Limites et continuité (Exercices) · Révisions prépa · Ridami

Analyse · 1re année

Limites et continuité

Application du cours6 points

1. Calculs de limites

Déterminer, si elles existent, les limites suivantes.

$\lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} + x + 1} - x)$ .
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (3 x)}{x \sin x}$ .
$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - 1}{\ln (1 + 3 x)}$ .
$\lim_{x \to + \infty} {(1 + \frac{2}{x})}^{x}$ .
$\lim_{x \to + \infty} \frac{E (2 x) - E (x)}{x}$ .
$\lim_{x \to + \infty} \sin \sqrt{x}$ .

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1. Pour $x > 0$ , l'expression conjuguée $\sqrt{x^{2} + x + 1} + x$ est strictement positive et $\sqrt{x^{2} + x + 1} - x = \frac{(x^{2} + x + 1) - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + x + 1} + x} = \frac{x + 1}{x (\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1)} = \frac{1 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1} .$ Le numérateur tend vers $1$ ; par continuité de la racine carrée en $1$ , le dénominateur tend vers $2$ . Limite : $\frac{1}{2}$ .

2. Pour $0 < ∣ x ∣ < π$ , $\sin x \neq 0$ et $\frac{1 - \cos (3 x)}{x \sin x} = 9 \cdot \frac{1 - \cos (3 x)}{(3 x)^{2}} \cdot \frac{x}{\sin x} .$ Quand $x \to 0$ , $u = 3 x \to 0$ et $\frac{1 - \cos u}{u^{2}} \to \frac{1}{2}$ (composition des limites), tandis que $\frac{x}{\sin x} \to 1$ . Limite : $\frac{9}{2}$ .

3. La fonction est définie pour $x > - \frac{1}{3}$ , $x \neq 0$ , et s'écrit $\frac{e^{2 x} - 1}{\ln (1 + 3 x)} = \frac{2}{3} \cdot \frac{e^{2 x} - 1}{2 x} \cdot \frac{3 x}{\ln (1 + 3 x)} .$ Par composition, $\frac{e^{2 x} - 1}{2 x} \to 1$ et $\frac{\ln (1 + 3 x)}{3 x} \to 1$ quand $x \to 0$ . Limite : $\frac{2}{3}$ .

4. Forme $1^{\infty}$ . Pour $x > 0$ , ${(1 + \frac{2}{x})}^{x} = \exp ⁣ (x \ln (1 + \frac{2}{x}))$ . Posons $t = \frac{2}{x} \to 0^{+}$ : $x \ln (1 + \frac{2}{x}) = 2 \frac{\ln (1 + t)}{t} \to 2$ . L'exponentielle étant continue en $2$ , la limite vaut $e^{2}$ .

5. De $y - 1 < E (y) \leq y$ on tire, pour $x > 0$ : $E (2 x) - E (x) < 2 x - (x - 1) = x + 1$ et $E (2 x) - E (x) > (2 x - 1) - x = x - 1$ . Donc $1 - \frac{1}{x} < \frac{E (2 x) - E (x)}{x} < 1 + \frac{1}{x} .$ Les deux encadrants tendent vers $1$ : par le théorème d'encadrement, la limite existe et vaut $1$ .

6. Posons $x_{n} = (2 n π)^{2}$ et $y_{n} = {(2 n π + \frac{π}{2})}^{2}$ : ces deux suites tendent vers $+ \infty$ , et $\sin \sqrt{x_{n}} = 0$ , $\sin \sqrt{y_{n}} = 1$ . Si $\sin \sqrt{x}$ avait une limite $ℓ$ en $+ \infty$ , la caractérisation séquentielle donnerait $ℓ = 0$ et $ℓ = 1$ . Donc $pas de limite$ (fiche §3).

Après avoir comparé avec le corrigé :

Application du cours5 points

2. Continuité de fonctions construites avec la partie entière

On considère les fonctions définies sur $ℝ$ par $f (x) = E (x) \sin (π x), g (x) = E (x) \cos (π x), k (x) = (x - E (x)) (x - E (x) - 1) .$

Montrer que $f$ est continue sur $ℝ$ .
Déterminer les points où $g$ est continue. En un point de discontinuité, $g$ est-elle continue à droite ? à gauche ?
(a) Montrer que $k$ est périodique de période $1$ et continue sur $ℝ$ . (b) Déterminer $k (ℝ)$ .

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1. Soit $n \in ℤ$ . Sur $] n, n + 1 [$ , $E (x) = n$ et $f (x) = n \sin (π x)$ : $f$ est continue sur cet intervalle ouvert (produit d'une constante et d'une fonction continue). Reste à étudier $f$ en $n$ .

Valeur : $f (n) = n \sin (n π) = 0$ .
À droite : pour $x \in] n, n + 1 [$ , $f (x) = n \sin (π x) \to n \sin (n π) = 0$ quand $x \to n^{+}$ .
À gauche : pour $x \in] n - 1, n [$ , $E (x) = n - 1$ et $f (x) = (n - 1) \sin (π x) \to (n - 1) \sin (n π) = 0$ .

Les limites à gauche et à droite valent $f (n)$ : $f$ est continue en $n$ . Donc $f est continue sur ℝ$ , bien que $E$ ne le soit pas.

2. Comme ci-dessus, $g$ est continue sur chaque $] n, n + 1 [$ . En $n \in ℤ$ : $g (n) = n \cos (n π) = (- 1)^{n} n$ ; $\lim_{n^{+}} g = n \cos (n π) = (- 1)^{n} n = g (n)$ ; $\lim_{n^{-}} g = (n - 1) \cos (n π) = (- 1)^{n} (n - 1)$ . La différence $\lim_{n^{+}} g - \lim_{n^{-}} g = (- 1)^{n}$ n'est jamais nulle. Donc $g$ est continue exactement sur $ℝ ∖ ℤ$ ; en tout entier, $g$ est continue à droite mais pas à gauche.

3.(a) $E (x + 1) = E (x) + 1$ , donc $x + 1 - E (x + 1) = x - E (x)$ et $k (x + 1) = k (x)$ . Sur $] n, n + 1 [$ , $k (x) = (x - n) (x - n - 1)$ est polynomiale, donc continue. En $n$ : $k (n) = 0 \cdot (- 1) = 0$ ; à droite, $x - E (x) = x - n \to 0$ et $k (x) \to 0 \cdot (- 1) = 0$ ; à gauche, $x - E (x) = x - (n - 1) \to 1$ et $k (x) \to 1 \cdot 0 = 0$ . Donc $k$ est continue en $n$ , puis sur $ℝ$ .

3.(b) Par périodicité, $k (ℝ) = k ([0, 1 [)$ , et pour $x \in [0, 1 [$ , $k (x) = x^{2} - x = {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ . Sur $[0, 1 [$ : ${(x - \frac{1}{2})}^{2} \in [0, \frac{1}{4}]$ , la valeur $0$ étant prise en $x = \frac{1}{2}$ et la valeur $\frac{1}{4}$ en $x = 0$ . Donc $k (ℝ) = [- \frac{1}{4}, 0]$ . (Contrôle : $k$ est continue sur le segment $[0, 1]$ , donc l'image est bien un segment.)

Après avoir comparé avec le corrigé :

Application du cours5 points

3. Prolongements par continuité

$f (x) = (1 + x)^{1 / x}$ pour $x \in] - 1, 0 [\cup] 0, + \infty [$ . Prouver que $f$ admet un prolongement continu en $0$ .
$g (x) = \sin x \cdot \ln ∣ x ∣$ pour $x \neq 0$ . Même question.
$h (x) = e^{- 1 / x}$ pour $x \neq 0$ . $h$ est-elle prolongeable par continuité en $0$ ? Et sa restriction à $] 0, + \infty [$ ?
Pour $a \in ℝ$ , on pose $φ_{a} (x) = \frac{\sin (a x)}{x}$ si $x \neq 0$ et $φ_{a} (0) = 2$ . Pour quelles valeurs de $a$ la fonction $φ_{a}$ est-elle continue sur $ℝ$ ?

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1. $f (x) = \exp ⁣ (\frac{\ln (1 + x)}{x})$ et $\frac{\ln (1 + x)}{x} \to 1$ quand $x \to 0$ ; l'exponentielle est continue en $1$ , donc $f (x) \to e$ , limite finie. $f$ se prolonge par continuité en $0$ en posant $f (0) = e$ .

2. Pour $x \neq 0$ , $∣ \sin x ∣ \leq ∣ x ∣$ , donc $∣ g (x) ∣ \leq ∣ x ∣ ∣ \ln ∣ x ∣ ∣$ . Avec $t = ∣ x ∣ \to 0^{+}$ , $t ∣ \ln t ∣ \to 0$ (croissances comparées). Par encadrement, $g (x) \to 0$ : on prolonge par $g (0) = 0$ .

3. Quand $x \to 0^{+}$ , $- \frac{1}{x} \to - \infty$ et $h (x) \to 0$ . Quand $x \to 0^{-}$ , $- \frac{1}{x} \to + \infty$ et $h (x) \to + \infty$ . La limite à gauche n'est pas finie : $h$ n'est pas prolongeable par continuité en $0$ . En revanche, sa restriction à $] 0, + \infty [$ se prolonge en une fonction continue sur $[0, + \infty [$ en posant $h (0) = 0$ .

4. Sur $ℝ^{*}$ , $φ_{a}$ est continue (quotient de fonctions continues, dénominateur non nul) ; tout se joue en $0$ .

Si $a \neq 0$ : $φ_{a} (x) = a \cdot \frac{\sin (a x)}{a x} \to a$ (composition avec $\frac{\sin u}{u} \to 1$ ).
Si $a = 0$ : $φ_{0} (x) = 0 \to 0$ .

Dans les deux cas $\lim_{0} φ_{a} = a$ , et $φ_{a}$ est continue en $0$ si et seulement si $a = φ_{a} (0) = 2$ . Réponse : $a = 2$ .

