Suites numériques (Fiche) · Révisions prépa

Vocabulaire

Une suite à valeurs dans $𝕂$ est une application $u : ℕ \to 𝕂$ , $n \mapsto u_{n}$ ; $u_{n}$ est son terme général. On parle aussi de suite définie à partir d'un rang $n_{0}$ , notée $(u_{n})_{n \geq n_{0}}$ .

Pour une suite réelle $(u_{n})$ :

Propriété	Définition
majorée	$\exists M \in ℝ, \forall n \in ℕ, u_{n} \leq M$
minorée	$\exists m \in ℝ, \forall n \in ℕ, u_{n} \geq m$
bornée	majorée et minorée, c'est-à-dire $\exists A \geq 0, \forall n, ∣ u_{n} ∣ \leq A$ (seule définition valable dans $ℂ$ )
croissante (resp. strictement)	$\forall n, u_{n + 1} \geq u_{n}$ (resp. $>$ )
décroissante	$\forall n, u_{n + 1} \leq u_{n}$
stationnaire	constante au-delà d'un certain rang ( $\exists N, \forall n \geq N, u_{n} = u_{N}$ )

Étudier la monotonie : signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ ; ou, si $u_{n} > 0$ pour tout $n$ , comparaison de $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ à $1$ . Le quotient n'est utilisable que pour une suite de signe constant strictement positif.

« À partir d'un certain rang » : il existe un entier $N$ au-delà duquel $P (n)$ est toujours satisfaite (on dit aussi « pour $n$ assez grand »). La plupart des énoncés qui suivent restent vrais sous cette forme.

Convergence et divergence

Définition. $(u_{n})$ converge vers $ℓ \in 𝕂$ si $\forall ε > 0, \exists N \in ℕ, \forall n \geq N, ∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq ε .$ On note $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = ℓ$ ou $u_{n} \underset{n \to + \infty}{⟶} ℓ$ . Une suite qui ne converge pas est dite divergente.

Le rang $N$ dépend de $ε$ : on l'écrit parfois $N_{ε}$ . Pour l'exhiber, on part de $∣ u_{n} - ℓ ∣$ , on le majore par une expression simple qui tend vers $0$ , puis on résout.

Propriétés de base.

Unicité : si la limite existe, elle est unique.
Toute suite convergente est bornée. La réciproque est fausse : $((- 1)^{n})$ est bornée et diverge.
$u_{n} \to ℓ ⟺ u_{n} - ℓ \to 0 ⟺ ∣ u_{n} - ℓ ∣ \to 0$ .
Si $u_{n} \to ℓ$ , alors $∣ u_{n} ∣ \to ∣ ℓ ∣$ (réciproque fausse sauf si $ℓ = 0$ ).
Si $u_{n} \to ℓ > 0$ , alors $u_{n} > 0$ pour $n$ assez grand (prendre $ε = ℓ / 2$ ).

Limites infinies (suites réelles). $u_{n} \to + \infty$ si $\forall A \in ℝ, \exists N, \forall n \geq N, u_{n} \geq A$ ; même chose avec $u_{n} \leq A$ pour $- \infty$ . Une suite qui tend vers $\pm \infty$ est divergente (on dit aussi qu'elle diverge vers $+ \infty$ ). On travaille alors dans la droite achevée $\overline{ℝ} = ℝ \cup {- \infty, + \infty}$ .

Opérations sur les limites

Si $u_{n} \to ℓ$ et $v_{n} \to ℓ^{'}$ (limites finies) : $u_{n} + v_{n} \to ℓ + ℓ^{'}$ , $λ u_{n} \to λ ℓ$ , $u_{n} v_{n} \to ℓ ℓ^{'}$ , et si $ℓ^{'} \neq 0$ , $v_{n} \neq 0$ pour $n$ assez grand et $\frac{u_{n}}{v_{n}} \to \frac{ℓ}{ℓ^{'}}$ .

