Soit $ℬ=(e_1,\dots ,e_n)$ une base de $F$. Tout $y\in F$ s'écrit d'une seule façon $y=y_1{e}_1+\cdots +y_n{e}_n$.

• La matrice de $y$ dans $ℬ$ est la colonne de ses coordonnées : ${\mathrm{Mat}}_{ℬ}(y)=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ \mathrm{⋮}\\ y_n\end{array}\right)\in {ℳ}_{n,1}(𝕂)$.
• La matrice d'une famille $(x_1,\dots ,x_q)$ de vecteurs de $F$ dans $ℬ$ est la matrice de ${ℳ}_{n,q}(𝕂)$ dont la colonne numéro $j$ est ${\mathrm{Mat}}_{ℬ}(x_j)$.

L'application $y\mapsto {\mathrm{Mat}}_{ℬ}(y)$ est un isomorphisme de $F$ sur ${ℳ}_{n,1}(𝕂)$ : elle respecte les sommes et les produits par un scalaire. C'est ce qui permet de « calculer sur des colonnes » à la place des vecteurs.

Exemples. Dans ${ℝ}_2[X]$ muni de $ℬ=(1,X,X^2)$, la matrice de $P=4-X+3X^2$ est ${}^t(4,-1,3)$. Dans la base ${ℬ}^{\mathrm{\prime }}=(1,X-1,(X-1{)}^2)$, le même $P$ s'écrit $6+5(X-1)+3(X-1{)}^2$, donc sa matrice est ${}^t(6,5,3)$ : un vecteur n'a pas une matrice, il en a une par base. Dans ${𝕂}^n$ muni de la base canonique, la matrice de $(y_1,\dots ,y_n)$ est simplement la colonne de ses composantes.

Rang d'une famille. Le rang de $(x_1,\dots ,x_q)$ est le rang de sa matrice dans n'importe quelle base (§ 9). Une famille de $n$ vecteurs de $F$ ($\dim F=n$) est une base si et seulement si sa matrice, carrée, est inversible.

Définition. Soient $ℬ=(e_1,\dots ,e_p)$ une base de $E$, $𝒞=({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n)$ une base de $F$ et $f\in ℒ(E,F)$. On appelle matrice de $f$ dans les bases $ℬ$ (au départ) et $𝒞$ (à l'arrivée) la matrice de la famille $(f(e_1),\dots ,f(e_p))$ dans la base $𝒞$ : $${\mathrm{Mat}}_{ℬ,𝒞}(f)=(a_{ij})\in {ℳ}_{n,p}(𝕂),f(e_j)=\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{\epsilon }_i(1\le j\le p)\mathrm{.}$$ Elle a autant de colonnes que $\dim E$ (l'espace de départ) et autant de lignes que $\dim F$ (l'espace d'arrivée). Pour lire la colonne $j$, on se pose une seule question : « quelles sont les coordonnées de $f(e_j)$ dans $𝒞$ ? ».

Pour un endomorphisme $f\in ℒ(E)$, on prend en général la même base au départ et à l'arrivée et l'on écrit ${\mathrm{Mat}}_{ℬ}(f)={\mathrm{Mat}}_{ℬ,ℬ}(f)$, matrice carrée d'ordre $p$.

Exemples à savoir refaire.

• $f:{ℝ}^3\to {ℝ}^2$, $f(x,y,z)=(x-2y,3y+z)$ : $f(1,0,0)=(1,0)$, $f(0,1,0)=(-2,3)$, $f(0,0,1)=(0,1)$, donc dans les bases canoniques $\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ 0& 3& 1\end{array}\right)$. Pour une application de ${𝕂}^p$ dans ${𝕂}^n$ donnée par des formules, la ligne $i$ contient les coefficients de la $i$-ème composante.
• $D:{ℝ}_3[X]\to {ℝ}_3[X]$, $P\mapsto P^{\mathrm{\prime }}$, dans $(1,X,X^2,X^3)$ : $D(X^k)=k{X}^{k-1}$, d'où $\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$.
• ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ a pour matrice $I_p$ dans toute base $ℬ$ (même base au départ et à l'arrivée) ; l'application nulle a la matrice nulle ; l'homothétie $\lambda {\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ a la matrice $\lambda I_p$ dans toute base.
• Un projecteur $q$ de rang $r$, dans une base formée d'une base de $\mathrm{Im}q$ suivie d'une base de $\mathrm{Ker}q$, a la matrice $\mathrm{diag}(1,\dots ,1,0,\dots ,0)$ ($r$ fois le $1$).

Application canoniquement associée. Pour $A\in {ℳ}_{n,p}(𝕂)$, l'application $X\mapsto AX$ de ${ℳ}_{p,1}(𝕂)$ (ou de ${𝕂}^p$) dans ${ℳ}_{n,1}(𝕂)$ (ou ${𝕂}^n$) est linéaire, et sa matrice dans les bases canoniques est $A$ elle-même. On parle de l'application linéaire canoniquement associée à $A$ ; sa colonne $j$ est l'image du $j$-ième vecteur canonique.

