Séries numériques et familles sommables

1. Série à termes strictement positifs, faite de produits : règle de d'Alembert (version série numérique). Pour $n\ge 0$, $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(n+1{)}^2\cdot 3}{(2n+1)(2n+2)}=\frac{3(n+1)}{2(2n+1)}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{⟶}\frac{3}{4}<1.$$ $\boxed{{\displaystyle \sum u_n\text{ converge.}}}$

2. La fonction $f:t\mapsto \frac{1}{t(\ln t{)}^{3\mathrm{/}2}}$ est continue, positive et décroissante sur $[2,+\mathrm{\infty }[$ (son dénominateur est un produit de fonctions positives croissantes). Pour $x\ge 2$ : $${\int }_2^x\frac{dt}{t(\ln t{)}^{3\mathrm{/}2}}={[-\frac{2}{\sqrt{\ln t}}]}_2^x=\frac{2}{\sqrt{\ln 2}}-\frac{2}{\sqrt{\ln x}}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{⟶}\frac{2}{\sqrt{\ln 2}}:$$ $f$ est intégrable sur $[2,+\mathrm{\infty }[$. Par comparaison série-intégrale (fiche §3), $\boxed{{\displaystyle \sum v_n\text{ converge}}}$ (série de Bertrand $\alpha =1$, $\beta =\frac{3}{2}>1$). L'encadrement du reste donne $$\frac{2}{\sqrt{\ln (n+1)}}={\int }_{n+1}^{+\mathrm{\infty }}f\le R_n\le {\int }_n^{+\mathrm{\infty }}f=\frac{2}{\sqrt{\ln n}}\mathrm{.}$$ Comme $\ln (n+1)=\ln n+\ln (1+\frac{1}{n})\sim \ln n$, les deux bornes sont équivalentes : $\boxed{{\displaystyle R_n\sim {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{\ln n}}}}}$.

3. $w_n>0$ et $\sqrt[n]{w_n}={(1-\frac{2}{n})}^n=\exp (n\ln (1-\frac{2}{n}))$. Comme $n\ln (1-\frac{2}{n})\to -2$ (car $\ln (1+x)\sim x$ en $0$), $\sqrt[n]{w_n}\to e^{-2}$. Or $e^2>2$, donc $e^{-2}<\frac{1}{2}$ : à partir d'un rang, $\sqrt[n]{w_n}\le \frac{1}{2}$, soit $0<w_n\le \frac{1}{2^n}$. Par comparaison avec une série géométrique convergente, $\boxed{{\displaystyle \sum w_n\text{ converge}}}$ (c'est la règle de Cauchy, redémontrée).

4. Convergence. Transformation d'Abel (fiche §5) avec $a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}$ (décroissante, de limite $0$) et $b_n=\cos n$. Comme $1\mathrm{\notin }2\pi \mathbb{Z}$, $e^i\mathrm{\ne }1$ et $$\mid \sum _{k=1}^n\cos k\mid \le \mid \sum _{k=1}^n{e}^{ik}\mid =\mid e^i\frac{1-e^{in}}{1-e^i}\mid \le \frac{2}{\mid 1-e^i\mid }:$$ les sommes partielles de $\sum \cos n$ sont bornées. Par le théorème d'Abel, $\boxed{{\displaystyle \sum t_n\text{ converge.}}}$

Pas de convergence absolue. $\mid \cos n\mid \ge {\cos }^{2}n=\frac{1+\cos (2n)}{2}$, donc $\mid t_n\mid \ge \frac{1}{2\sqrt{n}}+\frac{\cos (2n)}{2\sqrt{n}}$. La série $\sum \frac{\cos (2n)}{\sqrt{n}}$ converge (même raisonnement, $2\mathrm{\notin }2\pi \mathbb{Z}$) et $\sum \frac{1}{2\sqrt{n}}$ diverge (Riemann, $\frac{1}{2}\le 1$) : la série positive $\sum \frac{1+\cos 2n}{2\sqrt{n}}$ diverge (convergente + divergente). Par comparaison de séries positives, $\sum \mid t_n\mid$ diverge : $\boxed{{\displaystyle \sum t_n\text{ est semi-convergente.}}}$

