Endomorphismes des espaces euclidiens (Exercices) · Révisions prépa

Application du cours4 points

1. Diagonaliser une matrice symétrique en base orthonormée

On considère $A = (\begin{array}{ccc} 2 & 2 & - 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ - 2 & 0 & 3 \end{array})$ .

Sans calcul, justifier que $A$ se diagonalise avec une matrice de passage orthogonale.
Vérifier que $U_{1} = \frac{1}{3}^{t} (1, 2, 2)$ , $U_{2} = \frac{1}{3}^{t} (2, 1, - 2)$ et $U_{3} = \frac{1}{3}^{t} (2, - 2, 1)$ sont des vecteurs propres de $A$ et préciser les valeurs propres associées. En déduire $χ_{A}$ .
Écrire $P \in O_{3} (ℝ)$ et $D$ diagonale telles que $A = P D^{t} P$ . La matrice $P$ obtenue est-elle dans $S O_{3} (ℝ)$ ? Sinon, la modifier pour qu'elle le soit.
Exprimer $A^{n}$ ( $n \in ℕ$ ) comme combinaison des matrices $U_{i}^{t} U_{i}$ , puis donner $A^{n}$ explicitement.
La matrice $A$ est-elle positive ? Et $A + I_{3}$ ? Déterminer le minimum et le maximum de $^{t} X A X$ lorsque $∥ X ∥ = 1$ , et préciser où ils sont atteints.

Application du cours4 points

1. Diagonaliser une matrice symétrique en base orthonormée

On considère $A = (\begin{array}{ccc} 2 & 2 & - 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ - 2 & 0 & 3 \end{array})$ .

Sans calcul, justifier que $A$ se diagonalise avec une matrice de passage orthogonale.
Vérifier que $U_{1} = \frac{1}{3}^{t} (1, 2, 2)$ , $U_{2} = \frac{1}{3}^{t} (2, 1, - 2)$ et $U_{3} = \frac{1}{3}^{t} (2, - 2, 1)$ sont des vecteurs propres de $A$ et préciser les valeurs propres associées. En déduire $χ_{A}$ .
Écrire $P \in O_{3} (ℝ)$ et $D$ diagonale telles que $A = P D^{t} P$ . La matrice $P$ obtenue est-elle dans $S O_{3} (ℝ)$ ? Sinon, la modifier pour qu'elle le soit.
Exprimer $A^{n}$ ( $n \in ℕ$ ) comme combinaison des matrices $U_{i}^{t} U_{i}$ , puis donner $A^{n}$ explicitement.
La matrice $A$ est-elle positive ? Et $A + I_{3}$ ? Déterminer le minimum et le maximum de $^{t} X A X$ lorsque $∥ X ∥ = 1$ , et préciser où ils sont atteints.

Application du cours4 points

2. Reconnaître une rotation et une réflexion

On pose $R = \frac{1}{9} (\begin{array}{ccc} 4 & 7 & - 4 \\ 1 & 4 & 8 \\ 8 & - 4 & 1 \end{array})$ et $S = \frac{1}{9} (\begin{array}{ccc} 7 & - 4 & - 4 \\ - 4 & 1 & - 8 \\ - 4 & - 8 & 1 \end{array})$ .

Montrer que $R \in S O_{3} (ℝ)$ . Déterminer l'axe de la rotation $r$ canoniquement associée, orienté par un vecteur unitaire $a$ à coordonnées positives, puis son angle.
Montrer que $S$ est la matrice d'une réflexion dont on précisera le plan.
Écrire la matrice de la rotation d'axe orienté par $a$ et d'angle $\frac{π}{2}$ . Que remarque-t-on ?
Préciser la nature géométrique de l'endomorphisme canoniquement associé à $- R$ .

