Théorème-définition. Hypothèses : $E$ euclidien, $u\in ℒ(E)$. Conclusion : il existe un unique $u^{\ast }\in ℒ(E)$ tel que $$\mathrm{\forall }(x,y)\in E^2,⟨u(x),y⟩=⟨x,u^{\ast }(y)⟩\mathrm{.}$$ On l'appelle l'adjoint de $u$.

Preuve. Pour $y$ fixé, $x\mapsto ⟨u(x),y⟩$ est une forme linéaire : elle s'écrit $⟨x,a_y⟩$ pour un unique $a_y$ (représentation des formes linéaires, Préhilbertiens § 7). On pose $u^{\ast }(y)=a_y$ ; l'unicité de $a_y$ donne la linéarité de $u^{\ast }$. On peut aussi le construire par sa matrice (ci-dessous).

Matrice de l'adjoint. Si $ℬ$ est une base orthonormée et $A={\mathrm{Mat}}_{ℬ}(u)$, alors $${\mathrm{Mat}}_{ℬ}(u^{\ast })={}^{t}A\mathrm{.}$$ En effet le coefficient $(i,j)$ d'une matrice dans une base orthonormée vaut $⟨e_i,u(e_j)⟩$. Dans une base quelconque, de matrice de Gram $G$ (matrice du produit scalaire), la formule devient ${\mathrm{Mat}}_{ℬ}(u^{\ast })=G^{-1}{}^{t}AG$ : la transposée ne suffit plus (exercice 3).

Règles de calcul ($u,v\in ℒ(E)$, $\lambda \in ℝ$, $P\in ℝ[X]$) :

• $(u^{\ast }{)}^{\ast }=u$, $(\lambda u+v{)}^{\ast }=\lambda u^{\ast }+v^{\ast }$, $({\mathrm{i}\mathrm{d}}_E{)}^{\ast }={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ ;
• $(u\circ v{)}^{\ast }=v^{\ast }\circ u^{\ast }$ (l'ordre s'inverse, comme pour la transposée) ; $P(u{)}^{\ast }=P(u^{\ast })$ ;
• si $u$ est inversible, $u^{\ast }$ l'est et $(u^{\ast }{)}^{-1}=(u^{-1}{)}^{\ast }$ ;
• $\det u^{\ast }=\det u$, $\mathrm{tr}{u}^{\ast }=\mathrm{tr}u$, ${\chi }_{u^{\ast }}={\chi }_u$, donc $\mathrm{Sp}(u^{\ast })=\mathrm{Sp}(u)$ (mais les sous-espaces propres diffèrent en général) ;
• $u$ et $u^{\ast }$ ont le même polynôme minimal.

Noyau, image, sous-espaces stables. $$\mathrm{Ker}{u}^{\ast }=(\mathrm{Im}u{)}^{\perp },\mathrm{Im}{u}^{\ast }=(\mathrm{Ker}u{)}^{\perp },\mathrm{rg}{u}^{\ast }=\mathrm{rg}u\mathrm{.}$$ Preuve de la première : $y\in \mathrm{Ker}{u}^{\ast }⟺\mathrm{\forall }x,⟨x,u^{\ast }(y)⟩=0⟺\mathrm{\forall }x,⟨u(x),y⟩=0⟺y\in (\mathrm{Im}u{)}^{\perp }$. La deuxième s'obtient en appliquant la première à $u^{\ast }$ et en passant à l'orthogonal. Un sous-espace $F$ stable par $u$ a son orthogonal $F^{\perp }$ stable par $u^{\ast }$. (Pour $y\in F^{\perp }$ et $x\in F$ : $⟨x,u^{\ast }(y)⟩=⟨u(x),y⟩=0$.)

Deux familles remarquables. $u$ est autoadjoint (ou symétrique) si $u^{\ast }=u$ (§ 9) ; antisymétrique si $u^{\ast }=-u$. On a $$u^{\ast }=-u⟺\mathrm{\forall }x\in E,⟨u(x),x⟩=0.$$ (Sens réciproque : développer $⟨u(x+y),x+y⟩=0$.) Tout endomorphisme s'écrit d'une seule façon $u=\frac{u+u^{\ast }}{2}+\frac{u-u^{\ast }}{2}$, symétrique plus antisymétrique. Un endomorphisme $u$ est une isométrie exactement lorsque $u^{\ast }\circ u={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ (§ 2).

Statut dans les devoirs. Selon l'institut, l'adjoint est vu en cours ou défini dans l'énoncé (certains devoirs de contrôle du 2e semestre consacrent un exercice entier à sa construction). Dans tous les cas il faut savoir refaire : existence par la matrice ${}^{t}A$ en base orthonormée, règles de calcul, $\mathrm{Ker}{u}^{\ast }=(\mathrm{Im}u{)}^{\perp }$.

Définition. Un endomorphisme $u\in ℒ(E)$ est une isométrie vectorielle (on dit aussi automorphisme orthogonal ou endomorphisme orthogonal) s'il conserve la norme : $\parallel u(x)\parallel =\parallel x\parallel$ pour tout $x\in E$. L'ensemble des isométries de $E$ est noté $O(E)$.

Théorème (caractérisations). Pour $u\in ℒ(E)$, les propositions suivantes sont équivalentes :

1. $u\in O(E)$ (conservation de la norme) ;
2. $u$ conserve le produit scalaire : $⟨u(x),u(y)⟩=⟨x,y⟩$ pour tous $x,y$ ;
3. $u^{\ast }\circ u={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$, autrement dit $u$ est inversible et $u^{-1}=u^{\ast }$ ;
4. $u$ transforme une base orthonormée en une famille orthonormée ;
5. $u$ transforme chaque base orthonormée en une famille orthonormée ;
6. la matrice de $u$ dans une (ou toute) base orthonormée est une matrice orthogonale (§ 3).

