tout $n$, avec $n{p}_n\to \lambda >0$. Conclusion : pour tout $k\in \mathbb{N}$, $P(X_n=k)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{⟶}{e}^{-\lambda }{\displaystyle \frac{{\lambda }^k}{k!}}$. (À $k$ fixé : $C_n^k\sim \frac{n^k}{k!}$, $p_n^k\sim \frac{{\lambda }^k}{n^k}$ et $(1-p_n{)}^{n-k}\to e^{-\lambda }$ car $n\ln (1-p_n)\sim -n{p}_n$.)

Sommes. Si $X\hookrightarrow 𝒫(\lambda )$ et $Y\hookrightarrow 𝒫(\mu )$ sont indépendantes, $X+Y\hookrightarrow 𝒫(\lambda +\mu )$ (formule du binôme dans la convolution, ou produit des fonctions génératrices) ; de même $ℬ(m,p)$ et $ℬ(n,p)$ indépendantes donnent $ℬ(m+n,p)$. Il n'y a pas de résultat de ce type pour deux géométriques.

Définition. Soit $X$ une variable réelle discrète.

• Si $X\ge 0$, on pose $E(X)={\sum }_{x\in X(\mathrm{\Omega })}xP(X=x)\in [0,+\mathrm{\infty }]$ (somme d'une famille positive, toujours définie).
• En général, $X$ est d'espérance finie (on dit aussi « admet une espérance ») si la famille $(xP(X=x){)}_{x\in X(\mathrm{\Omega })}$ est sommable ; alors $E(X)={\sum }_{x\in X(\mathrm{\Omega })}xP(X=x)$. Si $X(\mathrm{\Omega })=\{x_n,n\in \mathbb{N}\}$, cela revient à la convergence absolue de $\sum x_{n}P(X=x_n)$ : la convergence simple ne suffit pas. $X$ est d'espérance finie exactement lorsque $\mid X\mid$ l'est. Une variable bornée est d'espérance finie.

Formule de transfert. Hypothèses : $X$ discrète, $f$ réelle définie sur $X(\mathrm{\Omega })$. Conclusion : $f(X)$ est d'espérance finie exactement lorsque la famille $(f(x)P(X=x){)}_{x\in X(\mathrm{\Omega })}$ est sommable, et alors $E(f(X))={\sum }_{x\in X(\mathrm{\Omega })}f(x)P(X=x)$. Même énoncé pour un couple : $E(g(X,Y))={\sum }_{x,y}g(x,y)P(X=x,Y=y)$.

Propriétés (pour des variables d'espérance finie).

• Linéarité : $E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$, sans indépendance.
• Positivité, croissance : $X\ge 0\Rightarrow E(X)\ge 0$ ; $X\le Y\Rightarrow E(X)\le E(Y)$.
• Domination : si $\mid X\mid \le Y$ et si $Y$ est d'espérance finie, alors $X$ est d'espérance finie. C'est l'argument le plus rapide pour justifier l'existence.
• Si $X\ge 0$ et $E(X)=0$, alors $P(X=0)=1$.
• Indépendance : si $X$ et $Y$ sont indépendantes et d'espérance finie, le produit $XY$ admet une espérance finie, égale à $E(X)E(Y)$. Plus généralement pour $X_1,\dots ,X_n$ mutuellement indépendantes : $E(X_1\cdots X_n)=E(X_1)\cdots E(X_n)$.

Variables à valeurs dans $\mathbb{N}$ : formule des queues. Pour $X$ à valeurs dans $\mathbb{N}$, $$E(X)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}P(X\ge n)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}P(X>n)\text{dans }[0,+\mathrm{\infty }]\mathrm{.}$$ (On écrit $kP(X=k)={\sum }_{n=1}^{k}P(X=k)$ et on intervertit, famille positive.) Avec $P(T>n)=q^n$, on retrouve $E(T)=\frac{1}{p}$ pour $T\hookrightarrow 𝒢(p)$.

