Fonctions vectorielles, exponentielle de matrice et équations différentielles linéaires (Exercices) · Révisions prépa · Ridami

Algèbre · 2e année

Fonctions vectorielles, exponentielle de matrice et équations différentielles linéaires

Application du cours4 points

1. Dériver des fonctions vectorielles et matricielles

On pose, pour $t \in ℝ$ , $A (t) = (\begin{array}{cc} t & 1 \\ 0 & t^{2} \end{array})$ . Calculer $A^{'} (t)$ , puis la dérivée de $t \mapsto A (t)^{2}$ . Pour quelles valeurs de $t$ a-t-on $(A^{2})^{'} (t) = 2 A (t) A^{'} (t)$ ?
Soit $M : ℝ \to ℳ_{n} (ℝ)$ dérivable telle que $M (t) \in O_{n} (ℝ)$ pour tout $t$ . Montrer que $^{t} M (t) M^{'} (t)$ est antisymétrique pour tout $t$ . On suppose de plus $M (0) = I_{n}$ et $^{t} M (t) M^{'} (t) = K$ constante. Montrer que $M (t) = e^{t K}$ pour tout $t$ .
On munit $ℝ^{2}$ de sa structure euclidienne canonique et on pose $f (t) = e^{t} (\cos t, \sin t)$ . (a) Calculer $∥ f (t) ∥$ , $f^{'} (t)$ et $∥ f^{'} (t) ∥$ . Montrer que l'angle entre $f (t)$ et $f^{'} (t)$ ne dépend pas de $t$ . (b) Montrer que, pour $a < b$ , $∥ f (b) - f (a) ∥ \leq \sqrt{2} (e^{b} - e^{a})$ .

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1. On dérive coefficient par coefficient (fiche § 2) : $A^{'} (t) = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 t \end{array})$ . Par la règle du produit (dans l'ordre), $(A^{2})^{'} = A^{'} A + A A^{'}$ . Or $A^{'} A = (\begin{array}{cc} t & 1 \\ 0 & 2 t^{3} \end{array}), A A^{'} = (\begin{array}{cc} t & 2 t \\ 0 & 2 t^{3} \end{array}), donc (A^{2})^{'} (t) = (\begin{array}{cc} 2 t & 1 + 2 t \\ 0 & 4 t^{3} \end{array}) .$ D'autre part $2 A A^{'} = (\begin{array}{cc} 2 t & 4 t \\ 0 & 4 t^{3} \end{array})$ . L'égalité demande $1 + 2 t = 4 t$ , soit $t = \frac{1}{2}$ seulement. C'est exactement la valeur pour laquelle $A (t)$ et $A^{'} (t)$ commutent ( $A^{'} A - A A^{'}$ a pour seul coefficient non nul $1 - 2 t$ ).

2. Pour tout $t$ , $^{t} M (t) M (t) = I_{n}$ . L'application $t \mapsto^{t} M (t) M (t)$ est dérivable comme produit (la transposition est linéaire, le produit matriciel bilinéaire) et sa dérivée est nulle : $^{t} M^{'} (t) M (t) +^{t} M (t) M^{'} (t) = 0.$ En posant $K (t) =^{t} M (t) M^{'} (t)$ , on a $^{t} K (t) =^{t} M^{'} (t) M (t)$ , donc $^{t} K (t) = - K (t)$ : $K (t) est antisym \overset{ˊ}{e} trique$ . Si $^{t} M (t) M^{'} (t) = K$ pour tout $t$ , en multipliant à gauche par $M (t)$ (et $M^{t} M = I_{n}$ ) : $M^{'} (t) = M (t) K$ . La fonction $R (t) = e^{t K}$ vérifie aussi $R^{'} (t) = e^{t K} K = R (t) K$ (fiche § 8) et $R (0) = I_{n} = M (0)$ . L'équation $Z^{'} = Z K$ , d'inconnue $Z : ℝ \to ℳ_{n} (ℝ)$ , est une équation différentielle linéaire à coefficients constants (l'application $Z \mapsto Z K$ est linéaire sur l'espace de dimension finie $ℳ_{n} (ℝ)$ ) ; par l'unicité du théorème de Cauchy linéaire, $M (t) = e^{t K}$ . On retrouve au passage que $e^{t K}$ est orthogonale quand $K$ est antisymétrique.

3. (a) $∥ f (t) ∥ = e^{t} \sqrt{\cos^{2} t + \sin^{2} t} = e^{t}$ . Par la règle du produit, $f^{'} (t) = e^{t} (\cos t - \sin t, \sin t + \cos t)$ , et $∥ f^{'} (t) ∥^{2} = e^{2 t} ((\cos t - \sin t)^{2} + (\sin t + \cos t)^{2}) = 2 e^{2 t}$ , donc $∥ f^{'} (t) ∥ = \sqrt{2} e^{t}$ . Ensuite $⟨ f (t), f^{'} (t) ⟩ = e^{2 t} (\cos^{2} t - \cos t \sin t + \sin^{2} t + \sin t \cos t) = e^{2 t}$ . Les deux vecteurs étant non nuls, $\cos (f (t), f^{'} (t)) = \frac{e^{2 t}}{e^{t} \cdot \sqrt{2} e^{t}} = \frac{1}{\sqrt{2}},$ donc l'angle vaut $\frac{π}{4}$ pour tout $t$ .

(b) $f$ est de classe $C^{1}$ , donc $f (b) - f (a) = \int_{a}^{b} f^{'} (t) d t$ (fiche § 3) et, par l'inégalité triangulaire intégrale ( $a < b$ ) : $∥ f (b) - f (a) ∥ \leq \int_{a}^{b} ∥ f^{'} (t) ∥ d t = \int_{a}^{b} \sqrt{2} e^{t} d t = \sqrt{2} (e^{b} - e^{a}) .$

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Application du cours4 points

2. Trois exponentielles de matrices $2 \times 2$

On considère $A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array})$ , $B = (\begin{array}{cc} 3 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array})$ , $C = (\begin{array}{cc} 0 & - 2 \\ 2 & 0 \end{array})$ .

Calculer $e^{t A}$ pour $t \in ℝ$ en diagonalisant $A$ .
Calculer $e^{t B}$ en écrivant $B = 2 I_{2} + N$ . En déduire la solution de $X^{'} = B X$ telle que $X (0) =^{t} (1, 0)$ .
Calculer $C^{2}$ , puis $e^{t C}$ . Interpréter géométriquement.
Vérifier sur les trois cas l'égalité $\det (e^{t M}) = e^{t tr M}$ .

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1. $χ_{A} = (X - 1)^{2} - 4 = (X - 3) (X + 1)$ : deux valeurs propres distinctes, $A$ est diagonalisable. $E_{3} = Vect^{t} (1, 1)$ , $E_{- 1} = Vect^{t} (1, - 1)$ . Avec $P = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array})$ , $P^{- 1} = \frac{1}{2} (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array})$ et $A = P diag (3, - 1) P^{- 1}$ : $e^{t A} = P (\begin{array}{cc} e^{3 t} & 0 \\ 0 & e^{- t} \end{array}) P^{- 1} = \frac{1}{2} (\begin{array}{cc} e^{3 t} + e^{- t} & e^{3 t} - e^{- t} \\ e^{3 t} - e^{- t} & e^{3 t} + e^{- t} \end{array}) .$

2. $N = B - 2 I_{2} = (\begin{array}{cc} 1 & - 1 \\ 1 & - 1 \end{array})$ et $N^{2} = (\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array})$ . Les matrices $2 t I_{2}$ et $t N$ commutent, donc $e^{t B} = e^{2 t I_{2}} e^{t N} = e^{2 t} (I_{2} + t N)$ (la série de $e^{t N}$ s'arrête) : $e^{t B} = e^{2 t} (\begin{array}{cc} 1 + t & - t \\ t & 1 - t \end{array}) .$ La solution de $X^{'} = B X$ , $X (0) = X_{0}$ est $X (t) = e^{t B} X_{0}$ (fiche § 13), soit $X (t) = e^{2 t}^{t} (1 + t, t)$ . Vérification : $x = (1 + t) e^{2 t}$ , $y = t e^{2 t}$ ; $x^{'} = (3 + 2 t) e^{2 t} = 3 x - y$ et $y^{'} = (1 + 2 t) e^{2 t} = x + y$ .

3. $C^{2} = - 4 I_{2}$ . Donc $C^{2 k} = (- 4)^{k} I_{2}$ et $C^{2 k + 1} = (- 4)^{k} C$ . En séparant les termes pairs et impairs de la série (absolument convergente) : $e^{t C} = \sum_{k \geq 0} \frac{(- 1)^{k} (2 t)^{2 k}}{(2 k)!} I_{2} + \sum_{k \geq 0} \frac{(- 1)^{k} (2 t)^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!} \cdot \frac{C}{2} = \cos (2 t) I_{2} + \sin (2 t) \frac{C}{2} = (\begin{array}{cc} \cos 2 t & - \sin 2 t \\ \sin 2 t & \cos 2 t \end{array}) .$ C'est la matrice de la rotation d'angle $2 t$ : les solutions de $X^{'} = C X$ tournent autour de l'origine à vitesse angulaire constante $2$ .

4. $\det e^{t A} = \frac{1}{4} ((e^{3 t} + e^{- t})^{2} - (e^{3 t} - e^{- t})^{2}) = e^{2 t} = e^{t tr A}$ ; $\det e^{t B} = e^{4 t} ((1 + t) (1 - t) + t^{2}) = e^{4 t} = e^{t tr B}$ ; $\det e^{t C} = \cos^{2} 2 t + \sin^{2} 2 t = 1 = e^{0}$ . Les trois cas sont conformes.

