Calcul matriciel (Exercices) · Révisions prépa · Ridami

Algèbre · 1re année

Calcul matriciel

Application du cours4 points

1. Produits possibles, non-commutativité, diviseurs de zéro

On considère $A = (\begin{array}{ccc} 1 & - 2 & 0 \\ 3 & 1 & - 1 \end{array}), B = (\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 0 & - 1 \\ 1 & 4 \end{array}), C = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array}), D = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array}) .$

Parmi les produits $X Y$ avec $X, Y \in {A, B, C, D}$ et $X \neq Y$ , lesquels sont définis ? Donner le type de chacun.
Calculer $A B$ , $B A$ , $A C$ et $D A$ . Comparer $tr (A B)$ et $tr (B A)$ .
Soit $U = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{array})$ et $V = (\begin{array}{cc} 2 & - 4 \\ - 1 & 2 \end{array})$ . Calculer $U V$ , $V U$ et $(V U)^{2}$ . Que peut-on dire de l'anneau $ℳ_{2} (ℝ)$ ?

Voir le corrigé

1. Les types sont $A : (2, 3)$ , $B : (3, 2)$ , $C : (3, 1)$ , $D : (2, 2)$ . Le produit $X Y$ existe si et seulement si le nombre de colonnes de $X$ est égal au nombre de lignes de $Y$ .

$A$ a 3 colonnes : $A B$ de type $(2, 2)$ et $A C$ de type $(2, 1)$ .
$B$ a 2 colonnes : $B A$ de type $(3, 3)$ et $B D$ de type $(3, 2)$ .
$C$ a 1 colonne : aucune des autres matrices n'a une seule ligne, donc aucun produit $C Y$ .
$D$ a 2 colonnes : $D A$ de type $(2, 3)$ ( $D B$ n'existe pas, $B$ ayant 3 lignes).

Il y a donc exactement cinq produits définis : $A B, A C, B A, B D, D A$ .

2. Ligne de la première matrice contre colonne de la seconde : $A B = (\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 5 & - 2 \end{array}), B A = (\begin{array}{ccc} 5 & - 3 & - 1 \\ - 3 & - 1 & 1 \\ 13 & 2 & - 4 \end{array}), A C = (\begin{array}{c} - 3 \\ 8 \end{array}), D A = (\begin{array}{ccc} 3 & 1 & - 1 \\ 5 & 4 & - 2 \end{array}) .$ Par exemple, le coefficient $(3, 1)$ de $B A$ vaut $1 \cdot 1 + 4 \cdot 3 = 13$ , et le coefficient $(1, 1)$ de $A B$ vaut $1 \cdot 2 + (- 2) \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 2$ . $A B$ et $B A$ n'ont même pas le même type. Pourtant $tr (A B) = 2 - 2 = 0$ et $tr (B A) = 5 - 1 - 4 = 0$ : les traces sont égales, comme le prévoit le théorème $tr (A B) = tr (B A)$ pour $A \in ℳ_{2, 3}$ , $B \in ℳ_{3, 2}$ (fiche § 7).

3. $U V = (\begin{array}{cc} 2 - 2 & - 4 + 4 \\ 4 - 4 & - 8 + 8 \end{array}) = 0_{2}$ , alors que $V U = (\begin{array}{cc} 2 - 8 & 4 - 16 \\ - 1 + 4 & - 2 + 8 \end{array}) = (\begin{array}{cc} - 6 & - 12 \\ 3 & 6 \end{array}) \neq 0_{2}$ . Enfin, par associativité, $(V U)^{2} = V (U V) U = V 0_{2} U = 0_{2}$ (le calcul direct le confirme). On retient : $ℳ_{2} (ℝ)$ est un anneau non commutatif ( $U V \neq V U$ ) et non intègre ( $U \neq 0$ , $V \neq 0$ , $U V = 0$ ) ; $V U$ est une matrice non nulle nilpotente d'indice $2$ .

Après avoir comparé avec le corrigé :

Application du cours5 points

2. Puissances par le binôme de Newton

Soit $A = (\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 \end{array})$ et $N = A - 3 I_{3}$ .

Calculer $N^{2}$ et $N^{3}$ . En déduire $N^{k}$ pour $k \geq 3$ .
Justifier que l'on peut appliquer la formule du binôme à $3 I_{3} + N$ , puis exprimer $A^{n}$ pour tout $n \in ℕ$ sous forme d'une seule matrice.
Justifier que $A$ est inversible. On pose $B = \frac{1}{3} (I_{3} - \frac{1}{3} N + \frac{1}{9} N^{2})$ ; montrer que $A B = B A = I_{3}$ .
Vérifier que la formule de la question 2, écrite pour $n = - 1$ , redonne $B$ .

Voir le corrigé

1. $N = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 0 \end{array})$ est strictement triangulaire inférieure. On calcule $N^{2} = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \end{array}), N^{3} = N^{2} N = 0_{3} .$ (Le seul coefficient non nul de $N^{2}$ est en position $(3, 1)$ : $2 \cdot 0 + (- 1) \cdot 1 + 0 \cdot 2 = - 1$ .) Pour $k \geq 3$ , $N^{k} = N^{3} N^{k - 3} = 0_{3}$ .

2. $A = 3 I_{3} + N$ et $3 I_{3}$ commute avec toute matrice, en particulier avec $N$ : la formule du binôme s'applique. Pour $n \geq 2$ , $A^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) 3^{n - k} N^{k} = 3^{n} I_{3} + n 3^{n - 1} N + \frac{n (n - 1)}{2} 3^{n - 2} N^{2},$ les termes $k \geq 3$ étant nuls. Cette expression est encore valable pour $n = 0$ ( $I_{3}$ ) et $n = 1$ ( $3 I_{3} + N$ ), car les coefficients de $N$ et $N^{2}$ s'annulent alors. Ainsi, pour tout $n \in ℕ$ : $A^{n} = (\begin{array}{ccc} 3^{n} & 0 & 0 \\ n 3^{n - 1} & 3^{n} & 0 \\ 2 n 3^{n - 1} - \frac{n (n - 1)}{2} 3^{n - 2} & - n 3^{n - 1} & 3^{n} \end{array})$ Contrôle pour $n = 2$ : coefficient $(3, 1)$ égal à $2 \cdot 2 \cdot 3 - 1 = 11$ , et en effet $(A^{2})_{31} = 2 \cdot 3 + (- 1) \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 11$ .

3. $A$ est triangulaire inférieure de coefficients diagonaux $3, 3, 3$ , tous non nuls : elle est inversible (fiche § 9). Calculons avec $M = \frac{1}{3} N$ , qui commute avec $I_{3}$ : $A = 3 (I_{3} + M)$ et $B = \frac{1}{3} (I_{3} - M + M^{2})$ , donc $A B = (I_{3} + M) (I_{3} - M + M^{2}) = I_{3} - M + M^{2} + M - M^{2} + M^{3} = I_{3} + M^{3} = I_{3},$ car $M^{3} = \frac{1}{27} N^{3} = 0_{3}$ . Le même développement donne $B A = I_{3}$ (les facteurs sont des expressions en $M$ , qui commutent). Donc $A^{- 1} = B = \frac{1}{3} I_{3} - \frac{1}{9} N + \frac{1}{27} N^{2}$ .

4. Pour $n = - 1$ : $3^{- 1} I_{3} + (- 1) 3^{- 2} N + \frac{(- 1) (- 2)}{2} 3^{- 3} N^{2} = \frac{1}{3} I_{3} - \frac{1}{9} N + \frac{1}{27} N^{2} = B$ . Explicitement $A^{- 1} = (\begin{array}{ccc} \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & 0 \\ - \frac{7}{27} & \frac{1}{9} & \frac{1}{3} \end{array}),$ le coefficient $(3, 1)$ valant $- \frac{2}{9} - \frac{1}{27} = - \frac{7}{27}$ . (Rien n'autorisait a priori à remplacer $n$ par $- 1$ : c'est la question 3 qui le justifie.)

Après avoir comparé avec le corrigé :

Application du cours5 points

3. Inverse par le pivot de Gauss, système, matrice à paramètre

Soit $M = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 3 \\ 2 & 3 & 2 \end{array})$ . Montrer, par la méthode du pivot de Gauss, que $M$ est inversible et calculer $M^{- 1}$ .
En déduire la solution du système ${\begin{cases} x + 2 y + z = 1 \\ 2 x + 3 y + 3 z = 0 \\ 2 x + 3 y + 2 z = - 1 \end{cases}$ .
Pour $m \in ℝ$ , on pose $B_{m} = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & m \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & m & 0 \end{array})$ . Déterminer, à l'aide d'opérations élémentaires sur les lignes, les valeurs de $m$ pour lesquelles $B_{m}$ est inversible. Pour la valeur exclue, exhiber une colonne $X \neq 0$ telle que $B_{m} X = 0$ .

Voir le corrigé

1. On applique les mêmes opérations à $M$ et à $I_{3}$ . $(\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}) ⟶_{L_{3} \leftarrow L_{3} - 2 L_{1}}^{L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}} (\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 2 & 0 & 1 \end{array}) \overset{L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{2}}{⟶} (\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 & - 1 & 1 \end{array}) .$ La partie gauche est triangulaire de pivots $1, - 1, - 1$ , tous non nuls : $M$ est inversible. On remonte : $⟶_{puis L_{3} \leftarrow - L_{3}}^{L_{2} \leftarrow - (L_{2} + L_{3})} (\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & - 1 \end{array}) \overset{L_{1} \leftarrow L_{1} - 2 L_{2} - L_{3}}{⟶} (\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & - 3 & - 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & - 1 \end{array}) .$ (Détail de la deuxième flèche, dans cet ordre : $L_{2} + L_{3} = (0 - 1 0 ∣ - 2 0 1)$ , que l'on multiplie par $- 1$ ; puis $L_{3} \leftarrow - L_{3}$ donne $(0 0 1 ∣ 0 1 - 1)$ .) $M^{- 1} = (\begin{array}{ccc} - 3 & - 1 & 3 \\ 2 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & - 1 \end{array})$ Contrôle : la première ligne de $M$ contre la première colonne de $M^{- 1}$ donne $- 3 + 4 + 0 = 1$ , contre la deuxième $- 1 + 0 + 1 = 0$ ; on vérifie de même les autres coefficients de $M M^{- 1} = I_{3}$ .

2. Le système s'écrit $M X = Y$ avec $X = (\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array})$ et $Y = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$ . Comme $M$ est inversible, il a une unique solution $X = M^{- 1} Y = (\begin{array}{c} - 3 + 0 - 3 \\ 2 + 0 + 1 \\ 0 + 0 + 1 \end{array})$ , soit $(x, y, z) = (- 6, 3, 1)$ . Vérification : $- 6 + 6 + 1 = 1$ , $- 12 + 9 + 3 = 0$ , $- 12 + 9 + 2 = - 1$ .

