Intégration sur un segment (Exercices) · Révisions prépa

Application du cours5 points

1. Fonctions en escalier et continues par morceaux

Soit $h (x) = E (2 x) - 2 E (x)$ pour $x \in [0, 3]$ . Montrer que $h$ est en escalier sur $[0, 3]$ et calculer $\int_{0}^{3} h (x) d x$ .
Soit $f (x) = E (x^{2})$ pour $x \in [0, 2]$ . (a) Déterminer une subdivision adaptée à $f$ et la valeur de $f$ sur chaque intervalle ouvert. (b) Calculer $\int_{0}^{2} f (x) d x$ .
En déduire la valeur de $\int_{0}^{2} (x^{2} - E (x^{2})) d x$ et justifier, sans calcul approché, que ce nombre est strictement positif.
Les fonctions suivantes, définies sur $[0, 1]$ , sont-elles continues par morceaux ? (a) $g_{1} (x) = \sin \frac{1}{x}$ si $x > 0$ , $g_{1} (0) = 0$ ; (b) $g_{2} (x) = x E ⁣ (\frac{1}{x})$ si $x > 0$ , $g_{2} (0) = 1$ .

Application du cours5 points

1. Fonctions en escalier et continues par morceaux

Soit $h (x) = E (2 x) - 2 E (x)$ pour $x \in [0, 3]$ . Montrer que $h$ est en escalier sur $[0, 3]$ et calculer $\int_{0}^{3} h (x) d x$ .
Soit $f (x) = E (x^{2})$ pour $x \in [0, 2]$ . (a) Déterminer une subdivision adaptée à $f$ et la valeur de $f$ sur chaque intervalle ouvert. (b) Calculer $\int_{0}^{2} f (x) d x$ .
En déduire la valeur de $\int_{0}^{2} (x^{2} - E (x^{2})) d x$ et justifier, sans calcul approché, que ce nombre est strictement positif.
Les fonctions suivantes, définies sur $[0, 1]$ , sont-elles continues par morceaux ? (a) $g_{1} (x) = \sin \frac{1}{x}$ si $x > 0$ , $g_{1} (0) = 0$ ; (b) $g_{2} (x) = x E ⁣ (\frac{1}{x})$ si $x > 0$ , $g_{2} (0) = 1$ .

Application du cours5 points

2. Encadrer sans calculer

Montrer que $\frac{1}{\sqrt{2}} < \int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{1 + x^{4}}} < 1$ .
Pour $n \in ℕ$ , on pose $I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{1 + x} d x$ . Montrer que $(I_{n})$ est décroissante, que $\frac{1}{n + 1} \leq I_{n} \leq \frac{\sqrt{2}}{n + 1}$ , puis conclure sur la limite de $(I_{n})$ .
Montrer que $\frac{4}{3} < \int_{0}^{1} e^{x^{2}} d x < e - 1$ .
À l'aide de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que $\int_{0}^{1} \sqrt{x} e^{x} d x \leq \frac{\sqrt{e^{2} - 1}}{2}$ .

Voir le corrigé

1. Pour $x \in [0, 1]$ : $1 \leq 1 + x^{4} \leq 2$ , donc $\frac{1}{\sqrt{2}} \leq \frac{1}{\sqrt{1 + x^{4}}} \leq 1$ . Les fonctions $x \mapsto 1 - \frac{1}{\sqrt{1 + x^{4}}}$ et $x \mapsto \frac{1}{\sqrt{1 + x^{4}}} - \frac{1}{\sqrt{2}}$ sont continues, positives et non identiquement nulles sur $[0, 1]$ (elles sont non nulles en $x = \frac{1}{2}$ ), donc d'intégrale strictement positive (fiche §5). Comme $\int_{0}^{1} d x = 1$ : $\frac{1}{\sqrt{2}} < \int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{1 + x^{4}}} < 1$ .