1. Tout entier $m\in \mathbb{N}$ s'écrit de façon unique en base $2$ : $m={\sum }_{a\in A}{2}^a$ avec $A$ partie finie de $\mathbb{N}$ (l'ensemble des rangs des chiffres égaux à $1$ ; $A=\mathrm{\varnothing }$ pour $m=0$). L'existence donne la surjectivité de $\mathrm{\Phi }$, l'unicité son injectivité. Donc $\boxed{{\displaystyle {𝒫}_f(\mathbb{N})\text{ est d}\acute{\text{e}}\text{nombrable}}}$, alors que $𝒫(\mathbb{N})$ ne l'est pas : les parties infinies de $\mathbb{N}$ forment un ensemble non dénombrable.

2. La famille est positive : on peut sommer par paquets sans condition (fiche §7). Pour $n\in \mathbb{N}$, soit $I_n=\{(p,q)\in {\mathbb{N}}^2,p+2q=n\}$ ; les $I_n$ sont disjoints, de réunion ${\mathbb{N}}^2$. Un élément de $I_n$ est déterminé par $q\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,E(n\mathrm{/}2)]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ (et $p=n-2q$), donc $\mathrm{card}{I}_n=E\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{n}{2}\right)+1$, et $$\sum _{(p,q)\in I_n}\frac{1}{(p+2q+1{)}^{\alpha }}=\frac{E(n\mathrm{/}2)+1}{(n+1{)}^{\alpha }}\mathrm{.}$$ Comme $\frac{n+1}{2}\le E\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{n}{2}\right)+1\le n+1$ : $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{(n+1{)}^{\alpha -1}}\le {\sum }_{I_n}\le \frac{1}{(n+1{)}^{\alpha -1}}$. La série de Riemann $\sum \frac{1}{(n+1{)}^{\alpha -1}}$ converge si et seulement si $\alpha -1>1$. Donc la somme de la famille est finie si et seulement si $\boxed{{\displaystyle \alpha >2.}}$

3. Famille positive. Paquets « équerres » $J_n=\{(p,q)\in ({\mathbb{N}}^{\ast }{)}^2,\max (p,q)=n\}$ pour $n\ge 1$ : $J_n$ contient les couples $(n,q)$, $1\le q\le n$, et $(p,n)$, $1\le p\le n-1$, soit $2n-1$ éléments, sur lesquels le terme vaut $\frac{1}{n^3}$. Par sommation par paquets : $$\sum _{(p,q)\in ({\mathbb{N}}^{\ast }{)}^2}\frac{1}{\max (p,q{)}^3}=\sum _{n\ge 1}\frac{2n-1}{n^3}=2\sum _{n\ge 1}\frac{1}{n^2}-\sum _{n\ge 1}\frac{1}{n^3}$$ (deux séries convergentes, découpage licite). La somme est finie : la famille est sommable et $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \sum \frac{1}{\max (p,q{)}^3}=\frac{{\pi }^2}{3}-\zeta (3)\mathrm{.}}}}$

4. Mêmes paquets $J_n$. Pour $(p,q)\in J_n$, $n^2\le p^2+q^2\le 2n^2$, donc $$\frac{2n-1}{2^{\beta }{n}^{2\beta }}\le \sum _{(p,q)\in J_n}\frac{1}{(p^2+q^2{)}^{\beta }}\le \frac{2n-1}{n^{2\beta }}\mathrm{.}$$ Comme $\frac{2n-1}{n^{2\beta }}\sim \frac{2}{n^{2\beta -1}}$ (termes positifs), la série des paquets converge si et seulement si $2\beta -1>1$. La famille est sommable exactement lorsque $\boxed{{\displaystyle \beta >1.}}$ En particulier $\left(\frac{1}{p^2+q^2}\right)$ n'est pas sommable, alors que chaque série ${\sum }_q\frac{1}{p^2+q^2}$ converge : la sommabilité est une propriété de la famille entière.

