Matrices et applications linéaires (Exercices) · Révisions prépa · Ridami

Algèbre · 1re année

Matrices et applications linéaires

Application du cours4 points

1. Écrire des matrices dans des bases

Dans $ℝ_{2} [X]$ , on travaille avec la base canonique $ℬ_{0} = (1, X, X^{2})$ .

Écrire la matrice $A$ , dans les bases canoniques, de $f : ℝ^{3} \to ℝ^{2}$ , $f (x, y, z) = (2 x - y + z, x + 3 z)$ .
Soit $g : ℝ_{2} [X] \to ℝ^{3}$ , $g (P) = (P (0), P^{'} (1), P (- 1))$ . Justifier que $g$ est linéaire, écrire sa matrice $B$ relativement à $ℬ_{0}$ et à la base canonique de $ℝ^{3}$ , puis montrer que $g$ est un isomorphisme.
Soit $h : ℝ_{2} [X] \to ℝ_{2} [X]$ , $h (P) = P (1 - X)$ (on remplace $X$ par $1 - X$ ). (a) Vérifier que $h$ envoie $ℝ_{2} [X]$ dans lui-même, qu'elle est linéaire, et écrire $C = {Mat}_{ℬ_{0}} (h)$ . (b) Calculer, à l'aide de $C$ , l'image de $P = 3 - X + 2 X^{2}$ , et contrôler directement. (c) Calculer $C^{2}$ . Que peut-on en déduire pour $h$ (rang, noyau, réciproque) ?
Justifier que la famille $ℬ_{1} = (1, X - X^{2}, 2 X - 1)$ forme une base de $ℝ_{2} [X]$ , puis écrire ${Mat}_{ℬ_{1}} (h)$ . Comparer les traces de $C$ et de ${Mat}_{ℬ_{1}} (h)$ .

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1. On calcule $f (e_{1})$ , $f (e_{2})$ , $f (e_{3})$ pour la base canonique $(e_{1}, e_{2}, e_{3})$ : $f (1, 0, 0) = (2, 1)$ , $f (0, 1, 0) = (- 1, 0)$ , $f (0, 0, 1) = (1, 3)$ . On les range en colonnes : $A = (\begin{array}{ccc} 2 & - 1 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{array}) \in ℳ_{2, 3} (ℝ) .$ Contrôle : la ligne $1$ contient les coefficients de $2 x - y + z$ , la ligne $2$ ceux de $x + 3 z$ ; le format est (arrivée $2$ ) $\times$ (départ $3$ ).

2. Linéarité : pour $P, Q \in ℝ_{2} [X]$ et $λ, μ \in ℝ$ , $(λ P + μ Q) (0) = λ P (0) + μ Q (0)$ , $(λ P + μ Q)^{'} (1) = λ P^{'} (1) + μ Q^{'} (1)$ et de même en $- 1$ : chaque composante est linéaire, donc $g$ l'est. Images de la base : $g (1) = (1, 0, 1)$ ; $g (X) = (0, 1, - 1)$ ; $g (X^{2}) = (0, 2, 1)$ (car $(X^{2})^{'} = 2 X$ vaut $2$ en $1$ ). D'où $B = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & - 1 & 1 \end{array}) .$ Rang par pivot : $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}$ donne $(0, - 1, 1)$ , puis $L_{3} \leftarrow L_{3} + L_{2}$ donne $(0, 0, 3)$ . On obtient une matrice triangulaire supérieure de coefficients diagonaux $1, 1, 3$ , tous non nuls : $rg B = 3$ . Comme $\dim ℝ_{2} [X] = \dim ℝ^{3} = 3$ et que $B$ est carrée de rang $3$ , $B$ est inversible et $g est un isomorphisme$ (fiche § 4). Autrement dit, un polynôme de degré au plus $2$ est déterminé par $P (0)$ , $P^{'} (1)$ et $P (- 1)$ , que l'on peut choisir librement.

3.(a) Si $P = a + b X + c X^{2}$ , alors $P (1 - X) = a + b (1 - X) + c (1 - X)^{2}$ est encore de degré au plus $2$ . Pour $P, Q$ et des réels $λ, μ$ , $(λ P + μ Q) (1 - X) = λ P (1 - X) + μ Q (1 - X)$ : $h$ est linéaire. Images : $h (1) = 1$ , $h (X) = 1 - X$ , $h (X^{2}) = (1 - X)^{2} = 1 - 2 X + X^{2}$ . D'où $C = (\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) .$

(b) ${Mat}_{ℬ_{0}} (P) =^{t} (3, - 1, 2)$ et $C (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 - 1 + 2 \\ 1 - 4 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \\ 2 \end{array}), donc h (P) = 4 - 3 X + 2 X^{2} .$ Contrôle : $3 - (1 - X) + 2 (1 - X)^{2} = 3 - 1 + X + 2 - 4 X + 2 X^{2} = 4 - 3 X + 2 X^{2}$ .

(c) Ligne par colonne : $C^{2} = (\begin{array}{ccc} 1 & 1 - 1 & 1 - 2 + 1 \\ 0 & 1 & 2 - 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) = I_{3}$ . Par le dictionnaire, $h \circ h = i d$ (ce qui se voit aussi directement : remplacer deux fois $X$ par $1 - X$ redonne $X$ ). Donc $C$ est inversible d'inverse $C$ : $h est un automorphisme, h^{- 1} = h$ , $rg h = 3$ et $Ker h = {0}$ . C'est une symétrie de $ℝ_{2} [X]$ .

4. Les polynômes $1$ , $2 X - 1$ , $X - X^{2}$ sont de degrés $0$ , $1$ , $2$ : la famille est libre (degrés échelonnés) et compte $3 = \dim ℝ_{2} [X]$ éléments, c'est une base (l'ordre des vecteurs ne change pas cette conclusion). Calculons : $h (1) = 1$ ; $h (X - X^{2}) = (1 - X) - (1 - X)^{2} = (1 - X) X = X - X^{2}$ ; $h (2 X - 1) = 2 (1 - X) - 1 = 1 - 2 X = - (2 X - 1)$ . Ainsi ${Mat}_{ℬ_{1}} (h) = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array}) .$ La base rend la matrice diagonale : $h$ est la symétrie par rapport à $F = Vect (1, X - X^{2})$ (polynômes vérifiant $P (1 - X) = P$ ) parallèlement à $G = Vect (2 X - 1)$ . Les traces sont égales, $tr C = 1 - 1 + 1 = 1$ et $1 + 1 - 1 = 1$ , comme il se doit pour deux matrices du même endomorphisme ; c'est aussi $\dim F - \dim G = 2 - 1$ (fiche § 11).

Après avoir comparé avec le corrigé :

Application du cours5 points

2. Composition, produit, inverse et puissances

Dans $E = ℝ_{2} [X]$ , muni de $ℬ_{0} = (1, X, X^{2})$ , on considère $u (P) = P + P^{'}$ et $w : E \to ℝ^{2}$ , $w (P) = (P (0), P (1))$ .

Écrire $A = {Mat}_{ℬ_{0}} (u)$ . On pose $N = A - I_{3}$ ; calculer $N^{2}$ et $N^{3}$ .
En déduire que $A$ est inversible et exprimer $A^{- 1}$ à l'aide de $N$ . Interpréter : montrer que $u$ est un automorphisme et que $u^{- 1} (P) = P - P^{'} + P^{''}$ , puis vérifier cette formule directement.
Calculer $A^{n}$ pour $n \in ℕ$ et en déduire $u^{n} (X^{2})$ .
Écrire la matrice $W$ de $w$ dans $ℬ_{0}$ et la base canonique de $ℝ^{2}$ . Calculer la matrice de $w \circ u$ de deux façons, puis déterminer $Ker (w \circ u)$ .

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1. $u (1) = 1$ , $u (X) = X + 1$ , $u (X^{2}) = X^{2} + 2 X$ . Donc $A = (\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}), N = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}), N^{2} = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}), N^{3} = 0_{3} .$ ( $N$ est la matrice de la dérivation $D : P \mapsto P^{'}$ ; $N^{3} = 0_{3}$ traduit $P^{'''} = 0$ pour $\deg P \leq 2$ .)

2. Comme $N^{3} = 0_{3}$ et que $I_{3}$ commute avec $N$ : $(I_{3} + N) (I_{3} - N + N^{2}) = I_{3} - N + N^{2} + N - N^{2} + N^{3} = I_{3} + N^{3} = I_{3} .$ On a trouvé $B = I_{3} - N + N^{2}$ avec $A B = I_{3}$ ; pour des matrices carrées, cela suffit (fiche § 4), et de toute façon $B$ est un polynôme en $N$ , donc commute avec $A$ . Ainsi $A$ est inversible et $A^{- 1} = I_{3} - N + N^{2} = (\begin{array}{ccc} 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) .$ Par le dictionnaire, $u$ est un automorphisme de $E$ et $u^{- 1}$ a pour matrice $I_{3} - N + N^{2}$ , matrice de ${i d}_{E} - D + D^{2}$ : donc $u^{- 1} (P) = P - P^{'} + P^{''}$ . Vérification directe : $u (P - P^{'} + P^{''}) = (P - P^{'} + P^{''}) + (P^{'} - P^{''} + P^{'''}) = P + P^{'''} = P$ car $P^{'''} = 0$ .