Après avoir comparé avec le corrigé :

Application du cours5 points

3. Sommes de Riemann

Déterminer la limite des suites suivantes, définies pour $n \geq 1$ .

$a_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{4 n^{2} - k^{2}}}$ .
$b_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{k^{2}}{n^{3} + k^{3}}$ .
$c_{n} = {(\frac{(2 n)!}{n! n^{n}})}^{1 / n}$ .
$d_{n} = \frac{π}{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{\sin \frac{k π}{n}}{2 + \cos \frac{k π}{n}}$ .

Voir le corrigé

On utilise le théorème des sommes de Riemann (fiche §11) : pour $g$ continue sur $[a, b]$ , $\frac{b - a}{n} \sum_{k = 1}^{n} g ⁣ (a + k \frac{b - a}{n}) \to \int_{a}^{b} g$ .

1. Pour $1 \leq k \leq n$ , $4 n^{2} - k^{2} \geq 3 n^{2} > 0$ et $\frac{1}{\sqrt{4 n^{2} - k^{2}}} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 - (k / n)^{2}}}$ . Ainsi $a_{n} = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} g ⁣ (\frac{k}{n})$ avec $g (x) = \frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}}$ , continue sur $[0, 1]$ ( $4 - x^{2} \geq 3$ ). Donc $a_{n} \to \int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{4 - x^{2}}} = [\arcsin \frac{x}{2}]_{0}^{1} = \frac{π}{6} .$

Après avoir comparé avec le corrigé :

Application du cours5 points

4. Théorème fondamental et fonctions définies par une intégrale

Pour $x \in [0, 3]$ , on pose $F (x) = \int_{0}^{x} E (t) d t$ . Donner l'expression de $F (x)$ sur $[0, 1]$ , $[1, 2]$ et $[2, 3]$ . Montrer que $F$ est continue sur $[0, 3]$ mais n'est pas dérivable en $1$ ni en $2$ .
Pour $x > 0$ , on pose $φ (x) = \int_{1 / x}^{x} \frac{\ln t}{1 + t^{2}} d t$ . Justifier que $φ$ est dérivable sur $] 0, + \infty [$ , calculer $φ^{'} (x)$ et en déduire $φ (x)$ pour tout $x > 0$ .
Montrer que pour $t \geq 0$ , $t - \frac{t^{2}}{2} \leq \ln (1 + t) \leq t$ , puis déterminer $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x^{2}} \int_{0}^{x} \ln (1 + t) d t$ .

Voir le corrigé

1. $E$ est en escalier sur $[0, 3]$ , donc continue par morceaux, et $F$ est bien définie. Par Chasles :

pour $x \in [0, 1]$ : $E = 0$ sur $[0, 1 [$ , donc $F (x) = 0$ ;
pour $x \in [1, 2]$ : $F (x) = F (1) + \int_{1}^{x} 1 d t = x - 1$ ;
pour $x \in [2, 3]$ : $F (x) = F (2) + \int_{2}^{x} 2 d t = 1 + 2 (x - 2) = 2 x - 3$ .

Les trois expressions se raccordent ( $F (1) = 0$ , $F (2) = 1$ ) : $F$ est continue sur $[0, 3]$ (affine par morceaux, sans saut). En $1$ , la dérivée à gauche vaut $0$ et la dérivée à droite $1$ ; en $2$ , elles valent $1$ et $2$ . $F$ n'est donc pas dérivable en $1$ et en $2$ , points où $E$ est discontinue. Le théorème fondamental ne s'applique qu'aux points de continuité de l'intégrande (fiche §7).

Après avoir comparé avec le corrigé :

Niveau devoir6 points

5. Taylor avec reste intégral et une somme alternée

Soit $f (x) = \ln (1 + x)$ sur $] - 1, + \infty [$ et, pour $n \geq 1$ , $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{(- 1)^{k - 1}}{k}$ .

