Une fonction vectorielle est une application $f:I\to E$. Si $ℬ=(e_1,\dots ,e_n)$ est une base de $E$, on écrit $f(t)={\sum }_{i=1}^n{f}_i(t)e_i$ : les $f_i:I\to 𝕂$ sont les fonctions coordonnées de $f$ dans $ℬ$. Cas usuels : $E={ℝ}^2$ ou ${ℝ}^3$ (mouvement d'un point), $E={ℳ}_{n,1}(𝕂)$ (inconnue d'un système), $E={ℳ}_n(𝕂)$ (fonction matricielle $t\mapsto A(t)$).

• $f$ tend vers $\mathrm{\ell }\in E$ en $t_0$ (point de $I$ ou extrémité de $I$) si $\parallel f(t)-\mathrm{\ell }\parallel \to 0$ quand $t\to t_0$.
• Lecture par coordonnées : $f(t)\to \mathrm{\ell }$ si et seulement si chaque $f_i(t)$ tend vers la coordonnée ${\mathrm{\ell }}_i$ de $\mathrm{\ell }$ ; de même, $f$ est continue si et seulement si toutes ses fonctions coordonnées le sont. C'est la conséquence directe de l'équivalence des normes (§ Dimension finie) avec la norme ${\max }_i\mid x_i\mid$.
• Toute application linéaire (ou multilinéaire) définie sur des espaces de dimension finie est continue : si $f$ et $g$ sont continues, le sont aussi $u\circ f$ ($u$ linéaire), $t\mapsto A(t)B(t)$ (produit matriciel), $t\mapsto ⟨f(t),g(t)⟩$, $t\mapsto \det A(t)$.

Définition. $f:I\to E$ est dérivable en $t_0\in I$ si le taux d'accroissement ${\displaystyle \frac{1}{t-t_0}}(f(t)-f(t_0))$ admet une limite dans $E$ quand $t\to t_0$, $t\mathrm{\ne }{t}_0$ ; cette limite est le vecteur dérivé $f^{\mathrm{\prime }}(t_0)$. De façon équivalente : $f(t_0+h)=f(t_0)+h{f}^{\mathrm{\prime }}(t_0)+h\epsilon (h)$ avec $\epsilon (h)\to 0_E$.

• Par coordonnées : la dérivabilité de $f$ en $t_0$ équivaut à celle de chaque $f_i$, et $f^{\mathrm{\prime }}(t_0)={\sum }_i{f}_i^{\mathrm{\prime }}(t_0)e_i$. On dérive donc une matrice coefficient par coefficient. Même chose pour la classe $C^k$ : $f$ est $C^k$ si et seulement si ses coordonnées le sont.
• Pour $E=ℂ$ vu comme $ℝ$-espace de dimension 2, on retrouve « dériver la partie réelle et la partie imaginaire » (Dérivabilité § 10).

Opérations. Soient $f,g:I\to E$ dérivables en $t$.

1. Linéarité : $(\lambda f+g{)}^{\mathrm{\prime }}=\lambda f^{\mathrm{\prime }}+g^{\mathrm{\prime }}$.
2. Application linéaire : si $u\in ℒ(E,F)$, alors $(u\circ f{)}^{\mathrm{\prime }}=u\circ f^{\mathrm{\prime }}$. Exemples : $({}^{t}A{)}^{\mathrm{\prime }}={}^t(A^{\mathrm{\prime }})$, $(\mathrm{tr}A{)}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{tr}(A^{\mathrm{\prime }})$, $(PA{)}^{\mathrm{\prime }}=P{A}^{\mathrm{\prime }}$ pour une matrice constante $P$.
3. Application bilinéaire $B:E\times F\to G$ : $(B(f,g){)}^{\mathrm{\prime }}=B(f^{\mathrm{\prime }},g)+B(f,g^{\mathrm{\prime }})$. Cas à connaître :
   • produit matriciel : $(AB{)}^{\mathrm{\prime }}=A^{\mathrm{\prime }}B+A{B}^{\mathrm{\prime }}$, dans cet ordre ; en particulier $(A^2{)}^{\mathrm{\prime }}=A^{\mathrm{\prime }}A+A{A}^{\mathrm{\prime }}$, qui n'est égal à $2A{A}^{\mathrm{\prime }}$ que si $A$ et $A^{\mathrm{\prime }}$ commutent ;
   • produit scalaire réel : $⟨f,g{⟩}^{\mathrm{\prime }}=⟨f^{\mathrm{\prime }},g⟩+⟨f,g^{\mathrm{\prime }}⟩$, donc ${(\parallel f{\parallel }^2)}^{\mathrm{\prime }}=2⟨f,f^{\mathrm{\prime }}⟩$ pour la norme euclidienne ;
   • produit vectoriel dans ${ℝ}^3$ : $(f\wedge g{)}^{\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }}\wedge g+f\wedge g^{\mathrm{\prime }}$ (ordre à respecter : $\wedge$ est antisymétrique).
4. Application multilinéaire : le déterminant de $n$ vecteurs se dérive « une colonne à la fois » : $$(\det (c_1,\dots ,c_n){)}^{\mathrm{\prime }}=\sum _{j=1}^n\det (c_1,\dots ,c_{j-1},c_j^{\mathrm{\prime }},c_{j+1},\dots ,c_n)\mathrm{.}$$
5. Composée : si $\phi :J\to I$ est dérivable (changement de paramètre), $(f\circ \phi {)}^{\mathrm{\prime }}={\phi }^{\mathrm{\prime }}\cdot (f^{\mathrm{\prime }}\circ \phi )$.
6. Formule de Leibniz pour une application bilinéaire $B$ et $f,g$ de classe $C^k$ : $B(f,g{)}^{(k)}={\sum }_{j=0}^k\left(\genfrac{}{}{0px}{}{k}{j}\right)B(f^{(j)},g^{(k-j)})$.

Conséquences classiques.