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Application du cours6 points

4. Valeurs intermédiaires

(a) Montrer que l'équation $\cos x = x$ admet une unique solution $α$ dans $[0, \frac{π}{2}]$ . (b) Sans calculatrice, montrer que $\frac{π}{8} < α < \frac{π}{4}$ .
Soit $f : [0, 1] \to ℝ$ continue telle que $f (0) = f (1)$ . Prouver l'existence d'un réel $c \in [0, \frac{1}{2}]$ vérifiant $f ⁣ (c + \frac{1}{2}) = f (c)$ .
Soit $P (x) = x^{3} - 3 x + 1$ . (a) Montrer que $P$ a exactement trois racines réelles, situées dans $] - 2, - 1 [$ , $] 0, 1 [$ et $] 1, 2 [$ . (b) En posant $x = 2 \cos θ$ , montrer que ces racines sont $2 \cos \frac{2 π}{9}$ , $2 \cos \frac{4 π}{9}$ et $2 \cos \frac{8 π}{9}$ , et dire laquelle est dans chaque intervalle.

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1.(a) Posons $g (x) = \cos x - x$ sur $[0, \frac{π}{2}]$ . La fonction $g$ est continue ; elle est strictement décroissante comme somme de $\cos$ (décroissante sur $[0, \frac{π}{2}]$ ) et de $x \mapsto - x$ (strictement décroissante). De plus $g (0) = 1 > 0$ et $g ⁣ (\frac{π}{2}) = - \frac{π}{2} < 0$ . D'après le théorème des valeurs intermédiaires, $g$ s'annule sur $] 0, \frac{π}{2} [$ ; la stricte monotonie donne l'unicité : il existe un unique $α \in [0, \frac{π}{2}]$ avec $\cos α = α$ .

1.(b) $g ⁣ (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{π}{4}$ , et $\frac{\sqrt{2}}{2} < \frac{π}{4} ⟺ 2 \sqrt{2} < π ⟺ 8 < π^{2}$ , vrai car $π > 3$ donne $π^{2} > 9$ . Donc $g ⁣ (\frac{π}{4}) < 0$ . Ensuite $\frac{π}{8} < \frac{π}{3}$ et $\cos$ décroît sur $[0, π]$ , donc $\cos \frac{π}{8} > \cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ ; et $\frac{π}{8} < \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ car $π < 4$ . Ainsi $g ⁣ (\frac{π}{8}) > 0$ . Le TVI sur $[\frac{π}{8}, \frac{π}{4}]$ et l'unicité de $α$ donnent $\frac{π}{8} < α < \frac{π}{4}$ (deux étapes de dichotomie, fiche §8).

2. Soit $φ (x) = f ⁣ (x + \frac{1}{2}) - f (x)$ pour $x \in [0, \frac{1}{2}]$ ; $φ$ est continue (composée et différence de fonctions continues, et $x + \frac{1}{2} \in [0, 1]$ ). Or $φ (0) + φ ⁣ (\frac{1}{2}) = f ⁣ (\frac{1}{2}) - f (0) + f (1) - f ⁣ (\frac{1}{2}) = f (1) - f (0) = 0.$ Donc $φ (0)$ et $φ ⁣ (\frac{1}{2})$ sont opposés : ou bien l'un d'eux est nul (et $c = 0$ ou $c = \frac{1}{2}$ convient), ou bien ils sont de signes contraires et le TVI fournit $c \in] 0, \frac{1}{2} [$ avec $φ (c) = 0$ . Dans tous les cas, $f ⁣ (c + \frac{1}{2}) = f (c)$ .

3.(a) $P$ est continue sur $ℝ$ et $P (- 2) = - 1$ , $P (- 1) = 3$ , $P (0) = 1$ , $P (1) = - 1$ , $P (2) = 3$ . Les changements de signe sur $[- 2, - 1]$ , $[0, 1]$ et $[1, 2]$ donnent, par le TVI, au moins une racine dans chacun des intervalles ouverts $] - 2, - 1 [$ , $] 0, 1 [$ , $] 1, 2 [$ , qui sont disjoints. Un polynôme de degré $3$ a au plus trois racines : $P$ en a exactement trois, une dans chaque intervalle.

3.(b) On a $\cos (3 θ) = 4 \cos^{3} θ - 3 \cos θ$ , donc $P (2 \cos θ) = 8 \cos^{3} θ - 6 \cos θ + 1 = 2 \cos (3 θ) + 1$ . Pour $θ \in {\frac{2 π}{9}, \frac{4 π}{9}, \frac{8 π}{9}}$ , $3 θ \in {\frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, \frac{8 π}{3}}$ et $\cos (3 θ) = - \frac{1}{2}$ : ce sont des racines. Elles sont distinctes car $\cos$ est injective sur $[0, π]$ . Localisation :

$\frac{2 π}{9} \in] 0, \frac{π}{3} [$ , donc $\cos \frac{2 π}{9} \in] \frac{1}{2}, 1 [$ et $2 \cos \frac{2 π}{9} \in] 1, 2 [$ ;
$\frac{4 π}{9} \in] \frac{π}{3}, \frac{π}{2} [$ , donc $2 \cos \frac{4 π}{9} \in] 0, 1 [$ ;
$\frac{8 π}{9} \in] \frac{2 π}{3}, π [$ , donc $\cos \frac{8 π}{9} \in] - 1, - \frac{1}{2} [$ et $2 \cos \frac{8 π}{9} \in] - 2, - 1 [$ .

D'après (a), ce sont les trois racines de $P$ .

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Niveau devoir7 points

5. Un maximum sur un intervalle non borné

Soit $f : [0, + \infty [\to ℝ$ continue telle que $f (0) = 0$ , $f (x) > 0$ pour tout $x > 0$ , et $\lim_{x \to + \infty} f (x) = 0$ .

Justifier l'existence d'un réel $A > 1$ tel que $f (x) \leq \frac{1}{2} f (1)$ pour tout $x \geq A$ .
En déduire que $f$ est bornée et atteint sa borne supérieure $M$ en un point $x_{0} > 0$ .
Montrer que tout $y \in] 0, M [$ possède au moins deux antécédents par $f$ .
Exemple : $f (x) = \frac{x}{1 + x^{2}}$ . Vérifier les hypothèses, calculer $M$ et $x_{0}$ , puis donner les deux antécédents de $y \in] 0, \frac{1}{2} [$ .
La fonction $u (x) = \frac{x}{1 + x}$ est continue et bornée sur $[0, + \infty [$ . Atteint-elle sa borne supérieure ? Quelle hypothèse de l'énoncé n'est pas satisfaite ?

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1. $f (1) > 0$ , donc $ε = \frac{1}{2} f (1) > 0$ . Comme $f \to 0$ en $+ \infty$ , il existe $B$ tel que $x \geq B \Rightarrow f (x) \leq ε$ ; $A = \max (B, 2)$ convient, et $A > 1$ .

2. $f$ est continue sur le segment $[0, A]$ : par le théorème des bornes atteintes, elle y est bornée et il existe $x_{0} \in [0, A]$ avec $f (x_{0}) = \max_{[0, A]} f = : M$ . Comme $1 \in [0, A]$ , $M \geq f (1)$ . Pour $x \geq A$ : $0 < f (x) \leq \frac{1}{2} f (1) < f (1) \leq M$ . Ainsi $0 \leq f (x) \leq M$ pour tout $x \geq 0$ : $f$ est bornée, et $M = f (x_{0})$ est son maximum sur $[0, + \infty [$ . Enfin $M \geq f (1) > 0 = f (0)$ , donc $x_{0} \neq 0$ .

3. Soit $y \in] 0, M [$ .

Sur $[0, x_{0}]$ : $f$ continue, $f (0) = 0 < y < M = f (x_{0})$ ; le TVI donne $a \in] 0, x_{0} [$ avec $f (a) = y$ .
Sur $[x_{0}, + \infty [$ : comme $f \to 0 < y$ , il existe $C > x_{0}$ avec $f (C) < y$ . Sur $[x_{0}, C]$ , $f (C) < y < f (x_{0})$ ; le TVI donne $b \in] x_{0}, C [$ avec $f (b) = y$ .

On a $a < x_{0} < b$ : deux antécédents distincts.

4. $f$ est continue sur $[0, + \infty [$ , $f (0) = 0$ , $f (x) > 0$ pour $x > 0$ , et $f (x) = \frac{1 / x}{1 / x^{2} + 1} \to 0$ en $+ \infty$ . $f (x) \leq \frac{1}{2} ⟺ 2 x \leq 1 + x^{2} ⟺ (x - 1)^{2} \geq 0$ , avec égalité si et seulement si $x = 1$ : $M = \frac{1}{2}, x_{0} = 1$ . Pour $y \in] 0, \frac{1}{2} [$ : $f (x) = y ⟺ y x^{2} - x + y = 0$ , de discriminant $1 - 4 y^{2} > 0$ , d'où les deux racines $x_{\pm} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 y^{2}}}{2 y},$ toutes deux strictement positives (leur produit vaut $1$ , leur somme $\frac{1}{y} > 0$ ), avec $x_{-} < 1 < x_{+}$ puisque $x_{-} x_{+} = 1$ et $x_{-} \neq x_{+}$ .

5. $u (x) = 1 - \frac{1}{1 + x} < 1$ et $u (x) \to 1$ en $+ \infty$ : $\sup u = 1$ n'est pas atteint. L'hypothèse en défaut est $\lim_{+ \infty} u = 0$ : la limite vaut $1$ , qui est justement la borne supérieure. Sans cette hypothèse, on ne peut pas se ramener à un segment.