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1. Colonnes $C_{1} = \frac{1}{9} (4, 1, 8)$ , $C_{2} = \frac{1}{9} (7, 4, - 4)$ , $C_{3} = \frac{1}{9} (- 4, 8, 1)$ : $∥ C_{j} ∥^{2} = \frac{81}{81} = 1$ pour chaque $j$ , et $⟨ C_{1}, C_{2} ⟩ = \frac{1}{81} (28 + 4 - 32) = 0$ , $⟨ C_{1}, C_{3} ⟩ = \frac{1}{81} (- 16 + 8 + 8) = 0$ , $⟨ C_{2}, C_{3} ⟩ = \frac{1}{81} (- 28 + 32 - 4) = 0$ . Donc $R \in O_{3} (ℝ)$ . Par la règle de Sarrus, $\det (9 R) = 729$ , soit $\det R = 1$ : $R \in S O_{3} (ℝ)$ et $r$ est une rotation, différente de $i d$ .

Axe : $R X = X$ s'écrit $- 5 x + 7 y - 4 z = 0$ , $x - 5 y + 8 z = 0$ , $8 x - 4 y - 8 z = 0$ . La troisième équation donne $z = x - \frac{y}{2}$ ; reporté dans la deuxième : $9 x - 9 y = 0$ , d'où $y = x$ , $z = \frac{x}{2}$ . L'axe est $ℝ^{t} (2, 2, 1)$ , et $a = \frac{1}{3}^{t} (2, 2, 1)$ .

Angle : $tr R = \frac{4 + 4 + 1}{9} = 1 = 1 + 2 \cos θ$ , donc $\cos θ = 0$ . Signe de $\sin θ$ : avec $x = e_{1} \notin ℝ a$ , $[a, e_{1}, R e_{1}] = ∣ \begin{array}{ccc} \frac{2}{3} & 1 & \frac{4}{9} \\ \frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{9} \\ \frac{1}{3} & 0 & \frac{8}{9} \end{array} ∣ = - (\frac{2}{3} \cdot \frac{8}{9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{3}) = - \frac{5}{9} < 0.$ Donc $\sin θ < 0$ et $θ = - \frac{π}{2}$ : $r$ est la rotation d'axe orienté par $a$ et d'angle $- \frac{π}{2}$ (fiche §7).

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Application du cours4 points

3. Adjoint et base non orthonormée

On munit $ℝ^{2}$ de $φ (x, y) = 2 x_{1} y_{1} + x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1} + x_{2} y_{2}$ , c'est-à-dire $φ (x, y) =^{t} X G Y$ avec $G = (\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array})$ .

Montrer que $φ$ est un produit scalaire. La base canonique $ℬ$ est-elle orthonormée pour $φ$ ?
Soit $f \in ℒ (ℝ^{2})$ de matrice $A$ dans $ℬ$ . Montrer que l'adjoint $f^{*}$ de $f$ pour $φ$ a pour matrice $G^{- 1}^{t} A G$ dans $ℬ$ .
Calculer cette matrice pour $A = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array})$ et comparer avec $^{t} A$ .
Pour $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ , montrer que $f$ est symétrique pour $φ$ si et seulement si $a - 2 b + c - d = 0$ . Donner une matrice non symétrique d'un tel $f$ .
Dans $ℳ_{n} (ℝ)$ muni de $⟨ M, N ⟩ = tr (^{t} M N)$ , on fixe $C \in ℳ_{n} (ℝ)$ et $ϕ_{C} (M) = C M$ . Déterminer $ϕ_{C}^{*}$ . À quelle condition sur $C$ l'endomorphisme $ϕ_{C}$ est-il symétrique ? orthogonal ?

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1. $φ$ est bilinéaire (forme $^{t} X G Y$ ) et symétrique ( $G$ est symétrique). $φ (x, x) = 2 x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} = x_{1}^{2} + (x_{1} + x_{2})^{2} \geq 0$ , nul seulement si $x_{1} = 0$ et $x_{1} + x_{2} = 0$ , soit $x = 0$ : $φ$ est définie positive. (Autre argument : $G$ est symétrique, $tr G = 3 > 0$ , $\det G = 1 > 0$ , donc $G \in 𝒮_{2}^{+ +} (ℝ)$ , fiche §11.) La base canonique n'est pas orthonormée : $φ (e_{1}, e_{1}) = 2 \neq 1$ et $φ (e_{1}, e_{2}) = 1 \neq 0$ .