Preuve des points clés. $1\Rightarrow 2$ : polarisation, $⟨u(x),u(y)⟩=\frac{1}{2}(\parallel u(x+y){\parallel }^2-\parallel u(x){\parallel }^2-\parallel u(y){\parallel }^2)$ (Préhilbertiens § 2). $2⟺3$ : $⟨u(x),u(y)⟩=⟨x,u^{\ast }u(y)⟩$ ; égalité pour tout $x$ si et seulement si $u^{\ast }u(y)=y$. $4\Rightarrow 1$ : si $(u(e_i))$ est orthonormée, $\parallel u(\sum x_i{e}_i){\parallel }^2=\sum x_i^2=\parallel x{\parallel }^2$.

Propriétés.

• Une isométrie est injective donc bijective (dimension finie) ; $\det u=\pm 1$ (car $\det (u^{\ast }u)=(\det u{)}^2=1$).
• Valeurs propres : les seules valeurs propres réelles possibles sont $1$ et $-1$ ; les valeurs propres complexes de sa matrice (en base orthonormée) sont de module $1$. ($u(x)=\lambda x$ et $\parallel u(x)\parallel =\parallel x\parallel$, $x\mathrm{\ne }0$, donnent $\mid \lambda \mid =1$.)
• Stabilité : pour $u\in O(E)$ et $F$ stable par $u$, on a $u(F)=F$ et $u(F^{\perp })\subset F^{\perp }$ (car $u^{\ast }=u^{-1}$ laisse $F$ stable et § 1) ; les endomorphismes induits sur $F$ et $F^{\perp }$ sont des isométries.
• Exemples : $\pm {\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ ; toute symétrie orthogonale $s_F=2p_F-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ (Préhilbertiens § 9), en particulier les réflexions (symétries orthogonales par rapport à un hyperplan), dont le déterminant vaut $-1$.

Symétries orthogonales. Pour une symétrie $s$ ($s^2={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$), les trois propriétés « $s$ est une symétrie orthogonale » ($\mathrm{Ker}(s-\mathrm{i}\mathrm{d})\perp \mathrm{Ker}(s+\mathrm{i}\mathrm{d})$), « $s$ est une isométrie » et « $s$ est autoadjointe » sont équivalentes. Attention : une projection orthogonale $p\mathrm{\ne }{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ n'est jamais une isométrie (elle n'est pas injective). « Projecteur orthogonal » et « endomorphisme orthogonal » sont deux notions sans rapport.

Ne pas confondre avec « conserver l'orthogonalité » : $u=2{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ envoie deux vecteurs orthogonaux sur deux vecteurs orthogonaux sans être une isométrie (c'est une similitude de rapport $2$).

Définition. $P\in {ℳ}_n(ℝ)$ est orthogonale si ${}^{t}PP=I_n$. Comme $P$ est alors inversible d'inverse ${}^{t}P$, cela équivaut à $P{}^{t}P=I_n$ et à $P^{-1}={}^{t}P$. L'ensemble est noté $O_n(ℝ)$ (ou $O(n)$).

Caractérisations. Les propositions suivantes sont équivalentes :

1. $P\in O_n(ℝ)$ ;
2. la famille des colonnes de $P$ est orthonormée dans ${ℳ}_{n,1}(ℝ)$ (le coefficient $(i,j)$ de ${}^{t}PP$ est $⟨C_i,C_j⟩$) ;
3. la famille des lignes de $P$ est orthonormée dans ${ℳ}_{1,n}(ℝ)$ ;
4. $\parallel PX\parallel =\parallel X\parallel$ pour tout $X$ ;
5. il existe deux bases orthonormées $ℬ$, ${ℬ}^{\mathrm{\prime }}$ d'un même espace euclidien telles que $P=P_{ℬ\to {ℬ}^{\mathrm{\prime }}}$ (matrice de passage entre bases orthonormées).

Le point 5 explique l'intérêt pratique : si $ℬ$ et ${ℬ}^{\mathrm{\prime }}$ sont orthonormées et $P=P_{ℬ\to {ℬ}^{\mathrm{\prime }}}$, alors $P^{-1}={}^{t}P$ et la formule de changement de base devient $A^{\mathrm{\prime }}={}^{t}PAP$, sans calcul d'inverse. Deux matrices $A$ et $B$ sont dites orthogonalement semblables s'il existe $P\in O_n(ℝ)$ telle que $B={}^{t}PAP$.

Vérifier qu'une matrice est orthogonale : contrôler que chaque colonne est de norme $1$ et que les colonnes sont deux à deux orthogonales ($\frac{n(n+1)}{2}$ produits scalaires au lieu des $n^2$ coefficients de ${}^{t}PP$). Les coefficients d'une matrice orthogonale sont dans $[-1,1]$.

Exemple. $P=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 1& -2\\ 2& -2& 1\end{array}\right)$ : chaque colonne a pour norme $\frac{1}{3}\sqrt{1+4+4}=1$ et $⟨C_1,C_2⟩=\frac{1}{9}(2+2-4)=0$, etc. Donc $P\in O_3(ℝ)$ ; comme $P$ est de plus symétrique, $P^{-1}={}^{t}P=P$.

Le déterminant ne suffit pas : $\det P=\pm 1$ est nécessaire, pas suffisant ($\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ a pour déterminant $1$ et n'est pas orthogonale).

Structure de groupe.

• $O(E)$, le groupe orthogonal de $E$, est un sous-groupe du groupe $(GL(E),\circ )$ ; de même $O_n(ℝ)$ en est un du groupe $(G{L}_n(ℝ),\times )$ ($I_n\in O_n$ ; $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}={}^{t}B{}^{t}A={}^t(AB)$ ; $(A^{-1}{)}^{-1}=A={}^t({}^{t}A)={}^t(A^{-1})$).
• $\det :O(E)\to \{-1,1\}$ est un morphisme de groupes ; son noyau $$SO(E)=\{u\in O(E),\det u=1\}$$ est le groupe spécial orthogonal (isométries positives, ou rotations) ; on note aussi $O^{+}(E)$, et $S{O}_n(ℝ)=O_n^{+}(ℝ)$ pour les matrices.
• $O^{-}(E)=\{u\in O(E),\det u=-1\}$ (isométries négatives) n'est pas un sous-groupe : il ne contient pas ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$, et le produit de deux éléments de $O^{-}(E)$ est dans $SO(E)$. Si $s$ est une réflexion, $u\mapsto s\circ u$ est une bijection de $SO(E)$ sur $O^{-}(E)$.
• $-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ est positive si et seulement si $n$ est pair.
• Pour la norme euclidienne $\parallel M\parallel =\sqrt{\mathrm{tr}({}^{t}MM)}$ de ${ℳ}_n(ℝ)$, toute $P\in O_n(ℝ)$ vérifie $\parallel P\parallel =\sqrt{n}$ : $O_n(ℝ)$ est borné (et fermé, donc compact, ce qui sert en Mathématiques I).