1. Famille de réels positifs : Fubini positif (fiche §10). À $n\ge 2$ fixé, série géométrique de raison $\frac{1}{n}\in ]0,1[$ : $$\sum _{p\ge 2}\frac{1}{n^p}=\frac{1\mathrm{/}{n}^2}{1-1\mathrm{/}n}=\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\mathrm{.}$$ Puis ${\sum }_{n\ge 2}(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})=1$ (télescopage, $\frac{1}{n}\to 0$). La somme vaut $1<+\mathrm{\infty }$ : la famille est sommable, de somme $1$. En sommant dans l'autre ordre (toujours permis, Fubini positif), à $p$ fixé : ${\sum }_{n\ge 2}\frac{1}{n^p}=\zeta (p)-1$. Donc $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \sum _{p\ge 2}(\zeta (p)-1)=1.}}}$

2. La sous-famille d'indices $p=2m$ ($m\ge 1$) est positive et sommable (sous-famille). À $n$ fixé : ${\sum }_{m\ge 1}\frac{1}{n^{2m}}=\frac{1\mathrm{/}{n}^2}{1-1\mathrm{/}{n}^2}=\frac{1}{n^2-1}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1})$. Par télescopage (deux termes restent) : ${\sum }_{n\ge 2}\frac{1}{n^2-1}=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2})=\frac{3}{4}$. Par Fubini : $\boxed{{\displaystyle \sum _{m\ge 1}(\zeta (2m)-1)=\frac{3}{4}\mathrm{.}}}$ Les indices pairs et impairs forment une partition de $\{p\ge 2\}$ ; par sommation par paquets dans la question 1 : $\boxed{{\displaystyle \sum _{m\ge 1}(\zeta (2m+1)-1)=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\mathrm{.}}}$

3. La famille $\left(\frac{(-1{)}^p}{n^p}\right)$ est sommable : la famille de ses modules est celle de la question 1. Par Fubini (cas général), à $n$ fixé, ${\sum }_{p\ge 2}{(-\frac{1}{n})}^p=\frac{1\mathrm{/}{n}^2}{1+1\mathrm{/}n}=\frac{1}{n(n+1)}$, puis ${\sum }_{n\ge 2}\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{2}$ (télescopage). Dans l'autre ordre on obtient ${\sum }_p(-1{)}^p(\zeta (p)-1)$. Donc $\boxed{{\displaystyle \sum _{p\ge 2}(-1{)}^p(\zeta (p)-1)=\frac{1}{2}}}$ ; on retrouve $\frac{3}{4}-\frac{1}{4}$.

4. Famille de réels positifs : Fubini positif. À $n\ge 2$ fixé, avec $x=\frac{1}{n}\in ]0,1[$ et la série géométrique dérivée ${\sum }_{p\ge 1}p{x}^p=\frac{x}{(1-x{)}^2}$ (fiche §11) : ${\sum }_{p\ge 2}p{x}^p=\frac{x}{(1-x{)}^2}-x$, donc la ligne vaut $\frac{n}{(n-1{)}^2}-\frac{1}{n}$. Pour $N\ge 2$, en posant $m=n-1$ dans le premier terme, avec $\frac{m+1}{m^2}=\frac{1}{m^2}+\frac{1}{m}$ et $H_N={\sum }_{k=1}^N\frac{1}{k}$ : $$\sum _{n=2}^N(\frac{n}{(n-1{)}^2}-\frac{1}{n})=\sum _{m=1}^{N-1}\frac{1}{m^2}+H_{N-1}-(H_N-1)=\sum _{m=1}^{N-1}\frac{1}{m^2}+1-\frac{1}{N}\underset{N\to +\mathrm{\infty }}{⟶}\zeta (2)+1.$$ La somme est finie : la famille est sommable. À $p$ fixé, la colonne vaut $p{\sum }_{n\ge 2}\frac{1}{n^p}=p(\zeta (p)-1)$. Par Fubini : $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \sum _{p\ge 2}p(\zeta (p)-1)=1+\frac{{\pi }^2}{6}\mathrm{.}}}}$

