Statut (à lire avant de réviser).

• Au programme : le rapport du jury du concours 2025 indique que l'épreuve de Mathématiques I MP s'appuie sur les probabilités vues en 1re et en 2e année. Le cours de 2e année part des univers finis comme d'un acquis.
• Évalué en MP1 ? Plus guère. Dans les archives de l'IPEIS (Sfax), la synthèse d'Analyse de mai de MP1 contenait un exercice de probabilités (3 à 6 points) en 2016, 2017 et 2018 (et en PC1 jusqu'en 2019). Depuis l'année 2018-2019, aucun devoir de contrôle ni de synthèse de MP1 ne porte sur ces chapitres. Le dénombrement, lui, n'a pas eu d'exercice dédié : il sert d'outil.
• Où ils comptent vraiment : en MP2, où les probabilités sont au programme de la synthèse de mai chaque année (univers dénombrables, lois géométrique et de Poisson…), et au concours (Maths I MP).
• Conseil : apprendre ce chapitre en fin de MP1 ou pendant l'été, même s'il n'est pas évalué en MP1 dans ton institut ; ton enseignant peut aussi le traiter et l'évaluer en mai. Les données viennent surtout de Sfax.

Prérequis. Ensembles, parties, applications injectives, surjectives, bijectives, fonction caractéristique (Logique et ensembles, § Ensembles et § Applications) ; récurrence ; symboles $\sum$, factorielle, $C_n^p$, relation de Pascal, formule du binôme (Calculs algébriques, § Binôme). Ces résultats ne sont pas répétés ici.

Dans toute la fiche, $n$ et $p$ désignent des entiers naturels, $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]=\{1,\dots ,n\}$, et $\mathrm{Card}(E)$ (noté aussi $\mathrm{\mid }E\mathrm{\mid }$) le cardinal d'un ensemble fini $E$.

Un ensemble $E$ est fini s'il est vide ou en bijection avec $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ pour un $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ ; cet entier est unique, c'est le cardinal de $E$ ($\mathrm{Card}\mathrm{\varnothing }=0$). Deux ensembles finis en bijection ont le même cardinal : compter, c'est souvent construire une bijection vers un ensemble qu'on sait compter.

Parties. Si $A\subset E$ avec $E$ fini : $A$ est fini, $\mathrm{Card}A\le \mathrm{Card}E$, et égalité si et seulement si $A=E$.

Applications entre ensembles finis. Soit $f:E\to F$, $E$ et $F$ finis.

• $\mathrm{Card}f(E)\le \mathrm{Card}E$, avec égalité si et seulement si $f$ est injective.
• Si $f$ est injective, $\mathrm{Card}E\le \mathrm{Card}F$ ; si $f$ est surjective, $\mathrm{Card}E\ge \mathrm{Card}F$.
• Même cardinal. Hypothèse : $\mathrm{Card}E=\mathrm{Card}F$. Conclusion : $f$ injective $⟺$ $f$ surjective $⟺$ $f$ bijective. (Faux pour des ensembles infinis : $n\mapsto 2n$ est injective de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ sans être surjective.)
• Principe des tiroirs. Si $\mathrm{Card}E>\mathrm{Card}F$, aucune application $E\to F$ n'est injective : deux éléments distincts de $E$ ont la même image. (Avec $13$ personnes, deux au moins sont nées le même mois.)
• Lemme des bergers. Si chaque élément de $F$ a exactement $k$ antécédents par $f$ surjective, alors $\mathrm{Card}E=k\mathrm{Card}F$.

Pour des parties $A$, $B$, $A_1,\dots ,A_m$ d'un ensemble fini $E$ :

La formule pour trois parties se généralise (formule du crible, ou de Poincaré) : signe $+$ pour les intersections d'un nombre impair de parties, $-$ pour un nombre pair. Elle se démontre par les fonctions caractéristiques (exercice 10).

Exemple. Dans $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,100]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, les multiples de $2$ ou de $5$ sont au nombre de $50+20-10=60$ : il reste $40$ entiers divisibles ni par $2$ ni par $5$.

Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments.

