Plan d'étude (inchangé depuis la 1re année, Séries numériques §13) : terme général qui tend vers $0$ ? signe constant ? équivalent simple ? convergence absolue ? critère spécial ?

Règle de d'Alembert (rappel). Hypothèses : $u_n\mathrm{\ne }0$ pour $n$ assez grand ; $\mid {\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}\mid \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{⟶}\mathrm{\ell }\in [0,+\mathrm{\infty }]$. Conclusion : si $\mathrm{\ell }<1$, $\sum u_n$ converge absolument ; si $\mathrm{\ell }>1$, elle diverge grossièrement ; si $\mathrm{\ell }=1$, on ne conclut pas.

Elle est admise au concours pour les séries numériques ; sa version « séries entières » ne l'est pas (rapport 2025) : on l'applique toujours à une série numérique précise. Elle sert pour les termes faits de produits ($n!$, $a^n$, $n^n$, $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{2n}{n}\right)$). Quand le quotient tend vers $1$, on passe aux outils du §2.

Règle de Cauchy (exercice classique, à redémontrer). Si $u_n\ge 0$ et $\sqrt[n]{u_n}\to \mathrm{\ell }$ : convergence si $\mathrm{\ell }<1$, divergence grossière si $\mathrm{\ell }>1$. Preuve : comparaison à $\sum q^n$ avec $\mathrm{\ell }<q<1$.

Règle « $n^{\alpha }{u}_n$ » (1re année) : $n^{\alpha }{u}_n\to 0$ avec $\alpha >1$ donne la convergence absolue ; $u_n\ge 0$ et $n{u}_n\to +\mathrm{\infty }$ donne la divergence.

Comparaison logarithmique. Hypothèses : $u_n>0$, $v_n>0$ et, à partir d'un rang $N$, ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}\le {\displaystyle \frac{v_{n+1}}{v_n}}$. Conclusion : $u_n=O(v_n)$ ; donc si $\sum v_n$ converge, $\sum u_n$ converge.

Preuve : la suite ${\left(\frac{u_n}{v_n}\right)}_{n\ge N}$ est décroissante, donc majorée par $\frac{u_N}{v_N}$.

Règle de Raabe-Duhamel (présente dans les séries de TD sous forme d'exercice : savoir la redémontrer). Hypothèses : $u_n>0$ et ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}=1-{\displaystyle \frac{\alpha }{n}}+O\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{1}{n^2}}\right)$ avec $\alpha \in ℝ$. Conclusion : il existe $C>0$ tel que $u_n\sim {\displaystyle \frac{C}{n^{\alpha }}}$ ; en particulier $\sum u_n$ converge si et seulement si $\alpha >1$.

Preuve : $w_n=\ln ((n+1{)}^{\alpha }{u}_{n+1})-\ln (n^{\alpha }{u}_n)=\alpha \ln (1+\frac{1}{n})+\ln (1-\frac{\alpha }{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right))=O\left(\frac{1}{n^2}\right)$. La série $\sum w_n$ converge absolument, donc la suite $\ln (n^{\alpha }{u}_n)$ converge (lien suite-série) vers un réel $\lambda$, et $n^{\alpha }{u}_n\to C=e^{\lambda }>0$.

Exemple. $u_n={\displaystyle \frac{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{2n}{n}\right)}{4^n}}$ : ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}={\displaystyle \frac{(2n+1)(2n+2)}{4(n+1{)}^2}}=1-{\displaystyle \frac{1}{2n+2}}=1-{\displaystyle \frac{1}{2n}}+O\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{1}{n^2}}\right)$, donc $u_n\sim {\displaystyle \frac{C}{\sqrt{n}}}$ : $\sum u_n$ diverge, $\sum u_n^3$ converge. (La valeur $C=\frac{1}{\sqrt{\pi }}$ demande la formule de Wallis, donnée par l'énoncé.)

Même méthode pour Stirling. Avec $u_n={\displaystyle \frac{n!e^n}{n^{n+1\mathrm{/}2}}}$, on montre $\ln u_{n+1}-\ln u_n=O\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{n^2}\right)$, d'où $n!\sim C{n}^n{e}^{-n}\sqrt{n}$ ; la constante $C=\sqrt{2\pi }$ s'obtient avec Wallis. Formule de Stirling : .

On dispose maintenant des intégrales généralisées : on compare $\sum f(n)$ à ${\int }^{+\mathrm{\infty }}f$.

