Algèbre · 2e année

Structures algébriques (2e année)

Prérequis (rédigés en 1re année, à relire et non répétés ici). Groupes, sous-groupes et leur caractérisation, sous-groupes de $ℤ$ et de $𝕌_{n}$ (fiche « Structures algébriques », § Groupes, § Sous-groupes) ; groupe symétrique, signature (§ Permutations) ; morphismes de groupes, noyau, image, critère d'injectivité, transport de structure (§ Morphismes) ; première approche de l'ordre et de Lagrange dans le cas commutatif (§ Ordre) ; anneaux, inversibles, intégrité, sous-anneaux, corps (§ Anneaux, § Corps) ; aperçu des idéaux (§ Idéaux). Côté entiers : congruences, Bézout, Gauss, nombres premiers, décomposition, petit théorème de Fermat (fiche « Arithmétique dans Z », § Congruences, § Bézout, § Gauss, § Premiers, § Décomposition, § Fermat). Côté polynômes : division euclidienne, PGCD, Bézout et Gauss dans $𝕂 [X]$ , irréductibles de $ℂ [X]$ et $ℝ [X]$ , factorisation (fiche « Polynômes », § Division, § Arithmétique, § Irréductibles, § Factorisation).

Dans toute la fiche, $𝕂$ désigne $ℝ$ ou $ℂ$ ; les groupes sont notés multiplicativement (neutre $e$ ) sauf mention contraire ; les anneaux sont unitaires et, à partir du §8, commutatifs. Pour un groupe fini $G$ , son cardinal $Card G$ est aussi appelé son ordre (les deux mots se rencontrent dans les devoirs).

Sous-groupe engendré par une partie

Théorème-définition. Soit $(G, \cdot)$ un groupe et $S \subset G$ . En prenant l'intersection des sous-groupes de $G$ contenant $S$ , on obtient un sous-groupe : c'est le plus petit (pour l'inclusion) contenant $S$ . On le note $⟨ S ⟩$ : c'est le sous-groupe engendré par $S$ . Concrètement, $⟨ \emptyset ⟩ = {e}$ et, pour $S \neq \emptyset$ , $⟨ S ⟩ = {x_{1}^{ε_{1}} x_{2}^{ε_{2}} \dots x_{r}^{ε_{r}}, r \geq 1, x_{i} \in S, ε_{i} \in {- 1, 1}} .$ On dit que $S$ engendre $G$ (ou est une partie génératrice) lorsque $⟨ S ⟩ = G$ .

Un seul élément : $⟨ a ⟩ = {a^{k}, k \in ℤ}$ (en additif : $ℤ a = {k a, k \in ℤ}$ ).
Groupe commutatif et $S = {a, b}$ : $⟨ a, b ⟩ = {a^{k} b^{ℓ}, (k, ℓ) \in ℤ^{2}}$ ; en additif, $⟨ a, b ⟩ = ℤ a + ℤ b$ . Dans $(ℤ, +)$ : $⟨ a, b ⟩ = a ℤ + b ℤ = (a \land b) ℤ$ .
Exemples à connaître : $S_{n}$ est engendré par les transpositions (1re année) ; $(ℤ^{2}, +)$ est engendré par $(1, 0)$ et $(0, 1)$ mais par aucun élément seul.
Pour prouver $⟨ S ⟩ \subset H$ ( $H$ sous-groupe), il suffit de vérifier $S \subset H$ . C'est l'usage principal de la définition « plus petit sous-groupe ».

Morphismes de groupes : compléments

Définition, image, noyau et critère d'injectivité sont acquis (1re année). Ce qui s'ajoute en 2e année :

Vocabulaire : endomorphisme (de $G$ dans $G$ ), isomorphisme (bijectif ; la réciproque est un morphisme), automorphisme (endomorphisme bijectif). Les automorphismes de $G$ forment un groupe pour $\circ$ . Deux groupes sont isomorphes ( $G ≃ G^{'}$ ) s'il existe un isomorphisme de l'un sur l'autre : ils ont alors les mêmes propriétés de groupe (cardinal, commutativité, ordres des éléments, nombre de sous-groupes…).
Un morphisme est déterminé par les images d'une partie génératrice : si $⟨ S ⟩ = G$ et si $f, g : G \to G^{'}$ sont deux morphismes égaux sur $S$ , alors $f = g$ (l'ensemble ${x, f (x) = g (x)}$ est un sous-groupe qui contient $S$ ).
Morphismes partant de $ℤ$ . Pour tout $a \in G$ , $φ_{a} : k \mapsto a^{k}$ est un morphisme de $(ℤ, +)$ dans $G$ , d'image $⟨ a ⟩$ , et c'est le seul morphisme qui envoie $1$ sur $a$ . Son noyau est un sous-groupe de $ℤ$ , donc de la forme $n ℤ$ : c'est le point de départ des §4 et §5.
Image d'un élément d'ordre fini : si $x^{d} = e$ , alors $f (x)^{d} = f (x^{d}) = e^{'}$ ; donc l'ordre de $f (x)$ divise celui de $x$ , avec égalité si $f$ est injectif.
Groupes de matrices utiles : $\det : (G L_{n} (𝕂), \times) \to (𝕂^{*}, \times)$ est un morphisme surjectif de noyau $S L_{n} (𝕂) = {M, \det M = 1}$ ; $S L_{n} (𝕂)$ est donc un sous-groupe de $G L_{n} (𝕂)$ .

Le groupe $(ℤ / n ℤ, +)$

Soit $n \in ℕ^{*}$ . Être congrus modulo $n$ définit une relation d'équivalence de $ℤ$ (1re année). La classe de $k \in ℤ$ est $\overset{ˉ}{k} = k + n ℤ = {k + q n, q \in ℤ}$ ; $ℤ / n ℤ$ est l'ensemble de ces classes.

Cardinal. Par division euclidienne, chaque classe contient un et un seul entier de $[⁣ [0, n - 1] ⁣]$ : $ℤ / n ℤ = {\overset{ˉ}{0}, \overset{ˉ}{1}, \dots, \overline{n - 1}}$ a exactement $n$ éléments. $\overset{ˉ}{a} = \overset{ˉ}{b} ⟺ a \equiv b [n]$ .
Addition. On pose $\overset{ˉ}{a} + \overset{ˉ}{b} = \overline{a + b}$ . Cette définition a un sens (ne dépend pas des représentants choisis) grâce à la compatibilité de la congruence avec l'addition. C'est le point à justifier chaque fois qu'on définit une application sur $ℤ / n ℤ$ par un représentant.
Théorème. $(ℤ / n ℤ, +)$ est un groupe commutatif de cardinal $n$ , de neutre $\overset{ˉ}{0}$ , l'opposé de $\overset{ˉ}{a}$ étant $\overline{- a}$ . La surjection canonique $π : ℤ \to ℤ / n ℤ$ , $k \mapsto \overset{ˉ}{k}$ , est un morphisme surjectif de noyau $n ℤ$ .
Générateurs. $\overset{ˉ}{1}$ engendre $ℤ / n ℤ$ , et $⟨ \overset{ˉ}{k} ⟩ = ℤ / n ℤ ⟺ k \land n = 1.$ (Preuve : $\overset{ˉ}{1} \in ⟨ \overset{ˉ}{k} ⟩ ⟺ \exists u, u k \equiv 1 [n] ⟺ \exists u, v, u k + v n = 1$ , puis Bézout.) Exemple : les générateurs de $ℤ / 10 ℤ$ sont $\overset{ˉ}{1}, \overset{ˉ}{3}, \overset{ˉ}{7}, \overset{ˉ}{9}$ ; $⟨ \overset{ˉ}{4} ⟩ = {\overset{ˉ}{0}, \overset{ˉ}{2}, \overset{ˉ}{4}, \overset{ˉ}{6}, \overset{ˉ}{8}}$ .
Lien avec $𝕌_{n}$ : $\overset{ˉ}{k} \mapsto e^{2 i k π / n}$ est bien défini et c'est un isomorphisme de $(ℤ / n ℤ, +)$ sur $(𝕌_{n}, \times)$ .

Groupes monogènes, groupes cycliques

Définitions. On dit que $G$ est monogène lorsqu'un seul élément suffit à l'engendrer : $G = ⟨ a ⟩$ pour un certain $a$ . On le dit cyclique lorsqu'il est de plus fini. Un groupe monogène est commutatif ( $a^{k} a^{ℓ} = a^{k + ℓ} = a^{ℓ} a^{k}$ ).

Théorème (classification). Hypothèse : $G = ⟨ a ⟩$ est monogène. Conclusion : si $G$ est infini, $G ≃ (ℤ, +)$ ; si $G$ est fini de cardinal $n$ , $G ≃ (ℤ / n ℤ, +)$ , par $\overset{ˉ}{k} \mapsto a^{k}$ , et $G = {e, a, \dots, a^{n - 1}}$ (éléments deux à deux distincts). Idée : le morphisme $φ_{a} : k \mapsto a^{k}$ est surjectif, de noyau $m ℤ$ . Si $m = 0$ , il est injectif. Si $m \geq 1$ , $a^{k} = a^{ℓ} ⟺ m ∣ k - ℓ$ , ce qui rend $\overset{ˉ}{k} \mapsto a^{k}$ bien défini et injectif sur $ℤ / m ℤ$ ; donc $m = n$ .