(bornée) $\times$ (tend vers $0$ ) tend vers $0$ . Exemple : $\frac{\sin n}{n} \to 0$ .
Formes indéterminées : $+ \infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\frac{0}{0}$ , $1^{\infty}$ (via $a^{b} = e^{b \ln a}$ ).
Croissances comparées ( $α > 0$ , $β > 0$ , $a > 1$ ) : $\frac{(\ln n)^{β}}{n^{α}} \to 0$ , $\frac{n^{α}}{a^{n}} \to 0$ , $\frac{a^{n}}{n!} \to 0$ , $\frac{n!}{n^{n}} \to 0$ .
Suite géométrique $(q^{n})$ , $q$ réel : $\to 0$ si $∣ q ∣ < 1$ ; $\to 1$ si $q = 1$ ; $\to + \infty$ si $q > 1$ ; divergente sans limite si $q \leq - 1$ .
Composition : lorsque $u_{n} \to a$ et que $f$ est continue au point $a$ , la suite $(f (u_{n}))$ tend vers $f (a)$ (caractérisation séquentielle, vue au chapitre « Limites et continuité » mais utilisée dès maintenant).

Pour lever une indétermination : factoriser le terme dominant, utiliser la quantité conjuguée ( $\sqrt{a} - \sqrt{b} = \frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ , $\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b} = \frac{a - b}{a^{2 / 3} + (a b)^{1 / 3} + b^{2 / 3}}$ ), ou passer au logarithme.

Limites et inégalités

Passage à la limite dans une inégalité. Hypothèses : (i) $u_{n} \to ℓ$ et $v_{n} \to ℓ^{'}$ (les deux limites existent) ; (ii) $u_{n} \leq v_{n}$ pour tout $n$ assez grand. Conclusion : $ℓ \leq ℓ^{'}$ . Les inégalités strictes ne passent pas à la limite : $\frac{1}{n} > 0$ mais $\lim \frac{1}{n} = 0$ .

Théorème des gendarmes (d'encadrement). Hypothèses : (i) l'encadrement $v_{n} \leq u_{n} \leq w_{n}$ est vrai pour $n$ assez grand ; (ii) $(v_{n})$ et $(w_{n})$ convergent vers la même limite $ℓ$ . Conclusion : $(u_{n})$ converge et $\lim u_{n} = ℓ$ . À la différence du passage à la limite, ce théorème prouve l'existence de la limite.

Version « majoration de l'écart ». Si $∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq α_{n}$ pour $n$ assez grand et $α_{n} \to 0$ , alors $u_{n} \to ℓ$ .

Comparaison vers l'infini. Si $u_{n} \geq v_{n}$ pour $n$ assez grand et $v_{n} \to + \infty$ , alors $u_{n} \to + \infty$ (symétriquement vers $- \infty$ ).

Théorèmes d'existence d'une limite

Ces théorèmes reposent sur la propriété de la borne supérieure de $ℝ$ : ils sont faux dans $ℚ$ et n'ont pas de sens dans $ℂ$ (pas d'ordre).

Théorème de la limite monotone. On considère une suite réelle $(u_{n})$ croissante.

Si elle est majorée, elle converge et $\lim u_{n} = \sup {u_{n}, n \in ℕ}$ .
Sinon, $u_{n} \to + \infty$ .

(Énoncé symétrique pour une suite décroissante : minorée $\Rightarrow$ converge vers $\inf$ ; sinon $\to - \infty$ .) Conséquence utile : si $(u_{n})$ croît et converge vers $ℓ$ , alors $u_{n} \leq ℓ$ pour tout $n$ .

Suites adjacentes. Deux suites réelles $(u_{n})$ et $(v_{n})$ forment un couple de suites adjacentes lorsque : (i) l'une est croissante, (ii) l'autre est décroissante, (iii) $v_{n} - u_{n} \to 0$ . Théorème : deux suites adjacentes convergent vers la même limite $ℓ$ et, si $(u_{n})$ croît et $(v_{n})$ décroît, $\forall n \in ℕ, u_{n} \leq ℓ \leq v_{n} .$ Cet encadrement donne une valeur approchée de $ℓ$ à $v_{n} - u_{n}$ près. Les trois conditions sont indispensables : $v_{n} - u_{n} \to 0$ seul ne suffit pas.

Segments emboîtés. Si $I_{n} = [a_{n}, b_{n}]$ vérifient $I_{n + 1} \subset I_{n}$ et $b_{n} - a_{n} \to 0$ , alors $⋂_{n} I_{n} = {ℓ}$ (un seul point). C'est le principe de la dichotomie.