3. $I_{3}$ et $N$ commutent, la formule du binôme s'applique ; comme $N^{k} = 0_{3}$ pour $k \geq 3$ , pour $n \geq 2$ : $A^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) N^{k} = I_{3} + n N + \frac{n (n - 1)}{2} N^{2} = (\begin{array}{ccc} 1 & n & n (n - 1) \\ 0 & 1 & 2 n \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) .$ La formule reste vraie pour $n = 0$ et $n = 1$ (vérification directe). La troisième colonne donne $u^{n} (X^{2}) = n (n - 1) + 2 n X + X^{2}$ . Contrôle pour $n = 1$ : $u (X^{2}) = X^{2} + 2 X$ .

4. $w (1) = (1, 1)$ , $w (X) = (0, 1)$ , $w (X^{2}) = (0, 1)$ : $W = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array})$ . Par le produit (la base « du milieu » est $ℬ_{0}$ des deux côtés) : $Mat (w \circ u) = W A = (\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}) .$ Directement : pour $P = a + b X + c X^{2}$ , $u (P) = (a + b) + (b + 2 c) X + c X^{2}$ , donc $w (u (P)) = (a + b, (a + b) + (b + 2 c) + c) = (a + b, a + 2 b + 3 c)$ : même matrice. Noyau : $a + b = 0$ et $a + 2 b + 3 c = 0$ donnent $b = - a$ puis $- a + 3 c = 0$ , soit $a = 3 c$ , $b = - 3 c$ . Donc $Ker (w \circ u) = Vect (3 - 3 X + X^{2})$ , de dimension $1 = 3 - rg (W A)$ (les deux lignes de $W A$ ne sont pas proportionnelles, le rang vaut $2$ ). Contrôle : $u (3 - 3 X + X^{2}) = X^{2} - X$ , qui s'annule en $0$ et en $1$ .

Après avoir comparé avec le corrigé :

Application du cours5 points

3. Changement de base et puissances

Dans $ℝ^{3}$ , rapporté à sa base canonique $ℬ = (e_{1}, e_{2}, e_{3})$ , on étudie l'endomorphisme $f$ tel que ${Mat}_{ℬ} (f)$ soit $A = (\begin{array}{ccc} 4 & 1 & - 2 \\ 1 & 2 & - 1 \\ 3 & 1 & - 1 \end{array}) .$ On pose $u_{1} = (1, 0, 1)$ , $u_{2} = (1, 1, 1)$ , $u_{3} = (1, 1, 2)$ .

Prouver que $ℬ^{'} = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ , famille libre et génératrice de $ℝ^{3}$ , en est une base ; écrire $P = P_{ℬ \to ℬ^{'}}$ .
Inverser $P$ en appliquant le pivot de Gauss.
Calculer $f (u_{1})$ , $f (u_{2})$ , $f (u_{3})$ et en déduire $T = {Mat}_{ℬ^{'}} (f)$ . Quelle relation lie $A$ , $T$ et $P$ ?
Déterminer les coordonnées du vecteur $v = (1, 2, 3)$ dans $ℬ^{'}$ .
Calculer $T^{n}$ puis $A^{n}$ pour $n \in ℕ$ .

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1. Les nouveaux vecteurs, écrits en colonnes dans l'ancienne base : $P = (\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array})$ . La question 2 montre que $P$ est inversible ; ses colonnes forment donc une base de $ℝ^{3}$ (fiche § 1), et $P = P_{ℬ \to ℬ^{'}}$ .

2. On applique les mêmes opérations sur les lignes à $P$ et à $I_{3}$ : $(\begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}) \overset{L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}}{⟶} (\begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 & 0 & 1 \end{array}) .$ La partie gauche est triangulaire à diagonale non nulle : $P$ est inversible. On remonte : $L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{3}$ donne $(0, 1, 0 ∣ 1, 1, - 1)$ ; $L_{1} \leftarrow L_{1} - L_{3}$ donne $(1, 1, 0 ∣ 2, 0, - 1)$ , puis $L_{1} \leftarrow L_{1} - L_{2}$ donne $(1, 0, 0 ∣ 1, - 1, 0)$ . D'où $P^{- 1} = (\begin{array}{ccc} 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & 1 \end{array}) (contr \hat{o} le : la premi \overset{ˋ}{e} re colonne de P P^{- 1} vaut^{t} (1 + 1 - 1, 0 + 1 - 1, 1 + 1 - 2) =^{t} (1, 0, 0)) .$

3. Avec $Y = A X$ :

$f (u_{1}) = A^{t} (1, 0, 1) =^{t} (4 - 2, 1 - 1, 3 - 1) = (2, 0, 2) = 2 u_{1}$ ;
$f (u_{2}) = A^{t} (1, 1, 1) = (3, 2, 3) = u_{1} + 2 u_{2}$ (en effet $(1, 0, 1) + (2, 2, 2) = (3, 2, 3)$ ) ;
$f (u_{3}) = A^{t} (1, 1, 2) = (1, 1, 2) = u_{3}$ .

On range les coordonnées dans $ℬ^{'}$ en colonnes : $T = {Mat}_{ℬ^{'}} (f) = (\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}), A = P T P^{- 1} (c’est- \overset{ˋ}{a} -dire T = P^{- 1} A P) .$ Contrôle sans inverse : $A P$ et $P T$ ont toutes deux pour colonnes $(2, 0, 2)$ , $(3, 2, 3)$ , $(1, 1, 2)$ .

4. Si $X =^{t} (1, 2, 3)$ et $X^{'}$ désigne les coordonnées de $v$ dans $ℬ^{'}$ , alors $X = P X^{'}$ , donc $X^{'} = P^{- 1} X =^{t} (1 - 2, 1 + 2 - 3, - 1 + 3) =^{t} (- 1, 0, 2)$ . Ainsi $v = - u_{1} + 2 u_{3}$ ; contrôle : $- (1, 0, 1) + 2 (1, 1, 2) = (1, 2, 3)$ .

5. Écrivons $T = (\begin{array}{cc} S & 0 \\ 0 & 1 \end{array})$ par blocs, avec $S = 2 I_{2} + K$ , $K = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array})$ , $K^{2} = 0_{2}$ . Comme $2 I_{2}$ et $K$ commutent, $S^{n} = 2^{n} I_{2} + n 2^{n - 1} K$ (binôme ; valable aussi pour $n = 0$ ). Par blocs (fiche § 13) : $T^{n} = (\begin{array}{ccc} 2^{n} & n 2^{n - 1} & 0 \\ 0 & 2^{n} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) .$ Puis $A^{n} = P T^{n} P^{- 1}$ (récurrence : $A^{n + 1} = P T^{n} P^{- 1} P T P^{- 1} = P T^{n + 1} P^{- 1}$ ). On calcule d'abord $P T^{n} = (\begin{array}{ccc} 2^{n} & (n + 2) 2^{n - 1} & 1 \\ 0 & 2^{n} & 1 \\ 2^{n} & (n + 2) 2^{n - 1} & 2 \end{array})$ , puis le produit par $P^{- 1}$ : $A^{n} = (\begin{array}{ccc} (n + 4) 2^{n - 1} - 1 & n 2^{n - 1} & 1 - (n + 2) 2^{n - 1} \\ 2^{n} - 1 & 2^{n} & 1 - 2^{n} \\ (n + 4) 2^{n - 1} - 2 & n 2^{n - 1} & 2 - (n + 2) 2^{n - 1} \end{array}) .$ Contrôles : pour $n = 0$ on trouve $I_{3}$ ; pour $n = 1$ , on retrouve $A$ (par exemple le coefficient $(1, 1)$ vaut $\frac{5}{2} \cdot 2 - 1 = 4$ ).

Après avoir comparé avec le corrigé :

Application du cours5 points

4. Rang avec paramètre, noyau et image

Pour $m \in ℝ$ , on considère $A_{m} = (\begin{array}{cccc} 1 & 2 & - 1 & 1 \\ 2 & m + 3 & - 2 & 3 \\ - 1 & m - 3 & m & - 3 \end{array}) \in ℳ_{3, 4} (ℝ)$ et $f_{m} : ℝ^{4} \to ℝ^{3}$ l'application linéaire canoniquement associée.

Déterminer le rang de $A_{m}$ selon les valeurs de $m$ .
Pour quelles valeurs de $m$ l'application $f_{m}$ est-elle surjective ? Peut-elle être injective ?
On prend $m = 0$ . Donner une base de $Ker f_{0}$ .
On prend $m = 1$ . Donner une base de $Ker f_{1}$ , une base de $Im f_{1}$ et une équation de $Im f_{1}$ .

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1. Opérations sur les lignes : $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ donne $(0, m - 1, 0, 1)$ ; $L_{3} \leftarrow L_{3} + L_{1}$ donne $(0, m - 1, m - 1, - 2)$ ; puis $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{2}$ donne $(0, 0, m - 1, - 3)$ . Donc $rg A_{m} = rg (\begin{array}{cccc} 1 & 2 & - 1 & 1 \\ 0 & m - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & m - 1 & - 3 \end{array}) .$

Si $m \neq 1$ : pivots $1$ , $m - 1$ , $m - 1$ dans les colonnes $1$ , $2$ , $3$ , tous non nuls : $rg A_{m} = 3$ .
Si $m = 1$ : les lignes 2 et 3 deviennent $(0, 0, 0, 1)$ et $(0, 0, 0, - 3)$ , proportionnelles et non nulles : $rg A_{1} = 2$ .

(On n'a divisé par aucune expression en $m$ ; la discussion est complète.)

2. $f_{m}$ est surjective $⟺ rg A_{m} = \dim ℝ^{3} = 3 ⟺ m \neq 1$ . Elle n'est jamais injective : $rg A_{m} \leq 3 < 4 = \dim ℝ^{4}$ , donc $\dim Ker f_{m} = 4 - rg A_{m} \geq 1$ .

