Espaces vectoriels normés (Exercices) · Révisions prépa

Application du cours5 points

1. Une norme euclidienne sur $ℝ^{2}$ et ses constantes

Pour $(x, y) \in ℝ^{2}$ , on pose $q (x, y) = x^{2} + 2 x y + 3 y^{2}$ et $N (x, y) = \sqrt{q (x, y)}$ .

Vérifier que $q (x, y) = (x + y)^{2} + 2 y^{2}$ . En déduire que $N$ est une norme sur $ℝ^{2}$ .
Pour $t \in ℝ$ , montrer que $q (\cos t, \sin t) = 2 + \sin 2 t - \cos 2 t$ . En déduire les meilleures constantes $α, β > 0$ telles que $α ∥ u ∥_{2} \leq N (u) \leq β ∥ u ∥_{2}$ pour tout $u \in ℝ^{2}$ .
Montrer que pour tout $u \in ℝ^{2}$ , $\sqrt{\frac{2}{3}} ∥ u ∥_{\infty} \leq N (u) \leq \sqrt{6} ∥ u ∥_{\infty}$ , et que ces deux constantes sont optimales.
Déterminer le plus petit réel $R > 0$ tel que la boule unité fermée de $N$ soit contenue dans la boule fermée $B_{f, \infty} (0, R)$ de $∥ \cdot ∥_{\infty}$ .

Application du cours5 points

1. Une norme euclidienne sur $ℝ^{2}$ et ses constantes

Pour $(x, y) \in ℝ^{2}$ , on pose $q (x, y) = x^{2} + 2 x y + 3 y^{2}$ et $N (x, y) = \sqrt{q (x, y)}$ .

Vérifier que $q (x, y) = (x + y)^{2} + 2 y^{2}$ . En déduire que $N$ est une norme sur $ℝ^{2}$ .
Pour $t \in ℝ$ , montrer que $q (\cos t, \sin t) = 2 + \sin 2 t - \cos 2 t$ . En déduire les meilleures constantes $α, β > 0$ telles que $α ∥ u ∥_{2} \leq N (u) \leq β ∥ u ∥_{2}$ pour tout $u \in ℝ^{2}$ .
Montrer que pour tout $u \in ℝ^{2}$ , $\sqrt{\frac{2}{3}} ∥ u ∥_{\infty} \leq N (u) \leq \sqrt{6} ∥ u ∥_{\infty}$ , et que ces deux constantes sont optimales.
Déterminer le plus petit réel $R > 0$ tel que la boule unité fermée de $N$ soit contenue dans la boule fermée $B_{f, \infty} (0, R)$ de $∥ \cdot ∥_{\infty}$ .

Application du cours5 points

2. Trois normes sur $𝒞 ([0, 1], ℝ)$ et deux formes linéaires

On note $E = 𝒞 ([0, 1], ℝ)$ muni de $∥ \cdot ∥_{1}$ , $∥ \cdot ∥_{2}$ , $∥ \cdot ∥_{\infty}$ (fiche § 2).

Montrer que $∥ f ∥_{1} \leq ∥ f ∥_{2} \leq ∥ f ∥_{\infty}$ pour tout $f \in E$ .
Pour $n \in ℕ$ , soit $f_{n} (t) = t^{n}$ . Calculer $∥ f_{n} ∥_{1}$ , $∥ f_{n} ∥_{2}$ , $∥ f_{n} ∥_{\infty}$ . Deux de ces trois normes sont-elles équivalentes ?
Soit $φ : f \mapsto f (0)$ . Montrer que $φ$ est continue sur $(E, ∥ \cdot ∥_{\infty})$ et calculer sa norme. À l'aide de $g_{n} (t) = \max (0, 1 - n t)$ ( $n \geq 1$ ), montrer que $φ$ n'est continue ni pour $∥ \cdot ∥_{1}$ , ni pour $∥ \cdot ∥_{2}$ .
Soit $ψ : f \mapsto \int_{0}^{1} t f (t) d t$ . Montrer que $ψ$ est continue pour chacune des trois normes et calculer sa norme dans les trois cas. Préciser si la borne supérieure qui la définit est atteinte.

