Définition. $f$ est dérivable en $a$ si le taux d'accroissement ${\tau }_a(x)={\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}}$ admet une limite finie quand $x\to a$, $x\mathrm{\ne }a$. Cette limite est le nombre dérivé $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ ; on écrit aussi $\frac{df}{dx}(a)$. Avec $x=a+h$ : $f^{\mathrm{\prime }}(a)=\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}}$.

Dérivées à droite et à gauche. $f_d^{\mathrm{\prime }}(a)=\underset{x\to a^{+}}{\lim }{\tau }_a(x)$ et $f_g^{\mathrm{\prime }}(a)=\underset{x\to a^{-}}{\lim }{\tau }_a(x)$ lorsqu'elles existent et sont finies. Pour $a$ intérieur à $I$ : $f$ dérivable en $a$ $⟺$ $f_g^{\mathrm{\prime }}(a)$ et $f_d^{\mathrm{\prime }}(a)$ existent et sont égales.

Écriture avec un reste. La dérivabilité de $f$ au point $a$ équivaut à l'existence d'un réel $\mathrm{\ell }$ et d'une fonction $\epsilon$ de limite nulle en $a$ vérifiant, pour tout $x\in I$ : $$f(x)=f(a)+\mathrm{\ell }(x-a)+(x-a)\epsilon (x)\mathrm{.}$$ On a alors $\mathrm{\ell }=f^{\mathrm{\prime }}(a)$. Cette forme évite toute division et sert dans les preuves (composée, réciproque).

Dérivable ⇒ continue. Si $f$ est dérivable en $a$, elle est continue en $a$ (faire $x\to a$ dans l'écriture ci-dessus). La réciproque est fausse : $x\mapsto \mid x\mid$ est continue en $0$, avec $f_g^{\mathrm{\prime }}(0)=-1\mathrm{\ne }{f}_d^{\mathrm{\prime }}(0)=1$.

Interprétation géométrique.

• Si $f$ est dérivable en $a$, la courbe ${𝒞}_f$ admet au point $(a,f(a))$ la tangente d'équation $y=f(a)+f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)$.
• Si $f_g^{\mathrm{\prime }}(a)\mathrm{\ne }{f}_d^{\mathrm{\prime }}(a)$, deux demi-tangentes distinctes : point anguleux.
• Si ${\tau }_a(x)\to \pm \mathrm{\infty }$, $f$ n'est pas dérivable en $a$ mais ${𝒞}_f$ a une tangente verticale ($x=a$) en ce point. Exemple : $\sqrt[3]{x}$ en $0$.

$f$ est dérivable sur $I$ si elle l'est en tout point de $I$ (à droite ou à gauche aux extrémités qui appartiennent à $I$) ; sa fonction dérivée est $f^{\mathrm{\prime }}:x\mapsto f^{\mathrm{\prime }}(x)$.

Si $f$ et $g$ sont dérivables en $a$ et $\lambda \in ℝ$ :

• $(f+g{)}^{\mathrm{\prime }}(a)=f^{\mathrm{\prime }}(a)+g^{\mathrm{\prime }}(a)$, $(\lambda f{)}^{\mathrm{\prime }}(a)=\lambda f^{\mathrm{\prime }}(a)$, $(fg{)}^{\mathrm{\prime }}(a)=f^{\mathrm{\prime }}(a)g(a)+f(a)g^{\mathrm{\prime }}(a)$ ;
• si $g(a)\mathrm{\ne }0$ : ${\left({\displaystyle \frac{f}{g}}\right)}^{\mathrm{\prime }}(a)={\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}(a)g(a)-f(a)g^{\mathrm{\prime }}(a)}{g(a{)}^2}}$.

Composée. Lorsque $f$ admet un nombre dérivé au point $a$ et $g$ un nombre dérivé au point $f(a)$, la composée $g\circ f$ admet un nombre dérivé en $a$, égal à $(g\circ f{)}^{\mathrm{\prime }}(a)=f^{\mathrm{\prime }}(a)g^{\mathrm{\prime }}(f(a))$. Exposant variable : on repasse par l'exponentielle, $u^v=e^{v\ln u}$ ($u>0$), donc $(u^v{)}^{\mathrm{\prime }}=(v^{\mathrm{\prime }}\ln u+v\frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u})u^v$.

