Déterminants et systèmes linéaires (Exercices) · Révisions prépa · Ridami

Algèbre · 1re année

Déterminants et systèmes linéaires

Application du cours4 points

1. Quatre déterminants, plusieurs méthodes

Calculer $D_{1} = ∣ \begin{array}{ccc} 2 & - 1 & 3 \\ 1 & 4 & 0 \\ - 2 & 5 & 1 \end{array} ∣$ de deux façons : par la règle de Sarrus, puis en développant selon la deuxième ligne.
Calculer $D_{2} = ∣ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 2 & 5 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 3 & 2 \\ 3 & 6 & 2 & 1 \end{array} ∣$ .
Pour $x \in ℝ$ , calculer sous forme factorisée $D_{3} (x) = ∣ \begin{array}{ccc} x & 2 & 3 \\ 2 & x & 3 \\ 2 & 3 & x \end{array} ∣$ et en déduire les réels $x$ pour lesquels la matrice correspondante n'est pas inversible.
Pour $a, b, c \in ℝ$ , calculer $D_{4} = ∣ \begin{array}{ccc} 1 + a & 1 & 1 \\ 1 & 1 + b & 1 \\ 1 & 1 & 1 + c \end{array} ∣$ en utilisant la linéarité par rapport à la première colonne.

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1. Sarrus : les trois produits « descendants » valent $2 \cdot 4 \cdot 1 = 8$ , $(- 1) \cdot 0 \cdot (- 2) = 0$ , $3 \cdot 1 \cdot 5 = 15$ ; les trois produits « montants » valent $3 \cdot 4 \cdot (- 2) = - 24$ , $2 \cdot 0 \cdot 5 = 0$ , $(- 1) \cdot 1 \cdot 1 = - 1$ . Donc $D_{1} = 8 + 0 + 15 - (- 24) - 0 - (- 1) = 48$ .

Développement selon $L_{2} = (1, 4, 0)$ : les signes de la ligne $2$ sont $-, +, -$ . Les mineurs utiles sont $Δ_{21} = ∣ \begin{array}{cc} - 1 & 3 \\ 5 & 1 \end{array} ∣ = - 1 - 15 = - 16$ et $Δ_{22} = ∣ \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ - 2 & 1 \end{array} ∣ = 2 + 6 = 8$ ; le troisième terme est multiplié par $0$ . Ainsi $D_{1} = - 1 \cdot (- 16) + 4 \cdot 8 - 0 = 48$ . Les deux méthodes concordent : $D_{1} = 48$ .

2. On crée des zéros dans la première colonne avec la ligne $1$ comme pivot (ces opérations ne changent pas le déterminant, fiche § 6) : $D_{2} \underset{\begin{array}{c} L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1} \\ L_{3} \leftarrow L_{3} + L_{1} \\ L_{4} \leftarrow L_{4} - 3 L_{1} \end{array}}{=} ∣ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{array} ∣ \underset{suivant C_{1}}{=} ∣ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 4 \end{array} ∣ \underset{L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}}{=} ∣ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 3 \\ 0 & 2 & 4 \end{array} ∣ = 1 \cdot (4 + 6) = 10.$ Donc $D_{2} = 10$ .

3. Chaque ligne a pour somme $x + 5$ . L'opération $C_{1} \leftarrow C_{1} + C_{2} + C_{3}$ ne change pas le déterminant et fait apparaître une colonne de $x + 5$ , que l'on sort par linéarité : $D_{3} (x) = (x + 5) ∣ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & x & 3 \\ 1 & 3 & x \end{array} ∣ \underset{\begin{array}{c} L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1} \\ L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1} \end{array}}{=} (x + 5) ∣ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & x - 2 & 0 \\ 0 & 1 & x - 3 \end{array} ∣ = (x + 5) (x - 2) (x - 3) .$ Donc $D_{3} (x) = (x + 5) (x - 2) (x - 3)$ , et la matrice n'est pas inversible exactement pour $x \in {- 5, 2, 3}$ (fiche § 5). Contrôle : pour $x = 2$ , les lignes $1$ et $2$ valent toutes deux $(2, 2, 3)$ ; pour $x = 3$ , les lignes $2$ et $3$ valent $(2, 3, 3)$ ; pour $x = - 5$ , la somme des trois colonnes est nulle.

4. La première colonne s'écrit $^{t} (a, 0, 0) +^{t} (1, 1, 1)$ . Par linéarité par rapport à $C_{1}$ : $D_{4} = ∣ \begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 0 & 1 + b & 1 \\ 0 & 1 & 1 + c \end{array} ∣ + ∣ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + b & 1 \\ 1 & 1 & 1 + c \end{array} ∣ .$ Le premier se développe selon $C_{1}$ : $a ((1 + b) (1 + c) - 1) = a (b + c + b c)$ . Dans le second, $L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}$ donnent la matrice triangulaire de diagonale $(1, b, c)$ , de déterminant $b c$ . Donc $D_{4} = a b c + a b + a c + b c$ . (Ce résultat est un cas particulier de l'exercice 10, Q.14.)

Après avoir comparé avec le corrigé :

Application du cours5 points

2. Déterminants d'endomorphismes

Sur $E = ℝ_{3} [X]$ , on pose $f (P) = P (2 X - 1)$ . Donner $Mat (f)$ relativement à la base canonique, puis $\det f$ . L'endomorphisme $f$ est-il bijectif ? Que vaut $\det (f^{- 1})$ ? Contrôler en donnant $f^{- 1}$ .
Sur le même $E$ , on pose $g (P) = P + (1 - X) P^{'}$ . Calculer $\det g$ . L'endomorphisme $g$ est-il bijectif ? Déterminer $Ker g$ .
Soit $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}) \in ℳ_{2} (ℝ)$ et $φ_{A} : ℳ_{2} (ℝ) \to ℳ_{2} (ℝ)$ , $M \mapsto A M$ . Écrire $Mat (φ_{A})$ relativement à $(E_{11}, E_{21}, E_{12}, E_{22})$ et montrer que $\det φ_{A} = (\det A)^{2}$ . Quand $φ_{A}$ est-il un automorphisme ?
Sans calcul, donner le déterminant de $ψ_{A} : M \mapsto A M - M A$ .
Calculer $\det (2 f)$ et $\det (f \circ f)$ , où $f$ est l'endomorphisme de la question 1.

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1. $f$ est linéaire (composer par $2 X - 1$ respecte sommes et produits par un scalaire) et conserve le degré, donc envoie $E$ dans $E$ . Images : $f (1) = 1$ , $f (X) = - 1 + 2 X$ , $f (X^{2}) = 1 - 4 X + 4 X^{2}$ , $f (X^{3}) = (2 X - 1)^{3} = - 1 + 6 X - 12 X^{2} + 8 X^{3}$ . D'où $Mat (f) = (\begin{array}{cccc} 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 2 & - 4 & 6 \\ 0 & 0 & 4 & - 12 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \end{array}), \det f = 1 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 8 = 64$ (matrice triangulaire, fiche § 5). Comme $\det f \neq 0$ , $f est un automorphisme$ et $\det (f^{- 1}) = \frac{1}{64}$ (fiche § 4). Contrôle : $h (P) = P (\frac{X + 1}{2})$ vérifie $h \circ f = f \circ h = {i d}_{E}$ (on substitue $\frac{X + 1}{2}$ puis $2 X - 1$ , ou l'inverse, et l'on retrouve $X$ ), donc $f^{- 1} = h$ ; sa matrice est triangulaire de diagonale $(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8})$ , de déterminant $\frac{1}{64}$ .

2. Pour $k \geq 0$ : $g (X^{k}) = X^{k} + (1 - X) k X^{k - 1} = k X^{k - 1} + (1 - k) X^{k}$ . Donc $g (1) = 1$ , $g (X) = 1$ , $g (X^{2}) = 2 X - X^{2}$ , $g (X^{3}) = 3 X^{2} - 2 X^{3}$ et $Mat (g) = (\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 \end{array}), \det g = 1 \cdot 0 \cdot (- 1) \cdot (- 2) = 0 .$ Donc $g$ n'est pas bijectif. Noyau : $g (a + b X + c X^{2} + d X^{3}) = 0$ s'écrit $a + b = 0$ , $2 c = 0$ , $- c + 3 d = 0$ , $- 2 d = 0$ , d'où $c = d = 0$ , $b = - a$ : $Ker g = Vect (1 - X)$ . Vérification : $(1 - X) + (1 - X) \cdot (- 1) = 0$ .

3. $A E_{11}$ a pour première colonne la première colonne de $A$ et une seconde colonne nulle : $A E_{11} = a E_{11} + c E_{21}$ ; de même $A E_{21} = b E_{11} + d E_{21}$ , $A E_{12} = a E_{12} + c E_{22}$ , $A E_{22} = b E_{12} + d E_{22}$ . Dans la base $(E_{11}, E_{21}, E_{12}, E_{22})$ : $Mat (φ_{A}) = (\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & A \end{array}) = (\begin{array}{cccc} a & b & 0 & 0 \\ c & d & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & b \\ 0 & 0 & c & d \end{array}) .$ Matrice diagonale par blocs (fiche § 8) : $\det φ_{A} = (\det A)^{2} = (a d - b c)^{2}$ . Donc $φ_{A}$ est un automorphisme $⟺ \det A \neq 0 ⟺ A$ inversible (et alors $φ_{A}^{- 1} = φ_{A^{- 1}}$ ).

4. $ψ_{A} (I_{2}) = A - A = 0$ avec $I_{2} \neq 0$ : $ψ_{A}$ n'est pas injectif, donc pas bijectif, donc $\det ψ_{A} = 0$ (fiche § 4).

5. $E$ est de dimension $4$ : $\det (2 f) = 2^{4} \det f = 16 \cdot 64 = 1024$ (et non $2 \cdot 64$ ). Puis $\det (f \circ f) = (\det f)^{2} = 4096$ .

Après avoir comparé avec le corrigé :

Application du cours4 points

3. Bases de $ℝ^{3}$ selon un paramètre, inverse par la comatrice

Pour $m \in ℝ$ , on considère $u_{1} = (1, m, 1)$ , $u_{2} = (m, 2, 0)$ , $u_{3} = (- 1, 1, m)$ et $A_{m}$ la matrice de $(u_{1}, u_{2}, u_{3})$ dans la base canonique.

Calculer $\det A_{m}$ sous forme factorisée.
Pour quelles valeurs de $m$ la famille $(u_{1}, u_{2}, u_{3})$ est-elle une base de $ℝ^{3}$ ?
Pour chacune des valeurs exclues, donner le rang de la famille et une relation de liaison.
On prend $m = 0$ . Calculer $com (A_{0})$ , puis $A_{0}^{- 1}$ , et en déduire l'écriture de $w = (1, 1, 1)$ comme combinaison de $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ .

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1. $A_{m} = (\begin{array}{ccc} 1 & m & - 1 \\ m & 2 & 1 \\ 1 & 0 & m \end{array})$ (vecteurs en colonnes). On développe selon la troisième ligne, qui contient un zéro ; les signes des positions $(3, 1)$ et $(3, 3)$ sont $+$ : $\det A_{m} = 1 \cdot ∣ \begin{array}{cc} m & - 1 \\ 2 & 1 \end{array} ∣ + m ∣ \begin{array}{cc} 1 & m \\ m & 2 \end{array} ∣ = (m + 2) + m (2 - m^{2}) = - m^{3} + 3 m + 2.$ $m = - 1$ est racine évidente ( $1 - 3 + 2 = 0$ ), et $m = 2$ aussi ( $- 8 + 6 + 2 = 0$ ). On factorise : $- m^{3} + 3 m + 2 = - (m - 2) (m^{2} + 2 m + 1)$ , donc $\det A_{m} = - (m - 2) (m + 1)^{2}$ .