• $\parallel f\parallel$ est constante (norme euclidienne) si et seulement si $⟨f(t),f^{\mathrm{\prime }}(t)⟩=0$ pour tout $t$ : un mouvement à distance constante de l'origine a une vitesse orthogonale au rayon.
• Si $M:I\to O_n(ℝ)$ est dérivable, alors en dérivant ${}^{t}MM=I_n$ : ${}^t{M}^{\mathrm{\prime }}M+{}^{t}M{M}^{\mathrm{\prime }}=0$, c'est-à-dire que ${}^{t}M(t)M^{\mathrm{\prime }}(t)$ est antisymétrique pour tout $t$.
• $f^{\mathrm{\prime }}=0$ sur l'intervalle $I$ $\Rightarrow$ $f$ constante (appliquer le résultat réel à chaque coordonnée).

Pour $f:[a,b]\to E$ continue par morceaux (chaque coordonnée l'est), on pose ${\displaystyle {\int }_a^{b}f=\sum _{i=1}^n\left({\int }_a^b{f}_i\right)e_i}$. Ce vecteur ne dépend pas de la base choisie (changement de base linéaire, intégrale linéaire).

Propriétés (toutes héritées des coordonnées, voir Intégration § 5) : linéarité, relation de Chasles, $u\left({\int }_a^{b}f\right)={\int }_a^{b}u\circ f$ pour $u$ linéaire (en particulier $P\int A=\int PA$ pour une matrice constante $P$), et sommes de Riemann : ${\displaystyle \frac{b-a}{N}}{\sum }_{k=0}^{N-1}f\text{\hspace{0.17em}⁣}(a+k\frac{b-a}{N})\to {\int }_a^{b}f$.

Inégalité triangulaire. Pour $a\le b$ et toute norme : $\parallel {\int }_a^{b}f\parallel \le {\int }_a^b\parallel f\parallel$ (passer à la limite dans l'inégalité triangulaire appliquée aux sommes de Riemann). La positivité, elle, n'a pas de sens : il n'y a pas d'ordre dans $E$.

Théorème fondamental. Si $f:I\to E$ est continue et $a\in I$, la fonction $F:x\mapsto {\int }_a^{x}f$ est de classe $C^1$, de dérivée $f$, et c'est la seule primitive de $f$ nulle en $a$ ; pour toute fonction $g$ de classe $C^1$ sur $I$, $g(b)-g(a)={\int }_a^b{g}^{\mathrm{\prime }}$.

Inégalité des accroissements finis. Hypothèses : $f:I\to E$ de classe $C^1$ ; il existe $M\ge 0$ tel que $\parallel f^{\mathrm{\prime }}(t)\parallel \le M$ pour tout $t\in I$. Conclusion : $\parallel f(b)-f(a)\parallel \le M\mid b-a\mid$ pour tous $a,b\in I$. (Preuve : $f(b)-f(a)={\int }_a^b{f}^{\mathrm{\prime }}$ puis inégalité triangulaire.)

Ce qui ne passe pas au cas vectoriel : le théorème de Rolle et l'égalité des accroissements finis. Contre-exemple : $f(t)=(\cos t,\sin t)$ vérifie $f(0)=f(2\pi )$ mais $\parallel f^{\mathrm{\prime }}(t)\parallel =1$ ne s'annule jamais. Seule l'inégalité survit.

Pour $f:I\to E$ de classe $C^{p+1}$ et $a,b\in I$ :

• Reste intégral : ${\displaystyle f(b)=\sum _{k=0}^p\frac{(b-a{)}^k}{k!}{f}^{(k)}(a)+{\int }_a^b\frac{(b-t{)}^p}{p!}{f}^{(p+1)}(t)dt}$ (coordonnée par coordonnée, Intégration § 10).
• Inégalité de Taylor-Lagrange : si $\parallel f^{(p+1)}\parallel \le M$ sur le segment d'extrémités $a$ et $b$, alors $\parallel f(b)-{\sum }_{k=0}^p\frac{(b-a{)}^k}{k!}{f}^{(k)}(a)\parallel \le M{\displaystyle \frac{\mid b-a{\mid }^{p+1}}{(p+1)!}}$.
• Taylor-Young ($f$ de classe $C^p$ suffit) : $f(a+h)={\sum }_{k=0}^p{\displaystyle \frac{h^k}{k!}}{f}^{(k)}(a)+o(h^p)$ quand $h\to 0$, le $o(h^p)$ étant un vecteur dont la norme est négligeable devant $h^p$.

L'égalité de Taylor-Lagrange (avec un point intermédiaire $c$) est fausse pour une fonction vectorielle, pour la même raison que Rolle.

Un arc paramétré de classe $C^k$ est un couple $(I,f)$ avec $f:I\to {ℝ}^2$ de classe $C^k$, $f(t)=(x(t),y(t))$. On note $M(t)$ le point de coordonnées $f(t)$ ; l'ensemble $\{M(t),t\in I\}$ est le support (la trajectoire). Si l'on voit $t$ comme le temps, $f^{\mathrm{\prime }}(t)$ donne la vitesse du point mobile et $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)$ son accélération.

Points réguliers. $t_0$ est régulier si $f^{\mathrm{\prime }}(t_0)\mathrm{\ne }0$ ; sinon il est stationnaire (ou singulier). En un point régulier, l'arc admet une tangente dirigée par $f^{\mathrm{\prime }}(t_0)=(x^{\mathrm{\prime }}(t_0),y^{\mathrm{\prime }}(t_0))$, d'équation $y^{\mathrm{\prime }}(t_0)(X-x(t_0))-x^{\mathrm{\prime }}(t_0)(Y-y(t_0))=0$. Tangente horizontale si $y^{\mathrm{\prime }}(t_0)=0\mathrm{\ne }{x}^{\mathrm{\prime }}(t_0)$, verticale si $x^{\mathrm{\prime }}(t_0)=0\mathrm{\ne }{y}^{\mathrm{\prime }}(t_0)$.