3. $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}$ puis $L_{3} \leftarrow L_{3} - (m - 2) L_{2}$ : $B_{m} \to (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & m \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & m - 2 & - m \end{array}) \to (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & m \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 - 2 m \end{array}) = T_{m} .$ Ces opérations élémentaires (transvections, licites pour toute valeur de $m$ ) reviennent à écrire $T_{m} = E B_{m}$ avec $E$ inversible. Donc $B_{m}$ est inversible si et seulement si $T_{m}$ l'est, c'est-à-dire (triangulaire) si et seulement si $2 - 2 m \neq 0$ : $B_{m} est inversible ⟺ m \neq 1.$ Pour $m = 1$ , on résout $T_{1} X = 0$ : $z$ est libre, $y = - z$ , $x = - 2 y - z = z$ . Avec $z = 1$ : $X = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$ , et en effet $B_{1} X = (\begin{array}{c} 1 - 2 + 1 \\ - 1 + 1 \\ 1 - 1 + 0 \end{array}) = 0$ . Une matrice qui annule une colonne non nulle n'est pas inversible : cela confirme le cas $m = 1$ .

Après avoir comparé avec le corrigé :

Application du cours5 points

4. Transposée, symétriques, antisymétriques et trace

Soit $n \geq 2$ . On note $𝒮_{n}$ et $𝒜_{n}$ les ensembles des matrices symétriques et antisymétriques de $ℳ_{n} (ℝ)$ .

Soit $A = (\begin{array}{ccc} 1 & 4 & - 2 \\ 0 & 3 & 5 \\ 6 & 1 & - 1 \end{array})$ . Écrire $A = S + T$ avec $S \in 𝒮_{3}$ et $T \in 𝒜_{3}$ .
Montrer que, pour toute $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ , une telle écriture existe et est unique.
Montrer que si $S \in 𝒮_{n}$ et $T \in 𝒜_{n}$ , alors $tr (S T) = 0$ . Le vérifier sur l'exemple de la question 1.
Calculer $tr (^{t} ⁣ A A)$ pour la matrice de la question 1, sans calculer $^{t} ⁣ A A$ en entier.
(a) Montrer qu'il n'existe pas de matrices $X, Y \in ℳ_{n} (ℝ)$ telles que $X Y - Y X = I_{n}$ . (b) Trouver $X, Y \in ℳ_{2} (ℝ)$ telles que $X Y - Y X = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array})$ .

Voir le corrigé

1. $^{t} ⁣ A = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 6 \\ 4 & 3 & 1 \\ - 2 & 5 & - 1 \end{array})$ , d'où $S = \frac{A +^{t} ⁣ A}{2} = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 3 \\ 2 & 3 & - 1 \end{array}), T = \frac{A -^{t} ⁣ A}{2} = (\begin{array}{ccc} 0 & 2 & - 4 \\ - 2 & 0 & 2 \\ 4 & - 2 & 0 \end{array}) .$ On vérifie que $^{t} ⁣ S = S$ , $^{t} ⁣ T = - T$ et $S + T = A$ .

2. Existence : $S = \frac{1}{2} (A +^{t} ⁣ A)$ vérifie $^{t} ⁣ S = \frac{1}{2} (^{t} ⁣ A + A) = S$ , et $T = \frac{1}{2} (A -^{t} ⁣ A)$ vérifie $^{t} ⁣ T = \frac{1}{2} (^{t} ⁣ A - A) = - T$ ; $S + T = A$ . Unicité : si $A = S + T = S^{'} + T^{'}$ avec $S, S^{'}$ symétriques et $T, T^{'}$ antisymétriques, la matrice $Z = S - S^{'} = T^{'} - T$ vérifie $^{t} ⁣ Z = Z$ (première écriture) et $^{t} ⁣ Z = - Z$ (seconde), donc $2 Z = 0_{n}$ et $Z = 0_{n}$ : $S = S^{'}$ et $T = T^{'}$ .

3. La trace est invariante par transposition et $tr (X Y) = tr (Y X)$ . Donc $tr (S T) = tr (^{t} (S T)) = tr (^{t} T^{t} S) = tr (- T S) = - tr (T S) = - tr (S T),$ d'où $2 tr (S T) = 0$ et $tr (S T) = 0$ . Sur l'exemple, les coefficients diagonaux de $S T$ sont $1 \cdot 0 + 2 \cdot (- 2) + 2 \cdot 4 = 4$ , puis $2 \cdot 2 + 3 \cdot 0 + 3 \cdot (- 2) = - 2$ , puis $2 \cdot (- 4) + 3 \cdot 2 + (- 1) \cdot 0 = - 2$ : leur somme est bien $0$ .

4. Le coefficient diagonal $(j, j)$ de $^{t} ⁣ A A$ vaut $\sum_{i} a_{i j} a_{i j} = \sum_{i} a_{i j}^{2}$ (somme des carrés de la colonne $j$ ). Donc $tr (^{t} ⁣ A A) = \sum_{i, j} a_{i j}^{2} = 1 + 16 + 4 + 0 + 9 + 25 + 36 + 1 + 1$ , soit $tr (^{t} ⁣ A A) = 93$ .

5.(a) Par linéarité et d'après $tr (X Y) = tr (Y X)$ : $tr (X Y - Y X) = 0$ . Or $tr (I_{n}) = n \neq 0$ . L'égalité $X Y - Y X = I_{n}$ est donc impossible.

(b) Ici la trace du second membre est nulle : l'argument précédent ne s'applique pas. Avec $X = E_{12} = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array})$ et $Y = E_{21} = (\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array})$ : $X Y = E_{11}$ , $Y X = E_{22}$ , donc $X Y - Y X = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array})$ . La condition « trace nulle » était nécessaire ; on a trouvé un exemple qui la réalise.

Après avoir comparé avec le corrigé :

Niveau devoir6 points

5. Une relation $A^{2} = 4 A - 3 I_{3}$ et toutes les puissances de $A$

Soit $A = (\begin{array}{ccc} 3 & - 2 & 2 \\ 2 & - 1 & 2 \\ 2 & - 2 & 3 \end{array})$ .

Calculer $A^{2}$ et vérifier que $A^{2} - 4 A + 3 I_{3} = 0_{3}$ .
Justifier que $A$ admet un inverse, que l'on écrira comme combinaison de $A$ et de $I_{3}$ .
Montrer que, pour tout $n \in ℕ$ , il existe deux réels $a_{n}, b_{n}$ tels que $A^{n} = a_{n} A + b_{n} I_{3}$ , avec $a_{n + 1} = 4 a_{n} + b_{n}$ et $b_{n + 1} = - 3 a_{n}$ . Montrer que $a_{n} + b_{n} = 1$ , puis calculer $a_{n}$ et $b_{n}$ .
Autre méthode. On pose $E = \frac{1}{2} (A - I_{3})$ . Vérifier que $E^{2} = E$ , puis retrouver $A^{n}$ à l'aide de la formule du binôme.
Pour $x, y$ réels, calculer $(I_{3} + x E) (I_{3} + y E)$ . En déduire que la formule $A^{n} = I_{3} + (3^{n} - 1) E$ est vraie pour tout $n \in ℤ$ .

Voir le corrigé

1. $A^{2} = (\begin{array}{ccc} 9 & - 8 & 8 \\ 8 & - 7 & 8 \\ 8 & - 8 & 9 \end{array})$ (par exemple $(A^{2})_{11} = 9 - 4 + 4 = 9$ , $(A^{2})_{12} = - 6 + 2 - 4 = - 8$ ). Puis $A^{2} - 4 A = (\begin{array}{ccc} 9 - 12 & - 8 + 8 & 8 - 8 \\ 8 - 8 & - 7 + 4 & 8 - 8 \\ 8 - 8 & - 8 + 8 & 9 - 12 \end{array}) = - 3 I_{3}$ , c'est-à-dire $A^{2} - 4 A + 3 I_{3} = 0_{3}$ .

2. La relation s'écrit $A (4 I_{3} - A) = 3 I_{3}$ , et aussi $(4 I_{3} - A) A = 3 I_{3}$ (les deux facteurs sont des expressions en $A$ et commutent). Donc $A \cdot \frac{1}{3} (4 I_{3} - A) = \frac{1}{3} (4 I_{3} - A) \cdot A = I_{3}$ : $A$ est inversible et $A^{- 1} = \frac{1}{3} (4 I_{3} - A) = \frac{1}{3} (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & - 2 \\ - 2 & 5 & - 2 \\ - 2 & 2 & 1 \end{array})$

3. Récurrence sur $n$ . Pour $n = 0$ : $A^{0} = I_{3}$ , donc $a_{0} = 0$ , $b_{0} = 1$ conviennent. Si $A^{n} = a_{n} A + b_{n} I_{3}$ , alors $A^{n + 1} = A^{n} A = a_{n} A^{2} + b_{n} A = a_{n} (4 A - 3 I_{3}) + b_{n} A = (4 a_{n} + b_{n}) A - 3 a_{n} I_{3},$ ce qui donne la propriété au rang $n + 1$ avec $a_{n + 1} = 4 a_{n} + b_{n}$ et $b_{n + 1} = - 3 a_{n}$ . (Pour l'unicité des coefficients : $A$ n'est pas une matrice scalaire, donc $a A + b I_{3} = 0$ impose $a = 0$ puis $b = 0$ .) Ensuite $a_{n + 1} + b_{n + 1} = a_{n} + b_{n}$ : la suite $(a_{n} + b_{n})$ est constante, égale à $a_{0} + b_{0} = 1$ . Donc $b_{n} = 1 - a_{n}$ et $a_{n + 1} = 4 a_{n} + 1 - a_{n} = 3 a_{n} + 1$ : suite arithmético-géométrique. Son point fixe est $c = - \frac{1}{2}$ ( $c = 3 c + 1$ ), donc $a_{n} + \frac{1}{2} = 3^{n} (a_{0} + \frac{1}{2}) = \frac{3^{n}}{2}$ : $a_{n} = \frac{3^{n} - 1}{2}, b_{n} = \frac{3 - 3^{n}}{2}, A^{n} = \frac{3^{n} - 1}{2} A + \frac{3 - 3^{n}}{2} I_{3} (n \in ℕ) .$ Contrôle pour $n = 2$ : $4 A - 3 I_{3} = A^{2}$ , et la formule donne bien $a_{2} = 4$ , $b_{2} = - 3$ .

4. $A - I_{3} = (\begin{array}{ccc} 2 & - 2 & 2 \\ 2 & - 2 & 2 \\ 2 & - 2 & 2 \end{array})$ , donc $E = (\begin{array}{ccc} 1 & - 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{array})$ . Toutes les lignes de $E$ sont égales à $(r_{1}, r_{2}, r_{3}) = (1, - 1, 1)$ , donc $e_{i j} = r_{j}$ et $(E^{2})_{i j} = \sum_{k} e_{i k} e_{k j} = \sum_{k} r_{k} r_{j} = r_{j} (1 - 1 + 1) = r_{j} = e_{i j}$ : $E^{2} = E$ , puis $E^{k} = E$ pour tout $k \geq 1$ (récurrence). $A = I_{3} + 2 E$ , et $I_{3}$ commute avec $2 E$ : le binôme s'applique. Pour $n \geq 0$ : $A^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (2 E)^{k} = I_{3} + (\sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) 2^{k}) E = I_{3} + ((1 + 2)^{n} - 1) E = I_{3} + (3^{n} - 1) E .$ On retrouve la question 3, puisque $E = \frac{1}{2} (A - I_{3})$ donne $I_{3} + (3^{n} - 1) E = \frac{3^{n} - 1}{2} A + \frac{3 - 3^{n}}{2} I_{3}$ .