Orientation. Deux bases $ℬ$, ${ℬ}^{\mathrm{\prime }}$ de $E$ ont la même orientation si $\det P_{ℬ\to {ℬ}^{\mathrm{\prime }}}>0$. Orienter $E$, c'est choisir une base de référence ; les bases de même orientation qu'elle sont dites directes, les autres indirectes. Entre deux bases orthonormées directes, la matrice de passage est dans $S{O}_n(ℝ)$. Dans ${ℝ}^n$, l'orientation usuelle est celle de la base canonique. Échanger deux vecteurs, ou changer un vecteur en son opposé, change l'orientation.

On suppose ici $E$ euclidien orienté de dimension 3.

Produit mixte. Pour $x,y,z\in E$, le réel ${\det }_{ℬ}(x,y,z)$ est le même pour toutes les bases orthonormées directes $ℬ$ (la matrice de passage entre deux telles bases est de déterminant $1$) : on le note $[x,y,z]$ (ou $\mathrm{Det}(x,y,z)$). Il est trilinéaire, alterné, et non nul si et seulement si $(x,y,z)$ est une base ; il est $>0$ exactement quand cette base est directe.

Produit vectoriel. Pour $x,y$ fixés, $z\mapsto [x,y,z]$ est linéaire : il existe un unique vecteur, noté $x\wedge y$, tel que $$\mathrm{\forall }z\in E,[x,y,z]=⟨x\wedge y,z⟩\mathrm{.}$$ Dans une base orthonormée directe, si $x=(x_1,x_2,x_3)$ et $y=(y_1,y_2,y_3)$ : $$x\wedge y=(x_2{y}_3-x_3{y}_2,x_3{y}_1-x_1{y}_3,x_1{y}_2-x_2{y}_1)\mathrm{.}$$

Propriétés.

• $(x,y)\mapsto x\wedge y$ est bilinéaire et antisymétrique ($y\wedge x=-x\wedge y$) ; $x\wedge y$ est orthogonal à $x$ et à $y$.
• $x\wedge y=0⟺x$ et $y$ sont colinéaires ; sinon $(x,y,x\wedge y)$ est une base, et elle est directe.
• Si $(x,y)$ est orthonormée, $(x,y,x\wedge y)$ est une base orthonormée directe : c'est la façon standard de compléter.
• Identité de Lagrange : $\parallel x\wedge y{\parallel }^2+⟨x,y{⟩}^2=\parallel x{\parallel }^2\parallel y{\parallel }^2$.
• Double produit vectoriel : $x\wedge (y\wedge z)=⟨x,z⟩y-⟨x,y⟩z$.
• Pour $a\in E$, l'endomorphisme $x\mapsto a\wedge x$ est antisymétrique ($⟨a\wedge x,x⟩=[a,x,x]=0$) ; sa matrice en base orthonormée directe est $\left(\begin{array}{ccc}0& -a_3& a_2\\ a_3& 0& -a_1\\ -a_2& a_1& 0\end{array}\right)$, et tout endomorphisme antisymétrique de $E$ est de cette forme (exercice 8).

Théorème (classification de $O_2(ℝ)$). Pour $\theta \in ℝ$, on pose $$R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right),S(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{array}\right)\mathrm{.}$$

• $S{O}_2(ℝ)=\{R(\theta ),\theta \in ℝ\}$, et $R(\theta )=R({\theta }^{\mathrm{\prime }})⟺\theta \equiv {\theta }^{\mathrm{\prime }}[2\pi ]$ ;
• $O_2^{-}(ℝ)=\{S(\theta ),\theta \in ℝ\}$ ; chaque $S(\theta )$ est symétrique et orthogonale, donc $S(\theta {)}^2=I_2$.

Preuve. Les colonnes $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{a}{b}\right)$, $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{c}{d}\right)$ sont unitaires et orthogonales : $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{a}{b}\right)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{\cos \theta }{\sin \theta }\right)$ et $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{c}{d}\right)=\pm \left(\genfrac{}{}{0px}{}{-\sin \theta }{\cos \theta }\right)$ (seuls vecteurs unitaires orthogonaux au premier) ; le signe est celui du déterminant.

Règles de calcul : $R(\theta )R({\theta }^{\mathrm{\prime }})=R(\theta +{\theta }^{\mathrm{\prime }})$ (donc $S{O}_2(ℝ)$ est commutatif et $R(\theta {)}^{-1}=R(-\theta )$) ; $$S(\alpha )S(\beta )=R(\alpha -\beta ),R(\theta )S(\alpha )=S(\alpha +\theta ),S(\alpha )R(\theta )=S(\alpha -\theta )\mathrm{.}$$ Lien avec les complexes : en identifiant $(x,y)$ à $z=x+iy$, $R(\theta )$ agit par $z\mapsto e^{i\theta }z$ et $S(\theta )$ par $z\mapsto e^{i\theta }\bar{z}$ (Nombres complexes § Module).