2. Trois vecteurs en dimension $3$ forment une base si et seulement si leur déterminant est non nul (fiche § 3) : c'est le cas exactement pour $m \notin {- 1, 2}$ .

3. $m = 2$ : $u_{1} = (1, 2, 1)$ , $u_{2} = (2, 2, 0)$ , $u_{3} = (- 1, 1, 2)$ . On cherche $α u_{1} + β u_{2} + γ u_{3} = 0$ : la troisième coordonnée donne $α = - 2 γ$ , la première $α + 2 β - γ = 0$ , soit $β = \frac{3 γ}{2}$ ; avec $γ = - 2$ : $4 u_{1} - 3 u_{2} - 2 u_{3} = 0$ (contrôle sur la deuxième coordonnée : $8 - 6 - 2 = 0$ ). $u_{1}$ et $u_{2}$ étant non proportionnels, la famille est de rang $2$ . $m = - 1$ : $u_{1} = (1, - 1, 1)$ , $u_{3} = (- 1, 1, - 1)$ : $u_{1} + u_{3} = 0$ , et $u_{2} = (- 1, 2, 0)$ n'est pas colinéaire à $u_{1}$ : rang $2$ .

4. $A_{0} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array})$ , $\det A_{0} = - (- 2) (1)^{2} = 2$ . Cofacteurs $(- 1)^{i + j} Δ_{i j}$ :

ligne 1 : $∣ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} ∣ = 0$ , $- ∣ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} ∣ = 1$ , $∣ \begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{array} ∣ = - 2$ ;
ligne 2 : $- ∣ \begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 0 & 0 \end{array} ∣ = 0$ , $∣ \begin{array}{cc} 1 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array} ∣ = 1$ , $- ∣ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} ∣ = 0$ ;
ligne 3 : $∣ \begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 2 & 1 \end{array} ∣ = 2$ , $- ∣ \begin{array}{cc} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{array} ∣ = - 1$ , $∣ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} ∣ = 2$ .

Donc $com (A_{0}) = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & - 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & - 1 & 2 \end{array})$ et (fiche § 10) $A_{0}^{- 1} = \frac{1}{\det A_{0}}^{t} ⁣ com (A_{0}) = \frac{1}{2} (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & - 1 \\ - 2 & 0 & 2 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ - 1 & 0 & 1 \end{array}) .$ Contrôle : la première ligne de $A_{0}$ fois la première colonne de $A_{0}^{- 1}$ donne $0 + 0 + 1 = 1$ , fois la deuxième colonne donne $0$ . Les colonnes de $A_{0}$ contiennent les coordonnées des $u_{j}$ : si $w = α u_{1} + β u_{2} + γ u_{3}$ , alors $A_{0}^{t} (α, β, γ) =^{t} (1, 1, 1)$ , d'où $^{t} (α, β, γ) = A_{0}^{- 1}^{t} (1, 1, 1) =^{t} (1, \frac{1}{2}, 0)$ . Donc $w = u_{1} + \frac{1}{2} u_{2}$ ; vérification : $(1, 0, 1) + (0, 1, 0) = (1, 1, 1)$ .

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Application du cours5 points

4. Système à paramètre : Cramer, puis pivot

Pour $λ \in ℝ$ , on considère le système $(S_{λ}) {\begin{cases} λ x + y + 2 z = 3 \\ x + λ y - z = 0 \\ x + y + z = 2 \end{cases}$

Calculer le déterminant $Δ (λ)$ de la matrice du système.
Pour $λ \notin {0, 1}$ , résoudre $(S_{λ})$ par les formules de Cramer.
Résoudre $(S_{0})$ et $(S_{1})$ .
La solution obtenue en 2 a-t-elle une limite quand $λ \to 1$ ? Commenter.

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1. On crée deux zéros dans la troisième colonne grâce à la ligne $3$ : $Δ (λ) = ∣ \begin{array}{ccc} λ & 1 & 2 \\ 1 & λ & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} ∣ \underset{\begin{array}{c} L_{1} \leftarrow L_{1} - 2 L_{3} \\ L_{2} \leftarrow L_{2} + L_{3} \end{array}}{=} ∣ \begin{array}{ccc} λ - 2 & - 1 & 0 \\ 2 & λ + 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} ∣ \underset{suivant C_{3}}{=} (λ - 2) (λ + 1) + 2 = λ^{2} - λ .$ Donc $Δ (λ) = λ (λ - 1)$ .

2. Pour $λ \notin {0, 1}$ , $Δ (λ) \neq 0$ : le système est de Cramer (fiche § 11). Les mêmes opérations sur les lignes donnent :

$Δ_{x} = ∣ \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 2 \\ 0 & λ & - 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{array} ∣ = ∣ \begin{array}{ccc} - 1 & - 1 & 0 \\ 2 & λ + 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{array} ∣ = - (λ + 1) + 2 = 1 - λ$ ;
$Δ_{y} = ∣ \begin{array}{ccc} λ & 3 & 2 \\ 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} ∣ = ∣ \begin{array}{ccc} λ - 2 & - 1 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} ∣ = 2 (λ - 2) + 2 = 2 (λ - 1)$ ;
$Δ_{z} = ∣ \begin{array}{ccc} λ & 1 & 3 \\ 1 & λ & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{array} ∣$ , développé selon la troisième colonne : $3 (1 - λ) + 2 (λ^{2} - 1) = (λ - 1) (2 λ - 1)$ .

D'où, après simplification par $λ - 1 \neq 0$ : $x = - \frac{1}{λ}, y = \frac{2}{λ}, z = \frac{2 λ - 1}{λ} .$ Contrôle dans la troisième équation : $\frac{- 1 + 2 + 2 λ - 1}{λ} = 2$ .

3. $λ = 0$ : $y + 2 z = 3$ , $x - z = 0$ , $x + y + z = 2$ . On tire $x = z$ , puis $y = 2 - 2 z$ de la troisième équation ; la première devient $2 - 2 z + 2 z = 3$ , soit $2 = 3$ : $(S_{0}) n’a pas de solution$ . $λ = 1$ : $x + y + 2 z = 3$ , $x + y - z = 0$ , $x + y + z = 2$ . $L_{1} - L_{2}$ donne $3 z = 3$ , donc $z = 1$ , puis $x + y = 1$ , et la troisième équation est satisfaite. Rang $2$ , une inconnue paramètre : $𝒮_{1} = {(t, 1 - t, 1), t \in ℝ} = (0, 1, 1) + Vect ((1, - 1, 0))$ , une droite de $ℝ^{3}$ . Les deux cas illustrent la fiche § 12 : un déterminant nul donne zéro ou une infinité de solutions, jamais une seule.

4. Quand $λ \to 1$ , la solution du 2 tend vers $(- 1, 2, 1)$ , qui est une des solutions de $(S_{1})$ (pour $t = - 1$ ). Ce n'est pas un hasard : les solutions de $(S_{λ})$ satisfont les équations, qui dépendent continûment de $λ$ , donc la limite satisfait $(S_{1})$ . Mais l'unicité est perdue en $λ = 1$ : on ne peut pas remplacer l'étude de $(S_{1})$ par un passage à la limite. Quand $λ \to 0$ , en revanche, $x = - \frac{1}{λ}$ n'a pas de limite finie, ce qui est cohérent avec l'absence de solution de $(S_{0})$ .

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Niveau devoir6 points

5. Vandermonde : calcul, interpolation, fonctions exponentielles

Pour $n \geq 2$ et $a_{1}, \dots, a_{n} \in 𝕂$ , on note $V (a_{1}, \dots, a_{n})$ le déterminant de la matrice $W = (a_{j}^{i - 1})_{1 \leq i, j \leq n}$ (fiche § 9).

Calculer $V (a, b, c)$ sous forme factorisée en utilisant des opérations sur les colonnes.
Montrer, à l'aide des opérations $L_{k} \leftarrow L_{k} - a_{1} L_{k - 1}$ effectuées pour $k = n, n - 1, \dots, 2$ , que $V (a_{1}, \dots, a_{n}) = \prod_{j = 2}^{n} (a_{j} - a_{1}) V (a_{2}, \dots, a_{n})$ , puis que $V (a_{1}, \dots, a_{n}) = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (a_{j} - a_{i})$ .
Montrer que $V (1, 2, \dots, n) = \prod_{k = 1}^{n - 1} k!$ et donner $V (1, 2, 3, 4)$ .
Déterminer, à l'aide des formules de Cramer, l'unique $P \in ℝ_{2} [X]$ tel que $P (- 1) = 2$ , $P (1) = 0$ , $P (2) = 5$ .
Soient $a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n}$ des réels et $f_{k} : x \mapsto e^{a_{k} x}$ . Montrer que $(f_{1}, \dots, f_{n})$ est libre dans $ℱ (ℝ, ℝ)$ .

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1. $V (a, b, c) = ∣ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \end{array} ∣ \underset{\begin{array}{c} C_{2} \leftarrow C_{2} - C_{1} \\ C_{3} \leftarrow C_{3} - C_{1} \end{array}}{=} ∣ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ a & b - a & c - a \\ a^{2} & b^{2} - a^{2} & c^{2} - a^{2} \end{array} ∣ = ∣ \begin{array}{cc} b - a & c - a \\ (b - a) (b + a) & (c - a) (c + a) \end{array} ∣ .$ On sort $b - a$ de la première colonne et $c - a$ de la seconde : $V (a, b, c) = (b - a) (c - a) ((c + a) - (b + a)) = (b - a) (c - a) (c - b)$ .

2. On effectue $L_{n} \leftarrow L_{n} - a_{1} L_{n - 1}$ , puis $L_{n - 1} \leftarrow L_{n - 1} - a_{1} L_{n - 2}$ , …, puis $L_{2} \leftarrow L_{2} - a_{1} L_{1}$ : chaque opération utilise une ligne pas encore modifiée, et ajoute à une ligne un multiple d'une autre, donc le déterminant est inchangé. Le coefficient en ligne $k \geq 2$ , colonne $j$ devient $a_{j}^{k - 1} - a_{1} a_{j}^{k - 2} = (a_{j} - a_{1}) a_{j}^{k - 2}$ . La première colonne devient $^{t} (1, 0, \dots, 0)$ . On développe selon $C_{1}$ (signe $+$ ), puis on sort le facteur $(a_{j} - a_{1})$ de chaque colonne $j = 2, \dots, n$ du mineur ; il reste la matrice $(a_{j}^{k - 2})_{2 \leq k, j \leq n}$ , de déterminant $V (a_{2}, \dots, a_{n})$ : $V (a_{1}, \dots, a_{n}) = \prod_{j = 2}^{n} (a_{j} - a_{1}) \cdot V (a_{2}, \dots, a_{n}) .$ Récurrence sur $n$ : pour $n = 2$ , $V (a_{1}, a_{2}) = a_{2} - a_{1}$ . Si la formule vaut au rang $n - 1$ pour toute famille, alors $V (a_{2}, \dots, a_{n}) = \prod_{2 \leq i < j \leq n} (a_{j} - a_{i})$ , et la relation précédente ajoute exactement les facteurs d'indice $i = 1$ : $V (a_{1}, \dots, a_{n}) = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (a_{j} - a_{i})$ .

3. Avec $a_{i} = i$ : $\prod_{1 \leq i < j \leq n} (j - i) = \prod_{j = 2}^{n} \prod_{i = 1}^{j - 1} (j - i) = \prod_{j = 2}^{n} (j - 1)! = \prod_{k = 1}^{n - 1} k!$ . Donc $V (1, 2, 3, 4) = 1! \cdot 2! \cdot 3! = 12$ .