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1. Par Cauchy-Schwarz dans $E$ (Préhilbertiens § 3) appliquée à $∣ f ∣$ et à la fonction $1$ : $∥ f ∥_{1} = \int_{0}^{1} ∣ f ∣ \cdot 1 \leq {(\int_{0}^{1} f^{2})}^{1 / 2} {(\int_{0}^{1} 1)}^{1 / 2} = ∥ f ∥_{2}$ . Ensuite $f^{2} \leq ∥ f ∥_{\infty}^{2}$ sur $[0, 1]$ , donc $∥ f ∥_{2}^{2} \leq ∥ f ∥_{\infty}^{2}$ (croissance de l'intégrale sur un intervalle de longueur $1$ ).

Après avoir comparé avec le corrigé :

Application du cours6 points

3. Nature topologique de cinq parties du plan

On munit $ℝ^{2}$ d'une norme quelconque (toutes sont équivalentes). On considère $A = {(x, y) : e^{x} + y^{2} < 2}, B = {(x, y) : x^{4} + y^{4} \leq 1}, C = {(x, y) : x > 0, x y \geq 1},$ $D = ℚ \times ℝ, G = {(x, y) : 0 < x^{2} + y^{2} \leq 1} .$

Pour chacune de ces parties, dire si elle est ouverte, fermée, bornée, compacte, en justifiant.
Déterminer l'intérieur et l'adhérence de $C$ , $D$ et $G$ .
Lesquelles de ces parties sont connexes par arcs ?

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On utilise $∥ \cdot ∥_{\infty}$ pour les rayons et on note $u = (x, y)$ .

$A$ $= f^{- 1} (] - \infty, 2 [)$ avec $f (x, y) = e^{x} + y^{2}$ continue sur $ℝ^{2}$ (somme de fonctions continues de chaque coordonnée) : $A$ est ouvert. Il n'est pas fermé : $u_{n} = (\ln (2 - \frac{1}{n}), 0) \in A$ pour $n \geq 1$ et $u_{n} \to (\ln 2, 0) \notin A$ ( $e^{\ln 2} = 2$ ). Il n'est pas borné : $(- n, 0) \in A$ car $e^{- n} < 2$ . Donc pas compact.
$B$ $= g^{- 1} (] - \infty, 1])$ avec $g (x, y) = x^{4} + y^{4}$ polynomiale, donc continue : fermé. Si $u \in B$ , $x^{4} \leq 1$ et $y^{4} \leq 1$ , donc $∥ u ∥_{\infty} \leq 1$ : borné. Fermé borné en dimension finie : compact. Pas ouvert : $(1, 0) \in B$ mais $(1 + \frac{1}{n}, 0) \notin B$ tend vers $(1, 0)$ .
$C$ : soit $(u_{n}) = ((x_{n}, y_{n}))$ une suite de $C$ qui converge vers $(x, y)$ . En passant à la limite dans $x_{n} y_{n} \geq 1$ (produit continu) et dans $x_{n} > 0$ (inégalité large à la limite), on obtient $x y \geq 1$ et $x \geq 0$ ; $x y \geq 1$ interdit $x = 0$ , donc $x > 0$ et $(x, y) \in C$ : $C$ est fermé (caractérisation séquentielle). Pas ouvert : $(1, 1) \in C$ et $(1, 1 - \frac{1}{n}) \notin C$ . Pas borné : $(n, 1) \in C$ . Pas compact.
$D$ : pas ouvert, car $(0, 0) \in D$ et $(\frac{\sqrt{2}}{n}, 0) \notin D$ tend vers $(0, 0)$ ; pas fermé, car si $(r_{n})$ est une suite de rationnels de limite $\sqrt{2}$ (densité de $ℚ$ ), $(r_{n}, 0) \in D$ tend vers $(\sqrt{2}, 0) \notin D$ ; pas borné ( $(0, n) \in D$ ) ; pas compact.
$G$ : pas ouvert ( $(1, 0) \in G$ , $(1 + \frac{1}{n}, 0) \notin G$ ) ; pas fermé ( $(\frac{1}{n}, 0) \in G$ tend vers $(0, 0) \notin G$ ) ; borné (contenu dans le disque unité fermé) ; pas compact car pas fermé.

