Définition. La série de terme général $u_n$, notée $\sum u_n$ ou $\sum _{n\ge 0}{u}_n$, est la suite $(S_n)$ de ses sommes partielles : $$S_n=\sum _{k=0}^n{u}_k=u_0+u_1+\cdots +u_n\mathrm{.}$$ Si $(u_n)$ n'est définie qu'à partir du rang $n_0$, on écrit $\sum _{n\ge n_0}{u}_n$ et $S_n={\sum }_{k=n_0}^n{u}_k$.

• La série converge si la suite $(S_n)$ a une limite finie $S$ ; on appelle alors $S$ la somme de la série et on écrit $S={\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n}$. Sinon, la série diverge.
• On appelle nature d'une série le fait qu'elle converge ou qu'elle diverge ; « étudier la nature », c'est trancher entre les deux.
• Deux notations à ne pas confondre : $\sum u_n$ est une suite (celle des $S_n$) ; ${\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n$ est un nombre, qui n'a de sens qu'après avoir prouvé la convergence.
• Modifier, ajouter ou retirer un nombre fini de termes ne change pas la nature de la série ; cela change sa somme.

Exemple. ${\sum }_{n\ge 1}\frac{1}{n(n+1)}$ : comme $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$, on a $S_n=1-\frac{1}{n+1}\to 1$. La série converge et ${\sum }_{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n+1)}=1$.

Si $\sum u_n$ converge, de somme $S$, le reste d'ordre $n$ est $$R_n=\sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k=S-S_n\mathrm{.}$$ Chaque $R_n$ existe (c'est la somme d'une série qui ne diffère de $\sum u_k$ que par ses premiers termes), et $$S=S_n+R_n,R_n\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{⟶}0.$$ Le reste mesure l'erreur commise quand on remplace $S$ par $S_n$ : les questions « valeur approchée à ${10}^{-p}$ près » reviennent à majorer $\mid R_n\mid$. On ne parle de reste que pour une série convergente.

Théorème. Hypothèse : $\sum u_n$ converge. Conclusion : $u_n\to 0$.

Preuve : $u_n=S_n-S_{n-1}\to S-S=0$.

• Contraposée, très utilisée : si $(u_n)$ ne tend pas vers $0$, la série diverge grossièrement. Exemples : $\sum (-1{)}^n$ (terme de module $1$) ; $\sum {(1+\frac{1}{n})}^n$, dont le terme tend vers $e\mathrm{\ne }0$.
• La réciproque est fausse : la série harmonique ${\sum }_{n\ge 1}\frac{1}{n}$ diverge alors que $\frac{1}{n}\to 0$. Une preuve en une ligne : $S_{2n}-S_n={\sum }_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}\ge n\cdot \frac{1}{2n}=\frac{1}{2}$, ce qui interdit à $(S_n)$ de converger (sinon $S_{2n}-S_n\to 0$). Autre preuve : $\ln (1+x)\le x$ donne ${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k}\ge \ln (n+1)\to +\mathrm{\infty }$.

• Linéarité. Si $\sum u_n$ et $\sum v_n$ convergent et $\lambda \in 𝕂$, alors $\sum (u_n+\lambda v_n)$ converge et ${\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}(u_n+\lambda v_n)={\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n+\lambda {\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{v}_n$. Les suites dont la série converge forment un sous-espace vectoriel de ${𝕂}^{\mathbb{N}}$.
• Convergente + divergente = divergente (sinon la différence de deux séries convergentes serait divergente).
• Divergente + divergente : on ne peut rien dire ($\sum 1$ et $\sum (-1)$ divergent, leur somme est nulle). On n'écrit donc jamais $\sum (u_n+v_n)=\sum u_n+\sum v_n$ avant d'avoir la convergence de deux des trois séries.
• Séries complexes. La convergence de $\sum u_n$ équivaut à celle des deux séries réelles $\sum \mathrm{Re}(u_n)$ et $\sum \mathrm{Im}(u_n)$ ; dans ce cas ${\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n={\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\mathrm{Re}{u}_n+i{\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\mathrm{Im}{u}_n$.