Point stationnaire (vu dans la plupart des cours ; certains se limitent aux points réguliers). Si $f$ est assez régulière, on note $p$ le plus petit entier $\ge 1$ tel que $f^{(p)}(t_0)\mathrm{\ne }0$, puis $q>p$ le plus petit entier tel que $f^{(q)}(t_0)$ ne soit pas colinéaire à $f^{(p)}(t_0)$. Par Taylor-Young, la tangente est dirigée par $f^{(p)}(t_0)$, et l'allure locale dépend des parités :

$p$	$q$	allure au point $M(t_0)$
impair	pair	point ordinaire (l'arc traverse la tangente sans s'arrêter)
impair	impair	point d'inflexion
pair	impair	rebroussement de 1re espèce
pair	pair	rebroussement de 2e espèce

Un point régulier correspond à $p=1$ ; si de plus $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t_0)$ n'est pas colinéaire à $f^{\mathrm{\prime }}(t_0)$, on a $q=2$ et le point est ordinaire.

Plan d'étude d'un arc plan.

1. Domaine de définition, puis réduction : périodicité commune ; $t\mapsto -t$ ($x$ et $y$ paires : on étudie sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ ; $x$ paire et $y$ impaire : symétrie d'axe $(Ox)$ ; $x$ impaire et $y$ paire : axe $(Oy)$ ; toutes deux impaires : symétrie de centre $O$).
2. Variations de $x$ et $y$ dans un même tableau (signes de $x^{\mathrm{\prime }}$ et $y^{\mathrm{\prime }}$), points stationnaires, tangentes horizontales et verticales.
3. Branches infinies quand $t\to t_0$ (fini ou infini) :
   • $x\to \mathrm{\ell }$ et $y\to \pm \mathrm{\infty }$ : asymptote verticale $X=\mathrm{\ell }$ ; $x\to \pm \mathrm{\infty }$ et $y\to \mathrm{\ell }$ : asymptote horizontale $Y=\mathrm{\ell }$ ;
   • $x$ et $y$ infinis : on étudie ${\displaystyle \frac{y}{x}}$. S'il tend vers $\pm \mathrm{\infty }$, branche parabolique de direction $(Oy)$ ; vers $0$, de direction $(Ox)$ ; vers $a\mathrm{\ne }0$, on étudie $y-ax$ : limite $b$ finie donne l'asymptote $Y=aX+b$ (position par le signe de $y-ax-b$), limite infinie une branche parabolique de direction $Y=aX$.
4. Tracé, puis éventuellement points multiples : résoudre $f(t)=f(u)$ avec $t\mathrm{\ne }u$.

Longueur d'un arc, abscisse curviligne et courbure figurent dans certains cours de PC2 ; elles ne sont pas exigées en MP2 (voir la carte).

Séries vectorielles. Une série $\sum u_k$ d'éléments de $E$ (dimension finie) converge si la suite de ses sommes partielles converge, ce qui revient à la convergence de chaque série coordonnée. Si $\sum \parallel u_k\parallel$ converge (convergence absolue), alors $\sum u_k$ converge et $\parallel {\sum }_{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k\parallel \le {\sum }_{k=0}^{+\mathrm{\infty }}\parallel u_k\parallel$ : pour la norme ${\max }_i\mid x_i\mid$, chaque série coordonnée est absolument convergente (Séries numériques § 11), puis on utilise l'équivalence des normes.

Définition. On munit ${ℳ}_n(𝕂)$ d'une norme sous-multiplicative ($\parallel AB\parallel \le \parallel A\parallel \parallel B\parallel$, par exemple une norme subordonnée, § Applications linéaires continues). Pour $A\in {ℳ}_n(𝕂)$, $\parallel \frac{A^k}{k!}\parallel \le \frac{\parallel A{\parallel }^k}{k!}$, terme général d'une série convergente de somme $e^{\parallel A\parallel }$. La série $\sum \frac{A^k}{k!}$ converge donc absolument, et on pose $$\exp (A)=e^A=\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{A^k}{k!},\text{avec }{A}^0=I_n\mathrm{.}$$ De même, pour $u\in ℒ(E)$, $\exp (u)={\sum }_{k\ge 0}\frac{u^k}{k!}$, et ${\mathrm{Mat}}_{ℬ}(\exp u)=\exp \left({\mathrm{Mat}}_{ℬ}u\right)$.

Propriétés. Soient $A,B\in {ℳ}_n(𝕂)$.

1. $\exp (0_n)=I_n$ ; $\exp (\lambda I_n)=e^{\lambda }{I}_n$ ; $\parallel \exp (A)\parallel \le e^{\parallel A\parallel }$ pour une norme subordonnée (pour laquelle $\parallel I_n\parallel =1$).
2. Diagonale : $\exp (\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n))=\mathrm{diag}(e^{{\lambda }_1},\dots ,e^{{\lambda }_n})$ ; triangulaire : $\exp (T)$ est triangulaire, de diagonale $(e^{t_{11}},\dots ,e^{t_{nn}})$.
3. Similitude : $\exp (PA{P}^{-1})=P\exp (A)P^{-1}$ (car $(PA{P}^{-1}{)}^k=P{A}^k{P}^{-1}$, puis passage à la limite : $M\mapsto PM{P}^{-1}$ est linéaire donc continue). Transposée : $\exp ({}^{t}A)={}^t\exp (A)$.
4. Nilpotente : si $N^q=0$, $\exp (N)={\sum }_{k=0}^{q-1}\frac{N^k}{k!}$, somme finie.
5. Commutation : si $AB=BA$, alors $A$ commute avec $\exp (B)$ et $$\exp (A+B)=\exp (A)\exp (B)=\exp (B)\exp (A)\mathrm{.}$$ Sans l'hypothèse $AB=BA$, c'est faux en général (exercice 8). Preuve admise ou faite par dérivation (§ 8).
6. Inversibilité : $\exp (A)\in G{L}_n(𝕂)$ et $\exp (A{)}^{-1}=\exp (-A)$ ($A$ et $-A$ commutent).
7. Valeurs propres : si $AX=\lambda X$, alors $\exp (A)X=e^{\lambda }X$. Si ${\chi }_A$ est scindé de racines ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ (avec multiplicité), les valeurs propres de $\exp (A)$ sont $e^{{\lambda }_1},\dots ,e^{{\lambda }_n}$ (trigonaliser et utiliser 2 et 3).
8. Déterminant : $\det (\exp (A))=e^{\mathrm{tr}A}$ (trigonaliser dans ${ℳ}_n(ℂ)$ : $\det \exp (T)=\prod e^{t_{ii}}=e^{\mathrm{tr}T}$). En particulier, pour $A$ réelle, $\det \exp (A)>0$.
9. Continuité : $A\mapsto \exp (A)$ est continue sur ${ℳ}_n(𝕂)$ (convergence normale de la série sur toute boule).
10. $\exp (A)$ est un polynôme en $A$ : les sommes partielles sont dans $𝕂[A]$, sous-espace de dimension finie donc fermé.