Rotations d'un plan euclidien orienté. Soit $E$ de dimension $2$, orienté, et $r\in SO(E)$. Sa matrice est la même $R(\theta )$ dans toutes les bases orthonormées directes (car $S{O}_2$ est commutatif) : $\theta$ (défini modulo $2\pi$) est l'angle de $r$, on note $r={\mathrm{R}\mathrm{o}\mathrm{t}}_{\theta }$. Dans une base orthonormée indirecte, la matrice devient $R(-\theta )$. Pour tout $x$ unitaire : $$\cos \theta =⟨x,r(x)⟩,\sin \theta =\underset{ℬ}{\det }(x,r(x))(ℬ\text{orthonorm}\acute{\text{e}}\text{e directe})\mathrm{.}$$

Isométries négatives du plan. $u\in O^{-}(E)$ est une réflexion : $S(\theta )$ représente la réflexion d'axe la droite dirigée par $(\cos \frac{\theta }{2},\sin \frac{\theta }{2})$ (vérifier : ce vecteur est fixe, et $(-\sin \frac{\theta }{2},\cos \frac{\theta }{2})$ est changé en son opposé).

Conséquences. $O(E)$ pour $\dim E=2$ = rotations $\cup$ réflexions. Le produit de deux réflexions est une rotation ; toute rotation est le produit de deux réflexions, dont la première peut être choisie librement.

Soit $E$ euclidien orienté de dimension $3$ et $u\in O(E)$. Le polynôme ${\chi }_u$, de degré $3$, a une racine réelle, égale à $\pm 1$ ; ses autres racines sont de module $1$ (réelles ou conjuguées).

Rotations ($u\in SO(E)$, $u\mathrm{\ne }{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$). $1$ est valeur propre et $D=\mathrm{Ker}(u-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)$ est une droite, l'axe. On choisit $a$ unitaire sur $D$ (cela oriente l'axe), puis on complète en une base orthonormée directe $(a,v,w)$ avec $w=a\wedge v$. Comme $D^{\perp }$ est stable (§ 2) et $u$ y induit une rotation : $${\mathrm{Mat}}_{(a,v,w)}(u)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\mathrm{.}$$ On dit que $u$ est la rotation d'axe orienté par $a$, d'angle $\theta$. Changer $a$ en $-a$ change $\theta$ en $-\theta$.

Formules à connaître.

• $\mathrm{tr}u=1+2\cos \theta$ (la trace ne dépend pas de la base) : elle donne $\theta$ au signe près.
• Signe de $\sin \theta$ : pour tout $x\mathrm{\notin }D$, $[a,x,u(x)]=\sin \theta \parallel x-⟨a,x⟩a{\parallel }^2$ ; donc $\sin \theta$ a le signe de $[a,x,u(x)]$, et si $x$ est unitaire et orthogonal à $a$, $[a,x,u(x)]=\sin \theta$ exactement.
• Image d'un vecteur : $u(x)=\cos \theta x+(1-\cos \theta )⟨a,x⟩a+\sin \theta a\wedge x$.
• Cas $\theta =\pi$ : retournement (ou demi-tour) d'axe $D$, c'est la symétrie orthogonale $2p_D-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ ; c'est la seule rotation $\mathrm{\ne }\mathrm{i}\mathrm{d}$ qui soit symétrique.

Isométries négatives ($u\in O^{-}(E)$). $-1$ est valeur propre ; avec $a$ unitaire tel que $u(a)=-a$, la matrice dans une base orthonormée directe $(a,v,a\wedge v)$ est $$\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right):$$ $u$ est la composée (commutative) de la rotation d'axe $ℝa$ et d'angle $\theta$ et de la réflexion de plan $a^{\perp }$. Cas particuliers : $\theta =0$, réflexion ($\mathrm{tr}u=1$) ; $\theta =\pi$, $u=-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$. En général $\mathrm{tr}u=-1+2\cos \theta$, et $-u$ est une rotation.

Tableau d'identification (selon $\det u$ et $\dim \mathrm{Ker}(u-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)$) :

Composée de deux réflexions. Si $s_a$ et $s_b$ sont les réflexions de plans $a^{\perp }$ et $b^{\perp }$ ($a,b$ non colinéaires), $s_a\circ s_b$ est la rotation d'axe $ℝ(a\wedge b)$ et d'angle double de l'angle entre les plans, au signe près (exercice 5 pour le signe).

Lemme. Tout endomorphisme d'un $ℝ$-espace de dimension finie $\ge 1$ admet une droite ou un plan stable. (Une valeur propre réelle donne une droite ; sinon, pour $\lambda =\alpha +i\beta$ valeur propre non réelle de la matrice $A$ et $Z=X+iY$ vecteur propre, $AX=\alpha X-\beta Y$ et $AY=\beta X+\alpha Y$ : $\mathrm{Vect}(X,Y)$ est un plan stable.)

Théorème. Hypothèse : $u\in O(E)$. Conclusion : on peut trouver une base orthonormée de $E$ où $$\mathrm{Mat}(u)=\mathrm{diag}(I_p,-I_q,R({\theta }_1),\dots ,R({\theta }_r)),p+q+2r=n,{\theta }_k\in ]0,2\pi [\setminus \{\pi \}\mathrm{.}$$ Version matricielle : toute $P\in O_n(ℝ)$ est orthogonalement semblable à une telle matrice diagonale par blocs.

Preuve (récurrence sur $n$) : prendre une droite ou un plan $F$ stable (lemme), utiliser que $F^{\perp }$ est stable et que les induits sont des isométries ; en dimension $1$, $u=\pm \mathrm{i}\mathrm{d}$ ; en dimension $2$, § 6 (une réflexion se diagonalise en $\mathrm{diag}(1,-1)$).

Conséquences : $\det u=(-1{)}^q$ ; $\mathrm{tr}u=p-q+2\sum \cos {\theta }_k$ ; $u$ est positive exactement lorsque $q$ est pair (on regroupe alors les $-1$ par paires en blocs $R(\pi )$). Une isométrie n'est diagonalisable sur $ℝ$ que si $r=0$, c'est-à-dire si c'est une symétrie orthogonale.

Définition. $u\in ℒ(E)$ est autoadjoint, ou symétrique, si $u^{\ast }=u$, c'est-à-dire $$\mathrm{\forall }(x,y)\in E^2,⟨u(x),y⟩=⟨x,u(y)⟩\mathrm{.}$$ On note $𝒮(E)$ leur ensemble (dans les devoirs tunisiens, « endomorphisme symétrique » est le terme le plus courant).

