Subdivision. Une subdivision de $[a,b]$ est une famille finie $\sigma =(x_0,x_1,\dots ,x_n)$ avec $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$. Son pas est $\underset{1\le k\le n}{\max }(x_k-x_{k-1})$. La subdivision régulière d'ordre $n$ est $x_k=a+k\frac{b-a}{n}$ ($0\le k\le n$), de pas $\frac{b-a}{n}$. Une subdivision ${\sigma }^{\mathrm{\prime }}$ est plus fine que $\sigma$ si elle contient tous les points de $\sigma$ ; la réunion de deux subdivisions (points rangés dans l'ordre croissant) est plus fine que chacune d'elles.

Fonction en escalier. $\phi :[a,b]\to ℝ$ est dite en escalier lorsqu'on dispose d'une subdivision $(x_0,\dots ,x_n)$ et des réels $c_1,\dots ,c_n$ tels que $\phi$ vaut la constante $c_k$ sur l'intervalle ouvert $]x_{k-1},x_k[$ pour chaque $k$. Une telle subdivision est dite adaptée (ou subordonnée) à $\phi$ ; toute subdivision plus fine l'est encore. Les valeurs $\phi (x_k)$ aux points de la subdivision sont quelconques.

• Une fonction en escalier prend un nombre fini de valeurs : elle est bornée.
• Les fonctions en escalier forment un ensemble, noté $ℰ([a,b],ℝ)$ dans les cours tunisiens, stable par combinaison linéaire, produit, valeur absolue (on travaille sur une subdivision adaptée aux deux fonctions).
• Exemples : la partie entière $E$ sur tout segment ; $x\mapsto E(x^2)$ sur $[0,2]$ (paliers en $1,\sqrt{2},\sqrt{3}$).

Définition. Avec les notations du §1, $${\int }_{[a,b]}\phi =\sum _{k=1}^n{c}_k(x_k-x_{k-1})\mathrm{.}$$ Ce nombre ne dépend pas de la subdivision adaptée choisie : ajouter un point coupe un rectangle en deux rectangles de même hauteur, sans changer la somme ; deux subdivisions adaptées ont une réunion commune plus fine. Il ne dépend pas des valeurs aux points $x_k$. C'est une aire algébrique : les rectangles situés sous l'axe comptent négativement.

Propriétés ($\phi ,\psi$ en escalier, $\lambda \in ℝ$, $c\in ]a,b[$) :

• linéarité : ${\int }_{[a,b]}(\lambda \phi +\psi )=\lambda {\int }_{[a,b]}\phi +{\int }_{[a,b]}\psi$ ;
• positivité : $\phi \ge 0\Rightarrow {\int }_{[a,b]}\phi \ge 0$ ; croissance : $\phi \le \psi \Rightarrow {\int }_{[a,b]}\phi \le {\int }_{[a,b]}\psi$ ;
• Chasles : ${\int }_{[a,b]}\phi ={\int }_{[a,c]}\phi +{\int }_{[c,b]}\phi$ (ajouter $c$ à la subdivision) ;
• $\mid {\int }_{[a,b]}\phi \mid \le {\int }_{[a,b]}\mid \phi \mid \le (b-a)\sup \mid \phi \mid$.

Définition. Une fonction $f$ définie sur $[a,b]$, à valeurs réelles, est dite continue par morceaux lorsqu'on peut trouver une subdivision $(x_0,\dots ,x_n)$ telle que, pour chaque $k$ : (i) la restriction de $f$ à $]x_{k-1},x_k[$ est continue ; (ii) cette restriction possède en $x_{k-1}$ une limite finie par la droite et en $x_k$ une limite finie par la gauche (autrement dit, on peut la prolonger par continuité aux deux bouts de $[x_{k-1},x_k]$).

Sur un intervalle quelconque $I$, « continue par morceaux » signifie : continue par morceaux sur tout segment inclus dans $I$.