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Niveau devoir7 points

6. Continuité uniforme

(a) Montrer que $∣ \sqrt{x} - \sqrt{y} ∣ \leq \sqrt{∣ x - y ∣}$ pour tous $x, y \geq 0$ . (b) En déduire que $x \mapsto \sqrt{x}$ est uniformément continue sur $[0, + \infty [$ . (c) Montrer qu'elle n'est pas lipschitzienne sur $[0, + \infty [$ .
(a) Soit $A > 0$ . Montrer que $x \mapsto x^{2}$ est lipschitzienne sur $[- A, A]$ . (b) Prouver que la continuité uniforme sur $ℝ$ tout entier échoue.
Soit $f$ continue sur $] 0, 1]$ . (a) On suppose que $f$ a une limite finie en $0$ . Montrer que $f$ est uniformément continue sur $] 0, 1]$ . (b) Réciproquement, on suppose $f$ uniformément continue sur $] 0, 1]$ . Soit $(x_{n})$ une suite de $] 0, 1]$ qui tend vers $0$ . Montrer que $(f (x_{n}))$ est une suite de Cauchy, donc qu'elle converge. (c) Montrer que la limite de $(f (x_{n}))$ ne dépend pas de la suite choisie, puis que $f$ a une limite finie en $0$ .
Applications : les fonctions $x \mapsto \sin \frac{1}{x}$ , $x \mapsto x \sin \frac{1}{x}$ et $x \mapsto \frac{1}{x}$ sont-elles uniformément continues sur $] 0, 1]$ ?

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1.(a) Par symétrie, supposons $x \geq y \geq 0$ . Alors $\sqrt{x y} \geq \sqrt{y^{2}} = y$ , donc $(\sqrt{x} - \sqrt{y})^{2} = x + y - 2 \sqrt{x y} \leq x + y - 2 y = x - y$ . Les deux membres étant positifs, $0 \leq \sqrt{x} - \sqrt{y} \leq \sqrt{x - y}$ .

1.(b) Soit $ε > 0$ ; posons $α = ε^{2}$ (qui ne dépend que de $ε$ ). Si $∣ x - y ∣ \leq α$ , alors $∣ \sqrt{x} - \sqrt{y} ∣ \leq \sqrt{α} = ε$ . C'est la définition de la continuité uniforme sur $[0, + \infty [$ .

1.(c) Si l'on avait $∣ \sqrt{x} - \sqrt{y} ∣ \leq k ∣ x - y ∣$ pour tous $x, y \geq 0$ , alors avec $y = 0$ et $x > 0$ : $\sqrt{x} \leq k x$ , soit $1 \leq k \sqrt{x}$ . Avec $x \to 0^{+}$ , le membre de droite tend vers $0$ : contradiction. $\sqrt{}$ n'est pas lipschitzienne (c'est le voisinage de $0$ qui pose problème).

2.(a) Pour $x, y \in [- A, A]$ : $∣ x^{2} - y^{2} ∣ = ∣ x + y ∣ ∣ x - y ∣ \leq 2 A ∣ x - y ∣$ : la fonction est $2 A$ -lipschitzienne, donc uniformément continue sur $[- A, A]$ .

2.(b) Soit $x_{n} = n + \frac{1}{n}$ et $y_{n} = n$ ( $n \geq 1$ ). Alors $x_{n} - y_{n} = \frac{1}{n} \to 0$ mais $x_{n}^{2} - y_{n}^{2} = 2 + \frac{1}{n^{2}} \geq 2$ . Si $x \mapsto x^{2}$ était uniformément continue, avec $ε = 1$ on aurait $α > 0$ tel que $∣ x - y ∣ \leq α \Rightarrow ∣ x^{2} - y^{2} ∣ \leq 1$ , et pour $n \geq \frac{1}{α}$ on obtiendrait $2 \leq 1$ . Elle n'est pas uniformément continue sur $ℝ$ .

3.(a) Soit $ℓ$ la limite de $f$ en $0$ . Le prolongement $\tilde{f}$ ( $\tilde{f} = f$ sur $] 0, 1]$ , $\tilde{f} (0) = ℓ$ ) est continu sur le segment $[0, 1]$ . Par le théorème de Heine, $\tilde{f}$ est uniformément continue sur $[0, 1]$ , donc a fortiori $f$ l'est sur $] 0, 1]$ (la propriété reste vraie quand on restreint l'ensemble des couples $(x, y)$ ).

3.(b) Soit $ε > 0$ et $α > 0$ associé par la continuité uniforme. Comme $x_{n} \to 0$ , il existe $N$ tel que $0 < x_{n} \leq \frac{α}{2}$ pour $n \geq N$ . Pour $p, q \geq N$ : $∣ x_{p} - x_{q} ∣ \leq \frac{α}{2} + \frac{α}{2} = α$ , donc $∣ f (x_{p}) - f (x_{q}) ∣ \leq ε$ . La suite $(f (x_{n}))$ est de Cauchy ; dans $ℝ$ , une suite de Cauchy converge (chapitre « Suites »).

3.(c) Soient $(x_{n})$ , $(y_{n})$ deux suites de $] 0, 1]$ de limite $0$ , et $ℓ$ , $ℓ^{'}$ les limites de $(f (x_{n}))$ , $(f (y_{n}))$ . La suite $(z_{n})$ définie par $z_{2 n} = x_{n}$ , $z_{2 n + 1} = y_{n}$ tend vers $0$ (ses deux suites extraites paire et impaire tendent vers $0$ ) ; d'après (b), $(f (z_{n}))$ converge, et ses suites extraites $(f (x_{n}))$ et $(f (y_{n}))$ ont la même limite qu'elle : $ℓ = ℓ^{'}$ . Toutes les suites $f (x_{n})$ convergent donc vers un même réel $ℓ$ : par la caractérisation séquentielle, $\lim_{0} f = ℓ$ (finie).

Bilan : $f continue sur] 0, 1] est uniform \overset{ˊ}{e} ment continue ⟺ f a une limite finie en 0.$

4. $\sin \frac{1}{x}$ n'a pas de limite en $0$ (suites $\frac{1}{2 n π}$ et $\frac{1}{2 n π + π / 2}$ , images $0$ et $1$ ) : non uniformément continue. $x \sin \frac{1}{x} \to 0$ en $0$ (bornée fois limite nulle) : uniformément continue. $\frac{1}{x} \to + \infty$ : limite non finie, non uniformément continue. Ces trois fonctions sont pourtant continues sur $] 0, 1]$ , et la première est bornée.

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Niveau devoir7 points

7. Une bijection et sa réciproque explicite

Soit $f : ℝ \to ℝ$ , $f (x) = x^{3} + 3 x$ . On note $\sqrt[3]{}$ la réciproque de la bijection $x \mapsto x^{3}$ de $ℝ$ sur $ℝ$ .

Justifier que $f$ est bijective de $ℝ$ sur lui-même, et que $f^{- 1}$ est continue, strictement croissante et impaire.
Calculer $f^{- 1} (0)$ , $f^{- 1} (4)$ et $f^{- 1} (14)$ .
Soit $y \in ℝ$ . On pose $u = \sqrt[3]{\frac{y + \sqrt{y^{2} + 4}}{2}}$ et $v = \sqrt[3]{\frac{y - \sqrt{y^{2} + 4}}{2}}$ . Montrer que $u v = - 1$ et $u^{3} + v^{3} = y$ , puis que $f^{- 1} (y) = u + v$ .
Vérifier la formule de la question 3 pour $y = 4$ en calculant ${(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3}$ .
Montrer que, pour $y \geq 0$ , $f^{- 1} (y) \leq \min (\sqrt[3]{y}, \frac{y}{3})$ .
Déterminer $\lim_{y \to + \infty} \frac{f^{- 1} (y)}{\sqrt[3]{y}}$ et $\lim_{y \to 0, y \neq 0} \frac{f^{- 1} (y)}{y}$ .

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1. $f$ est continue (polynomiale) et strictement croissante sur $ℝ$ comme somme des fonctions strictement croissantes $x \mapsto x^{3}$ et $x \mapsto 3 x$ . De plus $\lim_{- \infty} f = - \infty$ et $\lim_{+ \infty} f = + \infty$ . Par le théorème de la bijection (fiche §11), $f$ réalise une bijection de $ℝ$ sur $f (ℝ) =] - \infty, + \infty [= ℝ$ , et $f^{- 1}$ est continue sur $ℝ$ et y croît strictement. Enfin $f$ est impaire : pour $y \in ℝ$ , $x = f^{- 1} (y)$ vérifie $f (- x) = - y$ , donc $f^{- 1} (- y) = - x = - f^{- 1} (y)$ .

2. $f (0) = 0$ , $f (1) = 4$ , $f (2) = 8 + 6 = 14$ , donc $f^{- 1} (0) = 0, f^{- 1} (4) = 1, f^{- 1} (14) = 2$ .

3. $\sqrt{y^{2} + 4} > ∣ y ∣$ , donc $\frac{y - \sqrt{y^{2} + 4}}{2} < 0 < \frac{y + \sqrt{y^{2} + 4}}{2}$ ; $u$ et $v$ sont bien définis.

$(u v)^{3} = u^{3} v^{3} = \frac{y^{2} - (y^{2} + 4)}{4} = - 1$ , et $\sqrt[3]{}$ étant une bijection, $u v = \sqrt[3]{- 1} = - 1$ .
$u^{3} + v^{3} = \frac{y + \sqrt{y^{2} + 4}}{2} + \frac{y - \sqrt{y^{2} + 4}}{2} = y$ .
Avec $s = u + v$ : $s^{3} = u^{3} + v^{3} + 3 u v (u + v) = y - 3 s$ , donc $f (s) = s^{3} + 3 s = y$ , c'est-à-dire $f^{- 1} (y) = u + v$ .

4. Pour $y = 4$ : $\sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$ , $u^{3} = 2 + \sqrt{5}$ . Or, avec $ϕ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ : $ϕ^{2} = \frac{6 + 2 \sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ et $ϕ^{3} = ϕ \cdot ϕ^{2} = \frac{(1 + \sqrt{5}) (3 + \sqrt{5})}{4} = \frac{8 + 4 \sqrt{5}}{4} = 2 + \sqrt{5}$ . Donc $u = ϕ$ , puis $v = - \frac{1}{u} = - \frac{2}{1 + \sqrt{5}} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ et $u + v = 1 = f^{- 1} (4)$ : la formule est confirmée.