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Application du cours5 points

3. Deux systèmes $3 \times 3$

Partie A. Résoudre le système suivant, puis trouver la solution telle que $(x, y, z) (0) = (1, 4, 1)$ : ${\begin{cases} x^{'} = x + y - 2 \\ y^{'} = x + z - 2 \\ z^{'} = y + z - 2. \end{cases}$

Partie B. Soit $A = (\begin{array}{ccc} 0 & - 1 & - 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ - 1 & 0 & 2 \end{array})$ .

Calculer $χ_{A}$ . La matrice $A$ est-elle diagonalisable ?
On pose $u_{1} =^{t} (1, - 2, 1)$ , $u_{2} =^{t} (0, - 1, 1)$ , $u_{3} =^{t} (1, 0, 0)$ . Vérifier que $P = (u_{1} ∣ u_{2} ∣ u_{3})$ est inversible et que $P^{- 1} A P = T = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$ .
Résoudre $X^{'} = A X$ . En déduire $e^{t A}$ .

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Partie A. Le système s'écrit $X^{'} = M X + B$ avec $M = (\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array})$ et $B =^{t} (- 2, - 2, - 2)$ .

Réduction. En développant, $χ_{M} = (X - 1) (X (X - 1) - 1) - (X - 1) = (X - 1) (X^{2} - X - 2) = (X - 1) (X - 2) (X + 1)$ . Trois valeurs propres simples : $M$ est diagonalisable, avec $V_{2} =^{t} (1, 1, 1)$ , $V_{1} =^{t} (1, 0, - 1)$ , $V_{- 1} =^{t} (1, - 2, 1)$ (vérification directe : $M V_{1} =^{t} (1, 0, - 1)$ , $M V_{- 1} =^{t} (- 1, 2, - 1)$ ).
Équation homogène (fiche § 13, méthode 1) : $X_{H} (t) = α e^{2 t} V_{2} + β e^{t} V_{1} + γ e^{- t} V_{- 1}$ .
Solution particulière. $B$ est constant et $M$ inversible ( $0$ n'est pas valeur propre) : on cherche $X_{p}$ constant avec $M X_{p} = - B =^{t} (2, 2, 2)$ . Comme $M V_{2} = 2 V_{2}$ , $X_{p} = V_{2} =^{t} (1, 1, 1)$ convient.
Solution générale : $X (t) =^{t} (1, 1, 1) + α e^{2 t} V_{2} + β e^{t} V_{1} + γ e^{- t} V_{- 1}$ , $(α, β, γ) \in ℝ^{3}$ .
Condition initiale : $X (0) - X_{p} =^{t} (0, 3, 0) = α V_{2} + β V_{1} + γ V_{- 1}$ , soit $α + β + γ = 0$ , $α - 2 γ = 3$ , $α - β + γ = 0$ . Les équations 1 et 3 donnent $β = 0$ et $α = - γ$ , puis $- 3 γ = 3$ : $γ = - 1$ , $α = 1$ . $x (t) = 1 + e^{2 t} - e^{- t}, y (t) = 1 + e^{2 t} + 2 e^{- t}, z (t) = 1 + e^{2 t} - e^{- t} .$

Partie B. 1. $X I_{3} - A = (\begin{array}{ccc} X & 1 & 1 \\ - 2 & X - 2 & 0 \\ 1 & 0 & X - 2 \end{array})$ . En développant selon la 3e colonne : $χ_{A} = 1 \cdot ∣ \begin{array}{cc} - 2 & X - 2 \\ 1 & 0 \end{array} ∣ + (X - 2) ∣ \begin{array}{cc} X & 1 \\ - 2 & X - 2 \end{array} ∣ = - (X - 2) + (X - 2) (X^{2} - 2 X + 2) = (X - 2) (X - 1)^{2} .$ Pour la valeur propre double $1$ : $A - I_{3} = (\begin{array}{ccc} - 1 & - 1 & - 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 1 \end{array})$ a deux premières colonnes non colinéaires et $C_{1} - 2 C_{2} + C_{3} = 0$ ; son rang vaut $2$ , donc $\dim E_{1} (A) = 1 < 2$ : $A$ n'est pas diagonalisable (elle est trigonalisable, $χ_{A}$ étant scindé).

2. $\det P = ∣ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} ∣ = 1 \cdot ∣ \begin{array}{cc} - 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} ∣ = - 1 \neq 0$ (développement selon la 3e colonne) : $P$ est inversible. On calcule $A u_{1} =^{t} (1, - 2, 1) = u_{1}$ , $A u_{2} =^{t} (0, - 2, 2) = 2 u_{2}$ , $A u_{3} =^{t} (0, 2, - 1) = - u_{1} + u_{3}$ . Les colonnes de $T$ sont les coordonnées de $A u_{1}, A u_{2}, A u_{3}$ dans $(u_{1}, u_{2}, u_{3})$ : c'est bien la matrice annoncée, donc $A P = P T$ .

3. Avec $Y = P^{- 1} X =^{t} (y_{1}, y_{2}, y_{3})$ , $X^{'} = A X ⟺ Y^{'} = T Y$ (fiche § 13, méthode 2) : $y_{3}^{'} = y_{3}$ , $y_{2}^{'} = 2 y_{2}$ , $y_{1}^{'} = y_{1} - y_{3}$ . On remonte : $y_{3} = c e^{t}$ , $y_{2} = b e^{2 t}$ , puis $y_{1}^{'} - y_{1} = - c e^{t}$ , dont les solutions sont $y_{1} = (a - c t) e^{t}$ . Avec $X = P Y = y_{1} u_{1} + y_{2} u_{2} + y_{3} u_{3}$ : $X (t) = (\begin{array}{c} (a + c - c t) e^{t} \\ - 2 (a - c t) e^{t} - b e^{2 t} \\ (a - c t) e^{t} + b e^{2 t} \end{array}), (a, b, c) \in ℝ^{3} .$ Exponentielle. La $j$ -ième colonne de $e^{t A}$ est la solution qui vaut $E_{j}$ en $0$ . Or $X (0) =^{t} (a + c, - 2 a - b, a + b)$ .

$X (0) = E_{1}$ : $a = b = 0$ , $c = 1$ ; $X (0) = E_{2}$ : $a = - 1$ , $b = 1$ , $c = 1$ ; $X (0) = E_{3}$ : $a = - 1$ , $b = 2$ , $c = 1$ . D'où $e^{t A} = (\begin{array}{ccc} (1 - t) e^{t} & - t e^{t} & - t e^{t} \\ 2 t e^{t} & 2 (1 + t) e^{t} - e^{2 t} & 2 (1 + t) e^{t} - 2 e^{2 t} \\ - t e^{t} & - (1 + t) e^{t} + e^{2 t} & - (1 + t) e^{t} + 2 e^{2 t} \end{array}) .$ Contrôles : en $t = 0$ on retrouve $I_{3}$ , et la dérivée en $0$ de chaque colonne redonne la colonne correspondante de $A$ (par exemple $((1 - t) e^{t}, 2 t e^{t}, - t e^{t})^{'} (0) = (0, 2, - 1)$ ), conformément à $(e^{t A})^{'} (0) = A$ .

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Application du cours4 points

4. Solutions polynomiales, wronskien et variation des constantes

On considère sur $ℝ$ l'équation $(H) : (1 + t^{2}) y^{''} - 2 t y^{'} + 2 y = 0$ et l'équation $(L) : (1 + t^{2}) y^{''} - 2 t y^{'} + 2 y = (1 + t^{2})^{2}$ .

Justifier que l'ensemble des solutions de $(H)$ sur $ℝ$ est un espace vectoriel de dimension $2$ .
Soit $y$ une fonction polynomiale non nulle de degré $d$ , solution de $(H)$ . Montrer que $d \in {1, 2}$ . En déduire toutes les solutions de $(H)$ .
Calculer le wronskien $W$ de $(y_{1}, y_{2}) = (t, t^{2} - 1)$ et vérifier la formule de Liouville.
Résoudre $(L)$ par la variation des constantes, puis déterminer la solution qui vérifie $y (0) = y^{'} (0) = 0$ .

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1. Le coefficient $1 + t^{2}$ ne s'annule pas sur $ℝ$ ; sur l'intervalle $ℝ$ , $(H)$ équivaut à $y^{''} = \frac{2 t}{1 + t^{2}} y^{'} - \frac{2}{1 + t^{2}} y$ , à coefficients continus. D'après le théorème de Cauchy linéaire et la structure des solutions (fiche § 10-11), l'espace des solutions est de dimension $2$ .

2. Écrivons $y = \sum_{k = 0}^{d} a_{k} t^{k}$ avec $a_{d} \neq 0$ . Dans $(1 + t^{2}) y^{''} - 2 t y^{'} + 2 y$ , le coefficient de $t^{d}$ vaut $d (d - 1) a_{d} - 2 d a_{d} + 2 a_{d} = (d^{2} - 3 d + 2) a_{d} = (d - 1) (d - 2) a_{d} .$ Il doit être nul, donc $d \in {1, 2}$ (pour $d = 0$ on obtiendrait $2 a_{0} = 0$ ). On teste : $y = t$ donne $0 - 2 t + 2 t = 0$ ; pour $y = t^{2} + β t + γ$ , $(1 + t^{2}) \cdot 2 - 2 t (2 t + β) + 2 (t^{2} + β t + γ) = 2 + 2 γ$ , nul si et seulement si $γ = - 1$ . Les solutions polynomiales forment donc $Vect (t, t^{2} - 1)$ . Ces deux fonctions sont libres (degrés différents) et l'espace des solutions est de dimension $2$ : $𝒮_{H} = {c_{1} t + c_{2} (t^{2} - 1), (c_{1}, c_{2}) \in ℝ^{2}} .$ Toutes les solutions de $(H)$ sont polynomiales, ce qu'on ne pouvait pas deviner sur l'équation.

