Définition. Une norme sur $E$ est une application $N:E\to {ℝ}_{+}$ qui vérifie, pour tous $x,y\in E$ et $\lambda \in 𝕂$ :

1. séparation : $N(x)=0\Rightarrow x=0$ ;
2. homogénéité : $N(\lambda x)=\mid \lambda \mid N(x)$ ;
3. inégalité triangulaire : $N(x+y)\le N(x)+N(y)$.

On note souvent $\parallel x\parallel$ ; le couple $(E,\parallel \cdot \parallel )$ est un espace vectoriel normé. L'homogénéité donne $N(0)=0$ et $N(-x)=N(x)$ ; avec l'inégalité triangulaire on obtient la seconde inégalité triangulaire $$\mid \parallel x\parallel -\parallel y\parallel \mid \le \parallel x-y\parallel \mathrm{.}$$

Distance associée : $d(x,y)=\parallel x-y\parallel$. Elle est symétrique, nulle seulement si $x=y$, et vérifie $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$. Pour une partie $A$ non vide, la distance de $x$ à $A$ est $d(x,A)=\underset{a\in A}{\inf }\parallel x-a\parallel$ (borne inférieure d'une partie non vide de ${ℝ}_{+}$, donc bien définie ; elle n'est pas forcément atteinte).

Boules et sphères de centre $a$ et de rayon $r>0$ : $$B(a,r)=\{x:\parallel x-a\parallel <r\},B_f(a,r)=\{x:\parallel x-a\parallel \le r\},S(a,r)=\{x:\parallel x-a\parallel =r\}\mathrm{.}$$ La boule $B_f(0,1)$ est la boule unité fermée. Toute boule est convexe : si $x,y\in B_f(a,r)$ et $t\in [0,1]$, $\parallel tx+(1-t)y-a\parallel \le t\parallel x-a\parallel +(1-t)\parallel y-a\parallel \le r$.

Partie bornée : $A$ est bornée s'il existe $M\ge 0$ tel que $\parallel x\parallel \le M$ pour tout $x\in A$ (c'est-à-dire $A\subset B_f(0,M)$). Une application $f$ à valeurs dans $E$ est bornée si son image l'est.

Montrer qu'une application est une norme. Positivité, séparation (souvent le seul point délicat : un polynôme qui s'annule sur un intervalle est nul, une fonction continue positive d'intégrale nulle est nulle), homogénéité, puis inégalité triangulaire (par l'inégalité triangulaire dans $𝕂$, ou par Minkowski si la norme vient d'un produit scalaire).

Sur ${𝕂}^n$, pour $x=(x_1,\dots ,x_n)$ : $$\parallel x{\parallel }_1=\sum _{i=1}^n\mid x_i\mid ,\parallel x{\parallel }_2=(\sum _{i=1}^n\mid x_i{\mid }^2{)}^{1\mathrm{/}2},\parallel x{\parallel }_{\mathrm{\infty }}=\underset{1\le i\le n}{\max }\mid x_i\mid \mathrm{.}$$ $\parallel \cdot {\parallel }_2$ est la norme euclidienne (norme associée au produit scalaire canonique si $𝕂=ℝ$). Dans ${ℝ}^2$, les boules unités sont un losange ($\parallel \cdot {\parallel }_1$), un disque ($\parallel \cdot {\parallel }_2$), un carré ($\parallel \cdot {\parallel }_{\mathrm{\infty }}$). Plus généralement, si $ℬ=(e_1,\dots ,e_n)$ est une base de $E$, ces trois formules appliquées aux coordonnées définissent des normes sur $E$.

Sur $𝒞([a,b],𝕂)$ ($a<b$) : $$\parallel f{\parallel }_1={\int }_a^b\mid f\mid ,\parallel f{\parallel }_2=({\int }_a^b\mid f{\mid }^2{)}^{1\mathrm{/}2},\parallel f{\parallel }_{\mathrm{\infty }}=\underset{[a,b]}{\sup }\mid f\mid \mathrm{.}$$ La continuité est indispensable pour la séparation de $\parallel \cdot {\parallel }_1$ et $\parallel \cdot {\parallel }_2$ (une fonction continue positive d'intégrale nulle est nulle). Sur l'espace $ℬ(X,𝕂)$ des fonctions bornées sur un ensemble $X$, $\parallel f{\parallel }_{\mathrm{\infty }}={\sup }_X\mid f\mid$ est une norme : la norme de la convergence uniforme, reprise au chapitre « Suites et séries de fonctions ».