Théorème (série géométrique). La série ${\sum }_{n\ge 0}{q}^n$, où $q\in ℂ$, converge si et seulement si $\mid q\mid <1$, et alors $$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{q}^n=\frac{1}{1-q},\sum _{n=p}^{+\mathrm{\infty }}{q}^n=\frac{q^p}{1-q}(\text{premier terme}\times \frac{1}{1-\text{raison}})\mathrm{.}$$ Preuve : pour $q\mathrm{\ne }1$, $S_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ et $(q^{n+1})$ converge (vers $0$) si et seulement si $\mid q\mid <1$ ; si $\mid q\mid \ge 1$, $\mid q^n\mid \ge 1$ et la divergence est grossière. Le reste vaut $R_n=\frac{q^{n+1}}{1-q}$.

Dérivée formelle (à redémontrer quand on s'en sert) : pour $\mid q\mid <1$, ${\sum }_{n\ge 1}n{q}^{n-1}$ converge et vaut $\frac{1}{(1-q{)}^2}$ ; on l'obtient en calculant $(1-q){\sum }_{k=1}^{n}k{q}^{k-1}$ ou en dérivant ${\sum }_{k=0}^n{x}^k$, puis en passant à la limite.

Série exponentielle. Pour tout réel $x$, ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=e^x}$. Preuve : la formule de Taylor avec reste intégral (fiche « Intégration » §10) appliquée à $\exp$ entre $0$ et $x$ donne $\mid e^x-{\sum }_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}\mid \le \frac{\mid x{\mid }^{n+1}}{(n+1)!}{e}^{\mid x\mid }\to 0$ (croissances comparées). En particulier ${\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}=e$.

Théorème. La suite $(a_n)$ et la série $\sum (a_{n+1}-a_n)$ ont même nature, et en cas de convergence $$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}(a_{n+1}-a_n)=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n-a_0\mathrm{.}$$ Preuve : ${\sum }_{k=0}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)=a_n-a_0$ (simplification en cascade).

Deux usages, dans les deux sens :

1. Calculer une somme : écrire $u_n=a_{n+1}-a_n$ (décomposition en éléments simples, $\ln \frac{n+1}{n}=\ln (n+1)-\ln n$, $\mathrm{Arctan}(n+1)-\mathrm{Arctan}n=\mathrm{Arctan}\frac{1}{n^2+n+1}$…).
2. Montrer qu'une suite converge : étudier la série $\sum (a_{n+1}-a_n)$ par les critères des § 7 à 12. C'est la méthode des devoirs pour la constante d'Euler : $a_n={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n$ vérifie , donc $(a_n)$ converge ; sa limite est notée $\gamma$.

Exemple. ${\sum }_{n\ge 1}\ln (1+\frac{1}{n})$ diverge, car c'est la série des différences de la suite $(\ln n)$, qui diverge.

Si $u_n\ge 0$ pour tout $n$ (ou pour $n$ assez grand), la suite $(S_n)$ est croissante. Par la limite monotone :

Théorème. Une série à termes positifs converge si et seulement si ses sommes partielles sont majorées ; sinon $S_n\to +\mathrm{\infty }$ et on écrit ${\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n=+\mathrm{\infty }$.

Comparaison par inégalités. Hypothèses : $0\le u_n\le v_n$ pour tout $n$ assez grand. Conclusion : si $\sum v_n$ converge, $\sum u_n$ converge (et $\sum u_n\le \sum v_n$ quand l'inégalité vaut pour tout $n$) ; si $\sum u_n$ diverge, $\sum v_n$ diverge.

Comparaison par $O$ et $o$. Hypothèses : $v_n\ge 0$ ; $u_n=O(v_n)$ (en particulier si $u_n=o(v_n)$) ; $\sum v_n$ converge. Conclusion : $\sum u_n$ converge (et même absolument, § 11, ce qui permet $u_n$ complexe).