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Application du cours5 points

4. Normes subordonnées d'une matrice $2 \times 2$

Pour $p \in {1, 2, \infty}$ , on note $∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣_{p}$ la norme de $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ subordonnée à $∥ \cdot ∥_{p}$ sur $ℝ^{n}$ (fiche § 9).

Montrer que $∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣_{\infty} = \max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n} ∣ a_{i j} ∣$ .
Soit $A = (\begin{array}{cc} 1 & - 2 \\ 0 & 3 \end{array})$ . Calculer $∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣_{\infty}$ et, directement, $∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣_{1}$ .
Pour $t \in ℝ$ et $X_{t} = (\cos t, \sin t)$ , montrer que $∥ A X_{t} ∥_{2}^{2} = 7 - 6 \cos 2 t - 2 \sin 2 t$ . En déduire $∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣_{2}$ sous la forme $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ .
Déterminer les valeurs propres de $A$ et vérifier sur cet exemple que $∣ λ ∣ \leq ∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣_{p}$ pour toute valeur propre $λ$ et tout $p$ .
On note $∥ A ∥_{\max} = \max_{i, j} ∣ a_{i j} ∣$ . Montrer que $∥ \cdot ∥_{\max}$ est une norme sur $ℳ_{2} (ℝ)$ qui n'est subordonnée à aucune norme de $ℝ^{2}$ .

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1. Notons $L = \max_{i} \sum_{j} ∣ a_{i j} ∣$ . Pour $X \in ℝ^{n}$ et tout $i$ : $∣ (A X)_{i} ∣ = ∣ \sum_{j} a_{i j} x_{j} ∣ \leq \sum_{j} ∣ a_{i j} ∣ ∥ X ∥_{\infty} \leq L ∥ X ∥_{\infty}$ , donc $∥ A X ∥_{\infty} \leq L ∥ X ∥_{\infty}$ et $∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣_{\infty} \leq L$ . Si $A = 0$ , l'égalité est claire. Sinon, soit $i_{0}$ une ligne où le maximum est atteint et $X_{0}$ défini par $x_{j} = 1$ si $a_{i_{0} j} \geq 0$ , $x_{j} = - 1$ sinon. Alors $∥ X_{0} ∥_{\infty} = 1$ et $(A X_{0})_{i_{0}} = \sum_{j} ∣ a_{i_{0} j} ∣ = L$ , donc $∥ A X_{0} ∥_{\infty} \geq L$ . D'où $∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣_{\infty} = L$ .

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Niveau devoir7 points

5. L'opérateur de primitivation

Soit $E = 𝒞 ([0, 1], ℝ)$ . Pour $f \in E$ , on note $T (f)$ la fonction $x \mapsto \int_{0}^{x} f (t) d t$ .

Montrer que $T$ est un endomorphisme de $E$ .
On munit $E$ de $∥ \cdot ∥_{\infty}$ . Montrer que $T$ est continue et que $∣ ∣ ∣ T ∣ ∣ ∣_{\infty} = 1$ .
Montrer que pour tout $n \geq 1$ , tout $f \in E$ et tout $x \in [0, 1]$ : $T^{n} (f) (x) = \int_{0}^{x} \frac{(x - t)^{n - 1}}{(n - 1)!} f (t) d t .$ (On pourra développer $(x - t)^{n}$ par la formule du binôme pour dériver $x \mapsto \int_{0}^{x} \frac{(x - t)^{n}}{n!} f (t) d t$ .)
En déduire $∣ ∣ ∣ T^{n} ∣ ∣ ∣_{\infty}$ , et comparer avec $∣ ∣ ∣ T ∣ ∣ ∣_{\infty}^{n}$ .
Soit $λ \in ℝ$ et $f \in E$ tels que $T (f) = λ f$ . Montrer que $f = 0$ .
On munit maintenant $E$ de $∥ \cdot ∥_{1}$ . Montrer que $∥ T (f) ∥_{1} \leq \int_{0}^{1} (1 - t) ∣ f (t) ∣ d t$ , puis que $∣ ∣ ∣ T ∣ ∣ ∣_{1} = 1$ et que cette borne supérieure n'est pas atteinte.

