Une série entière est une série de fonctions ${\sum }_{n\ge 0}{a}_n{z}^n$ : le terme de rang $n$ est le monôme $a_n{z}^n$. On parle de série entière de la variable réelle quand on ne regarde que $x\in ℝ$. Sa somme est $S(z)={\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n$, là où la série converge.

Lemme d'Abel. Hypothèses : $z_0\in ℂ$ et la suite $(a_n{z}_0^n)$ est bornée. Conclusion : pour tout $z$ tel que $\mid z\mid <\mid z_0\mid$, la série $\sum a_n{z}^n$ converge absolument.

Preuve : si $\mid a_n{z}_0^n\mid \le M$, alors $\mid a_n{z}^n\mid =\mid a_n{z}_0^n\mid {\mid \frac{z}{z_0}\mid }^n\le M{\mid \frac{z}{z_0}\mid }^n$, terme d'une série géométrique convergente (raison $<1$).

Il suffit donc de connaître la série en un point pour la contrôler sur tout un disque plus petit. L'hypothèse est faible : « bornée » suffit, la convergence de $\sum a_n{z}_0^n$ n'est pas demandée.

Définition. Le rayon de convergence de $\sum a_n{z}^n$ est $$R=\sup \{r\ge 0:(a_n{r}^n{)}_n\text{est born}\acute{\text{e}}\text{e}\}\in [0,+\mathrm{\infty }]\mathrm{.}$$

Théorème (ce que dit $R$).

• si $\mid z\mid <R$ : $\sum a_n{z}^n$ converge absolument ;
• si $\mid z\mid >R$ : $(a_n{z}^n)$ n'est pas bornée, la série diverge grossièrement ;
• si $\mid z\mid =R$ : on ne peut rien dire en général.

$D(0,R)$ est le disque ouvert de convergence ; en variable réelle, $]-R,R[$ est l'intervalle ouvert de convergence. Le domaine de convergence (ensemble des points où la série converge) contient le disque ouvert et est contenu dans le disque fermé : il faut étudier le bord à part.

Trois exemples de rayon $1$ qui se comportent différemment sur le cercle $\mid z\mid =1$ :

• $\sum z^n$ : le terme ne tend pas vers $0$, divergence en tout point du cercle ;
• $\sum \frac{z^n}{n^2}$ : $\mid \frac{z^n}{n^2}\mid =\frac{1}{n^2}$, convergence absolue en tout point du cercle ;
• $\sum \frac{x^n}{n}$ (variable réelle) : diverge en $x=1$ (série harmonique), converge en $x=-1$ (série alternée) ; domaine $[-1,1[$.

Encadrer $R$ à partir d'un point (à connaître, très utilisé dans les sujets) : pour $z_0\mathrm{\ne }0$,

(Pour la dernière ligne : si on avait $R>\mid z_0\mid$, la convergence en $z_0$ serait absolue.)

Comparaison des coefficients. Soient $R_a$ et $R_b$ les rayons de $\sum a_n{z}^n$ et $\sum b_n{z}^n$.

• Si $\mid a_n\mid \le \mid b_n\mid$ à partir d'un certain rang, ou plus généralement $a_n=O(b_n)$, alors $R_a\ge R_b$.
• Si $\mid a_n\mid \sim \mid b_n\mid$, alors $R_a=R_b$. On remplace donc $a_n$ par un équivalent simple (fiche « Analyse asymptotique »).
• $\sum a_n{z}^n$ et $\sum n^{\alpha }{a}_n{z}^n$ ont le même rayon, pour tout réel $\alpha$ (comparer avec un rayon intermédiaire $r<\rho <R$ : $n^{\alpha }(r\mathrm{/}\rho {)}^n\to 0$). En particulier, si $a_n=F(n)$ avec $F$ fraction rationnelle non nulle, $R=1$.
• Si $(a_n)$ est bornée sans tendre vers $0$ (par exemple $a_n=\cos n$), $R=1$ : bornée donne $R\ge 1$, et en $z=1$ le terme ne tend pas vers $0$, donc $R\le 1$.

