Une application $\phi :E^n\to 𝕂$ est une forme $n$-linéaire quand, à $n-1$ vecteurs figés, elle dépend linéairement du vecteur restant : pour tout $j$, $x_j\mapsto \phi (x_1,\dots ,x_j,\dots ,x_n)$ est linéaire. Elle est :

• alternée si $\phi (x_1,\dots ,x_n)=0$ dès que deux des vecteurs sont égaux ($x_i=x_j$ avec $i\mathrm{\ne }j$) ;
• antisymétrique si échanger deux vecteurs change $\phi$ en son opposé.

Propriétés (pour $\phi$ $n$-linéaire alternée) :

• $\phi$ est antisymétrique ; plus généralement $\phi (x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})=\epsilon (\sigma )\phi (x_1,\dots ,x_n)$ pour $\sigma \in S_n$ ;
• si un $x_j$ est nul, ou si la famille $(x_1,\dots ,x_n)$ est liée, alors $\phi (x_1,\dots ,x_n)=0$ ;
• on ne change pas $\phi (x_1,\dots ,x_n)$ en ajoutant à un $x_j$ une combinaison linéaire des autres vecteurs.

À ne pas confondre : $n$-linéaire n'est pas linéaire. Pour $n\ge 2$, $\phi (\lambda x_1,\dots ,\lambda x_n)={\lambda }^n\phi (x_1,\dots ,x_n)$ et en général $\phi (x+y)\mathrm{\ne }\phi (x)+\phi (y)$ (ici $x,y\in E^n$).

Théorème (selon les cours). Toute forme $n$-linéaire alternée $\phi$ sur $E$ (avec $\dim E=n$) vérifie $\phi =\phi (e_1,\dots ,e_n){\det }_{ℬ}$, où ${\det }_{ℬ}$ est définie au § 2. Certains cours tunisiens commencent par ces formes et définissent ${\det }_{ℬ}$ comme l'unique forme $n$-linéaire alternée valant $1$ en $ℬ$ ; d'autres posent directement la formule du § 2 et énoncent ensuite que ${\det }_{ℬ}$ est $n$-linéaire alternée. Les deux présentations aboutissent aux mêmes règles de calcul.

Définition. Relativement à $ℬ$, le déterminant de $(x_1,\dots ,x_n)$ est le scalaire $$\underset{ℬ}{\det }(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{\sigma \in S_n}\epsilon (\sigma )\prod _{i=1}^n{a}_{\sigma (i)i}=\sum _{\sigma \in S_n}\epsilon (\sigma )\prod _{i=1}^n{a}_{i\sigma (i)}\mathrm{.}$$ La somme compte $n!$ termes ; chacun est un produit de $n$ coefficients pris un dans chaque ligne et un dans chaque colonne.

Petites dimensions (en écrivant les coordonnées en colonnes) :

• $n=2$ : $\mid \begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\mid =ad-bc$ ;
• $n=3$ (règle de Sarrus, valable seulement pour $n=3$) : $\mid \begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\mid =a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}$.

Propriétés immédiates.

• ${\det }_{ℬ}(e_1,\dots ,e_n)=1$.
• ${\det }_{ℬ}$ est une forme $n$-linéaire alternée (§ 1) : elle en a donc toutes les propriétés.
• Famille triangulaire : si ${\mathrm{Mat}}_{ℬ}(x_1,\dots ,x_n)$ est triangulaire (supérieure ou inférieure), ${\det }_{ℬ}(x_1,\dots ,x_n)={\prod }_{i=1}^n{a}_{ii}$ (seule la permutation identité donne un produit non nul).

Exemple. Dans la base canonique de ${ℝ}^3$, avec $x_1=(1,2,0)$, $x_2=(0,1,-1)$, $x_3=(3,0,1)$ : $\mid \begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 2& 1& 0\\ 0& -1& 1\end{array}\mid =1\cdot (1\cdot 1-0)-0+3\cdot (2\cdot (-1)-0)=1-6=-5$.