5. Comme $E^{2} = E$ : $(I_{3} + x E) (I_{3} + y E) = I_{3} + (x + y + x y) E$ . Posons $x_{k} = 3^{k} - 1$ pour $k \in ℤ$ ; alors $1 + x_{k} = 3^{k}$ et $x_{k} + x_{l} + x_{k} x_{l} = (1 + x_{k}) (1 + x_{l}) - 1 = 3^{k + l} - 1 = x_{k + l}$ . Ainsi $(I_{3} + x_{k} E) (I_{3} + x_{l} E) = I_{3} + x_{k + l} E .$ Soit $m \in ℕ$ . Avec $k = m$ , $l = - m$ : $(I_{3} + x_{m} E) (I_{3} + x_{- m} E) = I_{3} + x_{0} E = I_{3}$ , et de même dans l'autre ordre. Comme $A^{m} = I_{3} + x_{m} E$ , on obtient $A^{- m} = (A^{m})^{- 1} = I_{3} + x_{- m} E$ . La formule $A^{n} = I_{3} + (3^{n} - 1) E$ est donc vraie pour tout $n \in ℤ$ . Pour $n = - 1$ , elle donne $I_{3} - \frac{2}{3} E = \frac{1}{3} (4 I_{3} - A)$ : c'est la question 2.

Après avoir comparé avec le corrigé :

Niveau devoir6 points

6. Le commutant d'une matrice nilpotente et ses racines carrées

Soit $N = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$ et $𝒞 (N) = {X \in ℳ_{3} (ℝ), N X = X N}$ .

Calculer $N^{2}$ et $N^{3}$ .
Soit $X = (x_{i j}) \in ℳ_{3} (ℝ)$ . Calculer $N X$ et $X N$ . En déduire que $X \in 𝒞 (N)$ si et seulement s'il existe des réels $a, b, c$ tels que $X = a I_{3} + b N + c N^{2}$ .
En déduire que $𝒞 (N)$ est un sous-anneau commutatif de $ℳ_{3} (ℝ)$ .
Montrer qu'il n'existe aucune matrice $X \in ℳ_{3} (ℝ)$ telle que $X^{2} = N$ .
Déterminer toutes les matrices $X \in ℳ_{3} (ℝ)$ telles que $X^{2} = I_{3} + N$ .

Voir le corrigé

1. $N^{2} = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$ et $N^{3} = 0_{3}$ : $N$ est nilpotente d'indice $3$ .

2. Multiplier à gauche par $N$ fait monter les lignes de $X$ d'un cran ; multiplier à droite fait décaler les colonnes vers la droite : $N X = (\begin{array}{ccc} x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}), X N = (\begin{array}{ccc} 0 & x_{11} & x_{12} \\ 0 & x_{21} & x_{22} \\ 0 & x_{31} & x_{32} \end{array}) .$ L'égalité $N X = X N$ équivaut aux neuf égalités : $x_{21} = 0$ , $x_{22} = x_{11}$ , $x_{23} = x_{12}$ , $x_{31} = 0$ , $x_{32} = x_{21}$ , $x_{33} = x_{22}$ , $0 = 0$ , $0 = x_{31}$ , $0 = x_{32}$ . Elles se résument à $x_{21} = x_{31} = x_{32} = 0$ et $x_{11} = x_{22} = x_{33}$ , $x_{12} = x_{23}$ . En notant $a = x_{11}$ , $b = x_{12}$ , $c = x_{13}$ : $X \in 𝒞 (N) ⟺ X = (\begin{array}{ccc} a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a \end{array}) = a I_{3} + b N + c N^{2} .$ (Réciproquement, ces matrices commutent bien avec $N$ , puisque $N$ commute avec $I_{3}$ , $N$ et $N^{2}$ .)

3. $𝒞 (N)$ contient $I_{3}$ ; si $X, Y \in 𝒞 (N)$ , alors $N (X - Y) = (X - Y) N$ et $N (X Y) = X N Y = (X Y) N$ : c'est un sous-anneau. Il est commutatif : deux éléments $a I_{3} + b N + c N^{2}$ et $a^{'} I_{3} + b^{'} N + c^{'} N^{2}$ sont des expressions en $N$ , et les puissances de $N$ commutent entre elles.

4. Supposons $X^{2} = N$ . Alors $X N = X \cdot X^{2} = X^{3} = X^{2} \cdot X = N X$ : $X \in 𝒞 (N)$ , donc $X = a I_{3} + b N + c N^{2}$ . Comme $N^{3} = N^{4} = 0_{3}$ , $X^{2} = a^{2} I_{3} + 2 a b N + (b^{2} + 2 a c) N^{2} .$ L'égalité $X^{2} = N$ et l'unicité de l'écriture (question 2 : les coefficients se lisent sur la matrice) donnent $a^{2} = 0$ et $2 a b = 1$ . La première impose $a = 0$ , et alors $2 a b = 0 \neq 1$ : contradiction. Aucune matrice réelle n'a pour carré $N$ .

5. Si $X^{2} = I_{3} + N$ , alors $X$ commute avec $X^{2}$ , donc avec $I_{3} + N$ , donc avec $N$ (car $X N = X (I_{3} + N) - X = (I_{3} + N) X - X = N X$ ). Ainsi $X = a I_{3} + b N + c N^{2}$ et $X^{2} = I_{3} + N$ équivaut à $a^{2} = 1, 2 a b = 1, b^{2} + 2 a c = 0.$ Donc $a = \pm 1$ , $b = \frac{1}{2 a}$ , $c = - \frac{b^{2}}{2 a} = - \frac{1}{8 a^{3}} = - \frac{1}{8 a}$ (car $a^{2} = 1$ ). Il y a exactement deux solutions : $X = \pm (I_{3} + \frac{1}{2} N - \frac{1}{8} N^{2}) = \pm (\begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{8} \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$ Vérification : ${(I_{3} + \frac{1}{2} N - \frac{1}{8} N^{2})}^{2} = I_{3} + N + (\frac{1}{4} - \frac{1}{4}) N^{2} = I_{3} + N$ .

Après avoir comparé avec le corrigé :

Niveau devoir6 points

7. Matrices d'ordre 2 : la relation $A^{2} - tr (A) A + δ (A) I_{2} = 0$

Pour $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}) \in ℳ_{2} (ℝ)$ , on pose $δ (A) = a d - b c$ .

Montrer que $A^{2} - tr (A) A + δ (A) I_{2} = 0_{2}$ .
En déduire que si $δ (A) \neq 0$ , $A$ est inversible, et retrouver l'expression de $A^{- 1}$ .
Montrer que $A$ est nilpotente si et seulement si $tr (A) = 0$ et $δ (A) = 0$ . Que vaut alors $A^{2}$ ?
Soit $A = (\begin{array}{cc} 3 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array})$ . Montrer que $(A - 2 I_{2})^{2} = 0_{2}$ , puis calculer $A^{n}$ pour $n \in ℕ$ . La formule reste-t-elle vraie pour $n = - 1$ ?
Décrire toutes les matrices $M \in ℳ_{2} (ℝ)$ telles que $M^{2} = 0_{2}$ .

Voir le corrigé

1. $A^{2} = (\begin{array}{cc} a^{2} + b c & a b + b d \\ c a + d c & c b + d^{2} \end{array}) = (\begin{array}{cc} a^{2} + b c & b (a + d) \\ c (a + d) & d^{2} + b c \end{array})$ et $(a + d) A = (\begin{array}{cc} a^{2} + a d & b (a + d) \\ c (a + d) & a d + d^{2} \end{array})$ . Donc $A^{2} - (a + d) A = (\begin{array}{cc} b c - a d & 0 \\ 0 & b c - a d \end{array}) = - δ (A) I_{2}$ , ce qui est la relation demandée.

2. La relation s'écrit $A (tr (A) I_{2} - A) = (tr (A) I_{2} - A) A = δ (A) I_{2}$ . Si $δ (A) \neq 0$ , en divisant par ce réel : $A^{- 1} = \frac{1}{δ (A)} (tr (A) I_{2} - A) = \frac{1}{a d - b c} (\begin{array}{cc} d & - b \\ - c & a \end{array}) .$

3. Si $tr (A) = δ (A) = 0$ : la relation donne $A^{2} = 0_{2}$ , donc $A$ est nilpotente. Réciproquement, soit $A$ nilpotente, $A^{r} = 0_{2}$ avec $r \geq 1$ . Une nilpotente n'est pas inversible ; or $δ (A) \neq 0$ entraînerait l'inversibilité (question 2) ; donc $δ (A) = 0$ . La relation devient $A^{2} = t A$ avec $t = tr (A)$ , puis par récurrence $A^{k} = t^{k - 1} A$ pour $k \geq 1$ (si $A^{k} = t^{k - 1} A$ , alors $A^{k + 1} = t^{k - 1} A^{2} = t^{k} A$ ). Ainsi $0_{2} = A^{r} = t^{r - 1} A$ . Si $A = 0_{2}$ , $t = 0$ ; sinon $t^{r - 1} = 0$ , donc $t = 0$ . Dans tous les cas $tr (A) = δ (A) = 0$ , et alors $A^{2} = 0_{2}$ : une nilpotente d'ordre 2 a toujours un carré nul.

4. $tr (A) = 4$ et $δ (A) = 3 + 1 = 4$ , donc $A^{2} - 4 A + 4 I_{2} = 0_{2}$ , c'est-à-dire $(A - 2 I_{2})^{2} = 0_{2}$ ( $A$ et $2 I_{2}$ commutent, le développement est licite). Posons $K = A - 2 I_{2} = (\begin{array}{cc} 1 & - 1 \\ 1 & - 1 \end{array})$ : $K^{2} = 0_{2}$ et $K$ commute avec $2 I_{2}$ . Par le binôme, pour $n \geq 1$ , $A^{n} = (2 I_{2} + K)^{n} = 2^{n} I_{2} + n 2^{n - 1} K$ (les termes $k \geq 2$ sont nuls), formule encore vraie pour $n = 0$ : $A^{n} = 2^{n - 1} (\begin{array}{cc} 2 + n & - n \\ n & 2 - n \end{array}) (n \in ℕ) .$ Pour $n = - 1$ , la formule donne $\frac{1}{4} (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ - 1 & 3 \end{array})$ ; or la question 2 donne $A^{- 1} = \frac{1}{4} (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ - 1 & 3 \end{array})$ : c'est bien $A^{- 1}$ . (Directement : $(2 I_{2} + K) (\frac{1}{2} I_{2} - \frac{1}{4} K) = I_{2} - \frac{1}{4} K^{2} = I_{2}$ .)

5. D'après la question 3, $M^{2} = 0_{2}$ équivaut à « $M$ nilpotente », donc à $tr (M) = 0$ et $δ (M) = 0$ . En écrivant $M = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & - a \end{array})$ , la seconde condition s'écrit $- a^{2} - b c = 0$ : $M^{2} = 0_{2} ⟺ M = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & - a \end{array}) avec a^{2} + b c = 0.$ Exemples : $E_{12}$ , $(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array})$ , $(\begin{array}{cc} 2 & - 4 \\ 1 & - 2 \end{array})$ .

Après avoir comparé avec le corrigé :

Niveau devoir6 points

8. Matrices triangulaires : stabilité, nilpotence, inversibilité

Soit $n \geq 2$ . On note $𝒯_{n}$ l'ensemble des matrices triangulaires supérieures de $ℳ_{n} (ℝ)$ et $𝒩_{n}$ celui des matrices strictement triangulaires supérieures.

