On appelle matrice de type $(n,p)$ sur $𝕂$ (ou matrice $n\times p$) une famille de $np$ scalaires $A=(a_{ij}{)}_{1\le i\le n,1\le j\le p}$ pris dans $𝕂$, rangée en tableau : $a_{ij}$ est le coefficient placé à la ligne $i$ et à la colonne $j$ (toujours la ligne d'abord). Leur ensemble est noté ${ℳ}_{n,p}(𝕂)$.

• Deux matrices sont égales si elles ont le même type et les mêmes coefficients, place par place.
• Dans une matrice carrée, les $a_{ii}$ forment la diagonale (principale).
• Symbole de Kronecker : ${\delta }_{ij}=1$ si $i=j$ et ${\delta }_{ij}=0$ sinon ; ainsi $I_n=({\delta }_{ij})$.
• Matrices élémentaires : $E_{ij}\in {ℳ}_{n,p}(𝕂)$ a un seul coefficient non nul, égal à $1$, en position $(i,j)$. Toute matrice s'écrit $A={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^p{a}_{ij}{E}_{ij}$, et ce de façon unique.

Somme et produit par un scalaire (même type) : $A+B=(a_{ij}+b_{ij})$ et $\lambda A=(\lambda a_{ij})$. $({ℳ}_{n,p}(𝕂),+)$ est un groupe commutatif de neutre $0_{n,p}$, l'opposé de $A$ étant $-A=(-a_{ij})$ ; on a de plus $\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$, $(\lambda +\mu )A=\lambda A+\mu A$, $\lambda (\mu A)=(\lambda \mu )A$, $1\cdot A=A$.

Produit matriciel. Il n'est défini que si le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$ : pour $A\in {ℳ}_{n,p}(𝕂)$ et $B\in {ℳ}_{p,q}(𝕂)$, $AB=C\in {ℳ}_{n,q}(𝕂)$ avec $$c_{ij}=\sum _{k=1}^p{a}_{ik}{b}_{kj}(1\le i\le n,1\le j\le q)\mathrm{.}$$ Le coefficient $c_{ij}$ se lit « ligne $i$ de $A$ contre colonne $j$ de $B$ ». Règle des types : $(n,p)\times (p,q)\to (n,q)$.

Propriétés (dès que les produits ont un sens) :

• associativité $(AB)C=A(BC)$ (preuve : les deux coefficients valent ${\sum }_k{\sum }_l{a}_{ik}{b}_{kl}{c}_{lj}$) ;
• distributivité $A(B+C)=AB+AC$ et $(A+B)C=AC+BC$ ; $\lambda (AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)$ ;
• neutres : $I_{n}A=A$ et $A{I}_p=A$ pour $A\in {ℳ}_{n,p}(𝕂)$.

Ce qui ne marche pas comme dans $𝕂$.

• Pas de commutativité : $AB$ peut exister sans $BA$ ; et même pour des matrices carrées, $AB\mathrm{\ne }BA$ en général.
• Diviseurs de zéro : $AB=0$ n'entraîne pas $A=0$ ou $B=0$. Exemple : $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& -4\\ -1& 2\end{array}\right)=0_2$.
• Pas de simplification : $AB=AC$ avec $A\mathrm{\ne }0$ n'entraîne pas $B=C$ (sauf si $A$ est inversible).

Lectures utiles du produit.

• Pour $X\in {ℳ}_{p,1}(𝕂)$ de coefficients $x_1,\dots ,x_p$, $AX=x_1{C}_1+\cdots +x_p{C}_p$, où $C_j$ est la $j$-ième colonne de $A$. En particulier $A{E}_j=C_j$ si $E_j$ est la colonne qui a un $1$ en ligne $j$ et des $0$ ailleurs.
• La $j$-ième colonne de $AB$ est $A$ fois la $j$-ième colonne de $B$ ; la $i$-ième ligne de $AB$ est la $i$-ième ligne de $A$ fois $B$.
• Produit de matrices élémentaires (carrées) : $E_{ij}{E}_{kl}={\delta }_{jk}{E}_{il}$.
• Pour $A\in {ℳ}_n(𝕂)$ : $A{E}_{ij}$ a pour seule colonne non nulle la colonne $j$, égale à la colonne $i$ de $A$ ; $E_{ij}A$ a pour seule ligne non nulle la ligne $i$, égale à la ligne $j$ de $A$.