• $p$-liste (ou $p$-uplet) d'éléments de $E$ : élément de $E^p$ ; ordre important, répétitions permises. Il y en a $n^p$.
• Applications. Si $\mathrm{Card}D=p$ et $\mathrm{Card}F=n$, l'ensemble $F^D$ (noté aussi $ℱ(D,F)$) des applications de $D$ dans $F$ a $n^p$ éléments : une application est la liste de ses $p$ images. Cas particulier : $\mathrm{Card}𝒫(E)=2^n$ (une partie correspond à sa fonction caractéristique, application de $E$ dans $\{0,1\}$).
• $p$-arrangement : $p$-liste d'éléments deux à deux distincts (ordre important, sans répétition) ; c'est aussi une injection de $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,p]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ dans $E$. Leur nombre est $$A_n^p=n(n-1)\cdots (n-p+1)=\frac{n!}{(n-p)!}(0\le p\le n),A_n^p=0\text{ si }p>n\mathrm{.}$$
• Permutation de $E$ : bijection de $E$ sur $E$ (ou $n$-arrangement) ; il y en a $A_n^n=n!$.
• Injections d'un ensemble à $p$ éléments dans un ensemble à $n$ éléments : $A_n^p$.

Une $p$-combinaison de $E$ ($\mathrm{Card}E=n$) est une partie de $E$ à $p$ éléments : ordre sans importance, pas de répétition. Leur nombre est le coefficient binomial $$C_n^p=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{p}\right)=\frac{A_n^p}{p!}=\frac{n!}{p!(n-p)!}(0\le p\le n)\mathrm{.}$$ Preuve : chaque $p$-combinaison donne exactement $p!$ arrangements (on ordonne ses éléments) : lemme des bergers.

Les propriétés de calcul ($C_n^p=C_n^{n-p}$, relation de Pascal, formule du pion, binôme, ${\sum }_p{C}_n^p=2^n$) sont dans Calculs algébriques, § Binôme. Ce qui est propre à ce chapitre, c'est leur lecture combinatoire :

• $C_n^p=C_n^{n-p}$ : choisir les $p$ éléments retenus revient à choisir les $n-p$ écartés (bijection $A\mapsto \bar{A}$).
• Pascal : on fixe $a\in E$ ; les parties à $p+1$ éléments de $E$ contiennent $a$ (il y en a $C_{n-1}^p$) ou non ($C_{n-1}^{p+1}$).
• ${\sum }_{p=0}^n{C}_n^p=2^n$ : on compte $𝒫(E)$ selon le cardinal des parties.
• Vandermonde : ${\sum }_{k=0}^p{C}_a^k{C}_b^{p-k}=C_{a+b}^p$ (une équipe de $p$ personnes choisie dans un groupe de $a$ filles et $b$ garçons, classée selon le nombre $k$ de filles).

Tableau de choix du modèle (tirer $p$ objets parmi $n$) :

1. Principe multiplicatif : une construction en étapes successives, avec $n_1$ choix à la 1re étape, puis $n_2$ choix (quel que soit le premier choix)… donne $n_1{n}_2\cdots$ objets — à condition que deux suites de choix différentes donnent deux objets différents.
2. Principe additif : découper l'ensemble en cas disjoints et exhaustifs (une partition), puis additionner.
3. Complémentaire : « au moins un » se compte presque toujours par « total moins aucun ».
4. Bijection : remplacer l'ensemble par un ensemble de même cardinal plus simple (parties $\leftrightarrow$ listes de $0$ et $1$, applications strictement croissantes $\leftrightarrow$ parties).
5. Double comptage : compter le même ensemble de deux façons donne une identité (Vandermonde, $p{C}_n^p=n{C}_{n-1}^{p-1}$).
6. Contrôle : vérifier sur un petit cas qu'on n'a ni oubli ni double compte (piège classique : choisir « un as puis quatre cartes quelconques » compte plusieurs fois les mains à deux as).