Soient $A, B \in 𝒯_{n}$ . Montrer que $A B \in 𝒯_{n}$ et que $(A B)_{i i} = a_{i i} b_{i i}$ pour tout $i$ . En déduire que si $A \in 𝒯_{n}$ et $B \in 𝒩_{n}$ , alors $A B \in 𝒩_{n}$ et $B A \in 𝒩_{n}$ .
Soit $N \in 𝒩_{n}$ . Montrer par récurrence sur $k \geq 1$ que $(N^{k})_{i j} = 0$ dès que $j < i + k$ . En déduire que $N^{n} = 0_{n}$ .
Soit $N \in 𝒩_{n}$ . Montrer que $I_{n} + N$ est inversible, d'inverse $\sum_{k = 0}^{n - 1} (- 1)^{k} N^{k}$ , et que cet inverse est triangulaire supérieur à diagonale de $1$ .
Soit $A \in 𝒯_{n}$ . (a) On suppose $a_{i i} \neq 0$ pour tout $i$ . En écrivant $A = D (I_{n} + D^{- 1} N^{'})$ , où $D = diag (a_{11}, \dots, a_{n n})$ et $N^{'} = A - D$ , prouver l'inversibilité de $A$ . (b) On suppose qu'il existe $i$ tel que $a_{i i} = 0$ ; on note $i_{0}$ le plus petit. Construire une colonne $X \neq 0$ telle que $A X = 0$ . Conclure.
Application : calculer l'inverse de $U = (\begin{array}{ccc} 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$ .

Voir le corrigé

1. Pour $i > j$ : $(A B)_{i j} = \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} b_{k j}$ . Si $k < i$ , $a_{i k} = 0$ ; si $k \geq i$ , alors $k > j$ et $b_{k j} = 0$ . Chaque terme est nul : $A B \in 𝒯_{n}$ . Pour $i = j$ , les termes $k < i$ et $k > i$ sont nuls pour les mêmes raisons ; il reste $(A B)_{i i} = a_{i i} b_{i i}$ . Si de plus $B \in 𝒩_{n}$ ( $b_{i i} = 0$ ), alors $A B$ et $B A$ sont triangulaires supérieures de diagonale $a_{i i} \cdot 0 = 0$ : elles sont dans $𝒩_{n}$ .

2. Pour $k = 1$ : $N$ est strictement triangulaire, donc $N_{i j} = 0$ dès que $j < i + 1$ , c'est-à-dire $j \leq i$ . Supposons la propriété vraie au rang $k$ . Pour $j < i + k + 1$ : $(N^{k + 1})_{i j} = \sum_{l = 1}^{n} (N^{k})_{i l} N_{l j}$ . Si $l < i + k$ , $(N^{k})_{i l} = 0$ ; si $l \geq i + k$ , alors $j < i + k + 1 \leq l + 1$ , donc $j \leq l$ et $N_{l j} = 0$ . La somme est nulle : la propriété est vraie au rang $k + 1$ . Pour $k = n$ : $j < i + n$ est vrai pour tous $i, j \in [⁣ [1, n] ⁣]$ (car $j \leq n < i + n$ ), donc $N^{n} = 0_{n}$ .

3. $I_{n}$ et $N$ commutent, et le télescopage donne $(I_{n} + N) \sum_{k = 0}^{n - 1} (- 1)^{k} N^{k} = \sum_{k = 0}^{n - 1} (- 1)^{k} N^{k} + \sum_{k = 0}^{n - 1} (- 1)^{k} N^{k + 1} = I_{n} + (- 1)^{n - 1} N^{n} = I_{n},$ et le produit dans l'autre ordre se calcule de la même façon. Donc $I_{n} + N$ est inversible d'inverse $\sum_{k = 0}^{n - 1} (- 1)^{k} N^{k} = I_{n} + (- N + N^{2} - \dots)$ . D'après la question 1, chaque $N^{k}$ ( $k \geq 1$ ) est dans $𝒩_{n}$ ; une somme d'éléments de $𝒩_{n}$ reste dans $𝒩_{n}$ : l'inverse est $I_{n}$ plus une strictement triangulaire, donc triangulaire supérieur à diagonale de $1$ .

4.(a) $D$ est diagonale à coefficients non nuls, donc inversible d'inverse $D^{- 1} = diag (a_{11}^{- 1}, \dots, a_{n n}^{- 1}) \in 𝒯_{n}$ . $N^{'} = A - D$ est dans $𝒩_{n}$ , donc $D^{- 1} N^{'} \in 𝒩_{n}$ (question 1), et $A = D + N^{'} = D (I_{n} + D^{- 1} N^{'})$ . D'après la question 3, $I_{n} + D^{- 1} N^{'}$ est inversible ; un produit d'inversibles est inversible : $A$ est inversible.

(b) On cherche $X$ de la forme $X =^{t} (x_{1}, \dots, x_{i_{0} - 1}, 1, 0, \dots, 0)$ . Les lignes $i > i_{0}$ de $A X$ sont nulles, car $a_{i j} = 0$ pour $j < i$ et $x_{j} = 0$ pour $j > i_{0}$ . La ligne $i_{0}$ vaut $a_{i_{0} i_{0}} \cdot 1 = 0$ . Il reste les lignes $i < i_{0}$ : $a_{i i} x_{i} + \sum_{i < j < i_{0}} a_{i j} x_{j} + a_{i i_{0}} = 0 (i = i_{0} - 1, \dots, 1),$ que l'on résout en remontant, ce qui est possible car $a_{i i} \neq 0$ pour $i < i_{0}$ (définition de $i_{0}$ ). On obtient $X \neq 0$ (sa ligne $i_{0}$ vaut $1$ ) avec $A X = 0$ : $A$ n'est pas inversible (sinon $X = A^{- 1} A X = 0$ ). Conclusion : une matrice triangulaire supérieure est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls.

5. $U = I_{3} + N$ avec $N = (\begin{array}{ccc} 0 & - 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}) \in 𝒩_{3}$ et $N^{2} = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & - 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$ (coefficient $(1, 3)$ : $(- 1) \cdot 3 = - 3$ ), $N^{3} = 0_{3}$ . Donc $U^{- 1} = I_{3} - N + N^{2} = (\begin{array}{ccc} 1 & 1 & - 2 - 3 \\ 0 & 1 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 1 & 1 & - 5 \\ 0 & 1 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$ Contrôle : la première ligne de $U$ contre la troisième colonne de $U^{- 1}$ donne $- 5 + 3 + 2 = 0$ .

Après avoir comparé avec le corrigé :

Synthèse, niveau concours10 points

9. Problème : l'anneau des matrices circulantes d'ordre 3

On pose $C = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array})$ , $J = I_{3} + C + C^{2}$ et, pour $(a, b, c) \in ℝ^{3}$ , $M (a, b, c) = a I_{3} + b C + c C^{2}$ . On note $ℰ = {M (a, b, c), (a, b, c) \in ℝ^{3}}$ .

Partie A — La matrice $C$ (2 points).

Calculer $C^{2}$ et $C^{3}$ .
Montrer que $C$ est inversible et que $C^{- 1} =^{t} C = C^{2}$ .

Partie B — L'anneau $ℰ$ (3 points).

Écrire $M (a, b, c)$ sous forme de tableau. En déduire que $M (a, b, c)$ n'est la matrice nulle que pour $a = b = c = 0$ .
Montrer que $M (a, b, c) M (a^{'}, b^{'}, c^{'}) = M (a a^{'} + b c^{'} + c b^{'}, a b^{'} + b a^{'} + c c^{'}, a c^{'} + b b^{'} + c a^{'})$ .
En déduire que $ℰ$ est un sous-anneau commutatif de $ℳ_{3} (ℝ)$ .
À quelle condition sur $(a, b, c)$ la matrice $M (a, b, c)$ est-elle symétrique ?

Partie C — Inversibilité (3 points). Soit $M = M (a, b, c)$ , $s = a + b + c$ et $Δ = a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c$ .

Montrer que $M J = s J$ .
On pose $M^{'} = M (a^{2} - b c, c^{2} - a b, b^{2} - a c)$ . Montrer que $M M^{'} = M^{'} M = Δ I_{3}$ .
Vérifier que $Δ = s q$ avec $q = a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a = \frac{1}{2} [(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2}]$ .
Prouver l'équivalence « $M \in G L_{3} (ℝ) ⟺ Δ \neq 0$ », puis donner $M^{- 1}$ lorsque $Δ \neq 0$ . (Si $Δ = 0$ , on distinguera $s = 0$ et $a = b = c$ ; dans ce second cas, on pourra calculer $M (I_{3} - C)$ .)

Partie D — Applications (2 points).

Calculer l'inverse de $I_{3} + C$ et résoudre le système ${\begin{cases} x + z = 1 \\ x + y = 2 \\ y + z = 3 \end{cases}$ .
Pour quels réels $t$ la matrice $(\begin{array}{ccc} t & 1 & 1 \\ 1 & t & 1 \\ 1 & 1 & t \end{array})$ est-elle inversible ?

Voir le corrigé

A.1. $C^{2} = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array})$ et $C^{3} = I_{3}$ (par exemple, la première ligne de $C^{2}$ contre les colonnes de $C$ donne $(1, 0, 0)$ ).

A.2. $C \cdot C^{2} = C^{2} \cdot C = C^{3} = I_{3}$ : $C$ est inversible et $C^{- 1} = C^{2}$ . Par ailleurs $^{t} C = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}) = C^{2}$ . Donc $C^{- 1} =^{t} C = C^{2}$ .

B.1. $M (a, b, c) = (\begin{array}{ccc} a & c & b \\ b & a & c \\ c & b & a \end{array})$ : chaque ligne se déduit de la précédente par décalage circulaire (d'où le nom « circulante »). Les coefficients $(1, 1)$ , $(2, 1)$ et $(3, 1)$ valent $a$ , $b$ , $c$ : $M (a, b, c) = 0_{3}$ entraîne $a = b = c = 0$ , et la réciproque est claire. En particulier, deux écritures $M (a, b, c)$ et $M (a^{'}, b^{'}, c^{'})$ d'une même matrice ont les mêmes coefficients $(a, b, c) = (a^{'}, b^{'}, c^{'})$ (appliquer ce qui précède à la différence).

B.2. Les matrices $I_{3}$ , $C$ , $C^{2}$ commutent (puissances de $C$ ). En développant et en utilisant $C^{3} = I_{3}$ , $C^{4} = C$ : $M (a, b, c) M (a^{'}, b^{'}, c^{'}) = a a^{'} I_{3} + (a b^{'} + b a^{'}) C + (a c^{'} + b b^{'} + c a^{'}) C^{2} + (b c^{'} + c b^{'}) C^{3} + c c^{'} C^{4},$ d'où le résultat en regroupant : coefficient de $I_{3}$ : $a a^{'} + b c^{'} + c b^{'}$ ; de $C$ : $a b^{'} + b a^{'} + c c^{'}$ ; de $C^{2}$ : $a c^{'} + b b^{'} + c a^{'}$ .