Théorème. Hypothèses : $f:[a,+\mathrm{\infty }[\to ℝ$ continue par morceaux, positive et décroissante ; $n_0\ge a+1$ entier. Conclusion : (i) la série de terme général $w_n={\displaystyle {\int }_{n-1}^{n}f(t)dt-f(n)}$ ($n\ge n_0$) est à termes positifs et converge ; (ii) $\sum f(n)$ converge si et seulement si $f$ est intégrable sur $[a,+\mathrm{\infty }[$.

Preuve : pour $t\in [n-1,n]$, $f(n)\le f(t)\le f(n-1)$, d'où $0\le w_n\le f(n-1)-f(n)$ ; la série télescopique majorante converge car $f$ décroissante positive a une limite finie en $+\mathrm{\infty }$. Pour (ii), ${\sum }_{k=n_0}^{n}f(k)={\int }_{n_0-1}^{n}f-{\sum }_{k=n_0}^n{w}_k$, et le dernier terme converge.

Conséquences.

• Développement d'une somme partielle : ${\displaystyle \sum _{k=n_0}^{n}f(k)={\int }_{n_0}^{n}f(t)dt+C+o(1)}$. Exemple : $H_n=\ln n+\gamma +o(1)$.
• Encadrement du reste quand $f$ est intégrable : ${\displaystyle {\int }_{n+1}^{+\mathrm{\infty }}f\le R_n=\sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}f(k)\le {\int }_n^{+\mathrm{\infty }}f}$.
• Séries de Bertrand (à redémontrer par ce théorème) : ${\displaystyle \sum _{n\ge 2}\frac{1}{n^{\alpha }(\ln n{)}^{\beta }}}$ converge si et seulement si $\alpha >1$, ou $\alpha =1$ et $\beta >1$. Le cas $\alpha =1$ se traite avec $t\mapsto \frac{1}{t(\ln t{)}^{\beta }}$, de primitive $\ln \ln t$ ou $\frac{(\ln t{)}^{1-\beta }}{1-\beta }$ ; les cas $\alpha \mathrm{\ne }1$ par comparaison avec une série de Riemann d'exposant intermédiaire.

Positivité et monotonie sont indispensables : $f(t)={\sin }^2(\pi t)$ est positive, non intégrable sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, et $f(n)=0$ pour tout $n$.

C'est la version « séries » de l'intégration des relations de comparaison (Intégrales généralisées §6). Dans tout le paragraphe, $(v_n)$ est une suite réelle positive et $(u_n)$ une suite de $𝕂$.

Cas convergent (on compare les restes). Hypothèses : $v_n\ge 0$ et $\sum v_n$ converge. Conclusion : si $u_n=O(v_n)$ (resp. $u_n=o(v_n)$), alors $\sum u_n$ converge absolument et ${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k=O\left(\sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}{v}_k\right)}$ (resp. $o$) ; si $u_n\sim v_n$, alors ${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k\sim \sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}{v}_k}$.

Cas divergent (on compare les sommes partielles). Hypothèses : $v_n\ge 0$ et $\sum v_n$ diverge. Conclusion : si $u_n=O(v_n)$ (resp. $o$), alors ${\displaystyle \sum _{k=0}^n{u}_k=O\left(\sum _{k=0}^n{v}_k\right)}$ (resp. $o$) ; si $u_n\sim v_n$, alors ${\displaystyle \sum _{k=0}^n{u}_k\sim \sum _{k=0}^n{v}_k}$ (et $\sum u_n$ diverge).

Preuve du cas « $o$ divergent » : soit $\epsilon >0$ et $N$ tel que $\mid u_k\mid \le \epsilon v_k$ pour $k>N$. Alors $\mid {\sum }_{k=0}^n{u}_k\mid \le \mid {\sum }_{k=0}^N{u}_k\mid +\epsilon {\sum }_{k=0}^n{v}_k\le 2\epsilon {\sum }_{k=0}^n{v}_k$ pour $n$ assez grand, car ${\sum }_{k\le n}{v}_k\to +\mathrm{\infty }$. Le cas $\sim$ s'en déduit avec $u_n-v_n=o(v_n)$.

Trois usages types.

1. Équivalent d'une somme à partir d'une série télescopique : $\frac{1}{k}\sim \ln (k+1)-\ln k$ (positif, série divergente), donc $H_n\sim \ln (n+1)\sim \ln n$.
2. Équivalent d'un reste : $\frac{1}{k^3}\sim \frac{1}{2}(\frac{1}{(k-1{)}^2}-\frac{1}{k^2})$, donc ${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^3}\sim \frac{1}{2n^2}}$.
3. Équivalent d'une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ qui tend vers $0$ : on cherche $\beta$ tel que $u_{n+1}^{-\beta }-u_n^{-\beta }\to c>0$ ; la sommation (avec $v_n=c$) donne $u_n^{-\beta }\sim cn$. Exemple : $u_{n+1}=\arctan u_n$, $u_0>0$ ; $\frac{1}{{\arctan }^{2}x}-\frac{1}{x^2}\to \frac{2}{3}$ en $0$, d'où $u_n\sim \sqrt{\frac{3}{2n}}$.

