Définitions. Soit $g$ une fonction qui ne prend pas la valeur $0$ au voisinage de $a$ (sauf peut-être en $a$, où l'on suppose alors $f(a)=g(a)=0$ si $a\in I$).

Définition générale (sans hypothèse sur $g$) : $f=o(g)$ s'il existe $\epsilon$ de limite nulle en $a$ avec $f=\epsilon g$ au voisinage de $a$ ; $f=O(g)$ si $f=ug$ avec $u$ bornée au voisinage de $a$ ; $f\sim g$ si $f=(1+\epsilon )g$ avec $\epsilon \to 0$. Les deux points de vue coïncident lorsque $g$ ne s'annule pas.

Cas particuliers à connaître.

• ; bornée au voisinage de $a$.
• . C'est la forme la plus utile en pratique.
• En $0$ : si $p>q$ (les petites puissances l'emportent). En $+\mathrm{\infty }$ : $x^p=o(x^q)$ si $p<q$ (les grandes puissances l'emportent).

Notation. « » (ou « », ou « $=$ » suivi de « au voisinage de $a$ ») : le point $a$ doit toujours être précisé. Une égalité avec $o$ ou $O$ se lit de gauche à droite : a un sens, « $o(x)=x^3$ » n'en a pas.

Suites. Les mêmes définitions s'appliquent aux suites avec $n\to +\mathrm{\infty }$ ; elles ont été vues au chapitre « Suites numériques » (§11). Tout ce qui suit sur les fonctions s'applique aux suites (prendre $a=+\mathrm{\infty }$ et une variable entière), et réciproquement : si et $u_n\to +\mathrm{\infty }$, alors $f(u_n)\sim g(u_n)$.

Avec $o$ et $O$ (au voisinage d'un même point $a$) :

• $o(g)+o(g)=o(g)$ ; $\lambda o(g)=o(g)$ ($\lambda$ constante) ; $o(g)=O(g)$.
• $f\cdot o(g)=o(fg)$ ; $o(f)\cdot o(g)=o(fg)$ ; $O(f)\cdot o(g)=o(fg)$.
• Transitivité : si $f=o(g)$ et $g=O(h)$ (ou $f=O(g)$ et $g=o(h)$), alors $f=o(h)$.
• En $0$ : $x^{p}o(x^q)=o(x^{p+q})$ et $o(x^p)+o(x^q)=o(x^{\min (p,q)})$.

Avec $\sim$. C'est une relation d'équivalence (réflexive, symétrique, transitive). De plus :

Opérations autorisées. Hypothèses : et . Conclusion : $f_1{f}_2\sim g_1{g}_2$ ; ${\displaystyle \frac{f_1}{f_2}}\sim {\displaystyle \frac{g_1}{g_2}}$ ; $\mid f_1{\mid }^{\alpha }\sim \mid g_1{\mid }^{\alpha }$ pour tout réel $\alpha$ fixé (et $f_1^k\sim g_1^k$ pour $k\in \mathbb{Z}$).

Ce que $\sim$ conserve.

• La limite : si $f\sim g$ et $g(x)\to \mathrm{\ell }\in \overline{ℝ}$, alors $f(x)\to \mathrm{\ell }$.
• Le signe : si $f\sim g$, alors $f$ et $g$ ont le même signe strict au voisinage de $a$ (utile pour une position de courbes ou le signe d'une dérivée).

Opérations interdites en général.