Théorème. $({ℳ}_n(𝕂),+,\times )$ est un anneau (au sens de la fiche « Structures algébriques », § Anneaux), de zéro $0_n$ et d'unité $I_n$. Pour $n\ge 2$, il est non commutatif et non intègre : $E_{12}{E}_{11}=0_n$ alors que $E_{11}{E}_{12}=E_{12}\mathrm{\ne }{0}_n$.

Conséquences directes des règles de calcul dans un anneau :

• $0_{n}A=A{0}_n=0_n$ ; $(-A)B=A(-B)=-(AB)$ ;
• $(A+B{)}^2=A^2+AB+BA+B^2$ : on ne peut écrire $A^2+2AB+B^2$ que si $AB=BA$ ;
• $(AB{)}^k\mathrm{\ne }{A}^k{B}^k$ en général.

Matrices scalaires : les $\lambda I_n$, $\lambda \in 𝕂$. Elles commutent avec toutes les matrices : $(\lambda I_n)A=A(\lambda I_n)=\lambda A$. Réciproquement (résultat classique, à savoir redémontrer avec les $E_{ij}$) : une matrice qui commute avec toutes les matrices de ${ℳ}_n(𝕂)$ est scalaire.

Commutant. Pour $A\in {ℳ}_n(𝕂)$, $𝒞(A)=\{X\in {ℳ}_n(𝕂),AX=XA\}$ est un sous-anneau de ${ℳ}_n(𝕂)$ (il contient $I_n$, il est stable par différence et par produit). Il contient toujours les $\lambda I_n+\mu A+\nu A^2+\cdots$.

Pour $A=(a_{ij})\in {ℳ}_n(𝕂)$ :

• $A$ est diagonale si $a_{ij}=0$ pour $i\mathrm{\ne }j$ ; on note $A=\mathrm{diag}(a_{11},\dots ,a_{nn})$ ;
• $A$ est triangulaire supérieure si $a_{ij}=0$ pour $i>j$ (zéros sous la diagonale) ;
• $A$ est triangulaire inférieure si $a_{ij}=0$ pour $i<j$ ;
• strictement triangulaire : triangulaire avec, en plus, une diagonale nulle.

Notations courantes : ${𝒟}_n(𝕂)$ (diagonales), ${𝒯}_n^{+}(𝕂)$ ou ${𝒯}_n(𝕂)$ (triangulaires supérieures), ${𝒯}_n^{-}(𝕂)$ (inférieures). Les diagonales sont exactement les matrices à la fois triangulaires supérieures et triangulaires inférieures.

Calculs.

• $\mathrm{diag}(a_1,\dots ,a_n)\mathrm{diag}(b_1,\dots ,b_n)=\mathrm{diag}(a_1{b}_1,\dots ,a_n{b}_n)$ ; d'où $\mathrm{diag}(a_1,\dots ,a_n{)}^k=\mathrm{diag}(a_1^k,\dots ,a_n^k)$ et deux matrices diagonales commutent.
• Multiplier à gauche par $D=\mathrm{diag}(d_1,\dots ,d_n)$ multiplie la ligne $i$ par $d_i$ ; à droite, la colonne $j$ par $d_j$.

Théorème (stabilité). Hypothèses : $A,B\in {𝒯}_n^{+}(𝕂)$, $\lambda \in 𝕂$. Conclusion : $A+\lambda B$ et $AB$ sont triangulaires supérieures, et la diagonale de $AB$ est $(a_{11}{b}_{11},\dots ,a_{nn}{b}_{nn})$. Preuve du produit : pour $i>j$, dans ${\sum }_k{a}_{ik}{b}_{kj}$, on a $a_{ik}=0$ si $k<i$ et $b_{kj}=0$ si $k>j$ ; comme $j<i$, tout $k$ vérifie $k<i$ ou $k>j$, donc chaque terme est nul. Pour $i=j$, seul $k=i$ reste. Conséquence : ${𝒯}_n^{+}(𝕂)$, ${𝒯}_n^{-}(𝕂)$ et ${𝒟}_n(𝕂)$ sont des sous-anneaux de ${ℳ}_n(𝕂)$.