Le lemme de Cesàro est le cas particulier $v_n=1$ : si $u_n\to \mathrm{\ell }$, alors $\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n{u}_k\to \mathrm{\ell }$. L'hypothèse $v_n\ge 0$ est indispensable : $v_n=(-1{)}^n$ et $u_n=(-1{)}^n+\frac{1}{n}$ vérifient $u_n\sim v_n$, mais les sommes partielles de $\sum v_n$ restent bornées alors que celles de $\sum u_n$ tendent vers $+\mathrm{\infty }$.

Outil des séries de TD pour les séries $\sum a_n{b}_n$ qui ne sont ni positives ni alternées (souvent $b_n=e^{in\theta }$).

Transformation d'Abel (« intégration par parties discrète »). Avec $B_n={\sum }_{k=1}^n{b}_k$ et $B_0=0$ : $$\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k=a_n{B}_n-\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)B_k\mathrm{.}$$

Théorème d'Abel (à redémontrer). Hypothèses : $(a_n)$ réelle, décroissante, de limite $0$ ; les sommes $B_n={\sum }_{k=1}^n{b}_k$ sont bornées ($\mid B_n\mid \le M$). Conclusion : $\sum a_n{b}_n$ converge.

Preuve : $\mid a_n{B}_n\mid \le M{a}_n\to 0$ et $\mid (a_{k+1}-a_k)B_k\mid \le M(a_k-a_{k+1})$, terme d'une série télescopique convergente.

Exemple. Pour $\theta \mathrm{\notin }2\pi \mathbb{Z}$, $\mid {\sum }_{k=1}^n{e}^{ik\theta }\mid \le \frac{2}{\mid 1-e^{i\theta }\mid }$, donc $\sum \frac{e^{in\theta }}{n^{\alpha }}$ converge pour tout $\alpha >0$ (absolument si et seulement si $\alpha >1$). Le critère spécial des séries alternées est le cas $b_n=(-1{)}^n$.

Définitions. Un ensemble $I$ est dénombrable s'il existe une bijection de $\mathbb{N}$ sur $I$ ; il est au plus dénombrable s'il est fini ou dénombrable. Il revient au même de dire qu'il existe une injection de $I$ dans $\mathbb{N}$, ou (si $I\mathrm{\ne }\mathrm{\varnothing }$) une surjection de $\mathbb{N}$ sur $I$. Un ensemble dénombrable est infini ; ses éléments s'écrivent en suite $I=\{i_n,n\in \mathbb{N}\}$, sans répétition.

Résultats de base.

• Toute partie infinie de $\mathbb{N}$ est dénombrable (on numérote ses éléments dans l'ordre croissant). Toute partie d'un ensemble au plus dénombrable est au plus dénombrable.
• $\mathbb{Z}$ est dénombrable : $n\mapsto 2n$ pour $n\ge 0$, $n\mapsto -2n-1$ pour $n<0$ est une bijection de $\mathbb{Z}$ sur $\mathbb{N}$.
• ${\mathbb{N}}^2$ est dénombrable : $(p,q)\mapsto 2^p(2q+1)-1$ est une bijection de ${\mathbb{N}}^2$ sur $\mathbb{N}$ (tout entier non nul s'écrit de façon unique comme une puissance de $2$ fois un impair). Autre bijection classique : la numérotation « par diagonales » $(p,q)\mapsto \frac{(p+q)(p+q+1)}{2}+q$.
• Un produit fini et une réunion au plus dénombrable d'ensembles au plus dénombrables sont au plus dénombrables ; l'image d'un ensemble au plus dénombrable par une application quelconque aussi. D'où : ${\mathbb{N}}^k$, ${\mathbb{Z}}^k$, $\mathbb{Q}$ sont dénombrables.
• $ℝ$ n'est pas dénombrable, ni aucun intervalle non réduit à un point. Preuve (segments emboîtés) : si $(x_n)$ est une suite de réels, on construit des segments $[a_n,b_n]$ emboîtés, de longueur divisée par $3$ à chaque étape, avec $x_n\mathrm{\notin }[a_n,b_n]$ ; le point commun à tous les segments n'est aucun des $x_n$.
• $𝒫(\mathbb{N})$ et $\{0,1{\}}^{\mathbb{N}}$ ne sont pas dénombrables (argument diagonal de Cantor).