Théorème (dictionnaire). Hypothèses : $ℬ$ base de $E$ ($\dim E=p$), $𝒞$ base de $F$ ($\dim F=n$). Conclusion : $\mathrm{\Phi }:f\mapsto {\mathrm{Mat}}_{ℬ,𝒞}(f)$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels de $ℒ(E,F)$ sur ${ℳ}_{n,p}(𝕂)$. En particulier $\mathrm{Mat}(\lambda f+\mu g)=\lambda \mathrm{Mat}(f)+\mu \mathrm{Mat}(g)$, deux applications qui ont la même matrice dans les mêmes bases sont égales, toute matrice de ${ℳ}_{n,p}(𝕂)$ est la matrice d'une (unique) application linéaire, et $\dim ℒ(E,F)=np$. (C'est la traduction de « une application linéaire est déterminée par l'image d'une base ».)

Théorème. Hypothèses : $A={\mathrm{Mat}}_{ℬ,𝒞}(f)$ ; $x\in E$ de matrice $X={\mathrm{Mat}}_{ℬ}(x)$. Conclusion : la matrice de $f(x)$ dans $𝒞$ est $Y=AX$.

En effet $f(x)={\sum }_j{x}_{j}f(e_j)={\sum }_j{x}_j{\sum }_i{a}_{ij}{\epsilon }_i={\sum }_i\left({\sum }_j{a}_{ij}{x}_j\right){\epsilon }_i$. Toute la suite repose sur cette ligne.

Conséquences.

• Résoudre $f(x)=y$ revient à résoudre le système linéaire $AX=Y$ (§ 12).
• $x\in \mathrm{Ker}f⟺AX=0$ ; $y\in \mathrm{Im}f⟺$ le système $AX=Y$ a au moins une solution.
• Réciproquement, si l'on sait que ${\mathrm{Mat}}_{𝒞}(f(x))=A{\mathrm{Mat}}_{ℬ}(x)$ pour tout $x$, alors $A$ est la matrice de $f$ (prendre $x=e_j$).

Exemple. Avec $D$ ci-dessus et $P=1+2X-X^3$, de matrice ${}^t(1,2,0,-1)$, le produit donne ${}^t(2,0,-3,0)$, c'est-à-dire $P^{\mathrm{\prime }}=2-3X^2$.

Théorème (composition). Hypothèses : $ℬ$, $𝒞$, $𝒟$ bases de $E$, $F$, $G$ ; $f\in ℒ(E,F)$, $g\in ℒ(F,G)$. Conclusion : ${\mathrm{Mat}}_{ℬ,𝒟}(g\circ f)={\mathrm{Mat}}_{𝒞,𝒟}(g)\times {\mathrm{Mat}}_{ℬ,𝒞}(f)$.

La base « du milieu » $𝒞$ doit être la même des deux côtés (arrivée de $f$, départ de $g$). L'ordre des facteurs suit l'ordre d'écriture de $g\circ f$ : on applique d'abord $f$, mais sa matrice est écrite à droite. C'est la raison d'être de la définition du produit matriciel « ligne par colonne ».

Conséquences pour un endomorphisme ($A={\mathrm{Mat}}_{ℬ}(f)$) :

• ${\mathrm{Mat}}_{ℬ}(f^k)=A^k$ pour tout $k\in \mathbb{N}$, et plus généralement ${\mathrm{Mat}}_{ℬ}(P(f))=P(A)$ pour tout polynôme $P$ ;
• $f\circ g=g\circ f⟺AB=BA$ (même base $ℬ$) ; une relation $f^2-3f+2{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E=0$ équivaut à $A^2-3A+2I_p=0_p$ ;
• $f$ est un projecteur $⟺A^2=A$ ; $f$ est nilpotent $⟺A$ est nilpotente.

Ainsi $f\mapsto {\mathrm{Mat}}_{ℬ}(f)$ est un isomorphisme d'anneaux de $(ℒ(E),+,\circ )$ sur $({ℳ}_p(𝕂),+,\times )$ : tout ce qu'on sait sur l'un se transporte à l'autre.

Théorème (inverse). Hypothèses : $\dim E=\dim F=n$, $f\in ℒ(E,F)$, $A={\mathrm{Mat}}_{ℬ,𝒞}(f)$. Conclusion : $f$ est bijective exactement lorsque $A$ est inversible, et alors ${\mathrm{Mat}}_{𝒞,ℬ}(f^{-1})=A^{-1}$.

Le théorème « $AB=I_n\Rightarrow BA=I_n$ » enfin démontré. Soient $A,B\in {ℳ}_n(𝕂)$ avec $AB=I_n$, et $a$, $b$ les endomorphismes de ${𝕂}^n$ canoniquement associés. Alors $a\circ b=\mathrm{i}\mathrm{d}$, donc $a$ est surjective ; en dimension finie, un endomorphisme surjectif est bijectif (théorème du rang). Ainsi $a$ est inversible et $b=a^{-1}\circ (a\circ b)=a^{-1}$, d'où $BA=I_n$. Le calcul matriciel l'avait admis (Calcul matriciel § 9).

Corollaire. $A\in {ℳ}_n(𝕂)$ est inversible $⟺$ ses colonnes forment une base de ${ℳ}_{n,1}(𝕂)$ $⟺$ $AX=0$ n'a que la solution $X=0$ $⟺$ $\mathrm{rg}A=n$.