3. Pour $m = 0$ , le système échelonné s'écrit $x + 2 y - z + t = 0$ , $- y + t = 0$ , $- z - 3 t = 0$ . Avec $t$ pour paramètre : $y = t$ , $z = - 3 t$ , $x = - 2 t - 3 t - t = - 6 t$ . Donc $Ker f_{0} = Vect ((- 6, 1, - 3, 1))$ , de dimension $1 = 4 - 3$ ; contrôle dans la troisième ligne de $A_{0}$ : $- 1 \cdot (- 6) + (- 3) \cdot 1 + 0 - 3 \cdot 1 = 0$ .

4. Pour $m = 1$ , le système échelonné se réduit à $x + 2 y - z + t = 0$ et $t = 0$ , soit $x = - 2 y + z$ , $t = 0$ : $Ker f_{1} = Vect ((- 2, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0))$ , de dimension $2 = 4 - 2$ (les deux vecteurs ne sont pas colinéaires). Les pivots de la forme échelonnée sont dans les colonnes $1$ et $4$ : les colonnes $C_{1} = (1, 2, - 1)$ et $C_{4} = (1, 3, - 3)$ de $A_{1}$ , non colinéaires, forment une base de $Im f_{1}$ (qui est de dimension $2$ ). Équation : $(a, b, c) \in Im f_{1}$ si et seulement si $(a, b, c) = α C_{1} + β C_{4}$ ; les deux premières composantes donnent $β = b - 2 a$ , $α = 3 a - b$ , et la troisième impose $c = - α - 3 β = - (3 a - b) - 3 (b - 2 a) = 3 a - 2 b$ . Donc $Im f_{1} = {(a, b, c) \in ℝ^{3}, 3 a - 2 b - c = 0} .$ Contrôle : $3 - 4 + 1 = 0$ pour $C_{1}$ et $3 - 6 + 3 = 0$ pour $C_{4}$ ; la colonne $C_{2} = (2, 4, - 2) = 2 C_{1}$ y est aussi.

Après avoir comparé avec le corrigé :

Niveau devoir6 points

5. Système linéaire à deux paramètres

Pour $(a, b) \in ℝ^{2}$ , on considère le système d'inconnue $(x, y, z) \in ℝ^{3}$ : $(S_{a, b}) {\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + 2 y + a z = 2 \\ 2 x + 3 y + (a^{2} + 1) z = b \end{cases}$ On note $M_{a}$ sa matrice et $u_{a}$ l'endomorphisme de $ℝ^{3}$ canoniquement associé.

Échelonner le système et déterminer le rang de $M_{a}$ selon $a$ .
Pour $a \notin {0, 1}$ , justifier que $(S_{a, b})$ est un système de Cramer et le résoudre.
Pour $a = 0$ , puis pour $a = 1$ : donner une condition nécessaire et suffisante sur $b$ pour que le système soit compatible, et décrire alors l'ensemble des solutions.
Interpréter le résultat de la question 3 en termes de $Im u_{a}$ et de $Ker u_{a}$ .

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1. $L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} - 2 L_{1}$ : ${\begin{cases} x + y + z = 1 \\ y + (a - 1) z = 1 \\ y + (a^{2} - 1) z = b - 2 \end{cases} puis L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{2} : {\begin{cases} x + y + z = 1 \\ y + (a - 1) z = 1 \\ (a^{2} - a) z = b - 3 \end{cases}$ car $(a^{2} - 1) - (a - 1) = a^{2} - a = a (a - 1)$ . Les pivots sont $1$ , $1$ et $a (a - 1)$ . Donc $rg M_{a} = 3$ si $a \notin {0, 1}$ , et $rg M_{a} = 2$ si $a \in {0, 1}$ (la troisième ligne de la matrice échelonnée est alors nulle, les deux premières ne le sont pas).

2. Pour $a \notin {0, 1}$ , $M_{a}$ est carrée de rang $3$ , donc inversible : $(S_{a, b})$ est un système de Cramer et il a une unique solution pour tout $b$ . On remonte : $z = \frac{b - 3}{a (a - 1)}, y = 1 - (a - 1) z = 1 - \frac{b - 3}{a}, x = 1 - y - z = \frac{b - 3}{a} - \frac{b - 3}{a (a - 1)} = \frac{(a - 2) (b - 3)}{a (a - 1)} .$ $(x, y, z) = (\frac{(a - 2) (b - 3)}{a (a - 1)}, 1 - \frac{b - 3}{a}, \frac{b - 3}{a (a - 1)})$ (Contrôle dans la deuxième équation : $x + 2 y + a z = 1 + y + (a - 1) z$ après $x = 1 - y - z$ , et $y + (a - 1) z = 1$ , donc on trouve bien $2$ .)

3. Cas $a = 0$ . La troisième ligne devient $0 = b - 3$ : le système est compatible si et seulement si $b = 3$ . Il reste $x + y + z = 1$ , $y - z = 1$ ; avec $z = t$ : $y = 1 + t$ , $x = - 2 t$ . Les solutions sont $𝒮 = {(0, 1, 0) + t (- 2, 1, 1), t \in ℝ} .$ Cas $a = 1$ . Même condition $b = 3$ ; il reste $x + y + z = 1$ , $y = 1$ , d'où $x = - z$ : $𝒮 = {(0, 1, 0) + t (- 1, 0, 1), t \in ℝ}$ . Dans les deux cas, $(0, 1, 0)$ est une solution particulière (elle vérifie le système pour toute valeur de $a$ quand $b = 3$ ) et l'ensemble des solutions est une droite affine : solution particulière plus droite vectorielle.

4. Pour $a \in {0, 1}$ , $rg u_{a} = 2$ , donc $\dim Ker u_{a} = 1$ : on a trouvé $Ker u_{0} = Vect (- 2, 1, 1)$ et $Ker u_{1} = Vect (- 1, 0, 1)$ (solutions du système homogène). Dans les deux cas la troisième ligne de $M_{a}$ est la somme des deux premières (pour $a = 0$ : $(2, 3, 1) = (1, 1, 1) + (1, 2, 0)$ ; pour $a = 1$ : $(2, 3, 2) = (1, 1, 1) + (1, 2, 1)$ ). Donc tout vecteur $(p, q, r)$ de $Im u_{a}$ vérifie $r = p + q$ ; comme ${r = p + q}$ est un plan et que $\dim Im u_{a} = 2$ , $Im u_{a} = {(p, q, r), r = p + q}$ . Le second membre $(1, 2, b)$ est dans l'image si et seulement si $b = 1 + 2 = 3$ : on retrouve la condition de compatibilité. C'est la lecture « $(S)$ compatible $⟺ B \in Im A$ » du cours (fiche § 12).

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Niveau devoir6 points

6. Matrices de projecteurs : rang, trace et similitude

Soit $n \geq 2$ . On dit que $A \in ℳ_{n} (𝕂)$ est une matrice de projecteur si $A^{2} = A$ .

Soit $A$ une matrice de projecteur, de rang $r$ , et $u$ l'endomorphisme de $𝕂^{n}$ canoniquement associé. (a) Rappeler pourquoi $𝕂^{n} = Im u \oplus Ker u$ et $Im u = Ker (u - i d)$ . (b) En déduire que $A$ est semblable à $D_{r} = (\begin{array}{cc} I_{r} & 0 \\ 0 & 0_{n - r} \end{array})$ (écriture par blocs), puis que $tr A = rg A$ .
Exemple. Soit $A = (\begin{array}{ccc} 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 2 & 0 & - 1 \end{array})$ . Vérifier que $A^{2} = A$ , donner $rg A$ sans calcul supplémentaire, puis trouver $P$ inversible telle que $P^{- 1} A P = D_{2}$ .
Montrer que deux matrices de projecteur de $ℳ_{n} (𝕂)$ sont semblables exactement lorsque leurs traces coïncident.
Deux matrices de $ℳ_{2} (ℝ)$ ayant même trace et même rang sont-elles toujours semblables ?
Soit $A$ une matrice de projecteur telle que $tr A = n$ . Montrer que $A = I_{n}$ .

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1.(a) $A^{2} = A$ équivaut à $u \circ u = u$ : $u$ est un projecteur. D'après la caractérisation des projecteurs (Espaces vectoriels § 10), $𝕂^{n} = Im u \oplus Ker u$ et $Im u = Ker (u - i d)$ : tout vecteur de l'image est fixe (si $y = u (x)$ , $u (y) = u^{2} (x) = u (x) = y$ ).

(b) Soit $(v_{1}, \dots, v_{r})$ une base de $Im u$ (de dimension $r = rg A$ ) et $(v_{r + 1}, \dots, v_{n})$ une base de $Ker u$ . Comme la somme est directe et vaut $𝕂^{n}$ , la famille concaténée $ℬ^{'} = (v_{1}, \dots, v_{n})$ est une base de $𝕂^{n}$ . On a $u (v_{i}) = v_{i}$ pour $i \leq r$ et $u (v_{i}) = 0$ pour $i > r$ , donc ${Mat}_{ℬ^{'}} (u) = D_{r}$ . En notant $P$ la matrice dont les colonnes sont $v_{1}, \dots, v_{n}$ (passage de la base canonique vers $ℬ^{'}$ ), on obtient $P^{- 1} A P = D_{r}$ : $A$ est semblable à $D_{r}$ . La trace est un invariant de similitude, donc $tr A = tr D_{r} = r = rg A$ .