Calculer $f^{(k)}$ pour $k \geq 1$ . Écrire la formule de Taylor avec reste intégral de $f$ en $0$ à l'ordre $n$ , pour $x \geq 0$ , sous la forme $\ln (1 + x) = \sum_{k = 1}^{n} \frac{(- 1)^{k - 1} x^{k}}{k} + R_{n} (x)$ , avec $R_{n} (x) = (- 1)^{n} \int_{0}^{x} \frac{(x - t)^{n}}{(1 + t)^{n + 1}} d t$ .
En déduire que pour tout $x \geq 0$ : $x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} \leq \ln (1 + x) \leq x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3}$ .
Montrer que $∣ R_{n} (1) ∣ \leq \frac{1}{n + 1}$ . En déduire que $(S_{n})$ converge et donner sa limite.
En posant $u = \frac{1 - t}{1 + t}$ , montrer que $∣ R_{n} (1) ∣ = \int_{0}^{1} \frac{u^{n}}{1 + u} d u$ , puis que $\frac{1}{2 (n + 1)} \leq ∣ \ln 2 - S_{n} ∣ \leq \frac{1}{n + 1}$ .
Quel est le plus petit entier $n$ pour lequel l'encadrement de la question 4 garantit $∣ \ln 2 - S_{n} ∣ \leq 10^{- 3}$ ? Le majorant suffit-il à conclure que ce rang est optimal ?

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1. $f^{'} (x) = \frac{1}{1 + x}$ et, par récurrence, $f^{(k)} (x) = \frac{(- 1)^{k - 1} (k - 1)!}{(1 + x)^{k}}$ pour $k \geq 1$ . Donc $f (0) = 0$ et $\frac{f^{(k)} (0)}{k!} = \frac{(- 1)^{k - 1}}{k}$ . $f$ est de classe $C^{n + 1}$ sur l'intervalle $] - 1, + \infty [$ , qui contient $0$ et $x$ . La formule de Taylor avec reste intégral (fiche §10) donne $\ln (1 + x) = \sum_{k = 1}^{n} \frac{(- 1)^{k - 1} x^{k}}{k} + \int_{0}^{x} \frac{(x - t)^{n}}{n!} \cdot \frac{(- 1)^{n} n!}{(1 + t)^{n + 1}} d t,$ ce qui est la forme demandée.

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Niveau devoir7 points

6. Intégrales de Wallis et une identité binomiale

Pour $n \in ℕ$ , on pose $W_{n} = \int_{0}^{π / 2} \sin^{n} t d t$ .

Montrer que $W_{n} = \int_{0}^{π / 2} \cos^{n} t d t$ , que $W_{n} > 0$ et que $(W_{n})$ est décroissante.
Établir, par une intégration par parties, que $(n + 2) W_{n + 2} = (n + 1) W_{n}$ pour tout $n \in ℕ$ .
En déduire $W_{2 p + 1} = \frac{2^{2 p} (p!)^{2}}{(2 p + 1)!}$ pour tout $p \in ℕ$ .
Montrer que la suite $((n + 1) W_{n + 1} W_{n})$ est constante, puis que $W_{n} \underset{n \to + \infty}{\sim} \sqrt{\frac{π}{2 n}}$ .
Pour $n \in ℕ$ , on pose $A_{n} = \int_{0}^{1} (1 - x^{2})^{n} d x$ . (a) Montrer que $A_{n} = W_{2 n + 1}$ . (b) En développant $(1 - x^{2})^{n}$ , en déduire que $\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) \frac{(- 1)^{k}}{2 k + 1} = \frac{2^{2 n} (n!)^{2}}{(2 n + 1)!}$ . (c) Déterminer $\lim_{n \to + \infty} \sqrt{n} A_{n}$ .