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1. Pour $f$ continue, $T (f)$ est la primitive de $f$ nulle en $0$ : elle est de classe $C^{1}$ , donc continue, et $T (f) \in E$ . La linéarité de l'intégrale donne celle de $T$ .

2. Pour $x \in [0, 1]$ : $∣ T (f) (x) ∣ \leq \int_{0}^{x} ∣ f ∣ \leq x ∥ f ∥_{\infty} \leq ∥ f ∥_{\infty}$ . Donc $∥ T (f) ∥_{\infty} \leq ∥ f ∥_{\infty}$ : $T$ est continue (fiche § 9) et $∣ ∣ ∣ T ∣ ∣ ∣_{\infty} \leq 1$ . Pour $f = 1$ , $T (f) (x) = x$ et $∥ T (f) ∥_{\infty} = 1 = ∥ f ∥_{\infty}$ : $∣ ∣ ∣ T ∣ ∣ ∣_{\infty} = 1$ .

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Niveau devoir7 points

6. Quelques parties de $ℳ_{2} (ℝ)$

On munit $ℳ_{2} (ℝ)$ d'une norme quelconque (dimension finie).

Montrer que $G L_{2} (ℝ)$ est un ouvert dense de $ℳ_{2} (ℝ)$ .
Soit $𝒩 = {A \in ℳ_{2} (ℝ) : A^{2} = 0}$ . (a) Montrer que $𝒩$ est fermé, non borné, et qu'il n'est pas compact. (b) Montrer que l'intérieur de $𝒩$ est vide. (On pourra étudier $A + t I_{2}$ .) (c) Montrer que $𝒩$ est connexe par arcs.
Montrer que $G L_{2} (ℝ)$ n'est pas connexe par arcs.
Soit $𝒰 = {A \in ℳ_{2} (ℝ) : (tr A)^{2} - 4 \det A > 0}$ . Montrer que $𝒰$ est ouvert. Est-il dense ?
Montrer que pour toutes $A, B \in ℳ_{2} (ℝ)$ , les polynômes caractéristiques de $A B$ et $B A$ sont égaux.

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1. $\det : ℳ_{2} (ℝ) \to ℝ$ , $A \mapsto a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$ , est polynomiale en les coefficients, donc continue (ce n'est pas une application linéaire). $G L_{2} (ℝ) = \det^{- 1} (ℝ^{*})$ est l'image réciproque d'un ouvert : c'est un ouvert. Densité. Soit $A \in ℳ_{2} (ℝ)$ . La fonction $P (t) = \det (A - t I_{2}) = t^{2} - (tr A) t + \det A$ est un polynôme de degré $2$ ; il a au plus deux racines. Donc $A_{k} = A - \frac{1}{k} I_{2}$ est inversible pour tout $k$ assez grand, et $∥ A_{k} - A ∥ = \frac{1}{k} ∥ I_{2} ∥ \to 0$ . Tout $A$ est limite de matrices inversibles : $G L_{2} (ℝ)$ est dense.

2. (a) $𝒩 = f^{- 1} ({0})$ avec $f (A) = A^{2}$ , continue (coefficients polynomiaux), et ${0}$ fermé : $𝒩$ est fermé. Pour $k \in ℕ$ , $M_{k} = (\begin{array}{cc} 0 & k \\ 0 & 0 \end{array})$ vérifie $M_{k}^{2} = 0$ et $∥ M_{k} ∥ = k ∥ M_{1} ∥ \to + \infty$ : $𝒩$ n'est pas borné, donc pas compact. (b) Soit $A \in 𝒩$ et $t \neq 0$ . Si l'on avait $(A + t I_{2})^{2} = 0$ , alors $A^{2} + 2 t A + t^{2} I_{2} = 0$ , soit $2 t A = - t^{2} I_{2}$ , donc $A = - \frac{t}{2} I_{2}$ et $A^{2} = \frac{t^{2}}{4} I_{2} \neq 0$ : contradiction. Donc $A + \frac{1}{k} I_{2} \notin 𝒩$ pour tout $k \geq 1$ , et cette suite tend vers $A$ : aucune boule centrée en $A$ n'est incluse dans $𝒩$ . $\overset{˚}{𝒩} = \emptyset$ . (c) Si $A \in 𝒩$ et $s \in [0, 1]$ , $(s A)^{2} = s^{2} A^{2} = 0$ : $𝒩$ est étoilé par rapport à $0_{2}$ . Pour $A, B \in 𝒩$ , le chemin qui va de $A$ à $0_{2}$ par $s \mapsto (1 - s) A$ , puis de $0_{2}$ à $B$ par $s \mapsto s B$ , est continu et reste dans $𝒩$ : $𝒩$ est connexe par arcs.