Vocabulaire. Une expérience aléatoire a un ensemble fini $\mathrm{\Omega }$ de résultats possibles : l'univers. Un événement est une partie de $\mathrm{\Omega }$ ; l'ensemble des événements est $𝒫(\mathrm{\Omega })$. $\{\omega \}$ est un événement élémentaire, $\mathrm{\varnothing }$ l'événement impossible, $\mathrm{\Omega }$ l'événement certain, $\bar{A}$ l'événement contraire. « $A$ et $B$ » est $A\cap B$, « $A$ ou $B$ » est $A\cup B$. On qualifie $A$ et $B$ d'incompatibles lorsque $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$.

Système complet d'événements : famille $(A_1,\dots ,A_m)$ d'événements dont la réunion est $\mathrm{\Omega }$ et qui sont incompatibles deux à deux. Exemple fondamental : $(A,\bar{A})$.

Définition. Une probabilité sur $\mathrm{\Omega }$ fini est une application $P:𝒫(\mathrm{\Omega })\to [0,1]$ telle que (i) $P(\mathrm{\Omega })=1$ ; (ii) $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ dès que $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$. Le triplet $(\mathrm{\Omega },𝒫(\mathrm{\Omega }),P)$ (ou le couple $(\mathrm{\Omega },P)$) est un espace probabilisé fini.

Conséquences. $P(\mathrm{\varnothing })=0$ ; $P(\bar{A})=1-P(A)$ ; $A\subset B\Rightarrow P(A)\le P(B)$ ; $P(B\setminus A)=P(B)-P(A\cap B)$ ; $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ ; pour des événements deux à deux incompatibles, $P(\bigcup A_i)=\sum P(A_i)$ ; en général $P(\bigcup A_i)\le \sum P(A_i)$.

Probabilité définie par ses valeurs sur les singletons. Si $\mathrm{\Omega }=\{{\omega }_1,\dots ,{\omega }_n\}$ et $p_1,\dots ,p_n$ sont des réels positifs de somme $1$, il existe une unique probabilité $P$ telle que $P(\{{\omega }_i\})=p_i$, et $P(A)={\sum }_{{\omega }_i\in A}{p}_i$.

Équiprobabilité (probabilité uniforme). Si tous les résultats ont la même probabilité $\frac{1}{\mathrm{Card}\mathrm{\Omega }}$ : $$P(A)=\frac{\mathrm{Card}A}{\mathrm{Card}\mathrm{\Omega }}=\frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}\mathrm{.}$$ Cette formule n'est valable que dans ce modèle : il faut le justifier (dé « équilibré », boules « indiscernables au toucher », tirage « au hasard »).

Modéliser un tirage de $p$ boules dans une urne de $n$ boules : simultané $\to$ $\mathrm{\Omega }$ = parties à $p$ éléments ($C_n^p$ issues) ; successif sans remise $\to$ arrangements ($A_n^p$) ; successif avec remise $\to$ $p$-listes ($n^p$). Pour un événement qui ne dépend pas de l'ordre, les modèles « simultané » et « successif sans remise » donnent la même probabilité. Il faut garder le même modèle au numérateur et au dénominateur.

Définition. Pour un événement $B$ de probabilité non nulle, la probabilité de $A$ sachant $B$ est $$P(A\mid B)=P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\mathrm{.}$$ L'application $P_B:A\mapsto P(A\mid B)$ est une probabilité sur $\mathrm{\Omega }$ : toutes les règles du § 6 s'appliquent à elle (par exemple $P(\bar{A}\mid B)=1-P(A\mid B)$). Ne pas confondre $P(A\mid B)$ et $P(A\cap B)$, ni $P(A\mid B)$ et $P(B\mid A)$.

Formule des probabilités composées. Hypothèse : $P(A_1\cap \cdots \cap A_{m-1})>0$. Conclusion : $P(A_1\cap \cdots \cap A_m)=P(A_1)P(A_2\mid A_1)P(A_3\mid A_1\cap A_2)\cdots P(A_m\mid A_1\cap \cdots \cap A_{m-1})$. C'est la formule des tirages successifs : on multiplie les probabilités le long d'une branche de l'arbre.