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1. Le changement de variable $t = \frac{π}{2} - s$ (affine, donc $C^{1}$ ) échange $0$ et $\frac{π}{2}$ et transforme $\sin t$ en $\cos s$ : $W_{n} = \int_{π / 2}^{0} \cos^{n} s (- d s) = \int_{0}^{π / 2} \cos^{n} s d s$ . La fonction $\sin^{n}$ est continue, positive sur $[0, \frac{π}{2}]$ et non identiquement nulle (elle vaut $1$ en $\frac{π}{2}$ ), donc $W_{n} > 0$ . Enfin $0 \leq \sin t \leq 1$ donne $\sin^{n + 1} t \leq \sin^{n} t$ , d'où $W_{n + 1} \leq W_{n}$ par croissance de l'intégrale.

Après avoir comparé avec le corrigé :

Niveau devoir7 points

7. La moyenne intégrale d'une fonction

Soit $f : [0, + \infty [\to ℝ$ continue. Pour $x > 0$ , on pose $M (x) = \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f (t) d t$ (valeur moyenne de $f$ sur $[0, x]$ ).

Montrer que $M$ est de classe $C^{1}$ sur $] 0, + \infty [$ et que $M^{'} (x) = \frac{f (x) - M (x)}{x}$ .
Montrer que $M (x) \to f (0)$ quand $x \to 0^{+}$ . On prolonge $M$ en posant $M (0) = f (0)$ .
Dans cette question seulement, $f \in C^{1} ([0, + \infty [)$ . Montrer que $M$ est dérivable en $0$ et que $M^{'} (0) = \frac{1}{2} f^{'} (0)$ . (On pourra écrire $f (t) = f (0) + t f^{'} (0) + t ε (t)$ avec $ε$ continue sur $[0, + \infty [$ et $ε (0) = 0$ .)
On suppose que $f$ est croissante. Montrer que $M \leq f$ sur $] 0, + \infty [$ et que $M$ est croissante.
On suppose que $f (t) \to ℓ \in ℝ$ quand $t \to + \infty$ . Montrer que $M (x) \to ℓ$ quand $x \to + \infty$ .
Applications. (a) Calculer $M$ pour $f = \arctan$ , puis retrouver directement les résultats des questions 3 et 5. (b) Calculer $M$ pour $f = \cos$ . La réciproque de la question 5 est-elle vraie ?

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1. $f$ est continue sur l'intervalle $[0, + \infty [$ , donc $G (x) = \int_{0}^{x} f$ est de classe $C^{1}$ et $G^{'} = f$ (théorème fondamental). Sur $] 0, + \infty [$ , $M = \frac{G (x)}{x}$ est un quotient de fonctions $C^{1}$ à dénominateur non nul, donc $C^{1}$ , et $M^{'} (x) = \frac{x f (x) - G (x)}{x^{2}} = \frac{f (x) - M (x)}{x}$ .

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Niveau devoir7 points

8. Une suite d'intégrales avec des puissances du logarithme

Pour $n \in ℕ$ , on pose $I_{n} = \int_{1}^{e} x^{2} (\ln x)^{n} d x$ .

Calculer $I_{0}$ et $I_{1}$ .
Montrer que $(I_{n})$ est positive et décroissante.
(a) Montrer que pour tout $x > 0$ , $\ln x \leq \frac{x}{e}$ . (b) En déduire que $0 \leq I_{n} \leq \frac{e^{3}}{n + 3}$ , puis la limite de $(I_{n})$ .
Établir, pour $n \geq 1$ , la relation $3 I_{n} + n I_{n - 1} = e^{3}$ .
En déduire que $n I_{n} \to e^{3}$ , c'est-à-dire $I_{n} \sim \frac{e^{3}}{n}$ .
Montrer que $n (n I_{n} - e^{3}) \to - 4 e^{3}$ . En déduire un développement asymptotique de $I_{n}$ à deux termes.