B.3. $I_{3} = M (1, 0, 0) \in ℰ$ ; $M (a, b, c) - M (a^{'}, b^{'}, c^{'}) = M (a - a^{'}, b - b^{'}, c - c^{'}) \in ℰ$ ; le produit est dans $ℰ$ (B.2). Donc $ℰ$ est un sous-anneau de $ℳ_{3} (ℝ)$ . Il est commutatif, car la formule de B.2 est symétrique en $(a, b, c)$ et $(a^{'}, b^{'}, c^{'})$ (ou parce que ses éléments sont des expressions en $C$ ).

B.4. $^{t} M (a, b, c) = a I_{3} + b^{t} C + c^{t} (C^{2}) = a I_{3} + b C^{2} + c C = M (a, c, b)$ (car $^{t} (C^{2}) = (^{t} C)^{2} = C^{4} = C$ ). Par B.1, $M (a, b, c)$ est symétrique si et seulement si $b = c$ .

C.1. $C J = C + C^{2} + C^{3} = C + C^{2} + I_{3} = J$ , puis $C^{2} J = C (C J) = J$ . Donc $M J = a J + b J + c J = s J$ .

C.2. On applique B.2 avec $a^{'} = a^{2} - b c$ , $b^{'} = c^{2} - a b$ , $c^{'} = b^{2} - a c$ :

coefficient de $I_{3}$ : $a (a^{2} - b c) + b (b^{2} - a c) + c (c^{2} - a b) = a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = Δ$ ;
coefficient de $C$ : $a (c^{2} - a b) + b (a^{2} - b c) + c (b^{2} - a c) = a c^{2} - a^{2} b + a^{2} b - b^{2} c + b^{2} c - a c^{2} = 0$ ;
coefficient de $C^{2}$ : $a (b^{2} - a c) + b (c^{2} - a b) + c (a^{2} - b c) = a b^{2} - a^{2} c + b c^{2} - a b^{2} + a^{2} c - b c^{2} = 0$ .

Donc $M M^{'} = Δ I_{3}$ , et $M^{'} M = M M^{'}$ par commutativité de $ℰ$ .

C.3. $(a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a)$ : les termes $a^{3}, b^{3}, c^{3}$ apparaissent une fois ; les termes du type $a^{2} b$ apparaissent avec $+ 1$ (produit $b \cdot a^{2}$ ) et $- 1$ (produit $a \cdot a b$ ) et se compensent ; le terme $a b c$ apparaît trois fois avec le signe $-$ . On obtient $Δ$ . Et $\frac{1}{2} [(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2}] = \frac{1}{2} [2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2} - 2 a b - 2 b c - 2 c a] = q$ .

C.4. Si $Δ \neq 0$ : $M \cdot \frac{1}{Δ} M^{'} = \frac{1}{Δ} M^{'} \cdot M = I_{3}$ , donc $M$ est inversible et $M^{- 1} = \frac{1}{Δ} M^{'}$ . Si $Δ = 0$ : par C.3, $s = 0$ ou $q = 0$ , et $q = 0$ équivaut à $a = b = c$ (somme de carrés de réels).

Si $s = 0$ : $M J = 0_{3}$ avec $J \neq 0_{3}$ , donc $M$ est un diviseur de zéro et n'est pas inversible.
Si $a = b = c$ : $M = a J$ et $M (I_{3} - C) = a (J - J C) = a (J - J) = 0_{3}$ (car $J C = C J = J$ ), avec $I_{3} - C \neq 0_{3}$ : $M$ n'est pas inversible.

Conclusion : $M (a, b, c) est inversible ⟺ a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c \neq 0.$

D.1. $I_{3} + C = M (1, 1, 0) = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array})$ , avec $Δ = 1 + 1 + 0 - 0 = 2 \neq 0$ et $M^{'} = M (1 - 0, 0 - 1, 1 - 0) = M (1, - 1, 1)$ . Donc $(I_{3} + C)^{- 1} = \frac{1}{2} (I_{3} - C + C^{2}) = \frac{1}{2} (\begin{array}{ccc} 1 & 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{array}) .$ Le système s'écrit $(I_{3} + C) X = Y$ avec $Y =^{t} (1, 2, 3)$ : $X = \frac{1}{2} (\begin{array}{c} 1 + 2 - 3 \\ - 1 + 2 + 3 \\ 1 - 2 + 3 \end{array})$ , soit $(x, y, z) = (0, 2, 1)$ ; vérification : $0 + 1 = 1$ , $0 + 2 = 2$ , $2 + 1 = 3$ .

D.2. Cette matrice est $M (t, 1, 1)$ . Ici $Δ = t^{3} + 1 + 1 - 3 t = t^{3} - 3 t + 2 = (t - 1)^{2} (t + 2)$ (en effet $s = t + 2$ et $q = t^{2} + 2 - 2 t - 1 = (t - 1)^{2}$ ). Elle est donc inversible si et seulement si $t \notin {1, - 2}$ . Pour $t = 1$ , c'est $J$ ; pour $t = - 2$ , la somme de chaque ligne est nulle et $M^{t} (1, 1, 1) = 0$ .

Après avoir comparé avec le corrigé :

Synthèse, niveau concours10 points

10. Problème type concours : une matrice semblable à une triangulaire

Format concours : questions numérotées en continu ; tout résultat de l'énoncé peut être admis pour la suite.

On considère $A = (\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 1 & 0 & 2 \end{array})$ et $P = (\begin{array}{ccc} 0 & - 1 & 1 \\ - 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{array})$ .

▶ Q.1 Calculer $tr (A)$ et $A^{2}$ . ▶ Q.2 Montrer, par la méthode du pivot de Gauss, que $P$ est inversible et calculer $P^{- 1}$ . ▶ Q.3 Calculer $T = P^{- 1} A P$ . Vérifier que $tr (T) = tr (A)$ . ▶ Q.4 On écrit $T = D + K$ avec $D = diag (2, 2, 1)$ . Montrer que $D K = K D$ et $K^{2} = 0_{3}$ , puis calculer $T^{n}$ pour $n \in ℕ$ . ▶ Q.5 Montrer que $A^{n} = P T^{n} P^{- 1}$ pour tout $n \in ℕ$ , puis écrire $A^{n}$ sous forme d'une seule matrice. ▶ Q.6 En déduire $tr (A^{n})$ . ▶ Q.7 Montrer que $(T - 2 I_{3})^{2} (T - I_{3}) = 0_{3}$ , puis que $(A - 2 I_{3})^{2} (A - I_{3}) = 0_{3}$ , et en tirer la relation $A^{3} = 5 A^{2} - 8 A + 4 I_{3}$ . ▶ Q.8 Justifier que $A \in G L_{3} (ℝ)$ , écrire $A^{- 1}$ à l'aide de $A^{2}$ , $A$ , $I_{3}$ , puis la calculer. ▶ Q.9 Vérifier que la formule de Q.5, écrite pour $n = - 1$ , redonne $A^{- 1}$ . ▶ Q.10 Soient $(u_{n})$ , $(v_{n})$ , $(w_{n})$ définies par $u_{0} = 0$ , $v_{0} = 1$ , $w_{0} = 0$ et, pour tout $n \in ℕ$ : $u_{n + 1} = u_{n} + v_{n} + w_{n}$ , $v_{n + 1} = u_{n} + 2 v_{n}$ , $w_{n + 1} = - u_{n} + 2 w_{n}$ . Exprimer $u_{n}$ , $v_{n}$ , $w_{n}$ en fonction de $n$ . ▶ Q.11 Retrouver directement, à partir des relations de récurrence, la valeur de $v_{n} + w_{n}$ . ▶ Q.12 Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $v_{n} \geq 1000$ .

Voir le corrigé

Q.1 $tr (A) = 1 + 2 + 2 = 5$ et $A^{2} = (\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 3 \\ 3 & 5 & 1 \\ - 3 & - 1 & 3 \end{array})$ (par exemple $(A^{2})_{11} = 1 + 1 - 1 = 1$ , $(A^{2})_{23} = 1 + 0 + 0 = 1$ , $(A^{2})_{31} = - 1 + 0 - 2 = - 3$ ).

Q.2 On part de $(P ∣ I_{3})$ . Échange $L_{1} \leftrightarrow L_{2}$ (le premier coefficient de $L_{1}$ est nul), puis $L_{1} \leftarrow - L_{1}$ : $(\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}) \overset{L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}}{⟶} (\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}) \overset{L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{2}}{⟶} (\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & - 1 & 1 & 1 \end{array}) .$ Pivots $1, - 1, - 1$ non nuls : $P$ est inversible. On remonte : $L_{3} \leftarrow - L_{3}$ donne $(0 0 1 ∣ 1 - 1 - 1)$ ; $L_{2} \leftarrow - (L_{2} - L_{3})$ donne $(0 1 0 ∣ 0 - 1 - 1)$ ; $L_{1} \leftarrow L_{1} - L_{3}$ donne $(1 0 0 ∣ - 1 0 1)$ . Donc $P^{- 1} = (\begin{array}{ccc} - 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & - 1 \end{array})$ Contrôle : la première ligne de $P^{- 1}$ contre la première colonne de $P$ donne $0 + 0 + 1 = 1$ , contre la deuxième $1 + 0 - 1 = 0$ .

Q.3 $A P = (\begin{array}{ccc} 0 & - 2 & 1 \\ - 2 & - 1 & - 1 \\ 2 & - 1 & 1 \end{array})$ , puis $T = P^{- 1} (A P) = (\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$ (par exemple $T_{11} = 0 + 0 + 2 = 2$ , $T_{12} = 2 + 0 - 1 = 1$ , $T_{33} = 1 + 1 - 1 = 1$ ). $tr (T) = 5 = tr (A)$ , comme le prévoit $tr (P^{- 1} A P) = tr (A)$ .

Q.4 $K = T - D = E_{12}$ . $D E_{12}$ multiplie la ligne 1 de $E_{12}$ par $2$ et $E_{12} D$ multiplie sa colonne 2 par $2$ : $D K = K D = 2 E_{12}$ . De plus $K^{2} = E_{12} E_{12} = 0_{3}$ . $D$ et $K$ commutent : par le binôme, pour $n \geq 1$ , $T^{n} = D^{n} + n D^{n - 1} K$ (termes $k \geq 2$ nuls), aussi vrai pour $n = 0$ . Comme $D^{n - 1} K = 2^{n - 1} E_{12}$ : $T^{n} = (\begin{array}{ccc} 2^{n} & n 2^{n - 1} & 0 \\ 0 & 2^{n} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$

Q.5 $A = P T P^{- 1}$ . Par récurrence : $A^{0} = I_{3} = P T^{0} P^{- 1}$ et, si $A^{n} = P T^{n} P^{- 1}$ , alors $A^{n + 1} = P T^{n} P^{- 1} P T P^{- 1} = P T^{n + 1} P^{- 1}$ . En calculant $P T^{n} = (\begin{array}{ccc} 0 & - 2^{n} & 1 \\ - 2^{n} & - n 2^{n - 1} & - 1 \\ 2^{n} & n 2^{n - 1} - 2^{n} & 1 \end{array})$ puis le produit par $P^{- 1}$ : $A^{n} = (\begin{array}{ccc} 1 & 2^{n} - 1 & 2^{n} - 1 \\ 2^{n} - 1 & n 2^{n - 1} + 1 & n 2^{n - 1} - 2^{n} + 1 \\ 1 - 2^{n} & 2^{n} - n 2^{n - 1} - 1 & 2^{n + 1} - n 2^{n - 1} - 1 \end{array})$ Contrôles : pour $n = 1$ on retrouve $A$ ; pour $n = 2$ , $A^{2}$ (Q.1).