3. $W = y_{1} y_{2}^{'} - y_{1}^{'} y_{2} = t \cdot 2 t - (t^{2} - 1) = t^{2} + 1$ . L'équation normalisée s'écrit $y^{''} + a (t) y^{'} + b (t) y = 0$ avec $a (t) = - \frac{2 t}{1 + t^{2}}$ ; Liouville (fiche § 12) donne $W (t) = W (0) \exp (\int_{0}^{t} \frac{2 s}{1 + s^{2}} d s) = 1 \cdot (1 + t^{2})$ . Les deux calculs concordent, et $W$ ne s'annule pas : $(y_{1}, y_{2})$ est un système fondamental.

4. L'équation normalisée a pour second membre $f (t) = \frac{(1 + t^{2})^{2}}{1 + t^{2}} = 1 + t^{2}$ . On cherche $y = λ_{1} y_{1} + λ_{2} y_{2}$ avec $λ_{1}, λ_{2}$ de classe $C^{1}$ et (fiche § 14) $λ_{1}^{'} = - \frac{y_{2} f}{W} = - (t^{2} - 1) = 1 - t^{2}, λ_{2}^{'} = \frac{y_{1} f}{W} = t .$ On prend $λ_{1} = t - \frac{t^{3}}{3}$ , $λ_{2} = \frac{t^{2}}{2}$ : $y_{p} = t (t - \frac{t^{3}}{3}) + \frac{t^{2}}{2} (t^{2} - 1) = \frac{t^{4}}{6} + \frac{t^{2}}{2}$ . Vérification : $y_{p}^{'} = \frac{2 t^{3}}{3} + t$ , $y_{p}^{''} = 2 t^{2} + 1$ , et $(1 + t^{2}) (2 t^{2} + 1) - 2 t (\frac{2 t^{3}}{3} + t) + \frac{t^{4}}{3} + t^{2} = t^{4} + 2 t^{2} + 1 = (1 + t^{2})^{2}$ . Solutions de $(L)$ : $y = \frac{t^{4}}{6} + \frac{t^{2}}{2} + c_{1} t + c_{2} (t^{2} - 1)$ . Les conditions $y (0) = - c_{2} = 0$ et $y^{'} (0) = c_{1} = 0$ donnent $y (t) = \frac{t^{4}}{6} + \frac{t^{2}}{2} .$

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Niveau devoir5 points

5. Exponentielle par un polynôme annulateur

Partie A. Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ telle que $A^{3} = A$ .

Montrer que, pour tout $t \in ℝ$ , $e^{t A} = I_{n} + sh (t) A + (ch (t) - 1) A^{2}$ .
Application : $A = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array})$ . Vérifier que $A^{3} = A$ et donner $e^{t A}$ .

Partie B. Soient $(a, b, c) \in ℝ^{3}$ avec $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$ , $w =^{t} (a, b, c)$ et $K = (\begin{array}{ccc} 0 & - c & b \\ c & 0 & - a \\ - b & a & 0 \end{array})$ .

Montrer que $K^{2} = w^{t} w - I_{3}$ et $K^{3} = - K$ .
En déduire $e^{t K} = I_{3} + \sin (t) K + (1 - \cos (t)) K^{2}$ .
Montrer que $e^{t K} \in S O_{3} (ℝ)$ et que $e^{t K} w = w$ .
Calculer $e^{π K}$ pour $w = \frac{1}{3}^{t} (1, 2, 2)$ et reconnaître cette matrice.

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A. 1. Par récurrence, $A^{2 k + 1} = A$ pour $k \geq 0$ et $A^{2 k} = A^{2}$ pour $k \geq 1$ (si $A^{2 k + 1} = A$ , alors $A^{2 k + 3} = A^{2 k + 1} A^{2} = A^{3} = A$ , et $A^{2 k + 2} = A \cdot A^{2 k + 1} = A^{2}$ ). La série définissant $e^{t A}$ converge absolument, on peut donc regrouper les termes d'indices pairs et impairs : $e^{t A} = I_{n} + \sum_{k \geq 0} \frac{t^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!} A + \sum_{k \geq 1} \frac{t^{2 k}}{(2 k)!} A^{2} = I_{n} + sh (t) A + (ch (t) - 1) A^{2} .$

A. 2. $A^{2} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & - 1 & 0 \end{array})$ et $A^{3} = A \cdot A^{2} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}) = A$ . Donc $e^{t A} = (\begin{array}{ccc} 1 + sh t + (ch t - 1) & 0 & 0 \\ 2 sh t & 1 - sh t + (ch t - 1) & 0 \\ sh t + 3 (ch t - 1) & sh t - (ch t - 1) & 1 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} e^{t} & 0 & 0 \\ 2 sh t & e^{- t} & 0 \\ sh t + 3 ch t - 3 & 1 - e^{- t} & 1 \end{array}) .$ Contrôle : $A$ est triangulaire de diagonale $(1, - 1, 0)$ , et $e^{t A}$ a bien pour diagonale $(e^{t}, e^{- t}, 1)$ .

B. 1. Pour $x \in ℝ^{3}$ , $K x = w \land x$ . Par la formule du double produit vectoriel, $K^{2} x = w \land (w \land x) = ⟨ w, x ⟩ w - ∥ w ∥^{2} x = (w^{t} w) x - x$ , donc $K^{2} = w^{t} w - I_{3}$ (on peut aussi faire le produit matriciel en utilisant $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$ ). Ensuite $K w = w \land w = 0$ , donc $K^{3} = K (w^{t} w) - K = (K w)^{t} w - K = - K$ .

B. 2. Comme en A.1 : $K^{2 k + 1} = (- 1)^{k} K$ et $K^{2 k} = (- 1)^{k - 1} K^{2}$ pour $k \geq 1$ . Donc $e^{t K} = I_{3} + (\sum_{k \geq 0} \frac{(- 1)^{k} t^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!}) K + (\sum_{k \geq 1} \frac{(- 1)^{k - 1} t^{2 k}}{(2 k)!}) K^{2} = I_{3} + \sin (t) K + (1 - \cos (t)) K^{2}$ .

B. 3. $K$ est antisymétrique, donc $^{t} (e^{t K}) = e^{t^{t} K} = e^{- t K} = (e^{t K})^{- 1}$ (fiche § 6) : $e^{t K} \in O_{3} (ℝ)$ . De plus $\det e^{t K} = e^{t tr K} = e^{0} = 1$ , donc $e^{t K} \in S O_{3} (ℝ)$ . Enfin $K w = 0$ et $K^{2} w = 0$ , donc $e^{t K} w = w$ : c'est la rotation d'axe dirigé par $w$ , d'angle $t$ .

B. 4. $e^{π K} = I_{3} + 0 \cdot K + 2 K^{2} = 2 w^{t} w - I_{3}$ . Pour $w = \frac{1}{3}^{t} (1, 2, 2)$ , $w^{t} w = \frac{1}{9} (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 4 \\ 2 & 4 & 4 \end{array})$ et $e^{π K} = \frac{1}{9} (\begin{array}{ccc} - 7 & 4 & 4 \\ 4 & - 1 & 8 \\ 4 & 8 & - 1 \end{array}) .$ C'est le demi-tour d'axe $ℝ w$ (symétrie orthogonale par rapport à la droite $ℝ w$ ) : $2 w^{t} w - I_{3} = 2 p - I_{3}$ où $p$ est le projecteur orthogonal sur $ℝ w$ .

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Niveau devoir5 points

6. Étude d'un arc paramétré

On considère l'arc défini pour $t \in ℝ ∖ {1}$ par $x (t) = \frac{t^{2}}{1 - t}$ , $y (t) = \frac{t^{3}}{1 - t}$ .

Calculer $x^{'} (t)$ et $y^{'} (t)$ et dresser le tableau de variations conjoint de $x$ et $y$ .
Montrer que $M (0)$ est le seul point stationnaire. À l'aide d'un développement de Taylor-Young, déterminer la tangente et la nature de ce point.
Préciser les tangentes horizontales et verticales.
Étudier les branches infinies (quand $t \to 1$ et quand $t \to \pm \infty$ ) et la position de l'arc par rapport à l'éventuelle asymptote.
Montrer que l'arc n'a pas de point double.

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1. $x$ et $y$ sont des fractions rationnelles, de classe $C^{\infty}$ sur $] - \infty, 1 [$ et sur $] 1, + \infty [$ . On trouve $x^{'} (t) = \frac{2 t (1 - t) + t^{2}}{(1 - t)^{2}} = \frac{t (2 - t)}{(1 - t)^{2}}, y^{'} (t) = \frac{3 t^{2} (1 - t) + t^{3}}{(1 - t)^{2}} = \frac{t^{2} (3 - 2 t)}{(1 - t)^{2}} .$ Signes : $x^{'} < 0$ sur $] - \infty, 0 [$ , $x^{'} > 0$ sur $] 0, 1 [$ et $] 1, 2 [$ , $x^{'} < 0$ sur $] 2, + \infty [$ ; $y^{'} \geq 0$ pour $t < \frac{3}{2}$ ( $t \neq 1$ , nul seulement en $0$ ), $y^{'} < 0$ pour $t > \frac{3}{2}$ . Valeurs : $M (0) = (0, 0)$ , $M ⁣ (\frac{3}{2}) = (- \frac{9}{2}, - \frac{27}{4})$ , $M (2) = (- 4, - 8)$ .