• Continue $\Rightarrow$ continue par morceaux ; en escalier $\Rightarrow$ continue par morceaux.
• Sur un segment, toute fonction continue par morceaux est bornée (bornes atteintes sur chaque morceau prolongé).
• Somme, produit, valeur absolue de fonctions continues par morceaux : continues par morceaux.
• Contre-exemples sur $[0,1]$ : $f(x)=\frac{1}{x}$ pour $x>0$, $f(0)=0$ (pas de limite finie en $0^{+}$) ; $f(x)=\sin \frac{1}{x}$ pour $x>0$, $f(0)=0$ (bornée, mais pas de limite en $0^{+}$) ; $f(x)=E\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{x}\right)$ pour $x>0$ (une infinité de sauts).

Approximation par des fonctions en escalier. Hypothèses : $f$ continue par morceaux sur $[a,b]$ ; $\epsilon >0$. Conclusion : il existe $\phi$ et $\psi$ en escalier telles que $\phi \le f\le \psi$ et $\psi -\phi \le \epsilon$ sur $[a,b]$.

Idée de la preuve pour $f$ continue : par le théorème de Heine, $f$ est uniformément continue ; on choisit $\eta >0$ tel que $\mid x-y\mid \le \eta \Rightarrow \mid f(x)-f(y)\mid \le \epsilon$, puis une subdivision de pas $\le \eta$ ; sur chaque morceau on prend pour $\phi$ le minimum et pour $\psi$ le maximum de $f$ (bornes atteintes). Pour $f$ continue par morceaux, on fait de même sur chaque morceau prolongé, en traitant à part les valeurs aux points de la subdivision.

Soit $f$ continue par morceaux sur $[a,b]$ (donc bornée, $m\le f\le M$). On pose $$I^{-}(f)=\sup \{{\int }_{[a,b]}\phi :\phi \text{ en escalier},\phi \le f\},I^{+}(f)=\inf \{{\int }_{[a,b]}\psi :\psi \text{ en escalier},\psi \ge f\}\mathrm{.}$$ Les deux ensembles sont non vides (constantes $m$ et $M$) ; le premier est majoré par $M(b-a)$, le second minoré par $m(b-a)$ : borne supérieure et borne inférieure existent. Par croissance (§2), $I^{-}(f)\le I^{+}(f)$.

Théorème (intégrabilité). Pour $f$ continue par morceaux, $I^{-}(f)=I^{+}(f)$. Ce nombre est l'intégrale de $f$ sur $[a,b]$ : $${\int }_{[a,b]}f={\int }_a^{b}f(t)dt=I^{-}(f)=I^{+}(f)\mathrm{.}$$ Preuve : pour $\epsilon >0$, l'approximation du §3 donne $\phi \le f\le \psi$ avec $\psi -\phi \le \epsilon$, d'où $0\le I^{+}(f)-I^{-}(f)\le \int (\psi -\phi )\le \epsilon (b-a)$ ; on fait tendre $\epsilon$ vers $0$.

• Pour une fonction en escalier, on retrouve l'intégrale du §2.
• La variable d'intégration est muette : ${\int }_a^{b}f(t)dt={\int }_a^{b}f(x)dx$.
• Conventions : ${\int }_a^{a}f=0$ et ${\int }_b^{a}f=-{\int }_a^{b}f$. Elles rendent Chasles valable pour des bornes dans un ordre quelconque.
• Hors du cadre : une fonction bornée n'est pas toujours intégrable. Pour $f={\mathrm{𝟏}}_{\mathbb{Q}}$ sur $[0,1]$ (fonction de Dirichlet : $1$ sur les rationnels, $0$ ailleurs), la densité de $\mathbb{Q}$ et de $ℝ\setminus \mathbb{Q}$ force $\phi \le 0$ et $\psi \ge 1$ sur chaque intervalle ouvert, donc $I^{-}(f)=0\mathrm{\ne }1=I^{+}(f)$. Les fonctions bornées vérifiant $I^{-}=I^{+}$ sont dites intégrables au sens de Riemann ; en MP1 on se limite aux fonctions continues par morceaux.

Pour $f,g$ continues par morceaux sur $[a,b]$ et $\lambda \in ℝ$ :

Avec des bornes dans le désordre ($b<a$), l'inégalité se renverse : $f\le g$ donne ${\int }_a^{b}f\ge {\int }_a^{b}g$. Pour éviter l'erreur, toujours remettre les bornes dans l'ordre avant d'intégrer une inégalité, ou écrire $\mid {\int }_a^{b}f\mid \le \mid {\int }_a^b\mid f\mid \mid$.