Suite exhaustive. Si $I$ est dénombrable, il existe une suite croissante $(I_n)$ de parties finies de $I$ telle que ${\bigcup }_n{I}_n=I$ (par exemple $I_n=\{i_0,\dots ,i_n\}$). Exemples usuels : $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ pour $\mathbb{N}$, $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[-n,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ pour $\mathbb{Z}$, $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}{]}^2$ pour ${\mathbb{N}}^2$.

Dans la suite, $I$ désigne un ensemble au plus dénombrable.

Définition. Soit $(u_i{)}_{i\in I}$ une famille de réels positifs. Pour $F\in {𝒫}_f(I)$, on note $S_F={\sum }_{i\in F}{u}_i$ (somme finie). On pose $$\sum _{i\in I}{u}_i=\underset{F\in {𝒫}_f(I)}{\sup }{S}_F\in [0,+\mathrm{\infty }]\mathrm{.}$$ La famille est sommable si cette borne supérieure est finie. Pour une famille positive, l'écriture ${\sum }_{i\in I}{u}_i$ a toujours un sens (dans $[0,+\mathrm{\infty }]$) : c'est ce qui rend les familles positives si commodes.

Propriétés (familles positives).

• Cas $I=\mathbb{N}$ : ${\sum }_{n\in \mathbb{N}}{u}_n={\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n$ (somme de la série, éventuellement $+\mathrm{\infty }$). Sommabilité de la famille et convergence de la série sont donc équivalentes.
• Calcul par une suite exhaustive : si $(I_n)$ est une suite croissante de parties finies de réunion $I$, alors ${\sum }_{i\in I}{u}_i=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{S}_{I_n}$ (limite d'une suite croissante).
• Invariance par permutation : si $\sigma :J\to I$ est une bijection, ${\sum }_{j\in J}{u}_{\sigma (j)}={\sum }_{i\in I}{u}_i$. En particulier, on peut réordonner les termes d'une série à termes positifs sans changer sa somme ni sa nature.
• Comparaison : si $0\le u_i\le v_i$ pour tout $i$, alors $\sum u_i\le \sum v_i$ ; si $(v_i)$ est sommable, $(u_i)$ l'est. Sous-famille : pour $J\subset I$, ${\sum }_{i\in J}{u}_i\le {\sum }_{i\in I}{u}_i$.
• Linéarité : $\sum (u_i+\lambda v_i)=\sum u_i+\lambda \sum v_i$ pour $\lambda \ge 0$ (égalité dans $[0,+\mathrm{\infty }]$).

Sommation par paquets, cas positif. Hypothèses : $(u_i{)}_{i\in I}$ famille de réels positifs ; $I={⨆}_{k\in K}{I}_k$, réunion disjointe, $K$ au plus dénombrable. Conclusion : ${\displaystyle \sum _{i\in I}{u}_i=\sum _{k\in K}\left(\sum _{i\in I_k}{u}_i\right)}$, égalité dans $[0,+\mathrm{\infty }]$, sans condition.

C'est l'outil n°1 pour prouver une sommabilité : on regroupe les termes de façon commode et on vérifie que le résultat est fini.

Exemple. ${\left(\frac{1}{(p+q+1{)}^{\alpha }}\right)}_{(p,q)\in {\mathbb{N}}^2}$ : le paquet $p+q=n$ contient $n+1$ termes égaux à $\frac{1}{(n+1{)}^{\alpha }}$, d'où une somme ${\sum }_{n\ge 0}\frac{1}{(n+1{)}^{\alpha -1}}$ : la famille est sommable exactement lorsque $\alpha >2$.

Définition. Une famille $(u_i{)}_{i\in I}$ de $𝕂$ est sommable si la famille positive $(\mid u_i\mid {)}_{i\in I}$ est sommable, c'est-à-dire si ${\sum }_{i\in I}\mid u_i\mid <+\mathrm{\infty }$. On note ${\mathrm{\ell }}^1(I)$ l'ensemble des familles sommables (notation des devoirs pour $I=\mathbb{Z}$).

Définition de la somme.

• Cas réel : $u_i=u_i^{+}-u_i^{-}$ avec $u_i^{\pm }=\max (\pm u_i,0)$ ; les deux familles positives sont sommables (car $0\le u_i^{\pm }\le \mid u_i\mid$) et ${\sum }_{i\in I}{u}_i={\sum }_{i\in I}{u}_i^{+}-{\sum }_{i\in I}{u}_i^{-}$.
• Cas complexe : ${\sum }_{i\in I}{u}_i={\sum }_{i\in I}\mathrm{Re}{u}_i+i{\sum }_{i\in I}\mathrm{Im}{u}_i$.