1. Somme : et , mais la somme $x^2$ n'est pas équivalente à $0$. Pour une somme, on passe aux $o$ (ou aux développements limités) : $f\sim g$ s'écrit $f=g+o(g)$.
2. Composition à gauche : , mais $e^{x+1}=e\cdot e^x$ n'est pas équivalent à $e^x$. Règle correcte : $e^f\sim e^g⟺f-g\to 0$.
3. Logarithme : $\ln f\sim \ln g$ demande une condition. Si $f\sim g$, $g>0$ et $g\to \mathrm{\ell }$ avec $\mathrm{\ell }\in [0,+\mathrm{\infty }]$, $\mathrm{\ell }\mathrm{\ne }1$, alors $\ln f\sim \ln g$ (car $\ln f=\ln g+\ln \frac{f}{g}=\ln g+o(1)$ et $\ln g$ ne tend pas vers $0$).
4. Écrire $f\sim 0$ : cela voudrait dire que $f$ est nulle au voisinage de $a$. Jamais dans une copie.

Composition à droite (changement de variable) : toujours permise. Si et $u(x)\underset{x\to a}{⟶}b$, alors . Même chose avec $o$ et $O$.

Ils viennent des limites usuelles (taux d'accroissement en $0$) ; ce sont les premiers termes des développements limités du §7.

Par composition à droite : si $u(x)\to 0$, alors $\ln (1+u(x))\sim u(x)$, $\sin u(x)\sim u(x)$, $1-\cos u(x)\sim \frac{u(x{)}^2}{2}$, etc. Exemple : $\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}(1+\frac{1}{n})\sim \frac{1}{n}$ ; .

Autres équivalents de base :

• ; (car $1-\cos t\sim \frac{t^2}{2}$).
• Polynôme : en $\pm \mathrm{\infty }$, équivalent à son terme de plus haut degré ; en $0$, à son terme non nul de plus bas degré. Exemple : et . Même règle pour une fraction rationnelle (quotient des termes dominants).

Pour tous réels $\alpha >0$, $\beta >0$, $\gamma >0$ :

Suites ($a>1$, $\alpha >0$, $\beta >0$) : $(\ln n{)}^{\beta }=o(n^{\alpha })$, $n^{\alpha }=o(a^n)$, $a^n=o(n!)$, $n!=o(n^n)$ (fiche « Suites » §3). Retenir l'échelle : logarithmes $\ll$ puissances $\ll$ exponentielles en $+\mathrm{\infty }$.

Méthode pour une forme $f^g$ : écrire $f^g=e^{g\ln f}$ et comparer. Exemple : $x^{1\mathrm{/}x}=e^{\frac{\ln x}{x}}\to e^0=1$ en $+\mathrm{\infty }$.

Définition. Soit $n\in \mathbb{N}$ et $f$ définie sur un intervalle ouvert contenant $0$ (sauf peut-être en $0$). La fonction $f$ possède un développement limité d'ordre $n$ en $0$ (en abrégé DL${}_n(0)$) lorsqu'il existe des réels $a_0,\dots ,a_n$ tels que Le polynôme $P(x)={\sum }_{k=0}^n{a}_k{x}^k$ (de degré $\le n$) s'appelle la partie régulière (ou partie principale) du DL ; $o(x^n)$ en est le reste, qu'on écrit aussi $x^n\epsilon (x)$ avec $\epsilon (x)\underset{x\to 0}{⟶}0$.

En un point $a$ réel : $f$ admet un DL${}_n(a)$ si $h\mapsto f(a+h)$ admet un DL${}_n(0)$, c'est-à-dire . On écrit les puissances de $(x-a)$, jamais on ne développe.

Propriétés.