Conséquences :

Deux groupes cycliques de même cardinal sont isomorphes. $𝕌_{n}$ , $ℤ / n ℤ$ , le groupe engendré par un $n$ -cycle de $S_{n}$ sont « le même » groupe.
Un groupe fini $G$ de cardinal $n$ est cyclique si et seulement s'il contient un élément d'ordre $n$ .
Générateurs d'un groupe cyclique $G = ⟨ a ⟩$ de cardinal $n$ : ce sont les $a^{k}$ avec $k \land n = 1$ . Il y en a $φ (n)$ (indicatrice d'Euler, §11).
Sous-groupes d'un groupe cyclique. Tout sous-groupe d'un groupe monogène est monogène. Si $G = ⟨ a ⟩$ est cyclique de cardinal $n$ , pour chaque diviseur $d$ de $n$ il existe un et un seul sous-groupe de cardinal $d$ , à savoir $⟨ a^{n / d} ⟩$ , et il n'y en a pas d'autre. Dans $ℤ / n ℤ$ : le sous-groupe de cardinal $d$ est $⟨ \overline{n / d} ⟩$ . Exemple : $ℤ / 12 ℤ$ a exactement $6$ sous-groupes (un par diviseur de $12$ ).
Formule de Gauss : $\sum_{d ∣ n} φ (d) = n$ (on range les $n$ éléments de $ℤ / n ℤ$ selon leur ordre : il y en a $φ (d)$ d'ordre $d$ , les générateurs de l'unique sous-groupe de cardinal $d$ ).
Contre-exemples. $(ℤ / 2 ℤ)^{2}$ (le groupe de Klein) n'est pas cyclique : ses trois éléments non nuls sont d'ordre $2$ . $(ℚ, +)$ n'est pas monogène. Le produit $ℤ / m ℤ \times ℤ / n ℤ$ est cyclique si et seulement si $m \land n = 1$ (voir l'ordre d'un couple au §5 et le théorème chinois au §12).

Ordre d'un élément

On dit que $x \in G$ est d'ordre fini lorsqu'une puissance $x^{k}$ , $k \geq 1$ , vaut $e$ ; l'ordre de $x$ , noté $o (x)$ (ou $ord (x)$ ), est alors le plus petit tel $k$ . Sinon, $x$ est d'ordre infini et les $x^{k}$ sont deux à deux distincts.

Propriétés (à savoir redémontrer). On suppose $o (x) = d$ .

$x^{k} = e ⟺ d ∣ k$ (division euclidienne de $k$ par $d$ ).
$o (x) = Card ⟨ x ⟩$ et $⟨ x ⟩ = {e, x, \dots, x^{d - 1}}$ (classification du §4).
$o (x^{k}) = \frac{d}{d \land k}$ pour tout $k \in ℤ$ . En particulier $o (x^{- 1}) = o (x)$ et $x^{k}$ engendre $⟨ x ⟩$ si et seulement si $k \land d = 1$ .
Dans $ℤ / n ℤ$ : $o (\overset{ˉ}{k}) = \frac{n}{n \land k}$ . Exemple : $o (\overset{ˉ}{8}) = \frac{12}{4} = 3$ dans $ℤ / 12 ℤ$ .
Dans un produit $G \times H$ : $o ((x, y)) = o (x) \lor o (y)$ (ppcm).
Si $x y = y x$ et $o (x) \land o (y) = 1$ , alors $o (x y) = o (x) o (y)$ . Les deux hypothèses comptent : sans commutation, deux transpositions de $S_{3}$ (ordre $2$ ) ont un produit d'ordre $3$ ; sans coprimalité, $o (x \cdot x^{- 1}) = 1$ .

Pour calculer un ordre : chercher les $k$ avec $x^{k} = e$ , puis garder le plus petit ; ou mieux, utiliser que $o (x)$ divise $Card G$ (§6) et tester seulement les diviseurs. Exemple : dans $U (ℤ / 11 ℤ)$ (cardinal $10$ ), ${\overset{ˉ}{2}}^{2} = \overset{ˉ}{4}$ , ${\overset{ˉ}{2}}^{5} = \overline{32} = \overline{- 1} \neq \overset{ˉ}{1}$ , donc $o (\overset{ˉ}{2}) = 10$ : $\overset{ˉ}{2}$ engendre ce groupe, qui est cyclique.

Théorème de Lagrange

Classes à gauche. On fixe un sous-groupe $H$ de $G$ . Pour $x \in G$ , on pose $x H = {x h, h \in H}$ . La relation $x \sim y ⟺ x^{- 1} y \in H$ est une relation d'équivalence dont les classes sont les $x H$ ; deux classes sont égales ou disjointes, et $h \mapsto x h$ est une bijection de $H$ sur $x H$ .

Théorème de Lagrange. Hypothèses : $G$ est un groupe fini, $H$ un sous-groupe de $G$ . Conclusion : $Card H$ divise $Card G$ . Plus précisément, $Card G = r \cdot Card H$ , où $r$ est le nombre de classes à gauche (l'indice de $H$ dans $G$ ).

Preuve : les classes à gauche forment une partition de $G$ en $r$ parties qui ont toutes $Card H$ éléments. En 1re année, on n'avait que le cas commutatif ; ici, aucune commutativité n'est supposée.

Corollaires. Soit $G$ fini de cardinal $n$ .

Pour tout $x \in G$ : $o (x) ∣ n$ et $x^{n} = e$ (appliquer Lagrange à $H = ⟨ x ⟩$ ).
Tout groupe de cardinal premier $p$ est cyclique, engendré par n'importe quel élément $x \neq e$ (car $o (x) \in {1, p}$ ), donc isomorphe à $ℤ / p ℤ$ .
Appliqué à $U (ℤ / n ℤ)$ , on retrouve le théorème d'Euler (§11).
La réciproque est fausse : un diviseur $d$ de $Card G$ n'est pas toujours le cardinal d'un sous-groupe. Le groupe alterné $A_{4}$ (cardinal $12$ ) n'a aucun sous-groupe de cardinal $6$ . Pour un groupe cyclique, en revanche, la réciproque est vraie (§4).
Usage type : « un sous-groupe de $G$ de cardinal $32$ ne peut contenir un élément d'ordre $3$ » ; « si $H$ et $K$ sont deux sous-groupes de cardinaux premiers entre eux, $H \cap K = {e}$ » (son cardinal divise les deux).

Anneaux : compléments

Définition, calculs, inversibles, intégrité, sous-anneaux : 1re année.

Morphisme d'anneaux. $f : A \to B$ est un morphisme d'anneaux si, pour tous $x, y \in A$ , $f (x + y) = f (x) + f (y)$ , $f (x y) = f (x) f (y)$ et $f (1_{A}) = 1_{B}$ . Le troisième point ne découle pas des deux autres ( $x \mapsto 0$ vérifie les deux premiers).

$f (U (A)) \subset U (B)$ et $f (x^{- 1}) = f (x)^{- 1}$ ; l'image $f (A)$ est elle-même un sous-anneau de l'anneau d'arrivée ; l'injectivité de $f$ équivaut à $Ker f = {0_{A}}$ .
Le noyau $Ker f = f^{- 1} ({0_{B}})$ est un idéal de $A$ (§8), pas un sous-anneau en général : il ne contient $1_{A}$ que si $B = {0}$ .
Exemples : $π : ℤ \to ℤ / n ℤ$ ; la conjugaison $z \mapsto \overset{ˉ}{z}$ de $ℂ$ ; l'évaluation $P \mapsto P (a)$ de $𝕂 [X]$ dans $𝕂$ .

Produit d'anneaux. $A \times B$ , muni des lois composante par composante, est un anneau de neutre $(1_{A}, 1_{B})$ , et $U (A \times B) = U (A) \times U (B)$ . Il n'est jamais intègre si $A$ et $B$ sont non nuls : $(1, 0) (0, 1) = (0, 0)$ .

Caractéristique (notion souvent définie dans l'énoncé en devoir). Le morphisme $k \mapsto k \cdot 1_{A}$ de $ℤ$ dans $A$ a un noyau de la forme $c ℤ$ avec $c \in ℕ$ : $c$ est la caractéristique de $A$ . Elle vaut $0$ pour $ℤ, ℚ, ℝ, 𝕂 [X]$ et $n$ pour $ℤ / n ℤ$ . Si $c \geq 1$ , c'est l'ordre de $1_{A}$ dans $(A, +)$ et $c \cdot x = 0$ pour tout $x$ ; si $A$ est intègre, $c = 0$ ou $c$ est premier (si $c = a b$ , alors $(a \cdot 1_{A}) (b \cdot 1_{A}) = 0$ ).

Idéaux d'un anneau commutatif

Dans toute la suite, $A$ est un anneau commutatif.

Définition. $I \subset A$ est un idéal de $A$ si $(I, +)$ est un sous-groupe de $(A, +)$ et si $I$ est absorbant : $\forall a \in A, \forall x \in I, a x \in I$ . Caractérisation pratique : $0_{A} \in I$ et $\forall (x, y) \in I^{2}, \forall (a, b) \in A^{2}, a x + b y \in I$ .

Propriétés.

${0_{A}}$ et $A$ sont des idéaux. Un idéal qui contient $1_{A}$ , ou un inversible, est égal à $A$ .
Pour $x \in A$ , $x A = {x a, a \in A}$ est le plus petit idéal contenant $x$ : l'idéal principal engendré par $x$ (noté aussi $(x)$ ).
Intersection d'idéaux, somme $I + J = {x + y, x \in I, y \in J}$ : ce sont des idéaux. $I + J$ est le plus petit idéal contenant $I \cup J$ ; la réunion, elle, n'est pas un idéal en général ( $2 ℤ \cup 3 ℤ$ ).
Noyau d'un morphisme d'anneaux : idéal. Image réciproque d'un idéal : idéal. L'image directe d'un idéal n'est pas un idéal en général ( $ℤ$ dans $ℚ$ par l'injection canonique).
Un anneau commutatif non nul n'a que deux idéaux, ${0}$ et lui-même, exactement quand c'est un corps. Conséquence : un morphisme d'anneaux d'un corps vers un anneau non nul est injectif (son noyau est un idéal qui ne contient pas $1$ ).