Lien avec les matrices. $u\in 𝒮(E)⟺$ sa matrice dans une (ou toute) base orthonormée est symétrique. Ainsi $𝒮(E)$ est un sous-espace de $ℒ(E)$ de dimension $\frac{n(n+1)}{2}$, isomorphe à ${𝒮}_n(ℝ)$. Dans une base non orthonormée, une matrice non symétrique peut représenter un endomorphisme symétrique (exercice 3).

Exemples.

• Un projecteur $p$ est orthogonal $⟺p$ est symétrique ; une symétrie $s$ est orthogonale $⟺s$ est symétrique (§ 2).
• Pour tout $v\in ℒ(E)$, $v^{\ast }\circ v$ et $v\circ v^{\ast }$ sont symétriques ; $v+v^{\ast }$ aussi.
• Sur ${ℝ}_n[X]$ muni de $⟨P,Q⟩={\int }_{-1}^{1}PQ$, l'endomorphisme $P\mapsto ((1-X^2)P^{\mathrm{\prime }}{)}^{\mathrm{\prime }}$ est symétrique (intégration par parties : le crochet $[(1-t^2)P^{\mathrm{\prime }}Q{]}_{-1}^1$ est nul).
• Sur ${ℳ}_n(ℝ)$ muni de $⟨A,B⟩=\mathrm{tr}({}^{t}AB)$, $M\mapsto AM$ a pour adjoint $M\mapsto {}^{t}AM$ ; il est symétrique si et seulement si $A\in {𝒮}_n(ℝ)$ ; $M\mapsto {}^{t}M$ est symétrique (et orthogonal).

Propriétés spectrales (lemmes du théorème spectral). Soit $u\in 𝒮(E)$.

1. Toutes les valeurs propres de sa matrice sont réelles, donc ${\chi }_u$ est scindé sur $ℝ$. Preuve : si $AZ=\lambda Z$ avec $A$ réelle symétrique, $Z\in {ℳ}_{n,1}(ℂ)\setminus \{0\}$, alors ${}^t\bar{Z}AZ=\lambda {}^t\bar{Z}Z$ et, en conjuguant et transposant, ${}^t\bar{Z}AZ=\bar{\lambda }{}^t\bar{Z}Z$ ; comme ${}^t\bar{Z}Z=\sum \mid z_i{\mid }^2>0$, $\lambda =\bar{\lambda }$.
2. Deux sous-espaces propres distincts sont orthogonaux : si $u(x)=\lambda x$, $u(y)=\mu y$, $\lambda \mathrm{\ne }\mu$, alors $\lambda ⟨x,y⟩=⟨u(x),y⟩=⟨x,u(y)⟩=\mu ⟨x,y⟩$, donc $⟨x,y⟩=0$.
3. L'orthogonal d'un sous-espace stable est encore stable (§ 1 avec $u^{\ast }=u$), et l'induit sur $F$ est symétrique.

Théorème spectral. Hypothèses : $E$ euclidien, $u\in 𝒮(E)$. Conclusion : $u$ est diagonalisable dans une base orthonormée : il existe une base orthonormée de $E$ formée de vecteurs propres de $u$, et $$E=\underset{\lambda \in \mathrm{Sp}(u)}{\overset{\perp }{⨁}}{E}_{\lambda }(u)\text{(somme directe orthogonale).}$$

Preuve. Soit $F$ la somme (directe) des sous-espaces propres. Elle est stable par $u$, donc $F^{\perp }$ aussi. Si $F^{\perp }\mathrm{\ne }\{0\}$, l'induit sur $F^{\perp }$ est symétrique et a une valeur propre réelle (lemme 1) : un vecteur propre serait dans $F\cap F^{\perp }=\{0\}$, absurde. Donc $E=F$. On choisit une base orthonormée dans chaque $E_{\lambda }$ ; leur réunion est orthonormée par le lemme 2.

Version matricielle. Hypothèse : $A\in {𝒮}_n(ℝ)$. Conclusion : il existe $P\in O_n(ℝ)$ et $D$ diagonale réelle telles que $$A=PD{P}^{-1}=PD{}^{t}P\mathrm{.}$$ Les colonnes de $P$ sont des vecteurs propres unitaires et deux à deux orthogonaux, rangés dans l'ordre des coefficients de $D$. On peut imposer $\det P=1$ (changer une colonne en son opposée).

Réciproque. Si $u$ est diagonalisable dans une base orthonormée, alors $u$ est symétrique (sa matrice $D$ y est symétrique). D'où : $$u\text{sym}\acute{\text{e}}\text{trique}⟺u\text{diagonalisable dans une base orthonorm}\acute{\text{e}}\text{e}\mathrm{.}$$ Une matrice réelle diagonalisable n'est pas forcément symétrique : $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$ a deux valeurs propres distinctes, mais ses droites propres $ℝ\left(\genfrac{}{}{0px}{}{1}{0}\right)$ et $ℝ\left(\genfrac{}{}{0px}{}{1}{1}\right)$ ne sont pas orthogonales.

Le résultat est propre au cas réel. Une matrice complexe symétrique n'est pas toujours diagonalisable : $\left(\begin{array}{cc}2& i\\ i& 0\end{array}\right)$ a pour polynôme caractéristique $(X-1{)}^2$ sans être égale à $I_2$.

Décomposition spectrale. Si ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_r$ sont les valeurs propres distinctes et $p_k$ la projection orthogonale sur $E_{{\lambda }_k}(u)$ : $$u=\sum _{k=1}^r{\lambda }_k{p}_k,{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E=\sum _k{p}_k,p_k{p}_l=0(k\mathrm{\ne }l),u^m=\sum _k{\lambda }_k^m{p}_k\mathrm{.}$$ Matriciellement, avec $P$ de colonnes $U_1,\dots ,U_n$ : $A={\sum }_i{\lambda }_i{U}_i{}^t{U}_i$ (somme de matrices de rang $1$).

Diagonaliser $A\in {𝒮}_n(ℝ)$ en base orthonormée, en pratique.