$t$	$- \infty$		$0$		$1^{-}$ $∥$ $1^{+}$		$\frac{3}{2}$		$2$		$+ \infty$
$x$	$+ \infty$	$↘$	$0$	$↗$	$+ \infty$ $∥$ $- \infty$	$↗$	$- \frac{9}{2}$	$↗$	$- 4$ (max)	$↘$	$- \infty$
$y$	$- \infty$	$↗$	$0$	$↗$	$+ \infty$ $∥$ $- \infty$	$↗$	$- \frac{27}{4}$ (max)	$↘$	$- 8$	$↘$	$- \infty$

2. $x^{'} (t) = y^{'} (t) = 0$ impose $t \in {0, 2} \cap {0, \frac{3}{2}}$ , donc $t = 0$ : seul $M (0)$ est stationnaire. Au voisinage de $0$ , $\frac{1}{1 - t} = 1 + t + O (t^{2})$ , donc $x (t) = t^{2} + t^{3} + o (t^{3}), y (t) = t^{3} + o (t^{3}), f (t) = t^{2} (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}) + t^{3} (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) + o (t^{3}) .$ Par unicité du développement de Taylor-Young, $\frac{f^{''} (0)}{2} =^{t} (1, 0)$ et $\frac{f^{'''} (0)}{6} =^{t} (1, 1)$ : $p = 2$ et $q = 3$ (le second vecteur n'est pas colinéaire au premier). La tangente en $M (0)$ est dirigée par $^{t} (1, 0)$ : c'est l'axe $(O x)$ . Avec $p$ pair et $q$ impair, $M (0)$ est un point de rebroussement de 1re espèce (fiche § 5) : près de $t = 0$ , $x (t) \geq 0$ et $y (t)$ a le signe de $t$ , donc les deux branches sont du même côté de la normale ( $X \geq 0$ ) et de part et d'autre de la tangente.

3. Tangente horizontale en un point régulier où $y^{'} = 0 \neq x^{'}$ : $t = \frac{3}{2}$ , au point $(- \frac{9}{2}, - \frac{27}{4})$ . Tangente verticale où $x^{'} = 0 \neq y^{'}$ : $t = 2$ , au point $(- 4, - 8)$ .

4. • $t \to 1$ : $x$ et $y$ tendent vers l'infini (vers $+ \infty$ à gauche de $1$ , vers $- \infty$ à droite). $\frac{y}{x} = t \to 1$ , puis $y - x = \frac{t^{3} - t^{2}}{1 - t} = - t^{2} \to - 1.$ La droite $Δ : Y = X - 1$ est asymptote. Position : $y - (x - 1) = 1 - t^{2} = (1 - t) (1 + t)$ , positif pour $t \to 1^{-}$ (arc au-dessus de $Δ$ ), négatif pour $t \to 1^{+}$ (arc au-dessous). • $t \to \pm \infty$ : $x \sim - t$ et $y \sim - t^{2}$ , donc $\frac{y}{x} = t \to \pm \infty$ : branches paraboliques de direction $(O y)$ .

5. Supposons $M (t) = M (u)$ avec $t \neq u$ . Si $x (t) = x (u) \neq 0$ , alors $y (t) = t x (t)$ et $y (u) = u x (u)$ imposent $t = u$ : contradiction. Si $x (t) = x (u) = 0$ , alors $t = u = 0$ ( $x$ ne s'annule qu'en $0$ ) : contradiction. L'arc n'a donc pas de point double.

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Niveau devoir5 points

7. Équation scalaire d'ordre 3 et matrice compagnon

On considère $(L) : y^{'''} - y^{''} - y^{'} + y = 4 e^{- t}$ sur $ℝ$ , et $(H)$ l'équation homogène associée.

Écrire la matrice compagnon $C$ telle que $(H)$ équivaille à $X^{'} = C X$ avec $X =^{t} (y, y^{'}, y^{''})$ . Calculer $χ_{C}$ et montrer que $C$ n'est pas diagonalisable.
Donner un système fondamental de solutions de $(H)$ .
Calculer le wronskien $W$ de ce système, et retrouver le résultat par la formule de Liouville.
Trouver une solution particulière de $(L)$ de la forme $α t e^{- t}$ , puis la solution de $(L)$ pour laquelle $y (0) = y^{'} (0) = y^{''} (0) = 0$ .

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1. $(H)$ s'écrit $y^{'''} = - y + y^{'} + y^{''}$ , donc $C = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ - 1 & 1 & 1 \end{array}), χ_{C} = \det (X I_{3} - C) = X^{3} - X^{2} - X + 1 = (X - 1)^{2} (X + 1) .$ (Développement selon la première colonne de $X I_{3} - C = (\begin{array}{ccc} X & - 1 & 0 \\ 0 & X & - 1 \\ 1 & - 1 & X - 1 \end{array})$ : $X (X (X - 1) - 1) + 1 \cdot ∣ \begin{array}{cc} - 1 & 0 \\ X & - 1 \end{array} ∣ = X^{3} - X^{2} - X + 1$ .) $C - I_{3} = (\begin{array}{ccc} - 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \\ - 1 & 1 & 0 \end{array})$ : ses deux premières lignes sont libres et la troisième égale la première, donc son rang vaut $2$ et $\dim E_{1} (C) = 1 < 2$ : $C$ n'est pas diagonalisable. (Pour une matrice compagnon, chaque sous-espace propre est une droite.)

2. Le polynôme caractéristique de l'équation est $P = (X - 1)^{2} (X + 1)$ (fiche § 15) : $(e^{t}, t e^{t}, e^{- t})$ est un système fondamental.

3. $W = ∣ \begin{array}{ccc} e^{t} & t e^{t} & e^{- t} \\ e^{t} & (1 + t) e^{t} & - e^{- t} \\ e^{t} & (2 + t) e^{t} & e^{- t} \end{array} ∣ = e^{t} ∣ \begin{array}{ccc} 1 & t & 1 \\ 1 & 1 + t & - 1 \\ 1 & 2 + t & 1 \end{array} ∣$ . En retranchant la ligne 1 aux lignes 2 et 3 : $∣ \begin{array}{ccc} 1 & t & 1 \\ 0 & 1 & - 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{array} ∣ = 0 + 4 = 4$ , donc $W (t) = 4 e^{t}$ . Liouville (fiche § 12) : $W^{'} = tr (C) W = W$ , donc $W (t) = W (0) e^{t} = 4 e^{t}$ . Les deux calculs concordent.

4. Pour $y = α t e^{- t}$ : $y^{'} = α (1 - t) e^{- t}$ , $y^{''} = α (t - 2) e^{- t}$ , $y^{'''} = α (3 - t) e^{- t}$ , et $y^{'''} - y^{''} - y^{'} + y = α e^{- t} ((3 - t) - (t - 2) - (1 - t) + t) = 4 α e^{- t}$ . Donc $α = 1$ : $y_{p} = t e^{- t}$ . Solution générale : $y = t e^{- t} + (c_{1} + c_{2} t) e^{t} + c_{3} e^{- t}$ . Conditions initiales : $y (0) = c_{1} + c_{3} = 0$ , $y^{'} (0) = 1 + c_{1} + c_{2} - c_{3} = 0$ , $y^{''} (0) = - 2 + c_{1} + 2 c_{2} + c_{3} = 0$ . De la 1re et la 3e : $c_{2} = 1$ ; puis $1 + c_{1} + 1 + c_{1} = 0$ , $c_{1} = - 1$ , $c_{3} = 1$ . $y (t) = (t - 1) e^{t} + (t + 1) e^{- t} .$

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Niveau devoir5 points

8. Exponentielle, commutation et image

Soient $A = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array})$ et $B = (\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array})$ . Calculer $e^{A}$ , $e^{B}$ , $e^{A} e^{B}$ et $e^{A + B}$ . Conclure.
Soient $A, B \in ℳ_{n} (𝕂)$ telles que $e^{t A} e^{t B} = e^{t (A + B)}$ pour tout $t \in ℝ$ . En dérivant deux fois en $0$ , montrer que $A B = B A$ .
Montrer que $e^{2 π J} = e^{0}$ avec $J = (\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array})$ . L'application $\exp$ est-elle injective sur $ℳ_{2} (ℝ)$ ?
Montrer que l'image de $\exp : ℳ_{n} (ℝ) \to ℳ_{n} (ℝ)$ est contenue dans ${M : \det M > 0}$ , et que tout élément de cette image est le carré d'une matrice réelle.
Montrer que $D = (\begin{array}{cc} - 1 & 0 \\ 0 & - 2 \end{array})$ n'est pas l'exponentielle d'une matrice réelle, bien que $\det D > 0$ . Montrer en revanche que $- I_{2}$ en est une.

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1. $A^{2} = B^{2} = 0$ , donc $e^{A} = I_{2} + A = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array})$ , $e^{B} = I_{2} + B = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array})$ et $e^{A} e^{B} = (\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array})$ . Ensuite $S = A + B = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array})$ vérifie $S^{2} = I_{2}$ , donc (fiche § 7) $e^{S} = ch (1) I_{2} + sh (1) S = (\begin{array}{cc} ch 1 & sh 1 \\ sh 1 & ch 1 \end{array})$ . Le coefficient $(2, 2)$ vaut $1$ d'un côté et $ch 1 > 1$ de l'autre : $e^{A + B} \neq e^{A} e^{B}$ . Ici $A B = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}) \neq B A = (\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array})$ : l'hypothèse de commutation n'est pas décorative.