La méthode de d'Alembert, appliquée à une série numérique. On fixe $z\mathrm{\ne }0$ et on pose $u_n=a_n{z}^n$ (supposé non nul pour $n$ assez grand). Si $\mid {\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}\mid \to \mathrm{\ell }\in [0,+\mathrm{\infty }]$, alors $$\mid \frac{u_{n+1}}{u_n}\mid =\mid \frac{a_{n+1}}{a_n}\mid \mid z\mid \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{⟶}\mathrm{\ell }\mid z\mid \mathrm{.}$$ Le critère de d'Alembert, version séries numériques, donne : convergence absolue si $\mathrm{\ell }\mid z\mid <1$, divergence grossière si $\mathrm{\ell }\mid z\mid >1$. On conclut $R=\frac{1}{\mathrm{\ell }}$ (avec $R=+\mathrm{\infty }$ si $\mathrm{\ell }=0$ et $R=0$ si $\mathrm{\ell }=+\mathrm{\infty }$).

Exemple. $a_n=\frac{n!}{n^n}$ : $\frac{a_{n+1}}{a_n}={\left(\frac{n}{n+1}\right)}^n=e^{n\ln (1-\frac{1}{n+1})}\to e^{-1}$. Pour $z\mathrm{\ne }0$, le quotient $\mid u_{n+1}\mathrm{/}{u}_n\mid$ tend vers $\frac{\mid z\mid }{e}$ : convergence absolue si $\mid z\mid <e$, divergence grossière si $\mid z\mid >e$. Donc $R=e$.

Statut de la formule « $R=1\mathrm{/}\mathrm{\ell }$ » tirée du quotient des coefficients — à lire.

• PC et T : le rapport du jury 2025 (épreuve de mathématiques PC-T, § 2.3) indique que le critère de d'Alembert appliqué aux séries entières n'est pas au programme : le jury n'en admet que la version numérique. Une copie qui écrit « par le critère du quotient des coefficients, $R=1\mathrm{/}\mathrm{\ell }$ » n'obtient donc pas les points, alors même que des résumés de cours de PC2 donnent cette formule.
• MP : aucun texte officiel du corpus ne tranche. Des résumés de cours de MP2 la présentent sous la forme « si $\mid a_{n+1}\mathrm{/}{a}_n\mid \to \mathrm{\ell }$, alors $R=1\mathrm{/}\mathrm{\ell }$ », et les corrigés de séries de MP2 l'utilisent sur des séries numériques $u_n=a_n{x}^n$ ; les rapports du jury MP ne la commentent pas.
• Conduite à tenir dans les deux filières : rédiger comme ci-dessus, en appliquant la règle à la série numérique $\sum \mid a_n{z}^n\mid$ pour $z$ fixé. Cela coûte deux lignes et c'est accepté partout.

Quand la méthode du quotient ne s'applique pas.

• Séries lacunaires ($a_n=0$ pour une infinité de $n$), comme $\sum \frac{z^{2n}}{5^n}$ : $a_{n+1}\mathrm{/}{a}_n$ n'a pas de sens. On applique d'Alembert à $u_n=\frac{z^{2n}}{5^n}$ directement : $\mid \frac{u_{n+1}}{u_n}\mid =\frac{\mid z{\mid }^2}{5}$, donc $R=\sqrt{5}$.
• Le quotient n'a pas de limite ($a_n=2+(-1{)}^n$) : encadrer, $1\le a_n\le 3$, donc $R=1$ par comparaison.
• Coefficients avec $\ln$, puissances, fractions : équivalents et comparaison, le quotient tend vers $1$ sans rien apprendre de plus que $R=1$.

Soient $\sum a_n{z}^n$ et $\sum b_n{z}^n$ de rayons $R_a$ et $R_b$, de sommes $A$ et $B$.