Pour $A\in {ℳ}_{n,p}(𝕂)$, on note (comme dans les sujets tunisiens) $$\mathrm{Ker}A=\{X\in {ℳ}_{p,1}(𝕂),AX=0\},\mathrm{Im}A=\{AX,X\in {ℳ}_{p,1}(𝕂)\}\mathrm{.}$$ Ce sont le noyau et l'image de l'application canoniquement associée.

• $\mathrm{Im}A$ est engendrée par les colonnes $C_1,\dots ,C_p$ de $A$, puisque $AX=x_1{C}_1+\cdots +x_p{C}_p$.
• Si $A={\mathrm{Mat}}_{ℬ,𝒞}(f)$ : $x\in \mathrm{Ker}f⟺{\mathrm{Mat}}_{ℬ}(x)\in \mathrm{Ker}A$ ; $y\in \mathrm{Im}f⟺{\mathrm{Mat}}_{𝒞}(y)\in \mathrm{Im}A$. Les isomorphismes de coordonnées conservent les dimensions : $\dim \mathrm{Ker}f=\dim \mathrm{Ker}A$ et $\mathrm{rg}f=\dim \mathrm{Im}A$.
• Théorème du rang matriciel : $p=\dim \mathrm{Ker}A+\mathrm{rg}A$ ($p$ = nombre de colonnes).

Méthode : trouver $\mathrm{Ker}f$ et $\mathrm{Im}f$ à partir de $A$.

1. Noyau : résoudre $AX=0$ par pivot ; on obtient une base de $\mathrm{Ker}A$, que l'on retraduit en vecteurs de $E$ avec $ℬ$.
2. Image : le rang $r$ se lit sur la forme échelonnée ; $r$ colonnes de $A$ linéairement indépendantes forment une base de $\mathrm{Im}A$ (par exemple les colonnes de $A$ où se trouvent les pivots quand on échelonne les lignes).
3. Contrôle : $\dim \mathrm{Ker}+\mathrm{rg}=$ nombre de colonnes.
4. Équations de $\mathrm{Im}A$ : $Y\in \mathrm{Im}A$ si et seulement si le système $AX=Y$ est compatible ; les conditions de compatibilité obtenues en échelonnant donnent des équations de l'image.

Exemple. $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$ : $L_2-2L_1=0$ et $L_3-L_1=(0,-1,-2)$, donc $\mathrm{rg}A=2$. Le noyau est $\{x+2y+3z=0,y+2z=0\}=\mathrm{Vect}{}^t(1,-2,1)$, de dimension $1=3-2$. Les colonnes $C_1$, $C_2$ ne sont pas colinéaires : $\mathrm{Im}A=\mathrm{Vect}(C_1,C_2)$, d'équation $y_2=2y_1$.

Définition. On fixe dans $E$ une base $ℬ=(e_1,\dots ,e_n)$, dite ancienne, et une base ${ℬ}^{\mathrm{\prime }}=(e_1^{\mathrm{\prime }},\dots ,e_n^{\mathrm{\prime }})$, dite nouvelle. La matrice de passage (de l'ancienne vers la nouvelle), notée $P_{ℬ\to {ℬ}^{\mathrm{\prime }}}$ (ou $\mathrm{pass}(ℬ,{ℬ}^{\mathrm{\prime }})$, ou $P_{ℬ}^{{ℬ}^{\mathrm{\prime }}}$), est la matrice de la nouvelle famille ${ℬ}^{\mathrm{\prime }}$ dans l'ancienne base $ℬ$ : sa colonne $j$ contient les coordonnées de $e_j^{\mathrm{\prime }}$ dans $ℬ$.

Moyen mnémotechnique : on écrit les nouveaux vecteurs en colonnes, en fonction des anciens.

Propriétés.

• $P_{ℬ\to {ℬ}^{\mathrm{\prime }}}={\mathrm{Mat}}_{{ℬ}^{\mathrm{\prime }},ℬ}({\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)$ : attention à l'ordre des bases (départ ${ℬ}^{\mathrm{\prime }}$, arrivée $ℬ$).
• Elle est inversible et $(P_{ℬ\to {ℬ}^{\mathrm{\prime }}}{)}^{-1}=P_{{ℬ}^{\mathrm{\prime }}\to ℬ}$.
• Relation de Chasles : $P_{ℬ\to {ℬ}^{\mathrm{\prime }}}{P}_{{ℬ}^{\mathrm{\prime }}\to {ℬ}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}}=P_{ℬ\to {ℬ}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}}$.
• Réciproquement, toute $P\in G{L}_n(𝕂)$ s'obtient ainsi : c'est $P_{ℬ\to {ℬ}^{\mathrm{\prime }}}$ pour la famille ${ℬ}^{\mathrm{\prime }}$ dont les vecteurs ont pour coordonnées les colonnes de $P$ (cette famille est une base parce que $P$ est inversible).

Exemple. Dans ${ℝ}^3$ muni de la base canonique $ℬ$, soit ${ℬ}^{\mathrm{\prime }}=((1,0,1),(1,1,1),(1,1,2))$. Alors $P=P_{ℬ\to {ℬ}^{\mathrm{\prime }}}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$, et le pivot donne $P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 1& 1& -1\\ -1& 0& 1\end{array}\right)=P_{{ℬ}^{\mathrm{\prime }}\to ℬ}$. La colonne 1 de $P^{-1}$ dit que $(1,0,0)=u_1+u_2-u_3$ en notant $u_1,u_2,u_3$ les vecteurs de ${ℬ}^{\mathrm{\prime }}$ : on vérifie $(1,0,1)+(1,1,1)-(1,1,2)=(1,0,0)$.