Propriétés (familles sommables).

• Lien avec les séries : une suite $(u_n)$, vue comme famille indexée par $\mathbb{N}$, est sommable exactement lorsque $\sum u_n$ converge absolument, et alors ${\sum }_{n\in \mathbb{N}}{u}_n={\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n$.
• Suite exhaustive : ${\sum }_{i\in I}{u}_i=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\sum }_{i\in I_n}{u}_i$ pour toute suite croissante $(I_n)$ de parties finies de réunion $I$.
• Linéarité : ${\mathrm{\ell }}^1(I)$ est un $𝕂$-espace vectoriel et $u\mapsto {\sum }_{i\in I}{u}_i$ est linéaire. Inégalité triangulaire : $\mid {\sum }_{i\in I}{u}_i\mid \le {\sum }_{i\in I}\mid u_i\mid$ ; $\parallel u{\parallel }_1={\sum }_{i\in I}\mid u_i\mid$ est une norme sur ${\mathrm{\ell }}^1(I)$.
• Domination : si $\mid u_i\mid \le v_i$ avec $(v_i)$ sommable, alors $(u_i)$ est sommable.
• Invariance par permutation : pour toute bijection $\sigma :J\to I$, $(u_{\sigma (j)})$ est sommable et a la même somme.

Conséquence : convergence commutative. Si $\sum u_n$ converge absolument et si $\sigma$ est une bijection de $\mathbb{N}$, alors $\sum u_{\sigma (n)}$ converge absolument et ${\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_{\sigma (n)}={\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n$. C'est faux pour une série semi-convergente : en réordonnant $\sum \frac{(-1{)}^{n+1}}{n}$ (somme $\ln 2$), on peut obtenir une autre somme (exercice 8 : un ordre qui donne la somme $0$), et même une série divergente. Pour une famille, « sommable » remplace donc « convergente » : on ne parle jamais de famille semi-sommable.

Théorème de sommation par paquets. Hypothèses : $(u_i{)}_{i\in I}$ famille sommable de $𝕂$ ; $I={⨆}_{k\in K}{I}_k$, réunion disjointe, $K$ au plus dénombrable. Conclusion : pour tout $k$, $(u_i{)}_{i\in I_k}$ est sommable ; la famille $({\sum }_{i\in I_k}{u}_i{)}_{k\in K}$ est sommable ; et $$\sum _{i\in I}{u}_i=\sum _{k\in K}\left(\sum _{i\in I_k}{u}_i\right)\mathrm{.}$$

Rédaction attendue. (1) Prouver la sommabilité en appliquant la sommation par paquets positive à $(\mid u_i\mid )$ : ${\sum }_k{\sum }_{i\in I_k}\mid u_i\mid <+\mathrm{\infty }$. (2) Appliquer ensuite le théorème à $(u_i)$, avec le même découpage ou un autre.

Sans sommabilité, c'est faux. Avec $u_n=(-1{)}^n$, les paquets $\{2k,2k+1\}$ donnent ${\sum }_{k}0=0$, les paquets $\{0\}$, $\{2k-1,2k\}$ ($k\ge 1$) donnent $1+{\sum }_{k}0=1$ : la famille n'est pas sommable et regrouper n'a aucun sens.

Cas particulier fréquent. Pour $u$ sommable indexée par $\mathbb{N}$, les termes d'indices pairs et impairs : ${\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n={\sum }_{p=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_{2p}+{\sum }_{p=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_{2p+1}$.

On l'énonce pour $I\times J$ ($I$, $J$ au plus dénombrables), le cas courant étant ${\mathbb{N}}^2$ : c'est la sommation par paquets avec les paquets « lignes » $\{i\}\times J$ ou « colonnes » $I\times \{j\}$.

Fubini, cas positif. Hypothèses : $u_{i,j}\ge 0$ pour tout $(i,j)\in I\times J$. Conclusion : ${\displaystyle \sum _{(i,j)\in I\times J}{u}_{i,j}=\sum _{i\in I}\left(\sum _{j\in J}{u}_{i,j}\right)=\sum _{j\in J}\left(\sum _{i\in I}{u}_{i,j}\right)}$ dans $[0,+\mathrm{\infty }]$. Les sommes sont toujours définies : on peut calculer dans l'ordre qu'on veut, puis conclure à la sommabilité si le résultat est fini.