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Application du cours4 points

4. Une famille de matrices symétriques positives

Pour $a \in ℝ$ , on pose $S_{a} = (\begin{array}{ccc} a & 1 & 0 \\ 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & a \end{array})$ et $q_{a} (x, y, z) = a (x^{2} + y^{2} + z^{2}) + 2 x y + 2 y z$ .

Vérifier que $q_{a} (x, y, z) =^{t} X S_{a} X$ pour $X =^{t} (x, y, z)$ .
Déterminer les valeurs propres de $S_{a}$ et une base orthonormée de vecteurs propres (indépendante de $a$ ).
Déterminer les réels $a$ pour lesquels $S_{a}$ est positive, puis ceux pour lesquels elle est définie positive.
Pour $a = 2$ , déterminer $\min$ et $\max$ de $q_{2}$ sur la sphère unité et les points où ils sont atteints.
Pour $a = \sqrt{2}$ , déterminer l'ensemble des $X$ tels que $q_{\sqrt{2}} (X) = 0$ .

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1. $^{t} X S_{a} X = \sum_{i, j} s_{i j} x_{i} x_{j} = a (x^{2} + y^{2} + z^{2}) + 2 \cdot 1 \cdot x y + 2 \cdot 1 \cdot y z$ : les termes rectangles $2 x y$ et $2 y z$ correspondent aux coefficients $1$ placés symétriquement (fiche §12).

2. $S_{a} = a I_{3} + N$ avec $N = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array})$ ; les valeurs propres de $S_{a}$ sont les $a + μ$ , $μ \in Sp (N)$ , avec les mêmes vecteurs propres. On calcule $χ_{N} = ∣ \begin{array}{ccc} X & - 1 & 0 \\ - 1 & X & - 1 \\ 0 & - 1 & X \end{array} ∣ = X (X^{2} - 1) - X = X (X^{2} - 2)$ , d'où $Sp (N) = {0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}}$ et $Sp (S_{a}) = {a, a + \sqrt{2}, a - \sqrt{2}} .$ Vecteurs propres de $N$ : pour $0$ , $y = 0$ et $x + z = 0$ , soit $^{t} (1, 0, - 1)$ ; pour $\pm \sqrt{2}$ , $^{t} (1, \pm \sqrt{2}, 1)$ . Normalisés : $V_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}^{t} (1, 0, - 1), V_{2} = \frac{1}{2}^{t} (1, \sqrt{2}, 1), V_{3} = \frac{1}{2}^{t} (1, - \sqrt{2}, 1) .$ Ils sont deux à deux orthogonaux (valeurs propres distinctes d'une matrice symétrique), et forment une base orthonormée qui ne dépend pas de $a$ .

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Niveau devoir6 points

5. Composée de deux réflexions de l'espace

Pour $c \in ℝ^{3}$ non nul, on note $s_{c}$ la réflexion de plan $c^{⊥}$ .

Montrer que $s_{c} (x) = x - 2 \frac{⟨ c, x ⟩}{∥ c ∥^{2}} c$ et que sa matrice est $I_{3} - \frac{2}{^{t} c c} c^{t} c$ .
On prend $a = (1, 1, 0)$ et $b = (0, 1, 1)$ . Écrire les matrices de $s_{a}$ et $s_{b}$ , puis $M$ , matrice de $r = s_{a} \circ s_{b}$ .
Montrer que $r$ est une rotation ; déterminer son axe, orienté par $a \land b$ , et son angle.
Cas général. Soient $a, b$ unitaires non colinéaires, $φ \in] 0, π [$ tel que $\cos φ = ⟨ a, b ⟩$ , et $n = \frac{a \land b}{∥ a \land b ∥}$ . (a) Montrer que $s_{a} \circ s_{b}$ fixe tout vecteur de $ℝ n$ et en déduire que c'est une rotation d'axe $ℝ n$ . (b) On pose $c = n \land a$ . Montrer que $(a, c, n)$ est une base orthonormée directe et que $b = \cos φ a + \sin φ c$ . (c) En calculant dans le plan $n^{⊥}$ muni de la base $(a, c)$ , montrer que $s_{a} \circ s_{b}$ est la rotation d'axe orienté par $n$ et d'angle $- 2 φ$ . Retrouver le résultat de la question 3.