Divisibilité et idéaux ( $A$ intègre). $a ∣ b ⟺ b \in a A ⟺ b A \subset a A$ . On a $a A = b A$ si et seulement si $a$ et $b$ sont associés ( $b = u a$ avec $u \in U (A)$ ). L'inclusion des idéaux renverse la divisibilité : « plus grand idéal = plus petit élément ».

Anneau principal. Un anneau intègre dont tous les idéaux sont principaux. Les deux exemples du programme : $ℤ$ et $𝕂 [X]$ (§9).

Vu en devoir, défini dans l'énoncé. Idéal premier ( $I \neq A$ et $a b \in I \Rightarrow a \in I$ ou $b \in I$ ) ; idéal maximal ( $I \neq A$ et aucun idéal strictement entre $I$ et $A$ ). Dans $ℤ$ : pour $n \geq 2$ , l'idéal $n ℤ$ est premier exactement lorsque l'entier $n$ l'est ; $A$ est intègre exactement lorsque ${0}$ est un idéal premier. Ces notions ne sont pas exigées sans définition.

Idéaux de $ℤ$ et de $𝕂 [X]$

Théorème ( $ℤ$ ). Les idéaux de $ℤ$ sont exactement les $n ℤ$ , $n \in ℕ$ , et $n$ est unique. (Ce sont les sous-groupes de $(ℤ, +)$ , qui sont tous absorbants.) Donc $ℤ$ est principal, et $a ℤ + b ℤ = (a \land b) ℤ, a ℤ \cap b ℤ = (a \lor b) ℤ .$

Théorème ( $𝕂 [X]$ ). Hypothèse : $I$ est un idéal de $𝕂 [X]$ , $I \neq {0}$ . Conclusion : il existe un unique polynôme unitaire $P$ tel que $I = P 𝕂 [X]$ ; c'est l'unique élément unitaire de $I$ de degré minimal. Donc $𝕂 [X]$ est principal. Preuve : soit $P$ unitaire de degré minimal dans $I$ (on divise un élément de degré minimal par son coefficient dominant, ce qui reste dans $I$ ). On a $P 𝕂 [X] \subset I$ . Si $A \in I$ , la division $A = P Q + R$ avec $\deg R < \deg P$ donne $R = A - P Q \in I$ , donc $R = 0$ par minimalité. Unicité : deux générateurs unitaires se divisent mutuellement, donc sont égaux.

Exemples.

${P \in 𝕂 [X], P (a) = 0} = (X - a) 𝕂 [X]$ ; ${P, P (a) = P^{'} (a) = 0} = (X - a)^{2} 𝕂 [X]$ .
${P \in ℝ [X], P (i) = 0} = (X^{2} + 1) ℝ [X]$ (un polynôme réel qui s'annule en $i$ s'annule en $- i$ ).
Idéal annulateur : pour $u \in ℒ (E)$ , $E$ de dimension finie, $I_{u} = {P, P (u) = 0}$ est un idéal non nul ; son générateur unitaire est le polynôme minimal $π_{u}$ (voir Réduction § Polynôme minimal et § Annulateurs).
Contre-exemple : ${P \in 𝕂 [X], P (0) = P (1)}$ est un sous-anneau (et une sous-algèbre) mais pas un idéal : il contient $1$ .

Anneaux intègres et corps

Un corps est intègre ; $ℤ$ et $𝕂 [X]$ sont intègres sans être des corps.
Un anneau intègre fini est un corps. Preuve : pour $a \neq 0$ , l'application $x \mapsto a x$ est injective (intégrité), donc bijective (ensemble fini) : il existe $x$ avec $a x = 1$ . Même argument pour une algèbre commutative intègre de dimension finie (§14), avec « linéaire injective en dimension finie » à la place de « fini ».
Racines d'un polynôme sur un corps. Si $𝕃$ est un corps commutatif quelconque (par exemple $ℤ / p ℤ$ ), un polynôme non nul de $𝕃 [X]$ de degré $d$ a au plus $d$ racines dans $𝕃$ . L'intégrité est indispensable : dans $ℤ / 8 ℤ$ , $X^{2} - \overset{ˉ}{1}$ a quatre racines $\overset{ˉ}{1}, \overset{ˉ}{3}, \overset{ˉ}{5}, \overset{ˉ}{7}$ .
Division euclidienne, idéaux principaux, PGCD, Bézout, Gauss et irréductibles (§9 et §13) restent valables dans $𝕃 [X]$ pour tout corps $𝕃$ , avec les mêmes preuves.

L'anneau $ℤ / n ℤ$

Multiplication. $\overset{ˉ}{a} \overset{ˉ}{b} = \overline{a b}$ est bien défini (compatibilité de la congruence avec le produit). $(ℤ / n ℤ, +, \times)$ est un anneau commutatif, et $π : ℤ \to ℤ / n ℤ$ est un morphisme d'anneaux surjectif de noyau $n ℤ$ .

Inversibles. $\overset{ˉ}{k} \in U (ℤ / n ℤ) ⟺ k \land n = 1 ⟺ \overset{ˉ}{k} engendre (ℤ / n ℤ, +) .$ Méthode pour l'inverse : écrire une relation de Bézout $u k + v n = 1$ (algorithme d'Euclide remonté) ; alors ${\overset{ˉ}{k}}^{- 1} = \overset{ˉ}{u}$ . Exemple dans $ℤ / 45 ℤ$ : $45 = 3 \times 13 + 6$ , $13 = 2 \times 6 + 1$ , d'où $1 = 13 - 2 \times 6 = 7 \times 13 - 2 \times 45$ , et ${\overline{13}}^{- 1} = \overset{ˉ}{7}$ (contrôle : $7 \times 13 = 91 = 2 \times 45 + 1$ ).

Corps $ℤ / p ℤ$ . Théorème : pour $n \geq 2$ , les trois propriétés « $ℤ / n ℤ$ est un corps », « $ℤ / n ℤ$ est intègre », « $n$ est premier » sont équivalentes. (Si $n = a b$ avec $1 < a, b < n$ , alors $\overset{ˉ}{a} \overset{ˉ}{b} = \overset{ˉ}{0}$ avec $\overset{ˉ}{a}, \overset{ˉ}{b} \neq \overset{ˉ}{0}$ .) Pour $p$ premier, on note aussi ce corps $𝔽_{p}$ .

Indicatrice d'Euler. $φ (n) = Card {k \in [⁣ [1, n] ⁣], k \land n = 1} = Card U (ℤ / n ℤ)$ (nombre de générateurs de $ℤ / n ℤ$ ).

$φ (1) = 1$ ; $φ (p) = p - 1$ ; $φ (p^{α}) = p^{α} - p^{α - 1}$ (on retire les multiples de $p$ ) ;
$φ (m n) = φ (m) φ (n)$ si $m \land n = 1$ (théorème chinois, §12) ;
d'où, si $n = p_{1}^{α_{1}} \dots p_{r}^{α_{r}}$ : $φ (n) = n \prod_{i = 1}^{r} (1 - \frac{1}{p_{i}})$ . Exemples : $φ (36) = 12$ , $φ (100) = 40$ , $φ (2026) = φ (2 \times 1013) = 1012$ ( $1013$ est premier).

Théorème d'Euler. Hypothèses : $n \geq 1$ , $a \in ℤ$ , $a \land n = 1$ . Conclusion : $a^{φ (n)} \equiv 1 [n]$ . Preuve : Lagrange dans le groupe $U (ℤ / n ℤ)$ , de cardinal $φ (n)$ . Pour $n = p$ premier, on retrouve le petit théorème de Fermat. L'ordre de $\overset{ˉ}{a}$ divise $φ (n)$ ; il peut être strictement plus petit ( $\overset{ˉ}{7}$ est d'ordre $4$ dans $U (ℤ / 100 ℤ)$ alors que $φ (100) = 40$ ).

Résultat classique (Wilson). Un entier $p \geq 2$ est premier exactement lorsque $(p - 1)! \equiv - 1 [p]$ . À savoir redémontrer (exercice 9).

Équations dans $ℤ / n ℤ$ . $\overset{ˉ}{a} x = \overset{ˉ}{b}$ : si $a \land n = 1$ , unique solution $x = {\overset{ˉ}{a}}^{- 1} \overset{ˉ}{b}$ ; si $d = a \land n > 1$ , il y a des solutions si et seulement si $d ∣ b$ , et alors exactement $d$ solutions (on divise par $d$ et on résout modulo $n / d$ ). Une équation du second degré se traite par mise sous forme canonique seulement dans un corps ( $n$ premier) et avec $\overset{ˉ}{2}$ inversible.

Théorème chinois

Théorème chinois. Hypothèses : $m, n \in ℕ^{*}$ , $m \land n = 1$ . Conclusion : l'application $ψ : ℤ / m n ℤ \to ℤ / m ℤ \times ℤ / n ℤ$ , $\overset{ˉ}{k} \mapsto (\hat{k}, \tilde{k})$ (classes de $k$ modulo $m n$ , $m$ , $n$ ) est un isomorphisme d'anneaux. Preuve : $ψ$ est bien défini (si $m n ∣ k - k^{'}$ , alors $m$ et $n$ divisent $k - k^{'}$ ) et c'est un morphisme d'anneaux ; son noyau est réduit à $\overset{ˉ}{0}$ car $m ∣ k$ et $n ∣ k$ donnent $m n ∣ k$ ( $m \land n = 1$ , Gauss) ; injectif entre ensembles de même cardinal $m n$ , il est bijectif.