2. $A^{2}$ : première ligne $(4 + 0 - 2, 0, - 2 + 0 + 1) = (2, 0, - 1)$ ; deuxième ligne $(2 + 1 - 2, 1, - 1 - 1 + 1) = (1, 1, - 1)$ ; troisième ligne $(4 + 0 - 2, 0, - 2 + 0 + 1) = (2, 0, - 1)$ . Donc $A^{2} = A$ . Par la question 1, $rg A = tr A = 2 + 1 - 1 = 2$ . $Im u = Ker (A - I_{3})$ : $A - I_{3} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & - 2 \end{array})$ , d'où l'unique équation $x = z$ : $Im u = Vect ((1, 0, 1), (0, 1, 0))$ . $Ker u$ : $2 x - z = 0$ et $x + y - z = 0$ donnent $z = 2 x$ , $y = x$ : $Ker u = Vect ((1, 1, 2))$ . D'où $P = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{array}), P^{- 1} A P = D_{2} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}) .$ ( $P$ est inversible puisque ses colonnes forment la base adaptée de la question 1 ; on vérifie $A P = P D_{2}$ : les colonnes de $A P$ sont $(1, 0, 1)$ , $(0, 1, 0)$ et $(0, 0, 0)$ .)

3. Si $A$ et $B$ sont semblables, elles ont même trace (invariant). Réciproquement, si $A$ et $B$ sont des matrices de projecteur de même trace $r$ , alors elles ont le même rang $r$ (question 1), donc sont toutes deux semblables à $D_{r}$ ; par symétrie et transitivité de la similitude, $A$ et $B$ sont semblables.

4. Non. $I_{2}$ et $B = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array})$ ont toutes deux la trace $2$ et le rang $2$ . Mais la seule matrice semblable à $I_{2}$ est $I_{2}$ ( $P^{- 1} I_{2} P = I_{2}$ ), et $B \neq I_{2}$ . La condition « même trace et même rang » est nécessaire, pas suffisante ; la question 3 montre qu'elle devient suffisante dans la famille particulière des matrices de projecteur.

5. $rg A = tr A = n$ , donc $A$ est inversible ; en multipliant $A^{2} = A$ par $A^{- 1}$ , on obtient $A = I_{n}$ .

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Niveau devoir6 points

7. L'opérateur de différence sur $ℝ_{3} [X]$

Pour $P \in ℝ_{3} [X]$ , on pose $Δ (P) = P (X + 1) - P (X)$ . On note $ℬ_{0} = (1, X, X^{2}, X^{3})$ .

Montrer que $Δ$ est un endomorphisme de $ℝ_{3} [X]$ et écrire $A = {Mat}_{ℬ_{0}} (Δ)$ .
Déterminer le rang, le noyau et l'image de $Δ$ .
Trouver l'unique $Q \in ℝ_{3} [X]$ tel que $Q (0) = 0$ et $Δ (Q) = X^{2}$ (résoudre un système avec $A$ ). En déduire, pour $n \in ℕ$ , la valeur de $\sum_{k = 0}^{n} k^{2}$ .
On pose $ε_{4} = X^{3}$ , $ε_{3} = Δ (ε_{4})$ , $ε_{2} = Δ (ε_{3})$ , $ε_{1} = Δ (ε_{2})$ . Calculer ces polynômes, montrer que $ℬ_{1} = (ε_{1}, ε_{2}, ε_{3}, ε_{4})$ est une base de $ℝ_{3} [X]$ et écrire $J = {Mat}_{ℬ_{1}} (Δ)$ . Que peut-on dire de $A$ et $J$ ? En déduire $A^{4}$ .

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1. Pour $λ, μ$ réels, $(λ P + μ Q) (X + 1) = λ P (X + 1) + μ Q (X + 1)$ , donc $Δ$ est linéaire. Si $\deg P \leq 3$ , $P (X + 1)$ est aussi de degré au plus $3$ , donc $Δ (P) \in ℝ_{3} [X]$ . Images de la base (binôme) : $Δ (1) = 0$ ; $Δ (X) = 1$ ; $Δ (X^{2}) = 2 X + 1$ ; $Δ (X^{3}) = 3 X^{2} + 3 X + 1$ . D'où $A = (\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) .$

2. Les colonnes $2$ , $3$ , $4$ de $A$ sont échelonnées (dernières composantes non nulles en positions $1$ , $2$ , $3$ ), donc libres, et la colonne $1$ est nulle : $rg Δ = 3$ , $\dim Ker Δ = 4 - 3 = 1$ . Comme $Δ (1) = 0$ , $Ker Δ = ℝ_{0} [X]$ . L'image est engendrée par $1$ , $2 X + 1$ , $3 X^{2} + 3 X + 1$ , polynômes de degré au plus $2$ : $Im Δ \subset ℝ_{2} [X]$ , et l'égalité des dimensions ( $3$ ) donne $Im Δ = ℝ_{2} [X]$ . En particulier, $Δ$ n'est ni injectif ni surjectif.

3. Cherchons $Q = a X + b X^{2} + c X^{3}$ (la condition $Q (0) = 0$ annule le coefficient constant). La relation $A^{t} (0, a, b, c) =^{t} (0, 0, 1, 0)$ s'écrit $a + b + c = 0$ , $2 b + 3 c = 0$ , $3 c = 1$ . On remonte : $c = \frac{1}{3}$ , $b = - \frac{1}{2}$ , $a = \frac{1}{6}$ . Donc $Q = \frac{X}{6} - \frac{X^{2}}{2} + \frac{X^{3}}{3} = \frac{X (X - 1) (2 X - 1)}{6} .$ Unicité : deux solutions diffèrent d'un élément de $Ker Δ$ , une constante, nulle en $0$ , donc nulle. Pour tout entier $k$ , $k^{2} = Δ (Q) (k) = Q (k + 1) - Q (k)$ . Par télescopage, $\sum_{k = 0}^{n} k^{2} = Q (n + 1) - Q (0) = \frac{(n + 1) n (2 n + 1)}{6} .$ Contrôle pour $n = 2$ : $0 + 1 + 4 = 5$ et $\frac{3 \cdot 2 \cdot 5}{6} = 5$ .

4. $ε_{3} = Δ (X^{3}) = 3 X^{2} + 3 X + 1$ ; $ε_{2} = Δ (ε_{3}) = 3 (2 X + 1) + 3 \cdot 1 = 6 X + 6$ ; $ε_{1} = Δ (6 X + 6) = 6$ . Les degrés de $ε_{1}, \dots, ε_{4}$ sont $0, 1, 2, 3$ : la famille est libre (degrés échelonnés) et compte $4 = \dim ℝ_{3} [X]$ éléments, c'est une base. Par construction $Δ (ε_{1}) = 0$ , $Δ (ε_{2}) = ε_{1}$ , $Δ (ε_{3}) = ε_{2}$ , $Δ (ε_{4}) = ε_{3}$ , donc $J = (\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) .$ $A$ et $J$ sont deux matrices du même endomorphisme dans deux bases : elles sont semblables, $J = P^{- 1} A P$ où $P = P_{ℬ_{0} \to ℬ_{1}}$ a pour colonnes $^{t} (6, 0, 0, 0)$ , $^{t} (6, 6, 0, 0)$ , $^{t} (1, 3, 3, 0)$ , $^{t} (0, 0, 0, 1)$ . Or $J^{4} = 0_{4}$ (chaque multiplication par $J$ décale les colonnes d'un cran), donc $A^{4} = P J^{4} P^{- 1} = 0_{4}$ : $Δ^{4} = 0$ , ce qui se voit aussi directement (chaque application de $Δ$ fait baisser le degré d'au moins $1$ ).

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Niveau devoir6 points

8. Traces d'endomorphismes de $ℳ_{n} (𝕂)$

Soit $n \geq 2$ et $A \in ℳ_{n} (𝕂)$ . On note $(E_{i j})$ la base canonique de $ℳ_{n} (𝕂)$ et l'on considère les endomorphismes de $ℳ_{n} (𝕂)$ $L_{A} (M) = A M, R_{A} (M) = M A, T (M) =^{t} ⁣ M .$

Cas $n = 2$ , $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ . Écrire les matrices de $L_{A}$ et de $T$ dans la base $(E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22})$ et calculer leurs traces.
Cas général. On rappelle que $E_{i j} E_{k l} = δ_{j k} E_{i l}$ . Exprimer $L_{A} (E_{i j})$ et $R_{A} (E_{i j})$ dans la base $(E_{k l})$ et en déduire $tr L_{A}$ , $tr R_{A}$ , puis la trace de $M \mapsto A M - M A$ .
Calculer $tr T$ . Vérifier que $q = \frac{1}{2} (i d + T)$ est un projecteur, préciser son image et son noyau, et en déduire, par un calcul de trace, les dimensions de $𝒮_{n} (𝕂)$ et $𝒜_{n} (𝕂)$ (matrices symétriques et antisymétriques).
Vérifier la cohérence avec la formule $tr s = \dim F - \dim G$ pour une symétrie $s$ par rapport à $F$ parallèlement à $G$ .