Fonction continue, positive, d'intégrale nulle. Hypothèses : (i) $f$ continue sur $[a,b]$ ; (ii) $f\ge 0$ sur $[a,b]$ ; (iii) ${\int }_a^{b}f=0$. Conclusion : $f$ est nulle sur $[a,b]$. Preuve : si $f(c)>0$, la continuité donne un segment $[\alpha ,\beta ]\ni c$ de longueur $>0$ sur lequel $f\ge \frac{f(c)}{2}$ ; alors ${\int }_a^{b}f\ge (\beta -\alpha )\frac{f(c)}{2}>0$. Les trois hypothèses servent : la fonction en escalier nulle sauf en un point est positive, d'intégrale nulle, non nulle ; ${\int }_{-1}^{1}xdx=0$ pour une fonction qui change de signe. Forme utile : si $f$ est continue, positive et non identiquement nulle, alors ${\int }_a^{b}f>0$ (inégalité stricte).

Encadrement par les bornes. Si $m\le f\le M$ sur $[a,b]$, alors $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f\le M(b-a)$.

Inégalité de la moyenne (c'est le nom donné dans les cours tunisiens). Pour $f,g$ continues par morceaux : $$\mid {\int }_a^{b}fg\mid \le \underset{[a,b]}{\sup }\mid f\mid \cdot {\int }_a^b\mid g\mid ,\text{en particulier}\mid {\int }_a^{b}f\mid \le (b-a)\underset{[a,b]}{\sup }\mid f\mid \mathrm{.}$$

Valeur moyenne. $\mu (f)={\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\displaystyle {\int }_a^{b}f}$ est la valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$.

Formule de la moyenne. Hypothèses : $f$ continue sur $[a,b]$. Conclusion : il existe $c\in [a,b]$ tel que ${\displaystyle {\int }_a^{b}f=(b-a)f(c)}$. Preuve : $f$ atteint son minimum $m$ et son maximum $M$ ; $\mu (f)\in [m,M]$ ; le théorème des valeurs intermédiaires donne $c$. (On peut même prendre $c\in ]a,b[$ : appliquer les accroissements finis à $F(x)={\int }_a^{x}f$.) Faux pour une fonction seulement continue par morceaux : la fonction valant $0$ sur $[0,1[$ et $1$ sur $[1,2]$ a pour moyenne $\frac{1}{2}$, valeur jamais prise.

Formule de la moyenne généralisée. Si $f$ est continue et $g$ continue par morceaux, positive, il existe $c\in [a,b]$ tel que ${\int }_a^{b}fg=f(c){\int }_a^{b}g$ (même preuve, à partir de $mg\le fg\le Mg$).

Inégalité de Cauchy-Schwarz (présente dans certains cours MP1, au moins comme exercice classique). Hypothèses : $f,g$ continues par morceaux sur $[a,b]$. Conclusion : $${\left({\int }_a^{b}fg\right)}^2\le {\int }_a^b{f}^2\cdot {\int }_a^b{g}^2\mathrm{.}$$ Preuve : pour tout réel $\lambda$, $P(\lambda )={\int }_a^b(f+\lambda g{)}^2={\lambda }^2\int g^2+2\lambda \int fg+\int f^2\ge 0$. Si $\int g^2>0$, ce polynôme du second degré garde un signe constant, donc il a un discriminant $\le 0$ ; si $\int g^2=0$, $P$ est affine et positif sur $ℝ$, donc constant : $\int fg=0$. Cas d'égalité pour $f,g$ continues : $f$ et $g$ sont proportionnelles (on utilise le §5 : $\int (f+\lambda g{)}^2=0$ entraîne $f+\lambda g=0$). Application type : ${\left({\int }_a^{b}f\right)}^2\le (b-a){\int }_a^b{f}^2$ (prendre $g=1$).