Fubini, cas général. Hypothèses : $(u_{i,j})$ à valeurs dans $𝕂$ et sommable, ce qu'on vérifie par ${\displaystyle \sum _{i\in I}(\sum _{j\in J}\mid u_{i,j}\mid )<+\mathrm{\infty }}$ (Fubini positif appliqué aux modules). Conclusion : pour tout $i$, $(u_{i,j}{)}_j$ est sommable (et de même pour tout $j$), et ${\displaystyle \sum _{(i,j)}{u}_{i,j}=\sum _{i\in I}\left(\sum _{j\in J}{u}_{i,j}\right)=\sum _{j\in J}\left(\sum _{i\in I}{u}_{i,j}\right)}$.

Sans sommabilité, les deux sommes itérées peuvent différer. Soit $u_{m,n}=1$ si $n=m$, $u_{m,n}=-1$ si $n=m+1$, $0$ sinon ($(m,n)\in {\mathbb{N}}^2$). À $m$ fixé, ${\sum }_n{u}_{m,n}=1-1=0$ ; à $n$ fixé, ${\sum }_m{u}_{m,n}$ vaut $1$ pour $n=0$ et $1-1=0$ pour $n\ge 1$. Les deux sommes itérées valent $0$ et $1$ : la famille n'est pas sommable ($\sum \mid u_{m,n}\mid =+\mathrm{\infty }$).

Autres paquets utiles sur ${\mathbb{N}}^2$ : les diagonales $\{p+q=n\}$ ($n+1$ éléments), les « équerres » $\{\max (p,q)=n\}$ ($2n+1$ éléments), et sur $({\mathbb{N}}^{\ast }{)}^2$ les ensembles $\{pq=n\}$ (autant d'éléments que $n$ a de diviseurs).

Produit de deux familles. Hypothèses : $(a_i{)}_{i\in I}$ et $(b_j{)}_{j\in J}$ sommables. Conclusion : $(a_i{b}_j{)}_{(i,j)\in I\times J}$ est sommable et ${\displaystyle \sum _{(i,j)\in I\times J}{a}_i{b}_j=\left(\sum _{i\in I}{a}_i\right)\left(\sum _{j\in J}{b}_j\right)}$. Preuve : Fubini positif donne ${\sum }_{(i,j)}\mid a_i\mid \mid b_j\mid ={\sum }_i\mid a_i\mid {\sum }_j\mid b_j\mid <+\mathrm{\infty }$, puis Fubini.

Définition. Le produit de Cauchy des séries ${\sum }_{n\ge 0}{a}_n$ et ${\sum }_{n\ge 0}{b}_n$ est la série ${\sum }_{n\ge 0}{c}_n$ avec $$c_n=\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}=\sum _{p+q=n}{a}_p{b}_q\mathrm{.}$$

Théorème. Hypothèses : $\sum a_n$ et $\sum b_n$ (à termes dans $𝕂$) convergent absolument. Conclusion : $\sum c_n$ converge absolument et $$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{c}_n=\left(\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n\right)\left(\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{b}_n\right)\mathrm{.}$$

Preuve : la famille $(a_p{b}_q{)}_{(p,q)\in {\mathbb{N}}^2}$ est sommable (produit de deux familles sommables, §10). On la somme par les paquets disjoints $D_n=\{(p,q),p+q=n\}$ (sommation par paquets, §9) : ${\sum }_{(p,q)\in D_n}{a}_p{b}_q=c_n$. Enfin $\mid c_n\mid \le {\sum }_{p+q=n}\mid a_p\mid \mid b_q\mid$ donne $\sum \mid c_n\mid \le \sum \mid a_n\mid \cdot \sum \mid b_n\mid$.

Applications.

• Série géométrique dérivée : pour $\mid q\mid <1$, ${(\sum q^n)}^2$ a pour terme $c_n={\sum }_{k=0}^n{q}^k{q}^{n-k}=(n+1)q^n$, donc ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}(n+1)q^n=\frac{1}{(1-q{)}^2}}$ (retrouve le calcul « à la main » de 1re année).
• Exponentielle complexe : en posant $E(z)={\sum }_{n\ge 0}\frac{z^n}{n!}$ (convergence absolue pour tout $z\in ℂ$, par d'Alembert), la formule du binôme donne $c_n={\sum }_{k=0}^n\frac{a^k{b}^{n-k}}{k!(n-k)!}=\frac{(a+b{)}^n}{n!}$, d'où $E(a)E(b)=E(a+b)$ pour tous $a,b\in ℂ$.