Coordonnées d'un vecteur. Hypothèses : $P=P_{ℬ\to {ℬ}^{\mathrm{\prime }}}$ ; $X={\mathrm{Mat}}_{ℬ}(x)$, $X^{\mathrm{\prime }}={\mathrm{Mat}}_{{ℬ}^{\mathrm{\prime }}}(x)$. Conclusion : $X=P{X}^{\mathrm{\prime }}$, donc $X^{\mathrm{\prime }}=P^{-1}X$.

La formule donne les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles (c'est le « sens inverse » qui piège). Avec l'exemple du § 6, le vecteur $(1,2,3)$ a pour coordonnées $P^{-1}{}^t(1,2,3)={}^t(-1,0,2)$ dans ${ℬ}^{\mathrm{\prime }}$ ; contrôle : $-(1,0,1)+2(1,1,2)=(1,2,3)$.

Application linéaire. Hypothèses : $f\in ℒ(E,F)$ ; $ℬ,{ℬ}^{\mathrm{\prime }}$ bases de $E$, $P=P_{ℬ\to {ℬ}^{\mathrm{\prime }}}$ ; $𝒞,{𝒞}^{\mathrm{\prime }}$ bases de $F$, $Q=P_{𝒞\to {𝒞}^{\mathrm{\prime }}}$ ; $A={\mathrm{Mat}}_{ℬ,𝒞}(f)$, $A^{\mathrm{\prime }}={\mathrm{Mat}}_{{ℬ}^{\mathrm{\prime }},{𝒞}^{\mathrm{\prime }}}(f)$. Conclusion : $A^{\mathrm{\prime }}=Q^{-1}AP$.

Endomorphisme (cas le plus fréquent). Hypothèses : $f\in ℒ(E)$, $A={\mathrm{Mat}}_{ℬ}(f)$, $A^{\mathrm{\prime }}={\mathrm{Mat}}_{{ℬ}^{\mathrm{\prime }}}(f)$, $P=P_{ℬ\to {ℬ}^{\mathrm{\prime }}}$. Conclusion : $A^{\mathrm{\prime }}=P^{-1}AP$, c'est-à-dire $A=P{A}^{\mathrm{\prime }}{P}^{-1}$.

Preuve en une ligne : $f={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E\circ f\circ {\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ et la formule de composition, avec ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ vue de $(E,{ℬ}^{\mathrm{\prime }})$ vers $(E,ℬ)$ (matrice $P$) à droite et de $(E,ℬ)$ vers $(E,{ℬ}^{\mathrm{\prime }})$ (matrice $P^{-1}$) à gauche.

Conseil de copie. On n'est presque jamais obligé de calculer $P^{-1}AP$ : il est plus court de calculer $f(e_j^{\mathrm{\prime }})$ et de l'exprimer dans ${ℬ}^{\mathrm{\prime }}$, colonne par colonne. Le produit $P^{-1}AP$ (ou mieux, l'égalité $AP=P{A}^{\mathrm{\prime }}$, qui évite l'inverse) sert de vérification.

Application aux puissances. Si $A=PT{P}^{-1}$, alors $A^k=P{T}^k{P}^{-1}$ pour tout $k\in \mathbb{N}$ (et pour $k\in \mathbb{Z}$ si $A$ est inversible). On choisit ${ℬ}^{\mathrm{\prime }}$ pour que $T$ soit diagonale, ou de la forme $\lambda I+N$ avec $N$ nilpotente.

Matrices équivalentes. $A,B\in {ℳ}_{n,p}(𝕂)$ sont équivalentes s'il existe $Q\in G{L}_n(𝕂)$ et $P\in G{L}_p(𝕂)$ telles que $B=Q^{-1}AP$. Ce sont exactement les matrices d'une même application linéaire $f\in ℒ(E,F)$ dans des couples de bases (éventuellement différents au départ et à l'arrivée).

Matrices semblables. $A,B\in {ℳ}_n(𝕂)$ sont semblables s'il existe $P\in G{L}_n(𝕂)$ telle que $B=P^{-1}AP$ (les énoncés écrivent aussi $A=PB{P}^{-1}$, c'est la même chose avec $P^{-1}$ à la place de $P$). Ce sont exactement les matrices d'un même endomorphisme dans deux bases, la même base au départ et à l'arrivée.

Ces deux relations sont des relations d'équivalence (réflexives, symétriques, transitives) : question classique de début de problème. Semblables $\Rightarrow$ équivalentes ; la réciproque est fausse (voir ci-dessous).

Invariants de similitude : si $B=P^{-1}AP$, alors

• $\mathrm{rg}B=\mathrm{rg}A$ ;
• $\mathrm{tr}B=\mathrm{tr}A$ (car $\mathrm{tr}(P^{-1}(AP))=\mathrm{tr}((AP)P^{-1})$) ;
• $B^k=P^{-1}{A}^{k}P$, $B$ inversible $⟺A$ inversible, $P(B)=P^{-1}P(A)P$ pour tout polynôme : une matrice semblable à une matrice nilpotente (resp. vérifiant $A^2=A$) l'est aussi ;
• les sous-espaces $\mathrm{Ker}(B-\lambda I_n)$ et $\mathrm{Ker}(A-\lambda I_n)$ ont même dimension.