1. $A$ diagonalisable, $A=PD{P}^{-1}$ : $e^{tA}=P\mathrm{diag}(e^{t{\lambda }_1},\dots ,e^{t{\lambda }_n})P^{-1}$. Si l'on veut seulement résoudre $X^{\mathrm{\prime }}=AX$, inutile de calculer $P^{-1}$ (§ 13).
2. $A=\lambda I_n+N$ avec $N$ nilpotente (une seule valeur propre $\lambda$, $N=A-\lambda I_n$, $N^q=0$ par Cayley-Hamilton) : $\lambda I_n$ commute avec tout, donc $e^{tA}=e^{\lambda t}(I_n+tN+\cdots +\frac{t^{q-1}}{(q-1)!}{N}^{q-1})$.
3. Décomposition de Dunford $A=D+N$, $D$ diagonalisable, $N$ nilpotente, $DN=ND$ (Réduction § 9) : $e^{tA}=e^{tD}{e}^{tN}$, avec $e^{tN}$ somme finie.
4. Polynôme annulateur simple : on réduit les puissances. Exemples :
   • si $A^2=I_n$ : $e^{tA}=\mathrm{ch}(t)I_n+\mathrm{sh}(t)A$ ;
   • si $A^2=-I_n$ (par exemple $J=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$) : $e^{tA}=\cos (t)I_n+\sin (t)A$, d'où $e^{\theta J}=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$, matrice de rotation ;
   • si $A^3=A$ ou $A^3=-A$ : exercice 5.
5. Interpolation : si $A$ est diagonalisable de valeurs propres distinctes ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_r$, alors $e^{tA}={\sum }_i{e}^{t{\lambda }_i}{L}_i(A)$, où les $L_i$ sont les polynômes de Lagrange associés aux ${\lambda }_i$ (les $L_i(A)$ sont les projecteurs propres).
6. Par le système différentiel : la $j$-ième colonne de $e^{tA}$ est la solution de $X^{\mathrm{\prime }}=AX$, $X(0)=E_j$ (§ 13). On résout le système avec une condition initiale quelconque, puis on lit la matrice.
7. Matrice réelle à valeurs propres complexes : on travaille dans ${ℳ}_n(ℂ)$ ; le résultat est réel (la série est réelle), ce qui sert de vérification.

Exemple. $A=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$ : ${\chi }_A=(X-2{)}^2$, $N=A-2I_2=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& -1\end{array}\right)$, $N^2=0$, donc $e^{tA}=e^{2t}(I_2+tN)=e^{2t}\left(\begin{array}{cc}1+t& -t\\ t& 1-t\end{array}\right)$. Contrôle : $\det e^{tA}=e^{4t}=e^{t\mathrm{tr}A}$.

Théorème. Hypothèse : $A\in {ℳ}_n(𝕂)$ (constante). Conclusion : $\phi :t\mapsto e^{tA}$ est de classe $C^{\mathrm{\infty }}$ sur $ℝ$ et ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)=A{e}^{tA}=e^{tA}A$.

Preuve. On dérive terme à terme la série $\sum \frac{t^k{A}^k}{k!}$ (Suites et séries de fonctions § 6, appliqué à chaque coefficient) : sur $[-a,a]$, la série des dérivées ${\sum }_{k\ge 1}\frac{t^{k-1}{A}^k}{(k-1)!}$ converge normalement car $\parallel \frac{t^{k-1}{A}^k}{(k-1)!}\parallel \le \parallel A\parallel \frac{(a\parallel A\parallel {)}^{k-1}}{(k-1)!}$. Sa somme vaut $A{e}^{tA}$. On recommence pour les dérivées suivantes.

Conséquences.

• $e^{(s+t)A}=e^{sA}{e}^{tA}$ ($sA$ et $tA$ commutent) ; $(e^{tA}{)}^{-1}=e^{-tA}$.
• Preuve de la propriété 5 du § 6 : si $AB=BA$, $\psi (t)=e^{t(A+B)}{e}^{-tA}{e}^{-tB}$ a une dérivée nulle (dériver le produit, puis faire passer $A$ et $B$ à travers les exponentielles qui commutent avec eux), donc $\psi (t)=\psi (0)=I_n$ ; on prend $t=1$.
• Plus généralement, si $t\mapsto A(t)$ est dérivable et si $A(t)$ commute avec $A^{\mathrm{\prime }}(t)$, on n'a pas forcément $(e^{A(t)}{)}^{\mathrm{\prime }}=A^{\mathrm{\prime }}(t)e^{A(t)}$ sans justification : la formule simple n'est garantie que pour $A(t)=tA$ (ou pour des $A(t)$ qui commutent toutes entre elles).

Définition. Soient $A:I\to {ℳ}_n(𝕂)$ et $B:I\to {ℳ}_{n,1}(𝕂)$ continues. Une équation différentielle linéaire (EDL) du premier ordre est $$(L):X^{\mathrm{\prime }}(t)=A(t)X(t)+B(t),$$ d'inconnue $X:I\to {ℳ}_{n,1}(𝕂)$ dérivable ; $(H):X^{\mathrm{\prime }}=A(t)X$ est l'équation homogène associée. Écrite ligne par ligne, c'est un système différentiel linéaire de $n$ équations à $n$ fonctions inconnues. Version intrinsèque : $x^{\mathrm{\prime }}=a(t)(x)+b(t)$ avec $a:I\to ℒ(E)$ et $b:I\to E$ continues. On dit « à coefficients constants » quand $A$ ne dépend pas de $t$.