Dérivée de la bijection réciproque. Hypothèses : (i) $f$ est continue et strictement monotone sur l'intervalle $I$ (donc bijective de $I$ sur l'intervalle $J=f(I)$) ; (ii) $f$ est dérivable en $a$ ; (iii) $f^{\mathrm{\prime }}(a)\mathrm{\ne }0$. Conclusion : $f^{-1}$ est dérivable en $b=f(a)$ et $(f^{-1}{)}^{\mathrm{\prime }}(b)={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}(a)}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}(f^{-1}(b))}}$. Si $f^{\mathrm{\prime }}(a)=0$, la courbe de $f^{-1}$ a une tangente verticale en $b$ : $f^{-1}$ n'est pas dérivable en $b$ (exemple : $x\mapsto x^3$ et $\sqrt[3]{}$ en $0$). C'est ainsi qu'on obtient ${\arcsin }^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ sur $]-1,1[$ seulement, et non en $\pm 1$.

On pose $f^{(0)}=f$ et, si $f^{(n)}$ est dérivable sur $I$, $f^{(n+1)}=(f^{(n)}{)}^{\mathrm{\prime }}$ : $f$ est alors $n+1$ fois dérivable.

• Classe $C^n$ sur $I$ : $f$ admet sur $I$ des dérivées jusqu'à l'ordre $n$, la dernière étant continue. Ensemble noté $C^n(I,ℝ)$ ; $C^0$ = continues.
• $f$ est de classe $C^{\mathrm{\infty }}$ (indéfiniment dérivable) si elle est $C^n$ pour tout $n$.
• $C^{\mathrm{\infty }}\subset \cdots \subset C^{n+1}\subset$ ($n+1$ fois dérivable) $\subset C^n\subset \cdots \subset C^0$. Toutes les inclusions sont strictes.

Opérations. Sommes, produits, quotients (dénominateur sans zéro), composées de fonctions $C^n$ sont $C^n$ (de même pour $C^{\mathrm{\infty }}$). La réciproque d'une bijection $f:I\to J$ de classe $C^n$ ($n\ge 1$) dont la dérivée ne s'annule pas est elle aussi de classe $C^n$ sur $J$.

Formule de Leibniz. Le produit de deux fonctions $f$, $g$ dérivables $n$ fois sur $I$ est encore dérivable $n$ fois, et $$(fg{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{f}^{(k)}{g}^{(n-k)},C_n^k=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}\mathrm{.}$$ Elle est surtout efficace quand l'un des facteurs est un polynôme : si $\mathrm{deg}P=d$, seuls les termes $k\le d$ restent. Exemple : $(x{e}^{3x}{)}^{(n)}=3^{n}x{e}^{3x}+n{3}^{n-1}{e}^{3x}$.

Dérivées $n$-ièmes à connaître (preuves par récurrence) :

Pour une fraction rationnelle, on la décompose d'abord en éléments simples (chapitre « Primitives »).

$f$ admet un maximum local en $a$ s'il existe $\alpha >0$ tel que $f(x)\le f(a)$ pour tout $x\in I\cap ]a-\alpha ,a+\alpha [$ (minimum local : $f(x)\ge f(a)$). Extremum = maximum ou minimum.

Condition nécessaire. Hypothèses : (i) $a$ est intérieur à $I$ (pas une extrémité) ; (ii) $f$ est dérivable en $a$ ; (iii) $f$ admet un extremum local en $a$. Conclusion : $f^{\mathrm{\prime }}(a)=0$ (tangente horizontale).

Un point où $f^{\mathrm{\prime }}$ s'annule est un point critique. Attention :

• la réciproque est fausse : $x\mapsto x^3$ a un point critique en $0$ sans extremum ;
• à une extrémité de $I$, un extremum n'annule pas forcément $f^{\mathrm{\prime }}$ : $x\mapsto x$ sur $[0,1]$ est minimale en $0$ avec $f^{\mathrm{\prime }}(0)=1$. Pour chercher les extremums d'une fonction continue sur $[a,b]$ (ils existent : bornes atteintes), on compare les valeurs aux points critiques intérieurs et aux deux bornes.

Hypothèses : (i) $a<b$ ; (ii) continuité de $f$ sur le segment $[a,b]$ ; (iii) dérivabilité sur l'ouvert $]a,b[$ ; (iv) $f(a)=f(b)$. Conclusion : la dérivée s'annule en au moins un point $c$ de $]a,b[$.