Théorème fondamental (désormais démontré). Hypothèses : $f$ continue sur un intervalle $I$ ; $a\in I$. Conclusion : la fonction $F:x\mapsto {\displaystyle {\int }_a^{x}f(t)dt}$ est dérivable sur $I$, de dérivée $f$ (donc de classe $C^1$) : c'est l'unique primitive de $f$ qui s'annule en $a$. Par conséquent, pour toute primitive $G$ de $f$ sur $I$ et tous $\alpha ,\beta \in I$, ${\int }_{\alpha }^{\beta }f=G(\beta )-G(\alpha )$.

Preuve. Soit $x_0\in I$ et $h\mathrm{\ne }0$ avec $x_0+h\in I$. Par Chasles, $$\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}-f(x_0)=\frac{1}{h}{\int }_{x_0}^{x_0+h}(f(t)-f(x_0))dt\mathrm{.}$$ Soit $\epsilon >0$ ; par continuité en $x_0$, il existe $\eta >0$ tel que $\mid t-x_0\mid \le \eta \Rightarrow \mid f(t)-f(x_0)\mid \le \epsilon$. Pour $0<\mid h\mid \le \eta$, l'inégalité de la moyenne majore le membre de droite par $\epsilon$ en valeur absolue. Donc $F^{\mathrm{\prime }}(x_0)=f(x_0)$.

Ce que la preuve établit au passage.

• Existence de primitives pour toute fonction continue sur un intervalle (admise en octobre).
• Intégration par parties et changement de variable (fiche « Primitives » §5 et §6) sont maintenant justifiés : ils viennent de ${\int }_a^b(uv{)}^{\mathrm{\prime }}=[uv{]}_a^b$ et de $(G\circ \phi {)}^{\mathrm{\prime }}={\phi }^{\mathrm{\prime }}\cdot (g\circ \phi )$, pour des fonctions de classe $C^1$ sur le segment.
• Pour $f$ seulement continue par morceaux, $F$ est continue sur $I$ (et même lipschitzienne sur tout segment, de rapport $\sup \mid f\mid$), dérivable en tout point où $f$ est continue, mais pas forcément dérivable aux sauts. Exemple : $F(x)={\int }_0^{x}E(t)dt$ a une dérivée à gauche $0$ et à droite $1$ en $x=1$.

Conséquence : intégrer une dérivée. Pour $g\in C^1([a,b],ℝ)$, alors $g(b)-g(a)={\int }_a^b{g}^{\mathrm{\prime }}$, d'où, si $\mid g^{\mathrm{\prime }}\mid \le M$, l'inégalité $\mid g(b)-g(a)\mid \le M(b-a)$ (on retrouve l'inégalité des accroissements finis pour une fonction $C^1$).

Pour $f:[a,b]\to ℂ$ continue par morceaux (c'est-à-dire $\mathrm{Re}f$ et $\mathrm{Im}f$ continues par morceaux), on pose $${\int }_a^{b}f={\int }_a^b\mathrm{Re}f+i{\int }_a^b\mathrm{Im}f\mathrm{.}$$

• Restent vrais : linéarité (avec $\lambda \in ℂ$), Chasles, $\mid {\int }_a^{b}f\mid \le {\int }_a^b\mid f\mid$ (pour $a\le b$), théorème fondamental, intégration par parties, changement de variable, Taylor avec reste intégral.
• N'ont pas de sens : positivité, croissance, encadrements, formule de la moyenne (aucun ordre sur $ℂ$). Contre-exemple pour la formule de la moyenne : ${\int }_0^{2\pi }{e}^{it}dt=0$ alors que $e^{ic}\mathrm{\ne }0$ pour tout $c$.
• Usage typique : ${\int }_0^{\pi }{e}^x\cos xdx=\mathrm{Re}{\int }_0^{\pi }{e}^{(1+i)x}dx$ (fiche « Primitives » §5).

La formule de dérivation est connue depuis octobre (fiche « Primitives » §2) : pour $f$ continue sur $I$ et $u,v$ dérivables à valeurs dans $I$, $\phi (x)={\int }_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt$ est dérivable et ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(x)=v^{\mathrm{\prime }}(x)f(v(x))-u^{\mathrm{\prime }}(x)f(u(x))$. Elle repose sur le théorème fondamental ($\phi =F\circ v-F\circ u$). Ce chapitre ajoute l'étude complète de telles fonctions, sujet très fréquent en devoir de synthèse.