• Régularité : toute solution est de classe $C^1$ (car $X^{\mathrm{\prime }}=AX+B$ est continue) ; si $A$ et $B$ sont $C^k$, les solutions sont $C^{k+1}$.
• Superposition : si $X_1$ résout $X^{\mathrm{\prime }}=AX+B_1$ et $X_2$ résout $X^{\mathrm{\prime }}=AX+B_2$, alors $\alpha X_1+\beta X_2$ résout $X^{\mathrm{\prime }}=AX+\alpha B_1+\beta B_2$.
• Forme intégrale : $X$ est solution de $(L)$ avec $X(t_0)=X_0$ si et seulement si $X$ est continue et $X(t)=X_0+{\int }_{t_0}^t(A(s)X(s)+B(s))ds$ pour tout $t\in I$.

Équation scalaire d'ordre $p$. Soient $a_0,\dots ,a_{p-1},b:I\to 𝕂$ continues et $$(L_p):y^{(p)}=a_{p-1}(t)y^{(p-1)}+\cdots +a_1(t)y^{\mathrm{\prime }}+a_0(t)y+b(t)\mathrm{.}$$ Le vecteur $X={}^t(y,y^{\mathrm{\prime }},\dots ,y^{(p-1)})$ vérifie $X^{\mathrm{\prime }}=C(t)X+B(t)$, avec la matrice compagnon $$C(t)=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& & 0\\ & \ddots & \ddots & \\ 0& & 0& 1\\ a_0(t)& a_1(t)& \cdots & a_{p-1}(t)\end{array}\right),B(t)=\left(\begin{array}{c}0\\ \mathrm{⋮}\\ 0\\ b(t)\end{array}\right)\mathrm{.}$$ $y\mapsto {}^t(y,\dots ,y^{(p-1)})$ est une bijection entre solutions de $(L_p)$ et solutions du système : tout ce qui suit pour les systèmes vaut pour les équations d'ordre $p$. Une équation $\alpha (t)y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+\beta (t)y^{\mathrm{\prime }}+\gamma (t)y=\delta (t)$ se ramène à cette forme sur un intervalle où $\alpha$ ne s'annule pas (équation « résolue » ou « normalisée »).

Théorème de Cauchy linéaire (appelé aussi Cauchy-Lipschitz linéaire ; démonstration admise). Hypothèses : $A:I\to {ℳ}_n(𝕂)$ et $B:I\to {ℳ}_{n,1}(𝕂)$ continues sur l'intervalle $I$ ; $t_0\in I$ ; $X_0\in {ℳ}_{n,1}(𝕂)$. Conclusion : il existe une unique solution $X$ de $X^{\mathrm{\prime }}=A(t)X+B(t)$ définie sur $I$ tout entier telle que $X(t_0)=X_0$.

Version scalaire d'ordre $p$. Si $a_0,\dots ,a_{p-1},b$ sont continues sur $I$, pour tout $t_0\in I$ et tout $(y_0,\dots ,y_{p-1})\in {𝕂}^p$, il existe une unique solution de $(L_p)$ sur $I$ telle que $y^{(k)}(t_0)=y_k$ pour $0\le k\le p-1$ : $p$ conditions au même point.

À retenir :

• La solution vit sur tout $I$ (pas seulement près de $t_0$) : c'est propre aux équations linéaires.
• Deux solutions de $(H)$ qui coïncident en un point sont égales ; une solution de $(H)$ qui s'annule en un point est nulle sur $I$. En ordre 2 : une solution non nulle de $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a(t)y^{\mathrm{\prime }}+b(t)y=0$ ne peut pas avoir à la fois $y(t_0)=0$ et $y^{\mathrm{\prime }}(t_0)=0$.
• Pour une équation non résolue, le théorème ne s'applique que sur les intervalles où le coefficient dominant ne s'annule pas ; ensuite on étudie le raccordement (Équations différentielles § 7), et l'espace des solutions sur un intervalle contenant un zéro peut avoir une dimension différente de $p$ (plus petite ou plus grande).

On note ${𝒮}_H$ et ${𝒮}_L$ les ensembles des solutions sur $I$ de $(H)$ et de $(L)$.

Théorème.

1. ${𝒮}_H$ est stable par combinaison linéaire (c'est donc un espace vectoriel, contenu dans $C^1(I,{ℳ}_{n,1}(𝕂))$) et, pour tout $t_0\in I$, l'application ${\theta }_{t_0}:{𝒮}_H\to {ℳ}_{n,1}(𝕂)$, $X\mapsto X(t_0)$, est un isomorphisme. Donc $\dim {𝒮}_H=n$.
2. ${𝒮}_L$ est non vide et, si $X_p$ en est un élément, ${𝒮}_L=X_p+{𝒮}_H=\{X_p+X,X\in {𝒮}_H\}$ : c'est un sous-espace affine de direction ${𝒮}_H$.

Preuve de 1. ${\theta }_{t_0}$ est linéaire ; elle est surjective (existence dans Cauchy linéaire) et injective (unicité). Pour une équation scalaire d'ordre $p$, les solutions homogènes forment un espace de dimension $p$.

Système fondamental de solutions. Une base $({\mathrm{\Phi }}_1,\dots ,{\mathrm{\Phi }}_n)$ de ${𝒮}_H$ s'appelle un système fondamental de solutions. La matrice $R(t)=({\mathrm{\Phi }}_1(t)\mathrm{\mid }\cdots \mathrm{\mid }{\mathrm{\Phi }}_n(t))$ s'appelle matrice fondamentale ; elle vérifie $R^{\mathrm{\prime }}=AR$, et les solutions de $(H)$ sont les $R(t)C$, $C\in {ℳ}_{n,1}(𝕂)$.