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Niveau devoir6 points

7. Distance à une partie : existence, unicité, nullité

Soit $E$ un espace normé de dimension finie, $F$ un fermé non vide de $E$ et $a \in E$ . Montrer qu'il existe $b \in F$ tel que $∥ a - b ∥ = d (a, F)$ .
Dans $ℝ^{2}$ , soit la droite $L = {(x, y) : x + y = 2}$ . Calculer $d (0, L)$ pour chacune des normes $∥ \cdot ∥_{1}$ , $∥ \cdot ∥_{2}$ , $∥ \cdot ∥_{\infty}$ , et déterminer dans chaque cas l'ensemble des points de $L$ où elle est atteinte.
Soit $E$ un espace normé, $K$ un compact non vide et $F$ un fermé non vide de $E$ avec $K \cap F = \emptyset$ . Montrer que $d (K, F) = \inf {∥ x - y ∥ : x \in K, y \in F}$ est strictement positif.
Montrer par un exemple dans $ℝ^{2}$ que la conclusion de 3 est fausse si l'on suppose seulement $K$ fermé.

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1. Soit $b_{0} \in F$ et $r = ∥ a - b_{0} ∥$ . Posons $F^{'} = F \cap B_{f} (a, r)$ : il est non vide ( $b_{0} \in F^{'}$ ), fermé (intersection de deux fermés), borné, donc compact car $E$ est de dimension finie. La fonction $b \mapsto ∥ a - b ∥$ est continue ( $1$ -lipschitzienne) : elle atteint sur $F^{'}$ un minimum en un point $b$ . Pour $c \in F ∖ F^{'}$ , $∥ a - c ∥ > r \geq ∥ a - b ∥$ ; pour $c \in F^{'}$ , $∥ a - c ∥ \geq ∥ a - b ∥$ . Donc $∥ a - b ∥ = \inf_{c \in F} ∥ a - c ∥ = d (a, F)$ .

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Niveau devoir8 points

8. Applications strictement contractantes sur un compact

Soit $(E, ∥ \cdot ∥)$ un espace normé, $K$ un compact non vide de $E$ et $f : K \to K$ telle que $\begin{matrix} \forall x, y \in K, x \neq y ⟹ ∥ f (x) - f (y) ∥ < ∥ x - y ∥ . & (⋆) \end{matrix}$

Montrer que $f$ est continue, puis que $φ : x \mapsto ∥ f (x) - x ∥$ est continue sur $K$ .
Montrer que $f$ admet un unique point fixe $ℓ$ .
Montrer que $g : x \mapsto \sqrt{1 + x^{2}}$ vérifie $(⋆)$ sur $[0, + \infty [$ , envoie $[0, + \infty [$ dans lui-même et n'a pas de point fixe. Quelle hypothèse manque ?
Soit $u_{0} \in K$ et $u_{n + 1} = f (u_{n})$ . On pose $r_{n} = ∥ u_{n} - ℓ ∥$ . (a) Montrer que $(r_{n})$ converge vers un réel $r \geq 0$ . (b) Soit $(u_{σ (n)})$ une suite extraite convergeant vers $v \in K$ (pourquoi existe-t-elle ?). Montrer que $∥ v - ℓ ∥ = ∥ f (v) - ℓ ∥ = r$ . (c) En déduire que $(u_{n})$ converge vers $ℓ$ .
Montrer que $\sin$ vérifie $(⋆)$ sur $K = [0, 1]$ sans être $k$ -lipschitzienne sur $K$ pour aucun $k < 1$ . Que dire de la suite $u_{n + 1} = \sin u_{n}$ , $u_{0} \in [0, 1]$ ?