Ces conditions sont nécessaires, pas suffisantes. Pour prouver que $A$ et $B$ sont semblables, on construit une base dans laquelle l'endomorphisme associé à $A$ a pour matrice $B$. Pour prouver qu'elles ne le sont pas, on exhibe un invariant qui diffère.

Exemples.

• La seule matrice semblable à $\lambda I_n$ est $\lambda I_n$ ($P^{-1}(\lambda I_n)P=\lambda I_n$). Ainsi $I_2$ et $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ ont même rang et même trace mais ne sont pas semblables ; elles sont pourtant équivalentes (même rang, § 9).
• $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$ sont semblables : c'est la même application dans la base $(e_1,e_2)$ et dans la base $(e_2,e_1)$.
• $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$ ne sont pas semblables : les traces ($4$ et $3$) diffèrent.

Définition. Le rang de $A\in {ℳ}_{n,p}(𝕂)$ est le rang de la famille de ses colonnes $(C_1,\dots ,C_p)$ dans ${ℳ}_{n,1}(𝕂)$ : $\mathrm{rg}A=\dim \mathrm{Vect}(C_1,\dots ,C_p)=\dim \mathrm{Im}A$. Certains cours le présentent comme « le nombre maximal de colonnes linéairement indépendantes » : c'est la même chose.

Lien avec les applications linéaires. Si $A={\mathrm{Mat}}_{ℬ,𝒞}(f)$, alors $\mathrm{rg}A=\mathrm{rg}f$. Si $A$ est la matrice d'une famille $(x_1,\dots ,x_q)$ dans une base, $\mathrm{rg}A=\mathrm{rg}(x_1,\dots ,x_q)$. Le rang ne dépend donc ni de la base, ni de la façon de le calculer.

Propriétés.

• $\mathrm{rg}A\le \min (n,p)$ ; $\mathrm{rg}A=0⟺A=0$.
• Invariance : si $Q\in G{L}_n(𝕂)$ et $P\in G{L}_p(𝕂)$, alors $\mathrm{rg}(QAP)=\mathrm{rg}A$. Deux matrices équivalentes (en particulier semblables) ont même rang. Plus généralement $\mathrm{rg}(AB)\le \min (\mathrm{rg}A,\mathrm{rg}B)$.
• Pour $A$ carrée d'ordre $n$ : $A\in G{L}_n(𝕂)⟺\mathrm{rg}A=n$.
• Une matrice triangulaire dont les coefficients diagonaux sont tous non nuls est de rang maximal ; si certains sont nuls, on ne peut rien conclure directement (calculer).

Théorème (forme normale). Hypothèse : $A\in {ℳ}_{n,p}(𝕂)$, $\mathrm{rg}A=r$. Conclusion : $A$ est équivalente à $J_r=\left(\begin{array}{cc}{I}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\in {ℳ}_{n,p}(𝕂)$. Idée : on prend une base de ${𝕂}^p$ formée de $r$ vecteurs d'un supplémentaire de $\mathrm{Ker}A$ suivis d'une base de $\mathrm{Ker}A$ ; les images des $r$ premiers forment une base de $\mathrm{Im}A$, que l'on complète en une base de ${𝕂}^n$ (rédaction complète : exercice 9).

Conséquences.

• Deux matrices de même format sont équivalentes exactement quand leurs rangs sont égaux.
• $\mathrm{rg}({}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A)=\mathrm{rg}A$ : le rang des colonnes égale le rang des lignes (transposer $A=Q{J}_r{P}^{-1}$).
• Le rang d'une matrice est aussi la plus grande taille d'une matrice carrée inversible extraite de $A$ (on garde certaines lignes et certaines colonnes) ; résultat cité par certains cours, utile pour majorer un rang.

Ce qui ne change pas le rang :

• les opérations élémentaires sur les lignes : $L_i\leftrightarrow L_j$, $L_i\leftarrow \lambda L_i$ avec $\lambda \mathrm{\ne }0$, $L_i\leftarrow L_i+\mu L_j$ ($j\mathrm{\ne }i$), car chacune revient à multiplier à gauche par une matrice inversible ;
• les mêmes opérations sur les colonnes (multiplication à droite par une matrice inversible) ;
• supprimer une ligne ou une colonne nulle, ou une colonne combinaison linéaire des autres.

Pour le rang seulement, on a le droit de mélanger opérations sur les lignes et sur les colonnes (le rang est invariant des deux côtés). Ce n'est pas le cas pour calculer un inverse, un noyau ou une image, où l'on garde un seul type d'opérations.

Méthode.

1. Choisir un pivot non nul dans la première colonne (si elle est nulle, passer à la suivante), l'amener en première ligne.
2. Annuler les coefficients situés sous le pivot par des opérations $L_i\leftarrow L_i-\frac{a_{i1}}{a_{11}}{L}_1$ (on évite les fractions en faisant $L_i\leftarrow a_{11}{L}_i-a_{i1}{L}_1$, à condition que $a_{11}\mathrm{\ne }0$).
3. Recommencer sur la matrice restante. On obtient une matrice échelonnée : le rang est le nombre de pivots (nombre de lignes non nulles).