L'hypothèse d'absolue convergence ne se supprime pas. Pour $a_n=b_n=\frac{(-1{)}^n}{(n+1{)}^{1\mathrm{/}3}}$ (séries convergentes par le critère spécial), $\mid c_n\mid ={\sum }_{k=0}^n\frac{1}{((k+1)(n-k+1){)}^{1\mathrm{/}3}}\ge (n+1){\left(\frac{2}{n+2}\right)}^{2\mathrm{/}3}\to +\mathrm{\infty }$ (car $(k+1)(n-k+1)\le {\left(\frac{n+2}{2}\right)}^2$) : le produit de Cauchy diverge grossièrement. (Le cas « une série absolument convergente, l'autre seulement convergente », théorème de Mertens, n'est pas au programme.)

Caractérisation. La famille $(u_n{)}_{n\in \mathbb{Z}}$ est sommable exactement lorsque les deux séries ${\sum }_{n\ge 0}{u}_n$ et ${\sum }_{n\ge 1}{u}_{-n}$ convergent absolument, et alors (sommation par paquets avec $\mathbb{Z}=\mathbb{N}\bigsqcup {\mathbb{Z}}_{<0}$, puis $\mathbb{Z}=\{0\}\bigsqcup {⨆}_{n\ge 1}\{-n,n\}$) $$\sum _{n\in \mathbb{Z}}{u}_n=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_{-n}=u_0+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}(u_n+u_{-n})=\underset{N\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=-N}^N{u}_n\mathrm{.}$$

Attention au sens. La dernière limite (symétrique) peut exister sans que la famille soit sommable : pour $u_0=0$ et $u_n=\frac{1}{n}$ ($n\mathrm{\ne }0$), ${\sum }_{n=-N}^N{u}_n=0$ pour tout $N$, alors que ${\sum }_{n\ge 1}\mid u_n\mid =+\mathrm{\infty }$. On prouve donc d'abord la sommabilité, puis on calcule la somme comme on veut.

Exemple. Pour $q\in ]0,1[$, ${\sum }_{n\in \mathbb{Z}}{q}^{\mid n\mid }=1+2{\sum }_{n\ge 1}{q}^n={\displaystyle \frac{1+q}{1-q}}$.

Produit de convolution sur ${\mathrm{\ell }}^1(\mathbb{Z})$. Pour $u,v\in {\mathrm{\ell }}^1(\mathbb{Z})$, la famille $(u_k{v}_{n-k}{)}_{(k,n)\in {\mathbb{Z}}^2}$ est sommable (Fubini positif : ${\sum }_k\mid u_k\mid {\sum }_n\mid v_{n-k}\mid =\parallel u{\parallel }_1\parallel v{\parallel }_1$, car $n\mapsto n-k$ est une bijection de $\mathbb{Z}$). D'où : $(u\ast v{)}_n={\sum }_{k\in \mathbb{Z}}{u}_k{v}_{n-k}$ est bien défini, $u\ast v\in {\mathrm{\ell }}^1(\mathbb{Z})$, $\parallel u\ast v{\parallel }_1\le \parallel u{\parallel }_1\parallel v{\parallel }_1$ et ${\sum }_{n\in \mathbb{Z}}(u\ast v{)}_n=({\sum }_{n\in \mathbb{Z}}{u}_n\left)\right({\sum }_{n\in \mathbb{Z}}{v}_n)$. C'est l'analogue sur $\mathbb{Z}$ du produit de Cauchy ; en probabilités, c'est la loi de la somme de deux variables indépendantes à valeurs dans $\mathbb{Z}$.

Étudier une série dont le quotient $u_{n+1}\mathrm{/}{u}_n$ tend vers 1

1. Écrire $\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac{\alpha }{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$ par un développement limité.
2. Poser $w_n=\ln ((n+1{)}^{\alpha }{u}_{n+1})-\ln (n^{\alpha }{u}_n)$, montrer $w_n=O\left(\frac{1}{n^2}\right)$, conclure $u_n\sim \frac{C}{n^{\alpha }}$ (§2).

Trouver un équivalent d'une somme partielle ou d'un reste

• Si $u_k=f(k)$ avec $f$ positive monotone : comparaison série-intégrale (§3), en dessinant les rectangles.
• Sinon, chercher une suite $(a_k)$ simple avec $u_k\sim a_{k+1}-a_k$ (signe constant) et sommer la relation (§4), en citant le cas (convergent : restes ; divergent : sommes partielles) et la positivité.

Montrer qu'une famille est sommable

1. Famille positive : calculer ou majorer ${\sum }_{i\in I}{u}_i$ par paquets bien choisis (lignes, colonnes, diagonales $p+q=n$, équerres $\max (p,q)=n$, valeurs de $pq$) : c'est toujours permis ; conclure si le résultat est fini.
2. Famille complexe : faire la même chose sur $\mid u_i\mid$, ou dominer par une famille positive sommable connue.
3. Famille indexée par $\mathbb{Z}$ : deux séries absolument convergentes ($n\ge 0$ et $n\le -1$).