Idée de la preuve : $f$ atteint son minimum et son maximum sur $[a,b]$ ; s'ils sont tous deux atteints aux bornes, $f$ est constante ; sinon l'un est atteint en un point intérieur, qui est un point critique (§4). Les quatre hypothèses sont utiles : $\mid x\mid$ sur $[-1,1]$ (pas dérivable en $0$) ; $x-E(x)$ sur $[0,1]$ (pas continue en $1$).

Conséquences classiques.

• Une fonction dérivable $n$ fois qui possède $n+1$ zéros distincts dans $I$ a une dérivée possédant au moins $n$ zéros, et ainsi de suite jusqu'à $f^{(n)}$, qui a au moins un zéro (Rolle entre deux zéros consécutifs, puis récurrence).
• Entre deux racines réelles d'un polynôme $P$, il y a une racine de $P^{\mathrm{\prime }}$ ; donc si $P^{\mathrm{\prime }}$ a $m$ racines réelles, $P$ en a au plus $m+1$.
• Fonction auxiliaire. Pour prouver « il existe $c$ tel que [relation] », on fabrique $\phi$ prenant la même valeur aux deux bornes et dont la dérivée en $c$ redonne la relation (c'est ainsi qu'on démontre les accroissements finis et Taylor-Lagrange).

Égalité des accroissements finis. Hypothèses : (i) $a<b$ ; (ii) $f$ continue sur $[a,b]$ ; (iii) $f$ dérivable sur $]a,b[$. Conclusion : pour au moins un point $c$ de $]a,b[$, on a $f(b)-f(a)=(b-a)f^{\mathrm{\prime }}(c)$.

Preuve : Rolle appliqué à $\phi (x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$. Géométriquement, il existe une tangente parallèle à la corde joignant $(a,f(a))$ et $(b,f(b))$. On écrit souvent $c=a+\theta (b-a)$ avec $\theta \in ]0,1[$ ; $c$ (ou $\theta$) n'est en général ni unique ni explicite.

Inégalité des accroissements finis. Sous les mêmes hypothèses :

• si $m\le f^{\mathrm{\prime }}(x)\le M$ pour tout $x\in ]a,b[$, alors $m(b-a)\le f(b)-f(a)\le M(b-a)$ ;
• si $\mid f^{\mathrm{\prime }}(x)\mid \le M$ pour tout $x\in ]a,b[$, alors $\mid f(b)-f(a)\mid \le M(b-a)$.

Accroissements finis généralisés (exercice classique, pas un théorème du cours) : pour deux fonctions $f,g$ ayant les hypothèses des accroissements finis sur $[a,b]$, on trouve un point $c$ de $]a,b[$ où $(f(b)-f(a))g^{\mathrm{\prime }}(c)=(g(b)-g(a))f^{\mathrm{\prime }}(c)$ (Rolle appliqué à $(f(b)-f(a))g-(g(b)-g(a))f$). Il conduit à la « règle de L'Hôpital » : si $g^{\mathrm{\prime }}$ ne s'annule pas et $\frac{f^{\mathrm{\prime }}}{g^{\mathrm{\prime }}}\to \mathrm{\ell }$ en $a$, alors $\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}\to \mathrm{\ell }$. Dans une copie, on redémontre ce résultat avant de s'en servir.

Soit $f$ continue sur l'intervalle $I$ et dérivable en tout point intérieur à $I$.

• Constance : $f$ constante sur $I$ $⟺$ $f^{\mathrm{\prime }}=0$ sur l'intérieur de $I$.
• Monotonie : croissance de $f$ sur $I$ $⟺$ $f^{\mathrm{\prime }}\ge 0$ sur l'intérieur de $I$ (décroissance : $f^{\mathrm{\prime }}\le 0$).
• Si $f^{\mathrm{\prime }}>0$ sur l'intérieur de $I$ sauf en un nombre fini de points où elle s'annule, $f$ est strictement croissante. La réciproque est fausse : $x^3$ est strictement croissante avec $f^{\mathrm{\prime }}(0)=0$.

L'hypothèse « intervalle » est indispensable : $x\mapsto -\frac{1}{x}$ a une dérivée strictement positive sur ${ℝ}^{\ast }$ sans être croissante sur ${ℝ}^{\ast }$ ; une fonction de dérivée nulle sur $]0,1[\cup ]2,3[$ peut prendre deux valeurs différentes.