Suites extraites et Bolzano-Weierstrass

Extraire une suite de $(u_{n})$ , c'est choisir $φ : ℕ \to ℕ$ strictement croissante et former $(u_{φ (n)})$ : on obtient une suite extraite, appelée aussi sous-suite. Par récurrence, $φ (n) \geq n$ pour tout $n$ . Exemples : $(u_{2 n})$ , $(u_{2 n + 1})$ , $(u_{n^{2}})$ .

Si $u_{n} \to ℓ \in \overline{ℝ}$ , toute suite extraite tend vers $ℓ$ .
Critère de divergence : s'il existe deux suites extraites de limites différentes (ou une suite extraite divergente), $(u_{n})$ diverge. Exemple : $\cos \frac{n π}{2}$ : $u_{4 n} = 1$ , $u_{4 n + 2} = - 1$ .
Pairs et impairs : si $u_{2 n} \to ℓ$ et $u_{2 n + 1} \to ℓ$ (même $ℓ$ ), alors $u_{n} \to ℓ$ . Les deux sous-suites doivent recouvrir tous les indices.

Théorème de Bolzano-Weierstrass. Une suite réelle (ou complexe) bornée possède toujours au moins une suite extraite convergente. L'hypothèse « bornée » est indispensable : $(n)$ n'a aucune suite extraite convergente.

Suites de Cauchy (présentes dans certains cours et séries) : $(u_{n})$ est de Cauchy si $\forall ε > 0, \exists N, \forall p, q \geq N, ∣ u_{p} - u_{q} ∣ \leq ε$ . Dans $ℝ$ et $ℂ$ : de Cauchy $⟺$ convergente (le sens direct est facile ; la réciproque utilise Bolzano-Weierstrass).

Suites complexes

$(z_{n})$ converge vers $ℓ$ si $∣ z_{n} - ℓ ∣ \to 0$ , et $z_{n} \to ℓ ⟺ Re (z_{n}) \to Re (ℓ) et Im (z_{n}) \to Im (ℓ) .$ Restent vrais : unicité, convergente $\Rightarrow$ bornée, opérations, suites extraites, Bolzano-Weierstrass. Interdits dans $ℂ$ : limites $\pm \infty$ , monotonie, limite monotone, adjacentes, gendarmes (on les applique aux modules ou aux parties réelle et imaginaire). Exemple : $z^{n} \to 0 ⟺ ∣ z ∣ < 1$ .

Suites usuelles

Arithmétique $u_{n + 1} = u_{n} + r$ : $u_{n} = u_{0} + n r$ ; $\sum_{k = 0}^{n} u_{k} = (n + 1) \frac{u_{0} + u_{n}}{2}$ .
Géométrique $u_{n + 1} = q u_{n}$ : $u_{n} = u_{0} q^{n}$ ; pour $q \neq 1$ , $\sum_{k = 0}^{n} q^{k} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$ .
Arithmético-géométrique $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ avec $a \neq 1$ : on cherche le point fixe $c = \frac{b}{1 - a}$ ( $c = a c + b$ ) ; alors $v_{n} = u_{n} - c$ est géométrique de raison $a$ , d'où $u_{n} = c + a^{n} (u_{0} - c)$ .
Récurrente linéaire d'ordre 2 $u_{n + 2} = a u_{n + 1} + b u_{n}$ ( $b \neq 0$ ), équation caractéristique $r^{2} = a r + b$ :
- deux racines distinctes $r_{1}, r_{2}$ (réelles ou complexes) : $u_{n} = λ r_{1}^{n} + μ r_{2}^{n}$ ;
- racine double $r$ : $u_{n} = (λ + μ n) r^{n}$ ;
- cas réel avec $Δ < 0$ , racines $ρ e^{\pm i θ}$ : $u_{n} = ρ^{n} (λ \cos n θ + μ \sin n θ)$ , $λ, μ$ réels.
Les constantes se déterminent avec $u_{0}$ et $u_{1}$ .

Suites récurrentes $u_{n + 1} = f (u_{n})$

Cadre : $f : I \to ℝ$ , $I$ intervalle, $u_{0}$ donné.