Comparaison par équivalents. Hypothèses : $(v_n)$ garde un signe constant pour $n$ assez grand ; $u_n\sim v_n$. Conclusion : les deux séries $\sum u_n$, $\sum v_n$ sont de même nature. Preuve : pour $n$ assez grand, $\frac{1}{2}{v}_n\le u_n\le \frac{3}{2}{v}_n$ (si $v_n>0$), puis comparaison. L'hypothèse de signe est indispensable : voir § 12 et l'exercice 6.

Règle « $n^{\alpha }{u}_n$ » (forme pratique de la comparaison par $o$ avec une série de Riemann) :

• s'il existe $\alpha >1$ tel que $n^{\alpha }{u}_n\to 0$ (ou reste borné), alors $\sum u_n$ converge absolument ;
• si $u_n\ge 0$ et $n{u}_n\to +\mathrm{\infty }$ (ou $n{u}_n\ge c>0$), alors $\sum u_n$ diverge. Exemples : $\sum e^{-\sqrt{n}}$ converge ($n^2{e}^{-\sqrt{n}}\to 0$) ; $\sum \frac{1}{\ln n}$ diverge ($\frac{n}{\ln n}\to +\mathrm{\infty }$).

Théorème. Soit $\alpha \in ℝ$. La série ${\sum }_{n\ge 1}{\displaystyle \frac{1}{n^{\alpha }}}$ converge si et seulement si $\alpha >1$.

• $\alpha \le 0$ : divergence grossière.
• $0<\alpha \le 1$ : divergence (comparaison série-intégrale, § 9 ; ou $\frac{1}{n^{\alpha }}\ge \frac{1}{n}$ et la série harmonique).
• $\alpha >1$ : convergence, car $S_n\le 1+{\int }_1^n\frac{dt}{t^{\alpha }}\le 1+\frac{1}{\alpha -1}$.

À connaître par cœur, avec les séries de référence qui en découlent : $\sum \frac{1}{n^2}$, $\sum \frac{1}{n\sqrt{n}}$ convergent ; $\sum \frac{1}{n}$, $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ divergent. La valeur ${\sum }_{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ se démontre en problème, jamais admise sans indication.

Les intégrales sur un intervalle non borné ne sont pas au programme de 1re année : on compare $\sum f(k)$ à des intégrales sur des segments ${\int }_a^{b}f$, qu'on sait calculer.

Méthode (fonction décroissante). Soit $f$ continue, positive et décroissante sur $[n_0,+\mathrm{\infty }[$. Pour tout entier $k\ge n_0$ et $t\in [k,k+1]$ : $f(k+1)\le f(t)\le f(k)$. En intégrant sur $[k,k+1]$ (croissance de l'intégrale) : $$f(k+1)\le {\int }_k^{k+1}f(t)dt\le f(k)\mathrm{.}$$ En sommant ces inégalités : $${\int }_{n_0}^{n+1}f(t)dt\le \sum _{k=n_0}^{n}f(k)\le f(n_0)+{\int }_{n_0}^{n}f(t)dt\mathrm{.}$$

Conséquences.

1. Nature : la série $\sum f(n)$ converge exactement lorsque la suite croissante $\left({\int }_{n_0}^{n}f\right)$ est majorée.
2. Équivalent d'une somme partielle (série divergente) : si ${\int }_{n_0}^{n}f\to +\mathrm{\infty }$ et $f(n_0)$ est négligeable devant elle, l'encadrement donne ${\sum }_{k=n_0}^{n}f(k)\sim {\int }_{n_0}^{n}f$. Exemple fondamental : .
3. Équivalent d'un reste (série convergente) : en sommant de $n+1$ à $N$ puis en faisant $N\to +\mathrm{\infty }$, $$\underset{N\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\int }_{n+1}^{N}f\le R_n\le \underset{N\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\int }_n^{N}f(\text{limites qui existent ici par monotonie})\mathrm{.}$$ Exemple : $\frac{1}{n+1}\le {\sum }_{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}\le \frac{1}{n}$, donc $R_n\sim \frac{1}{n}$.

Pour une fonction croissante, les inégalités s'inversent. On fait toujours un dessin (rectangles sous et sur la courbe) pour ne pas se tromper de bornes.