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1. $A E_{11} = (\begin{array}{cc} a & 0 \\ c & 0 \end{array}) = a E_{11} + c E_{21}$ , $A E_{12} = a E_{12} + c E_{22}$ , $A E_{21} = b E_{11} + d E_{21}$ , $A E_{22} = b E_{12} + d E_{22}$ . En colonnes : $Mat (L_{A}) = (\begin{array}{cccc} a & 0 & b & 0 \\ 0 & a & 0 & b \\ c & 0 & d & 0 \\ 0 & c & 0 & d \end{array}), tr L_{A} = 2 a + 2 d = 2 tr A .$ $T (E_{11}) = E_{11}$ , $T (E_{12}) = E_{21}$ , $T (E_{21}) = E_{12}$ , $T (E_{22}) = E_{22}$ : $Mat (T) = (\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}), tr T = 2.$

2. Écrivons $A = \sum_{k, l} a_{k l} E_{k l}$ . Alors $A E_{i j} = \sum_{k, l} a_{k l} E_{k l} E_{i j} = \sum_{k} a_{k i} E_{k j}$ : la colonne de $L_{A}$ associée à $E_{i j}$ a pour coefficient sur $E_{i j}$ lui-même $a_{i i}$ (terme $k = i$ ). En sommant ces coefficients diagonaux : $tr L_{A} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i i} = n tr A .$ De même $E_{i j} A = \sum_{l} a_{j l} E_{i l}$ , de coefficient $a_{j j}$ sur $E_{i j}$ , d'où $tr R_{A} = \sum_{i, j} a_{j j} = n tr A$ . Par linéarité de la trace, $tr (L_{A} - R_{A}) = n tr A - n tr A = 0 .$

3. $T (E_{i j}) = E_{j i}$ : le coefficient de $E_{i j}$ dans $T (E_{i j})$ vaut $1$ si $i = j$ et $0$ sinon, donc $tr T = n$ . Comme $T \circ T = i d$ , $q \circ q = \frac{1}{4} (i d + 2 T + T^{2}) = \frac{1}{4} (2 i d + 2 T) = q$ : $q$ est un projecteur. $q (M) = M ⟺ T (M) = M ⟺ M$ symétrique, donc $Im q = Ker (q - i d) = 𝒮_{n} (𝕂)$ ; $q (M) = 0 ⟺^{t} ⁣ M = - M$ , donc $Ker q = 𝒜_{n} (𝕂)$ . La trace d'un projecteur est son rang : $\dim 𝒮_{n} (𝕂) = rg q = tr q = \frac{1}{2} (tr i d + tr T) = \frac{n^{2} + n}{2}, \dim 𝒜_{n} (𝕂) = n^{2} - \frac{n (n + 1)}{2} = \frac{n (n - 1)}{2}$ (théorème du rang pour $q$ ). On retrouve sans base explicite les dimensions vues au calcul matriciel.

4. $T$ est la symétrie par rapport à $𝒮_{n} (𝕂)$ parallèlement à $𝒜_{n} (𝕂)$ ( $T = 2 q - i d$ ). La formule donne $tr T = \frac{n (n + 1)}{2} - \frac{n (n - 1)}{2} = n$ : c'est bien la valeur trouvée à la question 3.

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Synthèse, niveau concours10 points

9. Problème : rang et matrices équivalentes

Dans tout le problème, $n, p \geq 1$ , $E$ et $F$ sont des $𝕂$ -espaces vectoriels de dimensions $p$ et $n$ . Pour $0 \leq r \leq \min (n, p)$ , on note $J_{r} \in ℳ_{n, p} (𝕂)$ la matrice dont les coefficients valent $1$ en positions $(1, 1), \dots, (r, r)$ et $0$ ailleurs ; par blocs, $J_{r} = (\begin{array}{cc} I_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{array})$ . Deux matrices $A, B \in ℳ_{n, p} (𝕂)$ sont dites équivalentes s'il existe $Q \in G L_{n} (𝕂)$ et $P \in G L_{p} (𝕂)$ telles que $B = Q^{- 1} A P$ .

Partie A — Forme normale (4 points). Soit $f \in ℒ (E, F)$ de rang $r$ .

Soit $S$ un supplémentaire de $Ker f$ dans $E$ . Justifier que $\dim S = r$ . On choisit une base $(e_{1}, \dots, e_{r})$ de $S$ et une base $(e_{r + 1}, \dots, e_{p})$ de $Ker f$ . Montrer que $ℬ = (e_{1}, \dots, e_{p})$ est une base de $E$ et que $(f (e_{1}), \dots, f (e_{r}))$ est une base de $Im f$ .
En déduire une base $𝒞$ de $F$ telle que ${Mat}_{ℬ, 𝒞} (f) = J_{r}$ .
Montrer que toute matrice $A \in ℳ_{n, p} (𝕂)$ de rang $r$ est équivalente à $J_{r}$ , puis que deux matrices de $ℳ_{n, p} (𝕂)$ sont équivalentes exactement lorsque leurs rangs sont égaux.

Partie B — Lignes et colonnes (1 point). 4. Montrer que $rg (^{t} ⁣ A) = rg A$ pour toute $A \in ℳ_{n, p} (𝕂)$ . Interpréter en termes de lignes de $A$ .

Partie C — Un exemple (2 points). 5. Soit $A = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \end{array})$ . Déterminer $rg A$ et $Ker A$ , puis, en suivant la partie A, des matrices $P \in G L_{3} (ℝ)$ et $Q \in G L_{2} (ℝ)$ telles que $Q^{- 1} A P = J_{2}$ .

Partie D — Matrices de rang 1 (3 points). 6. Soit $A \in ℳ_{n, p} (𝕂)$ . Montrer que $rg A = 1$ si et seulement s'il existe $U \in ℳ_{n, 1} (𝕂)$ et $V \in ℳ_{p, 1} (𝕂)$ , non nuls, tels que $A = U^{t} V$ . 7. Établir l'inégalité $rg (A + B) \leq rg A + rg B$ pour $A, B \in ℳ_{n, p} (𝕂)$ . 8. En déduire qu'une matrice de rang $r \geq 1$ est somme de $r$ matrices de rang $1$ , et qu'elle n'est pas somme de moins de $r$ matrices de rang $1$ .

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1. Par le théorème du rang (Espaces vectoriels § 9), $\dim Ker f = p - r$ , et $E = S \oplus Ker f$ donne $\dim S = p - (p - r) = r$ . Une base de $S$ suivie d'une base de $Ker f$ est une base de $E$ (concaténation de bases de sous-espaces supplémentaires) : $ℬ$ est une base. Liberté de $(f (e_{1}), \dots, f (e_{r}))$ : si $\sum_{i \leq r} λ_{i} f (e_{i}) = 0$ , alors $f (\sum_{i \leq r} λ_{i} e_{i}) = 0$ , donc $\sum_{i \leq r} λ_{i} e_{i} \in S \cap Ker f = {0}$ ; comme $(e_{1}, \dots, e_{r})$ est libre, tous les $λ_{i}$ sont nuls. Cette famille libre de $r$ vecteurs est contenue dans $Im f$ , de dimension $r$ : c'est une base de $Im f$ .

2. On complète la famille libre $(f (e_{1}), \dots, f (e_{r}))$ en une base $𝒞 = (f (e_{1}), \dots, f (e_{r}), ε_{r + 1}, \dots, ε_{n})$ de $F$ (théorème de la base incomplète). Alors, pour $j \leq r$ , $f (e_{j})$ est le $j$ -ième vecteur de $𝒞$ (colonne $j$ : un $1$ en ligne $j$ , des $0$ ailleurs), et pour $j > r$ , $f (e_{j}) = 0$ (colonne nulle). Donc ${Mat}_{ℬ, 𝒞} (f) = J_{r}$ .

3. Soit $f$ l'application canoniquement associée à $A$ ; c'est la matrice de $f$ dans les bases canoniques $ℬ_{0}$ de $𝕂^{p}$ et $𝒞_{0}$ de $𝕂^{n}$ , et $rg f = rg A = r$ . Avec les bases $ℬ$ , $𝒞$ de la question 2 et $P = P_{ℬ_{0} \to ℬ}$ , $Q = P_{𝒞_{0} \to 𝒞}$ , la formule de changement de bases donne $J_{r} = Q^{- 1} A P$ : $A$ est équivalente à $J_{r}$ . Si $A$ et $B$ sont équivalentes, $B = Q^{- 1} A P$ avec $Q$ , $P$ inversibles, et le rang est invariant par multiplication par des matrices inversibles : $rg B = rg A$ . Réciproquement, si $rg A = rg B = r$ , elles sont toutes deux équivalentes à $J_{r}$ : $A = Q_{1} J_{r} P_{1}^{- 1}$ et $B = Q_{2} J_{r} P_{2}^{- 1}$ . Alors $J_{r} = Q_{1}^{- 1} A P_{1}$ et $B = Q_{2} Q_{1}^{- 1} A P_{1} P_{2}^{- 1} = (Q_{1} Q_{2}^{- 1})^{- 1} A (P_{1} P_{2}^{- 1})$ , avec $Q_{1} Q_{2}^{- 1}$ et $P_{1} P_{2}^{- 1}$ inversibles : $A$ et $B$ sont équivalentes.

4. Écrivons $A = Q J_{r} P^{- 1}$ . Alors $^{t} ⁣ A =^{t} (P^{- 1})^{t} J_{r}^{t} ⁣ Q$ , où $^{t} (P^{- 1})$ et $^{t} ⁣ Q$ sont inversibles et $^{t} J_{r} \in ℳ_{p, n} (𝕂)$ est la matrice « $J_{r}$ » de ce format, de rang $r$ . Donc $rg (^{t} ⁣ A) = r = rg A$ . Les colonnes de $^{t} ⁣ A$ sont les lignes de $A$ (transposées) : le rang de la famille des lignes de $A$ est égal au rang de la famille de ses colonnes.