4. Avec $P = c_{0} + c_{1} X + c_{2} X^{2}$ , les conditions s'écrivent $c_{0} - c_{1} + c_{2} = 2$ , $c_{0} + c_{1} + c_{2} = 0$ , $c_{0} + 2 c_{1} + 4 c_{2} = 5$ . La matrice du système est $^{t} W$ pour $(a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (- 1, 1, 2)$ ; son déterminant est $V (- 1, 1, 2) = (1 + 1) (2 + 1) (2 - 1) = 6 \neq 0$ (même déterminant que $W$ , fiche § 5). Cramer :

$Δ_{0} = ∣ \begin{array}{ccc} 2 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 5 & 2 & 4 \end{array} ∣ = 2 (4 - 2) + 1 \cdot (0 - 5) + 1 \cdot (0 - 5) = - 6$ , donc $c_{0} = - 1$ ;
$Δ_{1} = ∣ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 5 & 4 \end{array} ∣ = 1 \cdot (0 - 5) - 2 (4 - 1) + 1 \cdot (5 - 0) = - 6$ , donc $c_{1} = - 1$ ;
$Δ_{2} = ∣ \begin{array}{ccc} 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 5 \end{array} ∣ = 1 \cdot 5 + 1 \cdot 5 + 2 \cdot (2 - 1) = 12$ , donc $c_{2} = 2$ .

$P = 2 X^{2} - X - 1$ . Vérification : $P (- 1) = 2 + 1 - 1 = 2$ , $P (1) = 0$ , $P (2) = 8 - 2 - 1 = 5$ .

5. Soient $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ réels avec $\sum_{k} λ_{k} f_{k} = 0$ (fonction nulle). Cette fonction est dérivable à tout ordre et $f_{k}^{(p)} (x) = a_{k}^{p} e^{a_{k} x}$ . En dérivant $p$ fois puis en prenant $x = 0$ , on obtient $\sum_{k = 1}^{n} λ_{k} a_{k}^{p} = 0$ pour $p = 0, 1, \dots, n - 1$ , c'est-à-dire $W Λ = 0$ avec $Λ =^{t} (λ_{1}, \dots, λ_{n})$ . Les $a_{k}$ sont deux à deux distincts, donc $\det W = V (a_{1}, \dots, a_{n}) \neq 0$ : $W$ est inversible et $Λ = 0$ . $(f_{1}, \dots, f_{n}) est libre$ .

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Niveau devoir6 points

6. Deux déterminants d'ordre $n$ construits sur $∣ i - j ∣$

Pour $n \geq 1$ et $x \in ℝ$ , on pose $A_{n} (x) = (x^{∣ i - j ∣})_{1 \leq i, j \leq n}$ (avec la convention $x^{0} = 1$ ) et $B_{n} = (∣ i - j ∣)_{1 \leq i, j \leq n}$ .

Écrire $A_{3} (x)$ et $B_{4}$ .
En effectuant successivement $L_{1} \leftarrow L_{1} - x L_{2}$ , $L_{2} \leftarrow L_{2} - x L_{3}$ , …, $L_{n - 1} \leftarrow L_{n - 1} - x L_{n}$ , montrer que $\det A_{n} (x) = (1 - x^{2})^{n - 1}$ . Pour quels $x$ la matrice $A_{n} (x)$ est-elle inversible ?
Pour $x \neq \pm 1$ , calculer $A_{3} (x)^{- 1}$ par la comatrice. Que remarque-t-on ?
Montrer que $\det B_{n} = (- 1)^{n - 1} (n - 1) 2^{n - 2}$ pour $n \geq 2$ (on pourra effectuer $L_{i} \leftarrow L_{i} - L_{i + 1}$ pour $i = 1, \dots, n - 1$ , puis ajouter la dernière colonne à chacune des autres).

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1. $A_{3} (x) = (\begin{array}{ccc} 1 & x & x^{2} \\ x & 1 & x \\ x^{2} & x & 1 \end{array})$ et $B_{4} = (\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \end{array})$ .

2. Chaque opération ajoute à $L_{i}$ un multiple de $L_{i + 1}$ , qui n'a pas encore été modifiée : le déterminant ne change pas. Nouvelle ligne $i$ ( $i \leq n - 1$ ), colonne $j$ :

si $j \geq i + 1$ : $x^{j - i} - x \cdot x^{j - i - 1} = 0$ ;
si $j \leq i$ : $x^{i - j} - x \cdot x^{i + 1 - j} = x^{i - j} (1 - x^{2})$ .

La ligne $n$ est inchangée : $(x^{n - 1}, \dots, x, 1)$ . La matrice obtenue est triangulaire inférieure, de diagonale $(1 - x^{2}, \dots, 1 - x^{2}, 1)$ , d'où $\det A_{n} (x) = (1 - x^{2})^{n - 1}$ . Pour $n \geq 2$ , $A_{n} (x)$ est inversible $⟺ x \neq \pm 1$ (pour $x = 1$ , toutes les lignes sont égales) ; pour $n = 1$ , $A_{1} (x) = (1)$ l'est toujours.

3. $\det A_{3} (x) = (1 - x^{2})^{2}$ . Cofacteurs : $(1, 1)$ : $1 - x^{2}$ ; $(1, 2)$ : $- (x - x^{3}) = - x (1 - x^{2})$ ; $(1, 3)$ : $x^{2} - x^{2} = 0$ ; $(2, 2)$ : $1 - x^{4} = (1 - x^{2}) (1 + x^{2})$ ; $(2, 3)$ : $- (x - x^{3})$ ; $(3, 3)$ : $1 - x^{2}$ ; par symétrie de $A_{3} (x)$ , la comatrice est symétrique. Ainsi $com A_{3} (x) = (1 - x^{2}) (\begin{array}{ccc} 1 & - x & 0 \\ - x & 1 + x^{2} & - x \\ 0 & - x & 1 \end{array})$ et $A_{3} (x)^{- 1} = \frac{1}{1 - x^{2}} (\begin{array}{ccc} 1 & - x & 0 \\ - x & 1 + x^{2} & - x \\ 0 & - x & 1 \end{array}) .$ On remarque que l'inverse, contrairement à $A_{3} (x)$ , est tridiagonale (les coefficients d'indices $(1, 3)$ et $(3, 1)$ sont nuls). Contrôle : première ligne de $A_{3} (x)$ fois première colonne de la matrice entre parenthèses : $1 - x^{2} + 0 = 1 - x^{2}$ .

4. Première étape : pour $i \leq n - 1$ , la nouvelle ligne $i$ est $L_{i} - L_{i + 1}$ (lignes d'origine, puisque $L_{i + 1}$ n'est modifiée qu'après) ; son coefficient en colonne $j$ vaut $∣ i - j ∣ - ∣ i + 1 - j ∣$ , soit $- 1$ si $j \leq i$ et $+ 1$ si $j \geq i + 1$ . La dernière ligne reste $(n - 1, n - 2, \dots, 1, 0)$ .

Deuxième étape : $C_{j} \leftarrow C_{j} + C_{n}$ pour $j \leq n - 1$ (déterminant inchangé). Pour $i \leq n - 1$ , la ligne $i$ devient : $0$ si $j \leq i$ , $2$ si $i < j \leq n - 1$ , et $1$ en colonne $n$ . La dernière ligne devient $(n - 1, n - 2, \dots, 1, 0)$ (on ajoute $0$ ).

Développement selon $C_{1}$ : seul le coefficient $n - 1$ en position $(n, 1)$ est non nul, de signe $(- 1)^{n + 1}$ . Le mineur correspondant garde les lignes $1, \dots, n - 1$ et les colonnes $2, \dots, n$ : la ligne $i$ y a des zéros avant la colonne $i + 1$ , et son coefficient en colonne $i + 1$ vaut $2$ si $i \leq n - 2$ , $1$ si $i = n - 1$ . Ce mineur est triangulaire supérieur, de déterminant $2^{n - 2} \cdot 1$ . Donc $\det B_{n} = (- 1)^{n + 1} (n - 1) 2^{n - 2} = (- 1)^{n - 1} (n - 1) 2^{n - 2} .$ Contrôles : $n = 2$ : $∣ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} ∣ = - 1$ ; $n = 3$ : $4$ ; $n = 4$ : $- 12$ .

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Niveau devoir6 points

7. Propriétés de la comatrice, matrices entières à inverse entier

Soit $n \geq 2$ .

Soit $A = (\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{array})$ . Calculer $\det A$ , $com (A)$ et $A^{- 1}$ .
Montrer que pour $A \in ℳ_{n} (𝕂)$ et $λ \in 𝕂$ : $com (^{t} ⁣ A) =^{t} com (A)$ et $com (λ A) = λ^{n - 1} com (A)$ .
Soit $A \in G L_{n} (𝕂)$ . Montrer que $com (A) = \det A \cdot^{t} (A^{- 1})$ , puis que $\det com (A) = (\det A)^{n - 1}$ et $com (com (A)) = (\det A)^{n - 2} A$ .
Montrer que pour $A, B \in G L_{n} (𝕂)$ , $com (A B) = com (A) com (B)$ .
Soit $A \in ℳ_{n} (ℤ)$ (coefficients entiers). Montrer que $A$ est inversible avec $A^{- 1} \in ℳ_{n} (ℤ)$ si et seulement si $\det A \in {- 1, 1}$ . Illustrer avec la matrice du 1 et avec $B = (\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{array})$ .

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1. Développement selon $L_{1}$ : $\det A = 2 ∣ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} ∣ - 1 ∣ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 3 \end{array} ∣ + 0 = 2 \cdot 2 - 3 = 1$ . Cofacteurs : $(1, 1)$ : $2$ ; $(1, 2)$ : $- (3 - 0) = - 3$ ; $(1, 3)$ : $1$ ; $(2, 2)$ : $6$ ; $(2, 3)$ : $- (2 - 0) = - 2$ ; $(3, 3)$ : $2 - 1 = 1$ ; les autres s'en déduisent car $A$ est symétrique, donc $com (A)$ aussi ( $com (^{t} ⁣ A) =^{t} com (A)$ , question 2). Ainsi $com (A) = (\begin{array}{ccc} 2 & - 3 & 1 \\ - 3 & 6 & - 2 \\ 1 & - 2 & 1 \end{array}), A^{- 1} = \frac{1}{1}^{t} com (A) = (\begin{array}{ccc} 2 & - 3 & 1 \\ - 3 & 6 & - 2 \\ 1 & - 2 & 1 \end{array}) .$ Contrôle : $(2, 1, 0) \cdot (2, - 3, 1) = 1$ , $(2, 1, 0) \cdot (- 3, 6, - 2) = 0$ , $(1, 1, 1) \cdot (- 3, 6, - 2) = 1$ .

2. Le mineur $(i, j)$ de $^{t} ⁣ A$ est le déterminant de la transposée de la matrice extraite de $A$ en retirant sa ligne $j$ et sa colonne $i$ ; il est donc égal au mineur $Δ_{j i}$ de $A$ . Avec le même signe $(- 1)^{i + j} = (- 1)^{j + i}$ , le cofacteur $(i, j)$ de $^{t} ⁣ A$ est le cofacteur $(j, i)$ de $A$ : $com (^{t} ⁣ A) =^{t} com (A)$ . Pour $λ A$ , chaque mineur est un déterminant d'ordre $n - 1$ dont toutes les lignes sont multipliées par $λ$ : il est multiplié par $λ^{n - 1}$ , d'où $com (λ A) = λ^{n - 1} com (A)$ .