Sur ${ℳ}_n(𝕂)$ : les normes de ${𝕂}^{n^2}$ appliquées aux coefficients, par exemple $\parallel A{\parallel }_{\mathrm{\infty }}={\max }_{i,j}\mid a_{ij}\mid$, et, pour $𝕂=ℝ$, $\parallel A{\parallel }_2=\sqrt{\mathrm{tr}({}^{t}AA)}$ (norme associée au produit scalaire $⟨A,B⟩=\mathrm{tr}({}^{t}AB)$). On rencontre aussi les normes subordonnées (§ 9), qui vérifient $\parallel AB\parallel \le \parallel A\parallel \parallel B\parallel$.

Sur $𝕂[X]$ : pour $P=\sum a_k{X}^k$, ${\max }_k\mid a_k\mid$, ${\sum }_k\mid a_k\mid$, ou ${\sup }_{t\in [0,1]}\mid P(t)\mid$ (norme, car un polynôme qui s'annule sur $[0,1]$ a une infinité de racines). $𝕂[X]$ est de dimension infinie : ces normes ne sont pas équivalentes (§ 3).

Sur les suites : $\parallel u{\parallel }_{\mathrm{\infty }}={\sup }_n\mid u_n\mid$ sur l'espace ${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\infty }}$ des suites bornées ; $\parallel u{\parallel }_1={\sum }_{n\ge 0}\mid u_n\mid$ sur l'espace ${\mathrm{\ell }}^1$ des suites dont la série $\sum \mid u_n\mid$ converge.

Produit d'espaces normés. Si $(E_1,N_1),\dots ,(E_p,N_p)$ sont normés, $N(x_1,\dots ,x_p)={\max }_i{N}_i(x_i)$ est une norme sur $E_1\times \cdots \times E_p$ (norme produit).

Définition. Deux normes $N$ et $N^{\mathrm{\prime }}$ sur $E$ sont équivalentes s'il existe $\alpha >0$ et $\beta >0$ tels que $$\mathrm{\forall }x\in E,\alpha N(x)\le N^{\mathrm{\prime }}(x)\le \beta N(x)\mathrm{.}$$ C'est une relation d'équivalence entre normes. Deux normes équivalentes ont les mêmes parties bornées, les mêmes suites convergentes (avec la même limite), les mêmes ouverts, fermés, compacts, et les mêmes applications continues : on dit que la topologie ne dépend que de la classe de la norme.

Sur ${𝕂}^n$ : pour tout $x$, $$\parallel x{\parallel }_{\mathrm{\infty }}\le \parallel x{\parallel }_2\le \parallel x{\parallel }_1\le n\parallel x{\parallel }_{\mathrm{\infty }},\parallel x{\parallel }_2\le \sqrt{n}\parallel x{\parallel }_{\mathrm{\infty }},\parallel x{\parallel }_1\le \sqrt{n}\parallel x{\parallel }_2\mathrm{.}$$ La dernière est Cauchy-Schwarz avec le vecteur $(1,\dots ,1)$. Toutes ces constantes sont optimales (cas d'égalité : $x=(1,0,\dots ,0)$ ou $x=(1,\dots ,1)$). En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes (§ 11).

Sur $𝒞([0,1],ℝ)$ : $\parallel f{\parallel }_1\le \parallel f{\parallel }_2\le \parallel f{\parallel }_{\mathrm{\infty }}$ (Cauchy-Schwarz pour la première), mais aucune inégalité inverse : avec $f_n(t)=t^n$, $\parallel f_n{\parallel }_{\mathrm{\infty }}=1$ et $\parallel f_n{\parallel }_1=\frac{1}{n+1}\to 0$. Les normes $\parallel \cdot {\parallel }_1$ et $\parallel \cdot {\parallel }_{\mathrm{\infty }}$ ne sont pas équivalentes.

Méthode.

• Pour prouver $N^{\mathrm{\prime }}\le \beta N$ : majorer directement, ou (en dimension finie) invoquer l'équivalence des normes.
• Pour prouver que $N$ et $N^{\mathrm{\prime }}$ ne sont pas équivalentes : exhiber une suite $(x_n)$ de vecteurs non nuls telle que ${\displaystyle \frac{N^{\mathrm{\prime }}(x_n)}{N(x_n)}}\to +\mathrm{\infty }$ (ou $\to 0$). De façon équivalente : une suite qui tend vers $0$ pour une norme et pas pour l'autre.
• Constante optimale : c'est ${\sup }_{x\mathrm{\ne }0}\frac{N^{\mathrm{\prime }}(x)}{N(x)}$, que l'on calcule sur la sphère unité de $N$ (homogénéité).