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1. $I_{0} = \int_{1}^{e} x^{2} d x = \frac{e^{3} - 1}{3}$ . Par parties ( $u = \ln x$ , $v = \frac{x^{3}}{3}$ , fonctions $C^{1}$ sur $[1, e]$ ) : $I_{1} = [\frac{x^{3}}{3} \ln x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{3} d x = \frac{e^{3}}{3} - \frac{e^{3} - 1}{9} = \frac{2 e^{3} + 1}{9}$ .

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Synthèse, niveau concours10 points

9. Problème : vitesse de convergence des sommes de Riemann

Soit $f : [0, 1] \to ℝ$ . Pour $n \geq 1$ , on pose $x_{k} = \frac{k}{n}$ ( $0 \leq k \leq n$ ), $S_{n} (f) = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} f ⁣ (\frac{k}{n}) et I (f) = \int_{0}^{1} f (t) d t .$

Partie A (ici $f \in C^{1} ([0, 1])$ et on note $M_{1} = \sup_{[0, 1]} ∣ f^{'} ∣$ ).

Justifier l'existence de $M_{1}$ . Montrer que pour $1 \leq k \leq n$ : $∣ \int_{x_{k - 1}}^{x_{k}} f (t) d t - \frac{1}{n} f (x_{k}) ∣ \leq \frac{M_{1}}{2 n^{2}}$ .
En déduire que $∣ S_{n} (f) - I (f) ∣ \leq \frac{M_{1}}{2 n}$ .
Vérifier que cette majoration est une égalité pour $f (t) = t$ .

Partie B (ici $f \in C^{2} ([0, 1])$ et on note $M_{2} = \sup_{[0, 1]} ∣ f^{''} ∣$ ).

Montrer que pour $1 \leq k \leq n$ et $t \in [x_{k - 1}, x_{k}]$ : $∣ f (t) - f (x_{k}) - (t - x_{k}) f^{'} (x_{k}) ∣ \leq \frac{M_{2}}{2} (t - x_{k})^{2}$ .
En déduire que $∣ I (f) - S_{n} (f) + \frac{1}{2 n} S_{n} (f^{'}) ∣ \leq \frac{M_{2}}{6 n^{2}}$ .
Montrer que $n (S_{n} (f) - I (f)) \underset{n \to + \infty}{⟶} \frac{f (1) - f (0)}{2}$ .

Partie C (applications).

Déterminer la limite de $u_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n + k}$ , puis celle de $n (u_{n} - \ln 2)$ .
Même question pour $v_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{n}{n^{2} + k^{2}}$ et $n (v_{n} - \frac{π}{4})$ .
On pose $T_{n} (f) = S_{n} (f) - \frac{f (1) - f (0)}{2 n}$ (méthode des trapèzes). Montrer que $n (T_{n} (f) - I (f)) \to 0$ pour $f$ de classe $C^{2}$ , puis calculer exactement $T_{n} (f) - I (f)$ pour $f (t) = t^{2}$ .

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A.1. $f^{'}$ est continue sur le segment $[0, 1]$ , donc bornée (bornes atteintes) : $M_{1}$ existe. Pour $t \in [x_{k - 1}, x_{k}]$ , l'inégalité des accroissements finis donne $∣ f (t) - f (x_{k}) ∣ \leq M_{1} (x_{k} - t)$ . Comme $\frac{1}{n} f (x_{k}) = \int_{x_{k - 1}}^{x_{k}} f (x_{k}) d t$ : $∣ \int_{x_{k - 1}}^{x_{k}} (f (t) - f (x_{k})) d t ∣ \leq \int_{x_{k - 1}}^{x_{k}} M_{1} (x_{k} - t) d t = M_{1} [- \frac{(x_{k} - t)^{2}}{2}]_{x_{k - 1}}^{x_{k}} = \frac{M_{1}}{2 n^{2}} .$

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Synthèse, niveau concours10 points

10. Problème au format concours : approcher $π$ et inégalités intégrales

Les trois parties sont largement indépendantes ; tout résultat de l'énoncé peut être admis pour la suite.