Somme. $\sum (a_n+b_n)z^n$ a un rayon $R\ge \min (R_a,R_b)$, avec égalité si $R_a\mathrm{\ne }{R}_b$, et $\sum (a_n+b_n)z^n=A(z)+B(z)$ pour $\mid z\mid <\min (R_a,R_b)$. Si $R_a=R_b$, le rayon peut être plus grand : $a_n=1$, $b_n=-1+\frac{1}{3^n}$ donnent $R_a=R_b=1$ et $R=3$. Multiplier par $\lambda \mathrm{\ne }0$ ne change pas le rayon.

Produit de Cauchy. Hypothèses : $c_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}}$ pour tout $n$. Conclusion : le rayon $R$ de $\sum c_n{z}^n$ vérifie $R\ge \min (R_a,R_b)$, et pour $\mid z\mid <\min (R_a,R_b)$, $$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{c}_n{z}^n=A(z)B(z)\mathrm{.}$$ Preuve : pour un tel $z$, $\sum a_n{z}^n$ et $\sum b_n{z}^n$ convergent absolument ; leur produit de Cauchy a pour terme ${\sum }_k{a}_k{z}^k{b}_{n-k}{z}^{n-k}=c_n{z}^n$, et le théorème sur le produit de Cauchy de séries absolument convergentes s'applique.

Exemple. $\frac{1}{(1-z{)}^2}={(\sum z^n)}^2={\sum }_{n\ge 0}(n+1)z^n$ pour $\mid z\mid <1$ (ici $c_n={\sum }_{k=0}^{n}1=n+1$).

Exponentielle complexe. $\exp (z)=\sum \frac{z^n}{n!}$ a un rayon infini. Le produit de Cauchy et la formule du binôme donnent $\exp (z)\exp (w)=\exp (z+w)$ pour tous $z,w\in ℂ$. Avec $\exp (it)=\cos t+i\sin t$, on obtient les sommes de séries $\sum \frac{\cos (nt)}{n!}{x}^n=\mathrm{Re}\left(e^{x{e}^{it}}\right)=e^{x\cos t}\cos (x\sin t)$.

Théorème. Hypothèses : $R>0$ est le rayon de $\sum a_n{z}^n$ et $0\le r<R$. Conclusion : la série converge normalement sur le disque fermé $\bar{D}(0,r)$ (en variable réelle, sur $[-r,r]$).

Preuve : pour $\mid z\mid \le r$, $\mid a_n{z}^n\mid \le \mid a_n\mid r^n$, et $\sum \mid a_n\mid r^n$ converge puisque $r<R$. Le majorant ne dépend pas de $z$.

Conséquence. La somme $S$ est continue sur le disque ouvert $D(0,R)$ (sur $]-R,R[$ en variable réelle) : tout point de $D(0,R)$ est dans un disque fermé $\bar{D}(0,r)$ avec $r<R$, où la convergence est uniforme (Suites et séries de fonctions §9).

Attention : en général, la convergence n'est pas normale (ni même uniforme) sur tout le disque ouvert. Pour $\sum x^n$ sur $]-1,1[$, ${\sup }_{]-1,1[}\mid x^n\mid =1$ : pas de convergence normale, et la somme $\frac{1}{1-x}$ n'est pas bornée.

Au bord de l'intervalle de convergence. Soit $R\in ]0,+\mathrm{\infty }[$, en variable réelle.

• Si $\sum \mid a_n\mid R^n$ converge, la série converge normalement sur $[-R,R]$ et $S$ est continue sur $[-R,R]$. Exemple : $\sum \frac{x^n}{n^2}$ est continue sur $[-1,1]$.
• Si $\sum a_n{R}^n$ converge seulement (semi-convergence), la continuité en $R$ n'est pas un résultat de cours que l'on cite. Ce résultat (théorème radial d'Abel) est démontré dans les sujets quand on en a besoin (concours MP 2026, Q.43 à Q.45). Dans le cas fréquent d'une série alternée, on montre la convergence uniforme sur $[0,R]$ par le critère des séries alternées : pour ${\sum }_{n\ge 1}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{x}^n$ et $x\in [0,1]$, le terme est alterné, de valeur absolue décroissante vers $0$, donc $\mid R_n(x)\mid \le \frac{x^{n+1}}{n+1}\le \frac{1}{n+1}$ ; la convergence est uniforme sur $[0,1]$, la somme $\ln (1+x)$ est continue en $1$, et ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}=\ln 2}$.
• Si $a_n\ge 0$ et $\sum a_n{R}^n$ diverge, alors $S(x)\to +\mathrm{\infty }$ quand $x\to R^{-}$ : pour tout $N$, $S(x)\ge {\sum }_{n=0}^N{a}_n{x}^n$, qui tend vers ${\sum }_{n=0}^N{a}_n{R}^n$, aussi grand qu'on veut. Ce fait sert à prouver qu'un rayon n'est pas plus grand que $R$.