Une suite $(u_n)$ de $E$ converge vers $\mathrm{\ell }\in E$ si $\parallel u_n-\mathrm{\ell }\parallel \to 0$, c'est-à-dire $$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }n\ge N,\parallel u_n-\mathrm{\ell }\parallel \le \epsilon \mathrm{.}$$ On se ramène ainsi à une suite réelle positive, et les outils de Suites numériques (gendarmes, majoration de l'écart) s'appliquent à $\parallel u_n-\mathrm{\ell }\parallel$.

• La limite est unique ; une suite convergente est bornée ; si $u_n\to \mathrm{\ell }$ alors $\parallel u_n\parallel \to \parallel \mathrm{\ell }\parallel$.
• Opérations : si $u_n\to \mathrm{\ell }$, $v_n\to {\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$ et ${\lambda }_n\to \lambda$ dans $𝕂$, alors $u_n+v_n\to \mathrm{\ell }+{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$ et ${\lambda }_n{u}_n\to \lambda \mathrm{\ell }$.
• Suites extraites : si $u_n\to \mathrm{\ell }$, toute suite extraite $(u_{\phi (n)})$ tend vers $\mathrm{\ell }$.
• Valeur d'adhérence : $a$ est valeur d'adhérence de $(u_n)$ si une suite extraite converge vers $a$. Une suite convergente a une seule valeur d'adhérence, sa limite ; une suite qui a deux valeurs d'adhérence distinctes diverge.
• Dépendance en la norme : la convergence dépend de la norme choisie quand $E$ est de dimension infinie ($t\mapsto t^n$ tend vers $0$ pour $\parallel \cdot {\parallel }_1$, pas pour $\parallel \cdot {\parallel }_{\mathrm{\infty }}$). Elle n'en dépend pas pour des normes équivalentes.
• Dimension finie : si $ℬ=(e_1,\dots ,e_p)$ est une base de $E$ et $u_n={\sum }_i{u}_{n,i}{e}_i$, alors $(u_n)$ converge vers $\mathrm{\ell }={\sum }_i{\mathrm{\ell }}_i{e}_i$ si et seulement si chaque suite de coordonnées $(u_{n,i}{)}_n$ converge vers ${\mathrm{\ell }}_i$. En particulier une suite de matrices converge si et seulement si chaque coefficient converge.

Définitions. Une partie $U$ de $E$ est un ouvert si $$\mathrm{\forall }a\in U,\mathrm{\exists }r>0,B(a,r)\subset U\mathrm{.}$$ On dit alors que $U$ est un voisinage de chacun de ses points. Une partie $F$ est un fermé si son complémentaire $E\setminus F$ est un ouvert.

• $\mathrm{\varnothing }$ et $E$ sont à la fois ouverts et fermés. Une partie peut n'être ni ouverte ni fermée ($[0,1[$ dans $ℝ$) : « non ouverte » ne veut pas dire « fermée ».
• Une boule ouverte est un ouvert ; une boule fermée et une sphère sont des fermés ; un singleton est fermé.
• Stabilité : une réunion quelconque d'ouverts est un ouvert ; une intersection finie d'ouverts est un ouvert. Par passage au complémentaire : une intersection quelconque de fermés est fermée, une réunion finie de fermés est fermée. L'intersection des ouverts $]-\frac{1}{n},\frac{1}{n}[$ vaut $\{0\}$, qui n'est pas ouvert.
• Un produit d'ouverts (resp. de fermés) est un ouvert (resp. un fermé) pour la norme produit.

Caractérisation séquentielle des fermés. Hypothèses : $F\subset E$. Conclusion : $F$ est fermé si et seulement si pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $F$ qui converge dans $E$, la limite appartient à $F$.

C'est l'outil le plus utilisé en devoir : « soit $(x_n)\in F^{\mathbb{N}}$ convergeant vers $x$ ; montrons que $x\in F$ ».

Image réciproque (énoncé utilisé sans cesse, prouvé au § 7) : si $f:E\to F$ est continue sur $E$ tout entier, l'image réciproque d'un ouvert est un ouvert et celle d'un fermé est un fermé. Ainsi $\{x:f(x)<c\}$ est ouvert, $\{x:f(x)\le c\}$ et $\{x:f(x)=c\}$ sont fermés, pour $f:E\to ℝ$ continue.

Soit $A\subset E$.