5. Soit $y \geq 0$ et $x = f^{- 1} (y)$ ; comme $f^{- 1}$ est croissante et $f^{- 1} (0) = 0$ , $x \geq 0$ . Alors $y = x^{3} + 3 x \geq x^{3}$ , donc $x \leq \sqrt[3]{y}$ (croissance de $\sqrt[3]{}$ ), et $y \geq 3 x$ , donc $x \leq \frac{y}{3}$ .

6. En $+ \infty$ . $f^{- 1}$ est strictement croissante et n'est pas majorée (elle est surjective sur $ℝ$ ), donc $f^{- 1} (y) \to + \infty$ quand $y \to + \infty$ (limite monotone). Pour $y > 0$ , $x = f^{- 1} (y) > 0$ et $\frac{f^{- 1} (y)}{\sqrt[3]{y}} = \frac{x}{\sqrt[3]{x^{3} + 3 x}} = \frac{1}{\sqrt[3]{1 + \frac{3}{x^{2}}}} .$ Quand $x \to + \infty$ , cette expression tend vers $1$ ; par composition des limites, $\lim_{+ \infty} \frac{f^{- 1} (y)}{\sqrt[3]{y}} = 1$ .

En $0$ . $f^{- 1}$ est continue en $0$ (question 1), donc $x = f^{- 1} (y) \to f^{- 1} (0) = 0$ quand $y \to 0$ . Pour $y \neq 0$ , $x \neq 0$ et $\frac{f^{- 1} (y)}{y} = \frac{x}{x^{3} + 3 x} = \frac{1}{x^{2} + 3} \to \frac{1}{3}$ : $\lim_{0} \frac{f^{- 1} (y)}{y} = \frac{1}{3}$ .

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Niveau devoir7 points

8. Continuité et injectivité

Soit $f$ continue et injective sur un intervalle $I$ . (a) Soient $a < b < c$ dans $I$ . Montrer que $f (b)$ est strictement compris entre $f (a)$ et $f (c)$ . (b) Pour $x < y$ dans $I$ , on note $σ (x, y)$ le signe de $f (y) - f (x)$ (non nul par injectivité). Déduire de (a) que $σ (x, y)$ ne dépend pas du couple choisi, puis que $f$ est strictement monotone.
Montrer qu'il n'existe aucune fonction continue $f : ℝ \to ℝ$ telle que $f (f (x)) = - x$ pour tout $x \in ℝ$ .
(a) Existe-t-il une bijection continue de $[0, 1]$ sur $] 0, 1 [$ ? (b) Existe-t-il une bijection continue de $] 0, 1 [$ sur $[0, 1]$ ? (c) Montrer que $x \mapsto \sin^{2} (2 π x)$ est une surjection continue de $] 0, 1 [$ sur $[0, 1]$ .

Voir le corrigé

1.(a) Par injectivité, $f (a)$ , $f (b)$ , $f (c)$ sont deux à deux distincts. Supposons d'abord $f (a) < f (c)$ et, par l'absurde, que $f (b) \notin] f (a), f (c) [$ .

Si $f (b) > f (c)$ : alors $f (a) < f (c) < f (b)$ ; le TVI appliqué à $f$ continue sur $[a, b]$ fournit $d \in] a, b [$ avec $f (d) = f (c)$ . Or $d < b < c$ , donc $d \neq c$ : contradiction avec l'injectivité.
Si $f (b) < f (a)$ : alors $f (b) < f (a) < f (c)$ ; le TVI sur $[b, c]$ fournit $d \in] b, c [$ avec $f (d) = f (a)$ , et $d \neq a$ : contradiction.

Donc $f (a) < f (b) < f (c)$ . Si $f (a) > f (c)$ , on applique ce qui précède à $- f$ (continue et injective) : $f (a) > f (b) > f (c)$ .

1.(b) D'après (a), pour $a < b < c$ dans $I$ : $σ (a, b) = σ (b, c) = σ (a, c)$ (les trois valeurs sont rangées dans le même ordre). Soient $x < y$ et $x^{'} < y^{'}$ dans $I$ , et $m = \min (x, x^{'})$ , $M = \max (y, y^{'})$ ; on a $m \leq x < y \leq M$ . Si $m < x$ , la règle appliquée à $m < x < y$ donne $σ (x, y) = σ (m, y)$ ; si $y < M$ , appliquée à $m < y < M$ , elle donne $σ (m, y) = σ (m, M)$ . Dans tous les cas $σ (x, y) = σ (m, M)$ , et de même $σ (x^{'}, y^{'}) = σ (m, M)$ . Le signe est donc le même pour tous les couples : s'il vaut $+$ , $f$ est strictement croissante ; s'il vaut $-$ , strictement décroissante.

2. Supposons qu'une telle $f$ existe. Si $f (x) = f (y)$ , alors $- x = f (f (x)) = f (f (y)) = - y$ : $f$ est injective. Continue et injective sur l'intervalle $ℝ$ , elle est strictement monotone (question 1). Si $f$ est strictement croissante, $f \circ f$ l'est aussi ; si $f$ est strictement décroissante, $f \circ f$ est strictement croissante (composée de deux fonctions décroissantes). Dans les deux cas $f \circ f$ est strictement croissante, alors que $x \mapsto - x$ est strictement décroissante : contradiction. Aucune fonction continue ne convient. (Il en existe de non continues, construites par morceaux.)

3.(a) Non. Si $f$ est continue sur le segment $[0, 1]$ , $f ([0, 1])$ est un segment $[m, M]$ (bornes atteintes et TVI, fiche §9) : il contient son maximum, alors que $] 0, 1 [$ n'a pas de maximum.

3.(b) Non. Une bijection continue de $] 0, 1 [$ sur $[0, 1]$ serait injective, donc strictement monotone (question 1), disons croissante (sinon on remplace $f$ par $1 - f$ ). Mais alors, pour tout $x \in] 0, 1 [$ , $f (x) < f ⁣ (\frac{x + 1}{2})$ : $f$ n'atteint jamais sa borne supérieure, donc $1 = \max [0, 1]$ n'a pas d'antécédent. Contradiction.

3.(c) $s (x) = \sin^{2} (2 π x)$ est continue à valeurs dans $[0, 1]$ . On a $s ⁣ (\frac{1}{4}) = \sin^{2} \frac{π}{2} = 1$ et $s ⁣ (\frac{1}{2}) = \sin^{2} π = 0$ . Sur le segment $[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}] \subset] 0, 1 [$ , le TVI montre que $s$ prend toutes les valeurs de $[0, 1]$ : $s (] 0, 1 [) = [0, 1]$ . (Elle n'est pas injective, ce qui est cohérent avec (b).)

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Synthèse, niveau concours10 points

9. Problème : l'équation $f (x + y) = f (x) + f (y)$

On note $𝒜$ l'ensemble des fonctions $f : ℝ \to ℝ$ telles que $f (x + y) = f (x) + f (y)$ pour tous réels $x, y$ . Pour $f \in 𝒜$ , on pose $a = f (1)$ .

Partie A — Le comportement sur $ℚ$ . Soit $f \in 𝒜$ .

Calculer $f (0)$ , puis établir l'imparité de $f$ .
Montrer que $f (n x) = n f (x)$ pour tous $x \in ℝ$ et $n \in ℤ$ .
En déduire que $f (r x) = r f (x)$ pour tout $r \in ℚ$ et tout $x \in ℝ$ , puis que $f (r) = a r$ pour tout $r \in ℚ$ .

Partie B — Une seule hypothèse de régularité suffit. Soit $f \in 𝒜$ .

On suppose $f$ continue en un point $x_{0}$ . Montrer que $f$ est continue en $0$ , puis en tout point de $ℝ$ .
En déduire, sous l'hypothèse de 4, que $f (x) = a x$ pour tout $x \in ℝ$ .
On suppose seulement $f$ croissante. Pour $x \in ℝ$ et $n \geq 1$ , on pose $r_{n} = \frac{E (n x)}{n}$ . Montrer que $a r_{n} \leq f (x) \leq a (r_{n} + \frac{1}{n})$ , et conclure que $f (x) = a x$ .
On suppose seulement $f$ bornée sur $[0, 1]$ , par un réel $B$ . Montrer que $∣ f (x) ∣ \leq \frac{B}{n}$ pour $n \geq 1$ et $∣ x ∣ \leq \frac{1}{n}$ . En déduire que $f (x) = a x$ pour tout $x$ .

Partie C — Applications.

Déterminer les fonctions continues $g : ℝ \to] 0, + \infty [$ telles que $g (x + y) = g (x) g (y)$ pour tous $x, y$ .
Déterminer les fonctions continues $h :] 0, + \infty [\to ℝ$ telles que $h (x y) = h (x) + h (y)$ pour tous $x, y > 0$ .
Déterminer les fonctions continues $ψ : ℝ \to ℝ$ telles que $ψ (x + y) = ψ (x) + ψ (y) + 2 x y$ pour tous $x, y$ .

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1. Avec $x = y = 0$ : $f (0) = 2 f (0)$ , donc $f (0) = 0$ . Avec $y = - x$ : $0 = f (0) = f (x) + f (- x)$ , donc $f (- x) = - f (x)$ .

2. Pour $n \in ℕ$ , par récurrence : $f (0 \cdot x) = 0$ , et si $f (n x) = n f (x)$ , alors $f ((n + 1) x) = f (n x) + f (x) = (n + 1) f (x)$ . Pour $n < 0$ , $f (n x) = - f ((- n) x) = - (- n) f (x) = n f (x)$ par imparité.

3. Soit $r = \frac{p}{q}$ avec $p \in ℤ$ , $q \in ℕ^{*}$ . D'après 2, $q f ⁣ (\frac{p}{q} x) = f (p x) = p f (x)$ , donc $f (r x) = r f (x)$ . Avec $x = 1$ : $f (r) = a r$ .

