Les autres cas ($-\mathrm{\infty }$ au départ ou à l'arrivée) s'écrivent de la même façon. Le réel $\alpha$ dépend de $\epsilon$ ; échanger « $\mathrm{\forall }\epsilon$ » et « $\mathrm{\exists }\alpha$ » change complètement le sens.

Convention à connaître. Dans la définition ci-dessus, $x$ parcourt tout $I$. Si $a$ appartient à $I$ et si $f$ a une limite en $a$, cette limite vaut donc forcément $f(a)$. Pour regarder ce qui se passe autour de $a$ en ignorant la valeur $f(a)$, on utilise la limite épointée : $\underset{x\to a,x\mathrm{\ne }a}{\lim }f(x)$ (même définition avec $0<\mid x-a\mid \le \alpha$). Certains cours tunisiens n'utilisent que la limite épointée ; lire l'énoncé avec attention.

Propriétés immédiates.

• Unicité : une fonction a au plus une limite en $a$ ; quand elle existe, on la note $\underset{a}{\lim }f$.
• Une fonction qui a une limite finie en $a$ est bornée au voisinage de $a$.
• Si $\underset{a}{\lim }f=\mathrm{\ell }>0$, alors $f>0$ au voisinage de $a$ (prendre $\epsilon =\mathrm{\ell }\mathrm{/}2$). Plus généralement, si $\mathrm{\ell }\mathrm{\ne }0$, $f$ garde le signe de $\mathrm{\ell }$ (et ne s'annule donc pas) sur tout un voisinage de $a$.

Pour $a$ intérieur à $I$ : $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)$ est la limite en $a$ de la restriction de $f$ à $I\cap ]a,+\mathrm{\infty }[$ ; $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)$ celle de la restriction à $I\cap ]-\mathrm{\infty },a[$. On écrit aussi $\underset{x\to a,x>a}{\lim }$.

Critère. $f$ (définie en $a$) a une limite en $a$ si et seulement si $$\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=f(a)\mathrm{.}$$ Si $f$ n'est pas définie en $a$, la limite en $a$ existe si et seulement si les limites à gauche et à droite existent et sont égales.

Exemple : en tout entier $p$, $\underset{x\to p^{-}}{\lim }E(x)=p-1$ et $\underset{x\to p^{+}}{\lim }E(x)=p=E(p)$ : la partie entière n'a pas de limite en $p$.

Théorème. Hypothèses : $f:I\to ℝ$, $a$ point ou extrémité de $I$, $\mathrm{\ell }\in \overline{ℝ}$. Conclusion : $\underset{a}{\lim }f=\mathrm{\ell }$ si et seulement si, pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $I$ qui tend vers $a$, la suite $(f(x_n))$ tend vers $\mathrm{\ell }$.

C'est le pont avec le chapitre « Suites » : tout ce qui y a été démontré (opérations, inégalités) passe aux fonctions.

Usage 1 : prouver qu'une limite n'existe pas. Il suffit d'exhiber deux suites $(x_n)$ et $(y_n)$ de $I$, de limite $a$, telles que $(f(x_n))$ et $(f(y_n))$ aient des limites différentes (ou qu'une seule suite $(f(x_n))$ diverge). Exemple : $x\mapsto \cos \frac{1}{x}$ en $0$, avec $x_n=\frac{1}{2n\pi }$ (image $1$) et $y_n=\frac{1}{(2n+1)\pi }$ (image $-1$).

Usage 2 : limite d'une suite $f(u_n)$. Si $u_n\to a$ et $\underset{a}{\lim }f=\mathrm{\ell }$, alors $f(u_n)\to \mathrm{\ell }$. C'est ce qui justifie le passage à la limite $\mathrm{\ell }=f(\mathrm{\ell })$ dans une suite récurrente.