Changement de base. Pour une seconde base ${ℬ}^{\mathrm{\prime }}$ de $E$ : ${\det }_{{ℬ}^{\mathrm{\prime }}}={\det }_{{ℬ}^{\mathrm{\prime }}}(ℬ)\cdot {\det }_{ℬ}$, et ${\det }_{{ℬ}^{\mathrm{\prime }}}(ℬ)\times {\det }_{ℬ}({ℬ}^{\mathrm{\prime }})=1$. Le déterminant d'une famille dépend de la base (à un facteur non nul près).

Théorème. Hypothèses : $\dim E=n$, $ℬ$ base de $E$, $(x_1,\dots ,x_n)\in E^n$ (exactement $n$ vecteurs). Conclusion : $(x_1,\dots ,x_n)$ est une base de $E$ $⟺$ ${\det }_{ℬ}(x_1,\dots ,x_n)\mathrm{\ne }0$.

Sens direct : si ${ℬ}^{\mathrm{\prime }}=(x_1,\dots ,x_n)$ est une base, ${\det }_{{ℬ}^{\mathrm{\prime }}}(ℬ){\det }_{ℬ}({ℬ}^{\mathrm{\prime }})=1$. Sens réciproque : une famille liée a un déterminant nul (§ 1). Avec $n$ vecteurs en dimension $n$, « base », « libre » et « génératrice » sont équivalents.

Usage typique : « pour quelles valeurs de $m$ la famille $(u_1,u_2,u_3)$ est-elle une base de ${ℝ}^3$ ? » On calcule le déterminant en fonction de $m$, on le factorise, et on exclut ses racines. Pour ces racines, on étudie la famille à part (rang, relation de liaison).

Définition et théorème. Pour $f\in ℒ(E)$, le scalaire ${\det }_{ℬ}(f(e_1),\dots ,f(e_n))$ ne dépend pas de la base $ℬ$ : c'est le déterminant de $f$, noté $\det f$. De plus, pour tout $(x_1,\dots ,x_n)\in E^n$, $$\underset{ℬ}{\det }(f(x_1),\dots ,f(x_n))=\det f\cdot \underset{ℬ}{\det }(x_1,\dots ,x_n)\mathrm{.}$$ En pratique : $\det f=\det ({\mathrm{Mat}}_{ℬ}(f))$ pour n'importe quelle base $ℬ$ (§ 5).

Propriétés ($f,g\in ℒ(E)$, $\lambda \in 𝕂$) :

• $\det ({\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)=1$ ; $\det (\lambda f)={\lambda }^n\det f$ (et non $\lambda \det f$) ;
• $\det (g\circ f)=\det g\cdot \det f$ ;
• $f$ est un automorphisme $⟺\det f\mathrm{\ne }0$, et alors $\det (f^{-1})={\displaystyle \frac{1}{\det f}}$ ;
• en général $\det (f+g)\mathrm{\ne }\det f+\det g$ : avec $f=g={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$, $\det (2{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)=2^n\mathrm{\ne }2$ pour $n\ge 2$.

Exemples à connaître.

• Homothétie $\lambda {\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ : $\det ={\lambda }^n$.
• Projecteur $p\mathrm{\ne }{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ : $\det p=0$ (dans une base adaptée à $E=\mathrm{Im}p\oplus \mathrm{Ker}p$, la matrice est $\mathrm{diag}(1,\dots ,1,0,\dots ,0)$, avec au moins un $0$).
• Symétrie $s$ de $E=F\oplus G$ qui fixe $F$ et change en leur opposé les vecteurs de $G$ : $\det s=(-1{)}^{\dim G}$.
• Sur ${𝕂}_n[X]$, $f(P)=P+P^{\mathrm{\prime }}$ : matrice triangulaire de diagonale $(1,\dots ,1)$ dans la base canonique, donc $\det f=1$ et $f$ est un automorphisme.

Définition. Pour $A=(a_{ij})\in {ℳ}_n(𝕂)$ de colonnes $C_1,\dots ,C_n$, $\det A={\det }_{{ℬ}_c}(C_1,\dots ,C_n)$ où ${ℬ}_c$ est la base canonique de ${𝕂}^n$ (ou de ${ℳ}_{n,1}(𝕂)$) : $$\det A=\sum _{\sigma \in S_n}\epsilon (\sigma )\prod _{i=1}^n{a}_{\sigma (i)i},\text{not}\acute{\text{e}}\text{ aussi}\mid \begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ \mathrm{⋮}& & \mathrm{⋮}\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\mid \mathrm{.}$$ On a ${\det }_{ℬ}(x_1,\dots ,x_n)=\det ({\mathrm{Mat}}_{ℬ}(x_1,\dots ,x_n))$ et $\det f=\det ({\mathrm{Mat}}_{ℬ}(f))$.