1. Calculer ${\chi }_A$ et ses racines (toutes réelles : contrôle gratuit).
2. Pour chaque valeur propre, une base de $E_{\lambda }$ ; si $\dim E_{\lambda }\ge 2$, l'orthonormaliser (Gram-Schmidt à l'intérieur de $E_{\lambda }$). Les vecteurs de sous-espaces propres différents sont automatiquement orthogonaux : ne rien faire de plus.
3. Normaliser ; en dimension $3$, le dernier vecteur s'obtient par produit vectoriel des deux premiers.
4. Contrôles : ${}^{t}PP=I_n$, $AP=PD$, $\mathrm{tr}A=\mathrm{tr}D$.

Codiagonalisation. Deux matrices symétriques réelles $A$ et $B$ commutent si et seulement s'il existe $P\in O_n(ℝ)$ telle que ${}^{t}PAP$ et ${}^{t}PBP$ soient toutes deux diagonales (chaque sous-espace propre de $A$ est stable par $B$, qui y induit un endomorphisme symétrique).

Définitions. $u\in 𝒮(E)$ est positif si $⟨u(x),x⟩\ge 0$ pour tout $x\in E$, défini positif si $⟨u(x),x⟩>0$ pour tout $x\mathrm{\ne }0$. Pour les matrices : $S\in {𝒮}_n(ℝ)$ est positive si ${}^{t}XSX\ge 0$ pour tout $X$, définie positive si ${}^{t}XSX>0$ pour tout $X\mathrm{\ne }0$. Notations : ${𝒮}^{+}(E)$, ${𝒮}^{++}(E)$, ${𝒮}_n^{+}(ℝ)$, ${𝒮}_n^{++}(ℝ)$. La symétrie fait partie de la définition.

Théorème (caractérisation spectrale). Soit $S\in {𝒮}_n(ℝ)$. $$S\in {𝒮}_n^{+}(ℝ)⟺\mathrm{Sp}(S)\subset {ℝ}_{+},S\in {𝒮}_n^{++}(ℝ)⟺\mathrm{Sp}(S)\subset {ℝ}_{+}^{\ast }\mathrm{.}$$ Preuve. $(\Rightarrow )$ Si $SX=\lambda X$, $X\mathrm{\ne }0$, alors $\lambda \parallel X{\parallel }^2={}^{t}XSX\ge 0$. $(\Leftarrow )$ On écrit $S=PD{}^{t}P$ ; avec $Y={}^{t}PX$, $${}^{t}XSX={}^{t}YDY=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{y}_i^2\ge 0,$$ et $>0$ si tous les ${\lambda }_i>0$ et $X\mathrm{\ne }0$ (car alors $Y\mathrm{\ne }0$). Le jury 2025 a relevé des confusions entre les deux sens de cette équivalence : écrire chaque sens séparément, en disant ce que l'on suppose et ce que l'on montre.

Conséquences.

• ${𝒮}_n^{++}(ℝ)={𝒮}_n^{+}(ℝ)\cap G{L}_n(ℝ)$ ; si $S\in {𝒮}_n^{+}$, alors $\mathrm{tr}S\ge 0$, $\det S\ge 0$ et $s_{ii}={}^t{E}_{i}S{E}_i\ge 0$.
• Taille $2$ : $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)\in {𝒮}_2^{++}(ℝ)⟺a>0$ et $ac-b^2>0$ (les deux valeurs propres ont produit $ac-b^2$ et somme $a+c$).
• Les coefficients ne disent rien : $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$ (coefficients positifs) a la valeur propre $-1$, tandis que $\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$ est définie positive (valeurs propres $1$ et $3$).
• $S\in {𝒮}_n^{++}(ℝ)⟺(X,Y)\mapsto {}^{t}XSY$ est un produit scalaire sur ${ℳ}_{n,1}(ℝ)$. La matrice de Gram d'une famille libre est définie positive (Préhilbertiens § 7).

Matrices ${}^{t}AA$. Pour $A\in {ℳ}_{p,n}(ℝ)$ :

• ${}^{t}AA\in {𝒮}_n^{+}(ℝ)$, car ${}^{t}X{}^{t}AAX=\parallel AX{\parallel }^2\ge 0$ ;
• $\mathrm{Ker}({}^{t}AA)=\mathrm{Ker}A$ (si ${}^{t}AAX=0$, alors $\parallel AX{\parallel }^2=0$), donc $\mathrm{rg}({}^{t}AA)=\mathrm{rg}A$ ;
• pour $A$ carrée : ${}^{t}AA\in {𝒮}_n^{++}(ℝ)⟺A$ inversible.

Racine carrée. Hypothèse : $S\in {𝒮}_n^{+}(ℝ)$. Conclusion : il existe une unique $R\in {𝒮}_n^{+}(ℝ)$ telle que $R^2=S$. Existence : $S=P\mathrm{diag}({\lambda }_i){}^{t}P$, $R=P\mathrm{diag}(\sqrt{{\lambda }_i}){}^{t}P$. Unicité (schéma) : $R$ commute avec $R^2=S$, donc laisse stable chaque $E_{\lambda }(S)$ ; l'induit est symétrique positif de carré $\lambda \mathrm{i}\mathrm{d}$, donc ses valeurs propres valent $\sqrt{\lambda }$ et il est égal à $\sqrt{\lambda }\mathrm{i}\mathrm{d}$. Conséquence : toute $S\in {𝒮}_n^{+}(ℝ)$ s'écrit $S={}^{t}AA$ (prendre $A=R$).

Décomposition polaire (souvent proposée en problème) : toute $A\in G{L}_n(ℝ)$ s'écrit de façon unique $A=OS$ avec $O\in O_n(ℝ)$ et $S\in {𝒮}_n^{++}(ℝ)$ : $S$ est la racine carrée de ${}^{t}AA$ et $O=A{S}^{-1}$ (on vérifie ${}^{t}OO=S^{-1}{}^{t}AA{S}^{-1}=I_n$).