Avec un paramètre. Ne jamais diviser par une expression qui peut s'annuler sans avoir mis à part les valeurs qui l'annulent ; conclure par une discussion complète (« si $m\mathrm{\ne }1$, $\mathrm{rg}A=3$ ; si $m=1$, $\mathrm{rg}A=2$ »).

Exemple. $A=\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 2& 0\\ 2& 1& 1& 3\\ 1& 2& -1& 3\end{array}\right)$ : $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ et $L_3\leftarrow L_3-L_1$ donnent les lignes $(0,3,-3,3)$ et $(0,3,-3,3)$, puis $L_3\leftarrow L_3-L_2$ annule la troisième. Deux pivots : $\mathrm{rg}A=2$.

Rappels (Calcul matriciel § 7) : la trace est linéaire sur ${ℳ}_n(𝕂)$ et $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$ pour $A\in {ℳ}_{n,p}(𝕂)$, $B\in {ℳ}_{p,n}(𝕂)$.

Théorème et définition. Deux matrices semblables ont la même trace. Par conséquent, pour $f\in ℒ(E)$, la trace de ${\mathrm{Mat}}_{ℬ}(f)$ ne dépend pas de la base $ℬ$ : on l'appelle trace de $f$, notée $\mathrm{tr}f$ (ou $\mathrm{Tr}(f)$).

Propriétés.

• $\mathrm{tr}$ est une forme linéaire sur $ℒ(E)$ ; $\mathrm{tr}(f\circ g)=\mathrm{tr}(g\circ f)$ ; $\mathrm{tr}({\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)=\dim E$ ; $\mathrm{tr}(\lambda {\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)=\lambda \dim E$.
• Trace d'un projecteur = rang : si $q\circ q=q$, alors $\mathrm{tr}q=\mathrm{rg}q$ (dans une base adaptée à $E=\mathrm{Im}q\oplus \mathrm{Ker}q$, la matrice est $\mathrm{diag}(1,\dots ,1,0,\dots ,0)$). Pour une symétrie $s$ par rapport à $F$ parallèlement à $G$ : $\mathrm{tr}s=\dim F-\dim G$.
• Il n'existe pas d'endomorphismes $f,g$ d'un espace de dimension finie $n\ge 1$ tels que $f\circ g-g\circ f={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ (la trace du premier membre vaut $0$, celle du second $n$).
• La trace n'est pas multiplicative : $\mathrm{tr}(f\circ g)\mathrm{\ne }\mathrm{tr}f\cdot \mathrm{tr}g$ en général.

Calculer la trace d'un endomorphisme défini sans matrice (par exemple sur ${ℳ}_n(𝕂)$ ou ${𝕂}_n[X]$) : on écrit l'image de chaque vecteur de base et l'on additionne seulement le coefficient de ce vecteur lui-même. Exemple : sur ${ℝ}_n[X]$, $u(P)=X{P}^{\mathrm{\prime }}$ envoie $X^k$ sur $k{X}^k$, donc $\mathrm{tr}u=0+1+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$.

Écriture. Un système de $n$ équations à $p$ inconnues $$(S)\sum _{j=1}^p{a}_{ij}{x}_j=b_i(1\le i\le n)$$ s'écrit $AX=B$ avec $A\in {ℳ}_{n,p}(𝕂)$ (matrice du système), $X\in {ℳ}_{p,1}(𝕂)$, $B\in {ℳ}_{n,1}(𝕂)$ (second membre). Le système homogène associé est $AX=0$. On appelle rang du système le rang de $A$.

Trois lectures du même système :

• matricielle : $AX=B$ ;
• vectorielle : $x_1{C}_1+\cdots +x_p{C}_p=B$ (chercher $B$ comme combinaison des colonnes) ;
• linéaire : $u(X)=B$ où $u$ est l'application canoniquement associée à $A$.

Structure de l'ensemble des solutions. Hypothèses : $(S)$ : $AX=B$, de rang $r$. Conclusion :

• l'ensemble des solutions du système homogène est $\mathrm{Ker}A$, sous-espace vectoriel de dimension $p-r$ ;
• $(S)$ est compatible (a au moins une solution) si et seulement si $B\in \mathrm{Im}A$, c'est-à-dire si $B$ est combinaison linéaire des colonnes de $A$ ;
• si $(S)$ est compatible et $X_0$ en est une solution, l'ensemble des solutions est $$𝒮=X_0+\mathrm{Ker}A=\{X_0+H,H\in \mathrm{Ker}A\}$$ (« solution particulière + solutions du système homogène ») : ce n'est pas un sous-espace vectoriel si $B\mathrm{\ne }0$.

Discussion selon le rang :

• $r=p$ (rang égal au nombre d'inconnues) : au plus une solution ;
• $r=n$ (rang égal au nombre d'équations) : toujours compatible, quel que soit $B$ ;
• $r<n$ : $n-r$ conditions de compatibilité portant sur $B$ apparaissent quand on échelonne (lignes $0=\dots$).

Systèmes de Cramer. Le système est de Cramer si $n=p$ et $A$ est inversible (rang $n$). Il a alors une solution et une seule, $X=A^{-1}B$, pour tout second membre. Les formules de Cramer, qui expriment chaque inconnue comme un quotient de déterminants, sont vues au chapitre suivant, « Déterminants » : ici, on résout par pivot.