Exemples à connaître. $E(𝒢(p))={\sum }_{k\ge 1}kp{q}^{k-1}=\frac{p}{(1-q{)}^2}=\frac{1}{p}$ (dérivée de la série géométrique) ; $E(𝒫(\lambda ))={\sum }_{k\ge 1}{e}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{(k-1)!}=\lambda$. Une variable de loi $P(X=n)=\frac{1}{n(n+1)}$ ($n\ge 1$) n'est pas d'espérance finie : $nP(X=n)=\frac{1}{n+1}$, série divergente.

Moments. $X$ admet un moment d'ordre $r$ ($r\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) si $X^r$ est d'espérance finie ; $E(X^r)={\sum }_x{x}^{r}P(X=x)$. Un moment d'ordre $r$ entraîne les moments d'ordre inférieur : $\mid X{\mid }^s\le 1+\mid X{\mid }^r$ pour $s\le r$. En particulier, moment d'ordre 2 $\Rightarrow$ espérance finie ($\mid X\mid \le \frac{1+X^2}{2}$).

Cauchy-Schwarz. Lorsque $X$ et $Y$ ont chacune un moment d'ordre 2, $XY$ admet une espérance finie ($\mid XY\mid \le \frac{X^2+Y^2}{2}$) et $$E(XY{)}^2\le E(X^2)E(Y^2)\mathrm{.}$$ Les variables admettant un moment d'ordre 2 forment un espace vectoriel (noté $L^2$ dans certains cours).

Variance. Si $X$ admet un moment d'ordre 2 : $V(X)=E((X-E(X){)}^2)=E(X^2)-E(X{)}^2$ (König-Huygens), $\sigma (X)=\sqrt{V(X)}$, $V(aX+b)=a^{2}V(X)$, et $V(X)=0$ exactement lorsque $X$ est presque sûrement constante. Pour une variable à valeurs dans $\mathbb{N}$, on calcule souvent $E(X(X-1))$ (moment factoriel), puis $V(X)=E(X(X-1))+E(X)-E(X{)}^2$. Ainsi $E(X(X-1))={\lambda }^2$ pour $𝒫(\lambda )$, d'où $V(X)=\lambda$.

Covariance

Pour $X,Y$ admettant un moment d'ordre 2 : $$\mathrm{Cov}(X,Y)=E((X-E(X))(Y-E(Y)))=E(XY)-E(X)E(Y)\mathrm{.}$$

• $\mathrm{Cov}$ est bilinéaire symétrique, $\mathrm{Cov}(X,X)=V(X)$, $\mathrm{Cov}(X,a)=0$ pour une constante $a$.
• $V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y)$ et $$V\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}V(X_i)+2\sum _{1\le i<j\le n}\mathrm{Cov}(X_i,X_j)\mathrm{.}$$
• Indépendantes $\Rightarrow$ $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$ ; une covariance nulle n'assure pas l'indépendance (exemple : $X$ uniforme sur $\{-1,0,1\}$ et $Y=X^2$). Pour des variables deux à deux indépendantes, $V(\sum X_i)=\sum V(X_i)$ : l'indépendance mutuelle n'est pas nécessaire ici.
• $\mid \mathrm{Cov}(X,Y)\mid \le \sigma (X)\sigma (Y)$ (Cauchy-Schwarz) ; si $\sigma (X)\sigma (Y)>0$, le coefficient de corrélation $\rho (X,Y)=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma (X)\sigma (Y)}$ est dans $[-1,1]$, et $\mid \rho \mid =1$ exactement lorsque $Y=aX+b$ presque sûrement.

Inégalité de Markov. Hypothèses : $X$ variable réelle discrète positive et d'espérance finie ; $a>0$. Conclusion : $P(X\ge a)\le {\displaystyle \frac{E(X)}{a}}$. Preuve : $a{\mathrm{𝟙}}_{(X\ge a)}\le X$ en tout point de $\mathrm{\Omega }$, puis croissance de l'espérance. On l'applique souvent à une fonction positive de $X$ : si $X^2$ est d'espérance finie, $P(\mid X\mid \ge a)=P(X^2\ge a^2)\le \frac{E(X^2)}{a^2}$ ; si $t>0$ et si $e^{tX}$ admet une espérance finie, $P(X\ge a)\le e^{-ta}E(e^{tX})$ (§13).