Conséquences.

Systèmes de congruences : si $m \land n = 1$ , le système $x \equiv a [m]$ , $x \equiv b [n]$ a des solutions, qui forment une seule classe modulo $m n$ . Construction : avec $u m + v n = 1$ , la solution est $x_{0} = a v n + b u m$ (car $v n \equiv 1 [m]$ et $u m \equiv 1 [n]$ ). Exemple : $x \equiv 3 [4]$ et $x \equiv 4 [9]$ ; on a $(- 2) \times 4 + 1 \times 9 = 1$ , d'où $x_{0} = 3 \times 9 + 4 \times (- 8) = - 5$ et $x \equiv 31 [36]$ .
Inversibles : $U (ℤ / m n ℤ) ≃ U (ℤ / m ℤ) \times U (ℤ / n ℤ)$ (groupes), d'où $φ (m n) = φ (m) φ (n)$ .
Groupes : $ℤ / m ℤ \times ℤ / n ℤ$ est cyclique si et seulement si $m \land n = 1$ . Sans coprimalité, l'isomorphisme tombe : $ℤ / 4 ℤ ≄ (ℤ / 2 ℤ)^{2}$ (l'un a un élément d'ordre $4$ , l'autre non).
Plusieurs modules deux à deux premiers entre eux : récurrence ; $ℤ / n ℤ ≃ \prod_{i} ℤ / p_{i}^{α_{i}} ℤ$ .
Méthode : pour compter les solutions d'une équation polynomiale dans $ℤ / n ℤ$ ( $x^{2} = x$ , $x^{2} = \overset{ˉ}{1}$ …), on la résout modulo chaque $p_{i}^{α_{i}}$ et on multiplie les nombres de solutions.

Arithmétique dans $𝕂 [X]$ par les idéaux

En 1re année, PGCD et Bézout venaient de l'algorithme d'Euclide (Polynômes § Arithmétique). En 2e année, on les définit par les idéaux, ce qui donne Bézout immédiatement. Soient $A, B \in 𝕂 [X]$ .

PGCD. $A 𝕂 [X] + B 𝕂 [X]$ est un idéal : il s'écrit $D 𝕂 [X]$ avec $D$ unitaire ou nul (§9). $D = A \land B$ est le PGCD. Comme $D$ appartient à l'idéal, il existe $U, V$ avec $A U + B V = D$ (Bézout), et les diviseurs communs de $A$ et $B$ sont exactement les diviseurs de $D$ .
PPCM. $A 𝕂 [X] \cap B 𝕂 [X] = M 𝕂 [X]$ avec $M$ unitaire ou nul : $M = A \lor B$ ; les multiples communs sont les multiples de $M$ .
Plusieurs polynômes : $A_{1} 𝕂 [X] + \dots + A_{r} 𝕂 [X] = (A_{1} \land \dots \land A_{r}) 𝕂 [X]$ ; premiers entre eux dans leur ensemble (PGCD $= 1$ ) n'implique pas deux à deux : $X (X - 1)$ , $X (X - 2)$ , $(X - 1) (X - 2)$ .
Théorème de Bézout : $A \land B = 1 ⟺ A 𝕂 [X] + B 𝕂 [X] = 𝕂 [X] ⟺ \exists (U, V), A U + B V = 1$ . Gauss et ses corollaires suivent comme dans $ℤ$ .
Irréductibles. $P$ (non constant) est irréductible si ses seuls diviseurs sont les constantes non nulles et ses associés. Pour $P$ irréductible et $Q$ quelconque : $P ∣ Q$ ou $P \land Q = 1$ ; et $P ∣ A B \Rightarrow P ∣ A$ ou $P ∣ B$ . Si $P ∤ A$ , il existe $U$ tel que $A U \equiv 1$ modulo $P$ (« $A$ est inversible modulo $P$ »).
Décomposition en produit d'irréductibles unitaires, unique à l'ordre près ; irréductibles de $ℂ [X]$ (degré $1$ ) et de $ℝ [X]$ (degré $1$ , degré $2$ sans racine réelle) : voir Polynômes § Factorisation. Le PGCD (resp. PPCM) se lit sur les décompositions avec les plus petits (resp. plus grands) exposants.
Le PGCD ne dépend pas du corps : pour $A, B \in ℝ [X]$ , le PGCD calculé dans $ℂ [X]$ est réel. En revanche l'irréductibilité dépend du corps : $X^{2} + 1$ est irréductible dans $ℝ [X]$ , pas dans $ℂ [X]$ ; $X^{2} - 2$ est irréductible dans $ℚ [X]$ , pas dans $ℝ [X]$ .
Lemme chinois polynomial (utile en réduction) : si $P \land Q = 1$ , $P ∣ A$ et $Q ∣ A$ , alors $P Q ∣ A$ ; et pour tous $R_{1}, R_{2}$ , il existe $A$ avec $A \equiv R_{1}$ modulo $P$ et $A \equiv R_{2}$ modulo $Q$ (prendre $A = R_{1} Q V + R_{2} P U$ si $P U + Q V = 1$ ).

Algèbres

Définition. Une $𝕂$ -algèbre est un ensemble $𝒜$ muni de deux lois internes $+$ , $\times$ et d'une loi externe $\cdot$ telles que : $(𝒜, +, \cdot)$ soit un espace vectoriel sur $𝕂$ , $(𝒜, +, \times)$ un anneau (unitaire), et $λ \cdot (x y) = (λ \cdot x) y = x (λ \cdot y)$ pour tous $λ \in 𝕂$ , $x, y \in 𝒜$ . Elle est commutative si $\times$ l'est ; sa dimension est celle de l'espace vectoriel.

Exemples. $𝕂 [X]$ (commutative, dimension infinie) ; $ℳ_{n} (𝕂)$ (dimension $n^{2}$ , non commutative pour $n \geq 2$ ) ; $ℒ (E)$ muni de $\circ$ ; $𝕂^{X}$ (fonctions de $X$ dans $𝕂$ ) ; $𝒞 (I, ℝ)$ ; $ℂ$ vu comme $ℝ$ -algèbre de dimension $2$ .

Sous-algèbre. $ℬ \subset 𝒜$ est une sous-algèbre si $1_{𝒜} \in ℬ$ et si $ℬ$ est stable par combinaison linéaire et par produit (c'est un sous-espace vectoriel et un sous-anneau). Exemples dans $ℳ_{n} (𝕂)$ : matrices diagonales, triangulaires supérieures, $𝕂 [A] = {P (A), P \in 𝕂 [X]}$ , commutant $𝒞 (A) = {M, A M = M A}$ (et $𝕂 [A] \subset 𝒞 (A)$ ). Contre-exemples : les matrices symétriques (non stables par produit), les matrices de trace nulle (ne contiennent pas $I_{n}$ ).

Morphisme d'algèbres. Application à la fois linéaire et morphisme d'anneaux ( $f (1) = 1$ compris). Exemples :

$φ_{A} : 𝕂 [X] \to ℳ_{n} (𝕂)$ , $P \mapsto P (A)$ : image $𝕂 [A]$ , noyau $I_{A} = π_{A} 𝕂 [X]$ (idéal annulateur) ; $\dim 𝕂 [A] = \deg π_{A}$ (Réduction § Polynôme minimal) ;
$M \mapsto P M P^{- 1}$ ( $P$ inversible fixée) : automorphisme de $ℳ_{n} (𝕂)$ ;
$u \mapsto {Mat}_{ℬ} (u)$ : isomorphisme de $ℒ (E)$ sur $ℳ_{n} (𝕂)$ ;
la transposition n'en est pas un pour $n \geq 2$ : $^{t} (A B) =^{t} B^{t} A$ .

Inverse dans une algèbre de dimension finie. Hypothèses : $𝒜$ est une algèbre de dimension finie, $a \in 𝒜$ est inversible. Conclusion : $a^{- 1} \in 𝕂 [a]$ . Preuve : $x \mapsto a x$ est linéaire de $𝕂 [a]$ dans $𝕂 [a]$ , injective ( $a x = 0 \Rightarrow x = 0$ ), donc surjective (dimension finie) ; on trouve $x \in 𝕂 [a]$ avec $a x = 1$ , et $x = a^{- 1}$ . En pratique : si $P (a) = 0$ avec $P (0) \neq 0$ , alors $a^{- 1} = - \frac{1}{P (0)} Q (a)$ où $P = X Q + P (0)$ . De plus $a$ est inversible si et seulement si $π_{a} (0) \neq 0$ .

Algèbre $𝕂 [a]$ et polynôme minimal. Si $𝒜$ est de dimension finie et $a \in 𝒜$ , $I_{a} = {P, P (a) = 0}$ est un idéal non nul (la famille $(a^{k})_{0 \leq k \leq \dim 𝒜}$ est liée) ; son générateur unitaire $π_{a}$ vérifie $\dim 𝕂 [a] = \deg π_{a}$ , et $𝕂 [a]$ est un corps exactement lorsque $π_{a}$ est irréductible (exercice 10). Exemple : $J = (\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array})$ a pour polynôme minimal $X^{2} + 1$ , et $ℝ [J] = {a I_{2} + b J}$ est un corps isomorphe à $ℂ$ .