Méthode des inégalités. Pour montrer $f\le g$ sur $[a,+\mathrm{\infty }[$ : étudier $h=g-f$, montrer $h(a)\ge 0$ et $h^{\mathrm{\prime }}\ge 0$. Si le signe de $h^{\mathrm{\prime }}$ n'est pas clair, dériver encore.

Définition et lien avec la continuité : voir la fiche « Limites et continuité » §7. On y ajoute le lien avec la dérivée.

Théorème. Soit $f$ dérivable sur l'intervalle $I$ et $k\ge 0$. Alors $$f\text{ est }k\text{-lipschitzienne sur }I⟺\mathrm{\forall }x\in I,\mid f^{\mathrm{\prime }}(x)\mid \le k\mathrm{.}$$ Sens $\Leftarrow$ : inégalité des accroissements finis entre $x$ et $y$. Sens $\Rightarrow$ : passer à la limite $y\to x$ dans $\mid \frac{f(y)-f(x)}{y-x}\mid \le k$.

Conséquences.

• Toute fonction $C^1$ sur un segment $[a,b]$ est lipschitzienne : $\mid f^{\mathrm{\prime }}\mid$ est continue sur ce segment, donc bornée (bornes atteintes), et $k=\underset{[a,b]}{\max }\mid f^{\mathrm{\prime }}\mid$ convient.
• Une fonction dérivable dont la dérivée n'est pas bornée sur $I$ n'est pas lipschitzienne sur $I$ : $\sqrt{}$ sur $[0,1]$, $x\mapsto x^2$ sur $ℝ$.

Fonction contractante. $f$ est contractante sur $I$ si elle est $k$-lipschitzienne avec $0\le k<1$. Application aux suites récurrentes (complète la fiche « Suites numériques » §9) :

Hypothèses : (i) $I$ est stable par $f$ ($f(I)\subset I$) et $u_0\in I$ ; (ii) $\mid f^{\mathrm{\prime }}\mid \le k<1$ sur $I$ ; (iii) $\mathrm{\ell }\in I$ vérifie $f(\mathrm{\ell })=\mathrm{\ell }$. Conclusion : pour tout $n$, $\mid u_{n+1}-\mathrm{\ell }\mid \le k\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid$, donc $\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid \le k^n\mid u_0-\mathrm{\ell }\mid$ et $u_n\to \mathrm{\ell }$. Le point fixe $\mathrm{\ell }$ est alors unique dans $I$.

Calculatrice interdite : le rang à partir duquel $\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid \le {10}^{-p}$ se trouve en comparant des entiers ($2^{10}=1024\ge {10}^3$).

Appelé aussi « théorème du prolongement dérivable ».

Hypothèses : (i) $f$ est continue sur $I$ (en particulier en $a$) ; (ii) $f$ est dérivable sur $I\setminus \{a\}$ ; (iii) $f^{\mathrm{\prime }}(x)\to \mathrm{\ell }$ quand $x\to a$, $x\mathrm{\ne }a$. Conclusion :

• si $\mathrm{\ell }\in ℝ$ : $f$ est dérivable en $a$, $f^{\mathrm{\prime }}(a)=\mathrm{\ell }$, et $f^{\mathrm{\prime }}$ est continue en $a$ ;
• si $\mathrm{\ell }=\pm \mathrm{\infty }$ : $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\to \pm \mathrm{\infty }$, donc $f$ n'est pas dérivable en $a$ (tangente verticale).

Preuve : accroissements finis entre $a$ et $x$ : $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\mathrm{\prime }}(c_x)$ avec $c_x$ entre $a$ et $x$, et $c_x\to a$.

Usage type : prolongement $C^1$. $f$ est de classe $C^1$ sur $I\setminus \{a\}$ et admet une limite finie en $a$ : on la prolonge par continuité, puis on calcule $\underset{x\to a}{\lim }{f}^{\mathrm{\prime }}(x)$. Si elle est finie, le prolongement est $C^1$ sur $I$. Version $C^k$ : une fonction continue sur $I$, $C^k$ sur $I\setminus \{a\}$, dont chaque dérivée $f^{(j)}$ ($1\le j\le k$) a une limite finie en $a$, est $C^k$ sur tout $I$.

Pièges.