Propriétés ($A,B\in {ℳ}_n(𝕂)$, $\lambda \in 𝕂$) :

Conséquences utiles.

• Si $A\in {ℳ}_n(ℝ)$ est antisymétrique et $n$ impair, alors $\det A=\det ({}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A)=\det (-A)=(-1{)}^n\det A=-\det A$, donc $\det A=0$.
• Si $A^2=-I_n$ avec $A$ réelle, alors $(\det A{)}^2=(-1{)}^n$, ce qui impose $n$ pair.
• $\det A$ est une fonction polynomiale des coefficients de $A$ : par exemple $t\mapsto \det (A+tB)$ est une fonction polynomiale de $t$, donc continue.
• Si $A,P\in {ℳ}_n(𝕂)$ avec $P$ inversible : $\det (P^{-1}AP)=\det A$.

Les règles découlent de la $n$-linéarité et du caractère alterné (pour les colonnes), puis de $\det ({}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A)=\det A$ (pour les lignes).

Méthode du pivot. On fait apparaître des zéros (sous la diagonale, ou dans une ligne ou une colonne) par des opérations $L_i\leftarrow L_i+\lambda L_j$, en comptant les échanges (un signe $-$ chacun) et les facteurs sortis, jusqu'à une matrice triangulaire.

Exemple.

Astuces fréquentes.

• Lignes de même somme $s$ : $C_1\leftarrow C_1+C_2+\cdots +C_n$ fait apparaître une colonne de $s$, qu'on sort ; puis on soustrait $L_1$ aux autres lignes.
• Déterminant à paramètre : chercher d'abord un facteur évident (une valeur qui rend deux colonnes égales donne une racine), le sortir avant de développer, pour obtenir directement une forme factorisée.
• Attention à l'opération $L_i\leftarrow \lambda L_i+\mu L_j$ : elle multiplie le déterminant par $\lambda$.
• Les opérations simultanées $L_1\leftarrow L_1-L_2$, $L_2\leftarrow L_2-L_1$ sont interdites (elles remplacent des lignes par des combinaisons liées) : on effectue les opérations l'une après l'autre, chacune sur la matrice déjà modifiée.

Mineurs et cofacteurs. Pour $A\in {ℳ}_n(𝕂)$ ($n\ge 2$) et $(i,j)\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}{]}^2$ :

• le mineur ${\mathrm{\Delta }}_{ij}$ est le déterminant (d'ordre $n-1$) de la matrice extraite de $A$ en retirant sa ligne $i$ et sa colonne $j$ ;
• le cofacteur de $a_{ij}$ est $(-1{)}^{i+j}{\mathrm{\Delta }}_{ij}$. Les signes $(-1{)}^{i+j}$ alternent en damier, avec $+$ en position $(1,1)$.

Théorème (développement). Hypothèses : $A=(a_{ij})\in {ℳ}_n(𝕂)$, $n\ge 2$. Conclusion : pour toute ligne $i$, ${\displaystyle \det A=\sum _{j=1}^n(-1{)}^{i+j}{a}_{ij}{\mathrm{\Delta }}_{ij}}$ ; pour toute colonne $j$, ${\displaystyle \det A=\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+j}{a}_{ij}{\mathrm{\Delta }}_{ij}}$.

On développe selon la ligne ou la colonne qui contient le plus de zéros, de préférence après des opérations qui en créent.

Exemple. $\mid \begin{array}{cccc}2& 0& 1& 0\\ 1& 3& 0& -1\\ 0& 0& 2& 0\\ 4& 1& 0& 1\end{array}\mid$ : la ligne $3$ n'a qu'un coefficient non nul, $a_{33}=2$, de signe $(-1{)}^{3+3}=+$. Le déterminant vaut $2\mid \begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 1& 3& -1\\ 4& 1& 1\end{array}\mid =2\cdot 2\cdot (3\cdot 1-(-1)\cdot 1)=16$ (seconde étape : développement selon la ligne $1$).