Dans ce paragraphe, $\sum a_n{x}^n$ a un rayon $R>0$ et une somme $S$ sur $]-R,R[$.

Théorème (primitivation terme à terme). Hypothèses : $R>0$. Conclusion : $\sum \frac{a_n}{n+1}{x}^{n+1}$ a le même rayon $R$ et, pour tout $x\in ]-R,R[$, $${\int }_0^{x}S(t)dt=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n+1}{x}^{n+1}\mathrm{.}$$

Théorème (dérivation terme à terme). Hypothèses : $R>0$. Conclusion : $\sum n{a}_n{x}^{n-1}$ a le même rayon $R$, la somme $S$ est $C^1$ sur $]-R,R[$, de dérivée $S^{\mathrm{\prime }}(x)={\sum }_{n\ge 1}n{a}_n{x}^{n-1}$.

Corollaire. $S$ est de classe $C^{\mathrm{\infty }}$ sur $]-R,R[$, avec $S^{(k)}(x)={\displaystyle \sum _{n\ge k}\frac{n!}{(n-k)!}{a}_n{x}^{n-k}}$, et $$a_k=\frac{S^{(k)}(0)}{k!}\text{pour tout }k\in \mathbb{N}\mathrm{.}$$

Ces théorèmes viennent de la convergence normale sur tout segment $[-r,r]\subset ]-R,R[$ (§5) et des théorèmes de régularité des séries de fonctions. Dans une copie, on invoque la dérivation terme à terme des séries entières, en nommant l'intervalle ouvert de convergence : inutile de refaire la convergence normale.

• Le bord n'est pas couvert. $\sum \frac{x^n}{n^2}$ converge sur $[-1,1]$, mais la série dérivée $\sum \frac{x^{n-1}}{n}$ diverge en $1$.
• Intégrer sur un segment $[a,b]\subset ]-R,R[$ : ${\int }_a^{b}S=\sum a_n{\int }_a^b{x}^{n}dx$ (convergence uniforme sur le segment).
• Intégrer jusqu'au bord ou au-delà (sur $[0,R[$, ou ${\int }_0^1$ d'une somme de rayon $1$) : ce n'est plus un segment intérieur ; on utilise l'intégration terme à terme sur un intervalle quelconque ou la convergence dominée des sommes partielles (Intégrales généralisées §8).

Exemple. Pour $\mid x\mid <1$, $\frac{1}{1+x^2}=\sum (-1{)}^n{x}^{2n}$ ; en primitivant, $\arctan x={\sum }_{n\ge 0}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1}$ (même rayon $1$). En dérivant $\frac{1}{1-x}=\sum x^n$ : $\frac{1}{(1-x{)}^2}={\sum }_{n\ge 1}n{x}^{n-1}$, $\frac{2}{(1-x{)}^3}={\sum }_{n\ge 2}n(n-1)x^{n-2}$.

Théorème. Hypothèses : $\sum a_n{x}^n$ et $\sum b_n{x}^n$ ont des rayons $>0$ et il existe $r>0$ tel que $\sum a_n{x}^n=\sum b_n{x}^n$ pour tout $x\in ]-r,r[$. Conclusion : $a_n=b_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

Preuve : la différence $\sum (a_n-b_n)x^n$ a une somme nulle sur $]-r,r[$, donc toutes ses dérivées en $0$ sont nulles, et $a_n-b_n=\frac{0}{n!}=0$ (corollaire du §6).