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1. Notons $p (x) = \frac{⟨ c, x ⟩}{∥ c ∥^{2}} c$ la projection orthogonale sur $ℝ c$ (Préhilbertiens § 9). La réflexion de plan $c^{⊥}$ fixe $c^{⊥}$ et change $c$ en $- c$ : $s_{c} = i d - 2 p$ , d'où la formule. Matriciellement $p$ a pour matrice $\frac{1}{^{t} c c} c^{t} c$ , d'où $s_{c} = I_{3} - \frac{2}{^{t} c c} c^{t} c$ .

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Niveau devoir6 points

6. Quotient de Rayleigh

Soit $S \in 𝒮_{n} (ℝ)$ , de valeurs propres $λ_{1} \leq λ_{2} \leq \dots \leq λ_{n}$ (comptées avec multiplicité), et $(V_{1}, \dots, V_{n})$ une base orthonormée de vecteurs propres, $S V_{i} = λ_{i} V_{i}$ . Pour $X \neq 0$ , on pose $R_{S} (X) = \frac{^{t} X S X}{^{t} X X}$ .

Pour $X = \sum y_{i} V_{i}$ , exprimer $^{t} X S X$ et $^{t} X X$ en fonction des $y_{i}$ . En déduire $λ_{1} \leq R_{S} (X) \leq λ_{n}$ pour tout $X \neq 0$ .
Montrer que $R_{S} (X) = λ_{n}$ si et seulement si $X \in E_{λ_{n}} (S) ∖ {0}$ . Conclure que $\max_{X \neq 0} R_{S} (X) = λ_{n}$ et $\min_{X \neq 0} R_{S} (X) = λ_{1}$ .
Montrer que chaque coefficient diagonal $s_{i i}$ de $S$ appartient à $[λ_{1}, λ_{n}]$ .
Soient $A, B \in 𝒮_{n} (ℝ)$ . Montrer que $λ_{\max} (A + B) \leq λ_{\max} (A) + λ_{\max} (B)$ , en notant $λ_{\max}$ la plus grande valeur propre.
Application. Soit $q (x, y, z) = 4 x^{2} + 7 y^{2} + 7 z^{2} + 4 x y + 4 x z + 8 y z$ . Écrire la matrice symétrique $S$ associée, vérifier que $S = 3 I_{3} + b^{t} b$ avec $b =^{t} (1, 2, 2)$ , et en déduire le minimum et le maximum de $q$ sur la sphère unité ainsi que les points où ils sont atteints.

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1. Base orthonormée : $^{t} X X = \sum y_{i}^{2}$ et $S X = \sum λ_{i} y_{i} V_{i}$ , donc $^{t} X S X = ⟨ X, S X ⟩ = \sum λ_{i} y_{i}^{2}$ . Comme $λ_{1} \leq λ_{i} \leq λ_{n}$ et $y_{i}^{2} \geq 0$ : $λ_{1} \sum y_{i}^{2} \leq \sum λ_{i} y_{i}^{2} \leq λ_{n} \sum y_{i}^{2}$ ; on divise par $\sum y_{i}^{2} > 0$ .

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Niveau devoir7 points

7. Matrices $^{t} A A$ , racine carrée et décomposition polaire

Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ . Montrer que $^{t} A A \in 𝒮_{n}^{+} (ℝ)$ , que $Ker (^{t} A A) = Ker A$ et que $rg (^{t} A A) = rg A$ . En déduire que $^{t} A A \in 𝒮_{n}^{+ +} (ℝ)$ si et seulement si $A$ est inversible.
Soit $S \in 𝒮_{n}^{+} (ℝ)$ . Construire $R \in 𝒮_{n}^{+} (ℝ)$ telle que $R^{2} = S$ .
Soit $R^{'} \in 𝒮_{n}^{+} (ℝ)$ telle que $R^{' 2} = S$ . Montrer que $R^{'}$ laisse stable chaque sous-espace propre $E_{λ} (S)$ , puis que $R^{'}$ induit sur $E_{λ} (S)$ l'homothétie de rapport $\sqrt{λ}$ . Conclure à l'unicité de $R$ .
Calculer la racine carrée positive de $S = (\begin{array}{cc} 10 & - 6 \\ - 6 & 10 \end{array})$ .
Soit $A = (\begin{array}{cc} 1 & - 3 \\ 3 & - 1 \end{array})$ . Calculer $^{t} A A$ et en déduire $O \in O_{2} (ℝ)$ et $T \in 𝒮_{2}^{+ +} (ℝ)$ telles que $A = O T$ . Reconnaître $O$ .