• $a$ est intérieur à $A$ s'il existe $r>0$ tel que $B(a,r)\subset A$. L'intérieur $\mathring{A}$ est l'ensemble de ces points ; c'est le plus grand ouvert contenu dans $A$, et $A$ est ouvert $⟺\mathring{A}=A$.
• $a$ est adhérent à $A$ si toute boule $B(a,r)$ rencontre $A$. L'adhérence $\bar{A}$ est le plus petit fermé contenant $A$, et $A$ est fermé $⟺\bar{A}=A$.
• Caractérisation séquentielle : $a\in \bar{A}$ si et seulement si $a$ est limite d'une suite d'éléments de $A$.
• Avec la distance : pour $A$ non vide, $a\in \bar{A}⟺d(a,A)=0$.
• Frontière : $\mathrm{Fr}(A)=\bar{A}\setminus \mathring{A}$ ; c'est un fermé.
• Liens : $\mathring{A}\subset A\subset \bar{A}$ ; $E\setminus \bar{A}$ est l'intérieur de $E\setminus A$.
• Dans un espace normé ($E\mathrm{\ne }\{0\}$), l'adhérence de $B(a,r)$ est $B_f(a,r)$ et l'intérieur de $B_f(a,r)$ est $B(a,r)$.

Densité. $A$ est dense dans $E$ si $\bar{A}=E$, c'est-à-dire : tout point de $E$ est limite d'une suite d'éléments de $A$ ; ou encore : toute boule (tout ouvert non vide) rencontre $A$. Exemples : $\mathbb{Q}$ et $ℝ\setminus \mathbb{Q}$ dans $ℝ$ (Nombres réels § 10) ; ${\mathbb{Q}}^n$ dans ${ℝ}^n$ ; $G{L}_n(𝕂)$ dans ${ℳ}_n(𝕂)$ (§ 11).

Prolongement des identités. Deux applications continues qui coïncident sur une partie dense sont égales. C'est ainsi qu'on étend à ${ℳ}_n(𝕂)$ une identité prouvée sur $G{L}_n(𝕂)$.

Sous-espaces. L'adhérence d'un sous-espace vectoriel est un sous-espace vectoriel. Un sous-espace d'intérieur non vide est égal à $E$ tout entier.

Soit $f:A\to F$ avec $A\subset E$ ($E,F$ normés) et $a\in \bar{A}$.

• $f$ tend vers $\mathrm{\ell }\in F$ en $a$ si $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\eta >0,\mathrm{\forall }x\in A,\parallel x-a{\parallel }_E\le \eta \Rightarrow \parallel f(x)-\mathrm{\ell }{\parallel }_F\le \epsilon$.
• $f$ est continue en $a\in A$ si elle tend vers $f(a)$ en $a$ ; continue sur $A$ si elle l'est en tout point de $A$.

Caractérisation séquentielle. $f$ tend vers $\mathrm{\ell }$ en $a$ si et seulement si, pour toute suite $(x_n)$ de $A$ qui tend vers $a$, $f(x_n)\to \mathrm{\ell }$. Pour prouver une discontinuité, il suffit donc d'une suite $x_n\to a$ avec $f(x_n)\to ̸f(a)$ (ou deux suites donnant deux limites différentes).

Opérations. Sommes, produits par une fonction scalaire continue, composées de fonctions continues sont continues. Fonctions à valeurs dans un produit : $f=(f_1,\dots ,f_p)$ est continue si et seulement si chaque composante l'est. En dimension finie, on raisonne sur les coordonnées dans une base.

Exemples à citer correctement.

• Une norme est continue (elle est $1$-lipschitzienne, § 8).
• Sur ${𝕂}^n$ ou ${ℳ}_n(𝕂)$, toute fonction polynomiale en les coordonnées est continue : $\det$, $A\mapsto A^2$, $A\mapsto \mathrm{tr}(A)$, $(A,B)\mapsto AB$ (chaque coefficient de $AB$ est un polynôme en ceux de $A$ et $B$).
• $A\mapsto {\chi }_A(\lambda )=\det (\lambda I_n-A)$ est continue (polynôme en les coefficients).

Image réciproque. Si $f:E\to F$ est continue sur $E$, alors $f^{-1}(U)$ est ouvert pour tout ouvert $U$ de $F$, et $f^{-1}(G)$ est fermé pour tout fermé $G$. Exemples : $G{L}_n(𝕂)={\det }^{-1}({𝕂}^{\ast })$ est ouvert ; $\{A:{}^{t}AA=I_n\}$ est fermé ; $\{A:A^2=A\}$ est fermé. Attention : l'image directe d'un ouvert (ou d'un fermé) par une application continue n'est pas forcément ouverte (ou fermée) : $\mathrm{Arctan}(ℝ)=]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$ n'est pas fermé alors que $ℝ$ l'est.

$f:A\to F$ est $k$-lipschitzienne ($k\ge 0$) si $\parallel f(x)-f(y){\parallel }_F\le k\parallel x-y{\parallel }_E$ pour tous $x,y\in A$. $f$ est uniformément continue sur $A$ si $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\eta >0,\mathrm{\forall }x,y\in A,\parallel x-y\parallel \le \eta \Rightarrow \parallel f(x)-f(y)\parallel \le \epsilon$.

$$\text{lipschitzienne }⟹\text{uniform}\acute{\text{e}}\text{ment continue}⟹\text{ continue},$$ sans réciproque (mêmes contre-exemples qu'en 1re année, Limites et continuité § 10).