Conséquences.

• Parité : la somme est une fonction paire exactement quand tous les $a_{2p+1}$ sont nuls, impaire exactement quand tous les $a_{2p}$ sont nuls.
• Identification : deux expressions de la même fonction près de $0$ donnent des égalités entre coefficients. C'est la base des §10 à §12 (relations de récurrence, identités combinatoires).

Exemple. $e^{2x}=e^x{e}^x$ ; le produit de Cauchy donne le coefficient ${\sum }_{k=0}^n\frac{1}{k!(n-k)!}$ de $x^n$, celui de $e^{2x}$ est $\frac{2^n}{n!}$, d'où ${\sum }_{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)=2^n$.

L'égalité en un seul point ne suffit pas : $\sum x^n$ et $1+2x$ coïncident en $x=0$ sans avoir les mêmes coefficients.

Définition. Soit $r>0$. On dit qu'une fonction $f$ définie sur $]-r,r[$ se développe en série entière sur $]-r,r[$ quand on dispose d'une série entière $\sum a_n{x}^n$ de rayon $R\ge r$ telle que $f(x)={\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$ pour tout $x\in ]-r,r[$. Elle est développable au voisinage de $0$ si un tel $r>0$ existe.

Condition nécessaire. Si $f$ est développable sur $]-r,r[$, alors $f$ est $C^{\mathrm{\infty }}$ sur $]-r,r[$, avec $$a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}:$$ le développement est unique et c'est la série de Taylor de $f$ en $0$.

La condition n'est pas suffisante. La fonction $f$ définie par $f(x)=e^{-1\mathrm{/}{x}^2}$ pour $x\mathrm{\ne }0$ et $f(0)=0$ est de classe $C^{\mathrm{\infty }}$ sur $ℝ$ avec $f^{(n)}(0)=0$ pour tout $n$. Sa série de Taylor est nulle, mais $f$ ne s'annule qu'en $0$ : aucune série entière ne la représente près de $0$.

Critère par le reste de Taylor. Soit $f$ de classe $C^{\mathrm{\infty }}$ sur $]-r,r[$. Elle y est développable si et seulement si, pour tout $x\in ]-r,r[$, $$R_n(x)=f(x)-\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}{x}^k={\int }_0^x\frac{(x-t{)}^n}{n!}{f}^{(n+1)}(t)dt\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{⟶}0.$$ Cas typique : s'il existe $M$ tel que $\mid f^{(n)}(t)\mid \le M$ pour tout $n$ et tout $t\in ]-r,r[$, alors $\mid R_n(x)\mid \le M\frac{\mid x{\mid }^{n+1}}{(n+1)!}\to 0$. C'est ainsi qu'on obtient $\sin$, $\cos$ (et $\exp$, $\mathrm{ch}$, $\mathrm{sh}$ en majorant sur $[-a,a]$). En dehors de ces cas, la méthode est lourde ; on préfère les méthodes du §13.

À savoir avec le rayon et l'origine du résultat.

Si $\alpha \in \mathbb{N}$, $(1+x{)}^{\alpha }$ est un polynôme (formule du binôme), de rayon $+\mathrm{\infty }$.

Preuve pour $(1+x{)}^{\alpha }$. $f(x)=(1+x{)}^{\alpha }$ est l'unique solution sur $]-1,1[$ de $(1+x)y^{\mathrm{\prime }}=\alpha y$, $y(0)=1$ (problème de Cauchy du premier ordre). On cherche une solution $\sum a_n{x}^n$ : l'identification donne $(n+1)a_{n+1}+n{a}_n=\alpha a_n$, soit $a_{n+1}=\frac{\alpha -n}{n+1}{a}_n$, $a_0=1$. Pour $\alpha \mathrm{\notin }\mathbb{N}$, aucun $a_n$ n'est nul et $\mid \frac{a_{n+1}}{a_n}\mid \to 1$ : la méthode de d'Alembert (§3) donne un rayon $1$. La somme est solution du même problème de Cauchy sur $]-1,1[$, elle est donc égale à $f$.