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1. $^{t} (^{t} A A) =^{t} A^{t t} A =^{t} A A$ : symétrique. Pour $X$ : $^{t} X (^{t} A A) X =^{t} (A X) (A X) = ∥ A X ∥^{2} \geq 0$ : positive. Si $^{t} A A X = 0$ , alors $∥ A X ∥^{2} =^{t} X^{t} A A X = 0$ , donc $A X = 0$ ; l'inclusion inverse est évidente : $Ker (^{t} A A) = Ker A$ , et le théorème du rang donne $rg (^{t} A A) = rg A$ . Enfin $^{t} A A \in 𝒮_{n}^{+ +} ⟺^{t} A A \in G L_{n}$ (fiche §11, $𝒮^{+ +} = 𝒮^{+} \cap G L_{n}$ ) $⟺ Ker A = {0} ⟺ A$ inversible.

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Niveau devoir8 points

8. Lire une rotation sur sa partie antisymétrique

$E = ℝ^{3}$ euclidien orienté. Pour $w \in E$ , on note $K_{w}$ l'endomorphisme $x \mapsto w \land x$ .

Q.1 Montrer que $K_{w}$ est antisymétrique ( $K_{w}^{*} = - K_{w}$ ) et donner sa matrice dans la base canonique pour $w = (w_{1}, w_{2}, w_{3})$ .

Q.2 Montrer que tout endomorphisme antisymétrique de $E$ est égal à $K_{w}$ pour un unique $w \in E$ .

Q.3 Montrer que $K_{w}^{2} (x) = ⟨ w, x ⟩ w - ∥ w ∥^{2} x$ . Pour $w \neq 0$ , déterminer $Ker K_{w}$ et le spectre réel de $K_{w}$ .

Q.4 Soient $a$ unitaire et $θ \in ℝ$ . Montrer que $r = {i d}_{E} + \sin θ K_{a} + (1 - \cos θ) K_{a}^{2}$ est la rotation d'axe orienté par $a$ et d'angle $θ$ .

Q.5 En déduire que, pour toute rotation $r$ d'axe orienté par $a$ et d'angle $θ$ , $\frac{1}{2} (r - r^{*}) = K_{\sin θ a}$ et $tr r = 1 + 2 \cos θ$ .

Q.6 Application : on donne $M = \frac{1}{9} (\begin{array}{ccc} 8 & 1 & 4 \\ 4 & - 4 & - 7 \\ 1 & 8 & - 4 \end{array})$ . Vérifier que $M \in S O_{3} (ℝ)$ , puis, à l'aide de Q.5 seulement (sans résoudre $M X = X$ ), déterminer l'axe et l'angle de la rotation associée.

Q.7 Que donne la méthode de Q.6 lorsque $r$ est symétrique ? Comment trouver alors l'axe ?

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Q.1 $K_{w}$ est linéaire (bilinéarité de $\land$ ) et $⟨ K_{w} (x), x ⟩ = [w, x, x] = 0$ pour tout $x$ (déterminant à deux colonnes égales) : $K_{w}$ est antisymétrique (fiche §1). Avec la formule des coordonnées (fiche §5) : $Mat (K_{w}) = (\begin{array}{ccc} 0 & - w_{3} & w_{2} \\ w_{3} & 0 & - w_{1} \\ - w_{2} & w_{1} & 0 \end{array}) .$

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Synthèse, niveau concours10 points

9. Problème : minimiser une fonction quadratique

Dans tout le problème, $S \in 𝒮_{n}^{+ +} (ℝ)$ , $B \in ℳ_{n, 1} (ℝ)$ et, pour $X \in ℳ_{n, 1} (ℝ)$ , $f (X) = \frac{1}{2}^{t} X S X -^{t} B X$ .