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Hypothèses : $X$ admet un moment d'ordre 2 ; $\epsilon >0$. Conclusion : $P(\mid X-E(X)\mid \ge \epsilon )\le {\displaystyle \frac{V(X)}{{\epsilon }^2}}$. Preuve : Markov appliquée à la variable positive $(X-E(X){)}^2$ et au réel ${\epsilon }^2$.

Ces bornes sont souvent grossières (et sans intérêt si le second membre dépasse $1$) ; elles servent à obtenir des seuils garantis et des limites.

Hypothèses : $(X_n{)}_{n\ge 1}$ suite de variables réelles discrètes deux à deux indépendantes, de même loi, admettant un moment d'ordre 2 ; $m=E(X_1)$, ${\sigma }^2=V(X_1)$ ; $S_n=X_1+\cdots +X_n$. Conclusion : pour tout $\epsilon >0$, $$P(\mid \frac{S_n}{n}-m\mid \ge \epsilon )\le \frac{{\sigma }^2}{n{\epsilon }^2}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{⟶}0.$$ Preuve : $E\left(\frac{S_n}{n}\right)=m$ (linéarité) et $V\left(\frac{S_n}{n}\right)=\frac{{\sigma }^2}{n}$ (indépendance deux à deux), puis Bienaymé-Tchebychev. Interprétation : la fréquence d'un événement de probabilité $p$ dans $n$ épreuves indépendantes s'écarte de $p$ de plus de $\epsilon$ avec une probabilité au plus $\frac{p(1-p)}{n{\epsilon }^2}\le \frac{1}{4n{\epsilon }^2}$. La même preuve marche sans même loi ni indépendance, dès qu'on sait majorer $V(S_n)$ par $o(n^2)$ (exercice 7).

Définition. Pour $X$ à valeurs dans $\mathbb{N}$, la fonction génératrice de $X$ est $$G_X(t)=E\left(t^X\right)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}P(X=n)t^n\mathrm{.}$$ C'est une série entière, dont le rayon $R$ vérifie $R\ge 1$ ; elle converge normalement sur $[-1,1]$ (car $\mid P(X=n)t^n\mid \le P(X=n)$), donc $G_X$ est continue sur $[-1,1]$, de classe $C^{\mathrm{\infty }}$ sur $]-1,1[$, et $G_X(1)=1$.

La fonction génératrice caractérise la loi. $P(X=n)={\displaystyle \frac{G_X^{(n)}(0)}{n!}}$ : deux variables à valeurs dans $\mathbb{N}$ ont la même loi exactement lorsque leurs fonctions génératrices coïncident sur un voisinage de $0$ (par exemple sur $]-1,1[$) — unicité des coefficients d'une série entière. Pour identifier une loi, on calcule $G_X$ puis on la reconnaît dans le tableau du §8, ou on la développe en série entière.

Espérance et variance.

• $X$ est d'espérance finie exactement lorsque $G_X$ est dérivable (à gauche) en $1$ ; alors $E(X)=G_X^{\mathrm{\prime }}(1)$.
• $X$ admet un moment d'ordre 2 exactement lorsque $G_X$ est deux fois dérivable en $1$ ; alors $E(X(X-1))=G_X^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)$ et $$V(X)=G_X^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)+G_X^{\mathrm{\prime }}(1)-G_X^{\mathrm{\prime }}(1{)}^2\mathrm{.}$$
• Cas confortable : si $R>1$, $G_X$ est de classe $C^{\mathrm{\infty }}$ au voisinage de $1$, $X$ admet des moments de tous ordres et $E(X(X-1)\cdots (X-k+1))=G_X^{(k)}(1)$ (dérivation terme à terme à l'intérieur du disque). C'est le cas de $𝒢(p)$ et $𝒫(\lambda )$. Si $R=1$, il faut l'équivalence ci-dessus (admise ou démontrée selon les cours), pas la dérivation terme à terme en $1$.