Les règles sont celles des suites : somme, produit, quotient (si la limite du dénominateur est non nulle), avec les formes indéterminées $+\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$, $0\times \mathrm{\infty }$, $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$, $\frac{0}{0}$, $1^{\mathrm{\infty }}$, $0^0$, ${\mathrm{\infty }}^0$ (les trois dernières via $u^v=e^{v\ln u}$). Une fonction bornée au voisinage de $a$ multipliée par une fonction de limite nulle en $a$ tend vers $0$ : $x\sin \frac{1}{x}\underset{x\to 0}{⟶}0$.

Composition. Hypothèses : $f:I\to J$, $g:J\to ℝ$, $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=b$ ($b$ point ou extrémité de $J$), $\underset{y\to b}{\lim }g(y)=c$. Conclusion : $\underset{x\to a}{\lim }g(f(x))=c$.

Limites de référence (vues avec les fonctions usuelles) : $$\frac{\sin x}{x}\underset{x\to 0}{⟶}1,\frac{\ln (1+x)}{x}\underset{x\to 0}{⟶}1,\frac{e^x-1}{x}\underset{x\to 0}{⟶}1,\frac{1-\cos x}{x^2}\underset{x\to 0}{⟶}\frac{1}{2},\frac{\tan x}{x}\underset{x\to 0}{⟶}1.$$ Croissances comparées ($\alpha ,\beta >0$) : ${\displaystyle \frac{(\ln x{)}^{\beta }}{x^{\alpha }}}\to 0$ et ${\displaystyle \frac{x^{\alpha }}{e^{\beta x}}}\to 0$ en $+\mathrm{\infty }$ ; $x^{\alpha }\mid \ln x{\mid }^{\beta }\to 0$ en $0^{+}$.

Techniques (sans développement limité, qui vient au chapitre 9) : factoriser le terme dominant ; quantité conjuguée ; changement de variable ($t=\frac{1}{x}$, $t=x-a$) pour se ramener à une limite de référence ; passage au logarithme ; encadrement avec $E$ : $y-1<E(y)\le y$.

Passage à la limite. Hypothèses : $f\le g$ au voisinage de $a$ ; $f$ et $g$ ont des limites finies en $a$. Conclusion : $\underset{a}{\lim }f\le \underset{a}{\lim }g$. Une inégalité stricte devient large.

Théorème d'encadrement (des gendarmes). Hypothèses : $g\le f\le h$ au voisinage de $a$ ; $\underset{a}{\lim }g=\underset{a}{\lim }h=\mathrm{\ell }\in ℝ$. Conclusion : $f$ a une limite en $a$, égale à $\mathrm{\ell }$.

Minoration vers $+\mathrm{\infty }$. Si $f\ge g$ au voisinage de $a$ et $\underset{a}{\lim }g=+\mathrm{\infty }$, alors $\underset{a}{\lim }f=+\mathrm{\infty }$.

Hypothèses : $f$ croissante sur $]\alpha ,\beta [$ ($-\mathrm{\infty }\le \alpha <\beta \le +\mathrm{\infty }$). Conclusion :

• en $\beta$ : si $f$ est majorée, $\underset{\beta }{\lim }f=\underset{]\alpha ,\beta [}{\sup }f$ (finie) ; sinon $\underset{\beta }{\lim }f=+\mathrm{\infty }$ ;
• en $\alpha$ : si $f$ est minorée, $\underset{\alpha }{\lim }f=\underset{]\alpha ,\beta [}{\inf }f$ ; sinon $\underset{\alpha }{\lim }f=-\mathrm{\infty }$ ;
• en tout point $c$ de $]\alpha ,\beta [$, les limites à gauche et à droite existent et $\underset{c^{-}}{\lim }f\le f(c)\le \underset{c^{+}}{\lim }f$.

Énoncé symétrique pour une fonction décroissante. Une fonction monotone n'a donc que des discontinuités « par saut ». Ce théorème repose sur la borne supérieure, exactement comme celui des suites.