Plan d'étude de $\phi (x)={\int }_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt$.

1. Domaine : l'ensemble des $x$ tels que le segment d'extrémités $u(x)$ et $v(x)$ soit inclus dans un intervalle où $f$ est continue. Exemple : pour $f(t)=\frac{1}{\ln t}$, le segment ne doit pas contenir $1$.
2. Symétries : changement de variable $t=-s$ pour la parité.
3. Dérivée par la formule ci-dessus, sans calculer de primitive ; signe et variations.
4. Limites aux bornes : encadrer l'intégrande sur le segment d'intégration, puis intégrer l'encadrement (bornes dans l'ordre). Si $f$ a une limite, on peut aussi écrire $f=\mathrm{\ell }+(f-\mathrm{\ell })$.
5. Prolongement en un point $x_0$ : limite par encadrement ; dérivabilité par la limite de la dérivée (fiche « Dérivabilité » §9) ou par un développement limité de l'intégrande.

Résultats à savoir redémontrer.

• Si $f$ est continue en $a$, ${\displaystyle \frac{1}{h}}{\displaystyle {\int }_a^{a+h}f\underset{h\to 0}{⟶}f(a)}$ (c'est le théorème fondamental).
• Intégrer un développement limité : si $f$ continue admet le DL $f(t)={\sum }_{k=0}^n{a}_k{t}^k+o(t^n)$ en $0$, alors ${\int }_0^{x}f={\sum }_{k=0}^n{a}_k\frac{x^{k+1}}{k+1}+o(x^{n+1})$ (fiche « Analyse asymptotique »).
• Moyenne intégrale : si $f$ est continue sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ et $f(t)\to \mathrm{\ell }$ quand $t\to +\mathrm{\infty }$, alors $\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f\to \mathrm{\ell }$ (version continue du lemme de Cesàro, fiche « Suites numériques » §11).

Formule de Taylor avec reste intégral. Hypothèses : $I$ est un intervalle, $a$ et $x$ en sont deux points, et $f\in C^{n+1}(I,𝕂)$. Conclusion : $$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{(x-a{)}^k}{k!}{f}^{(k)}(a)+{\int }_a^x\frac{(x-t{)}^n}{n!}{f}^{(n+1)}(t)dt\mathrm{.}$$ Le dernier terme est le reste intégral $R_n(x)$.

Preuve par récurrence sur $n$. Pour $n=0$ : $f(x)=f(a)+{\int }_a^x{f}^{\mathrm{\prime }}$ (théorème fondamental). Hérédité : si $f$ est $C^{n+2}$, une intégration par parties dans $R_n(x)$, en intégrant $\frac{(x-t{)}^n}{n!}$ en $-\frac{(x-t{)}^{n+1}}{(n+1)!}$ et en dérivant $f^{(n+1)}$, donne $R_n(x)=\frac{(x-a{)}^{n+1}}{(n+1)!}{f}^{(n+1)}(a)+R_{n+1}(x)$.

Conséquences.

• Inégalité de Taylor-Lagrange (fiche « Dérivabilité » §11), retrouvée ici : si $\mid f^{(n+1)}\mid \le M$ entre $a$ et $x$, $$\mid R_n(x)\mid \le M\mid {\int }_a^x\frac{\mid x-t{\mid }^n}{n!}dt\mid =M\frac{\mid x-a{\mid }^{n+1}}{(n+1)!}\mathrm{.}$$
• Signe du reste : pour $x>a$, le facteur $\frac{(x-t{)}^n}{n!}$ est positif sur $[a,x]$ ; le signe de $R_n(x)$ est donc celui de $f^{(n+1)}$ quand celle-ci garde un signe constant. Pour $x<a$, il faut en plus tenir compte de l'ordre des bornes et du signe de $(x-t{)}^n$ (qui dépend de la parité de $n$).
• Avantage sur Taylor-Lagrange : le reste est une égalité exacte, valable aussi pour les fonctions à valeurs complexes, sans point $c$ inconnu.