Partie I — Minimum global

Q.1 Montrer que $(X, Y) \mapsto ⟨ X, Y ⟩_{S} =^{t} X S Y$ est un produit scalaire sur $ℳ_{n, 1} (ℝ)$ . On note $∥ \cdot ∥_{S}$ la norme associée.

Q.2 On pose $X^{*} = S^{- 1} B$ . Justifier l'existence de $X^{*}$ et établir, pour tout $X$ , l'identité $f (X) = \frac{1}{2} ∥ X - X^{*} ∥_{S}^{2} - \frac{1}{2}^{t} B S^{- 1} B$ .

Q.3 En déduire que $f$ admet un minimum global sur $ℳ_{n, 1} (ℝ)$ , atteint en un unique point que l'on précisera, et donner sa valeur.

Partie II — Minimum sur un sous-espace

On fixe un sous-espace $F$ de $ℳ_{n, 1} (ℝ)$ et l'on note $π_{F}$ la projection orthogonale sur $F$ pour le produit scalaire $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{S}$ .

Q.4 Montrer que la restriction de $f$ à $F$ admet un minimum, atteint uniquement en $X_{F} = π_{F} (X^{*})$ .

Q.5 Montrer que $X_{F}$ est l'unique vecteur de $F$ tel que $S X_{F} - B$ soit orthogonal à $F$ pour le produit scalaire canonique.

Q.6 On suppose $F = {X,^{t} C X = 0}$ avec $C \neq 0$ . Montrer que $X_{F} = X^{*} - \frac{^{t} C X^{*}}{^{t} C S^{- 1} C} S^{- 1} C$ et que $\min_{F} f - \min f = \frac{(^{t} C X^{*})^{2}}{2^{t} C S^{- 1} C}$ .

Partie III — Exemple

On prend $n = 3$ , $S = (\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array})$ , $B =^{t} (0, 1, 3)$ et $C =^{t} (1, 1, 1)$ .

Q.7 Vérifier que $S =^{t} T T$ avec $T = (\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$ , et en déduire que $S \in 𝒮_{3}^{+ +} (ℝ)$ . Calculer $S^{- 1}$ .

Q.8 Déterminer $X^{*}$ et $\min f$ .

Q.9 Déterminer le minimum de $f$ sur le plan $x + y + z = 0$ et le point où il est atteint.

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Q.1 Bilinéaire ; symétrique car $^{t} X S Y$ est un réel égal à sa transposée $^{t} Y^{t} S X =^{t} Y S X$ ; défini positif car $^{t} X S X > 0$ pour $X \neq 0$ ( $S \in 𝒮_{n}^{+ +}$ ). C'est un produit scalaire.

Q.2 $S$ est définie positive, donc inversible (fiche §11 : $0 \notin Sp (S)$ ). Avec $B = S X^{*}$ : $\frac{1}{2} ∥ X - X^{*} ∥_{S}^{2} = \frac{1}{2}^{t} X S X -^{t} X^{*} S X + \frac{1}{2}^{t} X^{*} S X^{*}$ (on a utilisé $^{t} X S X^{*} =^{t} X^{*} S X$ ). Or $^{t} X^{*} S X =^{t} (S X^{*}) X =^{t} B X$ et $^{t} X^{*} S X^{*} =^{t} B X^{*} =^{t} B S^{- 1} B$ . D'où $\frac{1}{2} ∥ X - X^{*} ∥_{S}^{2} = f (X) + \frac{1}{2}^{t} B S^{- 1} B$ , ce qui est l'identité demandée.

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Synthèse, niveau concours10 points

10. Problème : réduction simultanée et quotient généralisé

Dans tout le problème, $A \in 𝒮_{n}^{+ +} (ℝ)$ et $B \in 𝒮_{n} (ℝ)$ . On munit $ℳ_{n, 1} (ℝ)$ du produit scalaire $⟨ X, Y ⟩_{A} =^{t} X A Y$ (exercice 9, Q.1).