4. Soit $(h_{n})$ une suite de limite $0$ . Alors $x_{0} + h_{n} \to x_{0}$ et, par continuité en $x_{0}$ , $f (x_{0} + h_{n}) \to f (x_{0})$ . Or $f (h_{n}) = f (x_{0} + h_{n}) - f (x_{0}) \to 0 = f (0)$ : par la caractérisation séquentielle, $f$ est continue en $0$ . Pour $x \in ℝ$ et $h_{n} \to 0$ : $f (x + h_{n}) = f (x) + f (h_{n}) \to f (x)$ ; $f$ est continue en $x$ .

5. Soit $x \in ℝ$ . Par densité de $ℚ$ dans $ℝ$ , il existe une suite de rationnels $(q_{n})$ de limite $x$ (par exemple $q_{n} = \frac{E (n x)}{n}$ ). Par continuité de $f$ en $x$ : $f (q_{n}) \to f (x)$ ; mais $f (q_{n}) = a q_{n} \to a x$ . Par unicité de la limite, $f (x) = a x$ .

6. $f$ croissante donne $a = f (1) \geq f (0) = 0$ . Par définition de $E$ , $E (n x) \leq n x < E (n x) + 1$ , d'où $r_{n} \leq x < r_{n} + \frac{1}{n}$ , deux rationnels. La croissance de $f$ et la partie A donnent $a r_{n} = f (r_{n}) \leq f (x) \leq f ⁣ (r_{n} + \frac{1}{n}) = a (r_{n} + \frac{1}{n})$ . Or $r_{n} \to x$ (car $x - \frac{1}{n} < r_{n} \leq x$ ), donc les deux encadrants tendent vers $a x$ : par passage à la limite, $f (x) = a x$ .

7. Par imparité, $∣ f ∣ \leq B$ sur $[- 1, 1]$ . Si $∣ x ∣ \leq \frac{1}{n}$ , alors $n x \in [- 1, 1]$ et $n ∣ f (x) ∣ = ∣ f (n x) ∣ \leq B$ . Soit $ε > 0$ ; pour $n \geq 1$ tel que $\frac{B}{n} \leq ε$ et $α = \frac{1}{n}$ : $∣ x ∣ \leq α \Rightarrow ∣ f (x) - f (0) ∣ \leq ε$ . Donc $f$ est continue en $0$ , et la question 5 (avec $x_{0} = 0$ ) donne $f (x) = a x$ . (Sans aucune hypothèse de régularité, il existe des éléments de $𝒜$ qui ne sont pas linéaires, mais on ne sait pas les décrire explicitement.)

8. Analyse. Si $g$ convient, $f = \ln \circ g$ est définie sur $ℝ$ (car $g > 0$ ), continue (composée), et $f (x + y) = \ln (g (x) g (y)) = f (x) + f (y)$ . Donc $f (x) = b x$ avec $b = f (1) = \ln g (1)$ , et $g (x) = e^{b x}$ . Synthèse. Pour tout $b \in ℝ$ , $x \mapsto e^{b x}$ est continue, strictement positive, et $e^{b (x + y)} = e^{b x} e^{b y}$ . Les solutions sont les fonctions $x \mapsto e^{b x}, b \in ℝ$ .

9. Analyse. Si $h$ convient, $f (t) = h (e^{t})$ définit une fonction continue sur $ℝ$ avec $f (t + s) = h (e^{t} e^{s}) = f (t) + f (s)$ ; donc $f (t) = c t$ avec $c = h (e)$ , et pour $x > 0$ , $h (x) = f (\ln x) = c \ln x$ . Synthèse : $c \ln (x y) = c \ln x + c \ln y$ . Solutions : $x \mapsto c \ln x, c \in ℝ$ .

10. Posons $f (x) = ψ (x) - x^{2}$ , continue. Alors $f (x + y) = ψ (x) + ψ (y) + 2 x y - (x + y)^{2} = ψ (x) - x^{2} + ψ (y) - y^{2} = f (x) + f (y)$ . Donc $f (x) = a x$ et $ψ (x) = x^{2} + a x$ . Réciproquement, ces fonctions conviennent : $(x + y)^{2} + a (x + y) = x^{2} + a x + y^{2} + a y + 2 x y$ . Solutions : $x \mapsto x^{2} + a x, a \in ℝ$ .

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Synthèse, niveau concours10 points

10. Problème : continuité uniforme, croissance et approximation

Format concours : questions numérotées en continu. Barème indicatif : partie I 3 points, partie II 3 points, partie III 4 points.

Partie I — Une fonction uniformément continue sur $ℝ$ croît au plus linéairement. Soit $f : ℝ \to ℝ$ uniformément continue et $α > 0$ associé à $ε = 1$ dans la définition.

▶ Q.1 Soit $x \in ℝ$ et $n = E ⁣ (\frac{∣ x ∣}{α}) + 1$ . En considérant les points $x_{k} = \frac{k x}{n}$ ( $0 \leq k \leq n$ ), montrer que $∣ f (x) - f (0) ∣ \leq n$ .

▶ Q.2 En déduire qu'il existe deux réels $A, B \geq 0$ tels que $∣ f (x) ∣ \leq A ∣ x ∣ + B$ pour tout $x \in ℝ$ .

▶ Q.3 Retrouver ainsi que $x \mapsto x^{2}$ n'est pas uniformément continue sur la droite réelle, puis établir le même résultat pour $\exp$ .

Partie II — Un critère de limite nulle en $+ \infty$ . Soit $f : [0, + \infty [\to ℝ$ uniformément continue telle que, pour tout réel $c > 0$ , $\lim_{n \to + \infty} f (n c) = 0$ ( $n$ entier).

▶ Q.4 Soit $ε > 0$ et $α > 0$ associé à $ε$ par la continuité uniforme. Justifier l'existence d'un entier $N$ tel que $∣ f (n α) ∣ \leq ε$ pour tout $n \geq N$ .

▶ Q.5 Montrer que $∣ f (x) ∣ \leq 2 ε$ pour tout $x \geq N α$ , puis que $\lim_{x \to + \infty} f (x) = 0$ .

▶ Q.6 Soit $s (x) = \sin^{2} (π x)$ . Montrer que $∣ s (x) - s (y) ∣ \leq π ∣ x - y ∣$ , que $s (n) \to 0$ , et que $s$ n'a pas de limite en $+ \infty$ . Pourquoi cela ne contredit-il pas la partie II ?

Partie III — Approximation par des fonctions affines par morceaux. Soit $f : [0, 1] \to ℝ$ continue. Pour $n \geq 1$ , on note $φ_{n}$ la fonction affine sur chaque segment $[\frac{k}{n}, \frac{k + 1}{n}]$ ( $0 \leq k \leq n - 1$ ) qui coïncide avec $f$ aux points $\frac{k}{n}$ .

▶ Q.7 Donner l'expression de $φ_{n} (x)$ pour $x \in [\frac{k}{n}, \frac{k + 1}{n}]$ et justifier que $φ_{n}$ est continue sur $[0, 1]$ .

▶ Q.8 Pour $x \in [\frac{k}{n}, \frac{k + 1}{n}]$ , montrer que $∣ f (x) - φ_{n} (x) ∣ \leq \max (∣ f (x) - f ⁣ (\frac{k}{n}) ∣, ∣ f (x) - f ⁣ (\frac{k + 1}{n}) ∣)$ .

▶ Q.9 Justifier l'existence de $δ_{n} = \max_{[0, 1]} ∣ f - φ_{n} ∣$ et montrer, à l'aide du théorème de Heine, que $δ_{n} \to 0$ .

▶ Q.10 Exemple : $f (x) = x^{2}$ . Montrer que $φ_{n} (x) - x^{2} = (x - \frac{k}{n}) (\frac{k + 1}{n} - x)$ sur $[\frac{k}{n}, \frac{k + 1}{n}]$ , puis que $δ_{n} = \frac{1}{4 n^{2}}$ .

▶ Q.11 Toujours pour $f (x) = x^{2}$ , déterminer le plus petit entier $n$ tel que $δ_{n} \leq 10^{- 4}$ .

▶ Q.12 On suppose maintenant $f$ $k$ -lipschitzienne sur $[0, 1]$ . Montrer que $δ_{n} \leq \frac{k}{n}$ .

Voir le corrigé

Q.1 Si $x = 0$ , c'est clair. Sinon, $n > \frac{∣ x ∣}{α}$ , donc $∣ x_{k + 1} - x_{k} ∣ = \frac{∣ x ∣}{n} < α$ et, par le choix de $α$ , $∣ f (x_{k + 1}) - f (x_{k}) ∣ \leq 1$ . Par télescopage et inégalité triangulaire : $∣ f (x) - f (0) ∣ = ∣ \sum_{k = 0}^{n - 1} (f (x_{k + 1}) - f (x_{k})) ∣ \leq \sum_{k = 0}^{n - 1} 1 = n .$

Q.2 $n \leq \frac{∣ x ∣}{α} + 1$ , donc $∣ f (x) ∣ \leq ∣ f (0) ∣ + ∣ f (x) - f (0) ∣ \leq \frac{1}{α} ∣ x ∣ + ∣ f (0) ∣ + 1$ : $A = \frac{1}{α}$ et $B = ∣ f (0) ∣ + 1$ conviennent.

Q.3 Si $x \mapsto x^{2}$ était uniformément continue, on aurait $x^{2} \leq A ∣ x ∣ + B$ pour tout $x$ , donc $\frac{x^{2}}{A ∣ x ∣ + B} \leq 1$ , alors que ce quotient tend vers $+ \infty$ en $+ \infty$ . Même raisonnement pour $\exp$ : $\frac{e^{x}}{A x + B} \to + \infty$ par croissances comparées. Aucune des deux n'est uniformément continue sur $ℝ$ .

Q.4 C'est l'hypothèse appliquée au réel $c = α > 0$ : $f (n α) \to 0$ , d'où $N$ .

Q.5 Soit $x \geq N α$ et $n = E ⁣ (\frac{x}{α})$ . Alors $n \leq \frac{x}{α} < n + 1$ , donc $n \geq N$ (car $\frac{x}{α} \geq N$ et $N$ est entier) et $0 \leq x - n α < α$ . Par continuité uniforme, $∣ f (x) - f (n α) ∣ \leq ε$ , et par Q.4, $∣ f (n α) ∣ \leq ε$ ; donc $∣ f (x) ∣ \leq 2 ε$ . Comme $ε$ est arbitraire, $\lim_{+ \infty} f = 0$ .