Q.6 $tr (A^{n}) = 1 + (n 2^{n - 1} + 1) + (2^{n + 1} - n 2^{n - 1} - 1) = 2^{n + 1} + 1$ , en accord avec $tr (A^{n}) = tr (P T^{n} P^{- 1}) = tr (T^{n}) = 2 \cdot 2^{n} + 1$ .

Q.7 $T - 2 I_{3} = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array})$ , $(T - 2 I_{3})^{2} = diag (0, 0, 1)$ , et $T - I_{3} = (\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$ a une troisième ligne nulle. Or multiplier à gauche par $diag (0, 0, 1)$ ne conserve que la troisième ligne : $(T - 2 I_{3})^{2} (T - I_{3}) = 0_{3}$ . Pour tout réel $λ$ , $A - λ I_{3} = P (T - λ I_{3}) P^{- 1}$ ; en multipliant, les $P^{- 1} P$ intermédiaires disparaissent : $(A - 2 I_{3})^{2} (A - I_{3}) = P (T - 2 I_{3})^{2} (T - I_{3}) P^{- 1} = 0_{3}$ . Comme $A$ et $I_{3}$ commutent, on développe : $(A^{2} - 4 A + 4 I_{3}) (A - I_{3}) = A^{3} - 5 A^{2} + 8 A - 4 I_{3} = 0_{3}$ , soit $A^{3} = 5 A^{2} - 8 A + 4 I_{3}$ .

Q.8 La relation s'écrit $A (A^{2} - 5 A + 8 I_{3}) = (A^{2} - 5 A + 8 I_{3}) A = 4 I_{3}$ . Donc $A$ est inversible et $A^{- 1} = \frac{1}{4} (A^{2} - 5 A + 8 I_{3}) = (\begin{array}{ccc} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{array})$ (Par exemple, coefficient $(1, 1)$ : $\frac{1}{4} (1 - 5 + 8) = 1$ ; coefficient $(3, 1)$ : $\frac{1}{4} (- 3 + 5 + 0) = \frac{1}{2}$ .)

Q.9 Pour $n = - 1$ ( $2^{- 1} = \frac{1}{2}$ ) la formule de Q.5 donne : ligne 1 : $(1, - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ ; ligne 2 : $(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{4} + 1, - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1) = (- \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{1}{4})$ ; ligne 3 : $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - 1, 1 + \frac{1}{4} - 1) = (\frac{1}{2}, - \frac{1}{4}, \frac{1}{4})$ . C'est bien $A^{- 1}$ . (La justification : $T^{- 1}$ est donné par la formule de Q.4 pour $n = - 1$ , comme on le vérifie en calculant $T \cdot T^{- 1}$ , et $A^{- 1} = P T^{- 1} P^{- 1}$ .)

Q.10 Avec $X_{n} =^{t} (u_{n}, v_{n}, w_{n})$ , le système s'écrit $X_{n + 1} = A X_{n}$ , donc par récurrence $X_{n} = A^{n} X_{0}$ . Comme $X_{0} =^{t} (0, 1, 0)$ , $X_{n}$ est la deuxième colonne de $A^{n}$ : $u_{n} = 2^{n} - 1, v_{n} = n 2^{n - 1} + 1, w_{n} = 2^{n} - n 2^{n - 1} - 1.$ Contrôle : $u_{1} = 1$ , $v_{1} = 2$ , $w_{1} = 0$ , ce que donnent aussi les relations de récurrence.

Q.11 En ajoutant les deux dernières relations : $v_{n + 1} + w_{n + 1} = 2 (v_{n} + w_{n})$ . La suite $(v_{n} + w_{n})$ est géométrique de raison $2$ et de premier terme $1$ : $v_{n} + w_{n} = 2^{n}$ . Les formules de Q.10 donnent bien $n 2^{n - 1} + 1 + 2^{n} - n 2^{n - 1} - 1 = 2^{n}$ .

Q.12 La suite $(v_{n})$ est croissante, car $v_{n + 1} - v_{n} = (n + 1) 2^{n} - n 2^{n - 1} = (n + 2) 2^{n - 1} > 0$ . Or $v_{7} = 7 \cdot 64 + 1 = 449 < 1000$ et $v_{8} = 8 \cdot 128 + 1 = 1025 \geq 1000$ . Le plus petit entier cherché est $n = 8$ .

Après avoir comparé avec le corrigé :

Niveau devoir10 points

11. La trace : $tr (A B) = tr (B A)$ et ses conséquences

Classique du programme : trace (tr(AB)=tr(BA)).

Dans cet exercice $𝕂 = ℝ$ ou $ℂ$ ; $n \geq 2$ ; $E_{i j}$ désigne la matrice élémentaire de $ℳ_{n} (𝕂)$ (un seul coefficient égal à $1$ , en position $(i, j)$ ), et l'on rappelle $E_{i j} E_{k l} = δ_{j k} E_{i l}$ .

(2 points) a) Soient $A \in ℳ_{n, p} (𝕂)$ et $B \in ℳ_{p, n} (𝕂)$ . Démontrer que $tr (A B) = tr (B A)$ , bien que $A B$ et $B A$ n'aient pas la même taille si $n \neq p$ . b) En déduire $tr (A B C) = tr (B C A)$ pour des matrices carrées, puis, avec $A = E_{12}$ , $B = E_{21}$ , $C = E_{11}$ dans $ℳ_{2} (𝕂)$ , que $tr (A B C) \neq tr (B A C)$ en général.
(1,5 point) Soit $P \in G L_{n} (𝕂)$ . Montrer que $tr (P^{- 1} A P) = tr (A)$ . Les matrices $A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{array})$ et $B = (\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{array})$ sont-elles semblables ? Et $I_{2}$ et $(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array})$ , qui ont la même trace ?
(3 points) a) Montrer qu'il n'existe pas de couple $(A, B)$ de $ℳ_{n} (𝕂)$ tel que $A B - B A = I_{n}$ . b) On suppose que $A, B \in ℳ_{n} (𝕂)$ vérifient $A B - B A = A$ . Montrer par récurrence que $A^{k} B - B A^{k} = k A^{k}$ pour tout $k \geq 1$ , puis que $tr (A^{k}) = 0$ pour tout $k \geq 1$ . c) Pour $n = 2$ , en déduire que $A^{2} = 0_{2}$ . Donner un exemple de couple $(A, B) \neq (0, 0)$ vérifiant $A B - B A = A$ .
(3,5 points) Soit $𝒯_{0} = {M \in ℳ_{n} (𝕂) : tr (M) = 0}$ . a) Montrer que tout $M \in ℳ_{n} (𝕂)$ s'écrit de façon unique $M = λ I_{n} + M_{0}$ avec $λ \in 𝕂$ et $M_{0} \in 𝒯_{0}$ ; exprimer $λ$ . b) Vérifier que, pour $i \neq j$ , $E_{i j} = E_{i i} E_{i j} - E_{i j} E_{i i}$ et $E_{i i} - E_{j j} = E_{i j} E_{j i} - E_{j i} E_{i j}$ . c) En déduire que tout élément de $𝒯_{0}$ est somme de commutateurs $X Y - Y X$ , puis que $𝒯_{0}$ est exactement l'ensemble des sommes de commutateurs. d) Écrire $(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array})$ comme combinaison de commutateurs de matrices élémentaires de $ℳ_{2} (𝕂)$ .

Voir le corrigé

1.a) $A B \in ℳ_{n}$ et $B A \in ℳ_{p}$ ; leurs traces sont définies. On a $(A B)_{i i} = \sum_{k = 1}^{p} a_{i k} b_{k i}$ et $(B A)_{k k} = \sum_{i = 1}^{n} b_{k i} a_{i k}$ , donc $tr (A B) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{p} a_{i k} b_{k i} = \sum_{k = 1}^{p} \sum_{i = 1}^{n} b_{k i} a_{i k} = tr (B A),$ l'échange des deux sommes finies étant licite et le produit de scalaires commutatif. $tr (A B) = tr (B A)$ .

1.b) Appliquons 1.a) au produit de $A B$ par $C$ : $A B C$ et $C A B$ ont même trace. En regroupant plutôt $A$ avec $B C$ , on obtient aussi $tr (A B C) = tr (B C A)$ . On ne peut pas permuter deux facteurs seulement : $A B C = E_{12} E_{21} E_{11} = E_{11} E_{11} = E_{11}$ de trace $1$ , alors que $B A C = E_{21} E_{12} E_{11} = E_{22} E_{11} = 0_{2}$ de trace $0$ .

2. On applique 1.a) aux deux facteurs $P^{- 1}$ et $A P$ , ce qui permute les facteurs : la trace de $P^{- 1} (A P)$ égale celle de $(A P) P^{- 1} = A$ , soit $tr (A)$ . Pour $A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{array})$ et $B = (\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{array})$ : $tr A = 4 \neq 3 = tr B$ , donc elles ne sont pas semblables. Pour la seconde paire, les traces sont égales ( $2$ et $2$ ), mais $P^{- 1} I_{2} P = I_{2} \neq (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array})$ pour toute $P$ inversible : elles ne sont pas semblables. L'égalité des traces est une condition nécessaire, non suffisante.

3.a) Si $A B - B A = I_{n}$ , la trace donne $tr (A B) - tr (B A) = 0$ d'un côté et $tr (I_{n}) = n$ de l'autre, soit $n = 0$ , ce qui est faux dans $𝕂$ : $aucun couple ne convient$ .

3.b) Pour $k = 1$ c'est l'hypothèse. Si $A^{k} B - B A^{k} = k A^{k}$ , alors $A^{k + 1} B - B A^{k + 1} = A (A^{k} B) - B A^{k + 1} = A (B A^{k} + k A^{k}) - B A^{k + 1} = (A B - B A) A^{k} + k A^{k + 1} = (k + 1) A^{k + 1} .$ En prenant la trace : $tr (A^{k} B) - tr (B A^{k}) = 0 = k tr (A^{k})$ , donc $tr (A^{k}) = 0$ pour tout $k \geq 1$ (car $k \neq 0$ dans $𝕂$ ).

3.c) Pour $n = 2$ , la relation $A^{2} - tr (A) A + δ (A) I_{2} = 0_{2}$ (fiche §9) avec $tr (A) = 0$ donne $A^{2} = - δ (A) I_{2}$ . En prenant la trace, $0 = tr (A^{2}) = - 2 δ (A)$ , donc $δ (A) = 0$ et $A^{2} = 0_{2}$ . Exemple. $A = E_{12}$ et $B = E_{22}$ : $A B = E_{12} E_{22} = E_{12}$ et $B A = E_{22} E_{12} = 0$ , donc $A B - B A = A$ .

4.a) Unicité et existence. Si $M = λ I_{n} + M_{0}$ avec $tr M_{0} = 0$ , alors $tr M = n λ$ , donc nécessairement $λ = \frac{tr M}{n}$ et $M_{0} = M - \frac{tr M}{n} I_{n}$ . Réciproquement, cette matrice $M_{0}$ a pour trace $tr M - \frac{tr M}{n} \cdot n = 0$ . Ainsi $M = \frac{tr M}{n} I_{n} + M_{0}$ de manière unique (on divise par $n$ : c'est ici que $𝕂$ de caractéristique nulle intervient).