• L'hypothèse de continuité en $a$ est indispensable : la fonction égale à $0$ sur $]-\mathrm{\infty },0]$ et à $1$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ a une dérivée nulle sur ${ℝ}^{\ast }$ mais n'est pas dérivable en $0$.
• C'est une condition suffisante, pas nécessaire : quand $f^{\mathrm{\prime }}$ n'admet aucune limite au point $a$, on ne peut rien conclure ; on revient au taux d'accroissement. Exemple : $x\mapsto x^2\cos \frac{1}{x}$ prolongée par $0$ est dérivable en $0$ ($f^{\mathrm{\prime }}(0)=0$) bien que $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x\cos \frac{1}{x}+\sin \frac{1}{x}$ n'ait pas de limite en $0$.

Pour $f:I\to ℂ$, on pose $f=u+iv$ avec $u=\mathrm{Re}f$, $v=\mathrm{Im}f$. $f$ est dérivable en $a$ (taux d'accroissement de limite finie dans $ℂ$) si et seulement si $u$ et $v$ le sont, et $f^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}+i{v}^{\mathrm{\prime }}$.

• Restent vrais : opérations, Leibniz, classe $C^n$, $f^{\mathrm{\prime }}=0$ sur un intervalle $\Rightarrow$ $f$ constante.
• Pour $\phi :I\to ℂ$ dérivable : $(e^{\phi }{)}^{\mathrm{\prime }}={\phi }^{\mathrm{\prime }}{e}^{\phi }$ ; en particulier $(e^{\lambda t}{)}^{\mathrm{\prime }}=\lambda e^{\lambda t}$ pour $\lambda \in ℂ$.
• Faux : extremum (pas d'ordre dans $ℂ$), Rolle et égalité des accroissements finis : $t\mapsto e^{it}$ vérifie $f(0)=f(2\pi )$ mais $f^{\mathrm{\prime }}(t)=i{e}^{it}$ ne s'annule jamais.
• L'inégalité des accroissements finis reste vraie pour $f$ de classe $C^1$ : $\mid f^{\mathrm{\prime }}\mid \le M$ $\Rightarrow$ $\mid f(b)-f(a)\mid \le M\mid b-a\mid$ (preuve au chapitre « Intégration »).

Formule de Taylor-Lagrange. Hypothèses : (i) $a<b$ (le cas $b<a$ s'écrit de même) ; (ii) $f$ est de classe $C^n$ sur $[a,b]$ ; (iii) $f^{(n)}$ est dérivable sur $]a,b[$ (par exemple $f$ de classe $C^{n+1}$ sur $[a,b]$). Conclusion : on peut trouver $c\in ]a,b[$ vérifiant $$f(b)=\sum _{k=0}^n\frac{(b-a{)}^k}{k!}{f}^{(k)}(a)+\frac{(b-a{)}^{n+1}}{(n+1)!}{f}^{(n+1)}(c)\mathrm{.}$$ La somme est la partie polynomiale (polynôme de Taylor d'ordre $n$ en $a$), le dernier terme le reste de Lagrange. Pour $n=0$, on retrouve l'égalité des accroissements finis.

Preuve : choisir la constante $A$ pour que $\phi (x)=f(b)-{\sum }_{k=0}^n\frac{(b-x{)}^k}{k!}{f}^{(k)}(x)-A\frac{(b-x{)}^{n+1}}{(n+1)!}$ vérifie $\phi (a)=0=\phi (b)$ ; la somme se télescope dans ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{(b-x{)}^n}{n!}(A-f^{(n+1)}(x))$, et Rolle donne $A=f^{(n+1)}(c)$.

Formule de Mac-Laurin ($a=0$, $b=x$) : il existe $\theta \in ]0,1[$ tel que $f(x)={\sum }_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}{f}^{(k)}(0)+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}{f}^{(n+1)}(\theta x)$.

Inégalité de Taylor-Lagrange. Pour $f$ de classe $C^{n+1}$ sur $I$ avec $\mid f^{(n+1)}\mid \le M$ sur $I$, on a pour tous $a,x\in I$ : $$\mid f(x)-\sum _{k=0}^n\frac{(x-a{)}^k}{k!}{f}^{(k)}(a)\mid \le M\frac{\mid x-a{\mid }^{n+1}}{(n+1)!}\mathrm{.}$$

Exemples d'usage.