1. Unicité : si $f$ admet un DL${}_n(0)$, sa partie régulière est unique. Conséquence pratique : on peut identifier les coefficients de deux DL d'une même fonction.
2. Troncature : un DL${}_n$ donne tous les DL${}_p$ pour $p\le n$ (on supprime les termes de degré $>p$).
3. Parité : si $f$ est paire (resp. impaire) et admet un DL${}_n(0)$, sa partie régulière ne contient que des puissances paires (resp. impaires).
4. Ordre 0 et 1. $f$ admet un DL${}_0(0)$ $⟺$ $f$ a une limite finie $a_0$ en $0$ (continue ou prolongeable par continuité). Si $f$ est définie en $0$ : $f$ admet un DL${}_1(0)$ $⟺$ $f$ est dérivable en $0$, et alors $f(x)=f(0)+f^{\mathrm{\prime }}(0)x+o(x)$.
5. Pas plus loin : un DL d'ordre $2$ n'implique pas l'existence de $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)$. Exemple : $f(x)=x^3\sin \frac{1}{x}$ ($f(0)=0$) vérifie $f(x)=o(x^2)$, donc $f(x)=0+0x+0x^2+o(x^2)$, mais $f^{\mathrm{\prime }}$ n'est pas dérivable en $0$.
6. Forme normalisée et équivalent : si $f(x)=a_p{x}^p+\cdots +a_n{x}^n+o(x^n)$ avec $a_p\mathrm{\ne }0$ ($p\le n$), alors Le premier terme non nul d'un DL donne un équivalent, donc le signe de $f$ près de $0$.

Théorème (Taylor-Young). Hypothèses : $n\in \mathbb{N}$ ; $f$ est de classe $C^n$ sur l'intervalle $I$ ; $a\in I$. Conclusion : En particulier, une fonction de classe $C^n$ au voisinage de $a$ admet un DL${}_n(a)$, dont les coefficients sont $a_k={\displaystyle \frac{f^{(k)}(a)}{k!}}$. (Il suffit en fait que $f^{(n)}(a)$ existe.)

Lien avec Taylor-Lagrange (fiche « Dérivabilité » §11). Taylor-Lagrange est une formule globale (valable sur tout un segment, avec un reste explicite qu'on peut majorer) ; Taylor-Young est locale (elle dit seulement que le reste est négligeable quand $x\to a$). Pour une inégalité valable sur un intervalle, on prend Lagrange ; pour une limite, un équivalent ou une position locale, on prend Young.

Idée de preuve si $f$ est de classe $C^{n+1}$ : par l'inégalité de Taylor-Lagrange sur un segment $[a-\eta ,a+\eta ]\cap I$ où $\mid f^{(n+1)}\mid \le M$, le reste est majoré par $M\frac{\mid x-a{\mid }^{n+1}}{(n+1)!}$, qui est un $o((x-a{)}^n)$. Le cas $C^n$ se démontre par récurrence sur $n$ en intégrant le DL de $f^{\mathrm{\prime }}$ (§8).

Usage inverse (très fréquent en devoir). Si $f$ est de classe $C^n$ et si l'on connaît son DL${}_n(a)$ par un autre moyen, l'unicité donne les dérivées : $f^{(k)}(a)=k!a_k$. Exemple : $\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^4)$ donne ${\arctan }^{(3)}(0)=3!\cdot (-\frac{1}{3})=-2$ et ${\arctan }^{(4)}(0)=0$.

À savoir par cœur, avec le bon reste.

Remarques. Les DL de $\cos$, $\mathrm{ch}$ (paires) et $\sin$, $\mathrm{sh}$, $\arctan$, $\tan$ (impaires) gagnent un ordre gratuitement : le terme suivant est nul. $e^x$, $\cos$, $\sin$, $\mathrm{ch}$, $\mathrm{sh}$, $(1+x{)}^{\alpha }$ viennent de Taylor-Young ; $\ln (1+x)$ et $\arctan$ s'obtiennent par intégration de $\frac{1}{1+x}$ et $\frac{1}{1+x^2}$ ; $\arcsin$ par intégration de $(1-x^2{)}^{-1\mathrm{/}2}$ ; $\tan$ par quotient ou par ${\tan }^{\mathrm{\prime }}=1+{\tan }^2$.

Dans ce paragraphe, $f$ et $g$ admettent des DL${}_n(0)$ de parties régulières $P$ et $Q$.