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1. Par $(⋆)$ , $∥ f (x) - f (y) ∥ \leq ∥ x - y ∥$ pour tous $x, y$ (égalité triviale si $x = y$ ) : $f$ est $1$ -lipschitzienne, donc continue. Alors $x \mapsto f (x) - x$ est continue (différence de fonctions continues) et $φ$ est continue comme composée avec la norme, elle-même continue.

2. Existence. $φ$ est continue sur le compact non vide $K$ : elle atteint son minimum en un point $a \in K$ (fiche § 10). Si $φ (a) > 0$ , alors $f (a) \neq a$ , et $(⋆)$ appliqué à $f (a)$ et $a$ donne $φ (f (a)) = ∥ f (f (a)) - f (a) ∥ < ∥ f (a) - a ∥ = φ (a)$ , avec $f (a) \in K$ : cela contredit la minimalité. Donc $φ (a) = 0$ , c'est-à-dire $f (a) = a$ . Unicité. Si $f (ℓ) = ℓ$ et $f (ℓ^{'}) = ℓ^{'}$ avec $ℓ \neq ℓ^{'}$ , $(⋆)$ donne $∥ ℓ - ℓ^{'} ∥ < ∥ ℓ - ℓ^{'} ∥$ : absurde.

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Synthèse, niveau concours12 points

9. Problème : normes matricielles, série géométrique et ouverture de $G L_{n}$

Dans tout le problème, $n \geq 1$ , $∥ \cdot ∥$ est une norme sur $𝕂^{n}$ et, pour $A \in ℳ_{n} (𝕂)$ , $∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣ = \sup_{X \neq 0} \frac{∥ A X ∥}{∥ X ∥}$ est la norme subordonnée. Barème : partie I (2 points), II (4 points), III (3 points), IV (3 points).

Partie I — Préliminaires

▶ Q.1 Montrer que $∣ ∣ ∣ I_{n} ∣ ∣ ∣ = 1$ et que $∣ ∣ ∣ A B ∣ ∣ ∣ \leq ∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ B ∣ ∣ ∣$ pour toutes $A, B \in ℳ_{n} (𝕂)$ .

▶ Q.2 Soit $λ \in 𝕂$ une valeur propre de $A$ . Montrer que $∣ λ ∣ \leq ∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣$ , puis que $∣ λ ∣ \leq ∣ ∣ ∣ A^{k} ∣ ∣ ∣^{1 / k}$ pour tout $k \geq 1$ .

Partie II — Le cas $∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣ < 1$

Dans cette partie, $∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣ < 1$ .

▶ Q.3 Montrer que la suite $(A^{k})_{k \geq 0}$ converge vers $0$ dans $ℳ_{n} (𝕂)$ .

▶ Q.4 Montrer que $I_{n} - A$ est inversible et que $∣ ∣ ∣ (I_{n} - A)^{- 1} ∣ ∣ ∣ \leq \frac{1}{1 - ∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣}$ .

▶ Q.5 On pose $S_{k} = \sum_{j = 0}^{k} A^{j}$ . Calculer $(I_{n} - A) S_{k}$ , en déduire que $S_{k} \to (I_{n} - A)^{- 1}$ et que $∣ ∣ ∣ (I_{n} - A)^{- 1} - S_{k} ∣ ∣ ∣ \leq \frac{∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣^{k + 1}}{1 - ∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣}$ .

▶ Q.6 Exemple : $n = 2$ , $∥ \cdot ∥ = ∥ \cdot ∥_{\infty}$ et $A = (\begin{array}{cc} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} & 0 \end{array})$ . Calculer $∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣$ , $(I_{2} - A)^{- 1}$ , et vérifier l'inégalité de Q.4.

Partie III — $G L_{n} (𝕂)$ est ouvert et l'inversion est continue

▶ Q.7 Soit $M \in G L_{n} (𝕂)$ et $H \in ℳ_{n} (𝕂)$ tels que $∣ ∣ ∣ H ∣ ∣ ∣ < \frac{1}{∣ ∣ ∣ M^{- 1} ∣ ∣ ∣}$ . Montrer que $M + H$ est inversible. En déduire, sans utiliser le déterminant, que $G L_{n} (𝕂)$ est un ouvert de $ℳ_{n} (𝕂)$ .