Exemples fondamentaux.

• $x\mapsto \parallel x\parallel$ est $1$-lipschitzienne (seconde inégalité triangulaire).
• Pour $A$ non vide, $x\mapsto d(x,A)$ est $1$-lipschitzienne : $\mid d(x,A)-d(y,A)\mid \le \parallel x-y\parallel$.
• Une application linéaire continue est lipschitzienne (§ 9).
• Contractante : $k$-lipschitzienne avec $k<1$. Si $f:A\to A$ est contractante, elle a au plus un point fixe.

Changer de norme : si $N\le \beta N^{\mathrm{\prime }}$ sur $E$ et $f$ est $k$-lipschitzienne pour $N$ au départ, elle l'est (avec $k\beta$) pour $N^{\mathrm{\prime }}$. Le caractère lipschitzien ne dépend pas du choix entre normes équivalentes ; la constante, si.

Théorème (continuité d'une application linéaire). Hypothèses : $u:E\to F$ linéaire, $E$ et $F$ normés. Conclusion : les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. $u$ est continue sur $E$ ;
2. $u$ est continue en $0$ ;
3. il existe $C\ge 0$ tel que $\mathrm{\forall }x\in E,\parallel u(x){\parallel }_F\le C\parallel x{\parallel }_E$ ;
4. $u$ est lipschitzienne ;
5. $u$ est bornée sur la boule unité fermée (ou sur la sphère unité).

Preuve de 2 ⇒ 3 (à savoir refaire) : avec $\epsilon =1$, il existe $\eta >0$ tel que $\parallel x\parallel \le \eta \Rightarrow \parallel u(x)\parallel \le 1$. Pour $x\mathrm{\ne }0$, le vecteur $y=\frac{\eta }{\parallel x\parallel }x$ est de norme $\eta$, donc $\parallel u(y)\parallel \le 1$, d'où $\parallel u(x)\parallel \le \frac{1}{\eta }\parallel x\parallel$ par linéarité. 3 ⇒ 4 : $\parallel u(x)-u(y)\parallel =\parallel u(x-y)\parallel \le C\parallel x-y\parallel$.

Montrer qu'une application linéaire n'est pas continue : trouver $(x_n)$ avec $x_n\mathrm{\ne }0$ et ${\displaystyle \frac{\parallel u(x_n)\parallel }{\parallel x_n\parallel }}\to +\mathrm{\infty }$. Exemple : sur $ℝ[X]$ muni de $N(P)={\sup }_{[0,1]}\mid P\mid$, la dérivation $D:P\mapsto P^{\mathrm{\prime }}$ n'est pas continue, car $N(X^n)=1$ et $N(D(X^n))=n$.

Norme subordonnée. On note ${ℒ}_c(E,F)$ l'espace des applications linéaires continues de $E$ dans $F$. Pour $u\in {ℒ}_c(E,F)$, $$\mid \mid \mid u\mid \mid \mid =\underset{x\mathrm{\ne }0}{\sup }\frac{\parallel u(x){\parallel }_F}{\parallel x{\parallel }_E}=\underset{\parallel x{\parallel }_E=1}{\sup }\parallel u(x){\parallel }_F=\underset{\parallel x{\parallel }_E\le 1}{\sup }\parallel u(x){\parallel }_F\mathrm{.}$$ C'est la plus petite constante $C$ du point 3 ; on écrit aussi $\parallel u\parallel$ quand il n'y a pas d'ambiguïté.

• C'est une norme sur ${ℒ}_c(E,F)$, et $\parallel u(x)\parallel \le \mid \mid \mid u\mid \mid \mid \parallel x\parallel$ pour tout $x$.
• Sous-multiplicativité : $\mid \mid \mid v\circ u\mid \mid \mid \le \mid \mid \mid v\mid \mid \mid \mid \mid \mid u\mid \mid \mid$, donc $\mid \mid \mid u^k\mid \mid \mid \le \mid \mid \mid u\mid \mid {\mid }^k$ ; $\mid \mid \mid {\mathrm{i}\mathrm{d}}_E\mid \mid \mid =1$.
• Calcul en deux temps : (i) majorer $\parallel u(x)\parallel \le C\parallel x\parallel$ pour tout $x$ ; (ii) montrer que $C$ est optimale, par un vecteur $x_0\mathrm{\ne }0$ réalisant l'égalité, ou par une suite $(x_n)$ avec $\frac{\parallel u(x_n)\parallel }{\parallel x_n\parallel }\to C$ (la borne supérieure n'est pas toujours atteinte en dimension infinie).