Lien avec les développements limités. Tronquer un développement en série entière au rang $n$ donne le DL d'ordre $n$ en $0$ ; la réciproque est fausse (un DL à tout ordre ne garantit pas le développement, voir $e^{-1\mathrm{/}{x}^2}$).

Méthode (analyse puis synthèse), pour une équation linéaire à coefficients polynomiaux :

1. Analyse. Soit $y(x)=\sum a_n{x}^n$ de rayon $R>0$, solution sur $]-R,R[$.
2. Dériver terme à terme (légitime sur $]-R,R[$, §6), reporter dans l'équation, réindexer chaque somme pour faire apparaître $x^n$.
3. Unicité des coefficients (§7) : on obtient une relation de récurrence sur $(a_n)$, plus des conditions sur les premiers termes.
4. Résoudre la récurrence (souvent séparément pour les indices pairs et impairs) et calculer le rayon (§3).
5. Synthèse. Réciproquement, la série obtenue a un rayon $R>0$ ; les calculs se lisent dans l'autre sens, donc sa somme est solution sur $]-R,R[$. Sans cette vérification ($R>0$), l'analyse ne prouve rien.
6. Identifier la somme quand c'est possible, puis compléter la résolution : seconde solution par variation de la constante ou abaissement d'ordre, recollement si le coefficient dominant s'annule (raccordement).

Exemple. $(E)(1+x^2)y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+4x{y}^{\mathrm{\prime }}+2y=0$. Avec $y=\sum a_n{x}^n$ : $(1+x^2)y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}={\sum }_{n\ge 0}(n+2)(n+1)a_{n+2}{x}^n+{\sum }_{n\ge 0}n(n-1)a_n{x}^n$, $4x{y}^{\mathrm{\prime }}=\sum 4n{a}_n{x}^n$. Le coefficient de $x^n$ vaut $(n+1)(n+2)a_{n+2}+(n^2+3n+2)a_n=(n+1)(n+2)(a_{n+2}+a_n)$. Donc $a_{n+2}=-a_n$ : $y=(a_0+a_{1}x)\sum (-1{)}^p{x}^{2p}={\displaystyle \frac{a_0+a_{1}x}{1+x^2}}$, rayon $1$. Ces fonctions sont en fait solutions sur $ℝ$ tout entier (vérification directe : $(E)$ s'écrit $((1+x^2)y{)}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=0$). Le rayon peut être plus petit que l'intervalle où vit la solution.

Quand le coefficient de $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ s'annule en $0$ (par exemple $x{y}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+\dots$), la méthode ne trouve que les solutions développables en $0$ ; il peut en exister d'autres sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ qui ne se prolongent pas.

Somme d'une série entière. On ramène le coefficient à des séries connues :

• $a_n=F(n)$, fraction rationnelle : décomposition en éléments simples, puis $\sum \frac{x^n}{n+k}$ par primitivation (on obtient des $\ln$, des $\arctan$ ou des $\mathrm{argth}$ selon les signes et la parité) ;
• $a_n=P(n)$, polynôme : écrire $P(n)$ dans la base $1,n,n(n-1),n(n-1)(n-2),\dots$ et utiliser les dérivées de $\frac{1}{1-x}$ ;
• $a_n=\frac{P(n)}{n!}$ : même base, et ${\sum }_{n\ge k}\frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{n!}{x}^n=x^k{e}^x$ ;
• $a_n$ avec $\cos (n\theta )$, $\sin (n\theta )$ : partie réelle ou imaginaire d'une série en $(x{e}^{i\theta }{)}^n$. Ne pas oublier de traiter à part les valeurs où la formule a une division par $x$ (souvent $x=0$).

Somme d'une série numérique. On reconnaît $\sum a_n{x}_0^n$ :

• $x_0$ intérieur à l'intervalle de convergence : on évalue la somme ;
• $x_0$ au bord : il faut justifier la continuité en $x_0$ (convergence normale sur $[0,x_0]$, ou uniforme par le critère des séries alternées, §5), puis passer à la limite. Le jury sanctionne une valeur obtenue « en remplaçant $x$ par $1$ ».