Somme de variables indépendantes. Hypothèses : $X$ et $Y$ à valeurs dans $\mathbb{N}$, indépendantes. Conclusion : $G_{X+Y}=G_X{G}_Y$ (au moins sur $[-1,1]$). Preuve : $t^X$ et $t^Y$ sont indépendantes (fonctions de $X$ et de $Y$) et bornées pour $\mid t\mid \le 1$, donc $E(t^{X+Y})=E(t^X)E(t^Y)$. Par récurrence et lemme des coalitions, $G_{X_1+\cdots +X_n}=G_{X_1}\cdots G_{X_n}$ pour des variables mutuellement indépendantes. On retrouve ainsi $𝒫(\lambda )+𝒫(\mu )=𝒫(\lambda +\mu )$ en une ligne : $e^{\lambda (t-1)}{e}^{\mu (t-1)}=e^{(\lambda +\mu )(t-1)}$.

Somme d'un nombre aléatoire de termes. Si $N$ est à valeurs dans $\mathbb{N}$, si les $X_k$ ($k\ge 1$) ont toutes la même loi, sur $\mathbb{N}$, et si $N,X_1,X_2,\dots$ sont mutuellement indépendantes, alors $S={\sum }_{k=1}^N{X}_k$ (avec $S=0$ si $N=0$) vérifie $G_S=G_N\circ G_{X_1}$ sur $[-1,1]$ (probabilités totales avec le système $(N=n{)}_n$, puis coalitions). Résultat classique à redémontrer à chaque fois (exercice 6).

Le rapport du jury 2025 cite la transformée de Laplace d'une variable discrète, que le sujet de 2025 définissait dans l'énoncé. À connaître comme outil, pas comme théorème de cours supposé appris.

Pour $X$ réelle discrète, on note $I_X$ l'ensemble des $t\in ℝ$ pour lesquels $e^{tX}$ admet une espérance finie, et $$L_X(t)=E\left(e^{tX}\right)=\sum _{x\in X(\mathrm{\Omega })}{e}^{tx}P(X=x),t\in I_X\mathrm{.}$$

• $0\in I_X$ et $I_X$ est un intervalle : si $s<t$ sont dans $I_X$ et $s\le u\le t$, alors $e^{uX}\le e^{sX}+e^{tX}$ (domination). Si $X\ge 0$, $I_X$ contient $]-\mathrm{\infty },0]$.
• Si $X$ est à valeurs dans $\mathbb{N}$ : $L_X(t)=G_X(e^t)$. Par exemple $L_X(t)=e^{\lambda (e^t-1)}$ pour $𝒫(\lambda )$, $I_X=ℝ$.
• Somme : si $X$ et $Y$ sont indépendantes et $t\in I_X\cap I_Y$, alors $t\in I_{X+Y}$ et $L_{X+Y}(t)=L_X(t)L_Y(t)$.
• Majoration exponentielle (Markov appliquée à $e^{tX}$) : pour $a\in ℝ$ et $t>0$ dans $I_X$, $P(X\ge a)\le e^{-ta}{L}_X(t)$ ; on choisit ensuite $t$ au mieux. Cette borne décroît exponentiellement, alors que Bienaymé-Tchebychev ne donne qu'une décroissance en $\frac{1}{n}$ (exercice 8).
• Si $I_X$ contient un voisinage de $0$, $X$ admet des moments de tous ordres et $L_X(t)={\sum }_{n\ge 0}\frac{E(X^n)}{n!}{t}^n$ au voisinage de $0$.

Calculer la probabilité d'un événement portant sur une infinité d'épreuves

1. Écrire l'événement comme réunion disjointe dénombrable ($\sigma$-additivité : on somme une série) ou comme réunion / intersection d'une suite monotone (continuité monotone : on passe à la limite).
2. Pour « jamais », « toujours », « au moins une fois » : intersection décroissante de $F_n$ = « … aux $n$ premières épreuves ».
3. Calculer chaque terme avec l'indépendance des épreuves, en la citant.

Montrer qu'une famille définit une loi

Vérifier $p_x\ge 0$ et ${\sum }_x{p}_x=1$ (série géométrique, exponentielle, télescopage, décomposition en éléments simples), puis invoquer l'existence d'une variable de loi donnée (§6).

Justifier qu'une espérance existe, puis la calculer

1. Existence : convergence absolue de $\sum x_{n}P(X=x_n)$ ; ou domination $\mid X\mid \le Y$ ; ou $X$ bornée ; ou moment d'ordre 2. Le jury 2025 sanctionne l'oubli de cette étape.
2. Calcul : par la loi (dérivée de série géométrique, série exponentielle) ; par linéarité (décomposition en somme, indicatrices) ; par la formule des queues ; par $G_X^{\mathrm{\prime }}(1)$.