Définition. Pour $a\in I$ : $f$ est continue en $a$ si $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$, c'est-à-dire $$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\alpha >0,\mathrm{\forall }x\in I,\mid x-a\mid \le \alpha ⟹\mid f(x)-f(a)\mid \le \epsilon \mathrm{.}$$ Continue à droite (resp. à gauche) en $a$ : $\underset{a^{+}}{\lim }f=f(a)$ (resp. $\underset{a^{-}}{\lim }f=f(a)$). Pour $a$ intérieur à $I$ : continue en $a$ $⟺$ continue à gauche et à droite en $a$. La fonction $f$ est dite continue sur $I$ lorsqu'elle l'est en chaque point de $I$ ; on note $𝒞(I,ℝ)$ l'ensemble de ces fonctions.

Caractérisation séquentielle. $f$ est continue en $a$ $⟺$ pour toute suite $(x_n)$ de $I$ qui converge vers $a$, $f(x_n)\to f(a)$.

Opérations. Sommes, produits, combinaisons linéaires, quotients (dénominateur non nul en $a$) de fonctions continues en $a$ sont continues en $a$. Composée : la continuité de $f$ au point $a$ et celle de $g$ au point $f(a)$ entraînent celle de $g\circ f$ au point $a$. Si $f$ et $g$ sont continues, $\mid f\mid$, $\max (f,g)=\frac{f+g+\mid f-g\mid }{2}$ et $\min (f,g)$ le sont. Les fonctions usuelles sont continues sur leur ensemble de définition ; $E$ est continue en tout point de $ℝ\setminus \mathbb{Z}$, seulement continue à droite en tout entier.

Prolongement par continuité. Soit $f$ définie sur $I\setminus \{a\}$ avec $a\in I$. Si $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\mathrm{\ell }$ finie, la fonction $\tilde{f}$ égale à $f$ sur $I\setminus \{a\}$ et à $\mathrm{\ell }$ en $a$ est continue en $a$ ; on l'appelle prolongement par continuité de $f$ au point $a$ (il est unique). Exemple : $x\mapsto \frac{\sin x}{x}$ se prolonge en $0$ par la valeur $1$ ; $x\mapsto \frac{1}{x}$ ne se prolonge pas.

Fonctions lipschitziennes. $f$ est $k$-lipschitzienne sur $I$ ($k\ge 0$) si $\mid f(x)-f(y)\mid \le k\mid x-y\mid$ pour tous $x,y\in I$. Une fonction lipschitzienne est continue (prendre $\alpha =\epsilon \mathrm{/}k$ si $k>0$). Exemples : $\mid \cdot \mid$, $\sin$, $\cos$ (avec $k=1$). Le lien avec la dérivée ($\mid f^{\mathrm{\prime }}\mid \le k$) sera établi au chapitre « Dérivabilité ».

Signe au voisinage. Une fonction continue en $a$ avec $f(a)>0$ reste strictement positive au voisinage de $a$.

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI). Hypothèses : $f$ continue sur un intervalle $I$ ; $a,b\in I$. Conclusion : chaque réel $y$ situé entre $f(a)$ et $f(b)$ possède au moins un antécédent $c$ entre $a$ et $b$.

Forme pratique. Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et $f(a)f(b)<0$, alors $f$ s'annule au moins une fois sur $]a,b[$. Avec la stricte monotonie en plus, le zéro est unique.

Forme globale. Une fonction continue transforme tout intervalle en un intervalle. Mais $f([a,b])$ n'est pas toujours l'intervalle d'extrémités $f(a)$ et $f(b)$ (penser à $\sin$ sur $[0,\pi ]$).

Idée de preuve (dichotomie). Si $f(a)<0<f(b)$, on coupe $[a,b]$ en deux et on garde la moitié où $f$ change de signe ; on obtient deux suites adjacentes $(a_n)$, $(b_n)$ avec $f(a_n)\le 0\le f(b_n)$ et $b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n}$. Leur limite commune $c$ vérifie $f(c)\le 0$ et $f(c)\ge 0$ par continuité. La même méthode localise un zéro à $\frac{b-a}{2^n}$ près.