Quotient de Rayleigh et extremums sur la sphère

Hypothèses : $S\in {𝒮}_n(ℝ)$, de plus petite valeur propre ${\lambda }_{\min }$ et de plus grande valeur propre ${\lambda }_{\max }$. Conclusion : pour tout $X\in {ℳ}_{n,1}(ℝ)$, $${\lambda }_{\min }\parallel X{\parallel }^2\le {}^{t}XSX\le {\lambda }_{\max }\parallel X{\parallel }^2,$$ avec égalité à droite si et seulement si $X\in E_{{\lambda }_{\max }}(S)$ (à gauche : $X\in E_{{\lambda }_{\min }}(S)$). Ainsi le quotient de Rayleigh $R_S(X)={\displaystyle \frac{{}^{t}XSX}{{}^{t}XX}}$ ($X\mathrm{\ne }0$) a pour minimum ${\lambda }_{\min }$ et pour maximum ${\lambda }_{\max }$, atteints exactement en des vecteurs propres ; de même $\min$ et $\max$ de ${}^{t}XSX$ sur la sphère unité $\{\parallel X\parallel =1\}$. Preuve : dans une base orthonormée de vecteurs propres, ${}^{t}XSX=\sum {\lambda }_i{y}_i^2$ et $\parallel X{\parallel }^2=\sum y_i^2$.

Usages : ${\lambda }_{\max }(A+B)\le {\lambda }_{\max }(A)+{\lambda }_{\max }(B)$ pour $A,B$ symétriques ; pour toute $A\in {ℳ}_n(ℝ)$, $\underset{\parallel X\parallel =1}{\max }\parallel AX{\parallel }^2$ est la plus grande valeur propre de ${}^{t}AA$ (thème des devoirs sur la norme subordonnée et le conditionnement, et du concours 2026).

Réduction d'une expression quadratique

Une expression $q(x_1,\dots ,x_n)={\sum }_i{a}_{ii}{x}_i^2+2{\sum }_{i<j}{a}_{ij}{x}_i{x}_j$ s'écrit $q={}^{t}XSX$ avec $S=(a_{ij})$ symétrique (le coefficient de $x_i{x}_j$ est partagé en deux). Avec $S=PD{}^{t}P$ et le changement de variables orthonormé $Y={}^{t}PX$ : $$q={\lambda }_1{y}_1^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2\mathrm{.}$$ On lit alors le signe de $q$ (positive, définie positive, ni l'un ni l'autre) et ses extremums sur la sphère unité. Exemple : $q(x,y)=5x^2-4xy+8y^2$ correspond à $\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ -2& 8\end{array}\right)$, de valeurs propres $4$ et $9$ : $q=4y_1^2+9y_2^2$, définie positive, et $4\le q(x,y)\le 9$ quand $x^2+y^2=1$. La théorie générale des formes quadratiques n'est pas exigée : on travaille avec ${}^{t}XSX$.

Minimiser une fonction quadratique

Hypothèses : $S\in {𝒮}_n^{++}(ℝ)$, $B\in {ℳ}_{n,1}(ℝ)$, $f(X)=\frac{1}{2}{}^{t}XSX-{}^{t}BX$. Conclusion : $f$ admet un minimum global atteint en un seul point $X^{\ast }=S^{-1}B$, et $\min f=-\frac{1}{2}{}^{t}B{S}^{-1}B$. Preuve (sans calcul différentiel) : $f(X)=\frac{1}{2}{}^t(X-X^{\ast })S(X-X^{\ast })-\frac{1}{2}{}^t{X}^{\ast }S{X}^{\ast }$, et le premier terme est $>0$ si $X\mathrm{\ne }{X}^{\ast }$. Sur un sous-espace $F$, minimiser $f$ revient à minimiser $\parallel X-X^{\ast }{\parallel }_S$ pour le produit scalaire $⟨X,Y{⟩}_S={}^{t}XSY$ : le minimum est atteint en la projection orthogonale de $X^{\ast }$ sur $F$ pour ce produit scalaire (exercice 9). C'est exactement le type de question où le jury 2025 a vu des candidats incapables de reconnaître une distance.

Réduction simultanée

Hypothèses : $A\in {𝒮}_n^{++}(ℝ)$, $B\in {𝒮}_n(ℝ)$. Conclusion : il existe $P\in G{L}_n(ℝ)$ telle que ${}^{t}PAP=I_n$ et ${}^{t}PBP$ soit diagonale. (Appliquer le théorème spectral dans ${ℳ}_{n,1}(ℝ)$ muni de $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_A$ à l'endomorphisme $X\mapsto A^{-1}BX$, qui y est autoadjoint ; exercice 10.)

Reconnaître une isométrie de ${ℝ}^3$ donnée par sa matrice $M$

1. Vérifier ${}^{t}MM=I_3$ (colonnes unitaires et orthogonales deux à deux).
2. Calculer $\det M$ ; si $M$ est symétrique, c'est une symétrie orthogonale : $\mathrm{i}\mathrm{d}$, $-\mathrm{i}\mathrm{d}$, réflexion ($\mathrm{tr}=1$) ou retournement ($\mathrm{tr}=-1$).
3. Rotation ($\det M=1$) : axe $=\mathrm{Ker}(M-I_3)$, orienté par un vecteur unitaire $a$ choisi ; $\cos \theta =\frac{\mathrm{tr}M-1}{2}$ ; signe de $\sin \theta$ = signe de $[a,x,Mx]$ pour un $x$ simple hors de l'axe (souvent un vecteur de la base canonique). Variante : la partie antisymétrique $\frac{M-{}^{t}M}{2}$ est la matrice de $x\mapsto (\sin \theta a)\wedge x$ (exercice 8).
4. $\det M=-1$ : $-M$ est une rotation ; ou chercher $\mathrm{Ker}(M+I_3)$ et procéder de même avec $\mathrm{tr}M=-1+2\cos \theta$.

Écrire la matrice d'une rotation dont on connaît l'axe orienté et l'angle

Formule $u(x)=\cos \theta x+(1-\cos \theta )⟨a,x⟩a+\sin \theta a\wedge x$ appliquée aux vecteurs de base ; matriciellement $M=\cos \theta I_3+(1-\cos \theta )a{}^{t}a+\sin \theta K_a$ où $K_a$ est la matrice de $x\mapsto a\wedge x$ ($a$ unitaire). Ou bien $M=PR{}^{t}P$ avec $P$ la matrice d'une base orthonormée directe $(a,v,a\wedge v)$.