▶ Q.8 Sous les hypothèses de Q.7, montrer que $∣ ∣ ∣ (M + H)^{- 1} - M^{- 1} ∣ ∣ ∣ \leq \frac{∣ ∣ ∣ M^{- 1} ∣ ∣ ∣^{2} ∣ ∣ ∣ H ∣ ∣ ∣}{1 - ∣ ∣ ∣ M^{- 1} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ H ∣ ∣ ∣} .$ En déduire que $M \mapsto M^{- 1}$ est continue sur $G L_{n} (𝕂)$ .

Partie IV — Une matrice dont les puissances tendent vers $0$ malgré des normes usuelles grandes

Soit $B = (\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & 4 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{array})$ et $N_{0} = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array})$ .

▶ Q.9 Calculer $∣ ∣ ∣ B ∣ ∣ ∣_{\infty}$ et $∣ ∣ ∣ B ∣ ∣ ∣_{1}$ (normes subordonnées à $∥ \cdot ∥_{\infty}$ et $∥ \cdot ∥_{1}$ ). Montrer que $B^{k} = 2^{- k} (I_{2} + 8 k N_{0})$ pour $k \in ℕ$ et en déduire que $B^{k} \to 0$ .

▶ Q.10 Pour $c > 0$ , on pose $N_{c} (x_{1}, x_{2}) = \max (∣ x_{1} ∣, c ∣ x_{2} ∣)$ . Justifier que $N_{c}$ est une norme sur $ℝ^{2}$ et montrer que la norme de $B$ subordonnée à $N_{c}$ vaut $\frac{1}{2} + \frac{4}{c}$ . Pour quelles valeurs de $c$ peut-on appliquer la partie II à $B$ ?

▶ Q.11 Comparer $\inf_{c > 0} (\frac{1}{2} + \frac{4}{c})$ au plus grand module des valeurs propres de $B$ . Cette borne inférieure est-elle atteinte ?

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Q.1 $\frac{∥ I_{n} X ∥}{∥ X ∥} = 1$ pour $X \neq 0$ , donc $∣ ∣ ∣ I_{n} ∣ ∣ ∣ = 1$ . Pour $X \in 𝕂^{n}$ , $∥ A B X ∥ \leq ∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣ ∥ B X ∥ \leq ∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ B ∣ ∣ ∣ ∥ X ∥$ ; la borne supérieure sur $X \neq 0$ donne $∣ ∣ ∣ A B ∣ ∣ ∣ \leq ∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ B ∣ ∣ ∣$ .

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Synthèse, niveau concours12 points

10. Problème : compacité et meilleure approximation uniforme

$E = 𝒞 ([0, 1], ℝ)$ est muni de la norme $∥ \cdot ∥_{\infty}$ . Pour $n \in ℕ$ , on note $F_{n}$ le sous-espace de $E$ formé des fonctions polynomiales de degré au plus $n$ , et pour $f \in E$ , $δ_{n} (f) = d (f, F_{n}) = \inf_{P \in F_{n}} ∥ f - P ∥_{\infty}$ . Barème : partie I (3 points), II (4 points), III (5 points).

Partie I — La boule unité fermée de $E$ n'est pas compacte

Pour $k \geq 1$ , soit $m_{k} = \frac{1}{2} (\frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k})$ et $h_{k}$ la fonction continue, nulle en dehors de $[\frac{1}{k + 1}, \frac{1}{k}]$ , affine sur $[\frac{1}{k + 1}, m_{k}]$ et sur $[m_{k}, \frac{1}{k}]$ , avec $h_{k} (m_{k}) = 1$ .

▶ Q.1 Montrer que $h_{k}$ appartient à la boule unité fermée $B_{f} (0, 1)$ et que $∥ h_{p} - h_{q} ∥_{\infty} = 1$ pour $p \neq q$ .

▶ Q.2 En déduire que $B_{f} (0, 1)$ est une partie fermée et bornée de $E$ qui n'est pas compacte. Que peut-on en conclure sur la dimension de $E$ ?

Partie II — Existence d'une meilleure approximation

On fixe $n \in ℕ$ et $f \in E$ .