Conséquences classiques.

• Une fonction continue $f:[a,b]\to [a,b]$ a au moins un point fixe (appliquer le TVI à $x\mapsto f(x)-x$).
• Un polynôme réel de degré impair a au moins une racine réelle (limites $\pm \mathrm{\infty }$ de signes opposés).
• Une fonction continue sur un intervalle qui ne s'annule pas garde un signe constant.
• Une fonction continue sur un intervalle à valeurs entières est constante.

Théorème des bornes atteintes. Hypothèses : $f$ continue sur un segment $[a,b]$ (fermé et borné). Conclusion : $f$ est bornée et atteint ses bornes : il existe $c,d\in [a,b]$ avec $f(c)=\underset{[a,b]}{\min }f$ et $f(d)=\underset{[a,b]}{\max }f$.

Avec le TVI : $f([a,b])=[m,M]$ où $m=\min f$ et $M=\max f$. Une fonction continue envoie un segment sur un segment.

Idée de preuve. Si $f$ n'était pas majorée, on aurait $x_n\in [a,b]$ avec $f(x_n)\ge n$ ; Bolzano-Weierstrass donne une suite extraite $x_{\phi (n)}\to c\in [a,b]$, et la continuité impose $f(x_{\phi (n)})\to f(c)$ : contradiction. Pour atteindre la borne supérieure $M$, on prend $f(x_n)\to M$ et on extrait de même.

Les deux hypothèses comptent. Sur $]0,1]$, $x\mapsto \frac{1}{x}$ est continue mais non bornée ; sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, $x\mapsto \frac{x}{1+x}$ est bornée mais n'atteint pas sa borne supérieure $1$. Sans continuité, sur le segment $[0,1]$ : $x\mapsto x-E(x)$ prend toutes les valeurs de $[0,1[$ mais vaut $0$ en $1$ ; sa borne supérieure $1$ n'est pas atteinte.

Méthode « on se ramène à un segment ». Pour une fonction continue sur $ℝ$ ou $[0,+\mathrm{\infty }[$ ayant des limites aux bornes (finies ou infinies), on choisit un segment assez grand hors duquel $f$ est contrôlée par ses limites, puis on applique le théorème sur ce segment.

Présente dans le cours de MP1 de plusieurs instituts (théorème de Heine), absente d'autres résumés : à connaître en MP1, elle sera reprise en 2e année.

Définition. La fonction $f$ est uniformément continue sur $I$ lorsque $$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\alpha >0,\mathrm{\forall }x,y\in I,\mid x-y\mid \le \alpha ⟹\mid f(x)-f(y)\mid \le \epsilon \mathrm{.}$$ Différence avec la continuité sur $I$ : ici $\alpha$ ne dépend que de $\epsilon$, pas du point. L'ordre est $\mathrm{\forall }\epsilon \mathrm{\exists }\alpha \mathrm{\forall }x,y$ au lieu de $\mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }\epsilon \mathrm{\exists }\alpha \mathrm{\forall }y$.

Implications. Lipschitzienne $\Rightarrow$ uniformément continue $\Rightarrow$ continue. Aucune réciproque n'est vraie : $\sqrt{}$ est uniformément continue sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ (car $\mid \sqrt{x}-\sqrt{y}\mid \le \sqrt{\mid x-y\mid }$) sans être lipschitzienne ; $x\mapsto x^2$ est continue sur $ℝ$ sans être uniformément continue.

Critère séquentiel de non-uniformité. S'il existe deux suites $(x_n)$, $(y_n)$ de $I$ avec $x_n-y_n\to 0$ mais $f(x_n)-f(y_n)\to ̸0$, alors $f$ n'est pas uniformément continue sur $I$. Exemples : $x^2$ sur $ℝ$ avec $x_n=n+\frac{1}{n}$, $y_n=n$ ; $\sin \frac{1}{x}$ sur $]0,1]$ avec $x_n=\frac{1}{2n\pi }$, $y_n=\frac{1}{2n\pi +\pi \mathrm{/}2}$.