Caractérisation. Pour $n$ solutions ${\mathrm{\Phi }}_1,\dots ,{\mathrm{\Phi }}_n$ de $(H)$, les assertions suivantes sont équivalentes : (i) $({\mathrm{\Phi }}_1,\dots ,{\mathrm{\Phi }}_n)$ est libre dans ${𝒮}_H$ ; (ii) pour tout $t\in I$, $({\mathrm{\Phi }}_1(t),\dots ,{\mathrm{\Phi }}_n(t))$ est libre ; (iii) il existe $t_0\in I$ tel que $({\mathrm{\Phi }}_1(t_0),\dots ,{\mathrm{\Phi }}_n(t_0))$ est libre. Il suffit donc de tester un seul instant : c'est ce qui rend le wronskien efficace.

Attention au domaine. Tout ceci suppose que $I$ est un intervalle. Sur ${ℝ}^{\ast }$, l'équation $x^{\mathrm{\prime }}=0$ a un espace de solutions de dimension 2 (une constante sur chaque demi-droite).

Définition (système). Pour $n$ solutions ${\mathrm{\Phi }}_1,\dots ,{\mathrm{\Phi }}_n$ de $(H):X^{\mathrm{\prime }}=A(t)X$, le wronskien est $W(t)=\det ({\mathrm{\Phi }}_1(t),\dots ,{\mathrm{\Phi }}_n(t))=\det R(t)$ (déterminant dans la base canonique).

Formule de Liouville. Hypothèses : $A:I\to {ℳ}_n(𝕂)$ continue ; ${\mathrm{\Phi }}_1,\dots ,{\mathrm{\Phi }}_n$ solutions de $X^{\mathrm{\prime }}=A(t)X$ ; $t_0\in I$. Conclusion : $W^{\mathrm{\prime }}(t)=\mathrm{tr}(A(t))W(t)$, donc $W(t)=W(t_0)\exp \left({\displaystyle {\int }_{t_0}^t\mathrm{tr}A(s)ds}\right)$. Conséquence : ou bien $W$ est identiquement nul, ou bien il ne s'annule jamais, selon que la famille est liée ou est un système fondamental. Pour $A$ constante et $R(t)=e^{tA}$, on retrouve $\det e^{tA}=e^{t\mathrm{tr}A}$.

Équation scalaire d'ordre 2. Pour deux solutions $y_1,y_2$ de $(H_2):y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a(t)y^{\mathrm{\prime }}+b(t)y=0$ ($a,b$ continues sur $I$), le wronskien est $$W=\mid \begin{array}{cc}{y}_1& y_2\\ y_1^{\mathrm{\prime }}& y_2^{\mathrm{\prime }}\end{array}\mid =y_1{y}_2^{\mathrm{\prime }}-y_1^{\mathrm{\prime }}{y}_2\mathrm{.}$$

• Calcul direct : $W^{\mathrm{\prime }}=y_1{y}_2^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-y_1^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}{y}_2=-a(t)W$ (les termes en $b$ se compensent), donc $W(t)=W(t_0)\exp (-{\int }_{t_0}^{t}a)$. Si l'équation est écrite $\alpha y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+\beta y^{\mathrm{\prime }}+\gamma y=0$, on a $\alpha W^{\mathrm{\prime }}=-\beta W$.
• Caractérisation : $(y_1,y_2)$ est un système fondamental $⟺$ $W(t)\mathrm{\ne }0$ pour tout $t\in I$ $⟺$ $W(t_0)\mathrm{\ne }0$ pour un $t_0\in I$.
• Cas $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+q(t)y=0$ (pas de terme en $y^{\mathrm{\prime }}$) : le wronskien est constant.
• Trouver une seconde solution quand on en connaît une, $y_1$, qui ne s'annule pas sur $I$ : le wronskien est connu à une constante près (formule ci-dessus), et ${\left({\displaystyle \frac{y_2}{y_1}}\right)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{W}{y_1^2}}$. On intègre. C'est la version wronskienne du changement d'inconnue $y=y_{1}z$ (« abaissement de l'ordre »).

Ordre $p$. Pour $p$ solutions de $(L_p)$ homogène, $W=\det (y_j^{(i-1)}{)}_{1\le i,j\le p}$ et, la trace de la matrice compagnon valant $a_{p-1}$, $W^{\mathrm{\prime }}=a_{p-1}(t)W$ (avec la convention $y^{(p)}=a_{p-1}{y}^{(p-1)}+\dots$).

Théorème (équation homogène). Hypothèse : $A\in {ℳ}_n(𝕂)$ constante. Conclusion : les solutions sur $ℝ$ de $X^{\mathrm{\prime }}=AX$ sont les $t\mapsto e^{tA}C$, $C\in {ℳ}_{n,1}(𝕂)$ ; l'unique solution telle que $X(t_0)=X_0$ est $X(t)=e^{(t-t_0)A}{X}_0$.

Preuve. $e^{tA}C$ convient (§ 8). Réciproquement, si $X^{\mathrm{\prime }}=AX$, $(e^{-tA}X(t){)}^{\mathrm{\prime }}=e^{-tA}(X^{\mathrm{\prime }}-AX)=0$, donc $e^{-tA}X(t)$ est constant. $e^{tA}$ est la matrice fondamentale qui vaut $I_n$ en $0$.

Méthode 1 : $A$ diagonalisable. Si $(V_1,\dots ,V_n)$ est une base de vecteurs propres ($A{V}_i={\lambda }_i{V}_i$), les fonctions $t\mapsto e^{{\lambda }_{i}t}{V}_i$ forment un système fondamental, et $$X(t)=c_1{e}^{{\lambda }_{1}t}{V}_1+\cdots +c_n{e}^{{\lambda }_{n}t}{V}_n,c_i\in 𝕂\mathrm{.}$$ Aucun calcul de $P^{-1}$ ni de $e^{tA}$ n'est nécessaire ; les constantes se trouvent avec la condition initiale ($X(0)=\sum c_i{V}_i$).