Méthodes types

Montrer qu'un groupe est cyclique (ou ne l'est pas)

Exhiber un élément dont l'ordre vaut le cardinal ; ou un isomorphisme vers $ℤ / n ℤ$ ou $𝕌_{n}$ ; ou invoquer « cardinal premier ».
Pour nier : montrer que tous les éléments ont un ordre $< n$ (par exemple $x^{d} = e$ pour tout $x$ avec $d < n$ ), ou que $G$ n'est pas commutatif, ou qu'il a deux sous-groupes distincts de même cardinal.

Calculer dans $ℤ / n ℤ$

Inverse : Euclide étendu, $u k + v n = 1 \Rightarrow {\overset{ˉ}{k}}^{- 1} = \overset{ˉ}{u}$ ; contrôler en multipliant.
Puissance ${\overset{ˉ}{a}}^{N}$ : réduire $N$ modulo l'ordre de $\overset{ˉ}{a}$ , ou modulo $φ (n)$ si $a \land n = 1$ ; pour un module composé, travailler modulo chaque facteur puis recoller (chinois).
Ordre de $\overset{ˉ}{a}$ dans $U (ℤ / n ℤ)$ : tester les seuls diviseurs de $φ (n)$ .
Système de congruences : relation de Bézout entre les modules, formule $x_{0} = a v n + b u m$ , puis vérification.

Déterminer un idéal de $𝕂 [X]$

Vérifier que c'est un idéal (contient $0$ , stable par combinaison $A P + B Q$ avec $A, B$ quelconques).
Trouver un élément unitaire de degré minimal $P_{0}$ ; montrer que $I = P_{0} 𝕂 [X]$ par la division euclidienne.
Pour $A 𝕂 [X] + B 𝕂 [X]$ et $A 𝕂 [X] \cap B 𝕂 [X]$ : PGCD et PPCM, lus sur les factorisations.

Montrer qu'une partie d'algèbre est une sous-algèbre

Contient $1$ ; stable par $λ x + μ y$ ; stable par produit. Pour le commutant : $A (M N) = (A M) N = (M A) N = M (A N) = M (N A)$ .

Définir une application sur $ℤ / n ℤ$

Toujours vérifier qu'elle est bien définie : si $\overset{ˉ}{k} = {\overset{ˉ}{k}}^{'}$ , les images doivent coïncider. Exemple : $\overset{ˉ}{k} \mapsto \hat{k}$ (classe modulo $m$ ) a un sens si et seulement si $m ∣ n$ .

Erreurs fréquentes

Définir une application sur $ℤ / n ℤ$ par un représentant sans vérifier qu'elle est bien définie ; écrire « $\overset{ˉ}{k} \mapsto \overset{ˉ}{k}$ de $ℤ / 6 ℤ$ dans $ℤ / 4 ℤ$ » (cela n'a pas de sens : $\overset{ˉ}{0} = \overset{ˉ}{6}$ dans $ℤ / 6 ℤ$ , mais pas dans $ℤ / 4 ℤ$ ).
Confondre l'ordre d'un élément et le cardinal du groupe ; écrire « $x^{k} = e$ donc $o (x) = k$ » au lieu de « $o (x) ∣ k$ ».
Utiliser la réciproque de Lagrange (« $6 ∣ 12$ donc il existe un sous-groupe de cardinal $6$ ») hors du cas cyclique.
Écrire $o (x y) = o (x) o (y)$ sans commutation ou sans $o (x) \land o (y) = 1$ .
Croire que $ℤ / n ℤ$ est intègre pour tout $n$ ; « simplifier » $\overset{ˉ}{2} x = \overset{ˉ}{2} y$ dans $ℤ / 8 ℤ$ ; résoudre $x^{2} = \overset{ˉ}{1}$ en disant « $x = \pm \overset{ˉ}{1}$ » dans un anneau qui n'est pas un corps.
Oublier $f (1_{A}) = 1_{B}$ dans un morphisme d'anneaux ou d'algèbres ; dire que le noyau d'un morphisme d'anneaux est un sous-anneau.
Confondre idéal et sous-anneau : un idéal propre ne contient jamais $1$ ; un sous-anneau le contient toujours.
Oublier « commutatif » dans la définition des idéaux du programme, ou « unitaire » pour le générateur d'un idéal de $𝕂 [X]$ (sans lui, il n'y a pas unicité).
Appliquer le théorème chinois avec des modules non premiers entre eux ( $ℤ / 12 ℤ ≄ ℤ / 2 ℤ \times ℤ / 6 ℤ$ ).
Écrire $\land$ entre endomorphismes ou matrices : le PGCD est défini entre polynômes (relevé par le jury en 2025).
Rédaction : « d'après le cours » sans nommer Lagrange, Bézout ou le théorème chinois ; abréviations (« s.g », « ssi ») dans une copie.

Vocabulaire et notations des devoirs tunisiens

Ordre d'un groupe = cardinal ; ordre d'un élément noté $o (x)$ , $ord (x)$ ou $\circ (x)$ selon les énoncés.
Classes : $\overset{ˉ}{k}$ ou $\dot{k}$ ; quand deux modules interviennent, $\hat{k}$ et $\tilde{k}$ (ou « $\overset{ˉ}{a}$ (resp. $\dot{a}$ ) la classe de $a$ modulo $2^{α}$ (resp. $8$ ) »). Groupe des inversibles : $U (ℤ / n ℤ)$ , $(ℤ / n ℤ)^{*}$ ou $(ℤ / n ℤ)^{\times}$ . Indicatrice d'Euler : $φ (n)$ , dite aussi « fonction » ou « indicateur » d'Euler.
PGCD $a \land b$ ou $pgcd (a, b)$ , PPCM $a \lor b$ ou $ppcm (a, b)$ ; idéal principal $a A$ , $(a)$ ou $I (a)$ .
Sous-groupe engendré $⟨ a ⟩$ (souvent tapé $< a >$ ) ; groupe de Klein $(ℤ / 2 ℤ)^{2} = ℤ / 2 ℤ \times ℤ / 2 ℤ$ ; groupes de matrices $G L_{n} (𝕂)$ , $S L_{n} (𝕂)$ ; algèbre $𝕂 [A]$ ou $𝕂 [f]$ , commutant $𝒞 (A)$ ou $C (f)$ .
Énoncés : « Montrer que… est un groupe monogène non cyclique », « Déduire que $G$ admet exactement $φ (n)$ générateurs », « Répondre par vrai ou faux en justifiant », « Déterminer l'ordre de chaque élément du groupe… ». Les notions hors du cours (sous-groupe distingué, idéal premier ou maximal, caractéristique, exposant d'un groupe) sont définies dans l'énoncé : la définition fixe les notations.
Devoir de contrôle n°1 : 1 h à 2 h, aucun document, calculatrice interdite : les calculs dans $ℤ / n ℤ$ se font à la main, avec de petits modules.

M'entraîner sur ce chapitre

Révisions prépa

Algèbre · 2e année

Structures algébriques (2e année)

Prérequis (rédigés en 1re année, à relire et non répétés ici). Groupes, sous-groupes et leur caractérisation, sous-groupes de $ℤ$ et de $𝕌_{n}$ (fiche « Structures algébriques », § Groupes, § Sous-groupes) ; groupe symétrique, signature (§ Permutations) ; morphismes de groupes, noyau, image, critère d'injectivité, transport de structure (§ Morphismes) ; première approche de l'ordre et de Lagrange dans le cas commutatif (§ Ordre) ; anneaux, inversibles, intégrité, sous-anneaux, corps (§ Anneaux, § Corps) ; aperçu des idéaux (§ Idéaux). Côté entiers : congruences, Bézout, Gauss, nombres premiers, décomposition, petit théorème de Fermat (fiche « Arithmétique dans Z », § Congruences, § Bézout, § Gauss, § Premiers, § Décomposition, § Fermat). Côté polynômes : division euclidienne, PGCD, Bézout et Gauss dans $𝕂 [X]$ , irréductibles de $ℂ [X]$ et $ℝ [X]$ , factorisation (fiche « Polynômes », § Division, § Arithmétique, § Irréductibles, § Factorisation).

Sous-groupe engendré par une partie

Un seul élément : $⟨ a ⟩ = {a^{k}, k \in ℤ}$ (en additif : $ℤ a = {k a, k \in ℤ}$ ).
Groupe commutatif et $S = {a, b}$ : $⟨ a, b ⟩ = {a^{k} b^{ℓ}, (k, ℓ) \in ℤ^{2}}$ ; en additif, $⟨ a, b ⟩ = ℤ a + ℤ b$ . Dans $(ℤ, +)$ : $⟨ a, b ⟩ = a ℤ + b ℤ = (a \land b) ℤ$ .
Exemples à connaître : $S_{n}$ est engendré par les transpositions (1re année) ; $(ℤ^{2}, +)$ est engendré par $(1, 0)$ et $(0, 1)$ mais par aucun élément seul.
Pour prouver $⟨ S ⟩ \subset H$ ( $H$ sous-groupe), il suffit de vérifier $S \subset H$ . C'est l'usage principal de la définition « plus petit sous-groupe ».