Théorème de Heine. Hypothèses : $f$ continue sur un segment $[a,b]$. Conclusion : $f$ est uniformément continue sur $[a,b]$. Preuve par l'absurde avec Bolzano-Weierstrass (même schéma que pour les bornes atteintes). Sur un intervalle qui n'est pas un segment, la conclusion peut tomber ($\frac{1}{x}$ sur $]0,1]$).

Lemme. Une fonction strictement monotone sur $I$ est injective.

Théorème de la bijection. Hypothèses : $f$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I$. Conclusion :

1. $J=f(I)$ est un intervalle, dont les extrémités sont les limites de $f$ aux extrémités de $I$ (fermées ou ouvertes comme celles de $I$ si $f$ est croissante, échangées si elle est décroissante) ;
2. $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J$ ;
3. la réciproque $f^{-1}:J\to I$ est continue et strictement monotone, avec le même sens de variation que $f$.

Exemple : $f$ strictement croissante et continue sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ avec $f(0)=1$ et $\underset{+\mathrm{\infty }}{\lim }f=3$ donne $J=[1,3[$.

Réciproque partielle. Une fonction continue et injective sur un intervalle est strictement monotone. (Hors d'un intervalle, ou sans continuité, c'est faux : $x\mapsto \frac{1}{x}$ sur ${ℝ}^{\ast }$ ; $x\mapsto x$ sur $[0,1[$ et $x\mapsto 3-x$ sur $[1,2]$.)

Graphe. Dans un repère orthonormé, le graphe de $f^{-1}$ est le symétrique de celui de $f$ par rapport à la droite $y=x$.

Utilisation type. « prouver que $f$ est une bijection de $I$ vers un intervalle $J$ à déterminer » : continuité, stricte monotonie (signe de $f^{\mathrm{\prime }}$, ou opérations sur des fonctions monotones), limites aux bornes, conclusion. Exemples déjà vus : $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$ (réciproques de restrictions de $\sin$, $\cos$, $\tan$) ; $\mathrm{argth}:]-1,1[\to ℝ$, $\mathrm{argth}x=\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x}$, réciproque de $\mathrm{th}$. Pour obtenir une formule de $f^{-1}$, on résout $y=f(x)$ d'inconnue $x$ pour $y\in J$.

Pour $f:I\to ℂ$, les définitions de limite et de continuité s'écrivent avec le module : $\mid f(x)-\mathrm{\ell }\mid \le \epsilon$. $$f\text{ continue en }a⟺\mathrm{Re}f\text{ et }\mathrm{Im}f\text{ continues en }a\mathrm{.}$$ Restent vrais : unicité de la limite, caractérisation séquentielle, opérations, prolongement par continuité, bornes atteintes pour $\mid f\mid$, théorème de Heine. N'ont pas de sens dans $ℂ$ : limite $\pm \mathrm{\infty }$, monotonie, limite monotone, gendarmes, TVI, théorème de la bijection. Exemple : $t\mapsto e^{it}$ est continue sur $[0,2\pi ]$, vaut $1$ aux deux bouts et ne s'annule jamais (pas de « valeurs intermédiaires » pour les complexes).

Calculer une limite

1. Repérer la forme ; si elle n'est pas indéterminée, conclure par opérations.
2. Sinon : terme dominant, quantité conjuguée, changement de variable vers une limite de référence, logarithme pour les puissances variables, encadrement (gendarmes) quand apparaissent $E$, $\sin$, $\cos$ ou $(-1{)}^n$.

Prouver l'absence de limite en $a$

Deux suites tendant vers $a$ dont les images ont des limites distinctes ; ou limites à gauche et à droite différentes.

Étudier la continuité d'une fonction définie par morceaux ou avec $E$

1. Continuité sur chaque intervalle ouvert où l'expression est « usuelle » (opérations).
2. Aux points de raccord : calculer les limites à gauche et à droite et les comparer à la valeur.