Méthode 2 : $A$ trigonalisable. $A=PT{P}^{-1}$, $T$ triangulaire supérieure. Avec $Y=P^{-1}X$ : $X^{\mathrm{\prime }}=AX+B⟺Y^{\mathrm{\prime }}=TY+P^{-1}B$. On résout de la dernière équation (une seule inconnue) à la première, chacune étant une équation scalaire du premier ordre $y_i^{\mathrm{\prime }}=t_{ii}{y}_i+(\text{termes d}\acute{\text{e}}\text{j}\grave{\text{a}}\text{ connus})$. Pour l'équation homogène, on n'a pas besoin de $P^{-1}$ : $X=PY$ suffit. (Exemple en $2\times 2$ triangulaire : Réduction § 10.)

Méthode 3 : par $e^{tA}$ quand elle est facile (§ 7), surtout pour un problème de Cauchy : $X(t)=e^{(t-t_0)A}{X}_0$.

Solutions réelles d'un système réel. Si $A$ est réelle avec une valeur propre $\lambda =\alpha +i\beta$ ($\beta \mathrm{\ne }0$) de vecteur propre $V$, la solution complexe $e^{\lambda t}V$ donne deux solutions réelles, $\mathrm{Re}(e^{\lambda t}V)$ et $\mathrm{Im}(e^{\lambda t}V)$ ; la paire conjuguée n'apporte rien de plus.

Comportement en $+\mathrm{\infty }$ (classique d'examen). Si toutes les valeurs propres complexes de $A$ ont une partie réelle $<0$, toutes les solutions de $X^{\mathrm{\prime }}=AX$ tendent vers $0$ en $+\mathrm{\infty }$ (les coefficients de $e^{tA}$ sont des combinaisons de $t^k{e}^{\lambda t}$, par Dunford ou trigonalisation). Si $A$ est antisymétrique réelle, $\parallel X(t){\parallel }_2$ est constante : ${(\parallel X{\parallel }^2)}^{\mathrm{\prime }}=2{}^{t}XAX=0$.

Système du second ordre $X^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+AX=0$ (type concours). Si $A=PD{P}^{-1}$ avec $D=\mathrm{diag}({\omega }_1^2,\dots ,{\omega }_n^2)$, ${\omega }_i>0$, on pose $Y=P^{-1}X$ : $y_i^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+{\omega }_i^2{y}_i=0$, donc $y_i={\alpha }_i\cos ({\omega }_{i}t)+{\beta }_i\sin ({\omega }_{i}t)$ ; l'espace des solutions est de dimension $2n$. Autre point de vue : $Z={}^t(X,X^{\mathrm{\prime }})$ vérifie le système d'ordre 1 de taille $2n$ $Z^{\mathrm{\prime }}=\left(\begin{array}{cc}0& I_n\\ -A& 0\end{array}\right)Z$ (exercice 9).

Cas général. Hypothèses : $({\mathrm{\Phi }}_1,\dots ,{\mathrm{\Phi }}_n)$ système fondamental de $X^{\mathrm{\prime }}=A(t)X$ ; ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n:I\to 𝕂$ de classe $C^1$ ; $X={\sum }_i{\lambda }_i{\mathrm{\Phi }}_i$. Conclusion : $X$ est solution de $X^{\mathrm{\prime }}=A(t)X+B(t)$ $⟺$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^n{\lambda }_i^{\mathrm{\prime }}(t){\mathrm{\Phi }}_i(t)=B(t)}$ pour tout $t\in I$. En notation matricielle : $X=R\mathrm{\Lambda }$, et $R{\mathrm{\Lambda }}^{\mathrm{\prime }}=B$, soit ${\mathrm{\Lambda }}^{\mathrm{\prime }}=R^{-1}B$ ($R(t)$ est inversible, wronskien non nul).

Coefficients constants : formule de la solution. Avec $R(t)=e^{tA}$ : $$X(t)=e^{(t-t_0)A}{X}_0+{\int }_{t_0}^t{e}^{(t-s)A}B(s)ds$$ est l'unique solution de $X^{\mathrm{\prime }}=AX+B(t)$ telle que $X(t_0)=X_0$. Inutile d'apprendre la formule : on la retrouve en posant $X=e^{tA}\mathrm{\Lambda }(t)$, ce qui donne ${\mathrm{\Lambda }}^{\mathrm{\prime }}(t)=e^{-tA}B(t)$.

Équation scalaire d'ordre 2 $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a(t)y^{\mathrm{\prime }}+b(t)y=f(t)$, avec $(y_1,y_2)$ système fondamental de l'équation homogène : on cherche $y={\lambda }_1{y}_1+{\lambda }_2{y}_2$ avec $$\{\begin{array}{l}{\lambda }_1^{\mathrm{\prime }}{y}_1+{\lambda }_2^{\mathrm{\prime }}{y}_2=0\\ {\lambda }_1^{\mathrm{\prime }}{y}_1^{\mathrm{\prime }}+{\lambda }_2^{\mathrm{\prime }}{y}_2^{\mathrm{\prime }}=f(t)\end{array}\text{d’o}\grave{\text{u}}{\lambda }_1^{\mathrm{\prime }}=-\frac{y_{2}f}{W},{\lambda }_2^{\mathrm{\prime }}=\frac{y_{1}f}{W}\mathrm{.}$$ Le second membre $f$ est celui de l'équation normalisée (coefficient de $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ égal à $1$) : si l'équation est $\alpha y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+\cdots =\delta$, on prend $f=\delta \mathrm{/}\alpha$. Exemple : $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+y={\displaystyle \frac{1}{\cos t}}$ sur $]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$ ; avec $y_1=\cos$, $y_2=\sin$, $W=1$ : ${\lambda }_1^{\mathrm{\prime }}=-\tan t$, ${\lambda }_2^{\mathrm{\prime }}=1$, d'où $y=\cos t\ln (\cos t)+t\sin t+c_1\cos t+c_2\sin t$.