Formule des probabilités totales. Hypothèses : la famille $(A_1,\dots ,A_m)$ forme un système complet ; chaque $P(A_i)$ est strictement positif. Conclusion : pour tout événement $B$, $$P(B)=\sum _{i=1}^{m}P(B\cap A_i)=\sum _{i=1}^{m}P(A_i)P(B\mid A_i)\mathrm{.}$$ Cas le plus fréquent : $P(B)=P(A)P(B\mid A)+P(\bar{A})P(B\mid \bar{A})$. (La première égalité reste vraie sans l'hypothèse $P(A_i)>0$.)

Formule de Bayes (« probabilité des causes »). Hypothèses : $(A_1,\dots ,A_m)$ système complet, $P(A_i)>0$ pour tout $i$, et $P(B)>0$. Conclusion : $$P(A_j\mid B)=\frac{P(A_j)P(B\mid A_j)}{\sum _{i=1}^{m}P(A_i)P(B\mid A_i)}\mathrm{.}$$ Usage : on connaît les probabilités « dans le sens de l'expérience » ($B$ sachant la cause $A_i$) et on cherche la probabilité de la cause sachant l'effet observé.

Suites et probabilités totales. Lorsqu'une expérience se répète, appliquer la formule au système complet de l'étape $n$ donne une relation de récurrence (souvent arithmético-géométrique, $p_{n+1}=a{p}_n+b$) : c'est un thème classique de devoir (exercice 8).

Deux événements. $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)P(B)$. Si $P(B)>0$, cela équivaut à $P(A\mid B)=P(A)$. L'indépendance de $A$ et $B$ entraîne celle de $A$ et $\bar{B}$, celle de $\bar{A}$ et $B$, celle de $\bar{A}$ et $\bar{B}$.

Indépendance et incompatibilité sont deux notions différentes : deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants ($P(A\cap B)=0\mathrm{\ne }P(A)P(B)$).

$m$ événements. $A_1,\dots ,A_m$ sont mutuellement indépendants si pour toute partie $I\subset [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,m]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ non vide, $$P\left(\bigcap _{i\in I}{A}_i\right)=\prod _{i\in I}P(A_i)\mathrm{.}$$ Mutuellement indépendants $\Rightarrow$ deux à deux indépendants ; la réciproque est fausse (exercice 6, question 5). Si $A_1,\dots ,A_m$ sont mutuellement indépendants, on peut remplacer certains $A_i$ par leurs contraires sans perdre l'indépendance.

L'indépendance est souvent une hypothèse de modélisation (« lancers indépendants », « tirages avec remise ») ; sinon elle se démontre par le calcul.

Une variable aléatoire réelle sur $\mathrm{\Omega }$ fini est une application $X:\mathrm{\Omega }\to ℝ$. Son image $X(\mathrm{\Omega })=\{x_1,\dots ,x_r\}$ est finie. Notations : $(X=x)=\{\omega \in \mathrm{\Omega }\mid X(\omega )=x\}=X^{-1}(\{x\})$, $(X\le x)$, $(X\in A)$.

Loi de $X$ : la donnée des $P(X=x_k)$ pour $x_k\in X(\mathrm{\Omega })$, présentée en tableau. Les événements $(X=x_k)$ forment un système complet, donc ${\sum }_{k}P(X=x_k)=1$ (vérification systématique). La loi permet de calculer $P(X\in A)={\sum }_{x_k\in A}P(X=x_k)$.

Fonction de répartition : $F_X(x)=P(X\le x)$ pour $x\in ℝ$ ; fonction en escalier, croissante, de $0$ à $1$, sautant de $P(X=x_k)$ en chaque $x_k$. On retrouve la loi par $P(X=x_k)=F_X(x_k)-F_X(x_{k-1})$ (valeurs rangées dans l'ordre croissant).

Image par une fonction. Si $f:X(\mathrm{\Omega })\to ℝ$, $f(X)=f\circ X$ est une variable aléatoire et $P(f(X)=y)={\sum }_{x_k:f(x_k)=y}P(X=x_k)$.

Variable indicatrice d'un événement $A$ : ${\mathrm{𝟙}}_A$ vaut $1$ sur $A$, $0$ ailleurs. C'est l'outil des exercices 7 et 10.