Déterminants définis par récurrence. Pour une matrice tridiagonale d'ordre $n$, de diagonale constante $a$, de sur-diagonale $b$ et de sous-diagonale $c$, le développement selon la première ligne (puis selon la première colonne du second mineur) donne $$D_n=a{D}_{n-1}-bc{D}_{n-2}(n\ge 3),$$ récurrence linéaire d'ordre $2$ que l'on résout par l'équation caractéristique $r^2=ar-bc$ (cours d'Analyse sur les suites). Les valeurs $D_1=a$ et $D_2=a^2-bc$ (ou la convention $D_0=1$) fixent les constantes.

Théorème. Hypothèses : $A\in {ℳ}_p(𝕂)$, $D\in {ℳ}_q(𝕂)$, $B\in {ℳ}_{p,q}(𝕂)$, $C\in {ℳ}_{q,p}(𝕂)$. Conclusion : $\mid \begin{array}{cc}A& B\\ 0& D\end{array}\mid =\mid \begin{array}{cc}A& 0\\ C& D\end{array}\mid =\det A\cdot \det D$.

Plus généralement, une matrice triangulaire par blocs (blocs diagonaux carrés) a pour déterminant le produit des déterminants des blocs diagonaux. Preuve possible : $\left(\begin{array}{cc}A& B\\ 0& D\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{I}_p& 0\\ 0& D\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A& B\\ 0& I_q\end{array}\right)$, puis développements successifs.

Attention. Pour une matrice par blocs pleine, $\mid \begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\mid \mathrm{\ne }\det A\det D-\det B\det C$ et, en général, $\mathrm{\ne }\det (AD-BC)$ : on se ramène d'abord à une forme triangulaire par blocs (opérations sur des blocs de lignes ou de colonnes).

Pour $a_1,\dots ,a_n\in 𝕂$ ($n\ge 2$), on pose $$V(a_1,\dots ,a_n)=\mid \begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ a_1& a_2& \cdots & a_n\\ \mathrm{⋮}& \mathrm{⋮}& & \mathrm{⋮}\\ a_1^{n-1}& a_2^{n-1}& \cdots & a_n^{n-1}\end{array}\mid =\prod _{1\le i<j\le n}(a_j-a_i)\mathrm{.}$$ Pour $n=2$ : $a_2-a_1$ ; pour $n=3$ : $(a_2-a_1)(a_3-a_1)(a_3-a_2)$.

Preuve type (à savoir refaire) : on effectue $L_k\leftarrow L_k-a_1{L}_{k-1}$ pour $k=n,n-1,\dots ,2$ (du bas vers le haut, chacune utilisant une ligne pas encore modifiée) ; la première colonne devient ${}^t(1,0,\dots ,0)$ et la colonne $j\ge 2$ devient ${}^t(1,(a_j-a_1),(a_j-a_1)a_j,\dots ,(a_j-a_1)a_j^{n-2})$. Le développement selon la première colonne puis la sortie des facteurs $(a_j-a_1)$ donnent $V(a_1,\dots ,a_n)={\prod }_{j=2}^n(a_j-a_1)\cdot V(a_2,\dots ,a_n)$ : on conclut par récurrence. (Une autre preuve, par un polynôme en la dernière variable, figure dans de nombreuses séries.)

Conséquence. $V(a_1,\dots ,a_n)\mathrm{\ne }0⟺$ aucun $a_i$ n'est répété (les $a_i$ distincts deux à deux). Application : si les $a_i$ sont distincts, pour tous $b_1,\dots ,b_n$ il existe un unique $P\in {𝕂}_{n-1}[X]$ tel que $P(a_i)=b_i$ pour tout $i$ (le système sur les coefficients de $P$ a pour matrice la transposée de celle de $V$).

Définition. La comatrice de $A\in {ℳ}_n(𝕂)$ ($n\ge 2$) est la matrice des cofacteurs : $\mathrm{com}(A)=((-1{)}^{i+j}{\mathrm{\Delta }}_{ij}{)}_{1\le i,j\le n}$.

Théorème. Hypothèse : $A\in {ℳ}_n(𝕂)$, $n\ge 2$. Conclusion : $A{}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{com}(A)={}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{com}(A)A=(\det A)I_n$. Si de plus $\det A\mathrm{\ne }0$ : $\boxed{{\displaystyle A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\det A}}{}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{com}(A)}}$.