5. $L_{2} - 2 L_{1} = (0, 0, 1)$ : $rg A = 2$ . Le noyau : $x + 2 y + z = 0$ et $z = 0$ , soit $Ker A = Vect^{t} (- 2, 1, 0)$ (dimension $3 - 2 = 1$ ). On prend $S = Vect (e_{1}, e_{3})$ comme supplémentaire de $Ker A$ (justifié ci-dessous). Suivant la partie A, la base de départ est $(e_{1}, e_{3},^{t} (- 2, 1, 0))$ ; à l'arrivée, $A e_{1} =^{t} (1, 2)$ et $A e_{3} =^{t} (1, 3)$ ne sont pas colinéaires et forment déjà une base de $ℝ^{2}$ . Donc $P = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}), Q = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{array}) .$ $P$ est inversible : en échangeant ses lignes 2 et 3, on obtient une matrice triangulaire supérieure de diagonale $(1, 1, 1)$ , donc $rg P = 3$ ; en particulier $(e_{1}, e_{3},^{t} (- 2, 1, 0))$ est une base et $S \oplus Ker A = ℝ^{3}$ . $Q$ est inversible avec $Q^{- 1} = (\begin{array}{cc} 3 & - 1 \\ - 2 & 1 \end{array})$ . Vérification : $A P = (\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \end{array})$ et $Q^{- 1} A P = (\begin{array}{ccc} 3 - 2 & 3 - 3 & 0 \\ - 2 + 2 & - 2 + 3 & 0 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}) = J_{2}$ .

6. Si $A = U^{t} V$ avec $U \neq 0$ , $V =^{t} (v_{1}, \dots, v_{p}) \neq 0$ , la colonne $j$ de $A$ est $v_{j} U$ : toutes les colonnes sont colinéaires à $U$ et l'une d'elles ( $v_{j} \neq 0$ ) est non nulle, donc $rg A = 1$ . Réciproquement, si $rg A = 1$ , $Im A$ est une droite $Vect (U)$ avec $U \neq 0$ ; chaque colonne s'écrit $C_{j} = v_{j} U$ , et $V =^{t} (v_{1}, \dots, v_{p})$ n'est pas nul (sinon $A = 0$ ). Alors $A = (v_{1} U ∣ \dots ∣ v_{p} U) = U^{t} V$ .

7. Pour toute colonne $X$ , $(A + B) X = A X + B X$ , donc $Im (A + B) \subset Im A + Im B$ , et $rg (A + B) \leq \dim (Im A + Im B) \leq \dim Im A + \dim Im B = rg A + rg B$ (formule de Grassmann).

8. Écrivons $A = Q J_{r} P^{- 1}$ et $J_{r} = \sum_{k = 1}^{r} E_{k k}$ (matrices élémentaires de $ℳ_{n, p} (𝕂)$ ). Alors $A = \sum_{k = 1}^{r} Q E_{k k} P^{- 1}$ , et chaque $Q E_{k k} P^{- 1}$ a le rang de $E_{k k}$ , c'est-à-dire $1$ . Si l'on avait $A = A_{1} + \dots + A_{s}$ avec $s < r$ et $rg A_{i} = 1$ , la question 7 (appliquée $s - 1$ fois) donnerait $r = rg A \leq s$ , contradiction. Le rang est donc le nombre minimal de matrices de rang 1 dont $A$ est la somme.

Après avoir comparé avec le corrigé :

Synthèse, niveau concours10 points

10. Problème type concours : matrices de trace nulle

Format du concours : questions numérotées en continu ; répondre dans le cadre prévu pour chaque question.

Dans tout le problème, $n \geq 2$ ; on fixe un $𝕂$ -espace vectoriel $E$ , avec $\dim E = n$ , et $f \in ℒ (E)$ . On dit qu'une matrice carrée est à diagonale nulle si tous ses coefficients diagonaux sont nuls. On se propose de montrer que toute matrice de trace nulle est semblable à une matrice à diagonale nulle, puis que c'est un « commutateur » $A B - B A$ .

Partie I — Un lemme et le cas $n = 2$

▶ Q.1 On suppose que $(x, f (x))$ est une famille liée quel que soit $x \in E$ . Prouver que pour chaque $x \neq 0$ il existe $λ_{x} \in 𝕂$ tel que $f (x) = λ_{x} x$ , puis que $λ_{x} = λ_{y}$ pour $x$ , $y$ non nuls (traiter séparément le cas $(x, y)$ libre et le cas $(x, y)$ liée). En déduire que $f$ est une homothétie.

▶ Q.2 On suppose que $f$ est une homothétie de trace nulle. Montrer que $f = 0$ .

▶ Q.3 On suppose $n = 2$ et $tr f = 0$ , $f$ non nul. Prouver qu'on peut choisir un vecteur $x$ pour lequel la famille $ℬ = (x, f (x))$ engendre $E$ (c'en est alors une base), et que ${Mat}_{ℬ} (f)$ est à diagonale nulle.

▶ Q.4 Application : $A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array})$ . Trouver $P \in G L_{2} (ℝ)$ telle que $P^{- 1} A P$ soit à diagonale nulle et calculer $P^{- 1} A P$ .

Partie II — Le cas général

▶ Q.5 On suppose $tr f = 0$ et $f \neq 0$ . Prouver que $E$ possède une base $ℬ = (x, e_{2}, \dots, e_{n})$ dans laquelle ${Mat}_{ℬ} (f) = (\begin{array}{cc} 0 & L \\ C & B \end{array}), L \in ℳ_{1, n - 1} (𝕂), C \in ℳ_{n - 1, 1} (𝕂), B \in ℳ_{n - 1} (𝕂), tr B = 0.$

▶ Q.6 Soit $R \in G L_{n - 1} (𝕂)$ et $P_{1} = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & R \end{array})$ (blocs de tailles $1$ et $n - 1$ ). Montrer que $P_{1}$ est inversible et calculer, par blocs, $P_{1}^{- 1} (\begin{array}{cc} 0 & L \\ C & B \end{array}) P_{1}$ .

▶ Q.7 Démontrer par récurrence sur $n \geq 1$ la propriété : « toute matrice de $ℳ_{n} (𝕂)$ de trace nulle est semblable à une matrice à diagonale nulle ».

Partie III — Commutateurs

▶ Q.8 Montrer que $tr (A B - B A) = 0$ pour toutes $A, B \in ℳ_{n} (𝕂)$ .

▶ Q.9 Soit $D = diag (1, 2, \dots, n)$ et $C = (c_{i j})$ à diagonale nulle. Pour $X = (x_{i j}) \in ℳ_{n} (𝕂)$ , calculer le coefficient $(i, j)$ de $D X - X D$ . En déduire une matrice $X$ telle que $D X - X D = C$ .

▶ Q.10 Montrer que si $A = P C P^{- 1}$ et $C = D X - X D$ , alors $A = A_{1} B_{1} - B_{1} A_{1}$ avec $A_{1} = P D P^{- 1}$ et $B_{1} = P X P^{- 1}$ .

▶ Q.11 Conclure : une matrice de $ℳ_{n} (𝕂)$ est de la forme $A B - B A$ si et seulement si sa trace est nulle.

▶ Q.12 Pour la matrice $C = (\begin{array}{cc} 0 & 7 \\ 1 & 0 \end{array})$ obtenue à la question Q.4, donner $X$ telle que $D X - X D = C$ avec $D = diag (1, 2)$ .

Voir le corrigé

Q.1 Soit $x \neq 0$ . La famille $(x, f (x))$ est liée et $x \neq 0$ , donc $f (x)$ est colinéaire à $x$ : $f (x) = λ_{x} x$ (scalaire unique car $x \neq 0$ ). Soient $x$ , $y$ non nuls.

Si $(x, y)$ est libre : $x + y \neq 0$ , et $f (x + y) = λ_{x + y} (x + y)$ , mais aussi $f (x + y) = λ_{x} x + λ_{y} y$ . Par liberté, $λ_{x} = λ_{x + y} = λ_{y}$ .
Si $(x, y)$ est liée : $y = μ x$ avec $μ \neq 0$ , et $f (y) = μ f (x) = λ_{x} y$ , donc $λ_{y} = λ_{x}$ .

Le scalaire $λ = λ_{x}$ ne dépend donc pas de $x$ , et $f (x) = λ x$ pour tout $x$ (aussi pour $x = 0$ ) : $f = λ {i d}_{E}$ .

Q.2 Si $f = λ {i d}_{E}$ , $tr f = n λ$ . Comme $n \neq 0$ dans $𝕂$ ( $𝕂 = ℝ$ ou $ℂ$ ), $n λ = 0$ impose $λ = 0$ , donc $f = 0$ .

Q.3 $f$ est non nul et de trace nulle, donc ce n'est pas une homothétie (Q.2). Par la contraposée de Q.1, il existe $x$ tel que $(x, f (x))$ soit libre ; en dimension $2$ , c'est une base $ℬ$ . On a $f (x) = 0 \cdot x + 1 \cdot f (x)$ , et $f (f (x)) = α x + β f (x)$ pour certains scalaires $α, β$ . Donc ${Mat}_{ℬ} (f) = (\begin{array}{cc} 0 & α \\ 1 & β \end{array})$ , de trace $β$ . La trace ne dépend pas de la base : $β = tr f = 0$ , et la matrice est à diagonale nulle.