Strictement triangulaires. Si $N$ est strictement triangulaire supérieure d'ordre $n$, les coefficients non nuls de $N^k$ sont tous dans la zone $j\ge i+k$ (récurrence sur $k$) ; donc $N^n=0_n$. Exemple, avec $n=3$ : $N=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$, $N^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$, $N^3=0_3$ : la « diagonale de $1$ » monte d'un cran à chaque puissance.

La transposée de $A=(a_{ij})\in {ℳ}_{n,p}(𝕂)$ est ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A=(a_{ji})\in {ℳ}_{p,n}(𝕂)$ : les lignes de $A$ deviennent les colonnes de ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A$.

Preuve de ${}^t(AB)={}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}B{}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A$ : le coefficient $(i,j)$ de ${}^t(AB)$ est celui d'indice $(j,i)$ de $AB$, soit ${\sum }_k{a}_{jk}{b}_{ki}$ ; celui de ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}B{}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A$ est ${\sum }_k{b}_{ki}{a}_{jk}$ : c'est la même somme.

La transposée d'une triangulaire supérieure est triangulaire inférieure. Pour une colonne $X$ de coefficients réels $x_1,\dots ,x_n$ : ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}XX=x_1^2+\cdots +x_n^2$ (matrice $1\times 1$, identifiée à un réel), nul seulement si $X=0$.

$A\in {ℳ}_n(𝕂)$ est symétrique si ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A=A$ ($a_{ji}=a_{ij}$), antisymétrique si ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A=-A$ ($a_{ji}=-a_{ij}$). Notations : ${𝒮}_n(𝕂)$ et ${𝒜}_n(𝕂)$ (à ne pas confondre avec le groupe alterné $A_n$ du chapitre précédent).

• Une matrice antisymétrique a une diagonale nulle : $a_{ii}=-a_{ii}$ donne $a_{ii}=0$.
• ${𝒮}_n(𝕂)\cap {𝒜}_n(𝕂)=\{0_n\}$ ; ces deux ensembles sont stables par somme et par produit par un scalaire.
• Décomposition : toute $A\in {ℳ}_n(𝕂)$ s'écrit de façon unique $A=S+T$ avec $S$ symétrique et $T$ antisymétrique : $$S=\frac{A+{}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A}{2},T=\frac{A-{}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A}{2}\mathrm{.}$$ (Existence : vérifier. Unicité : si $S+T=S^{\mathrm{\prime }}+T^{\mathrm{\prime }}$, alors $S-S^{\mathrm{\prime }}=T^{\mathrm{\prime }}-T$ est symétrique et antisymétrique, donc nulle.)
• Pour toute $A\in {ℳ}_{n,p}(𝕂)$, ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}AA$ et $A{}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A$ sont symétriques.
• Le produit de deux symétriques $S,S^{\mathrm{\prime }}$ est symétrique si et seulement si $S{S}^{\mathrm{\prime }}=S^{\mathrm{\prime }}S$ (car ${}^t(S{S}^{\mathrm{\prime }})=S^{\mathrm{\prime }}S$).

Statut. Présente dans les devoirs de 1re année MP (souvent avec la définition rappelée dans l'énoncé).

La trace de $A\in {ℳ}_n(𝕂)$ est la somme de ses coefficients diagonaux : $\mathrm{tr}(A)={\sum }_{i=1}^n{a}_{ii}$.