Q.6 $s (x) - s (y) = \sin^{2} (π x) - \sin^{2} (π y) = \sin (π x - π y) \sin (π x + π y)$ (formule $\sin^{2} p - \sin^{2} q = \sin (p - q) \sin (p + q)$ ), donc $∣ s (x) - s (y) ∣ \leq ∣ \sin (π (x - y)) ∣ \leq π ∣ x - y ∣$ : $s$ est lipschitzienne, donc uniformément continue. $s (n) = 0 \to 0$ , mais $s ⁣ (n + \frac{1}{2}) = 1$ : par la caractérisation séquentielle, $s$ n'a pas de limite en $+ \infty$ . Pas de contradiction : la partie II suppose $f (n c) \to 0$ pour tout $c > 0$ , et ici $s ⁣ (\frac{n}{2})$ vaut $1$ pour $n$ impair, donc ne tend pas vers $0$ (cas $c = \frac{1}{2}$ ).

Q.7 Notons $p = \frac{k}{n}$ , $q = \frac{k + 1}{n}$ . Pour $x \in [p, q]$ : $φ_{n} (x) = f (p) + n (x - p) (f (q) - f (p)) = (1 - t) f (p) + t f (q), t = n (x - p) \in [0, 1] .$ Sur chaque segment, $φ_{n}$ est affine, donc continue ; aux points $\frac{k}{n}$ communs à deux segments, les deux expressions valent $f ⁣ (\frac{k}{n})$ , donc les limites à gauche et à droite coïncident avec la valeur : $φ_{n}$ est continue sur $[0, 1]$ .

Q.8 $φ_{n} (x) = (1 - t) f (p) + t f (q)$ avec $t \in [0, 1]$ : c'est un réel compris entre $f (p)$ et $f (q)$ . Donc $f (x) - φ_{n} (x)$ est compris entre $f (x) - f (p)$ et $f (x) - f (q)$ , et sa valeur absolue est au plus le maximum des deux valeurs absolues.

Q.9 $∣ f - φ_{n} ∣$ est continue sur le segment $[0, 1]$ : elle atteint sa borne supérieure $δ_{n}$ . Soit $ε > 0$ ; par le théorème de Heine, $f$ est uniformément continue sur $[0, 1]$ : il existe $α > 0$ tel que $∣ x - y ∣ \leq α \Rightarrow ∣ f (x) - f (y) ∣ \leq ε$ . Pour $n \geq \frac{1}{α}$ et $x \in [p, q]$ , on a $∣ x - p ∣ \leq \frac{1}{n} \leq α$ et $∣ x - q ∣ \leq α$ , donc Q.8 donne $∣ f (x) - φ_{n} (x) ∣ \leq ε$ . Ainsi $0 \leq δ_{n} \leq ε$ pour $n \geq \frac{1}{α}$ : $δ_{n} \to 0$ .

Q.10 La corde de la parabole entre $p$ et $q$ est $x \mapsto (p + q) x - p q$ (elle vaut $p^{2}$ en $p$ et $q^{2}$ en $q$ ), donc $φ_{n} (x) - x^{2} = - (x^{2} - (p + q) x + p q) = (x - p) (q - x) \geq 0$ . Avec $x = \frac{p + q}{2} + u$ , $∣ u ∣ \leq \frac{1}{2 n}$ : $(x - p) (q - x) = \frac{1}{4 n^{2}} - u^{2} \leq \frac{1}{4 n^{2}}$ , égalité au milieu du segment. Donc $δ_{n} = \frac{1}{4 n^{2}}$ .

Q.11 $\frac{1}{4 n^{2}} \leq 10^{- 4} ⟺ n^{2} \geq 2500 ⟺ n \geq 50$ : le plus petit entier est $n = 50$ .

Q.12 Pour $x \in [p, q]$ : $∣ f (x) - f (p) ∣ \leq k (x - p) \leq \frac{k}{n}$ et $∣ f (x) - f (q) ∣ \leq k (q - x) \leq \frac{k}{n}$ . Par Q.8, $∣ f (x) - φ_{n} (x) ∣ \leq \frac{k}{n}$ pour tout $x \in [0, 1]$ , donc $δ_{n} \leq \frac{k}{n}$ . (Pour $x^{2}$ , $2$ -lipschitzienne sur $[0, 1]$ , la borne $\frac{2}{n}$ est bien moins bonne que la valeur exacte $\frac{1}{4 n^{2}}$ .)

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Synthèse, niveau concours10 points

11. Le théorème du point fixe

Classique du programme : théorème du point fixe.

Soit $[a, b]$ un segment ( $a < b$ ). Un point fixe d'une application $f : [a, b] \to [a, b]$ est un réel $x$ tel que $f (x) = x$ . Seules des études de variations (chapitre 1) servent, aux questions C.2 et C.3 ; aucun théorème de dérivabilité n'est utilisé.

Partie A — Existence (3 points)

Soit $f : [a, b] \to [a, b]$ continue. En étudiant $g (x) = f (x) - x$ , montrer que $f$ possède au moins un point fixe. (1 point)
Les hypothèses sont-elles nécessaires ? Donner (a) une fonction continue de $] 0, 1 [$ dans $] 0, 1 [$ sans point fixe ; (b) une fonction de $[0, 1]$ dans $[0, 1]$ , non continue, sans point fixe. (2 points)

Partie B — Les fonctions continues telles que $f \circ f = f$ (3 points)

Dans cette partie, $f : [a, b] \to [a, b]$ est continue et vérifie $f \circ f = f$ . On note $F$ l'ensemble de ses points fixes.

Montrer que $F = f ([a, b])$ . (1 point)
En déduire que $F$ est un segment $[c, d]$ avec $a \leq c \leq d \leq b$ , que $f (x) = x$ pour $x \in [c, d]$ et que $f (x) \in [c, d]$ pour tout $x \in [a, b]$ . (1 point)
Montrer que si $f$ est injective, alors $f = i d$ , et que si $f (a) = a$ et $f (b) = b$ , alors $f = i d$ . Vérifier que $f (x) = \min (x, \frac{1}{2})$ convient sur $[0, 1]$ sans être l'identité. (1 point)

Partie C — Applications strictement contractantes (4 points)

Soit $f : [a, b] \to [a, b]$ telle que $∣ f (x) - f (y) ∣ < ∣ x - y ∣$ pour tous $x \neq y$ de $[a, b]$ .

Montrer que $f$ est continue et possède exactement un point fixe. (1 point)
Un exemple. Soit $f = \cos$ sur $[0, 1]$ . Montrer que $\cos ([0, 1]) \subset [0, 1]$ , puis que $∣ \cos x - \cos y ∣ \leq \sin (1) ∣ x - y ∣$ pour $x, y \in [0, 1]$ (on utilisera $\cos x - \cos y = - 2 \sin \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2}$ et $\sin t \leq t$ pour $t \geq 0$ ) et que $\sin 1 < 1$ . Conclure que l'équation $\cos x = x$ possède une unique solution $α \in [0, 1]$ . (2 points)
Soit $(x_{n})$ définie par $x_{0} \in [0, 1]$ et $x_{n + 1} = \cos x_{n}$ . Montrer que $∣ x_{n} - α ∣ \leq (\sin 1)^{n} ∣ x_{0} - α ∣$ et que $x_{n} \to α$ . Montrer enfin que $\frac{π}{6} < α < \frac{π}{4}$ . (1 point)

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A.1. La fonction $g : x \mapsto f (x) - x$ est continue sur $[a, b]$ . Comme $f (a) \in [a, b]$ , $g (a) = f (a) - a \geq 0$ ; comme $f (b) \leq b$ , $g (b) = f (b) - b \leq 0$ . Le théorème des valeurs intermédiaires (fiche §8) s'applique à $g$ , qui s'annule donc en un point de $[a, b]$ : $f a un point fixe$ .

A.2. (a) $f (x) = x^{2}$ de $] 0, 1 [$ dans $] 0, 1 [$ : continue, et $x^{2} = x$ équivaut à $x \in {0, 1}$ , donc aucun point fixe dans $] 0, 1 [$ (l'intervalle n'est pas fermé). (b) $f (x) = 1$ pour $x \in [0, 1 [$ et $f (1) = 0$ : si $x < 1$ , $f (x) = 1 \neq x$ ; $f (1) = 0 \neq 1$ : aucun point fixe (la fonction n'est pas continue en $1$ ).

B.1. Si $x \in F$ , alors $x = f (x) \in f ([a, b])$ . Réciproquement, si $y = f (x)$ avec $x \in [a, b]$ , alors $f (y) = f (f (x)) = f (x) = y$ , donc $y \in F$ . Donc $F = f ([a, b])$ .

B.2. Puisque $f$ est continue et que $[a, b]$ est un segment, l'image de $f$ est un segment $[c, d]$ , avec $c = \min f$ et $d = \max f$ (fiche §9), contenu dans $[a, b]$ puisque $f$ est à valeurs dans $[a, b]$ . Par B.1, $F = [c, d]$ : tout $x \in [c, d]$ est fixe, $f (x) = x$ , et tout $f (x)$ appartient à $f ([a, b]) = [c, d]$ .

B.3. Si $f$ est injective, $f (f (x)) = f (x)$ entraîne $f (x) = x$ pour tout $x$ : $f = i d$ . Si $f (a) = a$ et $f (b) = b$ , alors $a, b \in F = [c, d]$ , donc $c \leq a$ et $d \geq b$ , d'où $c = a$ , $d = b$ , $F = [a, b]$ et $f (x) = x$ sur $[a, b]$ . Enfin $f (x) = \min (x, \frac{1}{2})$ est continue de $[0, 1]$ dans $[0, 1]$ , et $f (f (x)) = \min (\min (x, \frac{1}{2}), \frac{1}{2}) = f (x)$ ; elle n'est pas l'identité ( $f (1) = \frac{1}{2}$ ), ni injective ( $f (\frac{1}{2}) = f (1)$ ), et $F = [0, \frac{1}{2}] = f ([0, 1])$ .