3. La relation $A^{t} com (A) = \det A \cdot I_{n}$ (fiche § 10) donne $^{t} com (A) = \det A \cdot A^{- 1}$ ; en transposant, $com (A) = \det A \cdot^{t} (A^{- 1})$ . Alors $\det com (A) = (\det A)^{n} \det (^{t} ⁣ A^{- 1}) = (\det A)^{n} \cdot \frac{1}{\det A} = (\det A)^{n - 1}$ (le facteur scalaire sort à la puissance $n$ ). En particulier $com (A)$ est inversible. Ensuite, par la question 2 puis la formule précédente appliquée à $A^{- 1}$ : $com (com A) = (\det A)^{n - 1} com (^{t} (A^{- 1})) = (\det A)^{n - 1}^{t} com (A^{- 1}) = (\det A)^{n - 1} \cdot \det (A^{- 1}) A = (\det A)^{n - 2} A,$ car $com (A^{- 1}) = \det (A^{- 1})^{t} A$ et $\det (A^{- 1}) = \frac{1}{\det A}$ .

4. $A B$ est inversible et, par la question 3, $com (A B) = \det (A B)^{t} ((A B)^{- 1}) = \det A \det B^{t} (B^{- 1} A^{- 1}) = (\det A^{t} (A^{- 1})) (\det B^{t} (B^{- 1})) = com (A) com (B)$ (on a utilisé $^{t} (M N) =^{t} N^{t} M$ et la commutativité des scalaires).

5. Pour une matrice entière, le déterminant est lui-même un entier : c'est une somme de produits de coefficients (formule du § 5 de la fiche), et de même pour tous ses cofacteurs. Sens direct : si $A$ et $A^{- 1}$ sont entières, $\det A \cdot \det (A^{- 1}) = \det I_{n} = 1$ est un produit de deux entiers, donc $\det A = \pm 1$ . Réciproque : si $\det A = \pm 1$ , $A$ est inversible et $A^{- 1} = \pm^{t} com (A)$ est entière. Illustration : la matrice du 1 a pour déterminant $1$ et son inverse est bien entière. Pour $B$ : $\det B = 1 \cdot (6 - 1) - 1 \cdot (3 - 0) = 2$ ; $B$ est inversible mais son inverse ne peut pas être entière ; de fait, son coefficient $(1, 1)$ vaut $\frac{1}{2} ∣ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} ∣ = \frac{5}{2}$ .

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Niveau devoir6 points

8. Déterminants par blocs

Soient $p, q \geq 1$ .

Soient $A \in ℳ_{p} (𝕂)$ , $B \in ℳ_{p, q} (𝕂)$ , $D \in ℳ_{q} (𝕂)$ . Vérifier que $(\begin{array}{cc} A & B \\ 0 & D \end{array}) = (\begin{array}{cc} I_{p} & 0 \\ 0 & D \end{array}) (\begin{array}{cc} A & B \\ 0 & I_{q} \end{array})$ et en déduire que $∣ \begin{array}{cc} A & B \\ 0 & D \end{array} ∣ = \det A \det D$ .
Soient $A, B \in ℳ_{n} (𝕂)$ . Montrer que $∣ \begin{array}{cc} A & B \\ B & A \end{array} ∣ = \det (A + B) \det (A - B)$ .
Application : calculer $∣ \begin{array}{cccc} 2 & 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & - 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 3 \end{array} ∣$ .
Montrer que $∣ \begin{array}{cc} 0 & A \\ B & 0 \end{array} ∣ = (- 1)^{n} \det A \det B$ pour $A, B \in ℳ_{n} (𝕂)$ .
Montrer par un exemple que, en général, $∣ \begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array} ∣ \neq \det A \det D - \det B \det C$ .

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1. Produit par blocs (les formats sont compatibles) : $(\begin{array}{cc} I_{p} & 0 \\ 0 & D \end{array}) (\begin{array}{cc} A & B \\ 0 & I_{q} \end{array}) = (\begin{array}{cc} I_{p} A + 0 & I_{p} B + 0 \\ 0 + 0 & 0 + D I_{q} \end{array}) = (\begin{array}{cc} A & B \\ 0 & D \end{array})$ .

$\det (\begin{array}{cc} A & B \\ 0 & I_{q} \end{array}) = \det A$ : on développe selon la dernière ligne, qui est $(0, \dots, 0, 1)$ avec le $1$ sur la diagonale (signe $+$ ) ; on obtient la même forme avec $q - 1$ au lieu de $q$ , et l'on recommence $q$ fois.
$\det (\begin{array}{cc} I_{p} & 0 \\ 0 & D \end{array}) = \det D$ : même raisonnement en développant selon la première ligne, $p$ fois.

Par $\det (M N) = \det M \det N$ : $∣ \begin{array}{cc} A & B \\ 0 & D \end{array} ∣ = \det A \det D$ .

2. Notons $L_{1}, \dots, L_{2 n}$ les lignes et $C_{1}, \dots, C_{2 n}$ les colonnes. Les opérations $L_{i} \leftarrow L_{i} + L_{i + n}$ ( $1 \leq i \leq n$ ) ne changent pas le déterminant (on ajoute chaque fois une ligne du bas, non modifiée) et donnent $(\begin{array}{cc} A + B & A + B \\ B & A \end{array})$ . Puis $C_{j + n} \leftarrow C_{j + n} - C_{j}$ ( $1 \leq j \leq n$ ) donnent $(\begin{array}{cc} A + B & 0 \\ B & A - B \end{array})$ . Cette matrice est triangulaire inférieure par blocs (fiche § 8), d'où $∣ \begin{array}{cc} A & B \\ B & A \end{array} ∣ = \det (A + B) \det (A - B)$ .

3. La matrice est de la forme du 2 avec $A = (\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{array})$ et $B = (\begin{array}{cc} 1 & - 1 \\ 2 & 1 \end{array})$ (le bloc en bas à gauche est bien $B$ , celui en bas à droite $A$ ). $A + B = (\begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 2 & 4 \end{array})$ , de déterminant $12$ ; $A - B = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ - 2 & 2 \end{array})$ , de déterminant $2 + 4 = 6$ . Le déterminant vaut $72$ .

4. On amène les $n$ dernières colonnes en tête : la colonne $n + 1$ passe en première position par $n$ échanges de colonnes voisines, puis la colonne $n + 2$ en deuxième position par $n$ échanges, etc. Au total $n \cdot n$ échanges, d'où un facteur $(- 1)^{n^{2}} = (- 1)^{n}$ ( $n^{2}$ et $n$ ont même parité). On obtient $(\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array})$ , de déterminant $\det A \det B$ . Donc $∣ \begin{array}{cc} 0 & A \\ B & 0 \end{array} ∣ = (- 1)^{n} \det A \det B$ .

5. $A = D = 0_{2}$ , $B = C = I_{2}$ : par la question 4 (avec $n = 2$ ), $∣ \begin{array}{cc} 0 & I_{2} \\ I_{2} & 0 \end{array} ∣ = (- 1)^{2} \cdot 1 \cdot 1 = 1$ , alors que $\det A \det D - \det B \det C = 0 - 1 = - 1$ . La « formule $a d - b c$ par blocs » est fausse.

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Synthèse, niveau concours10 points

9. Problème : matrices à diagonale strictement dominante

On dit qu'une matrice $A = (a_{i j}) \in ℳ_{n} (ℂ)$ a une diagonale strictement dominante lorsque, pour tout $i \in [⁣ [1, n] ⁣]$ , $∣ a_{i i} ∣ > \sum_{j \neq i} ∣ a_{i j} ∣ .$

Partie A — Inversibilité (3 points)

Soit $A$ à diagonale strictement dominante et $X =^{t} (x_{1}, \dots, x_{n})$ tel que $A X = 0$ . On choisit $i_{0}$ tel que $∣ x_{i_{0}} ∣ = \max_{j} ∣ x_{j} ∣$ . En écrivant la ligne $i_{0}$ de $A X = 0$ , montrer que $X = 0$ . En déduire que $\det A \neq 0$ .

Partie B — Exemples (2 points) 2. Sans calculer de déterminant, montrer que $M = (\begin{array}{cccc} 5 & 1 & - 2 & 1 \\ 1 & - 6 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & 7 & - 1 \\ 2 & - 1 & 1 & - 5 \end{array})$ est inversible. 3. Montrer par des exemples que la réciproque du résultat de A est fausse, et que l'inégalité large ne suffit pas. 4. Pour $m \in ℝ$ , soit $N_{m} = (\begin{array}{ccc} m & 1 & 1 \\ - 1 & m & 1 \\ 1 & 1 & m \end{array})$ . Que donne la partie A ? Calculer $\det N_{m}$ et comparer.

Partie C — Signe du déterminant (3 points) Dans cette partie, $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ est à diagonale strictement dominante et ses coefficients diagonaux sont strictement positifs. On note $D = diag (a_{11}, \dots, a_{n n})$ et, pour $t \in [0, 1]$ , $A_{t} = D + t (A - D)$ . 5. Montrer que $A_{t}$ est à diagonale strictement dominante pour tout $t \in [0, 1]$ . 6. Montrer que $φ : t \mapsto \det A_{t}$ est une fonction polynomiale, puis que $\det A > 0$ .

Partie D — Application (2 points) Pour $n \geq 1$ , $T_{n}$ est la matrice tridiagonale d'ordre $n$ de diagonale $(4, \dots, 4)$ , dont les coefficients juste au-dessus et juste au-dessous de la diagonale valent $1$ , les autres $0$ . On note $d_{n} = \det T_{n}$ . 7. Justifier sans calcul que $d_{n} > 0$ . Montrer que $d_{n} = 4 d_{n - 1} - d_{n - 2}$ pour $n \geq 3$ , calculer $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ et exprimer $d_{n}$ en fonction de $n$ . 8. Résoudre $T_{3} X =^{t} (1, 1, 1)$ par les formules de Cramer.

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1. La ligne $i_{0}$ de $A X = 0$ s'écrit $a_{i_{0} i_{0}} x_{i_{0}} = - \sum_{j \neq i_{0}} a_{i_{0} j} x_{j}$ . Par l'inégalité triangulaire et le choix de $i_{0}$ : $∣ a_{i_{0} i_{0}} ∣ ∣ x_{i_{0}} ∣ \leq \sum_{j \neq i_{0}} ∣ a_{i_{0} j} ∣ ∣ x_{j} ∣ \leq (\sum_{j \neq i_{0}} ∣ a_{i_{0} j} ∣) ∣ x_{i_{0}} ∣ .$ Si $x_{i_{0}} \neq 0$ , on divise par $∣ x_{i_{0}} ∣ > 0$ : $∣ a_{i_{0} i_{0}} ∣ \leq \sum_{j \neq i_{0}} ∣ a_{i_{0} j} ∣$ , ce qui contredit l'hypothèse. Donc $x_{i_{0}} = 0$ , puis $∣ x_{j} ∣ \leq ∣ x_{i_{0}} ∣ = 0$ pour tout $j$ : $X = 0$ . Ainsi $Ker A = {0}$ ; une matrice carrée de noyau nul est inversible, donc $\det A \neq 0$ (fiche § 5).

2. Ligne 1 : $∣ 5 ∣ = 5 > 1 + 2 + 1 = 4$ ; ligne 2 : $6 > 1 + 2 + 2 = 5$ ; ligne 3 : $7 > 0 + 3 + 1 = 4$ ; ligne 4 : $5 > 2 + 1 + 1 = 4$ . $M$ est à diagonale strictement dominante, donc inversible par la partie A.