Exemple. ${\sum }_{n\ge 0}\frac{(-1{)}^n}{3n+1}$. Pour $t\in [0,1[$, $\frac{1}{1+t^3}=\sum (-1{)}^n{t}^{3n}$ ; les sommes partielles sont dominées par $2$ sur $[0,1[$ (somme géométrique de raison $-t^3$), donc la convergence dominée donne ${\int }_0^1\frac{dt}{1+t^3}={\sum }_{n\ge 0}\frac{(-1{)}^n}{3n+1}$. Le calcul de l'intégrale par éléments simples donne $\frac{\ln 2}{3}+\frac{\pi }{3\sqrt{3}}$.

À une suite $(u_n)$ on associe sa série génératrice $\sum u_n{x}^n$, ou sa série génératrice exponentielle $\sum \frac{u_n}{n!}{x}^n$ (adaptée quand des coefficients binomiaux apparaissent).

Méthode.

1. Établir une relation de récurrence (raisonnement de dénombrement sur le premier ou le dernier choix, fiche Dénombrement et probabilités finies).
2. Prouver que le rayon est $>0$ par une majoration grossière : $\mid u_n\mid \le C{K}^n$ (série ordinaire) ou $\mid u_n\mid \le C{K}^{n}n!$ (série exponentielle), obtenue par récurrence. Étape oubliée dans beaucoup de copies : sans elle, la somme n'existe peut-être pas.
3. Traduire la récurrence en équation sur la somme $F$ : décalage d'indice $\leftrightarrow$ multiplication par $x$ ; convolution ${\sum }_{k=0}^n{u}_k{v}_{n-k}$ $\leftrightarrow$ produit de deux séries génératrices ; ${\sum }_k\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)u_k{v}_{n-k}$ $\leftrightarrow$ produit de deux séries exponentielles.
4. Résoudre l'équation (algébrique ou différentielle), développer la solution et identifier les coefficients (§7).

Exemple (récurrence linéaire). $u_0=0$, $u_1=1$, $u_{n+2}=u_{n+1}+2u_n$. Par récurrence $\mid u_n\mid \le 2^n$, donc $R\ge \frac{1}{2}$. Pour $\mid x\mid <\frac{1}{2}$, la somme $F$ vérifie $F(x)-x=xF(x)+2x^{2}F(x)$, d'où $$F(x)=\frac{x}{1-x-2x^2}=\frac{x}{(1-2x)(1+x)}=\frac{1}{3}(\frac{1}{1-2x}-\frac{1}{1+x}),u_n=\frac{2^n-(-1{)}^n}{3}\mathrm{.}$$ Le rayon vaut exactement $\frac{1}{2}$ (coefficients équivalents à $\frac{2^n}{3}$).

Au chapitre « Probabilités », la fonction génératrice $G_X(t)=\sum P(X=n)t^n$ d'une variable à valeurs dans $\mathbb{N}$ est une série entière de rayon $\ge 1$ : tout ce chapitre s'y applique.

Déterminer un rayon

1. Coefficient simple ou équivalent simple : comparaison et équivalents (§3).
2. Produits, factorielles, puissances $n$-ièmes : quotient $\mid u_{n+1}\mathrm{/}{u}_n\mid$ pour la série numérique $u_n=a_n{z}^n$, $z\mathrm{\ne }0$ fixé.
3. Série lacunaire : d'Alembert sur $u_n$ directement, en $z^2$, $z^3$…
4. Rayon défini par une propriété : encadrer avec un point où l'on sait que la série converge ou diverge (tableau du §2).
5. Puis, si on le demande, le domaine : étudier séparément $x=R$ et $x=-R$ (ou le cercle).