Exemples.

• Pour $x\ge 0$ : $e^x-{\sum }_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}={\int }_0^x\frac{(x-t{)}^n}{n!}{e}^{t}dt\in [\frac{x^{n+1}}{(n+1)!},e^x\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}]$.
• $\ln (1+x)$ en $0$ : $f^{(n+1)}(t)=\frac{(-1{)}^{n}n!}{(1+t{)}^{n+1}}$, donc $R_n(x)=(-1{)}^n{\int }_0^x\frac{(x-t{)}^n}{(1+t{)}^{n+1}}dt$.

Soit $f$ continue par morceaux sur $[a,b]$, $n\ge 1$ et $x_k=a+k\frac{b-a}{n}$. Les sommes de Riemann (méthode des rectangles) sont $$R_n(f)=\frac{b-a}{n}\sum _{k=0}^{n-1}f(x_k)\text{et}{R}_n^{\mathrm{\prime }}(f)=\frac{b-a}{n}\sum _{k=1}^{n}f(x_k)\mathrm{.}$$

Théorème. Hypothèses : $f$ continue (ou continue par morceaux) sur $[a,b]$. Conclusion : $R_n(f)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{⟶}{\displaystyle {\int }_a^{b}f}$ et $R_n^{\mathrm{\prime }}(f)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{⟶}{\displaystyle {\int }_a^{b}f}$.

Preuve pour $f$ continue : par Chasles, ${\int }_a^{b}f-R_n(f)={\sum }_k{\int }_{x_k}^{x_{k+1}}(f(t)-f(x_k))dt$. Heine donne, pour $\epsilon >0$, un rang au-delà duquel $\frac{b-a}{n}\le \eta$, donc $\mid f(t)-f(x_k)\mid \le \epsilon$ sur chaque morceau, et l'écart est $\le \epsilon (b-a)$.

Vitesse pour une fonction $C^1$. Si $f$ est de classe $C^1$ et $\mid f^{\mathrm{\prime }}\mid \le M$ sur $[a,b]$ (ou plus généralement $M$-lipschitzienne), $$\mid {\int }_a^{b}f-R_n(f)\mid \le \frac{M(b-a{)}^2}{2n}$$ (sur chaque morceau, $\mid f(t)-f(x_k)\mid \le M(t-x_k)$, et ${\int }_{x_k}^{x_{k+1}}(t-x_k)dt=\frac{1}{2}{\left(\frac{b-a}{n}\right)}^2$). Pour $f$ de classe $C^2$, on a même $n(R_n^{\mathrm{\prime }}(f)-{\int }_a^{b}f)\to \frac{b-a}{2}(f(b)-f(a))$ (exercice 9).

Méthode des trapèzes (complément). $T_n(f)=\frac{1}{2}(R_n(f)+R_n^{\mathrm{\prime }}(f))$ remplace chaque rectangle par un trapèze ; pour $f$ de classe $C^2$, l'erreur est d'ordre $\frac{1}{n^2}$.

Usage principal en devoir : limite d'une suite définie par une somme.

1. Mettre la somme sous la forme $\frac{1}{n}{\sum }_{k}g\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{k}{n}\right)$ en factorisant par la bonne puissance de $n$ ;
2. identifier $g$, vérifier qu'elle est continue sur $[0,1]$ (ou sur le segment voulu) et les bornes de l'indice ($k$ de $0$ à $n-1$, ou de $1$ à $n$ ; quelques termes en plus ou en moins ne changent pas la limite s'ils tendent vers $0$) ;
3. conclure : la limite est ${\int }_0^{1}g$. Pour un produit ${\prod }_k$, passer au logarithme. Pour une somme de $k=n+1$ à $2n$, poser $k=n+j$.

Exemples : ${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{n+k}=\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n\frac{1}{1+k\mathrm{/}n}\to {\int }_0^1\frac{dx}{1+x}=\ln 2$ ; $\frac{1}{n^3}{\sum }_{k=1}^n{k}^2\to {\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$.

Pour $I_n={\int }_a^b{f}_n$, les questions types et leurs outils :

Deux résultats classiques.