Calculer une somme double ${\sum }_{(p,q)}{u}_{p,q}$

1. Prouver la sommabilité (méthode précédente) — c'est ce qui rapporte les points.
2. Choisir l'ordre de sommation qui donne des séries connues (géométriques, exponentielle, télescopiques, $\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$ si l'énoncé la donne).
3. Astuce classique : calculer la même somme de deux façons (par lignes et par diagonales) pour obtenir une identité.

Intervertir deux sommes infinies ${\sum }_n{\sum }_k$

Écrire : « la famille $(u_{n,k}{)}_{(n,k)\in {\mathbb{N}}^2}$ est sommable car ${\sum }_n{\sum }_k\mid u_{n,k}\mid =\cdots <+\mathrm{\infty }$ ; par le théorème de Fubini, ${\sum }_n{\sum }_k{u}_{n,k}={\sum }_k{\sum }_n{u}_{n,k}$ ». Pour des termes positifs, la phrase « famille de réels positifs, Fubini positif » suffit, sans autre condition.

1. Intervertir deux sommes sans justifier la sommabilité (ou sans dire que les termes sont positifs). C'est la faute que le jury 2025 relève : « permutation des symboles somme » non justifiée.
2. Vérifier Fubini sur ${\sum }_m{\sum }_n{u}_{m,n}$ au lieu de ${\sum }_m{\sum }_n\mid u_{m,n}\mid$ : une somme itérée finie ne prouve rien (contre-exemple du §10).
3. Regrouper ou réordonner les termes d'une série semi-convergente : la somme peut changer (§8, exercice 8).
4. Appliquer le produit de Cauchy à des séries qui convergent sans converger absolument (§11).
5. Écrire $c_n=a_n{b}_n$ ou $c_n={\sum }_{k=0}^n{a}_k{b}_k$ : le bon terme est ${\sum }_{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}$.
6. Définir ${\sum }_{n\in \mathbb{Z}}{u}_n$ comme $\lim {\sum }_{-N}^N{u}_n$ sans avoir prouvé la sommabilité (§12).
7. Sommer des équivalents sans vérifier que $(v_n)$ est positive, ou comparer des restes de séries divergentes (§4).
8. Conclure avec d'Alembert quand le quotient tend vers $1$ ; utiliser la version « séries entières » de la règle de d'Alembert (hors programme) au lieu de la version numérique.
9. Comparaison série-intégrale avec une fonction non monotone, ou encadrement du reste avec les bornes à l'envers.
10. Confondre « dénombrable » et « infini » : $ℝ$ est infini et non dénombrable ; $\mathbb{Q}$ est dense et dénombrable.
11. Rédaction : « c.v », « abs c.v », « CSSA » sont des abréviations de résumé, pas de copie ; nommer le théorème (sommation par paquets, Fubini, produit de Cauchy) et en vérifier l'hypothèse.

• ${𝒫}_f(I)$ : ensemble des parties finies de $I$ ; $S_F(u)={\sum }_{i\in F}{u}_i$ ; « la famille $u=(u_i{)}_{i\in I}$ est sommable de somme $S(u)={\sum }_{i\in I}{u}_i$ » ; certains cours notent $S_I(u)$.
• ${\mathrm{\ell }}^1(\mathbb{Z})$ (ou ${\mathrm{\ell }}^1(I)$) : espace des familles sommables, muni de $\parallel u\parallel =\sum \mid u_k\mid$ ; $u\ast v$ : produit de convolution.
• « Sommation par paquets », « théorème de Fubini » (pour les familles ou les « suites doubles » $(u_{m,n})$), « produit de Cauchy », « sommation des relations de comparaison », « comparaison série-intégrale », « transformation d'Abel » : les noms attendus.
• Les séries de TD de 2e année réunissent souvent « Séries numériques et familles sommables » (ou « Séries entières et familles sommables ») et contiennent les règles de Cauchy, de Raabe-Duhamel et d'Abel comme exercices.
• $H_n={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k}$ (nombres harmoniques), $\gamma$ (constante d'Euler), $\zeta (s)={\sum }_{n\ge 1}\frac{1}{n^s}$ ; $\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$ est donnée par l'énoncé quand on en a besoin (« on admet que… »).
• Calculatrice interdite : les sommes demandées sont exactes (rationnels, $\ln 2$, $\gamma$, $\zeta (2)$, $\zeta (3)$), jamais décimales.