Q.4 $tr A = 0$ . On prend $x = e_{1}$ : $A e_{1} =^{t} (1, 3)$ , non colinéaire à $e_{1}$ . Avec $P = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 3 \end{array})$ (colonnes $e_{1}$ et $A e_{1}$ ), $A^{t} (1, 3) =^{t} (7, 0) = 7 e_{1}$ . Donc $P^{- 1} A P = (\begin{array}{cc} 0 & 7 \\ 1 & 0 \end{array}) .$ (Contrôle : $A P = (\begin{array}{cc} 1 & 7 \\ 3 & 0 \end{array})$ et $P (\begin{array}{cc} 0 & 7 \\ 1 & 0 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 1 & 7 \\ 3 & 0 \end{array})$ .)

Q.5 Comme en Q.3, $f$ n'est pas une homothétie, et il existe $x$ tel que $(x, f (x))$ soit libre. On pose $e_{2} = f (x)$ et l'on complète $(x, e_{2})$ en une base $ℬ = (x, e_{2}, \dots, e_{n})$ de $E$ . La première colonne de ${Mat}_{ℬ} (f)$ est celle de $f (x) = e_{2}$ , soit $^{t} (0, 1, 0, \dots, 0)$ : le coefficient $(1, 1)$ est nul. En découpant selon les tailles $1$ et $n - 1$ , on obtient la forme annoncée (avec $C =^{t} (1, 0, \dots, 0)$ ), et $0 + tr B = tr f = 0$ , donc $tr B = 0$ .

Q.6 Par blocs, $(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & R^{- 1} \end{array}) (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & R \end{array}) = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & I_{n - 1} \end{array}) = I_{n}$ : $P_{1}$ est inversible, d'inverse $(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & R^{- 1} \end{array})$ . Puis $P_{1}^{- 1} (\begin{array}{cc} 0 & L \\ C & B \end{array}) P_{1} = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & R^{- 1} \end{array}) (\begin{array}{cc} 0 & L R \\ C & B R \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0 & L R \\ R^{- 1} C & R^{- 1} B R \end{array}) .$

Q.7 Initialisation ( $n = 1$ ) : une matrice $1 \times 1$ de trace nulle est $(0)$ , à diagonale nulle. Hérédité. Soit $n \geq 2$ ; supposons la propriété vraie au rang $n - 1$ , et soit $A \in ℳ_{n} (𝕂)$ de trace nulle, d'endomorphisme canoniquement associé $f$ . Si $A = 0$ , c'est fini. Sinon, Q.5 fournit $P_{0} \in G L_{n} (𝕂)$ (passage de la base canonique à $ℬ$ ) avec $P_{0}^{- 1} A P_{0} = (\begin{array}{cc} 0 & L \\ C & B \end{array})$ et $tr B = 0$ . Par hypothèse de récurrence, il existe $R \in G L_{n - 1} (𝕂)$ telle que $R^{- 1} B R$ soit à diagonale nulle. Avec $P_{1}$ de Q.6, $(P_{0} P_{1})^{- 1} A (P_{0} P_{1}) = (\begin{array}{cc} 0 & L R \\ R^{- 1} C & R^{- 1} B R \end{array})$ , dont tous les coefficients diagonaux sont nuls : $A$ est semblable à une matrice à diagonale nulle. La propriété est démontrée pour tout $n \geq 1$ .

Q.8 $tr (A B - B A) = tr (A B) - tr (B A) = 0$ par linéarité de la trace et $tr (A B) = tr (B A)$ .

Q.9 $(D X)_{i j} = i x_{i j}$ et $(X D)_{i j} = x_{i j} j$ , donc $(D X - X D)_{i j} = (i - j) x_{i j}$ . En particulier les coefficients diagonaux de $D X - X D$ sont nuls, ce qui est nécessaire puisque $C$ est à diagonale nulle. On pose $x_{i j} = \frac{c_{i j}}{i - j}$ pour $i \neq j$ et $x_{i i} = 0$ (par exemple) : alors $(D X - X D)_{i j} = c_{i j}$ pour $i \neq j$ et $0 = c_{i i}$ pour $i = j$ , soit $D X - X D = C$ .

Q.10 $A_{1} B_{1} - B_{1} A_{1} = P D P^{- 1} P X P^{- 1} - P X P^{- 1} P D P^{- 1} = P (D X - X D) P^{- 1} = P C P^{- 1} = A$ .

Q.11 Si $M = A B - B A$ , $tr M = 0$ (Q.8). Réciproquement, si $tr M = 0$ , Q.7 donne $P$ inversible et $C$ à diagonale nulle avec $M = P C P^{- 1}$ ; Q.9 donne $X$ avec $C = D X - X D$ ; Q.10 conclut que $M = A_{1} B_{1} - B_{1} A_{1}$ . Ainsi l'hyperplan $Ker (tr)$ est exactement l'ensemble des commutateurs.

Q.12 $x_{12} = \frac{c_{12}}{1 - 2} = - 7$ et $x_{21} = \frac{c_{21}}{2 - 1} = 1$ : $X = (\begin{array}{cc} 0 & - 7 \\ 1 & 0 \end{array})$ . Vérification : $D X = (\begin{array}{cc} 0 & - 7 \\ 2 & 0 \end{array})$ , $X D = (\begin{array}{cc} 0 & - 14 \\ 1 & 0 \end{array})$ , et $D X - X D = (\begin{array}{cc} 0 & 7 \\ 1 & 0 \end{array}) = C$ .

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Niveau devoir10 points

11. Endomorphisme nilpotent : indice, base adaptée, inverse de $i d - f$

Classique du programme : endomorphisme nilpotent.

Dans tout l'exercice, $E$ désigne un espace sur $𝕂$ , de dimension finie $n \geq 1$ , et l'endomorphisme $f$ de $E$ vérifie $f^{k} = 0$ pour un entier $k \geq 1$ (on dit que $f$ est nilpotent). Son indice de nilpotence est le plus petit entier $p \geq 1$ tel que $f^{p} = 0$ . On suppose $f \neq 0$ , donc $p \geq 2$ .

(2,5 points) Justifier l'existence de $x \in E$ tel que $f^{p - 1} (x) \neq 0$ . Prouver que les $p$ vecteurs $x, f (x), \dots, f^{p - 1} (x)$ sont linéairement indépendants. En déduire $p \leq n$ .
(1 point) Conclure que $f^{n} = 0$ : la puissance $n$ -ième d'un tel $f$ est toujours nulle.
(2 points) Montrer que ${i d}_{E} - f$ est inversible et que $({i d}_{E} - f)^{- 1} = \sum_{k = 0}^{p - 1} f^{k}$ . Application : inverser $B = (\begin{array}{ccc} 1 & - 1 & - 2 \\ 0 & 1 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$ en l'écrivant $I_{3} - N$ .
(2,5 points) On suppose maintenant $p = n$ . Soit $x \in E$ tel que $f^{n - 1} (x) \neq 0$ et $ℬ = (x, f (x), \dots, f^{n - 1} (x))$ . a) Établir que $ℬ$ constitue une base de $E$ , puis exprimer ${Mat}_{ℬ} (f)$ . b) Déterminer $rg f$ , $Ker f$ et $\dim Ker f^{k}$ pour $1 \leq k \leq n$ .
(2 points) Sur $ℝ^{3}$ , avec $(e_{1}, e_{2}, e_{3})$ pour base canonique, on étudie l'application linéaire $f$ de matrice $A = (\begin{array}{ccc} 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \end{array})$ . a) Calculer $A^{2}$ et $A^{3}$ . Quel est l'indice de nilpotence de $f$ ? b) Avec $x = e_{1} = (1, 0, 0)$ , former la base $ℬ = (x, f (x), f^{2} (x))$ et la matrice $P$ obtenue en juxtaposant, en colonnes, les coordonnées de ces trois vecteurs, puis vérifier $P^{- 1} A P = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array})$ . c) Calculer $(I_{3} - A)^{- 1}$ .

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1. Par définition de l'indice, $f^{p - 1} \neq 0$ (sinon $p - 1$ conviendrait, et $p - 1 \geq 1$ puisque $p \geq 2$ ) : il existe donc $x$ avec $f^{p - 1} (x) \neq 0$ . Liberté. Supposons $\sum_{k = 0}^{p - 1} λ_{k} f^{k} (x) = 0$ avec les $λ_{k}$ non tous nuls ; soit $j$ le plus petit indice tel que $λ_{j} \neq 0$ . Appliquons $f^{p - 1 - j}$ : $\sum_{k = j}^{p - 1} λ_{k} f^{k + p - 1 - j} (x) = λ_{j} f^{p - 1} (x) + \sum_{k > j} λ_{k} f^{p - 1 + (k - j)} (x) = λ_{j} f^{p - 1} (x),$ car $f^{m} = 0$ pour $m \geq p$ . On obtient $λ_{j} f^{p - 1} (x) = 0$ , donc $λ_{j} = 0$ : contradiction. La famille est libre. Elle comporte $p$ vecteurs d'un espace de dimension $n$ : $p \leq n$ .

2. Comme $p \leq n$ et $f^{p} = 0$ , on a $f^{n} = f^{n - p} \circ f^{p} = 0$ : $f^{n} = 0$ . (En particulier, si $A \in ℳ_{n} (𝕂)$ est nilpotente, alors $A^{n} = 0_{n}$ .)