Méthode du pivot pour un système. On applique les opérations élémentaires sur les lignes seulement, et au second membre en même temps (on travaille sur la matrice augmentée $(A\mid B)$). Les échanges de colonnes sont permis à condition de renommer les inconnues. À la fin :

• les inconnues correspondant aux colonnes à pivot sont principales, les autres sont des paramètres ;
• une ligne $0=c$ avec $c\mathrm{\ne }0$ rend le système incompatible ;
• on remonte en partant de l'équation du bas.

Exemple. $x+y+z=1$, $x+2y-z=0$, $2x+3y=c$ : $L_2-L_1$ donne $y-2z=-1$, puis $L_3-2L_1-(L_2-L_1)$ donne $0=c-1$. Le rang est $2$ ; pour $c\mathrm{\ne }1$ pas de solution ; pour $c=1$, $z=t$, $y=2t-1$, $x=2-3t$, soit $𝒮={}^t(2,-1,0)+\mathrm{Vect}{}^t(-3,2,1)$, droite de ${ℝ}^3$ ne passant pas par $0$.

On découpe une matrice par des traits horizontaux et verticaux en blocs rectangulaires. Les matrices par blocs apparaissent surtout dans les problèmes (et sont revues en 2e année) ; en 1re année, il faut savoir les lire et les multiplier.

Produit par blocs. Si les découpages sont compatibles (les colonnes de la première coupées comme les lignes de la seconde), $$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{A}^{\mathrm{\prime }}& B^{\mathrm{\prime }}\\ C^{\mathrm{\prime }}& D^{\mathrm{\prime }}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A{A}^{\mathrm{\prime }}+B{C}^{\mathrm{\prime }}& A{B}^{\mathrm{\prime }}+B{D}^{\mathrm{\prime }}\\ C{A}^{\mathrm{\prime }}+D{C}^{\mathrm{\prime }}& C{B}^{\mathrm{\prime }}+D{D}^{\mathrm{\prime }}\end{array}\right),$$ exactement comme pour des matrices $2\times 2$, en respectant l'ordre des produits ($A{A}^{\mathrm{\prime }}$, pas $A^{\mathrm{\prime }}A$).

Cas utiles : ${\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& D\end{array}\right)}^k=\left(\begin{array}{cc}{A}^k& 0\\ 0& D^k\end{array}\right)$ ; une matrice diagonale par blocs est inversible si et seulement si chaque bloc diagonal l'est ; $\mathrm{tr}\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)=\mathrm{tr}A+\mathrm{tr}D$ (blocs diagonaux carrés).

Interprétation géométrique. Soient $f\in ℒ(E)$, $E=F\oplus G$, et $ℬ$ une base obtenue en mettant bout à bout une base de $F$ (de dimension $r$) et une base de $G$.

• $F$ est stable par $f$ ($f(F)\subset F$) si et seulement si ${\mathrm{Mat}}_{ℬ}(f)=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ 0& D\end{array}\right)$ (bloc nul en bas à gauche), et $A$ est alors la matrice de l'endomorphisme induit $f_F:F\to F$.
• $F$ et $G$ sont stables si et seulement si la matrice est diagonale par blocs $\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& D\end{array}\right)$.

Écrire la matrice de $f$ dans des bases données

1. Calculer $f(e_1),\dots ,f(e_p)$ (images des vecteurs de la base de départ).
2. Décomposer chacun dans la base d'arrivée ; ranger les coordonnées en colonnes.
3. Vérifier le format : $\dim (\text{arriv}\acute{\text{e}}\text{e})$ lignes, $\dim (\text{d}\acute{\text{e}}\text{part})$ colonnes.

Étudier $f$ (noyau, image, injectivité) à partir de sa matrice

Rang par pivot ; $f$ injective $⟺\mathrm{rg}A=$ nombre de colonnes ; surjective $⟺\mathrm{rg}A=$ nombre de lignes ; pour un endomorphisme, bijective $⟺A$ inversible. Bases du noyau et de l'image : § 5.

Changer de base

1. Vérifier que ${ℬ}^{\mathrm{\prime }}$ est une base (matrice $P$ inversible, ou rang $n$).
2. Écrire $P=P_{ℬ\to {ℬ}^{\mathrm{\prime }}}$ (nouveaux vecteurs en colonnes dans l'ancienne base).
3. Calculer $A^{\mathrm{\prime }}={\mathrm{Mat}}_{{ℬ}^{\mathrm{\prime }}}(f)$ directement par les $f(e_j^{\mathrm{\prime }})$, puis contrôler $AP=P{A}^{\mathrm{\prime }}$.
4. Selon la question : $X^{\mathrm{\prime }}=P^{-1}X$, $A^k=P{A}^{\mathrm{\prime }k}{P}^{-1}$.

Montrer que deux matrices sont semblables

• Oui : trouver une base $(e_1^{\mathrm{\prime }},\dots ,e_n^{\mathrm{\prime }})$ telle que l'endomorphisme $u$ associé à $A$ vérifie les relations lues sur les colonnes de $B$ (par exemple $u(e_1^{\mathrm{\prime }})=2e_1^{\mathrm{\prime }}$, $u(e_2^{\mathrm{\prime }})=e_1^{\mathrm{\prime }}+2e_2^{\mathrm{\prime }}$) ; la matrice de passage $P$ donne $B=P^{-1}AP$.
• Non : trace, rang, rang de $A-\lambda I_n$, inversibilité, $A^2$… différents.