• Encadrements : le signe du reste donne l'inégalité. Avec ${\cos }^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=-\cos$ et ${\cos }^{(3)}=\sin$ en $0$ : $\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}\sin c$, d'où $\cos x\ge 1-\frac{x^2}{2}$ pour $x\in [0,\pi ]$.
• Limites de sommes : pour tout réel $x$, $\mid e^x-{\sum }_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}\mid \le e^{\mid x\mid }\frac{\mid x{\mid }^{n+1}}{(n+1)!}\to 0$, donc ${\sum }_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}\to e^x$.
• Limites de quotients, sans développement limité : $\frac{x-\sin x}{x^3}=\frac{\cos c_x}{6}\to \frac{1}{6}$ quand $x\to 0$, où $c_x$ est entre $0$ et $x$ (Mac-Laurin à l'ordre $2$ pour $\sin$).

À venir. Formule de Taylor avec reste intégral (chapitre « Intégration ») ; formule de Taylor-Young et développements limités (chapitre « Analyse asymptotique »).

Définition. On dit que $f:I\to ℝ$ est convexe lorsque $$\mathrm{\forall }x,y\in I,\mathrm{\forall }\lambda \in [0,1],f(\lambda x+(1-\lambda )y)\le \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)\mathrm{.}$$ Géométriquement : la courbe est sous chacune de ses cordes sur l'intervalle correspondant. $f$ est concave si $-f$ est convexe (courbe au-dessus de ses cordes). Exemples : $x^2$, $e^x$, $\mid x\mid$ convexes ; $\ln$, $\sqrt{}$ concaves ; une fonction affine est à la fois convexe et concave.

Inégalité de convexité généralisée (Jensen). Si $f$ est convexe sur $I$, pour $x_1,\dots ,x_n\in I$ et des réels ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\ge 0$ de somme $1$ : $$f\left(\sum _{k=1}^n{\lambda }_k{x}_k\right)\le \sum _{k=1}^n{\lambda }_{k}f(x_k)(\text{r}\acute{\text{e}}\text{currence sur }n)\mathrm{.}$$

Pentes. $f$ est convexe sur $I$ $⟺$ pour tout $a\in I$, la pente $x\mapsto \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ est croissante sur $I\setminus \{a\}$. Conséquence (inégalité des trois pentes) : pour $x<y<z$ dans $I$, ${\displaystyle \frac{f(y)-f(x)}{y-x}}\le {\displaystyle \frac{f(z)-f(x)}{z-x}}\le {\displaystyle \frac{f(z)-f(y)}{z-y}}$.

Fonctions dérivables.

• Si $f$ est dérivable sur $I$ : $f$ convexe $⟺$ $f^{\mathrm{\prime }}$ croissante sur $I$.
• Si $f$ est deux fois dérivable sur $I$ : $f$ convexe $⟺$ $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\ge 0$ sur $I$. C'est le critère utilisé en pratique.
• Si $f$ est dérivable et convexe, sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes : $\mathrm{\forall }a,x\in I,f(x)\ge f(a)+f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)$.

Inégalités classiques obtenues ainsi. $e^x\ge 1+x$ sur $ℝ$ (tangente en $0$, $\exp$ convexe) ; $\ln x\le x-1$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ ($\ln$ concave) ; moyenne géométrique $\le$ moyenne arithmétique : $\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}\le \frac{x_1+\cdots +x_n}{n}$ pour des $x_k>0$ (Jensen pour $\ln$, concave, avec ${\lambda }_k=\frac{1}{n}$).

Étudier la dérivabilité en un point « à problème »

1. Vérifier d'abord la continuité en ce point (sinon : non dérivable).
2. Revenir au taux d'accroissement, éventuellement à gauche et à droite (fonction définie par morceaux, valeur absolue, racine).
3. Ou bien : continuité + limite de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ (théorème de la limite de la dérivée, §9), en se rappelant qu'une absence de limite de $f^{\mathrm{\prime }}$ ne prouve rien.

Calculer une dérivée $n$-ième

Produit polynôme × fonction usuelle : Leibniz. Fraction rationnelle : éléments simples puis $(\frac{1}{x-a}{)}^{(n)}$. $\cos$, $\sin$ ou $e^{ax}\cos (bx)$ : passer par $e^{i\cdot }$ et prendre la partie réelle. Dans tous les cas, conjecturer sur $n=1,2,3$ puis démontrer par récurrence.

Montrer qu'il existe $c$ tel que…

• Une égalité avec un seul $f^{\mathrm{\prime }}(c)$ : accroissements finis, ou Rolle sur une fonction auxiliaire bien choisie (souvent donnée par l'énoncé).
• Une égalité avec $f^{(n)}(c)$ : Taylor-Lagrange, ou Rolle appliqué plusieurs fois à une fonction qui s'annule en plusieurs points.