2. Posons $φ (t) = e^{t A} e^{t B}$ . D'après la fiche § 8 et la règle du produit, $φ^{'} (t) = A e^{t A} e^{t B} + e^{t A} e^{t B} B$ et $φ^{''} (t) = A^{2} e^{t A} e^{t B} + 2 A e^{t A} e^{t B} B + e^{t A} e^{t B} B^{2}, donc φ^{''} (0) = A^{2} + 2 A B + B^{2} .$ De même, la dérivée seconde de $t \mapsto e^{t (A + B)}$ en $0$ vaut $(A + B)^{2} = A^{2} + A B + B A + B^{2}$ . L'égalité des deux fonctions impose l'égalité des dérivées secondes en $0$ : $2 A B = A B + B A$ , soit $A B = B A$ . (Réciproquement, si $A B = B A$ , l'égalité est vraie : c'est la propriété 5 du § 6.)

3. $J^{2} = - I_{2}$ , donc $e^{θ J} = \cos θ I_{2} + \sin θ J$ et $e^{2 π J} = I_{2} = e^{0}$ alors que $2 π J \neq 0$ : $\exp$ n'est pas injective.

4. Si $M = e^{A}$ avec $A$ réelle, $\det M = e^{tr A} > 0$ (fiche § 6, propriété 8). De plus $\frac{A}{2}$ et $\frac{A}{2}$ commutent, donc $M = e^{A / 2 + A / 2} = (e^{A / 2})^{2}$ : $M$ est le carré de la matrice réelle $e^{A / 2}$ .

5. Supposons $D = Q^{2}$ avec $Q \in ℳ_{2} (ℝ)$ . Alors $Q$ commute avec $Q^{2} = D$ . Écrivons $Q = (\begin{array}{cc} α & β \\ γ & δ \end{array})$ : $Q D = D Q$ donne $- 2 β = - β$ et $- γ = - 2 γ$ , donc $β = γ = 0$ . Alors $Q^{2} = diag (α^{2}, δ^{2})$ et $α^{2} = - 1$ : impossible dans $ℝ$ . $D$ n'est donc pas un carré réel et, d'après 4, n'est pas une exponentielle, bien que $\det D = 2 > 0$ . En revanche $e^{π J} = \cos π I_{2} + \sin π J = - I_{2}$ : $- I_{2}$ est une exponentielle. La condition $\det M > 0$ est nécessaire, pas suffisante.

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Synthèse, niveau concours8 points

9. Problème : système différentiel du second ordre

Dans tout le problème, $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ est diagonalisable et ses valeurs propres sont strictement positives ; on écrit $A = P diag (ω_{1}^{2}, \dots, ω_{n}^{2}) P^{- 1}$ avec $P \in G L_{n} (ℝ)$ et $ω_{i} > 0$ . On étudie $(S) : X^{''} + A X = 0$ , d'inconnue $X \in C^{2} (ℝ, ℳ_{n, 1} (ℝ))$ . On munit $ℳ_{n} (ℝ)$ d'une norme sous-multiplicative.

Partie I — Réduction.

Q.1 Montrer que $X$ est solution de $(S)$ si et seulement si $Y = P^{- 1} X$ vérifie $y_{i}^{''} + ω_{i}^{2} y_{i} = 0$ pour tout $i$ .
Q.2 En déduire que l'ensemble des solutions de $(S)$ est un espace vectoriel de dimension $2 n$ , et que, pour tout $(X_{0}, X_{1})$ , il existe une unique solution telle que $X (0) = X_{0}$ et $X^{'} (0) = X_{1}$ .

Partie II — Deux séries matricielles. Pour $t \in ℝ$ , on pose $C (t) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{(- 1)^{k} t^{2 k}}{(2 k)!} A^{k}$ et $S (t) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{(- 1)^{k} t^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!} A^{k}$ .

Q.3 Montrer que ces deux séries convergent pour tout $t$ .
Q.4 Montrer que $C (t) = P diag (\cos (ω_{i} t)) P^{- 1}$ et $S (t) = P diag (\frac{\sin (ω_{i} t)}{ω_{i}}) P^{- 1}$ .
Q.5 En déduire que $C$ et $S$ sont dérivables, avec $S^{'} = C$ et $C^{'} = - A S$ , puis que la solution de $(S)$ telle que $X (0) = X_{0}$ , $X^{'} (0) = X_{1}$ est $X (t) = C (t) X_{0} + S (t) X_{1}$ .

Partie III — Lien avec l'exponentielle.

Q.6 On pose $Z =^{t} (X, X^{'}) \in ℳ_{2 n, 1} (ℝ)$ et $M = (\begin{array}{cc} 0 & I_{n} \\ - A & 0 \end{array}) \in ℳ_{2 n} (ℝ)$ . Montrer que $X$ résout $(S)$ si et seulement si $Z^{'} = M Z$ .
Q.7 En déduire que $e^{t M} = (\begin{array}{cc} C (t) & S (t) \\ - A S (t) & C (t) \end{array})$ .

Partie IV — Exemple.

Q.8 On prend $n = 2$ et $A = (\begin{array}{cc} 5 & - 4 \\ - 4 & 5 \end{array})$ . Vérifier les hypothèses, puis résoudre $(S)$ avec $X (0) =^{t} (2, 0)$ et $X^{'} (0) =^{t} (0, 6)$ .

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Q.1 $X = P Y$ avec $P$ constante, donc $X^{''} = P Y^{''}$ et $X^{''} + A X = P (Y^{''} + diag (ω_{i}^{2}) Y)$ . Comme $P$ est inversible, $X^{''} + A X = 0$ équivaut à $Y^{''} + diag (ω_{i}^{2}) Y = 0$ , c'est-à-dire $y_{i}^{''} + ω_{i}^{2} y_{i} = 0$ pour tout $i$ .

Q.2 Chaque équation $y_{i}^{''} + ω_{i}^{2} y_{i} = 0$ a pour solutions $α_{i} \cos (ω_{i} t) + β_{i} \sin (ω_{i} t)$ , espace de dimension 2 (cours de 1re année). L'application $X \mapsto P^{- 1} X$ est un isomorphisme de l'espace des solutions de $(S)$ sur le produit de ces $n$ espaces, d'où la dimension $2 n$ . Pour les conditions initiales : $X (0) = X_{0}$ , $X^{'} (0) = X_{1}$ équivaut à $Y (0) = P^{- 1} X_{0}$ , $Y^{'} (0) = P^{- 1} X_{1}$ , et chaque équation scalaire d'ordre 2 a une unique solution avec deux conditions en $0$ (Équations différentielles § 9).

Q.3 Par sous-multiplicativité, $∥ \frac{(- 1)^{k} t^{2 k}}{(2 k)!} A^{k} ∥ \leq \frac{(∣ t ∣ \sqrt{∥ A ∥})^{2 k}}{(2 k)!}$ pour $k \geq 1$ , terme général d'une série convergente (de somme $ch (∣ t ∣ \sqrt{∥ A ∥}) - 1$ ). La série $C (t)$ converge absolument, donc converge ( $ℳ_{n} (ℝ)$ est de dimension finie). Même argument pour $S (t)$ avec $\frac{∣ t ∣^{2 k + 1} ∥ A ∥^{k}}{(2 k + 1)!}$ .

Q.4 $A^{k} = P diag (ω_{i}^{2 k}) P^{- 1}$ , et $M \mapsto P M P^{- 1}$ est linéaire en dimension finie donc continue : on peut la sortir de la somme. $C (t) = P diag (\sum_{k} \frac{(- 1)^{k} (ω_{i} t)^{2 k}}{(2 k)!}) P^{- 1} = P diag (\cos (ω_{i} t)) P^{- 1},$ et de même $\sum_{k} \frac{(- 1)^{k} t^{2 k + 1} ω_{i}^{2 k}}{(2 k + 1)!} = \frac{\sin (ω_{i} t)}{ω_{i}}$ donne $S (t)$ .

Q.5 Les coefficients de $C$ et $S$ sont des combinaisons linéaires de $\cos (ω_{i} t)$ et $\sin (ω_{i} t)$ , donc $C$ et $S$ sont $C^{\infty}$ , et l'on dérive au milieu ( $P$ constante) : $S^{'} (t) = P diag (\cos ω_{i} t) P^{- 1} = C (t)$ et $C^{'} (t) = P diag (- ω_{i} \sin ω_{i} t) P^{- 1} = - P diag (ω_{i}^{2}) P^{- 1} \cdot P diag (\frac{\sin ω_{i} t}{ω_{i}}) P^{- 1} = - A S (t)$ . Pour $X = C X_{0} + S X_{1}$ : $X^{'} = - A S X_{0} + C X_{1}$ , puis $X^{''} = - A C X_{0} - A S X_{1} = - A X$ (on a utilisé $S^{'} = C$ , $C^{'} = - A S$ ). De plus $X (0) = C (0) X_{0} + S (0) X_{1} = X_{0}$ et $X^{'} (0) = - A S (0) X_{0} + C (0) X_{1} = X_{1}$ , car $C (0) = I_{n}$ et $S (0) = 0$ . Par l'unicité de Q.2, c'est la solution cherchée.

Q.6 Écrivons $Z =^{t} (Z_{1}, Z_{2})$ par blocs. $Z^{'} = M Z$ équivaut à $Z_{1}^{'} = Z_{2}$ et $Z_{2}^{'} = - A Z_{1}$ . Si $X$ résout $(S)$ , $Z =^{t} (X, X^{'})$ vérifie ces deux relations. Réciproquement, si $Z^{'} = M Z$ , alors $Z_{1}$ est $C^{2}$ avec $Z_{1}^{''} = Z_{2}^{'} = - A Z_{1}$ : $X = Z_{1}$ résout $(S)$ et $Z =^{t} (X, X^{'})$ .