3. $(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array})$ est inversible (déterminant $- 1$ ) sans être à diagonale dominante : la réciproque est fausse. $(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array})$ vérifie $∣ a_{i i} ∣ \geq \sum_{j \neq i} ∣ a_{i j} ∣$ (avec égalité) mais son déterminant est nul : l'inégalité large ne suffit pas.

4. La condition de dominance s'écrit $∣ m ∣ > 2$ pour chaque ligne : la partie A donne l'inversibilité de $N_{m}$ pour $∣ m ∣ > 2$ . Calcul (développement selon $L_{1}$ ) : $\det N_{m} = m (m^{2} - 1) - 1 \cdot (- m - 1) + 1 \cdot (- 1 - m) = m^{3} - m$ , soit $\det N_{m} = m (m - 1) (m + 1)$ . $N_{m}$ est en fait inversible pour tout $m \notin {- 1, 0, 1}$ : la condition de dominance est suffisante mais pas nécessaire (par exemple $m = \frac{3}{2}$ ).

5. $A_{t}$ a pour coefficients diagonaux $a_{i i}$ et pour coefficients hors diagonale $t a_{i j}$ . Pour $t \in [0, 1]$ : $\sum_{j \neq i} ∣ t a_{i j} ∣ = t \sum_{j \neq i} ∣ a_{i j} ∣ \leq \sum_{j \neq i} ∣ a_{i j} ∣ < a_{i i} = ∣ a_{i i} ∣$ . Donc $A_{t}$ est à diagonale strictement dominante.

6. Chaque coefficient de $A_{t}$ dépend polynomialement de $t$ (degré au plus $1$ ), et $\det A_{t}$ est une somme de produits de ces coefficients (fiche § 5) : $φ$ est polynomiale, donc continue sur $[0, 1]$ . Par 5 et la partie A, $φ (t) \neq 0$ pour tout $t \in [0, 1]$ . Or $φ (0) = \det D = a_{11} \dots a_{n n} > 0$ . Si l'on avait $φ (1) < 0$ , le théorème des valeurs intermédiaires (appliqué à $φ$ continue sur le segment $[0, 1]$ ) fournirait $t \in] 0, 1 [$ avec $φ (t) = 0$ : contradiction. Donc $φ (1) > 0$ , c'est-à-dire $\det A > 0$ .

7. $T_{n}$ est réelle, de diagonale positive, et à diagonale strictement dominante ( $4 > 1 + 1$ pour les lignes intérieures, $4 > 1$ pour la première et la dernière) : par C, $d_{n} > 0$ . Développement de $d_{n}$ selon la première ligne $(4, 1, 0, \dots, 0)$ : le premier terme vaut $4 d_{n - 1}$ ; le second vaut $- 1 \times$ un déterminant dont la première colonne est $^{t} (1, 0, \dots, 0)$ , qui se développe en $1 \cdot d_{n - 2}$ . Donc $d_{n} = 4 d_{n - 1} - d_{n - 2}$ (fiche § 7, avec $a = 4$ , $b c = 1$ ). Valeurs : $d_{1} = 4$ , $d_{2} = 16 - 1 = 15$ , $d_{3} = 4 \cdot 15 - 4 = 56$ . Avec $d_{0} = 1$ (compatible : $4 \cdot 4 - 1 = 15$ ), l'équation caractéristique $r^{2} - 4 r + 1 = 0$ a pour racines $2 \pm \sqrt{3}$ , donc $d_{n} = α (2 + \sqrt{3})^{n} + β (2 - \sqrt{3})^{n}$ avec $α + β = 1$ et $(α - β) \sqrt{3} = 2$ . On trouve $d_{n} = \frac{(2 + \sqrt{3})^{n + 1} - (2 - \sqrt{3})^{n + 1}}{2 \sqrt{3}} (contr \hat{o} le : n = 1 donne \frac{8 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} = 4) .$

8. $\det T_{3} = 56$ . Cramer : $Δ_{x} = ∣ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \end{array} ∣ = 1 \cdot 15 - 1 \cdot 3 + 0 = 12$ , $Δ_{y} = ∣ \begin{array}{ccc} 4 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \end{array} ∣ = 4 \cdot 3 - 1 \cdot 4 = 8$ , $Δ_{z} = ∣ \begin{array}{ccc} 4 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} ∣ = 4 \cdot 3 - 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 12$ . D'où $X =^{t} (\frac{3}{14}, \frac{1}{7}, \frac{3}{14})$ . Contrôle sur la ligne $2$ : $\frac{3}{14} + \frac{8}{14} + \frac{3}{14} = 1$ .

Après avoir comparé avec le corrigé :

Synthèse, niveau concours10 points

10. Problème type concours : perturbation de rang 1

Dans tout le problème, $n \geq 2$ , $U =^{t} (u_{1}, \dots, u_{n})$ et $V =^{t} (v_{1}, \dots, v_{n})$ sont dans $ℳ_{n, 1} (𝕂)$ , et $𝟙 =^{t} (1, \dots, 1)$ . On note $J_{n} = 𝟙^{t} 𝟙$ (matrice dont tous les coefficients valent $1$ ). Les produits $^{t} V U$ et $^{t} U M V$ ( $M \in ℳ_{n} (𝕂)$ ) sont des matrices $1 \times 1$ , identifiées à des scalaires.

Partie I — Deux formules

Q.1 On suppose $U \neq 0$ et $V \neq 0$ . Montrer que $U^{t} V$ est de rang $1$ et que $(U^{t} V)^{2} = (^{t} V U) U^{t} V$ .

Q.2 On pose $M = (\begin{array}{cc} I_{n} & - U \\ ^{t} V & 1 \end{array}) \in ℳ_{n + 1} (𝕂)$ . Calculer $(\begin{array}{cc} I_{n} & U \\ 0 & 1 \end{array}) M$ et $(\begin{array}{cc} I_{n} & 0 \\ -^{t} V & 1 \end{array}) M$ , puis en déduire $\det (I_{n} + U^{t} V) = 1 +^{t} V U .$

Q.3 En déduire que, pour $A \in G L_{n} (𝕂)$ : $\det (A + U^{t} V) = \det A (1 +^{t} V A^{- 1} U)$ .

Q.4 Soit $A \in ℳ_{n} (𝕂)$ quelconque, de colonnes $C_{1}, \dots, C_{n}$ . En utilisant la multilinéarité du déterminant par rapport aux colonnes de $A + U^{t} V$ , montrer que $\det (A + U^{t} V) = \det A +^{t} U com (A) V .$

Q.5 Vérifier que Q.3 et Q.4 donnent le même résultat lorsque $A$ est inversible.

Partie II — Conséquences

Q.6 Montrer que $t \mapsto \det (A + t U^{t} V)$ est une fonction affine de $t$ .

Q.7 On suppose $A$ inversible et $s = 1 +^{t} V A^{- 1} U \neq 0$ . Montrer que $A + U^{t} V$ est inversible, d'inverse $A^{- 1} - \frac{1}{s} A^{- 1} U^{t} V A^{- 1}$ .

Partie III — Applications

Q.8 Montrer que $\det (a I_{n} + b J_{n}) = a^{n - 1} (a + n b)$ pour tous $a, b \in 𝕂$ .

Q.9 On suppose $a \neq 0$ et $a + n b \neq 0$ . Donner l'inverse de $a I_{n} + b J_{n}$ .

Q.10 Soit $Δ = diag (d_{1}, \dots, d_{n})$ . Montrer que $\det (Δ + J_{n}) = \prod_{k = 1}^{n} d_{k} + \sum_{i = 1}^{n} \prod_{k \neq i} d_{k}$ .

Q.11 En déduire $\det (diag (1, 2, \dots, n) + J_{n})$ sous la forme $n! (1 + \dots)$ , et sa valeur pour $n = 3$ et $n = 4$ .

Q.12 Pour $a, b \in ℳ_{n, 1} (𝕂)$ , calculer le déterminant de la matrice de coefficients $δ_{i j} + a_{i} b_{j}$ (où $δ_{i i} = 1$ et $δ_{i j} = 0$ si $i \neq j$ ).

Q.13 Pour des scalaires $x_{1}, \dots, x_{n}, y_{1}, \dots, y_{n}$ , montrer que $\det (x_{i} + y_{j})_{1 \leq i, j \leq n} = 0$ si $n \geq 3$ , et le calculer pour $n = 2$ .

Q.14 Retrouver le résultat de l'exercice 1, question 4.

Voir le corrigé

Q.1 La colonne $j$ de $U^{t} V$ est $v_{j} U$ : toutes les colonnes sont colinéaires à $U$ , et l'une au moins est non nulle ( $V \neq 0$ donne un $v_{j} \neq 0$ , et $U \neq 0$ ). Le rang vaut donc $1$ . Par associativité, $(U^{t} V) (U^{t} V) = U (^{t} V U)^{t} V = (^{t} V U) U^{t} V$ , car $^{t} V U$ est un scalaire.

Q.2 Produits par blocs : $(\begin{array}{cc} I_{n} & U \\ 0 & 1 \end{array}) M = (\begin{array}{cc} I_{n} + U^{t} V & - U + U \\ ^{t} V & 1 \end{array}) = (\begin{array}{cc} I_{n} + U^{t} V & 0 \\ ^{t} V & 1 \end{array}), (\begin{array}{cc} I_{n} & 0 \\ -^{t} V & 1 \end{array}) M = (\begin{array}{cc} I_{n} & - U \\ 0 & ^{t} V U + 1 \end{array}) .$ Les deux matrices de gauche sont triangulaires par blocs de déterminant $1$ ; les deux résultats aussi sont triangulaires par blocs (fiche § 8). Ainsi $\det M = \det (I_{n} + U^{t} V) \cdot 1$ et $\det M = 1 \cdot (1 +^{t} V U)$ , d'où $\det (I_{n} + U^{t} V) = 1 +^{t} V U$ .

Q.3 $A + U^{t} V = A (I_{n} + (A^{- 1} U)^{t} V)$ . Par $\det (A B) = \det A \det B$ et Q.2 appliquée au vecteur $A^{- 1} U$ : $\det (A + U^{t} V) = \det A (1 +^{t} V A^{- 1} U)$ .

Q.4 La colonne $j$ de $A + U^{t} V$ est $C_{j} + v_{j} U$ . On développe par linéarité par rapport à chaque colonne : on obtient une somme de $2^{n}$ déterminants, où chaque colonne $j$ vaut $C_{j}$ ou $v_{j} U$ . Ceux qui contiennent au moins deux colonnes de la forme $v_{j} U$ ont deux colonnes proportionnelles : ils sont nuls (fiche § 6). Il reste $\det (A + U^{t} V) = \det A + \sum_{j = 1}^{n} v_{j} \det (C_{1}, \dots, C_{j - 1}, U, C_{j + 1}, \dots, C_{n}) .$ En développant le $j$ -ième terme selon sa colonne $j$ (qui est $U$ ), et comme les mineurs de cette colonne sont ceux de $A$ : $\det (C_{1}, \dots, U, \dots, C_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} u_{i} (- 1)^{i + j} Δ_{i j} = \sum_{i} u_{i} com (A)_{i j}$ . Donc $\det (A + U^{t} V) = \det A + \sum_{i, j} u_{i} com (A)_{i j} v_{j} = \det A +^{t} U com (A) V$ .

Q.5 Si $A$ est inversible, $com (A) = \det A^{t} (A^{- 1})$ (exercice 7, question 3). Donc $^{t} U com (A) V = \det A \cdot^{t} U^{t} (A^{- 1}) V = \det A \cdot^{t} (A^{- 1} U) V = \det A \cdot^{t} V A^{- 1} U$ , car un scalaire est égal à sa transposée. On retrouve $\det A + \det A^{t} V A^{- 1} U$ , c'est-à-dire Q.3.