C.1. L'hypothèse donne $∣ f (x) - f (y) ∣ \leq ∣ x - y ∣$ pour tous $x, y$ (avec égalité triviale si $x = y$ ) : $f$ est 1-lipschitzienne, donc continue. Par A.1, elle a un point fixe. S'il y en avait deux, $x \neq y$ avec $f (x) = x$ et $f (y) = y$ , on aurait $∣ x - y ∣ = ∣ f (x) - f (y) ∣ < ∣ x - y ∣$ , absurde. Donc $exactement un point fixe$ .

C.2. Inclusion. $\cos$ est décroissante sur $[0, π]$ et $1 < \frac{π}{2} \leq π$ (car $π > 3 > 2$ ), donc pour $x \in [0, 1]$ : $\cos 1 \leq \cos x \leq \cos 0 = 1$ , et $\cos 1 > \cos \frac{π}{2} = 0$ . Ainsi $\cos ([0, 1]) \subset] 0, 1] \subset [0, 1]$ . Contraction. Soient $x, y \in [0, 1]$ . La formule donne $∣ \cos x - \cos y ∣ = 2 ∣ \sin \frac{x + y}{2} ∣ ∣ \sin \frac{x - y}{2} ∣$ . Comme $\frac{x + y}{2} \in [0, 1] \subset [0, \frac{π}{2}]$ où $\sin$ est croissante et positive, $0 \leq \sin \frac{x + y}{2} \leq \sin 1$ . D'autre part $φ (t) = t - \sin t$ a pour dérivée $1 - \cos t \geq 0$ et $φ (0) = 0$ , donc $\sin t \leq t$ pour $t \geq 0$ , et $∣ \sin u ∣ \leq ∣ u ∣$ pour tout réel $u$ ( $\sin$ est impaire). Donc $∣ \sin \frac{x - y}{2} ∣ \leq \frac{∣ x - y ∣}{2}$ et $∣ \cos x - \cos y ∣ \leq \sin (1) ∣ x - y ∣$ . Comme $\sin$ est strictement croissante sur $[0, \frac{π}{2}]$ et $1 < \frac{π}{2}$ , $\sin 1 < \sin \frac{π}{2} = 1$ . Posons $k = \sin 1 \in [0, 1 [$ : pour $x \neq y$ , $∣ \cos x - \cos y ∣ \leq k ∣ x - y ∣ < ∣ x - y ∣$ . Par C.1, $\cos$ (qui envoie $[0, 1]$ dans lui-même) a un unique point fixe $α \in [0, 1]$ : l'équation $\cos x = x$ a une unique solution dans $[0, 1]$ .

C.3. Par récurrence, $x_{n} \in [0, 1]$ pour tout $n$ (C.2). Alors $∣ x_{n + 1} - α ∣ = ∣ \cos x_{n} - \cos α ∣ \leq k ∣ x_{n} - α ∣$ , d'où $∣ x_{n} - α ∣ \leq k^{n} ∣ x_{0} - α ∣ \to 0$ car $0 \leq k < 1$ : $x_{n} \to α$ . Localisation. $h (x) = \cos x - x$ est strictement décroissante sur $[0, 1]$ (dérivée $- \sin x - 1 < 0$ ). On a $h (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{π}{6}$ ; comme $π < 4$ , $\frac{π}{6} < \frac{2}{3}$ , et $\frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{2}{3}$ car $3 \sqrt{3} > 4$ (leurs carrés : $27 > 16$ ) : $h (\frac{π}{6}) > 0$ . Et $h (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{π}{4} < 0$ car $2 \sqrt{2} < 3 < π$ (carrés : $8 < 9$ ). Comme $\frac{π}{4} < 1$ , les changements de signe de $h$ et sa stricte décroissance placent $α$ dans $] \frac{π}{6}, \frac{π}{4} [$ .

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Révisions prépa

Analyse · 1re année

Limites et continuité

Application du cours6 points

1. Calculs de limites

Déterminer, si elles existent, les limites suivantes.

$\lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} + x + 1} - x)$ .
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (3 x)}{x \sin x}$ .
$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - 1}{\ln (1 + 3 x)}$ .
$\lim_{x \to + \infty} {(1 + \frac{2}{x})}^{x}$ .
$\lim_{x \to + \infty} \frac{E (2 x) - E (x)}{x}$ .
$\lim_{x \to + \infty} \sin \sqrt{x}$ .

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Après avoir comparé avec le corrigé :

Application du cours5 points

2. Continuité de fonctions construites avec la partie entière

On considère les fonctions définies sur $ℝ$ par $f (x) = E (x) \sin (π x), g (x) = E (x) \cos (π x), k (x) = (x - E (x)) (x - E (x) - 1) .$

Montrer que $f$ est continue sur $ℝ$ .
Déterminer les points où $g$ est continue. En un point de discontinuité, $g$ est-elle continue à droite ? à gauche ?
(a) Montrer que $k$ est périodique de période $1$ et continue sur $ℝ$ . (b) Déterminer $k (ℝ)$ .

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Valeur : $f (n) = n \sin (n π) = 0$ .
À droite : pour $x \in] n, n + 1 [$ , $f (x) = n \sin (π x) \to n \sin (n π) = 0$ quand $x \to n^{+}$ .
À gauche : pour $x \in] n - 1, n [$ , $E (x) = n - 1$ et $f (x) = (n - 1) \sin (π x) \to (n - 1) \sin (n π) = 0$ .

Les limites à gauche et à droite valent $f (n)$ : $f$ est continue en $n$ . Donc $f est continue sur ℝ$ , bien que $E$ ne le soit pas.

Après avoir comparé avec le corrigé :

Application du cours5 points

3. Prolongements par continuité

$f (x) = (1 + x)^{1 / x}$ pour $x \in] - 1, 0 [\cup] 0, + \infty [$ . Prouver que $f$ admet un prolongement continu en $0$ .
$g (x) = \sin x \cdot \ln ∣ x ∣$ pour $x \neq 0$ . Même question.
$h (x) = e^{- 1 / x}$ pour $x \neq 0$ . $h$ est-elle prolongeable par continuité en $0$ ? Et sa restriction à $] 0, + \infty [$ ?
Pour $a \in ℝ$ , on pose $φ_{a} (x) = \frac{\sin (a x)}{x}$ si $x \neq 0$ et $φ_{a} (0) = 2$ . Pour quelles valeurs de $a$ la fonction $φ_{a}$ est-elle continue sur $ℝ$ ?

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4. Sur $ℝ^{*}$ , $φ_{a}$ est continue (quotient de fonctions continues, dénominateur non nul) ; tout se joue en $0$ .

Si $a \neq 0$ : $φ_{a} (x) = a \cdot \frac{\sin (a x)}{a x} \to a$ (composition avec $\frac{\sin u}{u} \to 1$ ).
Si $a = 0$ : $φ_{0} (x) = 0 \to 0$ .

Dans les deux cas $\lim_{0} φ_{a} = a$ , et $φ_{a}$ est continue en $0$ si et seulement si $a = φ_{a} (0) = 2$ . Réponse : $a = 2$ .

Après avoir comparé avec le corrigé :

Application du cours6 points

4. Valeurs intermédiaires

(a) Montrer que l'équation $\cos x = x$ admet une unique solution $α$ dans $[0, \frac{π}{2}]$ . (b) Sans calculatrice, montrer que $\frac{π}{8} < α < \frac{π}{4}$ .
Soit $f : [0, 1] \to ℝ$ continue telle que $f (0) = f (1)$ . Prouver l'existence d'un réel $c \in [0, \frac{1}{2}]$ vérifiant $f ⁣ (c + \frac{1}{2}) = f (c)$ .
Soit $P (x) = x^{3} - 3 x + 1$ . (a) Montrer que $P$ a exactement trois racines réelles, situées dans $] - 2, - 1 [$ , $] 0, 1 [$ et $] 1, 2 [$ . (b) En posant $x = 2 \cos θ$ , montrer que ces racines sont $2 \cos \frac{2 π}{9}$ , $2 \cos \frac{4 π}{9}$ et $2 \cos \frac{8 π}{9}$ , et dire laquelle est dans chaque intervalle.

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$\frac{2 π}{9} \in] 0, \frac{π}{3} [$ , donc $\cos \frac{2 π}{9} \in] \frac{1}{2}, 1 [$ et $2 \cos \frac{2 π}{9} \in] 1, 2 [$ ;
$\frac{4 π}{9} \in] \frac{π}{3}, \frac{π}{2} [$ , donc $2 \cos \frac{4 π}{9} \in] 0, 1 [$ ;
$\frac{8 π}{9} \in] \frac{2 π}{3}, π [$ , donc $\cos \frac{8 π}{9} \in] - 1, - \frac{1}{2} [$ et $2 \cos \frac{8 π}{9} \in] - 2, - 1 [$ .

D'après (a), ce sont les trois racines de $P$ .

Après avoir comparé avec le corrigé :

Niveau devoir7 points

5. Un maximum sur un intervalle non borné

Soit $f : [0, + \infty [\to ℝ$ continue telle que $f (0) = 0$ , $f (x) > 0$ pour tout $x > 0$ , et $\lim_{x \to + \infty} f (x) = 0$ .

Justifier l'existence d'un réel $A > 1$ tel que $f (x) \leq \frac{1}{2} f (1)$ pour tout $x \geq A$ .
En déduire que $f$ est bornée et atteint sa borne supérieure $M$ en un point $x_{0} > 0$ .
Montrer que tout $y \in] 0, M [$ possède au moins deux antécédents par $f$ .
Exemple : $f (x) = \frac{x}{1 + x^{2}}$ . Vérifier les hypothèses, calculer $M$ et $x_{0}$ , puis donner les deux antécédents de $y \in] 0, \frac{1}{2} [$ .
La fonction $u (x) = \frac{x}{1 + x}$ est continue et bornée sur $[0, + \infty [$ . Atteint-elle sa borne supérieure ? Quelle hypothèse de l'énoncé n'est pas satisfaite ?