Montrer qu'une fonction est développable et trouver son développement

Dans l'ordre de préférence :

1. Opérations sur les développements usuels (somme, produit de Cauchy, $x\mapsto \lambda x$, $x\mapsto x^2$), après une décomposition en éléments simples pour une fraction rationnelle ;
2. Dérivée ou primitive connue : développer $f^{\mathrm{\prime }}$, puis primitiver (ne pas oublier $f(0)$) ;
3. Équation différentielle linéaire vérifiée par $f$ avec conditions initiales : chercher une solution développable, puis conclure par unicité de la solution du problème de Cauchy ;
4. Intégrale à paramètre $f(x)={\int }_{I}g(x,t)dt$ : développer $g(x,t)$ en série en $x$, puis intégrer terme à terme en justifiant ;
5. Reste de Taylor (rare).

Calculer une somme de série numérique

Choisir la série entière dont elle est la valeur en un point ; calculer la somme de la série entière ; si le point est au bord, justifier la continuité ; conclure.

Démontrer une identité entre coefficients

Écrire la même fonction de deux façons (produit de Cauchy, dérivée, équation différentielle) et identifier par unicité.

1. Invoquer « $R=1\mathrm{/}\mathrm{\ell }$ » comme un théorème : refusé au concours PC-T (rapport 2025), non garantie en MP. Appliquer la règle numérique à $\sum \mid a_n{z}^n\mid$. L'appliquer à une série lacunaire en divisant par des coefficients nuls.
2. Oublier le bord : « $R=1$ donc la série converge sur $[-1,1]$ ». Le rapport 2025 relève que beaucoup ne regardent pas ce qui se passe aux deux extrémités de l'intervalle.
3. Dériver ou intégrer terme à terme sur $[-R,R]$ au lieu de $]-R,R[$, ou affirmer la convergence normale sur $]-R,R[$.
4. « $f$ est $C^{\mathrm{\infty }}$ donc développable en série entière » : faux ($e^{-1\mathrm{/}{x}^2}$). Confondre DL à tout ordre et développement en série entière.
5. Produit de Cauchy mal écrit : $c_n=a_n{b}_n$ au lieu de ${\sum }_{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}$. Affirmer que le rayon d'une somme est toujours $\min (R_a,R_b)$.
6. Valeur au bord sans justification : remplacer $x$ par $R$ dans la somme sans continuité prouvée, ou citer un théorème radial non démontré.
7. Équation différentielle sans synthèse : ne pas vérifier que le rayon obtenu est $>0$ ; croire avoir trouvé toutes les solutions alors qu'on n'a que celles qui sont développables en $0$.
8. Unicité utilisée à tort : égalité des sommes en un point seulement, ou sur un ensemble qui ne contient pas d'intervalle autour de $0$.
9. Réindexation fausse : $\sum n{a}_n{x}^{n-1}=\sum (n+1)a_{n+1}{x}^n$ ; vérifier le premier terme de chaque somme après décalage.
10. Rayon d'une série génératrice non justifié : manipuler $\sum u_n{x}^n$ sans avoir prouvé que son rayon est $>0$.

• Consignes usuelles : trouver le rayon de convergence (noté $R$), puis le domaine de convergence $D$ (ou « domaine de définition » de la somme) ; la somme est souvent notée $S$ sur $]-R,R[$.
• « Prouver que $f$ admet un développement en série entière près de $0$, rayon à préciser » ; dans les résumés et certains énoncés, l'abréviation DSE. Jamais d'abréviation dans une copie (le jury les proscrit).
• Coefficients binomiaux : $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{p}\right)$ dans les sujets récents, $C_n^p$ dans les plus anciens.
• Fonctions : $\mathrm{ch}$, $\mathrm{sh}$, $\mathrm{th}$, $\mathrm{argth}$, $\mathrm{argsh}$, $\arctan$ (ou $\mathrm{Arctg}$) ; $\ln$.
• Rédaction attendue au concours : pour chaque théorème (dérivation terme à terme, continuité au bord, intégration terme à terme, unicité), nommer le théorème et vérifier ses hypothèses, en précisant l'intervalle.
• Pas de calculatrice : un rayon s'écrit sous forme exacte ($\frac{1}{e}$, $\sqrt{5}$, $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$), jamais en décimal.