Définition. $E(X)={\sum }_{\omega \in \mathrm{\Omega }}X(\omega )P(\{\omega \})={\sum }_k{x}_{k}P(X=x_k)$ : moyenne des valeurs pondérée par leurs probabilités. Dans le cas fini l'espérance existe toujours (somme finie). $X$ est centrée si $E(X)=0$.

Propriétés.

• Linéarité : $E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$ pour tous réels $a,b$ — sans hypothèse d'indépendance. En particulier $E(aX+b)=aE(X)+b$, et $E(X_1+\cdots +X_n)=E(X_1)+\cdots +E(X_n)$.
• Positivité : $X\ge 0\Rightarrow E(X)\ge 0$ ; croissance : $X\le Y\Rightarrow E(X)\le E(Y)$.
• $E({\mathrm{𝟙}}_A)=P(A)$.
• Formule de transfert : $E(f(X))={\sum }_{k}f(x_k)P(X=x_k)$ — inutile de chercher la loi de $f(X)$.

Méthode des indicatrices. Pour une variable qui « compte » (nombre de succès, de points fixes, de types manquants…), écrire $X={\sum }_i{\mathrm{𝟙}}_{A_i}$ puis $E(X)={\sum }_{i}P(A_i)$, même quand la loi de $X$ est inaccessible.

Définition. $V(X)=E((X-E(X){)}^2)\ge 0$ ; écart-type $\sigma (X)=\sqrt{V(X)}$. Ils mesurent la dispersion autour de $E(X)$.

Formule de König-Huygens (la plus utilisée) : $V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2$, avec $E(X^2)={\sum }_k{x}_k^{2}P(X=x_k)$ par transfert.

Propriétés. $V(aX+b)=a^{2}V(X)$ ; $\sigma (aX+b)=\mid a\mid \sigma (X)$. $V(X)=0$ si et seulement si $X$ est presque sûrement constante (égale à $E(X)$ sur un événement de probabilité $1$). Si $\sigma (X)>0$, ${\displaystyle \frac{X-E(X)}{\sigma (X)}}$ est centrée réduite.

Variance d'une somme. $V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2(E(XY)-E(X)E(Y))$. La quantité $E(XY)-E(X)E(Y)$ est la covariance $\mathrm{Cov}(X,Y)$ (développée en 2e année). Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, elle est nulle et $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$. Plus généralement, pour $X_1,\dots ,X_n$ deux à deux indépendantes, $V(\sum X_i)=\sum V(X_i)$.

Notation : $q=1-p$. On écrit « $X\hookrightarrow ℬ(n,p)$ » ou « $X$ suit la loi $ℬ(n,p)$ ».

• La somme des $P(X=k)$ vaut $(p+q{)}^n=1$ par la formule du binôme.
• Justifier une loi binomiale : dire quelles sont les $n$ épreuves, que chacune a deux issues, que la probabilité du succès est la même $p$, et que les épreuves sont indépendantes. Les tirages sans remise ne donnent pas une binomiale.
• Une variable $X\hookrightarrow ℬ(n,p)$ s'écrit $X=X_1+\cdots +X_n$ avec $X_i\hookrightarrow ℬ(p)$ indépendantes : la linéarité donne $E(X)=np$, l'indépendance donne $V(X)=np(1-p)$.
• Pour $𝒰([\text{\hspace{0.17em}⁣}[a,b]\text{\hspace{0.17em}⁣}])$ : $Y=X+a-1$ avec $X\hookrightarrow 𝒰([\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}])$, $n=b-a+1$.

Loi conjointe du couple $(X,Y)$ : les $p_{ij}=P((X=x_i)\cap (Y=y_j))$, présentées en tableau à double entrée ; ${\sum }_{i,j}{p}_{ij}=1$. Lois marginales : $P(X=x_i)={\sum }_j{p}_{ij}$ (somme d'une ligne) et $P(Y=y_j)={\sum }_i{p}_{ij}$ (somme d'une colonne), par la formule des probabilités totales avec le système complet $((Y=y_j){)}_j$. Les marginales ne déterminent pas la loi conjointe. Loi conditionnelle de $X$ sachant $(Y=y_j)$ (si $P(Y=y_j)>0$) : $k\mapsto P(X=x_k\mid Y=y_j)={\displaystyle \frac{p_{kj}}{P(Y=y_j)}}$.