La relation contient deux informations : sur la diagonale, le développement de $\det A$ selon chaque ligne ; hors de la diagonale, le développement d'un déterminant ayant deux lignes égales, donc nul.

• $n=2$ : $\mathrm{com}\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}d& -c\\ -b& a\end{array}\right)$, d'où la formule $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$ déjà connue.
• Exemple $n=3$ : $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 2\end{array}\right)$, $\det A=3$, $\mathrm{com}(A)=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ -4& 1& 2\\ 1& -1& 1\end{array}\right)$, donc $A^{-1}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}2& -4& 1\\ 1& 1& -1\\ -1& 2& 1\end{array}\right)$. Ne pas oublier la transposée.
• Conséquence : si $A$ est à coefficients entiers et $\det A=\pm 1$, alors $A^{-1}$ est aussi à coefficients entiers.

Quand l'utiliser. Pour $n=2$, et pour $n=3$ quand on veut une formule ou une matrice à paramètre. Au-delà, le pivot de Gauss est plus rapide (et le jury le préfère pour un calcul numérique). En section BG, l'inverse par la comatrice est hors programme : on y attend le pivot (rapport du jury de 2020). En MP, PC et T, la comatrice figure au cours ; elle reste à manier avec mesure.

Un système carré $AX=B$ (autant d'équations que d'inconnues, $n$) est de Cramer lorsque $A$ est inversible, c'est-à-dire $\det A\mathrm{\ne }0$ (définition et résolution par pivot : fiche « Matrices et applications linéaires », § Systèmes).

Théorème (formules de Cramer). Hypothèses : $A\in G{L}_n(𝕂)$, $B\in {ℳ}_{n,1}(𝕂)$ ; pour $j\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, $A_j$ est la matrice obtenue en remplaçant la colonne $j$ de $A$ par $B$. Conclusion : l'unique solution $X={}^t(x_1,\dots ,x_n)$ de $AX=B$ est donnée par ${\displaystyle x_j=\frac{\det A_j}{\det A}}$.

Preuve en une ligne : $B={\sum }_k{x}_k{C}_k$, donc $\det A_j=\det (C_1,\dots ,B,\dots ,C_n)={\sum }_k{x}_k\det (C_1,\dots ,C_k,\dots ,C_n)=x_j\det A$ (les termes $k\mathrm{\ne }j$ contiennent deux colonnes égales).

Exemple. $2x+y-z=3$, $x-y+2z=1$, $3x+2y+z=8$ : $\det A=-10$, $\det A_1=-10$, $\det A_2=-20$, $\det A_3=-10$, d'où $(x,y,z)=(1,2,1)$.

Les formules de Cramer sont précieuses pour un système à paramètre (elles donnent la solution en fonction du paramètre d'un seul coup) et pour des questions théoriques. Pour un système numérique d'ordre $\ge 3$, le pivot reste la méthode la plus sûre.

Le déterminant ne résout pas tout : il sert à repérer les valeurs du paramètre pour lesquelles le système est de Cramer.

• Système carré $AX=B$ : si $\det A\mathrm{\ne }0$, solution unique (Cramer). Si $\det A=0$, le système a zéro ou une infinité de solutions : on remplace la valeur du paramètre et on reprend le pivot (rang, conditions de compatibilité, solution particulière $+$ $\mathrm{Ker}A$).
• Système homogène carré $AX=0$ : il admet une solution non nulle $⟺\det A=0$.
• Rang et déterminants extraits (cité par certains cours) : le rang d'une matrice est la plus grande taille d'un déterminant non nul extrait (en gardant certaines lignes et certaines colonnes).
• Les formules de Cramer ne s'appliquent pas quand $\det A=0$, ni à un système non carré.

Calculer un déterminant

1. Repérer une structure : triangulaire (par blocs), colonnes liées, lignes de même somme, Vandermonde, tridiagonale.
2. Créer des zéros par opérations une à une, en notant chaque opération au-dessus du signe $=$ (habitude des corrigés tunisiens).
3. Développer selon la ligne ou colonne la plus creuse ; pour un paramètre, sortir les facteurs au fur et à mesure.
4. Contrôler : une valeur particulière du paramètre, ou la somme des termes pour un petit cas.