• Linéarité : $\mathrm{tr}(A+\lambda B)=\mathrm{tr}(A)+\lambda \mathrm{tr}(B)$ ; $\mathrm{tr}({}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A)=\mathrm{tr}(A)$ ; $\mathrm{tr}(I_n)=n$.
• Théorème. Hypothèses : $A\in {ℳ}_{n,p}(𝕂)$, $B\in {ℳ}_{p,n}(𝕂)$. Conclusion : $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$. Preuve : $\mathrm{tr}(AB)={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{k=1}^p{a}_{ik}{b}_{ki}$ et $\mathrm{tr}(BA)={\sum }_{k=1}^p{\sum }_{i=1}^n{b}_{ki}{a}_{ik}$ : on échange les deux sommes finies.
• Attention : $\mathrm{tr}(AB)\mathrm{\ne }\mathrm{tr}(A)\mathrm{tr}(B)$ en général, et $\mathrm{tr}(ABC)$ n'est pas égal à $\mathrm{tr}(BAC)$ en général (on peut seulement faire tourner : $\mathrm{tr}(ABC)=\mathrm{tr}(BCA)=\mathrm{tr}(CAB)$).
• Conséquences classiques.
  • Si $P$ est inversible : $\mathrm{tr}(P^{-1}AP)=\mathrm{tr}(AP{P}^{-1})=\mathrm{tr}(A)$.
  • Il n'existe pas de $A,B\in {ℳ}_n(𝕂)$ avec $AB-BA=I_n$ : la trace du membre de gauche est $0$, celle de droite $n\mathrm{\ne }0$.
  • Pour $A$ réelle : $\mathrm{tr}({}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}AA)={\sum }_{i,j}{a}_{ij}^2$, donc $\mathrm{tr}({}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}AA)=0⟺A=0$.
  • Une matrice antisymétrique est de trace nulle (réciproque fausse : $\mathrm{diag}(1,-1)$).

Pour $A\in {ℳ}_n(𝕂)$ : $A^0=I_n$ et $A^{k+1}=A^{k}A$. On a $A^k{A}^m=A^{k+m}$ et $(A^k{)}^m=A^{km}$ ; deux puissances de $A$ commutent. Si $A$ est inversible, on pose $A^{-k}=(A^{-1}{)}^k$ et ces règles restent vraies pour $k,m\in \mathbb{Z}$.

Binôme de Newton. Hypothèses : $A,B\in {ℳ}_n(𝕂)$ et $AB=BA$. Conclusion : pour tout $m\in \mathbb{N}$, $$(A+B{)}^m=\sum _{k=0}^m\left(\genfrac{}{}{0px}{}{m}{k}\right)A^k{B}^{m-k},A^m-B^m=(A-B)\sum _{k=0}^{m-1}{A}^k{B}^{m-1-k}\mathrm{.}$$ Sans l'hypothèse de commutation, ces formules sont fausses (déjà pour $m=2$). Les cas sûrs : $B=\lambda I_n$, ou $B$ puissance de $A$.

Matrices nilpotentes. $N$ est nilpotente s'il existe $r\ge 1$ avec $N^r=0_n$ ; le plus petit tel $r$ est l'indice de nilpotence. Exemples : toute strictement triangulaire (§ 4) ; $\left(\begin{array}{cc}2& -4\\ 1& -2\end{array}\right)$ (son carré est nul).

• Si $N^r=0_n$, alors $I_n-N$ est inversible et $(I_n-N{)}^{-1}=I_n+N+N^2+\cdots +N^{r-1}$ (on vérifie $(I_n-N)(I_n+\cdots +N^{r-1})=I_n-N^r=I_n$, et le produit dans l'autre sens donne la même chose).
• Une nilpotente n'est jamais inversible : si $N^r=0$ et $N$ inversible, alors $0_n=N^{-r}{N}^r=I_n$, absurde.

Méthodes pour calculer $A^m$ (on choisit selon la forme de $A$) :