Somme et produit. $f+g$ admet le DL${}_n$ de partie régulière $P+Q$ ; $fg$ admet le DL${}_n$ dont la partie régulière est $PQ$ tronqué au degré $n$ (on ne calcule pas les termes de degré $>n$). Astuce d'ordre : si $f(x)=x^p(\dots )$ commence au degré $p\ge 1$, il suffit de développer $g$ jusqu'au degré $n-p$ pour obtenir $fg$ jusqu'au degré $n$.

Composée. Hypothèses : $u$ admet un DL${}_n(0)$ et $u(x)\to 0$ quand $x\to 0$ (partie régulière $U$ sans terme constant) ; $f$ admet un DL${}_n(0)$ de partie régulière $P$. Conclusion : $f\circ u$ admet un DL${}_n(0)$ dont la partie régulière est $P\circ U$ tronqué au degré $n$. Si $u(0)=b\mathrm{\ne }0$, on se ramène à un DL de $f$ en $b$ : $f(u(x))=f(b+(u(x)-b))$. Exemple : $e^{\cos x}=e\cdot e^{\cos x-1}$ avec $\cos x-1=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^5)$, d'où $e^{\cos x}=e(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{6})+o(x^5)$.

Quotient. Si $g(0)\mathrm{\ne }0$, on écrit ${\displaystyle \frac{f}{g}}={\displaystyle \frac{f}{g(0)}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{1+v}}$ avec $v=\frac{g}{g(0)}-1\to 0$, puis on compose avec $\frac{1}{1+v}=1-v+v^2-\dots$. Si $g(0)=0$, on factorise la plus grande puissance de $x$ au numérateur et au dénominateur ; le quotient peut alors perdre des ordres, d'où la nécessité de partir d'ordres plus élevés. Exemple : ${\displaystyle \frac{x}{\sin x}}={\displaystyle \frac{1}{1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^4)}}=1+{\displaystyle \frac{x^2}{6}}+{\displaystyle \frac{7x^4}{360}}+o(x^4)$.

Intégration (primitivation). Hypothèses : $f$ est continue sur $I\ni 0$ et $f(x)={\sum }_{k=0}^n{a}_k{x}^k+o(x^n)$ ; $F$ désigne une primitive quelconque de $f$ sur $I$. Conclusion : . Ne jamais oublier la constante $F(0)$. Exemples : $\ln (1+x)$ à partir de $\frac{1}{1+x}$ ; $\arctan$ à partir de $\frac{1}{1+x^2}$ ; $\mathrm{argsh}x=\ln (x+\sqrt{1+x^2})=x-\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+o(x^6)$ à partir de $(1+x^2{)}^{-1\mathrm{/}2}$. Pour une fonction définie par une intégrale ${\int }_{u(x)}^{v(x)}\phi (t)dt$, on écrit $\mathrm{\Phi }(v(x))-\mathrm{\Phi }(u(x))$ avec $\mathrm{\Phi }$ une primitive.

Dérivation : attention. Le DL de $f$ ne donne pas automatiquement celui de $f^{\mathrm{\prime }}$. En revanche, si l'on sait que $f^{\mathrm{\prime }}$ admet un DL${}_{n-1}(0)$ (par exemple $f$ de classe $C^n$), alors sa partie régulière est la dérivée de celle de $f$ (conséquence de l'intégration et de l'unicité).

Méthode pour choisir les ordres. On cherche le DL de $f$ d'ordre $n$ : on écrit chaque morceau avec un reste $o(x^n)$ en tenant compte des facteurs $x^p$ qui « décalent » les ordres. En cas de doute, on prend un ordre de plus et on tronque à la fin.

En $a$ réel. On pose $x=a+h$ et on développe $h\mapsto f(a+h)$ en $0$. Exemple : $\sqrt{x}=\sqrt{4+h}=2\sqrt{1+\frac{h}{4}}=2+\frac{h}{4}-\frac{h^2}{64}+o(h^2)$, soit .