1. Les deux séries convergent absolument : $\sum \mid q{\mid }^n$ est géométrique, et $\sum (n+1)\mid q{\mid }^n$ converge par d'Alembert (quotient $\frac{n+2}{n+1}\mid q\mid \to \mid q\mid <1$), de somme $\frac{1}{(1-q{)}^2}$ (fiche §11). Le produit de Cauchy a pour terme $$c_n=\sum _{k=0}^n(k+1)q^k{q}^{n-k}=q^n\sum _{k=0}^n(k+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}{q}^n\mathrm{.}$$ Par le théorème du produit de Cauchy : $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \sum _{n\ge 0}\frac{(n+1)(n+2)}{2}{q}^n=\frac{1}{(1-q{)}^3}\mathrm{.}}}}$ Ensuite $n^2=(n+1)(n+2)-3(n+1)+1$ ; les trois séries convergent, donc $$\sum _{n\ge 0}{n}^2{q}^n=\frac{2}{(1-q{)}^3}-\frac{3}{(1-q{)}^2}+\frac{1}{1-q}=\frac{2-3(1-q)+(1-q{)}^2}{(1-q{)}^3}=\boxed{{\displaystyle \frac{q(1+q)}{(1-q{)}^3}}}\mathrm{.}$$ Pour $q=\frac{1}{2}$ : $\boxed{{\displaystyle \sum _{n\ge 0}\frac{n^2}{2^n}=\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}}{\frac{1}{8}}=6.}}$

2. $c_n$ est le terme du produit de Cauchy de $\sum \frac{1}{n!}$ et de $\sum \frac{1}{2^n}$, toutes deux à termes positifs convergentes (donc absolument convergentes), de sommes $e$ et $2$. Donc $\sum c_n$ converge et $\boxed{{\displaystyle \sum _{n\ge 0}{c}_n=2e\mathrm{.}}}$

3. Posons $a_0=0$, $a_k=\frac{1}{k{2}^k}$ pour $k\ge 1$, et $b_m=\frac{1}{2^m}$. Pour $n\ge 1$ : $$\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k{2}^k}\cdot \frac{1}{2^{n-k}}=\frac{H_n}{2^n}\mathrm{.}$$ Les séries $\sum a_k$ (positive, de somme $-\ln (1-\frac{1}{2})=\ln 2$) et $\sum b_m$ (somme $2$) convergent absolument. Par le produit de Cauchy : $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \sum _{n\ge 1}\frac{H_n}{2^n}=2\ln 2.}}}$

4. $c_0=1\cdot b_0=1$ et, pour $n\ge 1$, $c_n={\sum }_{k=0}^n{b}_k=b_0+b_1=0$. Le produit de Cauchy est la série $1+0+0+\cdots$, convergente de somme $1$, alors que $\sum 1$ diverge. La réciproque du théorème est fausse : un produit de Cauchy peut converger sans que les deux séries convergent. Le théorème ne dit rien non plus quand une des séries n'est que semi-convergente (fiche §11).

1. $f:t\mapsto \frac{1}{t\ln t}$ est continue, positive, décroissante sur $[2,+\mathrm{\infty }[$, de primitive $\ln (\ln t)$, non bornée : $f$ n'est pas intégrable. La comparaison série-intégrale (fiche §3) donne ${\sum }_{k=2}^{n}f(k)={\int }_2^{n}f+C+o(1)=\ln (\ln n)-\ln (\ln 2)+C+o(1)$. Comme $\ln (\ln n)\to +\mathrm{\infty }$, les constantes sont négligeables : $\boxed{{\displaystyle \sum _{k=2}^n\frac{1}{k\ln k}\sim \ln (\ln n)\mathrm{.}}}$

2. $g:t\mapsto \frac{1}{t(\ln t{)}^2}$ est continue, positive, décroissante sur $[2,+\mathrm{\infty }[$ et ${\int }_x^{+\mathrm{\infty }}g=\frac{1}{\ln x}$ : $g$ est intégrable, la série converge, et l'encadrement du reste donne $\frac{1}{\ln (n+1)}\le {\rho }_n\le \frac{1}{\ln n}$. Comme $\ln (n+1)\sim \ln n$ : $\boxed{{\displaystyle {\rho }_n\sim {\displaystyle \frac{1}{\ln n}}\mathrm{.}}}$