4.b) Pour $i \neq j$ : $E_{i i} E_{i j} = δ_{i i} E_{i j} = E_{i j}$ et $E_{i j} E_{i i} = δ_{j i} E_{i i} = 0$ car $j \neq i$ ; d'où $E_{i i} E_{i j} - E_{i j} E_{i i} = E_{i j}$ . De même $E_{i j} E_{j i} = E_{i i}$ et $E_{j i} E_{i j} = E_{j j}$ , donc $E_{i j} E_{j i} - E_{j i} E_{i j} = E_{i i} - E_{j j}$ .

4.c) Soit $M = (m_{i j}) \in 𝒯_{0}$ . On écrit $M = \sum_{i \neq j} m_{i j} E_{i j} + \sum_{i = 1}^{n} m_{i i} E_{i i}$ . Comme $\sum_{i} m_{i i} = 0$ , on a $m_{n n} = - \sum_{i < n} m_{i i}$ et $\sum_{i = 1}^{n} m_{i i} E_{i i} = \sum_{i = 1}^{n - 1} m_{i i} (E_{i i} - E_{n n}) .$ Par 4.b), chaque $E_{i j}$ ( $i \neq j$ ) et chaque $E_{i i} - E_{n n}$ est un commutateur, et un multiple scalaire d'un commutateur en est un ( $μ (X Y - Y X) = (μ X) Y - Y (μ X)$ ) : $M$ est une somme de commutateurs. Réciproquement, un commutateur $X Y - Y X$ a pour trace $tr (X Y) - tr (Y X) = 0$ , et la trace est linéaire : toute somme de commutateurs est dans $𝒯_{0}$ . Donc $𝒯_{0} = {sommes de commutateurs}$ .

4.d) La matrice $(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array})$ a pour trace $0$ . Elle vaut $1 \cdot (E_{11} - E_{22}) + 2 E_{12} + 3 E_{21}$ , avec $E_{11} - E_{22} = E_{12} E_{21} - E_{21} E_{12}, E_{12} = E_{11} E_{12} - E_{12} E_{11}, E_{21} = E_{22} E_{21} - E_{21} E_{22},$ d'où $(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array}) = [E_{12}, E_{21}] + 2 [E_{11}, E_{12}] + 3 [E_{22}, E_{21}]$ , en notant $[X, Y] = X Y - Y X$ .

Après avoir comparé avec le corrigé :

Révisions prépa

Algèbre · 1re année

Calcul matriciel

Application du cours4 points

1. Produits possibles, non-commutativité, diviseurs de zéro

Parmi les produits $X Y$ avec $X, Y \in {A, B, C, D}$ et $X \neq Y$ , lesquels sont définis ? Donner le type de chacun.
Calculer $A B$ , $B A$ , $A C$ et $D A$ . Comparer $tr (A B)$ et $tr (B A)$ .
Soit $U = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{array})$ et $V = (\begin{array}{cc} 2 & - 4 \\ - 1 & 2 \end{array})$ . Calculer $U V$ , $V U$ et $(V U)^{2}$ . Que peut-on dire de l'anneau $ℳ_{2} (ℝ)$ ?

Voir le corrigé

1. Les types sont $A : (2, 3)$ , $B : (3, 2)$ , $C : (3, 1)$ , $D : (2, 2)$ . Le produit $X Y$ existe si et seulement si le nombre de colonnes de $X$ est égal au nombre de lignes de $Y$ .

$A$ a 3 colonnes : $A B$ de type $(2, 2)$ et $A C$ de type $(2, 1)$ .
$B$ a 2 colonnes : $B A$ de type $(3, 3)$ et $B D$ de type $(3, 2)$ .
$C$ a 1 colonne : aucune des autres matrices n'a une seule ligne, donc aucun produit $C Y$ .
$D$ a 2 colonnes : $D A$ de type $(2, 3)$ ( $D B$ n'existe pas, $B$ ayant 3 lignes).

Il y a donc exactement cinq produits définis : $A B, A C, B A, B D, D A$ .

Après avoir comparé avec le corrigé :

Application du cours5 points

2. Puissances par le binôme de Newton

Soit $A = (\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 \end{array})$ et $N = A - 3 I_{3}$ .

Calculer $N^{2}$ et $N^{3}$ . En déduire $N^{k}$ pour $k \geq 3$ .
Justifier que l'on peut appliquer la formule du binôme à $3 I_{3} + N$ , puis exprimer $A^{n}$ pour tout $n \in ℕ$ sous forme d'une seule matrice.
Justifier que $A$ est inversible. On pose $B = \frac{1}{3} (I_{3} - \frac{1}{3} N + \frac{1}{9} N^{2})$ ; montrer que $A B = B A = I_{3}$ .
Vérifier que la formule de la question 2, écrite pour $n = - 1$ , redonne $B$ .

Voir le corrigé

Après avoir comparé avec le corrigé :

Application du cours5 points

3. Inverse par le pivot de Gauss, système, matrice à paramètre

Soit $M = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 3 \\ 2 & 3 & 2 \end{array})$ . Montrer, par la méthode du pivot de Gauss, que $M$ est inversible et calculer $M^{- 1}$ .
En déduire la solution du système ${\begin{cases} x + 2 y + z = 1 \\ 2 x + 3 y + 3 z = 0 \\ 2 x + 3 y + 2 z = - 1 \end{cases}$ .
Pour $m \in ℝ$ , on pose $B_{m} = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & m \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & m & 0 \end{array})$ . Déterminer, à l'aide d'opérations élémentaires sur les lignes, les valeurs de $m$ pour lesquelles $B_{m}$ est inversible. Pour la valeur exclue, exhiber une colonne $X \neq 0$ telle que $B_{m} X = 0$ .

Voir le corrigé

Après avoir comparé avec le corrigé :

Application du cours5 points

4. Transposée, symétriques, antisymétriques et trace

Soit $n \geq 2$ . On note $𝒮_{n}$ et $𝒜_{n}$ les ensembles des matrices symétriques et antisymétriques de $ℳ_{n} (ℝ)$ .

Soit $A = (\begin{array}{ccc} 1 & 4 & - 2 \\ 0 & 3 & 5 \\ 6 & 1 & - 1 \end{array})$ . Écrire $A = S + T$ avec $S \in 𝒮_{3}$ et $T \in 𝒜_{3}$ .
Montrer que, pour toute $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ , une telle écriture existe et est unique.
Montrer que si $S \in 𝒮_{n}$ et $T \in 𝒜_{n}$ , alors $tr (S T) = 0$ . Le vérifier sur l'exemple de la question 1.
Calculer $tr (^{t} ⁣ A A)$ pour la matrice de la question 1, sans calculer $^{t} ⁣ A A$ en entier.
(a) Montrer qu'il n'existe pas de matrices $X, Y \in ℳ_{n} (ℝ)$ telles que $X Y - Y X = I_{n}$ . (b) Trouver $X, Y \in ℳ_{2} (ℝ)$ telles que $X Y - Y X = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array})$ .

Voir le corrigé

5.(a) Par linéarité et d'après $tr (X Y) = tr (Y X)$ : $tr (X Y - Y X) = 0$ . Or $tr (I_{n}) = n \neq 0$ . L'égalité $X Y - Y X = I_{n}$ est donc impossible.

Après avoir comparé avec le corrigé :

Niveau devoir6 points

5. Une relation $A^{2} = 4 A - 3 I_{3}$ et toutes les puissances de $A$

Soit $A = (\begin{array}{ccc} 3 & - 2 & 2 \\ 2 & - 1 & 2 \\ 2 & - 2 & 3 \end{array})$ .

Calculer $A^{2}$ et vérifier que $A^{2} - 4 A + 3 I_{3} = 0_{3}$ .
Justifier que $A$ admet un inverse, que l'on écrira comme combinaison de $A$ et de $I_{3}$ .
Montrer que, pour tout $n \in ℕ$ , il existe deux réels $a_{n}, b_{n}$ tels que $A^{n} = a_{n} A + b_{n} I_{3}$ , avec $a_{n + 1} = 4 a_{n} + b_{n}$ et $b_{n + 1} = - 3 a_{n}$ . Montrer que $a_{n} + b_{n} = 1$ , puis calculer $a_{n}$ et $b_{n}$ .
Autre méthode. On pose $E = \frac{1}{2} (A - I_{3})$ . Vérifier que $E^{2} = E$ , puis retrouver $A^{n}$ à l'aide de la formule du binôme.
Pour $x, y$ réels, calculer $(I_{3} + x E) (I_{3} + y E)$ . En déduire que la formule $A^{n} = I_{3} + (3^{n} - 1) E$ est vraie pour tout $n \in ℤ$ .

Voir le corrigé

Après avoir comparé avec le corrigé :

Niveau devoir6 points

6. Le commutant d'une matrice nilpotente et ses racines carrées

Soit $N = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$ et $𝒞 (N) = {X \in ℳ_{3} (ℝ), N X = X N}$ .

Calculer $N^{2}$ et $N^{3}$ .
Soit $X = (x_{i j}) \in ℳ_{3} (ℝ)$ . Calculer $N X$ et $X N$ . En déduire que $X \in 𝒞 (N)$ si et seulement s'il existe des réels $a, b, c$ tels que $X = a I_{3} + b N + c N^{2}$ .
En déduire que $𝒞 (N)$ est un sous-anneau commutatif de $ℳ_{3} (ℝ)$ .
Montrer qu'il n'existe aucune matrice $X \in ℳ_{3} (ℝ)$ telle que $X^{2} = N$ .
Déterminer toutes les matrices $X \in ℳ_{3} (ℝ)$ telles que $X^{2} = I_{3} + N$ .

Voir le corrigé

1. $N^{2} = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$ et $N^{3} = 0_{3}$ : $N$ est nilpotente d'indice $3$ .

Après avoir comparé avec le corrigé :

Niveau devoir6 points

7. Matrices d'ordre 2 : la relation $A^{2} - tr (A) A + δ (A) I_{2} = 0$

Pour $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}) \in ℳ_{2} (ℝ)$ , on pose $δ (A) = a d - b c$ .

Montrer que $A^{2} - tr (A) A + δ (A) I_{2} = 0_{2}$ .
En déduire que si $δ (A) \neq 0$ , $A$ est inversible, et retrouver l'expression de $A^{- 1}$ .
Montrer que $A$ est nilpotente si et seulement si $tr (A) = 0$ et $δ (A) = 0$ . Que vaut alors $A^{2}$ ?
Soit $A = (\begin{array}{cc} 3 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array})$ . Montrer que $(A - 2 I_{2})^{2} = 0_{2}$ , puis calculer $A^{n}$ pour $n \in ℕ$ . La formule reste-t-elle vraie pour $n = - 1$ ?
Décrire toutes les matrices $M \in ℳ_{2} (ℝ)$ telles que $M^{2} = 0_{2}$ .

Voir le corrigé

Après avoir comparé avec le corrigé :

Niveau devoir6 points

8. Matrices triangulaires : stabilité, nilpotence, inversibilité

Soit $n \geq 2$ . On note $𝒯_{n}$ l'ensemble des matrices triangulaires supérieures de $ℳ_{n} (ℝ)$ et $𝒩_{n}$ celui des matrices strictement triangulaires supérieures.