Partie I — Les intégrales $B (p, q)$ . Pour $p, q \in ℕ$ , on pose $B (p, q) = \int_{0}^{1} x^{p} (1 - x)^{q} d x$ .

▶ Q.1 Montrer que $B (p, q) = B (q, p)$ . ▶ Q.2 Montrer que pour $q \geq 1$ : $B (p, q) = \frac{q}{p + 1} B (p + 1, q - 1)$ . ▶ Q.3 En déduire que $B (p, q) = \frac{p! q!}{(p + q + 1)!}$ . ▶ Q.4 Calculer $B (4, 4)$ .

Partie II — Une approximation de $π$ . On pose $J = \int_{0}^{1} \frac{x^{4} (1 - x)^{4}}{1 + x^{2}} d x$ .

▶ Q.5 Vérifier que $x^{4} (1 - x)^{4} = (1 + x^{2}) (x^{6} - 4 x^{5} + 5 x^{4} - 4 x^{2} + 4) - 4$ . ▶ Q.6 En déduire que $J = \frac{22}{7} - π$ . ▶ Q.7 Montrer que $\frac{1}{1260} < J < \frac{1}{630}$ . ▶ Q.8 En déduire un encadrement de $π$ par deux rationnels, et l'inégalité $π < \frac{22}{7}$ .

Partie III — Inégalité de Cauchy-Schwarz et une application.

▶ Q.9 Soient $f, g$ continues sur $[a, b]$ ( $a < b$ ). En étudiant $λ \mapsto \int_{a}^{b} (f + λ g)^{2}$ , démontrer que ${(\int_{a}^{b} f g)}^{2} \leq \int_{a}^{b} f^{2} \int_{a}^{b} g^{2}$ . ▶ Q.10 Montrer que s'il y a égalité et si $g$ n'est pas la fonction nulle, alors $f$ et $g$ sont proportionnelles. ▶ Q.11 Soit $f \in C^{1} ([0, 1])$ telle que $f (0) = 0$ . Montrer que pour tout $x \in [0, 1]$ , $f (x)^{2} \leq x \int_{0}^{1} f^{'} (t)^{2} d t$ . ▶ Q.12 En déduire que $\int_{0}^{1} f^{2} \leq \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f^{' 2}$ . ▶ Q.13 Vérifier l'inégalité de Q.12 pour $f (x) = x$ , puis l'appliquer à $f (x) = \sin \frac{π x}{2}$ ; quelle minoration de $π$ obtient-on ?

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Q.1 Le changement de variable $x = 1 - s$ donne $B (p, q) = \int_{1}^{0} (1 - s)^{p} s^{q} (- d s) = \int_{0}^{1} s^{q} (1 - s)^{p} d s = B (q, p)$ .

Q.2 Intégration par parties avec $u (x) = (1 - x)^{q}$ , $u^{'} (x) = - q (1 - x)^{q - 1}$ , $v (x) = \frac{x^{p + 1}}{p + 1}$ (fonctions $C^{1}$ sur $[0, 1]$ ) : $B (p, q) = [\frac{x^{p + 1}}{p + 1} (1 - x)^{q}]_{0}^{1} + \frac{q}{p + 1} \int_{0}^{1} x^{p + 1} (1 - x)^{q - 1} d x = 0 + \frac{q}{p + 1} B (p + 1, q - 1),$ le crochet étant nul car $q \geq 1$ annule le terme en $1$ et $p + 1 \geq 1$ celui en $0$ .

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Synthèse, niveau concours10 points

11. La formule de Stirling par les intégrales de Wallis

Classique du programme : formule de Stirling.