Déterminer la loi d'une somme

• Convolution si les variables sont indépendantes ; sinon loi conjointe.
• Ou fonctions génératrices : $G_{X+Y}=G_X{G}_Y$, puis reconnaître ou développer en série entière et identifier.

Établir une indépendance de variables construites

Les écrire comme fonctions de paquets disjoints de variables mutuellement indépendantes et citer le lemme des coalitions.

Majorer une probabilité d'écart

Markov (variable positive), Bienaymé-Tchebychev (moment d'ordre 2), ou majoration exponentielle via $E(e^{tX})$ puis optimisation en $t$ (étude de fonction).

1. Écrire $E(X)=\sum \cdots$ sans justifier l'existence (convergence absolue, domination). C'est la remarque principale du jury 2025.
2. $E(XY)=E(X)E(Y)$ ou $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ sans citer l'indépendance (jury 2024). Pour la variance d'une somme, l'indépendance deux à deux suffit ; pour l'espérance d'un produit de $n$ variables, il faut l'indépendance mutuelle.
3. Appliquer Markov à une variable non positive, ou sans espérance finie ; écrire $P(X>a)\le \frac{E(X)}{a}$ pour $a\le 0$.
4. Utiliser la $\sigma$-additivité pour des événements non incompatibles, ou la continuité monotone pour une suite non monotone.
5. Confondre les deux lois géométriques (rang du premier succès dans ${\mathbb{N}}^{\ast }$, nombre d'échecs dans $\mathbb{N}$) : vérifier $X(\mathrm{\Omega })$.
6. Parler d'un entier choisi uniformément dans $\mathbb{N}$ : cette probabilité n'existe pas.
7. Confondre négligeable et impossible, presque sûr et certain.
8. Croire que $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$ entraîne l'indépendance ; confondre indépendance deux à deux et mutuelle pour le lemme des coalitions (il exige la mutuelle).
9. Dériver $G_X$ en $1$ « terme à terme » quand le rayon vaut $1$, sans argument : utiliser l'équivalence du §13 ou la formule des queues.
10. Écrire $G_{X+Y}=G_X{G}_Y$ ou $L_{X+Y}=L_X{L}_Y$ sans indépendance.
11. Oublier de vérifier $\sum P(X=x)=1$ quand on « trouve » une loi ; donner une valeur décimale : la calculatrice est interdite, on laisse $e^{-2}$, $\ln 2$ ou une fraction.

• Espace probabilisé $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$ dans les sujets de concours et d'examen ; $(\mathrm{\Omega },𝒯,P)$ ou $(\mathrm{\Omega },𝒯,p)$ dans certains cours. « Espace probabilisable », « système complet d'événements », « événement négligeable / presque sûr ».
• V.A.D (variable aléatoire discrète) et « v.a » dans les énoncés d'examen ; à écrire en toutes lettres dans la copie.
• $ℬ(p)$, $ℬ(n,p)$, $𝒢(p)$ (sur ${\mathbb{N}}^{\ast }$), $𝒫(\lambda )$, $𝒰(E)$ ; « $X\hookrightarrow 𝒫(\lambda )$ » ou « $X\sim 𝒫(\lambda )$ » ou « $X$ suit la loi $𝒫(\lambda )$ » ; $C_n^k$ pour les coefficients binomiaux.
• $E(X)$, $V(X)$, $\sigma (X)$, $\mathrm{Cov}(X,Y)$ ; « $X$ est d'espérance finie », « admet un moment d'ordre 2 », « admet une variance ».
• $G_X$ pour la fonction génératrice, $L_X$ ou $M_X$ pour $t\mapsto E(e^{tX})$ (toujours redéfinie dans l'énoncé).
• Formulations d'énoncé : « Justifier que $X$ admet une espérance finie et la calculer », « Déterminer la loi de $X+Y$ », « Montrer que les variables … sont indépendantes », « En déduire que $\lim P(\dots )=0$ », « Interpréter ».
• Au concours, réponses dans un document réponse avec un espace par question : rédaction courte mais hypothèses toutes citées (indépendance, positivité, existence).