3. Si $u_n>0$, alors $1+u_n^2>0$ et $u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n^2}>0$ : par récurrence, $(u_n)$ est bien définie et strictement positive. $u_{n+1}-u_n=-\frac{u_n^3}{1+u_n^2}<0$ : elle est décroissante, minorée par $0$, donc converge vers $\mathrm{\ell }\ge 0$. La fonction $h:x\mapsto \frac{x}{1+x^2}$ est continue sur $ℝ$ et $\mathrm{\ell }\in [0,1]$, donc $\mathrm{\ell }=h(\mathrm{\ell })$, soit ${\mathrm{\ell }}^3=0$ : $\boxed{{\displaystyle u_n\to 0.}}$

4. ${\displaystyle \frac{1}{u_{n+1}^2}}-{\displaystyle \frac{1}{u_n^2}}={\displaystyle \frac{(1+u_n^2{)}^2-1}{u_n^2}}=2+u_n^2\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{⟶}2$. La suite constante $v_k=2$ est positive et $\sum v_k$ diverge ; par sommation des relations de comparaison (cas divergent, fiche §4 ; c'est ici le lemme de Cesàro), $\frac{1}{u_n^2}-\frac{1}{u_0^2}={\sum }_{k=0}^{n-1}(2+u_k^2)\sim 2n$. Donc $\frac{1}{u_n^2}\sim 2n$ et, la racine carrée conservant les équivalents, $\boxed{{\displaystyle u_n\sim {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2n}}}\mathrm{.}}}$

5. En sommant l'identité de la question 4 de $0$ à $n-1$ (avec $u_0=1$) : $$\frac{1}{u_n^2}=1+2n+\sum _{k=0}^{n-1}{u}_k^2\mathrm{.}$$ D'après la question 4, $u_k^2\sim \frac{1}{2k}$ ; la suite $\left(\frac{1}{2k}\right)$ est positive et sa série diverge. La sommation des relations de comparaison (cas divergent) donne ${\sum }_{k=1}^{n-1}{u}_k^2\sim \frac{1}{2}{\sum }_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}\sim \frac{1}{2}\ln n$. Donc $1+{\sum }_{k=0}^{n-1}{u}_k^2=\frac{1}{2}\ln n+o(\ln n)$ et $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{u_n^2}}=2n+{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln n+o(\ln n)\mathrm{.}}}$

6. $\frac{1}{u_n^2}=2n(1+{\epsilon }_n)$ avec ${\epsilon }_n=\frac{\ln n}{4n}+o\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{\ln n}{n}\right)\to 0$. Donc $u_n=\frac{1}{\sqrt{2n}}(1+{\epsilon }_n{)}^{-1\mathrm{/}2}$ et $(1+{\epsilon }_n{)}^{-1\mathrm{/}2}=1-\frac{{\epsilon }_n}{2}+O({\epsilon }_n^2)$, avec ${\epsilon }_n^2=O\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{{\ln }^{2}n}{n^2}\right)=o\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{\ln n}{n}\right)$. D'où $\boxed{{\displaystyle u_n={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2n}}}(1-{\displaystyle \frac{\ln n}{8n}}+o\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{\ln n}{n}}\right))\mathrm{.}}}$

1. ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}={\displaystyle \frac{3n+1}{3n+3}}=1-{\displaystyle \frac{2}{3(n+1)}}$, et ${\displaystyle \frac{2}{3(n+1)}}-{\displaystyle \frac{2}{3n}}=-{\displaystyle \frac{2}{3n(n+1)}}=O\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{1}{n^2}}\right)$. D'où le résultat. Le quotient tend vers $1$ : d'Alembert ne permet pas de conclure.