On note $W_{n} = \int_{0}^{π / 2} \sin^{n} t d t$ pour $n \in ℕ$ (intégrales de Wallis, fiche §12). On rappelle que $W_{0} = \frac{π}{2}$ , $W_{1} = 1$ , que $W_{n} > 0$ , que $(W_{n})$ est décroissante et que $(n + 2) W_{n + 2} = (n + 1) W_{n}$ pour tout $n$ . L'exercice utilise seulement des suites monotones et bornées (les séries ne sont pas enseignées à ce stade).

Partie A — Autour de Wallis (3 points)

Montrer que $W_{2 p} = \frac{π}{2} \cdot \frac{(2 p)!}{4^{p} (p!)^{2}}$ pour tout $p \in ℕ$ . (1 point)
Montrer que la suite de terme général $(n + 1) W_{n} W_{n + 1}$ est constante, égale à $\frac{π}{2}$ . En déduire que $\frac{W_{n + 1}}{W_{n}} \to 1$ , puis que $W_{n} \sim \sqrt{\frac{π}{2 n}}$ , et que $\frac{(2 p)!}{4^{p} (p!)^{2}} \sim \frac{1}{\sqrt{π p}}$ quand $p \to + \infty$ . (2 points)

Partie B — Une suite monotone et bornée (4 points)

Pour $n \geq 1$ , on pose $s_{n} = \ln (n!) - (n + \frac{1}{2}) \ln n + n$ .

Pour $x \in [0, 1 [$ , on pose $L (x) = \ln \frac{1 + x}{1 - x}$ . Montrer que $2 x \leq L (x) \leq 2 x + \frac{2 x^{3}}{3 (1 - x^{2})} .$ (Étudier les fonctions $L (x) - 2 x$ et $2 x + \frac{2 x^{3}}{3 (1 - x^{2})} - L (x)$ ; on admettra, ou on vérifiera, que la dérivée de la seconde est $\frac{4 x^{4}}{3 (1 - x^{2})^{2}}$ .) (2 points)
Montrer que $s_{n} - s_{n + 1} = (n + \frac{1}{2}) \ln (1 + \frac{1}{n}) - 1$ puis, en posant $x = \frac{1}{2 n + 1}$ , que $0 \leq s_{n} - s_{n + 1} \leq \frac{1}{12} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) .$ En déduire que $(s_{n})$ est décroissante, que $(s_{n} - \frac{1}{12 n})$ est croissante, puis que $(s_{n})$ converge vers un réel $c$ . (2 points)

Partie C — La constante (3 points)

On pose $K = e^{c}$ . Montrer que $n! \sim K n^{n + 1 / 2} e^{- n}$ . En utilisant la question A.2 avec $p$ puis avec $2 p$ , montrer que $K = \sqrt{2 π}$ . (2 points)
Écrire la formule de Stirling qui en résulte (équivalent simple de $n!$ ), puis donner un équivalent de $(\binom{4 n}{2 n}) / {(\binom{2 n}{n})}^{2}$ . (1 point)

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A.1. Par récurrence sur $p$ . Pour $p = 0$ : $W_{0} = \frac{π}{2}$ et le membre de droite vaut $\frac{π}{2} \cdot 1$ . Si la formule est vraie pour $p$ , la relation $(2 p + 2) W_{2 p + 2} = (2 p + 1) W_{2 p}$ donne $W_{2 p + 2} = \frac{2 p + 1}{2 p + 2} W_{2 p} = \frac{2 p + 1}{2 p + 2} \cdot \frac{π}{2} \cdot \frac{(2 p)!}{4^{p} (p!)^{2}} = \frac{π}{2} \cdot \frac{(2 p + 1) (2 p + 2) (2 p)!}{(2 p + 2)^{2} 4^{p} (p!)^{2}} = \frac{π}{2} \cdot \frac{(2 p + 2)!}{4^{p + 1} ((p + 1)!)^{2}},$ car $(2 p + 2)^{2} = 4 (p + 1)^{2}$ et $((p + 1)!)^{2} = (p + 1)^{2} (p!)^{2}$ .