Morphismes de groupes : compléments

Définition, image, noyau et critère d'injectivité sont acquis (1re année). Ce qui s'ajoute en 2e année :

Vocabulaire : endomorphisme (de $G$ dans $G$ ), isomorphisme (bijectif ; la réciproque est un morphisme), automorphisme (endomorphisme bijectif). Les automorphismes de $G$ forment un groupe pour $\circ$ . Deux groupes sont isomorphes ( $G ≃ G^{'}$ ) s'il existe un isomorphisme de l'un sur l'autre : ils ont alors les mêmes propriétés de groupe (cardinal, commutativité, ordres des éléments, nombre de sous-groupes…).
Un morphisme est déterminé par les images d'une partie génératrice : si $⟨ S ⟩ = G$ et si $f, g : G \to G^{'}$ sont deux morphismes égaux sur $S$ , alors $f = g$ (l'ensemble ${x, f (x) = g (x)}$ est un sous-groupe qui contient $S$ ).
Morphismes partant de $ℤ$ . Pour tout $a \in G$ , $φ_{a} : k \mapsto a^{k}$ est un morphisme de $(ℤ, +)$ dans $G$ , d'image $⟨ a ⟩$ , et c'est le seul morphisme qui envoie $1$ sur $a$ . Son noyau est un sous-groupe de $ℤ$ , donc de la forme $n ℤ$ : c'est le point de départ des §4 et §5.
Image d'un élément d'ordre fini : si $x^{d} = e$ , alors $f (x)^{d} = f (x^{d}) = e^{'}$ ; donc l'ordre de $f (x)$ divise celui de $x$ , avec égalité si $f$ est injectif.
Groupes de matrices utiles : $\det : (G L_{n} (𝕂), \times) \to (𝕂^{*}, \times)$ est un morphisme surjectif de noyau $S L_{n} (𝕂) = {M, \det M = 1}$ ; $S L_{n} (𝕂)$ est donc un sous-groupe de $G L_{n} (𝕂)$ .

Le groupe $(ℤ / n ℤ, +)$

Cardinal. Par division euclidienne, chaque classe contient un et un seul entier de $[⁣ [0, n - 1] ⁣]$ : $ℤ / n ℤ = {\overset{ˉ}{0}, \overset{ˉ}{1}, \dots, \overline{n - 1}}$ a exactement $n$ éléments. $\overset{ˉ}{a} = \overset{ˉ}{b} ⟺ a \equiv b [n]$ .
Addition. On pose $\overset{ˉ}{a} + \overset{ˉ}{b} = \overline{a + b}$ . Cette définition a un sens (ne dépend pas des représentants choisis) grâce à la compatibilité de la congruence avec l'addition. C'est le point à justifier chaque fois qu'on définit une application sur $ℤ / n ℤ$ par un représentant.
Théorème. $(ℤ / n ℤ, +)$ est un groupe commutatif de cardinal $n$ , de neutre $\overset{ˉ}{0}$ , l'opposé de $\overset{ˉ}{a}$ étant $\overline{- a}$ . La surjection canonique $π : ℤ \to ℤ / n ℤ$ , $k \mapsto \overset{ˉ}{k}$ , est un morphisme surjectif de noyau $n ℤ$ .
Générateurs. $\overset{ˉ}{1}$ engendre $ℤ / n ℤ$ , et $⟨ \overset{ˉ}{k} ⟩ = ℤ / n ℤ ⟺ k \land n = 1.$ (Preuve : $\overset{ˉ}{1} \in ⟨ \overset{ˉ}{k} ⟩ ⟺ \exists u, u k \equiv 1 [n] ⟺ \exists u, v, u k + v n = 1$ , puis Bézout.) Exemple : les générateurs de $ℤ / 10 ℤ$ sont $\overset{ˉ}{1}, \overset{ˉ}{3}, \overset{ˉ}{7}, \overset{ˉ}{9}$ ; $⟨ \overset{ˉ}{4} ⟩ = {\overset{ˉ}{0}, \overset{ˉ}{2}, \overset{ˉ}{4}, \overset{ˉ}{6}, \overset{ˉ}{8}}$ .
Lien avec $𝕌_{n}$ : $\overset{ˉ}{k} \mapsto e^{2 i k π / n}$ est bien défini et c'est un isomorphisme de $(ℤ / n ℤ, +)$ sur $(𝕌_{n}, \times)$ .

Groupes monogènes, groupes cycliques

Conséquences :

Deux groupes cycliques de même cardinal sont isomorphes. $𝕌_{n}$ , $ℤ / n ℤ$ , le groupe engendré par un $n$ -cycle de $S_{n}$ sont « le même » groupe.
Un groupe fini $G$ de cardinal $n$ est cyclique si et seulement s'il contient un élément d'ordre $n$ .
Générateurs d'un groupe cyclique $G = ⟨ a ⟩$ de cardinal $n$ : ce sont les $a^{k}$ avec $k \land n = 1$ . Il y en a $φ (n)$ (indicatrice d'Euler, §11).
Sous-groupes d'un groupe cyclique. Tout sous-groupe d'un groupe monogène est monogène. Si $G = ⟨ a ⟩$ est cyclique de cardinal $n$ , pour chaque diviseur $d$ de $n$ il existe un et un seul sous-groupe de cardinal $d$ , à savoir $⟨ a^{n / d} ⟩$ , et il n'y en a pas d'autre. Dans $ℤ / n ℤ$ : le sous-groupe de cardinal $d$ est $⟨ \overline{n / d} ⟩$ . Exemple : $ℤ / 12 ℤ$ a exactement $6$ sous-groupes (un par diviseur de $12$ ).
Formule de Gauss : $\sum_{d ∣ n} φ (d) = n$ (on range les $n$ éléments de $ℤ / n ℤ$ selon leur ordre : il y en a $φ (d)$ d'ordre $d$ , les générateurs de l'unique sous-groupe de cardinal $d$ ).
Contre-exemples. $(ℤ / 2 ℤ)^{2}$ (le groupe de Klein) n'est pas cyclique : ses trois éléments non nuls sont d'ordre $2$ . $(ℚ, +)$ n'est pas monogène. Le produit $ℤ / m ℤ \times ℤ / n ℤ$ est cyclique si et seulement si $m \land n = 1$ (voir l'ordre d'un couple au §5 et le théorème chinois au §12).

Ordre d'un élément

Propriétés (à savoir redémontrer). On suppose $o (x) = d$ .

$x^{k} = e ⟺ d ∣ k$ (division euclidienne de $k$ par $d$ ).
$o (x) = Card ⟨ x ⟩$ et $⟨ x ⟩ = {e, x, \dots, x^{d - 1}}$ (classification du §4).
$o (x^{k}) = \frac{d}{d \land k}$ pour tout $k \in ℤ$ . En particulier $o (x^{- 1}) = o (x)$ et $x^{k}$ engendre $⟨ x ⟩$ si et seulement si $k \land d = 1$ .
Dans $ℤ / n ℤ$ : $o (\overset{ˉ}{k}) = \frac{n}{n \land k}$ . Exemple : $o (\overset{ˉ}{8}) = \frac{12}{4} = 3$ dans $ℤ / 12 ℤ$ .
Dans un produit $G \times H$ : $o ((x, y)) = o (x) \lor o (y)$ (ppcm).
Si $x y = y x$ et $o (x) \land o (y) = 1$ , alors $o (x y) = o (x) o (y)$ . Les deux hypothèses comptent : sans commutation, deux transpositions de $S_{3}$ (ordre $2$ ) ont un produit d'ordre $3$ ; sans coprimalité, $o (x \cdot x^{- 1}) = 1$ .

Théorème de Lagrange

Corollaires. Soit $G$ fini de cardinal $n$ .

Pour tout $x \in G$ : $o (x) ∣ n$ et $x^{n} = e$ (appliquer Lagrange à $H = ⟨ x ⟩$ ).
Tout groupe de cardinal premier $p$ est cyclique, engendré par n'importe quel élément $x \neq e$ (car $o (x) \in {1, p}$ ), donc isomorphe à $ℤ / p ℤ$ .
Appliqué à $U (ℤ / n ℤ)$ , on retrouve le théorème d'Euler (§11).
La réciproque est fausse : un diviseur $d$ de $Card G$ n'est pas toujours le cardinal d'un sous-groupe. Le groupe alterné $A_{4}$ (cardinal $12$ ) n'a aucun sous-groupe de cardinal $6$ . Pour un groupe cyclique, en revanche, la réciproque est vraie (§4).
Usage type : « un sous-groupe de $G$ de cardinal $32$ ne peut contenir un élément d'ordre $3$ » ; « si $H$ et $K$ sont deux sous-groupes de cardinaux premiers entre eux, $H \cap K = {e}$ » (son cardinal divise les deux).

Anneaux : compléments

Définition, calculs, inversibles, intégrité, sous-anneaux : 1re année.

$f (U (A)) \subset U (B)$ et $f (x^{- 1}) = f (x)^{- 1}$ ; l'image $f (A)$ est elle-même un sous-anneau de l'anneau d'arrivée ; l'injectivité de $f$ équivaut à $Ker f = {0_{A}}$ .
Le noyau $Ker f = f^{- 1} ({0_{B}})$ est un idéal de $A$ (§8), pas un sous-anneau en général : il ne contient $1_{A}$ que si $B = {0}$ .
Exemples : $π : ℤ \to ℤ / n ℤ$ ; la conjugaison $z \mapsto \overset{ˉ}{z}$ de $ℂ$ ; l'évaluation $P \mapsto P (a)$ de $𝕂 [X]$ dans $𝕂$ .

Idéaux d'un anneau commutatif

Dans toute la suite, $A$ est un anneau commutatif.

Propriétés.

${0_{A}}$ et $A$ sont des idéaux. Un idéal qui contient $1_{A}$ , ou un inversible, est égal à $A$ .
Pour $x \in A$ , $x A = {x a, a \in A}$ est le plus petit idéal contenant $x$ : l'idéal principal engendré par $x$ (noté aussi $(x)$ ).
Intersection d'idéaux, somme $I + J = {x + y, x \in I, y \in J}$ : ce sont des idéaux. $I + J$ est le plus petit idéal contenant $I \cup J$ ; la réunion, elle, n'est pas un idéal en général ( $2 ℤ \cup 3 ℤ$ ).
Noyau d'un morphisme d'anneaux : idéal. Image réciproque d'un idéal : idéal. L'image directe d'un idéal n'est pas un idéal en général ( $ℤ$ dans $ℚ$ par l'injection canonique).
Un anneau commutatif non nul n'a que deux idéaux, ${0}$ et lui-même, exactement quand c'est un corps. Conséquence : un morphisme d'anneaux d'un corps vers un anneau non nul est injectif (son noyau est un idéal qui ne contient pas $1$ ).