Indépendance. $X$ et $Y$ sont indépendantes si pour tous $i,j$, $P((X=x_i)\cap (Y=y_j))=P(X=x_i)P(Y=y_j)$ : le tableau conjoint est le « produit » de ses marges. Une seule case où l'égalité échoue suffit à prouver la non-indépendance (une case nulle avec des marges non nulles, par exemple). $X_1,\dots ,X_n$ sont mutuellement indépendantes si $P({\bigcap }_i(X_i=x_i))={\prod }_{i}P(X_i=x_i)$ pour tous $x_1,\dots ,x_n$.

Conséquences de l'indépendance. $f(X)$ et $g(Y)$ sont encore indépendantes ; $E(XY)=E(X)E(Y)$ ; $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$. La réciproque est fausse : $E(XY)=E(X)E(Y)$ n'entraîne pas l'indépendance.

Loi d'une somme. $P(X+Y=s)={\sum }_{i}P((X=x_i)\cap (Y=s-x_i))$ ; si $X$ et $Y$ sont indépendantes, $P(X+Y=s)={\sum }_{i}P(X=x_i)P(Y=s-x_i)$. Exemple : si $X\hookrightarrow ℬ(m,p)$ et $Y\hookrightarrow ℬ(n,p)$ sont indépendantes, $X+Y\hookrightarrow ℬ(m+n,p)$ (Vandermonde).

Ces inégalités sont dans tous les cours de 2e année du corpus ; en 1re année, leur présence dépend de l'enseignant. Le jury 2025 signale qu'elles sont mal appliquées (hypothèses oubliées) : elles méritent d'être sues dès maintenant.

Inégalité de Markov. Hypothèses : $X$ variable aléatoire positive (à valeurs dans ${ℝ}_{+}$) ; $a>0$. Conclusion : $P(X\ge a)\le {\displaystyle \frac{E(X)}{a}}$. Preuve : $a{\mathrm{𝟙}}_{(X\ge a)}\le X$ (vrai en tout $\omega$, car $X\ge 0$), puis croissance de l'espérance.

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Hypothèses : $X$ variable aléatoire réelle (finie) ; $\epsilon >0$. Conclusion : $P(\mid X-E(X)\mid \ge \epsilon )\le {\displaystyle \frac{V(X)}{{\epsilon }^2}}$. Preuve : Markov appliquée à la variable positive $(X-E(X){)}^2$ et à $a={\epsilon }^2$.

Application (loi faible des grands nombres, version finie). Si $S_n\hookrightarrow ℬ(n,p)$, la fréquence $\frac{S_n}{n}$ vérifie $$P(\mid \frac{S_n}{n}-p\mid \ge \epsilon )\le \frac{p(1-p)}{n{\epsilon }^2}\le \frac{1}{4n{\epsilon }^2},$$ car $p(1-p)\le \frac{1}{4}$. Ces majorations sont souvent grossières (exercice 9) ; elles servent à obtenir un seuil $n$ garanti.

Calculer une probabilité dans un modèle d'équiprobabilité

1. Décrire $\mathrm{\Omega }$ précisément (listes ? parties ?) et justifier l'équiprobabilité.
2. Compter $\mathrm{Card}\mathrm{\Omega }$ puis $\mathrm{Card}A$ dans le même modèle.
3. « Au moins un » : passer à l'événement contraire.

Expérience en plusieurs étapes

1. Nommer les événements de chaque étape ($A_k$ : « … au $k$-ième tirage »).
2. Intersection d'étapes : probabilités composées (arbre).
3. Probabilité d'un résultat final qui dépend d'une étape précédente : probabilités totales, en citant le système complet.
4. Question « sachant le résultat, quelle est la probabilité que la cause… » : Bayes.

Déterminer la loi d'une variable aléatoire

1. Donner $X(\mathrm{\Omega })$ ; 2. calculer $P(X=x)$ pour chaque $x$ (souvent via $P(X\le x)$ et la différence $P(X\le x)-P(X\le x-1)$ quand $X$ est un maximum) ; 3. vérifier que la somme vaut $1$ ; 4. reconnaître éventuellement une loi usuelle en justifiant.