Q.6 Q.4 avec $t U$ à la place de $U$ : $\det (A + t U^{t} V) = \det A + t^{t} U com (A) V$ , affine en $t$ .

Q.7 Par Q.3, $\det (A + U^{t} V) = s \det A \neq 0$ : la matrice est inversible. Vérifions la formule en notant $W = A^{- 1}$ : $(A + U^{t} V) (W - \frac{1}{s} W U^{t} V W) = I_{n} + U^{t} V W - \frac{1}{s} U^{t} V W - \frac{1}{s} U (^{t} V W U)^{t} V W .$ Comme $^{t} V W U = s - 1$ est un scalaire, le second membre vaut $I_{n} + U^{t} V W (1 - \frac{1}{s} - \frac{s - 1}{s}) = I_{n}$ . Une matrice carrée ayant un inverse à droite est inversible d'inverse celui-ci : la formule est démontrée.

Q.8 $a I_{n} + b J_{n} = a I_{n} + (b 𝟙)^{t} 𝟙$ . Le cofacteur $(i, j)$ de $a I_{n}$ vaut $a^{n - 1}$ si $i = j$ (mineur diagonal d'ordre $n - 1$ ) et $0$ sinon (le mineur contient une ligne nulle) : $com (a I_{n}) = a^{n - 1} I_{n}$ . Par Q.4 : $\det (a I_{n} + b J_{n}) = a^{n} + b a^{n - 1}^{t} 𝟙𝟙 = a^{n} + n b a^{n - 1} = a^{n - 1} (a + n b)$ , valable pour tous $a, b$ (y compris $a = 0$ ).

Q.9 Q.7 avec $A = a I_{n}$ , $U = b 𝟙$ , $V = 𝟙$ : $A^{- 1} = \frac{1}{a} I_{n}$ , $s = 1 + \frac{n b}{a} = \frac{a + n b}{a} \neq 0$ , et $(a I_{n} + b J_{n})^{- 1} = \frac{1}{a} I_{n} - \frac{a}{a + n b} \cdot \frac{b}{a^{2}} J_{n} = \frac{1}{a} (I_{n} - \frac{b}{a + n b} J_{n})$ . Contrôle : $J_{n}^{2} = n J_{n}$ , et $(a I_{n} + b J_{n}) (I_{n} - \frac{b}{a + n b} J_{n}) = a I_{n} + (b - \frac{a b + n b^{2}}{a + n b}) J_{n} = a I_{n}$ .

Q.10 Le cofacteur $(i, i)$ de $Δ$ est $\prod_{k \neq i} d_{k}$ , les cofacteurs hors diagonale sont nuls (même argument qu'en Q.8). Par Q.4 avec $U = V = 𝟙$ : $\det (Δ + J_{n}) = \prod_{k} d_{k} + \sum_{i} \prod_{k \neq i} d_{k}$ .

Q.11 Avec $d_{k} = k$ : $\prod_{k \neq i} k = \frac{n!}{i}$ , donc $\det (diag (1, \dots, n) + J_{n}) = n! (1 + \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{i})$ . Pour $n = 3$ : $6 + 6 + 3 + 2 = 17$ ; pour $n = 4$ : $24 + 24 + 12 + 8 + 6 = 74$ . Contrôle direct pour $n = 3$ : $∣ \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \end{array} ∣ = 2 \cdot 11 - 1 \cdot 3 + 1 \cdot (- 2) = 17$ .

Q.12 La matrice est $I_{n} + a^{t} b$ : par Q.2, son déterminant est $1 + \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i}$ .

Q.13 La colonne $j$ vaut $X + y_{j} 𝟙$ , avec $X =^{t} (x_{1}, \dots, x_{n})$ : toutes les colonnes sont dans $Vect (X, 𝟙)$ , de dimension au plus $2$ . Pour $n \geq 3$ , les $n$ colonnes sont liées et le déterminant est nul. Pour $n = 2$ : $(x_{1} + y_{1}) (x_{2} + y_{2}) - (x_{1} + y_{2}) (x_{2} + y_{1}) = x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1} - x_{1} y_{1} - x_{2} y_{2} = - (x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2})$ .

Q.14 La matrice de l'exercice 1, question 4, est $diag (a, b, c) + J_{3}$ . Par Q.10 : $a b c + b c + a c + a b$ , comme trouvé par linéarité.

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Niveau devoir10 points

11. Déterminant circulant

Classique du programme : racines n-ièmes de l'unité.

Le déterminant circulant est l'application type des racines $n$ -ièmes de l'unité aux déterminants, avec le déterminant de Vandermonde.

Pour $n \geq 2$ et $a_{0}, \dots, a_{n - 1} \in ℂ$ , on appelle matrice circulante la matrice $C = C (a_{0}, \dots, a_{n - 1}) \in ℳ_{n} (ℂ)$ de coefficient $c_{i j} = a_{(j - i) m o d n}$ pour $0 \leq i, j \leq n - 1$ : sa première ligne est $(a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n - 1})$ et chaque ligne se déduit de la précédente en décalant tous les coefficients d'un cran vers la droite (le dernier revenant en tête). Pour $n = 3$ : $C (a, b, c) = (\begin{array}{ccc} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{array})$ . On pose $P = a_{0} + a_{1} X + \dots + a_{n - 1} X^{n - 1}$ , $ω = e^{2 i π / n}$ et $j = e^{2 i π / 3}$ .

(3 points) Cas $n = 3$ . a) Calculer $\det C (a, b, c)$ en développant (règle de Sarrus). b) Rappeler $1 + j + j^{2} = 0$ , puis montrer que $(a + j b + j^{2} c) (a + j^{2} b + j c) = a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a$ . En déduire $\det C (a, b, c) = P (1) P (j) P (j^{2})$ avec $P = a + b X + c X^{2}$ .
(3 points) Cas général. On note $V = (ω^{k l})_{0 \leq k, l \leq n - 1}$ et $D = diag (P (1), P (ω), \dots, P (ω^{n - 1}))$ . a) Montrer que $V$ est une matrice de Vandermonde inversible. b) Montrer que $C V = V D$ .
(1,5 point) En déduire que $\det C (a_{0}, \dots, a_{n - 1}) = \prod_{k = 0}^{n - 1} P (ω^{k})$ . Retrouver le cas $n = 3$ et calculer $\det C (0, 1, 0, \dots, 0)$ .
(1,5 point) Cas $n = 4$ . Montrer que $\det C (a, b, c, d) = (a + b + c + d) (a - b + c - d) ((a - c)^{2} + (b - d)^{2})$ lorsque $a, b, c, d$ sont réels. Calculer $\det C (1, 2, 3, 4)$ .
(1 point) Soient $a, b \in ℂ$ et $C = C (a, b, 0, \dots, 0)$ . Montrer que $\det C = a^{n} - (- b)^{n}$ .

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1.a) Règle de Sarrus pour $∣ \begin{array}{ccc} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{array} ∣$ . Les trois produits le long des diagonales descendantes sont $a \cdot a \cdot a$ , $b \cdot b \cdot b$ et $c \cdot c \cdot c$ ; les trois produits le long des diagonales montantes sont $c \cdot a \cdot b$ , $a \cdot b \cdot c$ et $b \cdot c \cdot a$ . Donc $\det C (a, b, c) = a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c .$

1.b) On a $j^{3} = 1$ et $1 + j + j^{2} = 0$ (les trois racines cubiques de l'unité ont pour somme nulle : $j$ et $j^{2}$ annulent $X^{2} + X + 1$ ). Développons le produit terme à terme :

$a \cdot a = a^{2}$ ; $j b \cdot j^{2} b = j^{3} b^{2} = b^{2}$ ; $j^{2} c \cdot j c = c^{2}$ ;
termes en $a b$ : $a \cdot j^{2} b + j b \cdot a = (j + j^{2}) a b = - a b$ ; termes en $a c$ : $a \cdot j c + j^{2} c \cdot a = (j + j^{2}) a c = - a c$ ;
termes en $b c$ : $j b \cdot j c + j^{2} c \cdot j^{2} b = (j^{2} + j^{4}) b c = (j^{2} + j) b c = - b c$ .

La somme est $a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a$ . Or $P (1) = a + b + c$ , $P (j) = a + j b + j^{2} c$ et $P (j^{2}) = a + j^{2} b + j^{4} c = a + j^{2} b + j c$ ; donc $P (1) P (j) P (j^{2}) = (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a) = a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = \det C (a, b, c)$ (la dernière identité factorisée se vérifie en développant le produit).

2.a) $V$ est la matrice de Vandermonde des $n$ nombres $1, ω, \dots, ω^{n - 1}$ (le coefficient de la ligne $k$ , colonne $l$ est $(ω^{l})^{k}$ ). Ces nombres sont deux à deux distincts car $ω$ est d'ordre $n$ ( $0 \leq l < l^{'} \leq n - 1$ donne $ω^{l^{'} - l} \neq 1$ puisque $0 < l^{'} - l < n$ ). D'après la fiche §9, $\det V = \prod_{l < l^{'}} (ω^{l^{'}} - ω^{l}) \neq 0$ : $V$ est inversible.

2.b) Calculons le coefficient $(i, j)$ de $C V$ : $(C V)_{i j} = \sum_{k = 0}^{n - 1} c_{i k} ω^{k j} = \sum_{k = 0}^{n - 1} a_{(k - i) m o d n} ω^{k j} .$ Posons $m = (k - i) m o d n$ ; quand $k$ décrit ${0, \dots, n - 1}$ , $m$ décrit aussi ${0, \dots, n - 1}$ (une fois chaque valeur), et $k \equiv i + m [n]$ , donc $ω^{k j} = ω^{(i + m) j}$ (car $ω^{n} = 1$ ). Alors $(C V)_{i j} = ω^{i j} \sum_{m = 0}^{n - 1} a_{m} ω^{m j} = ω^{i j} P (ω^{j}) = V_{i j} P (ω^{j}) = (V D)_{i j} .$ Ainsi $C V = V D$ .

3. Le déterminant est multiplicatif : $\det C \cdot \det V = \det V \cdot \det D$ , et $\det V \neq 0$ , donc $\det C = \det D = \prod_{k = 0}^{n - 1} P (ω^{k}) .$ Pour $n = 3$ , c'est $P (1) P (j) P (j^{2})$ avec $ω = j$ : on retrouve 1.b). Pour $C (0, 1, 0, \dots, 0)$ , $P = X$ et $\det C = \prod_{k} ω^{k} = ω^{0 + 1 + \dots + (n - 1)} = ω^{n (n - 1) / 2} = e^{i π (n - 1)} = (- 1)^{n - 1}$ ; cohérent avec le fait que cette matrice est la matrice d'une permutation circulaire à $n$ éléments, de signature $(- 1)^{n - 1}$ .

4. Ici $ω = i$ et $P = a + b X + c X^{2} + d X^{3}$ : $P (1) = a + b + c + d$ , $P (- 1) = a - b + c - d$ , $P (i) = a + b i - c - d i = (a - c) + i (b - d)$ et $P (- i) = (a - c) - i (b - d)$ , conjugué du précédent lorsque $a, b, c, d$ sont réels. Donc $\det C (a, b, c, d) = (a + b + c + d) (a - b + c - d) ((a - c)^{2} + (b - d)^{2}) .$ Pour $(1, 2, 3, 4)$ : $10 \times (- 2) \times (4 + 4) = - 160$ .