Soient $A, B \in 𝒯_{n}$ . Montrer que $A B \in 𝒯_{n}$ et que $(A B)_{i i} = a_{i i} b_{i i}$ pour tout $i$ . En déduire que si $A \in 𝒯_{n}$ et $B \in 𝒩_{n}$ , alors $A B \in 𝒩_{n}$ et $B A \in 𝒩_{n}$ .
Soit $N \in 𝒩_{n}$ . Montrer par récurrence sur $k \geq 1$ que $(N^{k})_{i j} = 0$ dès que $j < i + k$ . En déduire que $N^{n} = 0_{n}$ .
Soit $N \in 𝒩_{n}$ . Montrer que $I_{n} + N$ est inversible, d'inverse $\sum_{k = 0}^{n - 1} (- 1)^{k} N^{k}$ , et que cet inverse est triangulaire supérieur à diagonale de $1$ .
Soit $A \in 𝒯_{n}$ . (a) On suppose $a_{i i} \neq 0$ pour tout $i$ . En écrivant $A = D (I_{n} + D^{- 1} N^{'})$ , où $D = diag (a_{11}, \dots, a_{n n})$ et $N^{'} = A - D$ , prouver l'inversibilité de $A$ . (b) On suppose qu'il existe $i$ tel que $a_{i i} = 0$ ; on note $i_{0}$ le plus petit. Construire une colonne $X \neq 0$ telle que $A X = 0$ . Conclure.
Application : calculer l'inverse de $U = (\begin{array}{ccc} 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$ .

Voir le corrigé

Après avoir comparé avec le corrigé :

Synthèse, niveau concours10 points

9. Problème : l'anneau des matrices circulantes d'ordre 3

Partie A — La matrice $C$ (2 points).

Calculer $C^{2}$ et $C^{3}$ .
Montrer que $C$ est inversible et que $C^{- 1} =^{t} C = C^{2}$ .

Partie B — L'anneau $ℰ$ (3 points).

Écrire $M (a, b, c)$ sous forme de tableau. En déduire que $M (a, b, c)$ n'est la matrice nulle que pour $a = b = c = 0$ .
Montrer que $M (a, b, c) M (a^{'}, b^{'}, c^{'}) = M (a a^{'} + b c^{'} + c b^{'}, a b^{'} + b a^{'} + c c^{'}, a c^{'} + b b^{'} + c a^{'})$ .
En déduire que $ℰ$ est un sous-anneau commutatif de $ℳ_{3} (ℝ)$ .
À quelle condition sur $(a, b, c)$ la matrice $M (a, b, c)$ est-elle symétrique ?

Partie C — Inversibilité (3 points). Soit $M = M (a, b, c)$ , $s = a + b + c$ et $Δ = a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c$ .

Montrer que $M J = s J$ .
On pose $M^{'} = M (a^{2} - b c, c^{2} - a b, b^{2} - a c)$ . Montrer que $M M^{'} = M^{'} M = Δ I_{3}$ .
Vérifier que $Δ = s q$ avec $q = a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a = \frac{1}{2} [(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2}]$ .
Prouver l'équivalence « $M \in G L_{3} (ℝ) ⟺ Δ \neq 0$ », puis donner $M^{- 1}$ lorsque $Δ \neq 0$ . (Si $Δ = 0$ , on distinguera $s = 0$ et $a = b = c$ ; dans ce second cas, on pourra calculer $M (I_{3} - C)$ .)

Partie D — Applications (2 points).

Calculer l'inverse de $I_{3} + C$ et résoudre le système ${\begin{cases} x + z = 1 \\ x + y = 2 \\ y + z = 3 \end{cases}$ .
Pour quels réels $t$ la matrice $(\begin{array}{ccc} t & 1 & 1 \\ 1 & t & 1 \\ 1 & 1 & t \end{array})$ est-elle inversible ?

Voir le corrigé

A.1. $C^{2} = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array})$ et $C^{3} = I_{3}$ (par exemple, la première ligne de $C^{2}$ contre les colonnes de $C$ donne $(1, 0, 0)$ ).

C.1. $C J = C + C^{2} + C^{3} = C + C^{2} + I_{3} = J$ , puis $C^{2} J = C (C J) = J$ . Donc $M J = a J + b J + c J = s J$ .

C.2. On applique B.2 avec $a^{'} = a^{2} - b c$ , $b^{'} = c^{2} - a b$ , $c^{'} = b^{2} - a c$ :

coefficient de $I_{3}$ : $a (a^{2} - b c) + b (b^{2} - a c) + c (c^{2} - a b) = a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = Δ$ ;
coefficient de $C$ : $a (c^{2} - a b) + b (a^{2} - b c) + c (b^{2} - a c) = a c^{2} - a^{2} b + a^{2} b - b^{2} c + b^{2} c - a c^{2} = 0$ ;
coefficient de $C^{2}$ : $a (b^{2} - a c) + b (c^{2} - a b) + c (a^{2} - b c) = a b^{2} - a^{2} c + b c^{2} - a b^{2} + a^{2} c - b c^{2} = 0$ .

Donc $M M^{'} = Δ I_{3}$ , et $M^{'} M = M M^{'}$ par commutativité de $ℰ$ .

Si $s = 0$ : $M J = 0_{3}$ avec $J \neq 0_{3}$ , donc $M$ est un diviseur de zéro et n'est pas inversible.
Si $a = b = c$ : $M = a J$ et $M (I_{3} - C) = a (J - J C) = a (J - J) = 0_{3}$ (car $J C = C J = J$ ), avec $I_{3} - C \neq 0_{3}$ : $M$ n'est pas inversible.

Conclusion : $M (a, b, c) est inversible ⟺ a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c \neq 0.$

Après avoir comparé avec le corrigé :

Synthèse, niveau concours10 points

10. Problème type concours : une matrice semblable à une triangulaire

Format concours : questions numérotées en continu ; tout résultat de l'énoncé peut être admis pour la suite.

On considère $A = (\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 1 & 0 & 2 \end{array})$ et $P = (\begin{array}{ccc} 0 & - 1 & 1 \\ - 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{array})$ .

Voir le corrigé

Q.6 $tr (A^{n}) = 1 + (n 2^{n - 1} + 1) + (2^{n + 1} - n 2^{n - 1} - 1) = 2^{n + 1} + 1$ , en accord avec $tr (A^{n}) = tr (P T^{n} P^{- 1}) = tr (T^{n}) = 2 \cdot 2^{n} + 1$ .

Après avoir comparé avec le corrigé :

Niveau devoir10 points

11. La trace : $tr (A B) = tr (B A)$ et ses conséquences

Classique du programme : trace (tr(AB)=tr(BA)).

(2 points) a) Soient $A \in ℳ_{n, p} (𝕂)$ et $B \in ℳ_{p, n} (𝕂)$ . Démontrer que $tr (A B) = tr (B A)$ , bien que $A B$ et $B A$ n'aient pas la même taille si $n \neq p$ . b) En déduire $tr (A B C) = tr (B C A)$ pour des matrices carrées, puis, avec $A = E_{12}$ , $B = E_{21}$ , $C = E_{11}$ dans $ℳ_{2} (𝕂)$ , que $tr (A B C) \neq tr (B A C)$ en général.
(1,5 point) Soit $P \in G L_{n} (𝕂)$ . Montrer que $tr (P^{- 1} A P) = tr (A)$ . Les matrices $A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{array})$ et $B = (\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{array})$ sont-elles semblables ? Et $I_{2}$ et $(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array})$ , qui ont la même trace ?
(3 points) a) Montrer qu'il n'existe pas de couple $(A, B)$ de $ℳ_{n} (𝕂)$ tel que $A B - B A = I_{n}$ . b) On suppose que $A, B \in ℳ_{n} (𝕂)$ vérifient $A B - B A = A$ . Montrer par récurrence que $A^{k} B - B A^{k} = k A^{k}$ pour tout $k \geq 1$ , puis que $tr (A^{k}) = 0$ pour tout $k \geq 1$ . c) Pour $n = 2$ , en déduire que $A^{2} = 0_{2}$ . Donner un exemple de couple $(A, B) \neq (0, 0)$ vérifiant $A B - B A = A$ .
(3,5 points) Soit $𝒯_{0} = {M \in ℳ_{n} (𝕂) : tr (M) = 0}$ . a) Montrer que tout $M \in ℳ_{n} (𝕂)$ s'écrit de façon unique $M = λ I_{n} + M_{0}$ avec $λ \in 𝕂$ et $M_{0} \in 𝒯_{0}$ ; exprimer $λ$ . b) Vérifier que, pour $i \neq j$ , $E_{i j} = E_{i i} E_{i j} - E_{i j} E_{i i}$ et $E_{i i} - E_{j j} = E_{i j} E_{j i} - E_{j i} E_{i j}$ . c) En déduire que tout élément de $𝒯_{0}$ est somme de commutateurs $X Y - Y X$ , puis que $𝒯_{0}$ est exactement l'ensemble des sommes de commutateurs. d) Écrire $(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array})$ comme combinaison de commutateurs de matrices élémentaires de $ℳ_{2} (𝕂)$ .

Voir le corrigé

3.a) Si $A B - B A = I_{n}$ , la trace donne $tr (A B) - tr (B A) = 0$ d'un côté et $tr (I_{n}) = n$ de l'autre, soit $n = 0$ , ce qui est faux dans $𝕂$ : $aucun couple ne convient$ .

Après avoir comparé avec le corrigé :

1. Produits possibles, non-commutativité, diviseurs de zéro

2. Puissances par le binôme de Newton

3. Inverse par le pivot de Gauss, système, matrice à paramètre

4. Transposée, symétriques, antisymétriques et trace

5. Une relation A2=4A−3I3 et toutes les puissances de A

6. Le commutant d'une matrice nilpotente et ses racines carrées

7. Matrices d'ordre 2 : la relation A2−tr⁡(A)A+δ(A)I2=0

8. Matrices triangulaires : stabilité, nilpotence, inversibilité

9. Problème : l'anneau des matrices circulantes d'ordre 3

10. Problème type concours : une matrice semblable à une triangulaire

11. La trace : tr⁡(AB)=tr⁡(BA) et ses conséquences

1. Produits possibles, non-commutativité, diviseurs de zéro

2. Puissances par le binôme de Newton

3. Inverse par le pivot de Gauss, système, matrice à paramètre

4. Transposée, symétriques, antisymétriques et trace

5. Une relation A2=4A−3I3 et toutes les puissances de A

6. Le commutant d'une matrice nilpotente et ses racines carrées

7. Matrices d'ordre 2 : la relation A2−tr⁡(A)A+δ(A)I2=0

8. Matrices triangulaires : stabilité, nilpotence, inversibilité

9. Problème : l'anneau des matrices circulantes d'ordre 3

10. Problème type concours : une matrice semblable à une triangulaire

11. La trace : tr⁡(AB)=tr⁡(BA) et ses conséquences

5. Une relation $A^{2} = 4 A - 3 I_{3}$ et toutes les puissances de $A$

7. Matrices d'ordre 2 : la relation $A^{2} - tr (A) A + δ (A) I_{2} = 0$

11. La trace : $tr (A B) = tr (B A)$ et ses conséquences

5. Une relation $A^{2} = 4 A - 3 I_{3}$ et toutes les puissances de $A$

7. Matrices d'ordre 2 : la relation $A^{2} - tr (A) A + δ (A) I_{2} = 0$

11. La trace : $tr (A B) = tr (B A)$ et ses conséquences