Prouver que $n$ vecteurs donnés forment une base de $E$ ($\dim E=n$)

Calculer son déterminant dans une base (souvent canonique) et montrer qu'il est non nul. Vérifier d'abord que l'on a bien $n$ vecteurs.

Montrer qu'un endomorphisme est un automorphisme, ou qu'une matrice est inversible

$\det \mathrm{\ne }0$ ; pour un endomorphisme, prendre la base la plus simple (souvent la matrice est triangulaire). Pour l'inverse, choisir entre comatrice ($n\le 3$, paramètre) et pivot.

Discuter un système selon un paramètre

1. Calculer et factoriser $\det A$ ; 2. hors des racines : Cramer ; 3. pour chaque racine : pivot sur $(A\mid B)$, compatibilité, ensemble des solutions $X_0+\mathrm{Ker}A$ ; 4. conclure par un tableau ou une phrase récapitulative.

Déterminant d'ordre $n$

Récurrence (développement $\Rightarrow$ relation entre $D_n$, $D_{n-1}$, $D_{n-2}$), ou opérations $L_i\leftarrow L_i-\alpha L_{i+1}$ qui triangularisent, ou factorisation par un raisonnement polynomial. Toujours vérifier la formule pour $n=1,2,3$.

1. $\det (\lambda A)=\lambda \det A$ : faux, c'est ${\lambda }^n\det A$. De même, $\det (-A)=(-1{)}^n\det A$.
2. $\det (A+B)=\det A+\det B$ : faux en général (§ 4).
3. Sarrus en dimension $4$ : la règle n'existe qu'en dimension $3$.
4. Signes des cofacteurs oubliés, ou transposée oubliée dans $A^{-1}=\frac{1}{\det A}{}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{com}(A)$.
5. Opérations simultanées ou $L_i\leftarrow \lambda L_i+\dots$ sans compter le facteur $\lambda$.
6. Écrire $\det$ d'une matrice non carrée, ou « diviser par une matrice ». Le jury sanctionne ces écritures dénuées de sens.
7. Appliquer les formules de Cramer sans avoir vérifié $\det A\mathrm{\ne }0$ ; conclure « pas de solution » dès que $\det A=0$ (il peut y en avoir une infinité).
8. Confondre condition nécessaire et suffisante : « même déterminant, donc semblables » est faux ; « $\det A=0$ donc $A=0$ » aussi (une seule colonne nulle suffit à annuler le déterminant).
9. Pour une famille, oublier de dire dans quelle base on calcule, ou parler du déterminant d'une famille qui n'a pas $n$ vecteurs.
10. Développer un déterminant à paramètre sans factoriser : on obtient un polynôme dont on ne sait plus trouver les racines sans calculatrice.

• ${\det }_{ℬ}(x_1,\dots ,x_n)$ (souvent écrit ${\det }_B$), $\det f$ ou $\det (f)$, $\det A$ ou $\det (A)$, et le déterminant écrit entre barres verticales.
• Transposée notée à gauche ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A$ ; comatrice $\mathrm{com}(A)$ (parfois $\mathrm{Com}A$) ; groupe $G{L}_n(𝕂)$ ; $S_n$ et $\epsilon (\sigma )$.
• Opérations notées sous ou sur le signe $=$ : « $C_3\leftarrow C_3+C_2$ », « $L_2\leftrightarrow L_3$ », puis « on développe suivant $C_1$ ».
• Énoncés : « Calculer $\det (M_a)$. Pour quelles valeurs de $a$, $f_a$ est-il un automorphisme ? », « En déduire, sans aucun calcul… », « Calculer le déterminant suivant par deux méthodes différentes », « Montrer que $D_{n+2}=\dots$ puis en déduire $D_n$ ».
• Dans les problèmes d'examen de mai, les valeurs propres sont souvent introduites par l'énoncé par la condition $\det (A-\lambda I_n)=0$ ou $\det (\lambda I_n-A)=0$ : la théorie de la réduction est au programme de 2e année, mais le calcul de ces déterminants relève de ce chapitre.
• Pas de calculatrice : les paramètres sont choisis pour que les déterminants se factorisent ; on ne demande jamais de valeur décimale.