Normes subordonnées usuelles sur ${ℳ}_n(𝕂)$ (on identifie $A$ à $X\mapsto AX$ sur ${𝕂}^n$) :

Pour toute norme subordonnée à une norme de ${𝕂}^n$ et toute valeur propre $\lambda \in 𝕂$ de $A$ : $\mid \lambda \mid \le \mid \mid \mid A\mid \mid \mid$ (appliquer l'inégalité à un vecteur propre $X\in {𝕂}^n$ : $\mid \lambda \mid \parallel X\parallel =\parallel AX\parallel \le \mid \mid \mid A\mid \mid \mid \parallel X\parallel$).

Applications multilinéaires. En dimension finie, une application bilinéaire $B:E\times F\to G$ est continue et il existe $C$ tel que $\parallel B(x,y)\parallel \le C\parallel x\parallel \parallel y\parallel$ ; c'est le cas du produit matriciel, du produit scalaire, du déterminant (en les colonnes).

Définition (séquentielle). Une partie $K$ de $E$ est compacte si toute suite d'éléments de $K$ admet une suite extraite qui converge vers un élément de $K$ (propriété de Bolzano-Weierstrass).

Propriétés.

• Un compact est fermé et borné. La réciproque est fausse en dimension infinie : la boule unité fermée de $(𝒞([0,1],ℝ),\parallel \cdot {\parallel }_{\mathrm{\infty }})$ n'est pas compacte (exercice 10).
• Une partie fermée d'un compact est compacte.
• Un produit fini de compacts est compact (norme produit).
• Une suite d'un compact qui a une seule valeur d'adhérence converge.
• Un segment $[a,b]$ de $ℝ$ est compact (Bolzano-Weierstrass de 1re année).

Image continue d'un compact. Hypothèses : $K$ compact non vide de $E$, $f:K\to F$ continue. Conclusion : $f(K)$ est un compact de $F$.

Théorème des bornes atteintes. Hypothèses : $K$ compact non vide, $f:K\to ℝ$ continue. Conclusion : $f$ admet sur $K$ un minimum et un maximum, autrement dit il existe $a,b\in K$ avec $f(a)\le f(x)\le f(b)$ pour tout $x\in K$.

C'est la généralisation de Limites et continuité § 9. Usage type : justifier l'existence d'un minimum (distance, norme, énergie) sur un ensemble que l'on sait compact.

Théorème de Heine. Une application continue sur un compact y est uniformément continue.

Distance à un compact. Si $K$ est compact non vide, $d(x,K)$ est atteinte ($a\mapsto \parallel x-a\parallel$ est continue sur $K$). Si $K$ est compact, $F$ fermé et $K\cap F=\mathrm{\varnothing }$, alors $d(K,F)={\inf }_{x\in K}d(x,F)>0$. Avec deux fermés seulement, la distance peut être nulle (hyperbole $xy=1$ et axe $y=0$).

Théorème (équivalence des normes). Si $E$ est de dimension finie, toutes les normes sur $E$ sont équivalentes.

Idée de la preuve (selon les cours, admise ou démontrée). On fixe une base et la norme $N_{\mathrm{\infty }}$ des coordonnées. Pour une norme $N$, l'inégalité triangulaire donne $N(x)\le \beta N_{\mathrm{\infty }}(x)$ avec $\beta ={\sum }_{i}N(e_i)$ ; donc $N$ est continue pour $N_{\mathrm{\infty }}$. La sphère unité de $N_{\mathrm{\infty }}$ est compacte (Bolzano-Weierstrass coordonnée par coordonnée, extractions successives), $N$ y atteint un minimum $\alpha$, et $\alpha >0$ par séparation : d'où $\alpha N_{\mathrm{\infty }}\le N$.

Conséquences (à citer sans les redémontrer). Si $E$ est de dimension finie :

1. la convergence d'une suite, les ouverts, les fermés, les parties bornées, les compacts ne dépendent pas de la norme ;
2. une suite converge si et seulement si ses coordonnées dans une base convergent ;
3. Bolzano-Weierstrass : toute suite bornée admet une suite extraite convergente ;
4. les compacts sont exactement les fermés bornés (certains cours tunisiens appellent cet énoncé « théorème de Borel-Lebesgue ») ;
5. toute application linéaire de $E$ dans un espace normé $F$ est continue (et de même pour les applications multilinéaires) ;
6. tout sous-espace de dimension finie d'un espace normé quelconque est fermé ;
7. si $F$ est un fermé non vide de $E$, la distance $d(x,F)$ est atteinte (on travaille dans le compact $F\cap B_f(x,r)$ pour $r$ assez grand) ; le point le plus proche n'est pas unique en général (il l'est pour une norme euclidienne et un sous-espace : projection orthogonale).