2. $w_n=\frac{2}{3}\ln (1+\frac{1}{n})+\ln (1-\frac{2}{3(n+1)})$. Avec $\ln (1+x)=x+O(x^2)$ en $0$ : $$w_n=\frac{2}{3n}-\frac{2}{3(n+1)}+O\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{n^2}\right)=\frac{2}{3n(n+1)}+O\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{n^2}\right)=O\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{n^2}\right)\mathrm{.}$$ La série $\sum w_n$ converge donc absolument (comparaison à $\sum \frac{1}{n^2}$). Ses sommes partielles valent ${\sum }_{k=1}^{n-1}{w}_k=\ln (n^{2\mathrm{/}3}{u}_n)-\ln u_1$ : la suite $(\ln (n^{2\mathrm{/}3}{u}_n))$ converge vers un réel $\lambda$, et par continuité de $\exp$, $n^{2\mathrm{/}3}{u}_n\to C=e^{\lambda }>0$. $\boxed{{\displaystyle u_n\sim {\displaystyle \frac{C}{n^{2\mathrm{/}3}}},C>0.}}$

3. Les séries $\sum u_n$, $\sum u_n^2$, $\sum u_n^{3\mathrm{/}2}$ sont à termes positifs, et $u_n^a\sim \frac{C^a}{n^{2a\mathrm{/}3}}$. Par comparaison aux séries de Riemann :

• $\sum u_n$ : exposant $\frac{2}{3}\le 1$, $\boxed{{\displaystyle \text{diverge}}}$ ;
• $\sum u_n^2$ : exposant $\frac{4}{3}>1$, $\boxed{{\displaystyle \text{converge}}}$ ;
• $\sum u_n^{3\mathrm{/}2}$ : exposant $1$, $\boxed{{\displaystyle \text{diverge}}}$.

$\sum (-1{)}^n{u}_n$ : $(u_n)$ est décroissante ($\frac{u_{n+1}}{u_n}<1$) et tend vers $0$ (question 2). Par le critère spécial des séries alternées, $\boxed{{\displaystyle \sum (-1{)}^n{u}_n\text{ converge}}}$, sans converger absolument.

4. Somme partielle. $u_k\sim C{k}^{-2\mathrm{/}3}$ avec $k^{-2\mathrm{/}3}>0$ et $\sum k^{-2\mathrm{/}3}$ divergente : sommation des relations de comparaison (cas divergent), $S_n\sim C{\sum }_{k=1}^n{k}^{-2\mathrm{/}3}$. Par comparaison série-intégrale ($t\mapsto t^{-2\mathrm{/}3}$ positive décroissante, non intégrable en $+\mathrm{\infty }$), ${\sum }_{k=1}^n{k}^{-2\mathrm{/}3}={\int }_1^n{t}^{-2\mathrm{/}3}dt+O(1)=3n^{1\mathrm{/}3}+O(1)\sim 3n^{1\mathrm{/}3}$. $\boxed{{\displaystyle S_n\sim 3C{n}^{1\mathrm{/}3}\mathrm{.}}}$

Reste. $u_k^2\sim C^2{k}^{-4\mathrm{/}3}$, série positive convergente : sommation (cas convergent), ${\sum }_{k>n}{u}_k^2\sim C^2{\sum }_{k>n}{k}^{-4\mathrm{/}3}$, et l'encadrement série-intégrale donne ${\sum }_{k>n}{k}^{-4\mathrm{/}3}\sim {\int }_n^{+\mathrm{\infty }}{t}^{-4\mathrm{/}3}dt=3n^{-1\mathrm{/}3}$. $\boxed{{\displaystyle \sum _{k>n}{u}_k^2\sim 3C^2{n}^{-1\mathrm{/}3}\mathrm{.}}}$

(On peut montrer que $C=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1\mathrm{/}3)}$ ; ce n'est pas demandé.)