Partie I — Réduction simultanée

Q.1 Soit $u$ l'endomorphisme $X \mapsto A^{- 1} B X$ . Montrer que $u$ est autoadjoint pour $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{A}$ .

Q.2 En déduire qu'il existe une base $(P_{1}, \dots, P_{n})$ de $ℳ_{n, 1} (ℝ)$ , orthonormée pour $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{A}$ , et des réels $d_{1}, \dots, d_{n}$ , tels que $B P_{i} = d_{i} A P_{i}$ pour tout $i$ .

Q.3 Soit $P$ la matrice de colonnes $P_{1}, \dots, P_{n}$ . Montrer que $P \in G L_{n} (ℝ)$ , $^{t} P A P = I_{n}$ et $^{t} P B P = diag (d_{1}, \dots, d_{n}) = D$ .

Q.4 Montrer que les $d_{i}$ sont exactement les racines du polynôme $\det (B - x A)$ , comptées avec multiplicité.

Partie II — Quotient de Rayleigh généralisé

Q.5 Pour $X \neq 0$ , on pose $ρ (X) = \frac{^{t} X B X}{^{t} X A X}$ . Montrer que $\min_{X \neq 0} ρ (X) = \min_{i} d_{i}$ et $\max_{X \neq 0} ρ (X) = \max_{i} d_{i}$ .

Q.6 Montrer que $B \in 𝒮_{n}^{+ +} (ℝ)$ si et seulement si tous les $d_{i}$ sont $> 0$ .

Partie III — Produit de deux matrices symétriques

Q.7 Montrer que $A^{- 1} B = P D P^{- 1}$ . En déduire que $A^{- 1} B$ est diagonalisable dans $ℳ_{n} (ℝ)$ , de valeurs propres $d_{1}, \dots, d_{n}$ .

Q.8 Soient $S \in 𝒮_{n}^{+ +} (ℝ)$ et $T \in 𝒮_{n} (ℝ)$ . Montrer que $S T$ est diagonalisable dans $ℳ_{n} (ℝ)$ , à valeurs propres réelles, et que ces valeurs propres sont $> 0$ si de plus $T \in 𝒮_{n}^{+ +} (ℝ)$ . Montrer par des exemples en taille $2$ que l'hypothèse « $S$ définie positive » ne peut pas être remplacée par « $S$ symétrique ».

Partie IV — Exemple

On prend $A = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array})$ et $B = (\begin{array}{cc} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{array})$ .

Q.9 Vérifier que $A \in 𝒮_{2}^{+ +} (ℝ)$ , calculer $\det (B - x A)$ et en déduire $D$ .

Q.10 Déterminer $P$ comme en Q.3, puis le minimum et le maximum de $ρ$ et des vecteurs où ils sont atteints. Vérifier enfin la relation de Q.7.

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Q.1 $⟨ u (X), Y ⟩_{A} =^{t} (A^{- 1} B X) A Y =^{t} X B^{t} A^{- 1} A Y =^{t} X B Y$ (car $A$ et $B$ sont symétriques, $^{t} (A^{- 1}) = A^{- 1}$ ). De même $⟨ X, u (Y) ⟩_{A} =^{t} X A A^{- 1} B Y =^{t} X B Y$ . Les deux sont égaux : $u$ est autoadjoint pour $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{A}$ .

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1. Diagonaliser une matrice symétrique en base orthonormée

1. Diagonaliser une matrice symétrique en base orthonormée

2. Reconnaître une rotation et une réflexion

3. Adjoint et base non orthonormée

4. Une famille de matrices symétriques positives

5. Composée de deux réflexions de l'espace

6. Quotient de Rayleigh

7. Matrices tAA, racine carrée et décomposition polaire

8. Lire une rotation sur sa partie antisymétrique

9. Problème : minimiser une fonction quadratique

10. Problème : réduction simultanée et quotient généralisé

7. Matrices $^{t} A A$ , racine carrée et décomposition polaire