Q.7 Notons $R (t)$ la matrice par blocs de l'énoncé. D'après Q.5, $R^{'} (t) = (\begin{array}{cc} - A S & C \\ - A C & - A S \end{array})$ , et l'on calcule $M R = (\begin{array}{cc} 0 & I_{n} \\ - A & 0 \end{array}) (\begin{array}{cc} C & S \\ - A S & C \end{array}) = (\begin{array}{cc} - A S & C \\ - A C & - A S \end{array})$ . Donc $R^{'} = M R$ et $R (0) = I_{2 n}$ . La fonction $t \mapsto e^{t M}$ vérifie la même équation linéaire $R^{'} = M R$ (colonne par colonne) avec la même valeur en $0$ : par unicité dans le théorème de Cauchy linéaire, $e^{t M} = R (t)$ .

Q.8 $χ_{A} = (X - 5)^{2} - 16 = (X - 1) (X - 9)$ : deux valeurs propres distinctes et strictement positives, $A$ est diagonalisable. $E_{1} = Vect^{t} (1, 1)$ , $E_{9} = Vect^{t} (1, - 1)$ , donc $ω_{1} = 1$ , $ω_{2} = 3$ , $P = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array})$ . On décompose les conditions initiales sur les vecteurs propres : $X_{0} =^{t} (2, 0) = V_{1} + V_{2}$ et $X_{1} =^{t} (0, 6) = 3 V_{1} - 3 V_{2}$ , où $V_{1} =^{t} (1, 1)$ , $V_{2} =^{t} (1, - 1)$ . Le long de $V_{1}$ (pulsation $1$ ) : $\cos t + 3 \sin t$ ; le long de $V_{2}$ (pulsation $3$ ) : $\cos 3 t - \frac{3}{3} \sin 3 t$ . Donc $X (t) = (\cos t + 3 \sin t) (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) + (\cos 3 t - \sin 3 t) (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array}) .$ Vérification : $X (0) = V_{1} + V_{2} =^{t} (2, 0)$ , $X^{'} (0) = 3 V_{1} - 3 V_{2} =^{t} (0, 6)$ , et chaque terme résout $(S)$ ( $A V_{1} = V_{1}$ , $A V_{2} = 9 V_{2}$ ).

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Synthèse, niveau concours8 points

10. Problème : solutions périodiques d'un système linéaire

Soient $A \in ℳ_{n} (ℂ)$ , $T > 0$ et $B : ℝ \to ℳ_{n, 1} (ℂ)$ continue et $T$ -périodique. On étudie $(L) : X^{'} = A X + B (t)$ .

Partie I — Cas général.

Q.1 Montrer que si $X$ est solution de $(L)$ , alors $\tilde{X} : t \mapsto X (t + T)$ l'est aussi.
Q.2 En déduire qu'une solution $X$ de $(L)$ est $T$ -périodique si et seulement si $X (T) = X (0)$ .
Q.3 On pose $V = \int_{0}^{T} e^{(T - s) A} B (s) d s$ . Montrer que la solution de $(L)$ de valeur initiale $X_{0}$ est $T$ -périodique si et seulement si $(I_{n} - e^{T A}) X_{0} = V$ .
Q.4 Montrer que les valeurs propres de $e^{T A}$ sont les $e^{T λ}$ , $λ \in Sp (A)$ . En déduire que $(L)$ possède une unique solution $T$ -périodique dès qu'aucune valeur propre de $A$ n'appartient à $\frac{2 i π}{T} ℤ$ .

Partie II — Exemples ( $T = 2 π$ ).

Q.5 Déterminer l'unique solution $2 π$ -périodique du système $x^{'} = - x + y$ , $y^{'} = - y + \cos t$ .
Q.6 On considère $y^{''} + 4 y = b (t)$ et le système associé $X^{'} = A_{0} X +^{t} (0, b (t))$ , avec $A_{0} = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ - 4 & 0 \end{array})$ . (a) Calculer $e^{s A_{0}}$ et $e^{2 π A_{0}}$ . (b) Montrer qu'ici l'équation admet une solution $2 π$ -périodique si et seulement si $\int_{0}^{2 π} e^{- s A_{0}}^{t} (0, b (s)) d s = 0$ , et qu'alors toutes les solutions sont $2 π$ -périodiques. (c) Traiter $b (t) = \cos t$ puis $b (t) = \cos 2 t$ .

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Q.1 $\tilde{X}$ est dérivable et ${\tilde{X}}^{'} (t) = X^{'} (t + T) = A X (t + T) + B (t + T) = A \tilde{X} (t) + B (t)$ , par périodicité de $B$ .

Q.2 Si $X$ est $T$ -périodique, $X (T) = X (0)$ . Réciproquement, si $X (T) = X (0)$ , les solutions $\tilde{X}$ et $X$ de $(L)$ ont la même valeur en $0$ ; par l'unicité dans le théorème de Cauchy linéaire ( $A$ et $B$ continues sur l'intervalle $ℝ$ ), $\tilde{X} = X$ , c'est-à-dire $X (t + T) = X (t)$ pour tout $t$ .

Q.3 Par la formule de variation des constantes (fiche § 14), la solution de valeur $X_{0}$ en $0$ est $X (t) = e^{t A} X_{0} + \int_{0}^{t} e^{(t - s) A} B (s) d s$ , donc $X (T) = e^{T A} X_{0} + V$ . D'après Q.2, $X$ est $T$ -périodique si et seulement si $e^{T A} X_{0} + V = X_{0}$ , soit $(I_{n} - e^{T A}) X_{0} = V$ .

Q.4 $A$ est trigonalisable dans $ℳ_{n} (ℂ)$ : $A = Q U Q^{- 1}$ avec $U$ triangulaire de diagonale $(λ_{1}, \dots, λ_{n})$ . Alors $e^{T A} = Q e^{T U} Q^{- 1}$ et $e^{T U}$ est triangulaire de diagonale $(e^{T λ_{1}}, \dots, e^{T λ_{n}})$ (fiche § 6) : ce sont les valeurs propres de $e^{T A}$ . Or $e^{T λ} = 1 ⟺ T λ \in 2 i π ℤ ⟺ λ \in \frac{2 i π}{T} ℤ$ . Si aucune valeur propre de $A$ n'est dans cet ensemble, $1 \notin Sp (e^{T A})$ , donc $I_{n} - e^{T A}$ est inversible et l'équation de Q.3 a l'unique solution $X_{0} = (I_{n} - e^{T A})^{- 1} V$ : il existe une et une seule solution $T$ -périodique.

Q.5 Ici $A = (\begin{array}{cc} - 1 & 1 \\ 0 & - 1 \end{array})$ a pour seule valeur propre $- 1 \notin i ℤ$ : il existe une unique solution $2 π$ -périodique. On la cherche sous forme trigonométrique. Pour $y^{'} = - y + \cos t$ , $y = a \cos t + b \sin t$ donne $- a \sin t + b \cos t = - a \cos t - b \sin t + \cos t$ , d'où $b = 1 - a$ et $- a = - b$ : $a = b = \frac{1}{2}$ . Pour $x^{'} = - x + \frac{1}{2} (\cos t + \sin t)$ , $x = c \cos t + d \sin t$ donne $d = - c + \frac{1}{2}$ et $- c = - d + \frac{1}{2}$ , d'où $c = 0$ , $d = \frac{1}{2}$ . $x (t) = \frac{1}{2} \sin t, y (t) = \frac{1}{2} (\cos t + \sin t)$ est $2 π$ -périodique ; c'est la solution périodique (Q.4).

Q.6 (a) $A_{0}^{2} = - 4 I_{2}$ , donc, comme dans l'exercice 2, $e^{s A_{0}} = \cos (2 s) I_{2} + \frac{\sin (2 s)}{2} A_{0} = (\begin{array}{cc} \cos 2 s & \frac{1}{2} \sin 2 s \\ - 2 \sin 2 s & \cos 2 s \end{array})$ , et $e^{2 π A_{0}} = I_{2}$ . (Les valeurs propres $\pm 2 i$ appartiennent à $i ℤ$ : on est dans le cas exclu par Q.4.)

(b) Avec $e^{2 π A_{0}} = I_{2}$ , la condition de Q.3 devient $0 \cdot X_{0} = V$ , avec $V = \int_{0}^{2 π} e^{(2 π - s) A_{0}} B (s) d s = e^{2 π A_{0}} \int_{0}^{2 π} e^{- s A_{0}} B (s) d s = \int_{0}^{2 π} e^{- s A_{0}} B (s) d s$ (on a utilisé $e^{(2 π - s) A_{0}} = e^{2 π A_{0}} e^{- s A_{0}}$ , les deux matrices commutant). Si $V \neq 0$ , aucune $X_{0}$ ne convient : pas de solution périodique. Si $V = 0$ , toute $X_{0}$ convient : toutes les solutions sont $2 π$ -périodiques.

(c) $e^{- s A_{0}}^{t} (0, b (s)) =^{t} (- \frac{1}{2} \sin (2 s) b (s), \cos (2 s) b (s))$ .

$b = \cos$ : $\int_{0}^{2 π} \sin 2 s \cos s d s = 0$ et $\int_{0}^{2 π} \cos 2 s \cos s d s = 0$ (linéariser : $\sin 2 s \cos s = \frac{1}{2} (\sin 3 s + \sin s)$ , $\cos 2 s \cos s = \frac{1}{2} (\cos 3 s + \cos s)$ ). Donc $V = 0$ : toutes les solutions sont $2 π$ -périodiques. Explicitement, $y = \frac{1}{3} \cos t + λ \cos 2 t + μ \sin 2 t$ .
$b (t) = \cos 2 t$ : la seconde coordonnée de $V$ vaut $\int_{0}^{2 π} \cos^{2} 2 s d s = π \neq 0$ : aucune solution $2 π$ -périodique. C'est la résonance : les solutions sont $y = \frac{t}{4} \sin 2 t + λ \cos 2 t + μ \sin 2 t$ , non bornées.