Anneau principal. Un anneau intègre dont tous les idéaux sont principaux. Les deux exemples du programme : $ℤ$ et $𝕂 [X]$ (§9).

Vu en devoir, défini dans l'énoncé. Idéal premier ( $I \neq A$ et $a b \in I \Rightarrow a \in I$ ou $b \in I$ ) ; idéal maximal ( $I \neq A$ et aucun idéal strictement entre $I$ et $A$ ). Dans $ℤ$ : pour $n \geq 2$ , l'idéal $n ℤ$ est premier exactement lorsque l'entier $n$ l'est ; $A$ est intègre exactement lorsque ${0}$ est un idéal premier. Ces notions ne sont pas exigées sans définition.

Idéaux de $ℤ$ et de $𝕂 [X]$

Exemples.

${P \in 𝕂 [X], P (a) = 0} = (X - a) 𝕂 [X]$ ; ${P, P (a) = P^{'} (a) = 0} = (X - a)^{2} 𝕂 [X]$ .
${P \in ℝ [X], P (i) = 0} = (X^{2} + 1) ℝ [X]$ (un polynôme réel qui s'annule en $i$ s'annule en $- i$ ).
Idéal annulateur : pour $u \in ℒ (E)$ , $E$ de dimension finie, $I_{u} = {P, P (u) = 0}$ est un idéal non nul ; son générateur unitaire est le polynôme minimal $π_{u}$ (voir Réduction § Polynôme minimal et § Annulateurs).
Contre-exemple : ${P \in 𝕂 [X], P (0) = P (1)}$ est un sous-anneau (et une sous-algèbre) mais pas un idéal : il contient $1$ .

Anneaux intègres et corps

Un corps est intègre ; $ℤ$ et $𝕂 [X]$ sont intègres sans être des corps.
Un anneau intègre fini est un corps. Preuve : pour $a \neq 0$ , l'application $x \mapsto a x$ est injective (intégrité), donc bijective (ensemble fini) : il existe $x$ avec $a x = 1$ . Même argument pour une algèbre commutative intègre de dimension finie (§14), avec « linéaire injective en dimension finie » à la place de « fini ».
Racines d'un polynôme sur un corps. Si $𝕃$ est un corps commutatif quelconque (par exemple $ℤ / p ℤ$ ), un polynôme non nul de $𝕃 [X]$ de degré $d$ a au plus $d$ racines dans $𝕃$ . L'intégrité est indispensable : dans $ℤ / 8 ℤ$ , $X^{2} - \overset{ˉ}{1}$ a quatre racines $\overset{ˉ}{1}, \overset{ˉ}{3}, \overset{ˉ}{5}, \overset{ˉ}{7}$ .
Division euclidienne, idéaux principaux, PGCD, Bézout, Gauss et irréductibles (§9 et §13) restent valables dans $𝕃 [X]$ pour tout corps $𝕃$ , avec les mêmes preuves.

L'anneau $ℤ / n ℤ$

Indicatrice d'Euler. $φ (n) = Card {k \in [⁣ [1, n] ⁣], k \land n = 1} = Card U (ℤ / n ℤ)$ (nombre de générateurs de $ℤ / n ℤ$ ).

$φ (1) = 1$ ; $φ (p) = p - 1$ ; $φ (p^{α}) = p^{α} - p^{α - 1}$ (on retire les multiples de $p$ ) ;
$φ (m n) = φ (m) φ (n)$ si $m \land n = 1$ (théorème chinois, §12) ;
d'où, si $n = p_{1}^{α_{1}} \dots p_{r}^{α_{r}}$ : $φ (n) = n \prod_{i = 1}^{r} (1 - \frac{1}{p_{i}})$ . Exemples : $φ (36) = 12$ , $φ (100) = 40$ , $φ (2026) = φ (2 \times 1013) = 1012$ ( $1013$ est premier).

Résultat classique (Wilson). Un entier $p \geq 2$ est premier exactement lorsque $(p - 1)! \equiv - 1 [p]$ . À savoir redémontrer (exercice 9).

Théorème chinois

Conséquences.

Systèmes de congruences : si $m \land n = 1$ , le système $x \equiv a [m]$ , $x \equiv b [n]$ a des solutions, qui forment une seule classe modulo $m n$ . Construction : avec $u m + v n = 1$ , la solution est $x_{0} = a v n + b u m$ (car $v n \equiv 1 [m]$ et $u m \equiv 1 [n]$ ). Exemple : $x \equiv 3 [4]$ et $x \equiv 4 [9]$ ; on a $(- 2) \times 4 + 1 \times 9 = 1$ , d'où $x_{0} = 3 \times 9 + 4 \times (- 8) = - 5$ et $x \equiv 31 [36]$ .
Inversibles : $U (ℤ / m n ℤ) ≃ U (ℤ / m ℤ) \times U (ℤ / n ℤ)$ (groupes), d'où $φ (m n) = φ (m) φ (n)$ .
Groupes : $ℤ / m ℤ \times ℤ / n ℤ$ est cyclique si et seulement si $m \land n = 1$ . Sans coprimalité, l'isomorphisme tombe : $ℤ / 4 ℤ ≄ (ℤ / 2 ℤ)^{2}$ (l'un a un élément d'ordre $4$ , l'autre non).
Plusieurs modules deux à deux premiers entre eux : récurrence ; $ℤ / n ℤ ≃ \prod_{i} ℤ / p_{i}^{α_{i}} ℤ$ .
Méthode : pour compter les solutions d'une équation polynomiale dans $ℤ / n ℤ$ ( $x^{2} = x$ , $x^{2} = \overset{ˉ}{1}$ …), on la résout modulo chaque $p_{i}^{α_{i}}$ et on multiplie les nombres de solutions.

Arithmétique dans $𝕂 [X]$ par les idéaux

PGCD. $A 𝕂 [X] + B 𝕂 [X]$ est un idéal : il s'écrit $D 𝕂 [X]$ avec $D$ unitaire ou nul (§9). $D = A \land B$ est le PGCD. Comme $D$ appartient à l'idéal, il existe $U, V$ avec $A U + B V = D$ (Bézout), et les diviseurs communs de $A$ et $B$ sont exactement les diviseurs de $D$ .
PPCM. $A 𝕂 [X] \cap B 𝕂 [X] = M 𝕂 [X]$ avec $M$ unitaire ou nul : $M = A \lor B$ ; les multiples communs sont les multiples de $M$ .
Plusieurs polynômes : $A_{1} 𝕂 [X] + \dots + A_{r} 𝕂 [X] = (A_{1} \land \dots \land A_{r}) 𝕂 [X]$ ; premiers entre eux dans leur ensemble (PGCD $= 1$ ) n'implique pas deux à deux : $X (X - 1)$ , $X (X - 2)$ , $(X - 1) (X - 2)$ .
Théorème de Bézout : $A \land B = 1 ⟺ A 𝕂 [X] + B 𝕂 [X] = 𝕂 [X] ⟺ \exists (U, V), A U + B V = 1$ . Gauss et ses corollaires suivent comme dans $ℤ$ .
Irréductibles. $P$ (non constant) est irréductible si ses seuls diviseurs sont les constantes non nulles et ses associés. Pour $P$ irréductible et $Q$ quelconque : $P ∣ Q$ ou $P \land Q = 1$ ; et $P ∣ A B \Rightarrow P ∣ A$ ou $P ∣ B$ . Si $P ∤ A$ , il existe $U$ tel que $A U \equiv 1$ modulo $P$ (« $A$ est inversible modulo $P$ »).
Décomposition en produit d'irréductibles unitaires, unique à l'ordre près ; irréductibles de $ℂ [X]$ (degré $1$ ) et de $ℝ [X]$ (degré $1$ , degré $2$ sans racine réelle) : voir Polynômes § Factorisation. Le PGCD (resp. PPCM) se lit sur les décompositions avec les plus petits (resp. plus grands) exposants.
Le PGCD ne dépend pas du corps : pour $A, B \in ℝ [X]$ , le PGCD calculé dans $ℂ [X]$ est réel. En revanche l'irréductibilité dépend du corps : $X^{2} + 1$ est irréductible dans $ℝ [X]$ , pas dans $ℂ [X]$ ; $X^{2} - 2$ est irréductible dans $ℚ [X]$ , pas dans $ℝ [X]$ .
Lemme chinois polynomial (utile en réduction) : si $P \land Q = 1$ , $P ∣ A$ et $Q ∣ A$ , alors $P Q ∣ A$ ; et pour tous $R_{1}, R_{2}$ , il existe $A$ avec $A \equiv R_{1}$ modulo $P$ et $A \equiv R_{2}$ modulo $Q$ (prendre $A = R_{1} Q V + R_{2} P U$ si $P U + Q V = 1$ ).