1. Calcul des premières puissances et récurrence : calculer $A^2$, $A^3$, conjecturer, démontrer par récurrence.
2. $A=\lambda I_n+N$ avec $N$ nilpotente : $\lambda I_n$ et $N$ commutent, le binôme s'arrête au rang $r-1$ : $$A^m=\sum _{k=0}^{r-1}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{m}{k}\right){\lambda }^{m-k}{N}^k(\text{avec }\left(\genfrac{}{}{0px}{}{m}{k}\right)=0\text{ si }k>m)\mathrm{.}$$
3. Relation polynomiale (« polynôme annulateur ») : si $A^2=\alpha A+\beta I_n$, on montre par récurrence que $A^m=a_{m}A+b_m{I}_n$ avec $a_{m+1}=\alpha a_m+b_m$, $b_{m+1}=\beta a_m$ ; on résout ces suites (souvent une suite arithmético-géométrique apparaît).
4. $A=PB{P}^{-1}$ avec $B$ diagonale ou triangulaire simple : $A^m=P{B}^m{P}^{-1}$ (les $P^{-1}P$ intermédiaires se simplifient). On dit que $A$ et $B$ sont semblables ; elles ont alors la même trace.
5. Matrice dont tous les coefficients valent $1$ : si $J\in {ℳ}_n(𝕂)$ est cette matrice, $J^2=nJ$, d'où $J^m=n^{m-1}J$ pour $m\ge 1$.

$A\in {ℳ}_n(𝕂)$ est inversible s'il existe $B\in {ℳ}_n(𝕂)$ telle que $AB=BA=I_n$ ; $B$ est unique, c'est l'inverse $A^{-1}$. L'ensemble des inversibles, noté $G{L}_n(𝕂)$ (« groupe linéaire »), est le groupe des inversibles de l'anneau ${ℳ}_n(𝕂)$ (fiche « Structures algébriques », § Anneaux) : c'est un groupe pour $\times$, non commutatif si $n\ge 2$.

Règles.

• $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$ (ordre inversé) ; $(A^{-1}{)}^{-1}=A$ ; $(\lambda A{)}^{-1}={\lambda }^{-1}{A}^{-1}$ pour $\lambda \mathrm{\ne }0$ ; $({}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A{)}^{-1}={}^t(A^{-1})$.
• $G{L}_n(𝕂)$ n'est pas stable par somme : $I_n$ et $-I_n$ sont inversibles, pas leur somme.
• Simplification : si $A$ est inversible, $AB=AC\Rightarrow B=C$ et $AX=Y⟺X=A^{-1}Y$.

Théorème admis à ce stade. Pour des matrices carrées, $AB=I_n$ suffit : on a alors aussi $BA=I_n$, donc $A$ est inversible et $A^{-1}=B$. (Démontré au chapitre « Matrices et applications linéaires ». Dans les exercices de ce chapitre, on n'en a souvent pas besoin : si $B$ est une expression en $A$, comme $\frac{1}{3}(4I_n-A)$, elle commute avec $A$ et les deux produits sont égaux.)

Critères de non-inversibilité (preuves en une ligne) :

• s'il existe une colonne $X\mathrm{\ne }0$ avec $AX=0$, $A$ n'est pas inversible (sinon $X=A^{-1}AX=0$) ;
• une matrice ayant une ligne nulle ou une colonne nulle n'est pas inversible ;
• un diviseur de zéro ($AB=0_n$ avec $B\mathrm{\ne }{0}_n$) n'est pas inversible ; une nilpotente non plus.

Diagonales et triangulaires.

• $\mathrm{diag}(d_1,\dots ,d_n)$ est inversible si et seulement si tous les $d_i$ sont non nuls, et son inverse est $\mathrm{diag}(d_1^{-1},\dots ,d_n^{-1})$.
• Une triangulaire supérieure est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous non nuls ; son inverse est alors triangulaire supérieure, de diagonale $(a_{11}^{-1},\dots ,a_{nn}^{-1})$. (On le voit en résolvant $AX=Y$ en remontant, § 10.)

Cas $n=2$. Pour $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$, posons $\delta (A)=ad-bc$ et $\tilde{A}=\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$. Un calcul direct donne $A\tilde{A}=\tilde{A}A=\delta (A)I_2$. Donc :

• si $ad-bc\mathrm{\ne }0$, $A$ est inversible et $A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{ad-bc}}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$ ;
• si $ad-bc=0$, $A$ n'est pas inversible ($A=0_2$, ou bien $\tilde{A}\mathrm{\ne }{0}_2$ et $A\tilde{A}=0_2$). On a aussi la relation $A^2-\mathrm{tr}(A)A+(ad-bc)I_2=0_2$, très utile pour les puissances. Le nombre $ad-bc$ est le déterminant de $A$ ; le déterminant d'une matrice carrée quelconque est étudié dans un chapitre ultérieur.