En $\pm \mathrm{\infty }$. On pose $t=\frac{1}{x}$ ($t\to 0^{\pm }$) et on cherche un développement de la forme Exemple incontournable des devoirs tunisiens : pour $x>0$, $\arctan x=\frac{\pi }{2}-\arctan \frac{1}{x}$, donc (et $\arctan x=-\frac{\pi }{2}-\arctan \frac{1}{x}$ pour $x<0$, d'où le développement en $-\mathrm{\infty }$).

10.1 Limites et équivalents

Pour une forme indéterminée, on développe numérateur et dénominateur jusqu'au premier terme non nul : il donne un équivalent de chacun. Exemple : $$\frac{e^x-1-\sin x-\frac{x^2}{2}}{x^3}=\frac{(x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6})-(x-\frac{x^3}{6})-\frac{x^2}{2}+o(x^3)}{x^3}=\frac{1}{3}+o(1)\underset{x\to 0}{⟶}\frac{1}{3}\mathrm{.}$$ Pour $f^g$ : passer à $e^{g\ln f}$, développer $g\ln f$, puis composer avec l'exponentielle (si $g\ln f\to L$, la limite est $e^L$). Pour une suite $u_n=\phi \left(\frac{1}{n}\right)$ : on utilise le DL de $\phi$ en $0$ avec $x=\frac{1}{n}$.

10.2 Prolongement, dérivabilité, classe $C^1$

• DL${}_0$ ⇒ prolongement par continuité ($f(0):=a_0$).
• DL${}_1$ ⇒ le prolongement est dérivable en $0$ avec $f^{\mathrm{\prime }}(0)=a_1$.
• Classe $C^1$ : calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ pour $x\mathrm{\ne }0$, puis montrer $f^{\mathrm{\prime }}(x)\to a_1$ par un DL (ou utiliser le théorème de la limite de la dérivée, fiche « Dérivabilité » §9).

10.3 Tangente et position locale

Si avec $p\ge 2$ et $a_p\mathrm{\ne }0$ :

• la tangente en $a$ a pour équation $T:y=a_0+a_1(x-a)$ ;
• $f(x)-(a_0+a_1(x-a))\sim a_p(x-a{)}^p$ a le signe de $a_p(x-a{)}^p$ au voisinage de $a$ :
  • $p$ pair : la courbe reste du même côté de $T$ (au-dessus si $a_p>0$, en dessous si $a_p<0$) ;
  • $p$ impair : la courbe traverse sa tangente : on a un point d'inflexion.
• Si $a_1=0$ : $p$ pair donne un extremum local (minimum si $a_p>0$), $p$ impair un point d'inflexion à tangente horizontale.

Pour comparer les graphes de deux fonctions $f$ et $g$, même méthode : DL de $f-g$ et signe du premier terme non nul. Discussion selon un paramètre : le coefficient du premier terme non nul dépend du paramètre ; on traite à part les valeurs qui l'annulent et l'on va chercher le terme suivant.

10.4 Asymptote et position à l'infini

Si l'on obtient alors la droite $\mathrm{\Delta }:y=\alpha x+\beta$ est asymptote à la courbe en $+\mathrm{\infty }$ et $f(x)-(\alpha x+\beta )\sim \frac{\gamma }{x^k}$ : la courbe est au-dessus de $\mathrm{\Delta }$ si $\gamma >0$, en dessous si $\gamma <0$ (en $-\mathrm{\infty }$, tenir compte du signe de $x^k$). Méthode : factoriser par $x$, poser $t=\frac{1}{x}$, développer $\frac{f(x)}{x}=\alpha +\beta t+\gamma t^{k+1}+o(t^{k+1})$, puis multiplier par $x$. Exemple : $\sqrt[3]{x^3+3x^2}=x{(1+\frac{3}{x})}^{1\mathrm{/}3}=x+1-\frac{1}{x}+o\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{x}\right)$ : asymptote $y=x+1$, courbe en dessous en $+\mathrm{\infty }$, au-dessus en $-\mathrm{\infty }$.