▶ Q.3 Justifier que $F_{n}$ est de dimension $n + 1$ . Montrer que $K = {P \in F_{n} : ∥ P ∥_{\infty} \leq 2 ∥ f ∥_{\infty}}$ est une partie compacte de $E$ .

▶ Q.4 Montrer qu'il existe $P^{*} \in F_{n}$ tel que $∥ f - P^{*} ∥_{\infty} = δ_{n} (f)$ .

▶ Q.5 Montrer que pour $f, g \in E$ : $∣ δ_{n} (f) - δ_{n} (g) ∣ \leq ∥ f - g ∥_{\infty}$ , et que la suite $(δ_{n} (f))_{n \geq 0}$ est décroissante.

Partie III — Deux calculs explicites

▶ Q.6 Cas $n = 0$ . On note $m = \min_{[0, 1]} f$ et $M = \max_{[0, 1]} f$ . Montrer que $δ_{0} (f) = \frac{M - m}{2}$ et que la constante $\frac{M + m}{2}$ est la seule meilleure approximation constante.

▶ Q.7 Cas $n = 1$ et $f (x) = x^{2}$ . Pour $a, b \in ℝ$ , on pose $e (x) = x^{2} - a x - b$ . Vérifier que $e (0) - 2 e ⁣ (\frac{1}{2}) + e (1) = \frac{1}{2}$ , puis en déduire que $∥ e ∥_{\infty} \geq \frac{1}{8}$ .

▶ Q.8 Calculer $∥ e ∥_{\infty}$ pour $a = 1$ , $b = - \frac{1}{8}$ , et en déduire $δ_{1} (f)$ .

▶ Q.9 Montrer que $x \mapsto x - \frac{1}{8}$ est la seule fonction affine qui réalise $δ_{1} (f)$ .

Voir le corrigé

Q.1 Sur chacun des deux morceaux, $h_{k}$ est affine entre les valeurs $0$ et $1$ , donc $0 \leq h_{k} \leq 1$ et $∥ h_{k} ∥_{\infty} = h_{k} (m_{k}) = 1$ : $h_{k} \in B_{f} (0, 1)$ . Soit $p \neq q$ . Les segments $[\frac{1}{j + 1}, \frac{1}{j}]$ ( $j \geq 1$ ) sont rangés les uns à la suite des autres et ne se touchent qu'en leurs extrémités ; le segment fermé $[\frac{1}{q + 1}, \frac{1}{q}]$ ne rencontre donc pas l'intervalle ouvert $] \frac{1}{p + 1}, \frac{1}{p} [$ , qui contient $m_{p}$ . Ainsi $h_{q} (m_{p}) = 0$ . Ainsi $∣ h_{p} (m_{p}) - h_{q} (m_{p}) ∣ = 1$ et $∥ h_{p} - h_{q} ∥_{\infty} \geq 1$ . Inversement $0 \leq h_{p}, h_{q} \leq 1$ donne $∣ h_{p} - h_{q} ∣ \leq 1$ . Donc $∥ h_{p} - h_{q} ∥_{\infty} = 1$ .

Après avoir comparé avec le corrigé :

1. Une norme euclidienne sur ℝ2 et ses constantes

1. Une norme euclidienne sur ℝ2 et ses constantes

2. Trois normes sur 𝒞([0,1],ℝ) et deux formes linéaires

3. Nature topologique de cinq parties du plan

4. Normes subordonnées d'une matrice 2×2

5. L'opérateur de primitivation

6. Quelques parties de ℳ2(ℝ)

7. Distance à une partie : existence, unicité, nullité

8. Applications strictement contractantes sur un compact

9. Problème : normes matricielles, série géométrique et ouverture de GLn

10. Problème : compacité et meilleure approximation uniforme

1. Une norme euclidienne sur $ℝ^{2}$ et ses constantes

1. Une norme euclidienne sur $ℝ^{2}$ et ses constantes

2. Trois normes sur $𝒞 ([0, 1], ℝ)$ et deux formes linéaires

4. Normes subordonnées d'une matrice $2 \times 2$

6. Quelques parties de $ℳ_{2} (ℝ)$

9. Problème : normes matricielles, série géométrique et ouverture de $G L_{n}$