• Pour $f$ continue sur $[0,1]$ : $\mid {\int }_0^1{x}^{n}f(x)dx\mid \le \sup \mid f\mid {\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{\sup \mid f\mid }{n+1}\to 0$. Si de plus $f$ est de classe $C^1$, une intégration par parties donne $n{\int }_0^1{x}^{n}f(x)dx\to f(1)$.
• Lemme de Riemann-Lebesgue (version $C^1$) : pour $f\in C^1([a,b])$, ${\int }_a^{b}f(t)\sin (\lambda t)dt\to 0$ quand $\lambda \to +\mathrm{\infty }$ ; une intégration par parties donne même une majoration en $\frac{C}{\lambda }$.

Intégrales de Wallis. $W_n={\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^{n}tdt={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\cos }^{n}tdt}$ (changement $t=\frac{\pi }{2}-s$).

1. $W_0=\frac{\pi }{2}$, $W_1=1$, $W_n>0$ (fonction continue, positive, non nulle) et $(W_n)$ décroît (${\sin }^{n+1}\le {\sin }^n$ sur $[0,\frac{\pi }{2}]$).
2. Récurrence (intégration par parties avec ${\sin }^{n+1}={\sin }^n\cdot \sin$) : $(n+2)W_{n+2}=(n+1)W_n$.
3. Valeurs : $W_{2p}={\displaystyle \frac{(2p)!}{2^{2p}(p!{)}^2}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ et $W_{2p+1}={\displaystyle \frac{2^{2p}(p!{)}^2}{(2p+1)!}}$.
4. $(n+1)W_{n+1}{W}_n=\frac{\pi }{2}$ pour tout $n$ (suite constante d'après 2).
5. De $W_{n+2}\le W_{n+1}\le W_n$ et $\frac{W_{n+2}}{W_n}=\frac{n+1}{n+2}\to 1$, on tire $W_{n+1}\sim W_n$, puis avec 4 : $W_n^2\sim \frac{\pi }{2n}$, soit

Calculer l'intégrale d'une fonction en escalier ou continue par morceaux

Repérer les points de discontinuité, découper par Chasles, intégrer chaque morceau (constante, ou fonction continue prolongée) ; les valeurs aux points de coupure ne comptent pas. Pour $E(g(x))$ : résoudre $k\le g(x)<k+1$ pour trouver les paliers.

Encadrer une intégrale sans la calculer

Encadrer l'intégrande sur le segment ($m\le f\le M$, inégalités de convexité $e^t\ge 1+t$, $\ln (1+t)\le t$, $\sin t\le t$ pour $t\ge 0$, $\frac{2}{\pi }t\le \sin t$ sur $[0,\frac{\pi }{2}]$), puis intégrer avec les bornes dans l'ordre. Pour une inégalité stricte : continuité et non-nullité de la différence (§5).

Étudier la limite d'une intégrale ${\int }_a^b{f}_n$ ou ${\int }_{u(x)}^{v(x)}f$

Majorer $\mid f_n\mid$ par une quantité qui tend vers $0$ indépendamment de $t$, ou couper le segment en deux morceaux (un petit morceau où l'on majore grossièrement, un grand où l'intégrande est petite). Ne jamais « passer à la limite sous le signe $\int$ » sans justification : ce n'est pas au programme de 1re année.

Reconnaître une somme de Riemann

Chercher un facteur $\frac{1}{n}$ et des termes en $\frac{k}{n}$ ; factoriser au dénominateur la plus grande puissance de $n$. Exemple : $\frac{n}{n^2+k^2}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+(k\mathrm{/}n{)}^2}$. Si les termes sont en $\frac{k}{n^2}$ ou si l'indice va jusqu'à $2n$, adapter le segment.

Utiliser Taylor avec reste intégral

Écrire la formule à l'ordre voulu, majorer ou minorer le reste (signe de $f^{(n+1)}$, majoration de $\mid f^{(n+1)}\mid$, calcul de ${\int }_a^x\frac{(x-t{)}^n}{n!}dt$), puis conclure par une inégalité ou une limite.