Un système de $n$ équations à $p$ inconnues s'écrit $AX=Y$, avec $A\in {ℳ}_{n,p}(𝕂)$ (coefficients), $X\in {ℳ}_{p,1}(𝕂)$ (inconnues) et $Y\in {ℳ}_{n,1}(𝕂)$ (second membre). Si $A$ est carrée inversible, la solution est unique : $X=A^{-1}Y$.

Méthode 1 : résoudre $AX=Y$ pour un second membre quelconque. On résout le système en gardant $y_1,\dots ,y_n$ comme paramètres. Si l'on obtient une solution unique $X=BY$ pour tout $Y$, alors $A$ est inversible et $A^{-1}=B$. Très rapide pour une matrice triangulaire : on remonte depuis la dernière équation.

Méthode 2 : pivot de Gauss (Gauss-Jordan). Opérations élémentaires sur les lignes :

• échange $L_i\leftrightarrow L_j$ ;
• dilatation $L_i\leftarrow \lambda L_i$ avec $\lambda \mathrm{\ne }0$ ;
• transvection $L_i\leftarrow L_i+\mu L_j$ avec $j\mathrm{\ne }i$.

Chaque opération revient à multiplier à gauche par une matrice inversible (obtenue en faisant la même opération sur $I_n$). On écrit côte à côte $A$ et $I_n$, et on fait les mêmes opérations sur les deux : $$(A\mid I_n)⟶\cdots ⟶(I_n\mid B)\mathrm{.}$$ Si l'on parvient à $I_n$ à gauche, on a $E_k\cdots E_{1}A=I_n$ avec $E_k\cdots E_1=B$ : $A$ est inversible et $A^{-1}=B$. Si une ligne nulle apparaît à gauche, $A$ n'est pas inversible (une matrice inversible fois $A$ aurait une ligne nulle).

Déroulement conseillé : choisir un pivot non nul dans la 1re colonne (le placer en haut par échange), annuler le reste de la colonne par transvections, passer à la colonne suivante ; une fois la forme triangulaire atteinte, remonter pour annuler au-dessus des pivots, puis diviser chaque ligne par son pivot. Ne jamais mélanger opérations sur les lignes et sur les colonnes dans un même calcul.

Méthode 3 : relation polynomiale. Si $A^2-4A+3I_n=0_n$, alors $A\cdot \frac{1}{3}(4I_n-A)=\frac{1}{3}(4I_n-A)\cdot A=I_n$ : $A$ est inversible et $A^{-1}=\frac{1}{3}(4I_n-A)$. Plus généralement, une relation $a_m{A}^m+\cdots +a_{1}A+a_0{I}_n=0_n$ avec $a_0\mathrm{\ne }0$ donne l'inverse.

Contrôle. Toujours vérifier à la fin un produit $A{A}^{-1}$ (au moins une ou deux colonnes) : une erreur de signe se voit tout de suite.

Calculer un produit sans erreur

1. Vérifier la compatibilité des types et écrire le type du résultat.
2. Calculer coefficient par coefficient, ligne de $A$ contre colonne de $B$ ; pour une matrice creuse, utiliser les colonnes ($A{E}_j$) ou les $E_{ij}$.

Calculer $A^m$

1. Repérer la structure : $\lambda I_n+N$ avec $N$ nilpotente, relation $A^2=\alpha A+\beta I_n$, matrice de $1$, matrice $PB{P}^{-1}$, diagonale.
2. Pour le binôme : écrire que les deux matrices commutent avant de l'appliquer, et préciser jusqu'où va la somme.
3. Vérifier la formule pour $m=0$ et $m=1$ ; si $A$ est inversible, regarder si elle reste vraie pour $m=-1$.