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1. $f (1) > 0$ , donc $ε = \frac{1}{2} f (1) > 0$ . Comme $f \to 0$ en $+ \infty$ , il existe $B$ tel que $x \geq B \Rightarrow f (x) \leq ε$ ; $A = \max (B, 2)$ convient, et $A > 1$ .

3. Soit $y \in] 0, M [$ .

Sur $[0, x_{0}]$ : $f$ continue, $f (0) = 0 < y < M = f (x_{0})$ ; le TVI donne $a \in] 0, x_{0} [$ avec $f (a) = y$ .
Sur $[x_{0}, + \infty [$ : comme $f \to 0 < y$ , il existe $C > x_{0}$ avec $f (C) < y$ . Sur $[x_{0}, C]$ , $f (C) < y < f (x_{0})$ ; le TVI donne $b \in] x_{0}, C [$ avec $f (b) = y$ .

On a $a < x_{0} < b$ : deux antécédents distincts.

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Niveau devoir7 points

6. Continuité uniforme

(a) Montrer que $∣ \sqrt{x} - \sqrt{y} ∣ \leq \sqrt{∣ x - y ∣}$ pour tous $x, y \geq 0$ . (b) En déduire que $x \mapsto \sqrt{x}$ est uniformément continue sur $[0, + \infty [$ . (c) Montrer qu'elle n'est pas lipschitzienne sur $[0, + \infty [$ .
(a) Soit $A > 0$ . Montrer que $x \mapsto x^{2}$ est lipschitzienne sur $[- A, A]$ . (b) Prouver que la continuité uniforme sur $ℝ$ tout entier échoue.
Soit $f$ continue sur $] 0, 1]$ . (a) On suppose que $f$ a une limite finie en $0$ . Montrer que $f$ est uniformément continue sur $] 0, 1]$ . (b) Réciproquement, on suppose $f$ uniformément continue sur $] 0, 1]$ . Soit $(x_{n})$ une suite de $] 0, 1]$ qui tend vers $0$ . Montrer que $(f (x_{n}))$ est une suite de Cauchy, donc qu'elle converge. (c) Montrer que la limite de $(f (x_{n}))$ ne dépend pas de la suite choisie, puis que $f$ a une limite finie en $0$ .
Applications : les fonctions $x \mapsto \sin \frac{1}{x}$ , $x \mapsto x \sin \frac{1}{x}$ et $x \mapsto \frac{1}{x}$ sont-elles uniformément continues sur $] 0, 1]$ ?

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2.(a) Pour $x, y \in [- A, A]$ : $∣ x^{2} - y^{2} ∣ = ∣ x + y ∣ ∣ x - y ∣ \leq 2 A ∣ x - y ∣$ : la fonction est $2 A$ -lipschitzienne, donc uniformément continue sur $[- A, A]$ .

Bilan : $f continue sur] 0, 1] est uniform \overset{ˊ}{e} ment continue ⟺ f a une limite finie en 0.$

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Niveau devoir7 points

7. Une bijection et sa réciproque explicite

Soit $f : ℝ \to ℝ$ , $f (x) = x^{3} + 3 x$ . On note $\sqrt[3]{}$ la réciproque de la bijection $x \mapsto x^{3}$ de $ℝ$ sur $ℝ$ .

Justifier que $f$ est bijective de $ℝ$ sur lui-même, et que $f^{- 1}$ est continue, strictement croissante et impaire.
Calculer $f^{- 1} (0)$ , $f^{- 1} (4)$ et $f^{- 1} (14)$ .
Soit $y \in ℝ$ . On pose $u = \sqrt[3]{\frac{y + \sqrt{y^{2} + 4}}{2}}$ et $v = \sqrt[3]{\frac{y - \sqrt{y^{2} + 4}}{2}}$ . Montrer que $u v = - 1$ et $u^{3} + v^{3} = y$ , puis que $f^{- 1} (y) = u + v$ .
Vérifier la formule de la question 3 pour $y = 4$ en calculant ${(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{3}$ .
Montrer que, pour $y \geq 0$ , $f^{- 1} (y) \leq \min (\sqrt[3]{y}, \frac{y}{3})$ .
Déterminer $\lim_{y \to + \infty} \frac{f^{- 1} (y)}{\sqrt[3]{y}}$ et $\lim_{y \to 0, y \neq 0} \frac{f^{- 1} (y)}{y}$ .

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2. $f (0) = 0$ , $f (1) = 4$ , $f (2) = 8 + 6 = 14$ , donc $f^{- 1} (0) = 0, f^{- 1} (4) = 1, f^{- 1} (14) = 2$ .

3. $\sqrt{y^{2} + 4} > ∣ y ∣$ , donc $\frac{y - \sqrt{y^{2} + 4}}{2} < 0 < \frac{y + \sqrt{y^{2} + 4}}{2}$ ; $u$ et $v$ sont bien définis.

$(u v)^{3} = u^{3} v^{3} = \frac{y^{2} - (y^{2} + 4)}{4} = - 1$ , et $\sqrt[3]{}$ étant une bijection, $u v = \sqrt[3]{- 1} = - 1$ .
$u^{3} + v^{3} = \frac{y + \sqrt{y^{2} + 4}}{2} + \frac{y - \sqrt{y^{2} + 4}}{2} = y$ .
Avec $s = u + v$ : $s^{3} = u^{3} + v^{3} + 3 u v (u + v) = y - 3 s$ , donc $f (s) = s^{3} + 3 s = y$ , c'est-à-dire $f^{- 1} (y) = u + v$ .

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Niveau devoir7 points

8. Continuité et injectivité

Soit $f$ continue et injective sur un intervalle $I$ . (a) Soient $a < b < c$ dans $I$ . Montrer que $f (b)$ est strictement compris entre $f (a)$ et $f (c)$ . (b) Pour $x < y$ dans $I$ , on note $σ (x, y)$ le signe de $f (y) - f (x)$ (non nul par injectivité). Déduire de (a) que $σ (x, y)$ ne dépend pas du couple choisi, puis que $f$ est strictement monotone.
Montrer qu'il n'existe aucune fonction continue $f : ℝ \to ℝ$ telle que $f (f (x)) = - x$ pour tout $x \in ℝ$ .
(a) Existe-t-il une bijection continue de $[0, 1]$ sur $] 0, 1 [$ ? (b) Existe-t-il une bijection continue de $] 0, 1 [$ sur $[0, 1]$ ? (c) Montrer que $x \mapsto \sin^{2} (2 π x)$ est une surjection continue de $] 0, 1 [$ sur $[0, 1]$ .

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1.(a) Par injectivité, $f (a)$ , $f (b)$ , $f (c)$ sont deux à deux distincts. Supposons d'abord $f (a) < f (c)$ et, par l'absurde, que $f (b) \notin] f (a), f (c) [$ .

Si $f (b) > f (c)$ : alors $f (a) < f (c) < f (b)$ ; le TVI appliqué à $f$ continue sur $[a, b]$ fournit $d \in] a, b [$ avec $f (d) = f (c)$ . Or $d < b < c$ , donc $d \neq c$ : contradiction avec l'injectivité.
Si $f (b) < f (a)$ : alors $f (b) < f (a) < f (c)$ ; le TVI sur $[b, c]$ fournit $d \in] b, c [$ avec $f (d) = f (a)$ , et $d \neq a$ : contradiction.

Donc $f (a) < f (b) < f (c)$ . Si $f (a) > f (c)$ , on applique ce qui précède à $- f$ (continue et injective) : $f (a) > f (b) > f (c)$ .

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Synthèse, niveau concours10 points

9. Problème : l'équation $f (x + y) = f (x) + f (y)$

On note $𝒜$ l'ensemble des fonctions $f : ℝ \to ℝ$ telles que $f (x + y) = f (x) + f (y)$ pour tous réels $x, y$ . Pour $f \in 𝒜$ , on pose $a = f (1)$ .

Partie A — Le comportement sur $ℚ$ . Soit $f \in 𝒜$ .

Calculer $f (0)$ , puis établir l'imparité de $f$ .
Montrer que $f (n x) = n f (x)$ pour tous $x \in ℝ$ et $n \in ℤ$ .
En déduire que $f (r x) = r f (x)$ pour tout $r \in ℚ$ et tout $x \in ℝ$ , puis que $f (r) = a r$ pour tout $r \in ℚ$ .

Partie B — Une seule hypothèse de régularité suffit. Soit $f \in 𝒜$ .

On suppose $f$ continue en un point $x_{0}$ . Montrer que $f$ est continue en $0$ , puis en tout point de $ℝ$ .
En déduire, sous l'hypothèse de 4, que $f (x) = a x$ pour tout $x \in ℝ$ .
On suppose seulement $f$ croissante. Pour $x \in ℝ$ et $n \geq 1$ , on pose $r_{n} = \frac{E (n x)}{n}$ . Montrer que $a r_{n} \leq f (x) \leq a (r_{n} + \frac{1}{n})$ , et conclure que $f (x) = a x$ .
On suppose seulement $f$ bornée sur $[0, 1]$ , par un réel $B$ . Montrer que $∣ f (x) ∣ \leq \frac{B}{n}$ pour $n \geq 1$ et $∣ x ∣ \leq \frac{1}{n}$ . En déduire que $f (x) = a x$ pour tout $x$ .

Partie C — Applications.

Déterminer les fonctions continues $g : ℝ \to] 0, + \infty [$ telles que $g (x + y) = g (x) g (y)$ pour tous $x, y$ .
Déterminer les fonctions continues $h :] 0, + \infty [\to ℝ$ telles que $h (x y) = h (x) + h (y)$ pour tous $x, y > 0$ .
Déterminer les fonctions continues $ψ : ℝ \to ℝ$ telles que $ψ (x + y) = ψ (x) + ψ (y) + 2 x y$ pour tous $x, y$ .