1.(a) $\mid r^{\mid n\mid }{e}^{in\theta }\mid =r^{\mid n\mid }$. Les séries ${\sum }_{n\ge 0}{r}^n$ et ${\sum }_{n\ge 1}{r}^{\mid -n\mid }={\sum }_{n\ge 1}{r}^n$ convergent (géométriques, $0\le r<1$) : par la caractérisation des familles sommables indexées par $\mathbb{Z}$ (fiche §12), $\boxed{{\displaystyle \text{la famille est sommable.}}}$

(b) On regroupe $n$ et $-n$ (sommation par paquets, licite car la famille est sommable). Avec $z=r{e}^{i\theta }$, $\mid z\mid =r<1$ : $$P_r(\theta )=1+\sum _{n\ge 1}(z^n+{\bar{z}}^n)=1+2\mathrm{Re}\frac{z}{1-z}=\mathrm{Re}\frac{1+z}{1-z}=\frac{\mathrm{Re}((1+z)(1-\bar{z}))}{\mid 1-z{\mid }^2}=\frac{1-\mid z{\mid }^2}{\mid 1-z{\mid }^2}\mathrm{.}$$ Comme $\mid 1-z{\mid }^2=1-2r\cos \theta +r^2$ : $\boxed{{\displaystyle P_r(\theta )={\displaystyle \frac{1-r^2}{1-2r\cos \theta +r^2}}\mathrm{.}}}$ Le dénominateur vaut $\mid 1-z{\mid }^2>0$ ($z\mathrm{\ne }1$) et le numérateur est $>0$ : $P_r(\theta )>0$. Pour $\theta =0$ : $\boxed{{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{Z}}{r}^{\mid n\mid }={\displaystyle \frac{1-r^2}{(1-r{)}^2}}={\displaystyle \frac{1+r}{1-r}}\mathrm{.}}}$

2.(a) Famille positive : Fubini positif, en sommant d'abord sur $n$ à $k$ fixé. L'application $n\mapsto n-k$ est une bijection de $\mathbb{Z}$, donc (invariance par permutation) ${\sum }_{n\in \mathbb{Z}}{s}^{\mid n-k\mid }={\sum }_{m\in \mathbb{Z}}{s}^{\mid m\mid }=\frac{1+s}{1-s}$. Puis $$\sum _{(k,n)\in {\mathbb{Z}}^2}{r}^{\mid k\mid }{s}^{\mid n-k\mid }=\frac{1+s}{1-s}\sum _{k\in \mathbb{Z}}{r}^{\mid k\mid }=\boxed{{\displaystyle \frac{(1+r)(1+s)}{(1-r)(1-s)}}}<+\mathrm{\infty }:$$ la famille est sommable.

(b) La famille ${\left(r^{\mid k\mid }{s}^{\mid n-k\mid }{e}^{in\theta }\right)}_{(k,n)\in {\mathbb{Z}}^2}$ a pour modules la famille de 2(a) : elle est sommable. Fubini (cas général) s'applique dans les deux ordres.

• À $n$ fixé, on somme sur $k$ : $e^{in\theta }{c}_n$. En particulier ($\theta =0$ et 2(a)) la famille positive $(c_n)$ est sommable.
• À $k$ fixé, on somme sur $n$, en écrivant $e^{in\theta }=e^{ik\theta }{e}^{i(n-k)\theta }$ et en posant $m=n-k$ : $r^{\mid k\mid }{e}^{ik\theta }{\sum }_{m\in \mathbb{Z}}{s}^{\mid m\mid }{e}^{im\theta }=r^{\mid k\mid }{e}^{ik\theta }{P}_s(\theta )$ ; puis la somme sur $k$ donne $P_r(\theta )P_s(\theta )$.

Donc $\boxed{{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{Z}}{c}_n{e}^{in\theta }=P_r(\theta )P_s(\theta )\mathrm{.}}}$ (C'est le produit de convolution de la fiche §12.)

3.(a) $c_0={\sum }_{k\in \mathbb{Z}}{r}^{\mid k\mid }{s}^{\mid k\mid }={\sum }_{k\in \mathbb{Z}}(rs{)}^{\mid k\mid }=\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{1+rs}{1-rs}}}}$ (question 1(b) avec $rs\in [0,1[$).