Compter les racines d'une équation

Étudier les variations (signe de la dérivée), puis TVI sur chaque intervalle de stricte monotonie ; Rolle donne le maximum possible : « au plus $m+1$ racines si la dérivée en a au plus $m$ ».

Démontrer une inégalité

Étude de fonction (§7) ; accroissements finis ($f(b)-f(a)$ encadré par $(b-a)\min f^{\mathrm{\prime }}$ et $(b-a)\max f^{\mathrm{\prime }}$) ; Taylor-Lagrange (signe du reste) ; convexité (tangente, corde, Jensen).

Montrer qu'une fonction est (ou n'est pas) lipschitzienne

Dérivée bornée $\Rightarrow$ lipschitzienne (IAF). Dérivée non bornée et $f$ dérivable $\Rightarrow$ non lipschitzienne : exhiber une suite $x_n$ avec $\mid f^{\mathrm{\prime }}(x_n)\mid \to +\mathrm{\infty }$.

1. Rolle ou accroissements finis sans les hypothèses : oublier la continuité sur le segment fermé ou la dérivabilité sur l'intervalle ouvert ; appliquer Rolle à une fonction à valeurs complexes.
2. Croire que $c$ est le milieu de $[a,b]$, ou qu'il est unique, ou le traiter comme une constante indépendante de $x$ quand $x$ varie (écrire $c_x$).
3. Limite de la dérivée sans continuité de $f$ au point ; ou conclure « $f$ n'est pas dérivable » parce que $f^{\mathrm{\prime }}$ n'admet aucune limite au point.
4. Confondre « $n$ fois dérivable » et « de classe $C^n$ » ; « dérivable » et « de classe $C^1$ ».
5. $f^{\mathrm{\prime }}(a)=0$ donc extremum (faux : $x^3$) ; ou chercher les extremums aux seuls points critiques en oubliant les bornes.
6. Leibniz : oublier les coefficients $C_n^k$, ou faire commencer la somme à $k=1$.
7. Dérivée de la réciproque sans vérifier $f^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\ne }0$ ; écrire $(f^{-1}{)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}$ sans composer par $f^{-1}$.
8. Signe de la dérivée sur une réunion d'intervalles : « $f^{\mathrm{\prime }}>0$ sur ${ℝ}^{\ast }$ donc $f$ croissante sur ${ℝ}^{\ast }$ ».
9. Taylor-Lagrange : mauvais exposant ou mauvaise factorielle dans le reste ($(n+1)!$ et $(b-a{)}^{n+1}$) ; reste évalué en $a$ au lieu de $c$.
10. Convexité : « $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\ge 0$ » invoqué pour une fonction qui n'est pas deux fois dérivable ; confondre convexe et croissante.
11. Rédaction : « TAF », « IAF » dans une copie ; « d'après Rolle » sans vérifier les quatre hypothèses ; les correcteurs retirent les points de la question.

• Coefficients binomiaux $C_n^k$ dans la formule de Leibniz (on rencontre aussi $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)$).
• « $f$ est de classe $C^1$ sur… », « $f$ est prolongeable par continuité en $a$ ; on note encore $f$ son prolongement », « montrer que le prolongement est de classe $C^1$ », « point critique », « fonction contractante », « théorème du prolongement dérivable » ou « de la limite de la dérivée », « formule de Mac-Laurin ».
• Abréviations des cours : TAF (théorème des accroissements finis), IAF (inégalité des accroissements finis) ; à écrire en toutes lettres dans une copie.
• $\arctan$ parfois noté $\mathrm{Arctg}$, $\tan$ noté $\mathrm{tg}$ ; $\mathrm{ch}$, $\mathrm{sh}$, $\mathrm{th}$ ; $\ln$.
• Énoncés : « Justifier que $f$ est $C^{\mathrm{\infty }}$ sur… et donner l'expression de $f^{(n)}(x)$ », « En appliquant la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre $n$, montrer qu'il existe $c_n$… », « On considère la fonction $\phi$ définie par… ; montrer qu'elle vérifie les hypothèses du théorème de Rolle ». Barème affiché (« Exercice (8 pts) », « Problème (12 pts) »).
• Calculatrice interdite : les encadrements se font avec des fractions ($\frac{3}{25}<\cdots <\frac{1}{6}$), jamais à la machine.