5. Ici $P = a + b X$ et $\det C = \prod_{k = 0}^{n - 1} (a + b ω^{k})$ . Si $b = 0$ , le résultat est $a^{n}$ , conforme à la formule. Sinon, comme $\prod_{k = 0}^{n - 1} (X - ω^{k}) = X^{n} - 1$ (les $ω^{k}$ sont $n$ racines distinctes de $X^{n} - 1$ , polynôme unitaire de degré $n$ ), on évalue en $X = - \frac{a}{b}$ : $\prod_{k} (a + b ω^{k}) = (- b)^{n} \prod_{k} (- \frac{a}{b} - ω^{k}) = (- b)^{n} ((- \frac{a}{b})^{n} - 1) = a^{n} - (- b)^{n} .$ Contrôles : $n = 2$ donne $a^{2} - b^{2}$ ; $n = 3$ donne $a^{3} + b^{3}$ , valeur de 1.a) pour $c = 0$ .

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Révisions prépa

Algèbre · 1re année

Déterminants et systèmes linéaires

Application du cours4 points

1. Quatre déterminants, plusieurs méthodes

Calculer $D_{1} = ∣ \begin{array}{ccc} 2 & - 1 & 3 \\ 1 & 4 & 0 \\ - 2 & 5 & 1 \end{array} ∣$ de deux façons : par la règle de Sarrus, puis en développant selon la deuxième ligne.
Calculer $D_{2} = ∣ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 2 & 5 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 3 & 2 \\ 3 & 6 & 2 & 1 \end{array} ∣$ .
Pour $x \in ℝ$ , calculer sous forme factorisée $D_{3} (x) = ∣ \begin{array}{ccc} x & 2 & 3 \\ 2 & x & 3 \\ 2 & 3 & x \end{array} ∣$ et en déduire les réels $x$ pour lesquels la matrice correspondante n'est pas inversible.
Pour $a, b, c \in ℝ$ , calculer $D_{4} = ∣ \begin{array}{ccc} 1 + a & 1 & 1 \\ 1 & 1 + b & 1 \\ 1 & 1 & 1 + c \end{array} ∣$ en utilisant la linéarité par rapport à la première colonne.

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Application du cours5 points

2. Déterminants d'endomorphismes

Sur $E = ℝ_{3} [X]$ , on pose $f (P) = P (2 X - 1)$ . Donner $Mat (f)$ relativement à la base canonique, puis $\det f$ . L'endomorphisme $f$ est-il bijectif ? Que vaut $\det (f^{- 1})$ ? Contrôler en donnant $f^{- 1}$ .
Sur le même $E$ , on pose $g (P) = P + (1 - X) P^{'}$ . Calculer $\det g$ . L'endomorphisme $g$ est-il bijectif ? Déterminer $Ker g$ .
Soit $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}) \in ℳ_{2} (ℝ)$ et $φ_{A} : ℳ_{2} (ℝ) \to ℳ_{2} (ℝ)$ , $M \mapsto A M$ . Écrire $Mat (φ_{A})$ relativement à $(E_{11}, E_{21}, E_{12}, E_{22})$ et montrer que $\det φ_{A} = (\det A)^{2}$ . Quand $φ_{A}$ est-il un automorphisme ?
Sans calcul, donner le déterminant de $ψ_{A} : M \mapsto A M - M A$ .
Calculer $\det (2 f)$ et $\det (f \circ f)$ , où $f$ est l'endomorphisme de la question 1.

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4. $ψ_{A} (I_{2}) = A - A = 0$ avec $I_{2} \neq 0$ : $ψ_{A}$ n'est pas injectif, donc pas bijectif, donc $\det ψ_{A} = 0$ (fiche § 4).

5. $E$ est de dimension $4$ : $\det (2 f) = 2^{4} \det f = 16 \cdot 64 = 1024$ (et non $2 \cdot 64$ ). Puis $\det (f \circ f) = (\det f)^{2} = 4096$ .

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Application du cours4 points

3. Bases de $ℝ^{3}$ selon un paramètre, inverse par la comatrice

Pour $m \in ℝ$ , on considère $u_{1} = (1, m, 1)$ , $u_{2} = (m, 2, 0)$ , $u_{3} = (- 1, 1, m)$ et $A_{m}$ la matrice de $(u_{1}, u_{2}, u_{3})$ dans la base canonique.

Calculer $\det A_{m}$ sous forme factorisée.
Pour quelles valeurs de $m$ la famille $(u_{1}, u_{2}, u_{3})$ est-elle une base de $ℝ^{3}$ ?
Pour chacune des valeurs exclues, donner le rang de la famille et une relation de liaison.
On prend $m = 0$ . Calculer $com (A_{0})$ , puis $A_{0}^{- 1}$ , et en déduire l'écriture de $w = (1, 1, 1)$ comme combinaison de $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ .

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2. Trois vecteurs en dimension $3$ forment une base si et seulement si leur déterminant est non nul (fiche § 3) : c'est le cas exactement pour $m \notin {- 1, 2}$ .

4. $A_{0} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array})$ , $\det A_{0} = - (- 2) (1)^{2} = 2$ . Cofacteurs $(- 1)^{i + j} Δ_{i j}$ :

ligne 1 : $∣ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} ∣ = 0$ , $- ∣ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} ∣ = 1$ , $∣ \begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{array} ∣ = - 2$ ;
ligne 2 : $- ∣ \begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 0 & 0 \end{array} ∣ = 0$ , $∣ \begin{array}{cc} 1 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array} ∣ = 1$ , $- ∣ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} ∣ = 0$ ;
ligne 3 : $∣ \begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 2 & 1 \end{array} ∣ = 2$ , $- ∣ \begin{array}{cc} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{array} ∣ = - 1$ , $∣ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} ∣ = 2$ .

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Application du cours5 points

4. Système à paramètre : Cramer, puis pivot

Pour $λ \in ℝ$ , on considère le système $(S_{λ}) {\begin{cases} λ x + y + 2 z = 3 \\ x + λ y - z = 0 \\ x + y + z = 2 \end{cases}$

Calculer le déterminant $Δ (λ)$ de la matrice du système.
Pour $λ \notin {0, 1}$ , résoudre $(S_{λ})$ par les formules de Cramer.
Résoudre $(S_{0})$ et $(S_{1})$ .
La solution obtenue en 2 a-t-elle une limite quand $λ \to 1$ ? Commenter.

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2. Pour $λ \notin {0, 1}$ , $Δ (λ) \neq 0$ : le système est de Cramer (fiche § 11). Les mêmes opérations sur les lignes donnent :

$Δ_{x} = ∣ \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 2 \\ 0 & λ & - 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{array} ∣ = ∣ \begin{array}{ccc} - 1 & - 1 & 0 \\ 2 & λ + 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{array} ∣ = - (λ + 1) + 2 = 1 - λ$ ;
$Δ_{y} = ∣ \begin{array}{ccc} λ & 3 & 2 \\ 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} ∣ = ∣ \begin{array}{ccc} λ - 2 & - 1 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} ∣ = 2 (λ - 2) + 2 = 2 (λ - 1)$ ;
$Δ_{z} = ∣ \begin{array}{ccc} λ & 1 & 3 \\ 1 & λ & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{array} ∣$ , développé selon la troisième colonne : $3 (1 - λ) + 2 (λ^{2} - 1) = (λ - 1) (2 λ - 1)$ .

D'où, après simplification par $λ - 1 \neq 0$ : $x = - \frac{1}{λ}, y = \frac{2}{λ}, z = \frac{2 λ - 1}{λ} .$ Contrôle dans la troisième équation : $\frac{- 1 + 2 + 2 λ - 1}{λ} = 2$ .

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Niveau devoir6 points

5. Vandermonde : calcul, interpolation, fonctions exponentielles

Pour $n \geq 2$ et $a_{1}, \dots, a_{n} \in 𝕂$ , on note $V (a_{1}, \dots, a_{n})$ le déterminant de la matrice $W = (a_{j}^{i - 1})_{1 \leq i, j \leq n}$ (fiche § 9).

Calculer $V (a, b, c)$ sous forme factorisée en utilisant des opérations sur les colonnes.
Montrer, à l'aide des opérations $L_{k} \leftarrow L_{k} - a_{1} L_{k - 1}$ effectuées pour $k = n, n - 1, \dots, 2$ , que $V (a_{1}, \dots, a_{n}) = \prod_{j = 2}^{n} (a_{j} - a_{1}) V (a_{2}, \dots, a_{n})$ , puis que $V (a_{1}, \dots, a_{n}) = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (a_{j} - a_{i})$ .
Montrer que $V (1, 2, \dots, n) = \prod_{k = 1}^{n - 1} k!$ et donner $V (1, 2, 3, 4)$ .
Déterminer, à l'aide des formules de Cramer, l'unique $P \in ℝ_{2} [X]$ tel que $P (- 1) = 2$ , $P (1) = 0$ , $P (2) = 5$ .
Soient $a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n}$ des réels et $f_{k} : x \mapsto e^{a_{k} x}$ . Montrer que $(f_{1}, \dots, f_{n})$ est libre dans $ℱ (ℝ, ℝ)$ .

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$Δ_{0} = ∣ \begin{array}{ccc} 2 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 5 & 2 & 4 \end{array} ∣ = 2 (4 - 2) + 1 \cdot (0 - 5) + 1 \cdot (0 - 5) = - 6$ , donc $c_{0} = - 1$ ;
$Δ_{1} = ∣ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 5 & 4 \end{array} ∣ = 1 \cdot (0 - 5) - 2 (4 - 1) + 1 \cdot (5 - 0) = - 6$ , donc $c_{1} = - 1$ ;
$Δ_{2} = ∣ \begin{array}{ccc} 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 5 \end{array} ∣ = 1 \cdot 5 + 1 \cdot 5 + 2 \cdot (2 - 1) = 12$ , donc $c_{2} = 2$ .

$P = 2 X^{2} - X - 1$ . Vérification : $P (- 1) = 2 + 1 - 1 = 2$ , $P (1) = 0$ , $P (2) = 8 - 2 - 1 = 5$ .

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Niveau devoir6 points

6. Deux déterminants d'ordre $n$ construits sur $∣ i - j ∣$

Pour $n \geq 1$ et $x \in ℝ$ , on pose $A_{n} (x) = (x^{∣ i - j ∣})_{1 \leq i, j \leq n}$ (avec la convention $x^{0} = 1$ ) et $B_{n} = (∣ i - j ∣)_{1 \leq i, j \leq n}$ .

Écrire $A_{3} (x)$ et $B_{4}$ .
En effectuant successivement $L_{1} \leftarrow L_{1} - x L_{2}$ , $L_{2} \leftarrow L_{2} - x L_{3}$ , …, $L_{n - 1} \leftarrow L_{n - 1} - x L_{n}$ , montrer que $\det A_{n} (x) = (1 - x^{2})^{n - 1}$ . Pour quels $x$ la matrice $A_{n} (x)$ est-elle inversible ?
Pour $x \neq \pm 1$ , calculer $A_{3} (x)^{- 1}$ par la comatrice. Que remarque-t-on ?
Montrer que $\det B_{n} = (- 1)^{n - 1} (n - 1) 2^{n - 2}$ pour $n \geq 2$ (on pourra effectuer $L_{i} \leftarrow L_{i} - L_{i + 1}$ pour $i = 1, \dots, n - 1$ , puis ajouter la dernière colonne à chacune des autres).