Résoudre un système avec paramètre

Pivot sur $(A\mid B)$ ; repérer les valeurs du paramètre qui annulent un pivot ; pour les autres valeurs, système de Cramer ; pour les valeurs particulières, rang, condition de compatibilité, solution particulière $+$ noyau.

Calculer une trace sans matrice complète

Coefficient diagonal par coefficient diagonal (§ 11) ; ou utiliser $\mathrm{tr}q=\mathrm{rg}q$ pour un projecteur ; ou l'invariance par similitude.

1. Ranger les images en lignes au lieu de colonnes ; ou lire les coefficients d'une formule $f(x,y,z)$ en colonnes. Contrôle : la colonne $j$ doit être $f(e_j)$.
2. Mauvais format : une matrice de $f:{ℝ}^3\to {ℝ}^2$ a $2$ lignes et $3$ colonnes, pas l'inverse.
3. Matrice de passage à l'envers : écrire les anciens vecteurs dans la nouvelle base ; ou croire que $X^{\mathrm{\prime }}=PX$. On a $X=P{X}^{\mathrm{\prime }}$.
4. $A^{\mathrm{\prime }}=PA{P}^{-1}$ au lieu de $P^{-1}AP$ avec $P=P_{ℬ\to {ℬ}^{\mathrm{\prime }}}$. Toujours contrôler sur une colonne ($AP=P{A}^{\mathrm{\prime }}$).
5. Base « du milieu » oubliée dans $\mathrm{Mat}(g\circ f)=\mathrm{Mat}(g)\mathrm{Mat}(f)$ ; ou produit écrit dans le mauvais ordre.
6. Confondre condition nécessaire et suffisante : « même trace et même rang, donc semblables » est faux ($I_2$ et $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$). Le jury tunisien relève chaque année ce type de confusion.
7. Pivot avec paramètre : diviser par $m-1$ sans traiter $m=1$ ; ou mélanger lignes et colonnes pour calculer un noyau.
8. Système : oublier la condition de compatibilité ; présenter l'ensemble des solutions d'un système non homogène comme un sous-espace vectoriel ; écrire $X=\frac{B}{A}$ (diviser par une matrice n'a aucun sens).
9. Trace : $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}A\mathrm{tr}B$ ; ou trace d'une matrice non carrée ; ou trace d'une application de $E$ dans $F\mathrm{\ne }E$.
10. Appeler « formules de Cramer » une résolution par pivot, ou utiliser les déterminants avant le chapitre où ils sont définis, sans le dire ; en devoir, citer le résultat utilisé par son nom.

• Matrice de $f$ : $\mathrm{Mat}(f,ℬ)$ ou ${\mathrm{Mat}}_{ℬ}(f)$ pour un endomorphisme ; $\mathrm{Mat}(f,ℬ,𝒞)$, $M(f,ℬ,𝒞)$, ${\mathrm{Mat}}_{ℬ,𝒞}(f)$ ou $\mathrm{mat}(f,ℬ)$ selon les enseignants ; « matrice de $f$ relativement aux bases… », « matrice associée à $f$ dans… », « matrice de $f$ selon la base $ℬ$ », « endomorphisme canoniquement associé à $A$ ».
• Matrice de passage : $P_{ℬ\to {ℬ}^{\mathrm{\prime }}}$, $\mathrm{pass}(ℬ,{ℬ}^{\mathrm{\prime }})$ ; bases notées $ℬ$, ${ℬ}^{\mathrm{\prime }}$ ou $B$, $B^{\mathrm{\prime }}$, parfois entre accolades $\{e_1,e_2,e_3\}$.
• $\mathrm{Ker}A=\{X\in {ℳ}_{n,1}(𝕂),AX=0\}$ et $\mathrm{Im}A$ définis dans l'énoncé pour une matrice ; $\mathrm{rg}(A)$, $\mathrm{tr}(A)$ ou $\mathrm{Tr}(A)$ ; $G{L}_n(𝕂)$ ; transposée ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A$ ; ${ℳ}_{n,1}(𝕂)$ identifié à ${𝕂}^n$.
• « Deux matrices $A$ et $B$ sont dites semblables s'il existe $P$ inversible telle que $A=PB{P}^{-1}$ » : définition souvent rappelée dans l'énoncé, sous l'une ou l'autre forme.
• Énoncés : « Écrire la matrice $A$ de $u$ dans la base canonique », « Déterminer $\mathrm{Ker}u$ et $\mathrm{Im}u$ ; en donner une base », « Montrer que ${ℬ}^{\mathrm{\prime }}$ est une base de ${ℝ}^3$ et donner la matrice de passage », « En déduire $A^{\mathrm{\prime }}={\mathrm{Mat}}_{{ℬ}^{\mathrm{\prime }}}(u)$ », « Calculer le rang de $A$ en fonction du paramètre », « Les matrices suivantes sont-elles semblables ? », « En déduire $A^n$ ».
• Devoirs : barème affiché, calculatrice interdite ; les matrices sont choisies pour que $P^{-1}$ ait des coefficients entiers : un inverse plein de fractions signale souvent une erreur de calcul.