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Révisions prépa

Algèbre · 2e année

Fonctions vectorielles, exponentielle de matrice et équations différentielles linéaires

Application du cours4 points

1. Dériver des fonctions vectorielles et matricielles

On pose, pour $t \in ℝ$ , $A (t) = (\begin{array}{cc} t & 1 \\ 0 & t^{2} \end{array})$ . Calculer $A^{'} (t)$ , puis la dérivée de $t \mapsto A (t)^{2}$ . Pour quelles valeurs de $t$ a-t-on $(A^{2})^{'} (t) = 2 A (t) A^{'} (t)$ ?
Soit $M : ℝ \to ℳ_{n} (ℝ)$ dérivable telle que $M (t) \in O_{n} (ℝ)$ pour tout $t$ . Montrer que $^{t} M (t) M^{'} (t)$ est antisymétrique pour tout $t$ . On suppose de plus $M (0) = I_{n}$ et $^{t} M (t) M^{'} (t) = K$ constante. Montrer que $M (t) = e^{t K}$ pour tout $t$ .
On munit $ℝ^{2}$ de sa structure euclidienne canonique et on pose $f (t) = e^{t} (\cos t, \sin t)$ . (a) Calculer $∥ f (t) ∥$ , $f^{'} (t)$ et $∥ f^{'} (t) ∥$ . Montrer que l'angle entre $f (t)$ et $f^{'} (t)$ ne dépend pas de $t$ . (b) Montrer que, pour $a < b$ , $∥ f (b) - f (a) ∥ \leq \sqrt{2} (e^{b} - e^{a})$ .

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Application du cours4 points

2. Trois exponentielles de matrices $2 \times 2$

On considère $A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array})$ , $B = (\begin{array}{cc} 3 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array})$ , $C = (\begin{array}{cc} 0 & - 2 \\ 2 & 0 \end{array})$ .

Calculer $e^{t A}$ pour $t \in ℝ$ en diagonalisant $A$ .
Calculer $e^{t B}$ en écrivant $B = 2 I_{2} + N$ . En déduire la solution de $X^{'} = B X$ telle que $X (0) =^{t} (1, 0)$ .
Calculer $C^{2}$ , puis $e^{t C}$ . Interpréter géométriquement.
Vérifier sur les trois cas l'égalité $\det (e^{t M}) = e^{t tr M}$ .

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Application du cours5 points

3. Deux systèmes $3 \times 3$

Partie A. Résoudre le système suivant, puis trouver la solution telle que $(x, y, z) (0) = (1, 4, 1)$ : ${\begin{cases} x^{'} = x + y - 2 \\ y^{'} = x + z - 2 \\ z^{'} = y + z - 2. \end{cases}$

Partie B. Soit $A = (\begin{array}{ccc} 0 & - 1 & - 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ - 1 & 0 & 2 \end{array})$ .

Calculer $χ_{A}$ . La matrice $A$ est-elle diagonalisable ?
On pose $u_{1} =^{t} (1, - 2, 1)$ , $u_{2} =^{t} (0, - 1, 1)$ , $u_{3} =^{t} (1, 0, 0)$ . Vérifier que $P = (u_{1} ∣ u_{2} ∣ u_{3})$ est inversible et que $P^{- 1} A P = T = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$ .
Résoudre $X^{'} = A X$ . En déduire $e^{t A}$ .

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Partie A. Le système s'écrit $X^{'} = M X + B$ avec $M = (\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array})$ et $B =^{t} (- 2, - 2, - 2)$ .

Réduction. En développant, $χ_{M} = (X - 1) (X (X - 1) - 1) - (X - 1) = (X - 1) (X^{2} - X - 2) = (X - 1) (X - 2) (X + 1)$ . Trois valeurs propres simples : $M$ est diagonalisable, avec $V_{2} =^{t} (1, 1, 1)$ , $V_{1} =^{t} (1, 0, - 1)$ , $V_{- 1} =^{t} (1, - 2, 1)$ (vérification directe : $M V_{1} =^{t} (1, 0, - 1)$ , $M V_{- 1} =^{t} (- 1, 2, - 1)$ ).
Équation homogène (fiche § 13, méthode 1) : $X_{H} (t) = α e^{2 t} V_{2} + β e^{t} V_{1} + γ e^{- t} V_{- 1}$ .
Solution particulière. $B$ est constant et $M$ inversible ( $0$ n'est pas valeur propre) : on cherche $X_{p}$ constant avec $M X_{p} = - B =^{t} (2, 2, 2)$ . Comme $M V_{2} = 2 V_{2}$ , $X_{p} = V_{2} =^{t} (1, 1, 1)$ convient.
Solution générale : $X (t) =^{t} (1, 1, 1) + α e^{2 t} V_{2} + β e^{t} V_{1} + γ e^{- t} V_{- 1}$ , $(α, β, γ) \in ℝ^{3}$ .
Condition initiale : $X (0) - X_{p} =^{t} (0, 3, 0) = α V_{2} + β V_{1} + γ V_{- 1}$ , soit $α + β + γ = 0$ , $α - 2 γ = 3$ , $α - β + γ = 0$ . Les équations 1 et 3 donnent $β = 0$ et $α = - γ$ , puis $- 3 γ = 3$ : $γ = - 1$ , $α = 1$ . $x (t) = 1 + e^{2 t} - e^{- t}, y (t) = 1 + e^{2 t} + 2 e^{- t}, z (t) = 1 + e^{2 t} - e^{- t} .$

$X (0) = E_{1}$ : $a = b = 0$ , $c = 1$ ; $X (0) = E_{2}$ : $a = - 1$ , $b = 1$ , $c = 1$ ; $X (0) = E_{3}$ : $a = - 1$ , $b = 2$ , $c = 1$ . D'où $e^{t A} = (\begin{array}{ccc} (1 - t) e^{t} & - t e^{t} & - t e^{t} \\ 2 t e^{t} & 2 (1 + t) e^{t} - e^{2 t} & 2 (1 + t) e^{t} - 2 e^{2 t} \\ - t e^{t} & - (1 + t) e^{t} + e^{2 t} & - (1 + t) e^{t} + 2 e^{2 t} \end{array}) .$ Contrôles : en $t = 0$ on retrouve $I_{3}$ , et la dérivée en $0$ de chaque colonne redonne la colonne correspondante de $A$ (par exemple $((1 - t) e^{t}, 2 t e^{t}, - t e^{t})^{'} (0) = (0, 2, - 1)$ ), conformément à $(e^{t A})^{'} (0) = A$ .

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Application du cours4 points

4. Solutions polynomiales, wronskien et variation des constantes

On considère sur $ℝ$ l'équation $(H) : (1 + t^{2}) y^{''} - 2 t y^{'} + 2 y = 0$ et l'équation $(L) : (1 + t^{2}) y^{''} - 2 t y^{'} + 2 y = (1 + t^{2})^{2}$ .

Justifier que l'ensemble des solutions de $(H)$ sur $ℝ$ est un espace vectoriel de dimension $2$ .
Soit $y$ une fonction polynomiale non nulle de degré $d$ , solution de $(H)$ . Montrer que $d \in {1, 2}$ . En déduire toutes les solutions de $(H)$ .
Calculer le wronskien $W$ de $(y_{1}, y_{2}) = (t, t^{2} - 1)$ et vérifier la formule de Liouville.
Résoudre $(L)$ par la variation des constantes, puis déterminer la solution qui vérifie $y (0) = y^{'} (0) = 0$ .

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Niveau devoir5 points

5. Exponentielle par un polynôme annulateur

Partie A. Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ telle que $A^{3} = A$ .

Montrer que, pour tout $t \in ℝ$ , $e^{t A} = I_{n} + sh (t) A + (ch (t) - 1) A^{2}$ .
Application : $A = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array})$ . Vérifier que $A^{3} = A$ et donner $e^{t A}$ .

Partie B. Soient $(a, b, c) \in ℝ^{3}$ avec $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$ , $w =^{t} (a, b, c)$ et $K = (\begin{array}{ccc} 0 & - c & b \\ c & 0 & - a \\ - b & a & 0 \end{array})$ .

Montrer que $K^{2} = w^{t} w - I_{3}$ et $K^{3} = - K$ .
En déduire $e^{t K} = I_{3} + \sin (t) K + (1 - \cos (t)) K^{2}$ .
Montrer que $e^{t K} \in S O_{3} (ℝ)$ et que $e^{t K} w = w$ .
Calculer $e^{π K}$ pour $w = \frac{1}{3}^{t} (1, 2, 2)$ et reconnaître cette matrice.

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Niveau devoir5 points

6. Étude d'un arc paramétré

On considère l'arc défini pour $t \in ℝ ∖ {1}$ par $x (t) = \frac{t^{2}}{1 - t}$ , $y (t) = \frac{t^{3}}{1 - t}$ .

Calculer $x^{'} (t)$ et $y^{'} (t)$ et dresser le tableau de variations conjoint de $x$ et $y$ .
Montrer que $M (0)$ est le seul point stationnaire. À l'aide d'un développement de Taylor-Young, déterminer la tangente et la nature de ce point.
Préciser les tangentes horizontales et verticales.
Étudier les branches infinies (quand $t \to 1$ et quand $t \to \pm \infty$ ) et la position de l'arc par rapport à l'éventuelle asymptote.
Montrer que l'arc n'a pas de point double.