Étudier une suite d'intégrales

Valeurs initiales, signe, monotonie, limite par encadrement, récurrence par parties, puis éventuellement équivalent. La relation de récurrence permet souvent de transformer une limite d'intégrale en limite de suite connue.

1. Intégrer une inégalité avec des bornes dans le désordre (${\int }_1^0$) sans changer le sens.
2. Oublier de vérifier la continuité de l'intégrande sur tout le segment : ${\int }_{-1}^1\frac{dt}{t}$ n'a pas de sens ici ; pour ${\int }_x^{2x}\frac{dt}{\ln t}$, le segment ne doit pas contenir $1$.
3. « $f\ge 0$ et $\int f=0$ donc $f=0$ » sans la continuité ; ou en déduire une inégalité stricte sans dire que $f$ n'est pas identiquement nulle.
4. Appliquer la formule de la moyenne à une fonction seulement continue par morceaux, ou à valeurs complexes.
5. Dériver $x\mapsto {\int }_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt$ en oubliant les facteurs $v^{\mathrm{\prime }}(x)$ et $u^{\mathrm{\prime }}(x)$, ou dériver $x\mapsto {\int }_a^{x}g(x,t)dt$ comme si $x$ n'apparaissait que dans la borne (il faut d'abord sortir $x$ de l'intégrande).
6. Croire que $F(x)={\int }_a^{x}f$ est dérivable partout quand $f$ est seulement continue par morceaux.
7. Sommes de Riemann : oublier le facteur $\frac{b-a}{n}$, se tromper de segment ($\frac{k}{n}$ parcourt $[0,1]$, $\frac{k}{n}$ pour $k\le 2n$ parcourt $[0,2]$), ou appliquer le théorème à une fonction non continue sur le segment fermé (par exemple $\ln$ en $0$).
8. Échanger limite et intégrale sans justification : $\lim \int f_n=\int \lim f_n$ est faux en général ($f_n=n{\mathrm{𝟏}}_{]0,1\mathrm{/}n[}$ a une intégrale égale à $1$ et tend vers $0$ en tout point).
9. Taylor avec reste intégral : mauvais exposant ($(x-t{)}^n$ avec $f^{(n+1)}$), factorielle oubliée, reste écrit avec $(t-a{)}^n$ au lieu de $(x-t{)}^n$.
10. Rédaction : « par Riemann », « par Taylor » sans nommer le théorème ni vérifier ses hypothèses ; les correcteurs retirent les points.

• $ℰ([a,b],ℝ)$ pour les fonctions en escalier, $𝒞ℳ([a,b],𝕂)$ pour les fonctions continues par morceaux ; « subdivision subordonnée (ou adaptée) à $f$ » ; « fonction continue par morceaux » (parfois abrégé « c.p.m. » dans les cours, jamais dans une copie) ; notation ${\int }_{[a,b]}f$ dans la construction, puis ${\int }_a^{b}f(t)dt$.
• « Intégrale de Riemann », « sommes de Riemann » ; « inégalité de la moyenne » pour $\mid \int fg\mid \le \sup \mid f\mid \int \mid g\mid$ ; « formule de la moyenne » pour l'existence de $c$ ; « théorème fondamental de l'analyse ».
• « Formule de Taylor avec reste intégral » (on lit aussi « Taylor-Lagrange avec reste intégral » dans certains cours).
• Partie entière notée $E(x)$ ; $\mathrm{ch}$, $\mathrm{sh}$, $\mathrm{th}$ ; $\ln$ ; $\arctan$ parfois noté $\mathrm{Arctg}$.
• Énoncés : « Justifier l'existence de $F(x)$ pour tout $x$ de… », « Prouver que $F$ est $C^1$ et donner $F^{\mathrm{\prime }}(x)$ », « Par une intégration par parties, trouver une relation liant $I_{n+1}$ à $I_n$ », « Reconnaître une somme de Riemann et en déduire la limite », « Prouver, grâce au reste intégral de Taylor, que… ». Barème affiché (« PROBLÈME : (13 = 5 + 4 + 4 points) »).
• Calculatrice interdite : les approximations se font par fractions ($\frac{1}{1260}<\frac{22}{7}-\pi <\frac{1}{630}$), jamais à la machine.