Calculer $E(X)$ et $V(X)$

• Par la loi : $E(X)=\sum x_{k}P(X=x_k)$, $E(X^2)$ par transfert, puis König-Huygens.
• Par décomposition : $X=\sum {\mathrm{𝟙}}_{A_i}$ (indicatrices), $E(X)=\sum P(A_i)$ ; $E(X^2)={\sum }_{i}P(A_i)+{\sum }_{i\mathrm{\ne }j}P(A_i\cap A_j)$.
• Par transformation affine : $E(aX+b)$, $V(aX+b)$ à partir d'une loi connue.

Montrer une indépendance

• Événements : calculer $P(A\cap B)$ et $P(A)P(B)$ et comparer.
• Variables : vérifier l'égalité pour toutes les cases du tableau ; pour réfuter, une case suffit.

1. Confondre les modèles : compter des arrangements au numérateur et des combinaisons au dénominateur ; utiliser $C_n^p$ pour des tirages avec remise.
2. Double compte : « choisir d'abord un roi, puis le reste » pour « au moins un roi » ; il faut passer par le contraire.
3. Appliquer $\frac{\text{favorables}}{\text{possibles}}$ sans équiprobabilité (la somme de deux dés n'est pas uniforme sur $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[2,12]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$).
4. Confondre incompatibles et indépendants ; croire que l'indépendance deux à deux suffit pour l'indépendance mutuelle.
5. Écrire $P(A\mid B)$ sans vérifier $P(B)>0$ ; confondre $P(A\mid B)$ avec $P(B\mid A)$ ou avec $P(A\cap B)$.
6. Probabilités totales sans citer le système complet (et sans vérifier qu'il en est un).
7. Annoncer une loi binomiale sans justifier l'indépendance ou pour des tirages sans remise.
8. Écrire $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ ou $E(XY)=E(X)E(Y)$ sans indépendance ; écrire $V(aX)=aV(X)$ (c'est $a^{2}V(X)$) ou $V(X-Y)=V(X)-V(Y)$.
9. Appliquer Markov à une variable qui n'est pas positive, ou Bienaymé-Tchebychev avec $\epsilon$ au lieu de ${\epsilon }^2$.
10. Oublier de vérifier que la somme des probabilités d'une loi vaut $1$ ; donner une probabilité négative ou supérieure à $1$ sans réagir.
11. Rédaction : phrase de modélisation absente (« on note $A_k$ l'événement… »), résultat non simplifié, valeur décimale alors que la calculatrice est interdite : on donne une fraction irréductible.

• $C_n^p$ (et $A_n^p$) pour les combinaisons et arrangements ; $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{p}\right)$ se rencontre aussi. $\mathrm{Card}(E)$ ou $\mathrm{card}(E)$.
• Espace probabilisé fini noté $(\mathrm{\Omega },𝒫(\mathrm{\Omega }),P)$ ou $(\mathrm{\Omega },P)$ ; en 2e année $(\mathrm{\Omega },𝒯,P)$ ou $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$ avec une tribu.
• Probabilité conditionnelle : $P(A\mid B)$ ou $P_B(A)$ (parfois $p_B(A)$) ; certains sujets anciens écrivent $p(A\mathrm{/}B)$ : même sens.
• Système complet d'événements, formule des probabilités totales, formule des probabilités composées, formule de Bayes.
• $E(X)$, $V(X)$ (parfois $\mathrm{Var}(X)$), $\sigma (X)$ ; $ℬ(p)$, $ℬ(n,p)$, $𝒰$ ; « $X$ suit la loi… », « $X\hookrightarrow ℬ(n,p)$ ».
• Situations des énoncés : urnes et boules « indiscernables au toucher », tirages simultanés, successifs avec ou sans remise, pièce truquée, dé équilibré ; proportions dans une population.
• Verbes : « Déterminer la loi de $X$ », « Calculer $E(X)$ et $V(X)$ », « $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ? », « Justifier brièvement » (une phrase de modélisation suffit, mais elle est exigée).
• Calculatrice interdite : réponses sous forme de fractions (ou de puissances), seuils entiers.