Topologie de ${ℳ}_n(𝕂)$, classiques.

• $G{L}_n(𝕂)$ est ouvert ($\det$ continue) et dense : pour $A$ quelconque, $\det (A-\frac{1}{k}{I}_n)\mathrm{\ne }0$ sauf pour un nombre fini de $k$ ($t\mapsto \det (A-t{I}_n)$ est un polynôme non nul de degré $n$), et $A-\frac{1}{k}{I}_n\to A$.
• $O_n(ℝ)=\{A:{}^{t}AA=I_n\}$ est compact : fermé (image réciproque de $\{I_n\}$) et borné ($\parallel A{\parallel }_2=\sqrt{n}$).
• Application de la densité : ${\chi }_{AB}={\chi }_{BA}$ pour toutes $A,B\in {ℳ}_n(𝕂)$ (vrai si $A$ est inversible car $BA=A^{-1}(AB)A$, puis continuité des deux membres en $A$ et densité de $G{L}_n$).

Ce qui est faux en dimension infinie (à garder en tête pour les questions « vrai ou faux ») : deux normes peuvent ne pas être équivalentes ; une application linéaire peut ne pas être continue ; une partie fermée bornée peut ne pas être compacte ; un sous-espace peut ne pas être fermé (les fonctions polynomiales dans $(𝒞([0,1]),\parallel \cdot {\parallel }_{\mathrm{\infty }})$).

Définitions. Un chemin (ou arc) de $a$ à $b$ dans $A$ est une application continue $\gamma :[0,1]\to A$ telle que $\gamma (0)=a$ et $\gamma (1)=b$. La partie $A$ est connexe par arcs si deux points quelconques de $A$ sont reliés par un chemin dans $A$.

• Une partie convexe ($[a,b]\subset A$ pour tous $a,b\in A$) est connexe par arcs : $\gamma (t)=(1-t)a+tb$. Les boules, les sous-espaces vectoriels, $E$ lui-même sont convexes.
• Une partie étoilée par rapport à un point $c$ ($[c,x]\subset A$ pour tout $x\in A$) est connexe par arcs (passer par $c$).
• Dans $ℝ$, une partie est connexe par arcs si et seulement si c'est un intervalle.
• Image continue : si $A$ est connexe par arcs et $f$ continue sur $A$, $f(A)$ est connexe par arcs.
• Valeurs intermédiaires : si $A$ est connexe par arcs et $f:A\to ℝ$ continue, $f(A)$ est un intervalle ; si $f$ prend deux valeurs, elle prend toutes les valeurs intermédiaires.

Montrer qu'une partie n'est pas connexe par arcs : trouver $f:A\to ℝ$ continue qui prend des valeurs de signes opposés sans s'annuler. Exemple : $G{L}_n(ℝ)$ n'est pas connexe par arcs ($\det$ prend les valeurs $1$ et $-1$, jamais $0$).

Les examens récents de l'IPEIS demandent de prouver qu'une partie est connexe par arcs ; la connexité générale (sans arcs) n'est pas au programme observé.

Montrer qu'une partie est fermée

1. L'écrire comme $f^{-1}(G)$ avec $f$ continue sur tout l'espace et $G$ fermé ($\{0\}$, $[0,+\mathrm{\infty }[$, $\{c\}$) — en justifiant la continuité (polynôme en les coordonnées, linéaire en dimension finie, norme, distance à une partie, composée).
2. Caractérisation séquentielle : prendre $(x_n)$ dans la partie, convergeant vers $x$, et montrer que $x$ y est (passage à la limite dans une inégalité ou une égalité, grâce à une continuité).
3. Intersection quelconque ou réunion finie de fermés.

Montrer qu'une partie est ouverte

1. $f^{-1}(U)$ avec $f$ continue et $U$ ouvert ($]0,+\mathrm{\infty }[$, ${𝕂}^{\ast }$).
2. Son complémentaire est fermé.
3. Définition : pour $a$ dans la partie, exhiber un rayon $r$ explicite (souvent $r=d(a,\text{bord})$).

Montrer qu'une partie n'est pas fermée, pas ouverte, pas compacte

• Pas fermée : une suite de la partie qui converge vers un point extérieur.
• Pas ouverte : un point $a$ de la partie et une suite hors de la partie qui converge vers $a$.
• Pas compacte : elle n'est pas bornée (suite de normes tendant vers $+\mathrm{\infty }$), ou pas fermée, ou (dimension infinie) une suite sans suite extraite convergente, par exemple $\parallel x_p-x_q\parallel \ge c>0$ pour $p\mathrm{\ne }q$.