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2. Chaque opération ajoute à $L_{i}$ un multiple de $L_{i + 1}$ , qui n'a pas encore été modifiée : le déterminant ne change pas. Nouvelle ligne $i$ ( $i \leq n - 1$ ), colonne $j$ :

si $j \geq i + 1$ : $x^{j - i} - x \cdot x^{j - i - 1} = 0$ ;
si $j \leq i$ : $x^{i - j} - x \cdot x^{i + 1 - j} = x^{i - j} (1 - x^{2})$ .

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Niveau devoir6 points

7. Propriétés de la comatrice, matrices entières à inverse entier

Soit $n \geq 2$ .

Soit $A = (\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{array})$ . Calculer $\det A$ , $com (A)$ et $A^{- 1}$ .
Montrer que pour $A \in ℳ_{n} (𝕂)$ et $λ \in 𝕂$ : $com (^{t} ⁣ A) =^{t} com (A)$ et $com (λ A) = λ^{n - 1} com (A)$ .
Soit $A \in G L_{n} (𝕂)$ . Montrer que $com (A) = \det A \cdot^{t} (A^{- 1})$ , puis que $\det com (A) = (\det A)^{n - 1}$ et $com (com (A)) = (\det A)^{n - 2} A$ .
Montrer que pour $A, B \in G L_{n} (𝕂)$ , $com (A B) = com (A) com (B)$ .
Soit $A \in ℳ_{n} (ℤ)$ (coefficients entiers). Montrer que $A$ est inversible avec $A^{- 1} \in ℳ_{n} (ℤ)$ si et seulement si $\det A \in {- 1, 1}$ . Illustrer avec la matrice du 1 et avec $B = (\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{array})$ .

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Niveau devoir6 points

8. Déterminants par blocs

Soient $p, q \geq 1$ .

Soient $A \in ℳ_{p} (𝕂)$ , $B \in ℳ_{p, q} (𝕂)$ , $D \in ℳ_{q} (𝕂)$ . Vérifier que $(\begin{array}{cc} A & B \\ 0 & D \end{array}) = (\begin{array}{cc} I_{p} & 0 \\ 0 & D \end{array}) (\begin{array}{cc} A & B \\ 0 & I_{q} \end{array})$ et en déduire que $∣ \begin{array}{cc} A & B \\ 0 & D \end{array} ∣ = \det A \det D$ .
Soient $A, B \in ℳ_{n} (𝕂)$ . Montrer que $∣ \begin{array}{cc} A & B \\ B & A \end{array} ∣ = \det (A + B) \det (A - B)$ .
Application : calculer $∣ \begin{array}{cccc} 2 & 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & - 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 3 \end{array} ∣$ .
Montrer que $∣ \begin{array}{cc} 0 & A \\ B & 0 \end{array} ∣ = (- 1)^{n} \det A \det B$ pour $A, B \in ℳ_{n} (𝕂)$ .
Montrer par un exemple que, en général, $∣ \begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array} ∣ \neq \det A \det D - \det B \det C$ .

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$\det (\begin{array}{cc} A & B \\ 0 & I_{q} \end{array}) = \det A$ : on développe selon la dernière ligne, qui est $(0, \dots, 0, 1)$ avec le $1$ sur la diagonale (signe $+$ ) ; on obtient la même forme avec $q - 1$ au lieu de $q$ , et l'on recommence $q$ fois.
$\det (\begin{array}{cc} I_{p} & 0 \\ 0 & D \end{array}) = \det D$ : même raisonnement en développant selon la première ligne, $p$ fois.

Par $\det (M N) = \det M \det N$ : $∣ \begin{array}{cc} A & B \\ 0 & D \end{array} ∣ = \det A \det D$ .

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Synthèse, niveau concours10 points

9. Problème : matrices à diagonale strictement dominante

On dit qu'une matrice $A = (a_{i j}) \in ℳ_{n} (ℂ)$ a une diagonale strictement dominante lorsque, pour tout $i \in [⁣ [1, n] ⁣]$ , $∣ a_{i i} ∣ > \sum_{j \neq i} ∣ a_{i j} ∣ .$

Partie A — Inversibilité (3 points)

Soit $A$ à diagonale strictement dominante et $X =^{t} (x_{1}, \dots, x_{n})$ tel que $A X = 0$ . On choisit $i_{0}$ tel que $∣ x_{i_{0}} ∣ = \max_{j} ∣ x_{j} ∣$ . En écrivant la ligne $i_{0}$ de $A X = 0$ , montrer que $X = 0$ . En déduire que $\det A \neq 0$ .

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Synthèse, niveau concours10 points

10. Problème type concours : perturbation de rang 1

Partie I — Deux formules

Q.1 On suppose $U \neq 0$ et $V \neq 0$ . Montrer que $U^{t} V$ est de rang $1$ et que $(U^{t} V)^{2} = (^{t} V U) U^{t} V$ .

Q.3 En déduire que, pour $A \in G L_{n} (𝕂)$ : $\det (A + U^{t} V) = \det A (1 +^{t} V A^{- 1} U)$ .

Q.5 Vérifier que Q.3 et Q.4 donnent le même résultat lorsque $A$ est inversible.

Partie II — Conséquences

Q.6 Montrer que $t \mapsto \det (A + t U^{t} V)$ est une fonction affine de $t$ .

Q.7 On suppose $A$ inversible et $s = 1 +^{t} V A^{- 1} U \neq 0$ . Montrer que $A + U^{t} V$ est inversible, d'inverse $A^{- 1} - \frac{1}{s} A^{- 1} U^{t} V A^{- 1}$ .

Partie III — Applications

Q.8 Montrer que $\det (a I_{n} + b J_{n}) = a^{n - 1} (a + n b)$ pour tous $a, b \in 𝕂$ .

Q.9 On suppose $a \neq 0$ et $a + n b \neq 0$ . Donner l'inverse de $a I_{n} + b J_{n}$ .

Q.10 Soit $Δ = diag (d_{1}, \dots, d_{n})$ . Montrer que $\det (Δ + J_{n}) = \prod_{k = 1}^{n} d_{k} + \sum_{i = 1}^{n} \prod_{k \neq i} d_{k}$ .

Q.11 En déduire $\det (diag (1, 2, \dots, n) + J_{n})$ sous la forme $n! (1 + \dots)$ , et sa valeur pour $n = 3$ et $n = 4$ .

Q.12 Pour $a, b \in ℳ_{n, 1} (𝕂)$ , calculer le déterminant de la matrice de coefficients $δ_{i j} + a_{i} b_{j}$ (où $δ_{i i} = 1$ et $δ_{i j} = 0$ si $i \neq j$ ).

Q.13 Pour des scalaires $x_{1}, \dots, x_{n}, y_{1}, \dots, y_{n}$ , montrer que $\det (x_{i} + y_{j})_{1 \leq i, j \leq n} = 0$ si $n \geq 3$ , et le calculer pour $n = 2$ .

Q.14 Retrouver le résultat de l'exercice 1, question 4.

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Q.3 $A + U^{t} V = A (I_{n} + (A^{- 1} U)^{t} V)$ . Par $\det (A B) = \det A \det B$ et Q.2 appliquée au vecteur $A^{- 1} U$ : $\det (A + U^{t} V) = \det A (1 +^{t} V A^{- 1} U)$ .

Q.6 Q.4 avec $t U$ à la place de $U$ : $\det (A + t U^{t} V) = \det A + t^{t} U com (A) V$ , affine en $t$ .

Q.12 La matrice est $I_{n} + a^{t} b$ : par Q.2, son déterminant est $1 + \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i}$ .

Q.14 La matrice de l'exercice 1, question 4, est $diag (a, b, c) + J_{3}$ . Par Q.10 : $a b c + b c + a c + a b$ , comme trouvé par linéarité.

Après avoir comparé avec le corrigé :

Niveau devoir10 points

11. Déterminant circulant

Classique du programme : racines n-ièmes de l'unité.

Le déterminant circulant est l'application type des racines $n$ -ièmes de l'unité aux déterminants, avec le déterminant de Vandermonde.

(3 points) Cas $n = 3$ . a) Calculer $\det C (a, b, c)$ en développant (règle de Sarrus). b) Rappeler $1 + j + j^{2} = 0$ , puis montrer que $(a + j b + j^{2} c) (a + j^{2} b + j c) = a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a$ . En déduire $\det C (a, b, c) = P (1) P (j) P (j^{2})$ avec $P = a + b X + c X^{2}$ .
(3 points) Cas général. On note $V = (ω^{k l})_{0 \leq k, l \leq n - 1}$ et $D = diag (P (1), P (ω), \dots, P (ω^{n - 1}))$ . a) Montrer que $V$ est une matrice de Vandermonde inversible. b) Montrer que $C V = V D$ .
(1,5 point) En déduire que $\det C (a_{0}, \dots, a_{n - 1}) = \prod_{k = 0}^{n - 1} P (ω^{k})$ . Retrouver le cas $n = 3$ et calculer $\det C (0, 1, 0, \dots, 0)$ .
(1,5 point) Cas $n = 4$ . Montrer que $\det C (a, b, c, d) = (a + b + c + d) (a - b + c - d) ((a - c)^{2} + (b - d)^{2})$ lorsque $a, b, c, d$ sont réels. Calculer $\det C (1, 2, 3, 4)$ .
(1 point) Soient $a, b \in ℂ$ et $C = C (a, b, 0, \dots, 0)$ . Montrer que $\det C = a^{n} - (- b)^{n}$ .

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1.b) On a $j^{3} = 1$ et $1 + j + j^{2} = 0$ (les trois racines cubiques de l'unité ont pour somme nulle : $j$ et $j^{2}$ annulent $X^{2} + X + 1$ ). Développons le produit terme à terme :

$a \cdot a = a^{2}$ ; $j b \cdot j^{2} b = j^{3} b^{2} = b^{2}$ ; $j^{2} c \cdot j c = c^{2}$ ;
termes en $a b$ : $a \cdot j^{2} b + j b \cdot a = (j + j^{2}) a b = - a b$ ; termes en $a c$ : $a \cdot j c + j^{2} c \cdot a = (j + j^{2}) a c = - a c$ ;
termes en $b c$ : $j b \cdot j c + j^{2} c \cdot j^{2} b = (j^{2} + j^{4}) b c = (j^{2} + j) b c = - b c$ .

Après avoir comparé avec le corrigé :

1. Quatre déterminants, plusieurs méthodes

2. Déterminants d'endomorphismes

3. Bases de ℝ3 selon un paramètre, inverse par la comatrice

4. Système à paramètre : Cramer, puis pivot

5. Vandermonde : calcul, interpolation, fonctions exponentielles

6. Deux déterminants d'ordre n construits sur ∣i−j∣

7. Propriétés de la comatrice, matrices entières à inverse entier

8. Déterminants par blocs

9. Problème : matrices à diagonale strictement dominante

10. Problème type concours : perturbation de rang 1

11. Déterminant circulant

1. Quatre déterminants, plusieurs méthodes

2. Déterminants d'endomorphismes

3. Bases de ℝ3 selon un paramètre, inverse par la comatrice

4. Système à paramètre : Cramer, puis pivot

5. Vandermonde : calcul, interpolation, fonctions exponentielles

6. Deux déterminants d'ordre n construits sur ∣i−j∣

7. Propriétés de la comatrice, matrices entières à inverse entier

8. Déterminants par blocs

9. Problème : matrices à diagonale strictement dominante

10. Problème type concours : perturbation de rang 1

11. Déterminant circulant

3. Bases de $ℝ^{3}$ selon un paramètre, inverse par la comatrice

6. Deux déterminants d'ordre $n$ construits sur $∣ i - j ∣$

3. Bases de $ℝ^{3}$ selon un paramètre, inverse par la comatrice

6. Deux déterminants d'ordre $n$ construits sur $∣ i - j ∣$