(b) La bijection $k\mapsto -k$ de $\mathbb{Z}$ donne $c_{-n}={\sum }_k{r}^{\mid k\mid }{r}^{\mid -n-k\mid }={\sum }_k{r}^{\mid -k\mid }{r}^{\mid n-k\mid }=c_n$. Soit $n\ge 0$. On découpe $\mathbb{Z}$ en trois paquets (sommation par paquets, famille positive) :

• $0\le k\le n$ : $\mid k\mid +\mid n-k\mid =n$, soit $n+1$ termes égaux à $r^n$ ;
• $k=-j$, $j\ge 1$ : $\mid k\mid +\mid n-k\mid =n+2j$, somme $r^n{\sum }_{j\ge 1}{r}^{2j}=r^n\frac{r^2}{1-r^2}$ ;
• $k=n+j$, $j\ge 1$ : même exposant $n+2j$, même somme.

Donc $c_n=r^n(n+1+\frac{2r^2}{1-r^2})=\boxed{{\displaystyle r^n(n+{\displaystyle \frac{1+r^2}{1-r^2}})}}\mathrm{.}$

(c) Pour $\theta =0$ et $s=r$ : ${\left(\frac{1+r}{1-r}\right)}^2={\sum }_{n\in \mathbb{Z}}{c}_n=c_0+2{\sum }_{n\ge 1}{c}_n$. Avec 3(b) : $$\sum _{n\in \mathbb{Z}}{c}_n=2\sum _{n\ge 1}n{r}^n+\frac{1+r^2}{1-r^2}\sum _{n\in \mathbb{Z}}{r}^{\mid n\mid }=2\sum _{n\ge 1}n{r}^n+\frac{1+r^2}{(1-r{)}^2}$$ (les deux séries $\sum n{r}^n$ et $\sum r^{\mid n\mid }$ convergent, le découpage est licite). Donc $2{\sum }_{n\ge 1}n{r}^n=\frac{(1+r{)}^2-(1+r^2)}{(1-r{)}^2}=\frac{2r}{(1-r{)}^2}$, soit $\boxed{{\displaystyle \sum _{n\ge 1}n{r}^n={\displaystyle \frac{r}{(1-r{)}^2}}}}$, comme en 1re année.

1. Les blocs utilisent tous les impairs $2k-1$ (un par bloc) et, pour les pairs, les entiers $j$ des intervalles $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[q(k-1)+1,qk]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, qui forment une partition de ${\mathbb{N}}^{\ast }$ : chaque $\frac{1}{2j}$ apparaît une fois. Après $K$ blocs : $${\mathrm{\Sigma }}_K=\sum _{k=1}^K\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2}\sum _{j=1}^{qK}\frac{1}{j}\mathrm{.}$$ Or ${\sum }_{k=1}^K\frac{1}{2k-1}=H_{2K}-{\sum }_{k=1}^K\frac{1}{2k}=H_{2K}-\frac{1}{2}{H}_K$. D'où $\boxed{{\displaystyle {\mathrm{\Sigma }}_K=H_{2K}-\frac{1}{2}{H}_K-\frac{1}{2}{H}_{qK}\mathrm{.}}}$

2. ${\mathrm{\Sigma }}_K=\ln (2K)+\gamma -\frac{1}{2}(\ln K+\gamma )-\frac{1}{2}(\ln (qK)+\gamma )+o(1)=\ln 2-\frac{1}{2}\ln q+o(1)$ : $\boxed{{\displaystyle {\mathrm{\Sigma }}_K\to \ln 2-\frac{1}{2}\ln q\mathrm{.}}}$

3. Soit $m$ avec $(q+1)K\le m<(q+1)(K+1)$. $T_m-{\mathrm{\Sigma }}_K$ est une somme d'au plus $q$ termes du bloc $K+1$, chacun de valeur absolue au plus $\frac{1}{2K+1}$ (le terme positif vaut $\frac{1}{2K+1}$, les termes négatifs $\frac{1}{2j}$ avec $j\ge qK+1\ge K+1$). Donc $\mid T_m-{\mathrm{\Sigma }}_K\mid \le \frac{q}{2K+1}$. Quand $m\to +\mathrm{\infty }$, $K=E\left(\frac{m}{q+1}\right)\to +\mathrm{\infty }$, d'où $T_m\to \ln 2-\frac{1}{2}\ln q$ : la série réordonnée converge vers $\ln 2-\frac{1}{2}\ln q$.