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Niveau devoir8 points

12. Le lemme de Riemann-Lebesgue

Classique du programme : lemme de Riemann-Lebesgue.

Soit $a < b$ ; pour toute fonction $f : [a, b] \to ℝ$ continue par morceaux et tout réel $λ > 0$ , on définit $I_{f} (λ) = \int_{a}^{b} f (t) \sin (λ t) d t .$ On veut montrer que $I_{f} (λ) \to 0$ quand $λ \to + \infty$ , en trois étapes de généralité croissante.

Fonctions de classe $C^{1}$ . Supposons que $f : [a, b] \to ℝ$ est de classe $C^{1}$ , et posons $M_{0} = \sup ∣ f ∣$ , $M_{1} = \sup ∣ f^{'} ∣$ . Par une intégration par parties, montrer que $∣ I_{f} (λ) ∣ \leq \frac{2 M_{0} + (b - a) M_{1}}{λ}$ . Conclure. (2 points)
Fonctions en escalier. Soit $φ$ en escalier sur $[a, b]$ , associée à une subdivision $a = a_{0} < a_{1} < \dots < a_{p} = b$ et valant $α_{i}$ sur $] a_{i - 1}, a_{i} [$ . Calculer $I_{φ} (λ)$ et montrer que $∣ I_{φ} (λ) ∣ \leq \frac{2}{λ} \sum_{i = 1}^{p} ∣ α_{i} ∣$ . (2 points)
Fonctions continues par morceaux. Soit $f$ continue par morceaux et $ε > 0$ . Justifier l'existence d'une fonction en escalier $φ$ telle que $∣ f - φ ∣ \leq ε$ sur $[a, b]$ , majorer $∣ I_{f} (λ) - I_{φ} (λ) ∣$ , et conclure que $I_{f} (λ) \to 0$ . (2 points)
Variante et application. (a) Indiquer les changements à faire pour montrer que $\int_{a}^{b} f (t) \cos (λ t) d t \to 0$ . (b) En déduire que, pour $f$ continue sur $[0, 1]$ , $\int_{0}^{1} f (t) \sin^{2} (n t) d t \to \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f (t) d t$ quand $n \to + \infty$ ; calculer la limite pour $f (t) = t$ . (2 points)

Voir le corrigé

1. Les fonctions $f$ et $t \mapsto - \frac{\cos λ t}{λ}$ sont de classe $C^{1}$ ; par parties, $I_{f} (λ) = {[- f (t) \frac{\cos λ t}{λ}]}_{a}^{b} + \frac{1}{λ} \int_{a}^{b} f^{'} (t) \cos (λ t) d t .$ Le crochet est majoré en valeur absolue par $\frac{∣ f (b) ∣ + ∣ f (a) ∣}{λ} \leq \frac{2 M_{0}}{λ}$ , et l'intégrale par $(b - a) M_{1}$ (inégalité de la moyenne, $∣ \cos ∣ \leq 1$ ), d'où $∣ I_{f} (λ) ∣ \leq \frac{2 M_{0} + (b - a) M_{1}}{λ}$ . Le majorant tend vers $0$ quand $λ \to + \infty$ : $I_{f} (λ) \to 0$ .

Après avoir comparé avec le corrigé :

1. Fonctions en escalier et continues par morceaux

1. Fonctions en escalier et continues par morceaux

2. Encadrer sans calculer

3. Sommes de Riemann

4. Théorème fondamental et fonctions définies par une intégrale

5. Taylor avec reste intégral et une somme alternée

6. Intégrales de Wallis et une identité binomiale

7. La moyenne intégrale d'une fonction

8. Une suite d'intégrales avec des puissances du logarithme

9. Problème : vitesse de convergence des sommes de Riemann

10. Problème au format concours : approcher π et inégalités intégrales

11. La formule de Stirling par les intégrales de Wallis

12. Le lemme de Riemann-Lebesgue

10. Problème au format concours : approcher $π$ et inégalités intégrales