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$t$	$- \infty$		$0$		$1^{-}$ $∥$ $1^{+}$		$\frac{3}{2}$		$2$		$+ \infty$
$x$	$+ \infty$	$↘$	$0$	$↗$	$+ \infty$ $∥$ $- \infty$	$↗$	$- \frac{9}{2}$	$↗$	$- 4$ (max)	$↘$	$- \infty$
$y$	$- \infty$	$↗$	$0$	$↗$	$+ \infty$ $∥$ $- \infty$	$↗$	$- \frac{27}{4}$ (max)	$↘$	$- 8$	$↘$	$- \infty$

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Niveau devoir5 points

7. Équation scalaire d'ordre 3 et matrice compagnon

On considère $(L) : y^{'''} - y^{''} - y^{'} + y = 4 e^{- t}$ sur $ℝ$ , et $(H)$ l'équation homogène associée.

Écrire la matrice compagnon $C$ telle que $(H)$ équivaille à $X^{'} = C X$ avec $X =^{t} (y, y^{'}, y^{''})$ . Calculer $χ_{C}$ et montrer que $C$ n'est pas diagonalisable.
Donner un système fondamental de solutions de $(H)$ .
Calculer le wronskien $W$ de ce système, et retrouver le résultat par la formule de Liouville.
Trouver une solution particulière de $(L)$ de la forme $α t e^{- t}$ , puis la solution de $(L)$ pour laquelle $y (0) = y^{'} (0) = y^{''} (0) = 0$ .

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2. Le polynôme caractéristique de l'équation est $P = (X - 1)^{2} (X + 1)$ (fiche § 15) : $(e^{t}, t e^{t}, e^{- t})$ est un système fondamental.

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Niveau devoir5 points

8. Exponentielle, commutation et image

Soient $A = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array})$ et $B = (\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array})$ . Calculer $e^{A}$ , $e^{B}$ , $e^{A} e^{B}$ et $e^{A + B}$ . Conclure.
Soient $A, B \in ℳ_{n} (𝕂)$ telles que $e^{t A} e^{t B} = e^{t (A + B)}$ pour tout $t \in ℝ$ . En dérivant deux fois en $0$ , montrer que $A B = B A$ .
Montrer que $e^{2 π J} = e^{0}$ avec $J = (\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array})$ . L'application $\exp$ est-elle injective sur $ℳ_{2} (ℝ)$ ?
Montrer que l'image de $\exp : ℳ_{n} (ℝ) \to ℳ_{n} (ℝ)$ est contenue dans ${M : \det M > 0}$ , et que tout élément de cette image est le carré d'une matrice réelle.
Montrer que $D = (\begin{array}{cc} - 1 & 0 \\ 0 & - 2 \end{array})$ n'est pas l'exponentielle d'une matrice réelle, bien que $\det D > 0$ . Montrer en revanche que $- I_{2}$ en est une.

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3. $J^{2} = - I_{2}$ , donc $e^{θ J} = \cos θ I_{2} + \sin θ J$ et $e^{2 π J} = I_{2} = e^{0}$ alors que $2 π J \neq 0$ : $\exp$ n'est pas injective.

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Synthèse, niveau concours8 points

9. Problème : système différentiel du second ordre

Partie I — Réduction.

Q.1 Montrer que $X$ est solution de $(S)$ si et seulement si $Y = P^{- 1} X$ vérifie $y_{i}^{''} + ω_{i}^{2} y_{i} = 0$ pour tout $i$ .
Q.2 En déduire que l'ensemble des solutions de $(S)$ est un espace vectoriel de dimension $2 n$ , et que, pour tout $(X_{0}, X_{1})$ , il existe une unique solution telle que $X (0) = X_{0}$ et $X^{'} (0) = X_{1}$ .

Q.3 Montrer que ces deux séries convergent pour tout $t$ .
Q.4 Montrer que $C (t) = P diag (\cos (ω_{i} t)) P^{- 1}$ et $S (t) = P diag (\frac{\sin (ω_{i} t)}{ω_{i}}) P^{- 1}$ .
Q.5 En déduire que $C$ et $S$ sont dérivables, avec $S^{'} = C$ et $C^{'} = - A S$ , puis que la solution de $(S)$ telle que $X (0) = X_{0}$ , $X^{'} (0) = X_{1}$ est $X (t) = C (t) X_{0} + S (t) X_{1}$ .

Partie III — Lien avec l'exponentielle.

Q.6 On pose $Z =^{t} (X, X^{'}) \in ℳ_{2 n, 1} (ℝ)$ et $M = (\begin{array}{cc} 0 & I_{n} \\ - A & 0 \end{array}) \in ℳ_{2 n} (ℝ)$ . Montrer que $X$ résout $(S)$ si et seulement si $Z^{'} = M Z$ .
Q.7 En déduire que $e^{t M} = (\begin{array}{cc} C (t) & S (t) \\ - A S (t) & C (t) \end{array})$ .

Partie IV — Exemple.

Q.8 On prend $n = 2$ et $A = (\begin{array}{cc} 5 & - 4 \\ - 4 & 5 \end{array})$ . Vérifier les hypothèses, puis résoudre $(S)$ avec $X (0) =^{t} (2, 0)$ et $X^{'} (0) =^{t} (0, 6)$ .

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Après avoir comparé avec le corrigé :

Synthèse, niveau concours8 points

10. Problème : solutions périodiques d'un système linéaire

Soient $A \in ℳ_{n} (ℂ)$ , $T > 0$ et $B : ℝ \to ℳ_{n, 1} (ℂ)$ continue et $T$ -périodique. On étudie $(L) : X^{'} = A X + B (t)$ .

Partie I — Cas général.

Q.1 Montrer que si $X$ est solution de $(L)$ , alors $\tilde{X} : t \mapsto X (t + T)$ l'est aussi.
Q.2 En déduire qu'une solution $X$ de $(L)$ est $T$ -périodique si et seulement si $X (T) = X (0)$ .
Q.3 On pose $V = \int_{0}^{T} e^{(T - s) A} B (s) d s$ . Montrer que la solution de $(L)$ de valeur initiale $X_{0}$ est $T$ -périodique si et seulement si $(I_{n} - e^{T A}) X_{0} = V$ .
Q.4 Montrer que les valeurs propres de $e^{T A}$ sont les $e^{T λ}$ , $λ \in Sp (A)$ . En déduire que $(L)$ possède une unique solution $T$ -périodique dès qu'aucune valeur propre de $A$ n'appartient à $\frac{2 i π}{T} ℤ$ .

Partie II — Exemples ( $T = 2 π$ ).

Q.5 Déterminer l'unique solution $2 π$ -périodique du système $x^{'} = - x + y$ , $y^{'} = - y + \cos t$ .
Q.6 On considère $y^{''} + 4 y = b (t)$ et le système associé $X^{'} = A_{0} X +^{t} (0, b (t))$ , avec $A_{0} = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ - 4 & 0 \end{array})$ . (a) Calculer $e^{s A_{0}}$ et $e^{2 π A_{0}}$ . (b) Montrer qu'ici l'équation admet une solution $2 π$ -périodique si et seulement si $\int_{0}^{2 π} e^{- s A_{0}}^{t} (0, b (s)) d s = 0$ , et qu'alors toutes les solutions sont $2 π$ -périodiques. (c) Traiter $b (t) = \cos t$ puis $b (t) = \cos 2 t$ .

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Q.1 $\tilde{X}$ est dérivable et ${\tilde{X}}^{'} (t) = X^{'} (t + T) = A X (t + T) + B (t + T) = A \tilde{X} (t) + B (t)$ , par périodicité de $B$ .

(c) $e^{- s A_{0}}^{t} (0, b (s)) =^{t} (- \frac{1}{2} \sin (2 s) b (s), \cos (2 s) b (s))$ .

$b = \cos$ : $\int_{0}^{2 π} \sin 2 s \cos s d s = 0$ et $\int_{0}^{2 π} \cos 2 s \cos s d s = 0$ (linéariser : $\sin 2 s \cos s = \frac{1}{2} (\sin 3 s + \sin s)$ , $\cos 2 s \cos s = \frac{1}{2} (\cos 3 s + \cos s)$ ). Donc $V = 0$ : toutes les solutions sont $2 π$ -périodiques. Explicitement, $y = \frac{1}{3} \cos t + λ \cos 2 t + μ \sin 2 t$ .
$b (t) = \cos 2 t$ : la seconde coordonnée de $V$ vaut $\int_{0}^{2 π} \cos^{2} 2 s d s = π \neq 0$ : aucune solution $2 π$ -périodique. C'est la résonance : les solutions sont $y = \frac{t}{4} \sin 2 t + λ \cos 2 t + μ \sin 2 t$ , non bornées.

Après avoir comparé avec le corrigé :

1. Dériver des fonctions vectorielles et matricielles

2. Trois exponentielles de matrices 2×2

3. Deux systèmes 3×3

4. Solutions polynomiales, wronskien et variation des constantes

5. Exponentielle par un polynôme annulateur

6. Étude d'un arc paramétré

7. Équation scalaire d'ordre 3 et matrice compagnon

8. Exponentielle, commutation et image

9. Problème : système différentiel du second ordre

10. Problème : solutions périodiques d'un système linéaire

1. Dériver des fonctions vectorielles et matricielles

2. Trois exponentielles de matrices 2×2

3. Deux systèmes 3×3

4. Solutions polynomiales, wronskien et variation des constantes

5. Exponentielle par un polynôme annulateur

6. Étude d'un arc paramétré

7. Équation scalaire d'ordre 3 et matrice compagnon

8. Exponentielle, commutation et image

9. Problème : système différentiel du second ordre

10. Problème : solutions périodiques d'un système linéaire

2. Trois exponentielles de matrices $2 \times 2$

3. Deux systèmes $3 \times 3$

2. Trois exponentielles de matrices $2 \times 2$

3. Deux systèmes $3 \times 3$