Théorème. Hypothèses : $u_n\mathrm{\ne }0$ pour $n$ assez grand et $\mid {\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}\mid \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{⟶}\mathrm{\ell }\in [0,+\mathrm{\infty }]$. Conclusion :

• si $\mathrm{\ell }<1$, la série $\sum u_n$ converge absolument ;
• si $\mathrm{\ell }>1$, la série diverge grossièrement ($\mid u_n\mid$ croît à partir d'un rang, donc ne tend pas vers $0$) ;
• si $\mathrm{\ell }=1$, on ne peut pas conclure : $\sum \frac{1}{n}$ et $\sum \frac{1}{n^2}$ donnent toutes deux $\mathrm{\ell }=1$.

Idée de preuve pour $\mathrm{\ell }<1$ : on fixe $q$ avec $\mathrm{\ell }<q<1$ ; pour $n\ge N$, $\mid u_{n+1}\mid \le q\mid u_n\mid$, d'où $\mid u_n\mid \le \mid u_N\mid q^{n-N}$, et on compare à une série géométrique.

• Quand l'utiliser : terme général fait de produits : factorielles, puissances $a^n$, $n^n$, coefficients binomiaux. Exemple : $\sum \frac{n^3}{2^n}$, quotient $\frac{1}{2}{(1+\frac{1}{n})}^3\to \frac{1}{2}<1$, convergence.
• Quand l'éviter : fractions rationnelles, $\ln n$, puissances $n^{\alpha }$ seules : on trouve $\mathrm{\ell }=1$, il faut des équivalents.
• Statut. La règle figure dans les cours de MP1 lus (souvent admise) ; au concours, le rapport du jury 2025 précise qu'elle est admise quand on l'applique à une série numérique, mais refusée sous sa forme « séries entières » (2e année). On l'applique donc toujours à une série numérique précise, en calculant le quotient.

Définition. $\sum u_n$ ($u_n\in 𝕂$) est absolument convergente si $\sum \mid u_n\mid$ converge.

Théorème. Une série absolument convergente converge, et $\mid {\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n\mid \le {\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\mid u_n\mid$.

Preuve, cas réel : avec $u_n^{+}=\max (u_n,0)$ et $u_n^{-}=\max (-u_n,0)$, on a $0\le u_n^{\pm }\le \mid u_n\mid$ et $u_n=u_n^{+}-u_n^{-}$ ; les deux séries $\sum u_n^{\pm }$ convergent par comparaison, donc $\sum u_n$ par différence. Cas complexe : $\mid \mathrm{Re}{u}_n\mid$ et $\mid \mathrm{Im}{u}_n\mid$ sont majorés par $\mid u_n\mid$.

• La réciproque est fausse : $\sum \frac{(-1{)}^n}{n}$ converge (§ 12) mais pas absolument. Une série convergente non absolument convergente est dite semi-convergente.
• Pour une série de signe quelconque ou complexe, le premier réflexe est d'étudier $\sum \mid u_n\mid$ avec les outils des § 7 à 10. Exemple : $\sum \frac{\cos n}{n^2}$ converge absolument car $\mid \frac{\cos n}{n^2}\mid \le \frac{1}{n^2}$ ; $\sum \frac{e^{in\theta }}{n\sqrt{n}}$ aussi.

Une série alternée est une série $\sum (-1{)}^n{a}_n$ (ou $\sum (-1{)}^{n+1}{a}_n$) avec $a_n$ de signe constant, en pratique $a_n\ge 0$.

Théorème (critère spécial des séries alternées). Hypothèses : (i) $(a_n)$ est décroissante ; (ii) $a_n\to 0$. Conclusion : la série $\sum (-1{)}^n{a}_n$ converge. De plus, pour tout $n$, le reste $R_n={\sum }_{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}(-1{)}^k{a}_k$ vérifie :

• $R_n$ a le signe de son premier terme $(-1{)}^{n+1}{a}_{n+1}$ ;
• $\mid R_n\mid \le a_{n+1}$ (l'erreur est majorée par le premier terme négligé) ;
• la somme $S$ est comprise entre deux sommes partielles consécutives $S_n$ et $S_{n+1}$.