Montrer qu'une équation $f(x)=y$ a une solution (unique)

TVI sur un intervalle bien choisi (ou limites aux bornes), puis stricte monotonie pour l'unicité. Écrire explicitement : « $f$ est continue sur l'intervalle $[a,b]$, $f(a)<y<f(b)$, donc… ».

Équation fonctionnelle avec continuité (très fréquent en devoir)

1. Trouver des valeurs particulières ($f(0)$, parité).
2. Itérer la relation pour faire apparaître une suite : $f(x)=f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{x}{2}\right)=\cdots =f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{x}{2^n}\right)$.
3. Passer à la limite en utilisant la continuité en $0$ (caractérisation séquentielle).
4. Ou : prouver la formule sur $\mathbb{Q}$ (ou sur un ensemble dense), puis l'étendre à $ℝ$ par continuité.

Montrer qu'une fonction atteint un extremum sur un intervalle non fermé ou non borné

Se ramener à un segment grâce aux limites aux bornes (section 9).

Montrer la non-continuité uniforme

Deux suites $x_n-y_n\to 0$ avec $\mid f(x_n)-f(y_n)\mid$ minoré par une constante $>0$.

1. Appliquer le TVI sans dire que $f$ est continue sur un intervalle ; ou l'appliquer sur une réunion d'intervalles ($\frac{1}{x}$ prend des valeurs de signes opposés sur ${ℝ}^{\ast }$ sans s'annuler).
2. Bornes atteintes sur un intervalle qui n'est pas un segment : « $f$ continue sur $]0,1]$ donc bornée » est faux.
3. Confondre « $f$ continue sur $I$ » et « $f$ uniformément continue sur $I$ » ; croire qu'une fonction bornée et continue est uniformément continue ($\sin \frac{1}{x}$ sur $]0,1]$).
4. Composer des limites sans vérifier que l'image tend vers un point où la seconde fonction a une limite.
5. Écrire $\lim f(x_n)=f(\lim x_n)$ sans continuité de $f$ en la limite.
6. Croire que $f([a,b])=[f(a),f(b)]$ pour toute fonction continue (c'est vrai pour $f$ croissante seulement).
7. Oublier que la stricte monotonie est indispensable pour l'unicité dans le TVI et pour le théorème de la bijection.
8. Dans un prolongement par continuité, oublier que la limite doit être finie.
9. Passer d'une inégalité stricte $f<g$ à $\lim f<\lim g$.
10. Rédaction : citer « d'après le TVI » sans les trois hypothèses (continuité, intervalle, valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$) ; les correcteurs retirent les points de la question.

• « au $V(a)$ », « au voisinage de $a$ » ; « $f$ admet une limite finie en $a$ » ; « $f$ est prolongeable par continuité en $a$ » ; « $f$ réalise une bijection de $I$ sur un intervalle $J$ à déterminer » ; « on note $f^{-1}$ sa fonction réciproque ».
• Partie entière $E(x)$ ; $\ln$ ; $\mathrm{ch}$, $\mathrm{sh}$, $\mathrm{th}$, $\mathrm{argth}$ ; $\arctan$ parfois écrit $\mathrm{Arctg}$ et $\tan$ écrit $\mathrm{tg}$ ; $𝒞(I,ℝ)$ ou $C^0(I)$.
• Abréviation « TVI » courante dans les cours, à éviter dans une copie : écrire « théorème des valeurs intermédiaires ».
• Énoncés : « Étudier la continuité de $f$ sur $ℝ$ », « Montrer que l'équation … admet une unique solution $\alpha$ dans… », « En déduire que $f$ atteint… », « Montrer que $f$ est constante ». Barème affiché (« Exercice 1 (6 points) »).
• Calculatrice interdite : une valeur approchée se demande par encadrement (dichotomie, comparaison avec $\pi >3$, $\sqrt{2}<\frac{3}{2}$…), jamais « à la machine ».