Quand l'éviter. Pour un second membre $P(t)e^{mt}$ ou trigonométrique et des coefficients constants, la recherche directe d'une solution particulière (Équations différentielles § 10) est plus rapide. Pour un système à second membre constant $B$ avec $A$ inversible, la solution constante $X_p=-A^{-1}B$ suffit.

Pour $(H_p):y^{(p)}+c_{p-1}{y}^{(p-1)}+\cdots +c_{0}y=0$ avec $c_k\in 𝕂$ constants, le polynôme $P=X^p+c_{p-1}{X}^{p-1}+\cdots +c_0$ est le polynôme caractéristique de l'équation ; c'est aussi, au signe près, celui de la matrice compagnon.

Théorème. Si $P={\prod }_{i=1}^r(X-{\lambda }_i{)}^{m_i}$ dans $ℂ[X]$ (${\lambda }_i$ distincts), les solutions complexes de $(H_p)$ sont les fonctions $$y(t)=\sum _{i=1}^r{Q}_i(t)e^{{\lambda }_{i}t},Q_i\in ℂ[X],\mathrm{deg}{Q}_i\le m_i-1.$$ Les $p$ fonctions $t^k{e}^{{\lambda }_{i}t}$ ($0\le k<m_i$) forment un système fondamental. Pour $p=2$, on retrouve le cours de 1re année (§ Second ordre homogène).

Idée de preuve. En notant $D$ la dérivation, $(H_p)$ s'écrit $P(D)(y)=0$ ; le lemme des noyaux découpe le noyau en les $\mathrm{Ker}(D-{\lambda }_i{)}^{m_i}$, et $(D-\lambda {)}^m(y)=0$ équivaut à $(y{e}^{-\lambda t}{)}^{(m)}=0$, c'est-à-dire $y=Q(t)e^{\lambda t}$ avec $\mathrm{deg}Q<m$. On peut aussi passer par la matrice compagnon et le § 13.

Solutions réelles (coefficients réels) : à une racine $\alpha \pm i\beta$ de multiplicité $m$ correspondent les $t^k{e}^{\alpha t}\cos \beta t$ et $t^k{e}^{\alpha t}\sin \beta t$, $k<m$.

Second membre $Q(t)e^{mt}$ : on cherche une solution particulière $t^{\mu }R(t)e^{mt}$ avec $\mathrm{deg}R=\mathrm{deg}Q$ et $\mu$ la multiplicité de $m$ comme racine de $P$ ($\mu =0$ si $P(m)\mathrm{\ne }0$). Exemple : $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-y^{\mathrm{\prime }}+y=4e^{-t}$, $P=(X-1{)}^2(X+1)$, $\mu =1$ : on trouve $y_p=t{e}^{-t}$ (exercice 7).

Coefficients non constants : pas de méthode générale. On cherche une solution particulière (polynomiale, exponentielle, développable en série entière, Séries entières § 10), puis le wronskien ou le changement $y=y_{1}z$ donne la seconde, et la variation des constantes traite le second membre.

Calculer $e^{tA}$

1. ${\chi }_A$ et valeurs propres. Une seule valeur propre $\lambda$ : $N=A-\lambda I_n$ est nilpotente, $e^{tA}=e^{\lambda t}{\sum }_{k<q}\frac{t^k{N}^k}{k!}$.
2. $A$ diagonalisable : $e^{tA}=P{e}^{tD}{P}^{-1}$ (ici il faut $P^{-1}$), ou interpolation de Lagrange.
3. Polynôme annulateur de petit degré ($A^2=\pm I_n$, $A^3=\pm A$) : séparer les puissances paires et impaires, reconnaître $\mathrm{ch}$, $\mathrm{sh}$, $\cos$, $\sin$.
4. Sinon : Dunford, ou résolution de $X^{\mathrm{\prime }}=AX$ avec $X(0)$ quelconque et lecture des colonnes.
5. Contrôles : $e^{0A}=I_n$, $\det e^{tA}=e^{t\mathrm{tr}A}$, résultat réel si $A$ est réelle.

Résoudre un système $X^{\mathrm{\prime }}=AX+B(t)$ à coefficients constants

1. Écrire $A$, $X$, $B$ ; réduire $A$ (valeurs propres, vecteurs propres, rang de $A-\lambda I_n$).
2. Homogène : $\sum c_i{e}^{{\lambda }_{i}t}{V}_i$ si $A$ est diagonalisable ; sinon trigonaliser et remonter de la dernière ligne à la première.
3. Solution particulière : constante si $B$ est constant et $A$ inversible ; sinon variation des constantes, ou résolution directe dans le système triangulaire.
4. Solution générale $=$ particulière $+$ homogène ; ensuite seulement, condition initiale.
5. Vérifier en reportant dans le système.

Exploiter le wronskien d'une équation d'ordre 2

1. Normaliser l'équation sur un intervalle où le coefficient de $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ ne s'annule pas (le dire !).
2. $W^{\mathrm{\prime }}=-a(t)W$, donc $W=K{e}^{-\int a}$ ; $W$ constant si l'équation est $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+q(t)y=0$.
3. Liberté de $(y_1,y_2)$ : calculer $W$ en un seul point.
4. Seconde solution : $(y_2\mathrm{/}{y}_1{)}^{\mathrm{\prime }}=W\mathrm{/}{y}_1^2$ sur un intervalle où $y_1$ ne s'annule pas.

Étudier un arc paramétré

Domaine et réduction, tableau commun de $x$ et $y$, points stationnaires (calcul de $p$ et $q$ par Taylor), branches infinies ($y\mathrm{/}x$ puis $y-ax$), position par rapport aux asymptotes, tracé, points multiples.

Utiliser une équation pour prouver une propriété d'une fonction

« Montrer que $f=g$ » : vérifier qu'elles résolvent la même équation linéaire avec la même condition initiale, puis invoquer l'unicité de Cauchy linéaire. C'est la preuve standard de $e^{(s+t)A}=e^{sA}{e}^{tA}$, de la parité d'une solution, de la périodicité (si $t\mapsto X(t+T)$ est encore solution et $X(T)=X(0)$, alors $X$ est $T$-périodique : exercice 10).