10.5 DL d'une fonction réciproque

Lorsque $f$, bijective et de classe $C^n$, vérifie $f(0)=0$ et $f^{\mathrm{\prime }}(0)\mathrm{\ne }0$, sa réciproque $g=f^{-1}$ est de classe $C^n$ au voisinage de $0$ (fiche « Dérivabilité » §2), donc admet un DL${}_n(0)$ par Taylor-Young. On écrit $g(y)=b_{1}y+b_2{y}^2+\cdots +o(y^n)$ (avec $b_0=g(0)=0$), on compose $f(g(y))=y$ et on identifie les coefficients (unicité du DL). Exemple : pour $f(x)=x{e}^x$, on trouve $g(y)=y-y^2+\frac{3}{2}{y}^3+o(y^3)$.

Un développement asymptotique généralise le DL : on écrit $f$ comme une somme de termes de plus en plus négligeables les uns devant les autres, pris dans une échelle de comparaison qui peut contenir $\ln x$, $e^x$, $x^{\alpha }$ avec $\alpha$ négatif ou non entier… Exemples :

Suites définies implicitement (sujet de devoir classique). Pour une suite $(x_n)$ solution d'une équation $f_n(x)=0$ :

1. justifier l'existence et l'unicité de $x_n$ (fiche « Suites » §10) ;
2. trouver la limite ou un premier équivalent en encadrant $x_n$ ;
3. poser $x_n=\mathrm{\ell }+{\epsilon }_n$ (ou $x_n=a_n(1+{\epsilon }_n)$), réinjecter dans l'équation et développer pour obtenir ${\epsilon }_n$ à la précision suivante ; recommencer si nécessaire. À chaque étape on obtient un terme de plus, avec un reste en $o(\cdot )$ précis.

Suites récurrentes $u_{n+1}=f(u_n)$ de limite $0$. Si $f(x)=x-a{x}^p+o(x^p)$, on cherche $\beta$ tel que $u_{n+1}^{\beta }-u_n^{\beta }$ ait une limite non nulle (DL de $f(x{)}^{\beta }-x^{\beta }$), puis on conclut avec le lemme de Cesàro (fiche « Suites » §11). Exemple : si $u_{n+1}=\ln (1+u_n)$ avec $u_0>0$, alors $\frac{1}{u_{n+1}}-\frac{1}{u_n}\to \frac{1}{2}$, donc $u_n\sim \frac{2}{n}$.

Trouver un équivalent simple

1. Repérer les morceaux qui tendent vers $0$ et utiliser les équivalents usuels dans des produits ou quotients.
2. En présence d'une somme ou d'une différence de termes du même ordre : passer aux DL et pousser jusqu'au premier terme qui ne se simplifie pas.
3. Pour une puissance $f^g$ : $e^{g\ln f}$. Pour $\ln f$ : factoriser le terme dominant de $f$ ($\ln (x^2+x)=2\ln x+\ln (1+\frac{1}{x})$).

Calculer un DL d'ordre $n$

1. Se ramener en $0$ (translation $x=a+h$, ou $t=\frac{1}{x}$ à l'infini).
2. Décomposer en somme, produit, composée, quotient de fonctions usuelles.
3. Choisir les ordres intermédiaires (attention aux facteurs $x^p$ et aux quotients par $x^p$).
4. Ne garder que les termes de degré $\le n$ ; vérifier la parité si la fonction est paire ou impaire.

Étudier la position par rapport à la tangente ou à une asymptote

DL jusqu'au premier terme non nul après la partie affine, puis signe de ce terme. Si l'énoncé contient un paramètre, factoriser le coefficient et discuter selon son signe ; pour la valeur qui l'annule, pousser le DL d'un cran.