(Les hypothèses entraînent $a_n\ge 0$.) Preuve : $(S_{2n})$ décroît, $(S_{2n+1})$ croît et $S_{2n}-S_{2n+1}=a_{2n+1}\to 0$ : ces suites sont adjacentes (fiche « Suites numériques » §5), de même limite $S$, et $S_{2n+1}\le S\le S_{2n}$ ; on conclut avec le critère pairs-impairs (fiche « Suites numériques » §6). Les encadrements donnent le signe et la majoration du reste. Cette preuve est elle-même un sujet de devoir : savoir la refaire.

• Séries de Riemann alternées : ${\sum }_{n\ge 1}\frac{(-1{)}^n}{n^{\alpha }}$ converge si et seulement si $\alpha >0$ ; absolument si et seulement si $\alpha >1$.
• Monotonie à vérifier : pour $a_n=\frac{\ln n}{n}$, étudier $x\mapsto \frac{\ln x}{x}$ (décroissante sur $[e,+\mathrm{\infty }[$) ; le critère s'applique à partir du rang $3$, ce qui suffit pour la nature.
• Si la monotonie échoue ou est pénible : faire un développement asymptotique du terme général, $u_n=\frac{(-1{)}^n}{n^{\alpha }}+w_n$ avec $\sum w_n$ de nature connue (souvent $w_n\sim \frac{c}{n^{\beta }}$, de signe constant), puis conclure par somme (§ 4). C'est là que les équivalents ne suffisent pas : $\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}$ et $\ln (1+\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}})$ sont équivalents, la première série converge et la seconde diverge (exercice 6).

1. Le terme général tend-il vers $0$ ? Sinon : divergence grossière, c'est fini.
2. Signe constant ? (au moins à partir d'un rang)
   • Oui : chercher un équivalent simple ($\frac{c}{n^{\alpha }}$, $\frac{c}{n^{\alpha }(\ln n{)}^{\beta }}$, $q^n$…) et comparer (§ 7-8) ; produits et factorielles : d'Alembert (§ 10) ; fonction décroissante explicite : série-intégrale (§ 9).
   • Non : étudier la convergence absolue (§ 11).
3. Pas absolument convergente ? Série alternée : critère spécial (§ 12) ; sinon développement asymptotique et découpage en somme de séries de natures connues.
4. Somme demandée ? Géométrique, télescopage, exponentielle (§ 5-6), ou intégrale (§ 14).

• Par une intégrale. Écrire le terme comme une intégrale, sommer sous l'intégrale une série géométrique finie, puis montrer que l'intégrale du reste tend vers $0$. Exemple : pour $t\in [0,1]$, ${\sum }_{k=0}^{n-1}(-t{)}^k=\frac{1-(-t{)}^n}{1+t}$, d'où ${\sum }_{k=1}^n\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}=\ln 2-(-1{)}^n{\int }_0^1\frac{t^n}{1+t}dt$ et $0\le {\int }_0^1\frac{t^n}{1+t}dt\le \frac{1}{n+1}$. Donc ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}=\ln 2}$.
• Par la constante d'Euler. ${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k}=\ln n+\gamma +o(1)$ permet de calculer des sommes « regroupées » : ${\sum }_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}\to \ln 2$ (exercice 7).
• Valeur approchée. Série alternée : $\mid R_n\mid \le a_{n+1}$. Série positive : majorer $R_n$ par une série géométrique ou par une intégrale (§ 9). Sans calculatrice, la question se ramène à trouver un entier $n$ (par exemple $(n+1{)}^2\ge {10}^4$).
• Équivalent de restes et de sommes partielles : série-intégrale (§ 9), ou télescopage $u_n\sim a_n-a_{n+1}$ avec une suite $(a_n)$ bien choisie, en encadrant terme à terme.