Montrer qu'une matrice est inversible et calculer l'inverse

• Relation polynomiale à coefficient constant non nul ; ou $A=I_n-N$ avec $N$ nilpotente ; ou forme triangulaire ou diagonale.
• Sinon : pivot de Gauss, ou résolution de $AX=Y$. Pour $n=2$ : $ad-bc\mathrm{\ne }0$ et la formule.
• Pour prouver qu'elle n'est pas inversible : exhiber $X\mathrm{\ne }0$ avec $AX=0$, ou un $B\mathrm{\ne }0$ avec $AB=0$.

Déterminer les matrices qui commutent avec $A$

Poser $X=(x_{ij})$ inconnue, écrire $AX=XA$ coefficient par coefficient et résoudre le système obtenu ; pour une matrice diagonale à coefficients deux à deux distincts, on trouve exactement les matrices diagonales ; pour toutes les matrices, on utilise $A{E}_{ij}=E_{ij}A$.

Utiliser la trace

Pour une égalité impossible ($AB-BA=I_n$), pour une matrice nulle ($\mathrm{t}\mathrm{r}({}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}AA)=0$), pour un invariant ($P^{-1}AP$).

1. Binôme ou identité remarquable sans commutation : écrire $(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$, ou $(AB{)}^2=A^2{B}^2$, sans avoir vérifié $AB=BA$. Le jury tunisien le relève chaque année.
2. Somme du binôme mal indexée : la somme commence à $k=0$ ; et l'oubli de $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{m}{k}\right)=0$ pour $k>m$ quand on tronque.
3. Diviser par une matrice : « $X=\frac{B}{A}$ » n'a aucun sens ; on écrit $X=A^{-1}B$ ou $X=B{A}^{-1}$ (ce n'est pas pareil).
4. Simplifier sans inversibilité : de $AB=AC$ conclure $B=C$ ; de $A^2=A$ conclure $A=I_n$ ou $A=0_n$.
5. Mauvais ordre : $(AB{)}^{-1}=A^{-1}{B}^{-1}$ ou ${}^t(AB)={}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A{}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}B$ sont faux en général.
6. Produit incompatible : multiplier une matrice $(2,3)$ par une matrice $(2,3)$.
7. Pivot de Gauss : diviser par un pivot qui peut être nul (paramètre), mélanger lignes et colonnes, faire des opérations « simultanées » qui ne sont pas des opérations élémentaires (remplacer $L_1$ par $L_1-L_2$ et $L_2$ par $L_2-L_1$ en même temps).
8. Trace : écrire $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(A)\mathrm{tr}(B)$.
9. Croire qu'une matrice dont aucun coefficient n'est nul est inversible ($J$, matrice de $1$, ne l'est pas).
10. Rédaction : ne pas préciser le type des matrices, oublier de dire « par récurrence », résultat non encadré.

• ${ℳ}_n(𝕂)$ (« ensemble des matrices carrées d'ordre $n$ »), ${ℳ}_{n,p}(𝕂)$, $I_n$ « matrice unité », $0_n$ « matrice nulle » ; $G{L}_n(𝕂)$ « ensemble des matrices inversibles » ; $𝕂$ noté parfois IK, $ℝ$ noté IR dans les documents anciens.
• Transposée notée à gauche : ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A$ (rarement $A^T$) ; trace $\mathrm{tr}(A)$, parfois $\mathrm{Tr}(A)$.
• ${𝒯}_n(ℝ)$ pour les triangulaires supérieures, $\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$, $E_{ij}$ pour les matrices élémentaires, ${𝒮}_n$, ${𝒜}_n$ pour les symétriques et antisymétriques ; « matrices scalaires » pour les $\lambda I_n$.
• Énoncés : « Calculer $A^2$, puis en déduire $A^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$ », « Montrer que $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$ », « par la méthode du pivot de Gauss », « Vérifier que $A^2-4A+3I_3=0$ », « On rappelle que la trace de… », « $A$ et $B$ sont dites semblables s'il existe $P$ inversible telle que $B=P^{-1}AP$ » (définition donnée dans l'énoncé).
• Devoirs : barème affiché (« Problème (12 points) »), calculatrice interdite : tous les produits et inverses se font à la main, d'où l'intérêt de vérifier un produit à la fin.