Bonne définition. Si $I$ est stable par $f$ ( $f (I) \subset I$ ) et $u_{0} \in I$ , alors par récurrence $u_{n} \in I$ pour tout $n$ : la suite est bien définie. Ne jamais sauter cette étape.
Limites possibles. Si $u_{n} \to ℓ$ , si $ℓ \in I$ et si $f$ est continue en $ℓ$ , alors $f (ℓ) = ℓ$ : $ℓ$ est un point fixe de $f$ . Les trois hypothèses comptent : si $I$ n'est pas fermé, $ℓ$ peut sortir de $I$ .
Monotonie.
- Si $f$ est croissante sur $I$ , $(u_{n})$ est monotone : croissante si $u_{1} \geq u_{0}$ , décroissante si $u_{1} \leq u_{0}$ .
- Si $f$ est décroissante sur $I$ , $f \circ f$ est croissante : chacune des sous-suites $(u_{2 n})$ , $(u_{2 n + 1})$ est monotone, et elles varient en sens opposés (l'une croît, l'autre décroît).
- Signe de $g (x) = f (x) - x$ : si $g \geq 0$ sur $I$ , alors $(u_{n})$ est croissante (car $u_{n + 1} - u_{n} = g (u_{n})$ ).
Convergence. Monotone + bornée $\Rightarrow$ converge (limite monotone), puis on identifie la limite parmi les points fixes.
Divergence. Si $(u_{n})$ croît et n'a aucun point fixe accessible (par exemple $g > 0$ sur $[u_{0}, + \infty [$ ), alors $u_{n} \to + \infty$ (raisonner par l'absurde avec le point 2).
Contraction. Si $∣ f (x) - f (y) ∣ \leq k ∣ x - y ∣$ sur $I$ avec $0 \leq k < 1$ et $ℓ \in I$ point fixe, alors $∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq k^{n} ∣ u_{0} - ℓ ∣$ : convergence avec vitesse. On obtient $k$ par l'inégalité des accroissements finis ( $∣ f^{'} ∣ \leq k$ sur $I$ ) une fois la dérivation vue, ou par un calcul direct.

Suites définies implicitement

Type très fréquent en devoir : « montrer que l'équation $f_{n} (x) = 0$ admet une unique solution $x_{n}$ dans $I$ ».

Existence et unicité : $f_{n}$ continue et strictement monotone sur $I$ , avec changement de signe (théorème des valeurs intermédiaires + stricte monotonie, ou bijection).
Monotonie de $(x_{n})$ : calculer le signe de $f_{n + 1} (x_{n})$ (ou de $f_{n} (x_{n + 1})$ ) en utilisant $f_{n} (x_{n}) = 0$ , puis conclure avec le sens de variation de $f_{n + 1}$ .
Limite : encadrer $x_{n}$ (souvent directement depuis l'équation), puis passer à la limite dans la relation $f_{n} (x_{n}) = 0$ .
Précision : poser $y_{n} = n x_{n}$ (ou une autre normalisation) et réinjecter dans l'équation.

Comparaison des suites et moyenne de Cesàro

Selon les établissements, cette partie est vue ici ou dans « Analyse asymptotique ». Soit $(v_{n})$ une suite dont les termes sont non nuls pour $n$ assez grand.

$u_{n} = O (v_{n})$ ( $u$ dominée par $v$ ) si $(\frac{u_{n}}{v_{n}})$ est bornée ;
$u_{n} = o (v_{n})$ ( $u$ négligeable devant $v$ ) si $\frac{u_{n}}{v_{n}} \to 0$ ;
$u_{n} \sim v_{n}$ ( $u$ équivalente à $v$ ) si $\frac{u_{n}}{v_{n}} \to 1$ .

Si $u_{n} \sim v_{n}$ et $v_{n} \to ℓ \in \overline{ℝ}$ , alors $u_{n} \to ℓ$ . Les équivalents se multiplient et se divisent, mais ne s'additionnent pas et ne se composent pas en général : $n + 1 \sim n$ mais $(n + 1) - n \sim̸ n - n$ .

Moyenne de Cesàro (résultat classique, à savoir redémontrer) : si $u_{n} \to ℓ \in ℝ$ , alors $\frac{u_{1} + \dots + u_{n}}{n} \to ℓ$ . Réciproque fausse : $u_{n} = (- 1)^{n}$ . Conséquence : si $u_{n + 1} - u_{n} \to ℓ$ , alors $\frac{u_{n}}{n} \to ℓ$ .