Montrer qu'une série converge

1. Équivalent positif $\frac{c}{n^{\alpha }}$ avec $\alpha >1$ (DL du terme général si besoin : $1-\cos \frac{1}{n}\sim \frac{1}{2n^2}$).
2. Majoration $0\le u_n\le v_n$ par une série de référence convergente, ou $n^{\alpha }{u}_n\to 0$ avec $\alpha >1$.
3. D'Alembert si le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ se simplifie bien.
4. Convergence absolue pour les séries de signe quelconque ; critère spécial pour les séries alternées.
5. Somme partielle explicite (télescopage, géométrique) ou majorée.

Montrer qu'une série diverge

1. Terme général qui ne tend pas vers $0$ (penser aux suites extraites, à ${(1+\frac{a}{n})}^n\to e^a$).
2. Équivalent positif $\frac{c}{n^{\alpha }}$ avec $\alpha \le 1$, ou minoration $u_n\ge \frac{c}{n}$.
3. Écrire la série comme une convergente plus une divergente.
4. Série des différences d'une suite divergente (§ 6).

Rédiger une comparaison (barème tunisien)

« La série est à termes positifs ; ; la série de Riemann $\sum \frac{1}{n^2}$ converge car $2>1$ ; par comparaison, $\sum u_n$ converge. » Chaque élément rapporte des points : le signe, l'équivalent, la série de référence avec son exposant, le nom du théorème.

1. « $u_n\to 0$ donc $\sum u_n$ converge » : faux (série harmonique). La condition est nécessaire, pas suffisante.
2. Écrire ${\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n$ ou découper $\sum (u_n+v_n)$ avant d'avoir prouvé les convergences.
3. Comparer par équivalents des séries qui ne sont pas de signe constant (§ 12 : équivalents, natures différentes).
4. Appliquer le critère spécial sans vérifier la décroissance de $(a_n)$, ou à une série qui n'est pas alternée.
5. Conclure avec d'Alembert quand la limite du quotient vaut $1$ ; ou oublier la valeur absolue pour une série complexe.
6. Confondre la suite et la série : « $(u_n)$ converge » et « $\sum u_n$ converge » ne disent pas la même chose.
7. Série-intégrale : se tromper de sens dans l'encadrement (dessiner), ou utiliser ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}$ comme une intégrale connue alors qu'on ne dispose que d'intégrales sur des segments.
8. Parler du reste $R_n$ d'une série dont on n'a pas montré la convergence.
9. Majorer $\mid R_n\mid$ par $a_n$ au lieu de $a_{n+1}$ : c'est vrai mais moins précis, et le seuil demandé « au rang près » devient faux.
10. Rédaction : « d'après le cours » sans nommer le théorème (comparaison, critère spécial, règle de d'Alembert, Riemann avec son exposant).

• « Étudier la nature » de la série = dire si elle converge ou diverge ; « diverge grossièrement » quand le terme général ne tend pas vers $0$ ; « semi-convergente » = convergente sans l'être absolument.
• « Critère spécial des séries alternées » (ou « théorème des séries alternées ») : le nom attendu dans la copie.
• Notations : $\sum u_n$, ${\sum }_{n\ge 1}{u}_n$, ${\sum }_{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n$ pour la somme ; $S_n$ (somme partielle), $R_n$ (reste) ; $\gamma$ (constante d'Euler) ; $\mathrm{Arctg}$ ou $\arctan$, $E(x)$ pour la partie entière, $\mathrm{ch}$, $\mathrm{sh}$, $\mathrm{th}$.
• Les sujets de mai mêlent séries, intégrales et DL : « montrer que la série de terme général $u_{n+1}-u_n$ converge ; en déduire que la suite $(u_n)$ converge » est une question type.
• Hors programme de 1re année (vu en 2e année MP) : produit de Cauchy de deux séries, théorème de sommation des relations de comparaison, règles de Raabe-Duhamel et d'Abel, séries de fonctions. En MP1, un équivalent de somme partielle ou de reste s'obtient à la main (série-intégrale, télescopage, encadrement), éventuellement guidé par l'énoncé.
• Calculatrice interdite : les valeurs approchées se ramènent à des seuils entiers.