Montrer qu'une partie est compacte

En dimension finie : fermée et bornée. Sinon : image continue d'un compact, partie fermée d'un compact, ou définition séquentielle.

Calculer une norme subordonnée

Majorer $\parallel u(x)\parallel \le C\parallel x\parallel$, puis trouver un vecteur (ou une suite de vecteurs) qui réalise (ou approche) l'égalité. En dimension infinie, se demander si la borne supérieure est atteinte.

Justifier l'existence d'un minimum ou d'un maximum

Fonction continue sur un compact non vide ; si l'ensemble n'est pas borné, se ramener à un compact en montrant que la fonction est grande en dehors d'une boule.

Étendre une identité par densité

Prouver l'identité sur une partie dense (souvent $G{L}_n$), vérifier que les deux membres sont continus, conclure.

1. Oublier une propriété de la norme, le plus souvent la séparation (« $N(P)=0\Rightarrow P=0$ » demande un argument : racines, continuité, intégrale d'une fonction continue positive).
2. Écrire « $A$ n'est pas ouvert donc $A$ est fermé ».
3. Justifier une continuité par un argument faux : « $\det$ est linéaire » (il ne l'est pas) ; confondre « polynomiale en les coefficients » et « linéaire en dimension finie ». Les rapports du jury relèvent que des candidats choisissent au hasard entre ces deux arguments : chacun s'applique à une situation précise.
4. Utiliser l'image réciproque avec une fonction continue seulement sur une partie de l'espace sans le dire (on obtient alors un ouvert ou un fermé relatif).
5. Utiliser « fermé borné $\Rightarrow$ compact » ou « toutes les normes sont équivalentes » en dimension infinie ($𝕂[X]$, $𝒞([0,1])$, espaces de suites).
6. Appeler « norme subordonnée » une constante qui majore seulement, sans prouver qu'elle est optimale ; ou affirmer que la borne supérieure est atteinte en dimension infinie.
7. Dans une intersection d'ouverts, oublier qu'elle doit être finie ; ne pas voir qu'une partie définie par plusieurs inégalités strictes est une intersection finie d'ouverts.
8. Écritures dénuées de sens : diviser par un vecteur ou une matrice, écrire $\parallel f\parallel \mathrm{/}\parallel g\parallel =\parallel f\mathrm{/}g\parallel$, comparer deux vecteurs avec $\le$.
9. Oublier « non vide » dans le théorème des bornes atteintes, ou « continue » dans celui de l'image d'un compact.
10. Confondre convexe et connexe par arcs (une couronne est connexe par arcs sans être convexe).

• « Espace vectoriel normé », abrégé e.v.n dans les cours et les séries (jamais dans une copie de concours).
• Boules : $B(a,r)$ ou $B_o(a,r)$ pour la boule ouverte, $B_f(a,r)$ ou $\bar{B}(a,r)$ pour la boule fermée ; intérieur $\mathring{A}$ (parfois $A^{\circ }$), adhérence $\bar{A}$, frontière $\mathrm{Fr}(A)$.
• Normes : $N_1$, $N_2$, $N_{\mathrm{\infty }}$ ou $\parallel \cdot {\parallel }_1$, $\parallel \cdot {\parallel }_2$, $\parallel \cdot {\parallel }_{\mathrm{\infty }}$ ; norme subordonnée notée $\mid \mid \mid \cdot \mid \mid \mid$ ou simplement $\parallel \cdot \parallel$ ; la norme $\sqrt{\mathrm{tr}({}^{t}AA)}$ est parfois appelée « norme de Schur ». Transposée notée à gauche : ${}^{t}A$.
• « Norme d'algèbre » : norme sur ${ℳ}_n(𝕂)$ qui vérifie $\parallel AB\parallel \le \parallel A\parallel \parallel B\parallel$.
• Énoncés typiques : « Prouver que l'application $N$ est une norme de $E$ », « $N_1$ et $N_2$ définissent-elles des normes équivalentes ? », « Montrer que $F$ est une partie fermée de $(E,\parallel \cdot {\parallel }_{\mathrm{\infty }})$. Est-elle compacte ? », « Déterminer l'adhérence de $F$ », « Prouver que $F$ est connexe par arcs », « Montrer que $\phi$ est une forme linéaire continue et calculer sa norme ».
• Toujours préciser la norme : « $F$ est fermé dans $(E,N_{\mathrm{\infty }})$ ». En dimension infinie, la réponse dépend de ce choix.
• Calculatrice interdite : les constantes optimales s'écrivent sous forme exacte ($\sqrt{5}+\sqrt{2}$, $\frac{1}{\sqrt{3}}$), jamais en décimal.