Méthodes types

Comment montrer qu'une suite converge

Limite devinée : majorer $∣ u_{n} - ℓ ∣$ par $α_{n} \to 0$ , ou encadrer (gendarmes).
Limite inconnue : monotone + bornée (limite monotone), ou deux suites adjacentes.
Suites extraites : $(u_{2 n})$ et $(u_{2 n + 1})$ de même limite.
Opérations : décomposer en suites de référence (croissances comparées, $q^{n}$ , quantité conjuguée).
Suite définie par une somme $\sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ : monotonie (signe de $a_{n + 1}$ ) + majoration (télescopage, comparaison $\frac{1}{k^{2}} \leq \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}$ ), ou encadrement terme à terme ( $n$ termes compris entre le plus petit et le plus grand).

Comment montrer qu'une suite diverge

Exhiber deux suites extraites de limites différentes ;
montrer qu'elle n'est pas bornée ;
par l'absurde : si elle convergeait vers $ℓ$ , en déduire une contradiction (par exemple $ℓ$ point fixe qui n'existe pas).

Étudier une suite récurrente $u_{n + 1} = f (u_{n})$

Étudier $f$ (variations, tableau) et le signe de $f (x) - x$ ; chercher les points fixes.
Trouver un intervalle stable contenant $u_{0}$ ; justifier par récurrence que $u_{n}$ y reste.
Monotonie : $f$ croissante $\Rightarrow$ comparer $u_{0}$ et $u_{1}$ ; ou signe de $f (x) - x$ sur l'intervalle stable.
Conclure : limite monotone, puis $ℓ = f (ℓ)$ en justifiant la continuité de $f$ en $ℓ$ et $ℓ \in I$ .
Si $f$ est décroissante : étudier $f \circ f$ et les deux suites $(u_{2 n})$ , $(u_{2 n + 1})$ .

Montrer que deux suites sont adjacentes

Vérifier séparément les trois conditions ; le signe de $v_{n + 1} - v_{n}$ se ramène souvent à une inégalité entre fractions qu'on réduit au même dénominateur.

Erreurs fréquentes

Oublier une hypothèse : passer à la limite sans avoir prouvé l'existence des limites ; écrire $ℓ = f (ℓ)$ sans dire que $f$ est continue en $ℓ$ et que $ℓ \in I$ ; appliquer le théorème des adjacentes sans la monotonie. Les correcteurs tunisiens sanctionnent systématiquement l'hypothèse manquante.
Confondre nécessaire et suffisant : « $u_{n + 1} - u_{n} \to 0$ donc $(u_{n})$ converge » est faux ( $u_{n} = \ln n$ , ou $\sqrt{n}$ ) ; « $(u_{n})$ bornée donc convergente » est faux.
Garder une inégalité stricte après passage à la limite.
Ajouter des équivalents ou écrire $u_{n} \sim 0$ (cela voudrait dire que $u_{n}$ est nul pour $n$ assez grand).
Écrire « $\lim u_{n}$ » avant d'avoir montré que la limite existe ; écrire $1^{\infty} = 1$ .
Monotonie par le quotient $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ sur une suite qui n'est pas strictement positive.
Utiliser l'ordre dans $ℂ$ (« $z_{n} \leq w_{n}$ »), ou une limite $+ \infty$ pour une suite complexe.
Confondre $f$ croissante et $(u_{n})$ croissante : si $f$ est croissante, $(u_{n})$ est monotone, pas forcément croissante.
Rédaction : abréviations (« cv », « dcq »), résultat non encadré, « d'après le cours » sans nommer le théorème.

Vocabulaire et notations des devoirs tunisiens

Partie entière notée $E (x)$ : $E (x) \leq x < E (x) + 1$ . Elle sert souvent à construire des suites ( $\frac{E (n x)}{n} \to x$ ).
Ensembles : $ℝ$ , $ℕ$ , $ℕ^{*}$ (parfois IR, IN dans des documents plus anciens) ; intervalle d'entiers $[⁣ [1, n] ⁣]$ .
$\ln$ pour le logarithme, $ch$ , $sh$ , $th$ ; on rencontre aussi $Arctg$ ou $tg$ dans certains énoncés.
Énoncés : « Montrer que… », « En déduire… », « Justifier que… », « Étudier la nature de la suite » (= convergente ou divergente), « On pourra utiliser… ». Barème affiché par exercice (« Exercice 2 (6 points) »).
Pas de calculatrice en devoir de maths : aucune question ne demande une valeur décimale « à la machine ».
Un résultat de l'énoncé peut être admis pour traiter la suite : ne pas bloquer sur une question.

Suites numériques