Algèbres

Morphisme d'algèbres. Application à la fois linéaire et morphisme d'anneaux ( $f (1) = 1$ compris). Exemples :

$φ_{A} : 𝕂 [X] \to ℳ_{n} (𝕂)$ , $P \mapsto P (A)$ : image $𝕂 [A]$ , noyau $I_{A} = π_{A} 𝕂 [X]$ (idéal annulateur) ; $\dim 𝕂 [A] = \deg π_{A}$ (Réduction § Polynôme minimal) ;
$M \mapsto P M P^{- 1}$ ( $P$ inversible fixée) : automorphisme de $ℳ_{n} (𝕂)$ ;
$u \mapsto {Mat}_{ℬ} (u)$ : isomorphisme de $ℒ (E)$ sur $ℳ_{n} (𝕂)$ ;
la transposition n'en est pas un pour $n \geq 2$ : $^{t} (A B) =^{t} B^{t} A$ .

Méthodes types

Montrer qu'un groupe est cyclique (ou ne l'est pas)

Exhiber un élément dont l'ordre vaut le cardinal ; ou un isomorphisme vers $ℤ / n ℤ$ ou $𝕌_{n}$ ; ou invoquer « cardinal premier ».
Pour nier : montrer que tous les éléments ont un ordre $< n$ (par exemple $x^{d} = e$ pour tout $x$ avec $d < n$ ), ou que $G$ n'est pas commutatif, ou qu'il a deux sous-groupes distincts de même cardinal.

Calculer dans $ℤ / n ℤ$

Inverse : Euclide étendu, $u k + v n = 1 \Rightarrow {\overset{ˉ}{k}}^{- 1} = \overset{ˉ}{u}$ ; contrôler en multipliant.
Puissance ${\overset{ˉ}{a}}^{N}$ : réduire $N$ modulo l'ordre de $\overset{ˉ}{a}$ , ou modulo $φ (n)$ si $a \land n = 1$ ; pour un module composé, travailler modulo chaque facteur puis recoller (chinois).
Ordre de $\overset{ˉ}{a}$ dans $U (ℤ / n ℤ)$ : tester les seuls diviseurs de $φ (n)$ .
Système de congruences : relation de Bézout entre les modules, formule $x_{0} = a v n + b u m$ , puis vérification.

Déterminer un idéal de $𝕂 [X]$

Vérifier que c'est un idéal (contient $0$ , stable par combinaison $A P + B Q$ avec $A, B$ quelconques).
Trouver un élément unitaire de degré minimal $P_{0}$ ; montrer que $I = P_{0} 𝕂 [X]$ par la division euclidienne.
Pour $A 𝕂 [X] + B 𝕂 [X]$ et $A 𝕂 [X] \cap B 𝕂 [X]$ : PGCD et PPCM, lus sur les factorisations.

Montrer qu'une partie d'algèbre est une sous-algèbre

Contient $1$ ; stable par $λ x + μ y$ ; stable par produit. Pour le commutant : $A (M N) = (A M) N = (M A) N = M (A N) = M (N A)$ .

Définir une application sur $ℤ / n ℤ$

Erreurs fréquentes

Définir une application sur $ℤ / n ℤ$ par un représentant sans vérifier qu'elle est bien définie ; écrire « $\overset{ˉ}{k} \mapsto \overset{ˉ}{k}$ de $ℤ / 6 ℤ$ dans $ℤ / 4 ℤ$ » (cela n'a pas de sens : $\overset{ˉ}{0} = \overset{ˉ}{6}$ dans $ℤ / 6 ℤ$ , mais pas dans $ℤ / 4 ℤ$ ).
Confondre l'ordre d'un élément et le cardinal du groupe ; écrire « $x^{k} = e$ donc $o (x) = k$ » au lieu de « $o (x) ∣ k$ ».
Utiliser la réciproque de Lagrange (« $6 ∣ 12$ donc il existe un sous-groupe de cardinal $6$ ») hors du cas cyclique.
Écrire $o (x y) = o (x) o (y)$ sans commutation ou sans $o (x) \land o (y) = 1$ .
Croire que $ℤ / n ℤ$ est intègre pour tout $n$ ; « simplifier » $\overset{ˉ}{2} x = \overset{ˉ}{2} y$ dans $ℤ / 8 ℤ$ ; résoudre $x^{2} = \overset{ˉ}{1}$ en disant « $x = \pm \overset{ˉ}{1}$ » dans un anneau qui n'est pas un corps.
Oublier $f (1_{A}) = 1_{B}$ dans un morphisme d'anneaux ou d'algèbres ; dire que le noyau d'un morphisme d'anneaux est un sous-anneau.
Confondre idéal et sous-anneau : un idéal propre ne contient jamais $1$ ; un sous-anneau le contient toujours.
Oublier « commutatif » dans la définition des idéaux du programme, ou « unitaire » pour le générateur d'un idéal de $𝕂 [X]$ (sans lui, il n'y a pas unicité).
Appliquer le théorème chinois avec des modules non premiers entre eux ( $ℤ / 12 ℤ ≄ ℤ / 2 ℤ \times ℤ / 6 ℤ$ ).
Écrire $\land$ entre endomorphismes ou matrices : le PGCD est défini entre polynômes (relevé par le jury en 2025).
Rédaction : « d'après le cours » sans nommer Lagrange, Bézout ou le théorème chinois ; abréviations (« s.g », « ssi ») dans une copie.

Vocabulaire et notations des devoirs tunisiens

Ordre d'un groupe = cardinal ; ordre d'un élément noté $o (x)$ , $ord (x)$ ou $\circ (x)$ selon les énoncés.
Classes : $\overset{ˉ}{k}$ ou $\dot{k}$ ; quand deux modules interviennent, $\hat{k}$ et $\tilde{k}$ (ou « $\overset{ˉ}{a}$ (resp. $\dot{a}$ ) la classe de $a$ modulo $2^{α}$ (resp. $8$ ) »). Groupe des inversibles : $U (ℤ / n ℤ)$ , $(ℤ / n ℤ)^{*}$ ou $(ℤ / n ℤ)^{\times}$ . Indicatrice d'Euler : $φ (n)$ , dite aussi « fonction » ou « indicateur » d'Euler.
PGCD $a \land b$ ou $pgcd (a, b)$ , PPCM $a \lor b$ ou $ppcm (a, b)$ ; idéal principal $a A$ , $(a)$ ou $I (a)$ .
Sous-groupe engendré $⟨ a ⟩$ (souvent tapé $< a >$ ) ; groupe de Klein $(ℤ / 2 ℤ)^{2} = ℤ / 2 ℤ \times ℤ / 2 ℤ$ ; groupes de matrices $G L_{n} (𝕂)$ , $S L_{n} (𝕂)$ ; algèbre $𝕂 [A]$ ou $𝕂 [f]$ , commutant $𝒞 (A)$ ou $C (f)$ .
Énoncés : « Montrer que… est un groupe monogène non cyclique », « Déduire que $G$ admet exactement $φ (n)$ générateurs », « Répondre par vrai ou faux en justifiant », « Déterminer l'ordre de chaque élément du groupe… ». Les notions hors du cours (sous-groupe distingué, idéal premier ou maximal, caractéristique, exposant d'un groupe) sont définies dans l'énoncé : la définition fixe les notations.
Devoir de contrôle n°1 : 1 h à 2 h, aucun document, calculatrice interdite : les calculs dans $ℤ / n ℤ$ se font à la main, avec de petits modules.

M'entraîner sur ce chapitre

Structures algébriques (2e année)

Sous-groupe engendré par une partie

Morphismes de groupes : compléments

Le groupe (ℤ/nℤ,+)

Groupes monogènes, groupes cycliques

Ordre d'un élément

Théorème de Lagrange

Anneaux : compléments

Idéaux d'un anneau commutatif

Idéaux de ℤ et de 𝕂[X]

Anneaux intègres et corps

L'anneau ℤ/nℤ

Théorème chinois

Arithmétique dans 𝕂[X] par les idéaux

Algèbres

Méthodes types

Montrer qu'un groupe est cyclique (ou ne l'est pas)

Calculer dans ℤ/nℤ

Déterminer un idéal de 𝕂[X]

Montrer qu'une partie d'algèbre est une sous-algèbre

Définir une application sur ℤ/nℤ

Erreurs fréquentes

Vocabulaire et notations des devoirs tunisiens

Structures algébriques (2e année)

Sous-groupe engendré par une partie

Morphismes de groupes : compléments

Le groupe (ℤ/nℤ,+)

Groupes monogènes, groupes cycliques

Ordre d'un élément

Théorème de Lagrange

Anneaux : compléments

Idéaux d'un anneau commutatif

Idéaux de ℤ et de 𝕂[X]

Anneaux intègres et corps

L'anneau ℤ/nℤ

Théorème chinois

Arithmétique dans 𝕂[X] par les idéaux

Algèbres

Méthodes types

Montrer qu'un groupe est cyclique (ou ne l'est pas)

Calculer dans ℤ/nℤ

Déterminer un idéal de 𝕂[X]

Montrer qu'une partie d'algèbre est une sous-algèbre

Définir une application sur ℤ/nℤ

Erreurs fréquentes

Vocabulaire et notations des devoirs tunisiens

Le groupe $(ℤ / n ℤ, +)$

Idéaux de $ℤ$ et de $𝕂 [X]$

L'anneau $ℤ / n ℤ$

Arithmétique dans $𝕂 [X]$ par les idéaux

Calculer dans $ℤ / n ℤ$

Déterminer un idéal de $𝕂 [X]$

Définir une application sur $ℤ / n ℤ$

Le groupe $(ℤ / n ℤ, +)$

Idéaux de $ℤ$ et de $𝕂 [X]$

L'anneau $ℤ / n ℤ$

Arithmétique dans $𝕂 [X]$ par les idéaux

Calculer dans $ℤ / n ℤ$

Déterminer un idéal de $𝕂 [X]$

Définir une application sur $ℤ / n ℤ$