Montrer qu'un endomorphisme est symétrique

Établir $⟨u(x),y⟩=⟨x,u(y)⟩$ (intégration par parties pour un produit intégral ; propriétés de la trace pour $\mathrm{tr}({}^{t}AB)$) ; ou montrer que sa matrice dans une base orthonormée est symétrique.

Montrer qu'une matrice symétrique est positive (ou définie positive)

• Valeurs propres toutes $\ge 0$ (resp. $>0$) ;
• écriture $S={}^{t}AA$ (avec $A$ inversible pour le cas défini) ;
• ${}^{t}XSX$ écrit comme somme de carrés (méthode de complétion, comme pour un trinôme) ;
• taille $2$ : trace et déterminant.

Calculer un extremum de ${}^{t}XSX$ sous la contrainte $\parallel X\parallel =1$

Valeurs propres extrêmes de $S$ ; le maximum est atteint exactement sur les vecteurs unitaires de $E_{{\lambda }_{\max }}$. Ne pas oublier le coefficient $2$ des termes rectangles quand on passe de $q$ à $S$.

1. Oublier la base orthonormée : « la matrice de $u^{\ast }$ est ${}^{t}A$ », « $u$ symétrique $⟺$ matrice symétrique », « $u$ isométrie $⟺$ matrice orthogonale » ne valent que dans une base orthonormée.
2. Croire que $\det P=\pm 1$ suffit pour que $P$ soit orthogonale ; confondre projecteur orthogonal et endomorphisme orthogonal.
3. Écrire $(u\circ v{)}^{\ast }=u^{\ast }\circ v^{\ast }$ : l'ordre s'inverse.
4. Prendre $O_n^{-}(ℝ)$ pour un sous-groupe ; oublier que $-I_n$ est dans $S{O}_n(ℝ)$ seulement pour $n$ pair.
5. Angle d'une rotation : donner $\theta$ par la seule trace (le signe manque), ou oublier d'orienter l'axe avant de parler du signe de l'angle. Écrire « $\cos \theta =\mathrm{tr}M$ » au lieu de $\frac{\mathrm{tr}M-1}{2}$.
6. Diagonaliser une matrice symétrique avec une matrice $P$ dont les colonnes ne sont pas normées, ou non orthonormalisées dans un sous-espace propre de dimension $\ge 2$ : on n'a alors pas $P^{-1}={}^{t}P$.
7. Appliquer le théorème spectral à une matrice complexe symétrique, ou à une matrice réelle non symétrique.
8. Confondre condition nécessaire et suffisante (reproche récurrent du jury) : « $S$ positive $\Rightarrow$ coefficients positifs » est faux ; « valeurs propres positives $\Rightarrow$ positive » est faux si $S$ n'est pas symétrique ($\left(\begin{array}{cc}1& -4\\ 0& 1\end{array}\right)$ a pour seule valeur propre $1$ et ${}^{t}XSX<0$ pour $X=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{1}{1}\right)$).
9. Oublier le facteur $\frac{1}{2}$ en lisant la matrice d'une expression quadratique ($2xy$ donne des coefficients $1$ et $1$).
10. Annoncer un extremum sans dire où il est atteint, ou sans vérifier qu'il l'est.
11. Rédaction : « b.o.n. », « o.n.d. » dans la copie ; théorème spectral cité sans l'hypothèse « symétrique réelle ».

• Produit scalaire noté $(x\mid y)$ ou $⟨x,y⟩$ ; sur ${ℳ}_{n,1}(ℝ)$, « produit scalaire canonique $(X\mid Y)={}^{t}XY$ », et l'on « identifie ${ℝ}^n$ et ${ℳ}_{n,1}(ℝ)$ ». Transposée à gauche ${}^{t}A$.
• $O_n(ℝ)$ ou $O(n)$ ; $S{O}_n(ℝ)$, $O_n^{+}(ℝ)$ ; $O_n^{-}(ℝ)$ ; $O(E)$, $SO(E)$ ; « isométrie vectorielle », « automorphisme orthogonal », « isométrie positive / négative », « groupe spécial orthogonal » ; « matrices orthogonalement semblables ».
• $𝒮(E)$ pour les endomorphismes symétriques ; ${𝒮}_n(ℝ)$, ${𝒜}_n(ℝ)$ ; ${𝒮}_n^{+}(ℝ)$, ${𝒮}_n^{++}(ℝ)$ (souvent redéfinies dans l'énoncé, parfois par la condition sur le spectre : lire la définition choisie) ; $u^{\ast }$ pour l'adjoint.
• Spectre réel $\mathrm{Sp}(A)$ ou ${\mathrm{sp}}_{ℝ}(A)$, spectre complexe ${\mathrm{Sp}}_{ℂ}(A)$ ; rayon spectral $\rho (A)$ dans les problèmes sur les normes de matrices.
• Géométrie : $R(\theta )$ ou $R_{\theta }$ pour la matrice de rotation, ${\mathrm{R}\mathrm{o}\mathrm{t}}_{\theta }$ pour la rotation, $[x,y,z]$ ou $\mathrm{Det}(x,y,z)$ pour le produit mixte, $x\wedge y$ pour le produit vectoriel, « base orthonormée directe », « rotation d'axe orienté par $u$ », suivi de son angle, « retournement » ou « demi-tour ».
• Thèmes de problèmes, toujours définis dans l'énoncé : décomposition polaire, décomposition $QR$ ou de Cholesky, inégalité d'Hadamard, conditionnement d'une matrice, matrices normales, exponentielle d'une matrice antisymétrique, $\exp ({𝒜}_n(ℝ))=S{O}_n(ℝ)$.
• Formules rituelles : « la qualité de la rédaction […] entrera pour une part importante » ; « tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis ». Au concours, questions Q.1, Q.2… sur tout le sujet, document réponse. Calculatrice interdite : angles remarquables, racines exactes.