Obtenir un DL que les opérations ne donnent pas

• Fonction réciproque : coefficients indéterminés et identification (§10.5).
• Fonction solution d'une équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }}=\phi (x,y)$ : écrire le DL inconnu, le dériver (la fonction est $C^{\mathrm{\infty }}$), reporter dans l'équation, identifier.
• Fonction définie par une intégrale : primitiver le DL de l'intégrande (§8).

1. Additionner des équivalents : de $\sin x\sim x$ et $\tan x\sim x$, conclure « $\tan x-\sin x\sim 0$ ». En réalité $\tan x-\sin x\sim \frac{x^3}{2}$, ce que seul un DL d'ordre $3$ montre.
2. Composer à gauche un équivalent : « $f\sim g$ donc $e^f\sim e^g$ » ou « donc $\ln f\sim \ln g$ » sans vérifier la condition.
3. Écrire $f\sim 0$ ou « $f\sim$ un polynôme à plusieurs termes » comme résultat : un équivalent simple est un seul terme.
4. Oublier le reste ou en écrire un faux : « $\cos x=1-\frac{x^2}{2}$ » sans $o(\cdot )$ est une erreur ; « $\sin x=x+o(x)$ » est juste mais inutilisable si la suite du calcul demande le terme en $x^3$.
5. Ordre insuffisant dans un quotient ou un produit par $\frac{1}{x^p}$ : on perd $p$ ordres. Vérifier à la fin que le reste est bien $o(x^n)$.
6. Composer sans vérifier $u(x)\to 0$ : $e^{\cos x}$ ne se développe pas en remplaçant $u$ par $\cos x$ dans $e^u=1+u+\dots$.
7. Oublier la constante en intégrant un DL : $\arcsin x=\arcsin 0+\dots$, $F(x)=F(0)+\dots$
8. Dériver un DL sans savoir que la dérivée en admet un.
9. Position en $-\mathrm{\infty }$ : le signe de $\frac{\gamma }{x^k}$ dépend de la parité de $k$ quand $x<0$.
10. Confondre « $f$ admet un DL${}_2(0)$ » et « $f$ est deux fois dérivable en $0$ » (contre-exemple §5).
11. Mélanger les points : écrire un DL « en $1$ » avec des puissances de $x$ au lieu de $(x-1)$.

• Les énoncés parlent d'un DL « à l'ordre $n$ », pris « au voisinage » d'un point ($0$, $1$, $+\mathrm{\infty }$…) ; on dit aussi DL d'ordre $n$ en $0$. Vocabulaire : « partie régulière » ou « partie principale » du DL ; reste noté $o(x^n)$ ou $x^n\epsilon (x)$ avec $\underset{x\to 0}{\lim }\epsilon (x)=0$.
• Notations des relations : , , ; « trouver un équivalent simple de… ».
• $\mathrm{Arctg}$ et $\mathrm{tg}$ dans certains énoncés à la place de $\arctan$ et $\tan$ ; $\mathrm{ch}$, $\mathrm{sh}$, $\mathrm{th}$ ; $\ln$.
• Formules d'énoncé : « Étudier la branche infinie de ${𝒞}_f$ au voisinage de $+\mathrm{\infty }$ » (asymptote et position), « Discuter suivant les valeurs du paramètre réel $\lambda$ la position de ${𝒞}_f$ par rapport à… », « Justifier l'existence d'un DL de $f$ en $0$, puis l'écrire », « On donne : $\arctan x+\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}$ pour $x>0$ ».
• Le devoir de contrôle de février dure 1 h 30 (MP1) ou 1 h (PC1), sans document ni calculatrice, barème affiché (« Exercice (8 pts) », « Problème (12 pts) ») ; il mêle souvent ce chapitre à « Dérivabilité » (Taylor-Lagrange, Leibniz, convexité).
• Abréviations « DL », « cv » : acceptées dans les cours, à éviter dans une copie (écrire « développement limité » au moins la première fois).