3. Les endomorphismes ${i d}_{E}$ et $f$ commutent, donc $({i d}_{E} - f) \circ \sum_{k = 0}^{p - 1} f^{k} = {i d}_{E} - f^{p} = {i d}_{E},$ et de même dans l'autre ordre (somme télescopique). Donc ${i d}_{E} - f$ est bijective et $({i d}_{E} - f)^{- 1} = {i d}_{E} + f + \dots + f^{p - 1}$ . Application. $B = I_{3} - N$ avec $N = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$ (strictement triangulaire), $N^{2} = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$ et $N^{3} = 0$ . Donc $B^{- 1} = I_{3} + N + N^{2} = (\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$ (vérification : la première ligne de $B$ fois la troisième colonne donne $5 - 3 - 2 = 0$ , la deuxième ligne fois la troisième colonne $3 - 3 = 0$ ).

4.a) D'après la question 1 (avec $p = n$ ), la famille $ℬ$ est libre et compte $n = \dim E$ vecteurs : c'est une base (fiche d'Espaces vectoriels, §5). Notons $e_{k} = f^{k - 1} (x)$ pour $1 \leq k \leq n$ . Alors $f (e_{k}) = e_{k + 1}$ pour $k < n$ et $f (e_{n}) = f^{n} (x) = 0$ : ${Mat}_{ℬ} (f) = (\begin{array}{cccc} 0 \\ 1 & 0 \\ ⋱ & ⋱ \\ 1 & 0 \end{array})$ (des $1$ sous la diagonale, des $0$ ailleurs). Toute matrice nilpotente d'indice $n$ de $ℳ_{n} (𝕂)$ est donc semblable à cette matrice (fiche §8).

4.b) L'image de $f$ est engendrée par $f (e_{1}), \dots, f (e_{n})$ , c'est-à-dire par $e_{2}, \dots, e_{n}$ , famille libre : $rg f = n - 1$ . Par le théorème du rang, $\dim Ker f = 1$ et, comme $f (e_{n}) = 0$ , $Ker f = Vect (e_{n}) = Vect (f^{n - 1} (x))$ . Plus généralement $f^{k} (e_{j}) = e_{j + k}$ si $j + k \leq n$ et $0$ sinon : $f^{k}$ envoie $(e_{1}, \dots, e_{n - k})$ sur $(e_{k + 1}, \dots, e_{n})$ et annule $e_{n - k + 1}, \dots, e_{n}$ . Donc $rg f^{k} = n - k$ et $\dim Ker f^{k} = k$ pour $1 \leq k \leq n$ .

5.a) On calcule $A^{2} = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{array}), A^{3} = A^{2} A = 0_{3} .$ (La deuxième ligne de $A^{2}$ est la ligne $(1, 0, 0) A$ , égale à la première ligne de $A$ : $(1, - 1, 1)$ .) Comme $A^{2} \neq 0$ et $A^{3} = 0$ , l'indice est $p = 3 = n$ .

5.b) $x = e_{1}$ , $f (x) = A e_{1} = (1, 1, 0)$ (première colonne de $A$ ), $f^{2} (x) = A (1, 1, 0)^{T} = (0, 1, 1)$ . La matrice de passage a pour colonnes ces trois vecteurs : $P = (\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}), \det P = 1, P^{- 1} = (\begin{array}{ccc} 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) .$ La question 4.a) garantit que $P^{- 1} A P$ est la matrice annoncée. Vérification directe : $A P$ a pour colonnes $A e_{1} = (1, 1, 0)$ , $A (1, 1, 0)^{T} = (0, 1, 1)$ et $A (0, 1, 1)^{T} = 0$ , soit $A P = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array})$ , et $P^{- 1} (A P)$ a pour colonnes $P^{- 1} (1, 1, 0)^{T} = (0, 1, 0)^{T}$ , $P^{- 1} (0, 1, 1)^{T} = (0, 0, 1)^{T}$ et $0$ : on retrouve $(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array})$ . (De plus $Ker f = Vect (0, 1, 1) = Vect (f^{2} (x))$ .)

5.c) D'après la question 3, $(I_{3} - A)^{- 1} = I_{3} + A + A^{2}$ ; en additionnant terme à terme les trois matrices : $(I_{3} - A)^{- 1} = (\begin{array}{ccc} 2 & - 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}) .$

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Révisions prépa

Algèbre · 1re année

Matrices et applications linéaires

Application du cours4 points

1. Écrire des matrices dans des bases

Dans $ℝ_{2} [X]$ , on travaille avec la base canonique $ℬ_{0} = (1, X, X^{2})$ .

Écrire la matrice $A$ , dans les bases canoniques, de $f : ℝ^{3} \to ℝ^{2}$ , $f (x, y, z) = (2 x - y + z, x + 3 z)$ .
Soit $g : ℝ_{2} [X] \to ℝ^{3}$ , $g (P) = (P (0), P^{'} (1), P (- 1))$ . Justifier que $g$ est linéaire, écrire sa matrice $B$ relativement à $ℬ_{0}$ et à la base canonique de $ℝ^{3}$ , puis montrer que $g$ est un isomorphisme.
Soit $h : ℝ_{2} [X] \to ℝ_{2} [X]$ , $h (P) = P (1 - X)$ (on remplace $X$ par $1 - X$ ). (a) Vérifier que $h$ envoie $ℝ_{2} [X]$ dans lui-même, qu'elle est linéaire, et écrire $C = {Mat}_{ℬ_{0}} (h)$ . (b) Calculer, à l'aide de $C$ , l'image de $P = 3 - X + 2 X^{2}$ , et contrôler directement. (c) Calculer $C^{2}$ . Que peut-on en déduire pour $h$ (rang, noyau, réciproque) ?
Justifier que la famille $ℬ_{1} = (1, X - X^{2}, 2 X - 1)$ forme une base de $ℝ_{2} [X]$ , puis écrire ${Mat}_{ℬ_{1}} (h)$ . Comparer les traces de $C$ et de ${Mat}_{ℬ_{1}} (h)$ .

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Application du cours5 points

2. Composition, produit, inverse et puissances

Dans $E = ℝ_{2} [X]$ , muni de $ℬ_{0} = (1, X, X^{2})$ , on considère $u (P) = P + P^{'}$ et $w : E \to ℝ^{2}$ , $w (P) = (P (0), P (1))$ .

Écrire $A = {Mat}_{ℬ_{0}} (u)$ . On pose $N = A - I_{3}$ ; calculer $N^{2}$ et $N^{3}$ .
En déduire que $A$ est inversible et exprimer $A^{- 1}$ à l'aide de $N$ . Interpréter : montrer que $u$ est un automorphisme et que $u^{- 1} (P) = P - P^{'} + P^{''}$ , puis vérifier cette formule directement.
Calculer $A^{n}$ pour $n \in ℕ$ et en déduire $u^{n} (X^{2})$ .
Écrire la matrice $W$ de $w$ dans $ℬ_{0}$ et la base canonique de $ℝ^{2}$ . Calculer la matrice de $w \circ u$ de deux façons, puis déterminer $Ker (w \circ u)$ .

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Application du cours5 points

3. Changement de base et puissances

Prouver que $ℬ^{'} = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ , famille libre et génératrice de $ℝ^{3}$ , en est une base ; écrire $P = P_{ℬ \to ℬ^{'}}$ .
Inverser $P$ en appliquant le pivot de Gauss.
Calculer $f (u_{1})$ , $f (u_{2})$ , $f (u_{3})$ et en déduire $T = {Mat}_{ℬ^{'}} (f)$ . Quelle relation lie $A$ , $T$ et $P$ ?
Déterminer les coordonnées du vecteur $v = (1, 2, 3)$ dans $ℬ^{'}$ .
Calculer $T^{n}$ puis $A^{n}$ pour $n \in ℕ$ .

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3. Avec $Y = A X$ :

$f (u_{1}) = A^{t} (1, 0, 1) =^{t} (4 - 2, 1 - 1, 3 - 1) = (2, 0, 2) = 2 u_{1}$ ;
$f (u_{2}) = A^{t} (1, 1, 1) = (3, 2, 3) = u_{1} + 2 u_{2}$ (en effet $(1, 0, 1) + (2, 2, 2) = (3, 2, 3)$ ) ;
$f (u_{3}) = A^{t} (1, 1, 2) = (1, 1, 2) = u_{3}$ .

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Application du cours5 points

4. Rang avec paramètre, noyau et image

Déterminer le rang de $A_{m}$ selon les valeurs de $m$ .
Pour quelles valeurs de $m$ l'application $f_{m}$ est-elle surjective ? Peut-elle être injective ?
On prend $m = 0$ . Donner une base de $Ker f_{0}$ .
On prend $m = 1$ . Donner une base de $Ker f_{1}$ , une base de $Im f_{1}$ et une équation de $Im f_{1}$ .

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Si $m \neq 1$ : pivots $1$ , $m - 1$ , $m - 1$ dans les colonnes $1$ , $2$ , $3$ , tous non nuls : $rg A_{m} = 3$ .
Si $m = 1$ : les lignes 2 et 3 deviennent $(0, 0, 0, 1)$ et $(0, 0, 0, - 3)$ , proportionnelles et non nulles : $rg A_{1} = 2$ .

(On n'a divisé par aucune expression en $m$ ; la discussion est complète.)

2. $f_{m}$ est surjective $⟺ rg A_{m} = \dim ℝ^{3} = 3 ⟺ m \neq 1$ . Elle n'est jamais injective : $rg A_{m} \leq 3 < 4 = \dim ℝ^{4}$ , donc $\dim Ker f_{m} = 4 - rg A_{m} \geq 1$ .

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Niveau devoir6 points

5. Système linéaire à deux paramètres

Échelonner le système et déterminer le rang de $M_{a}$ selon $a$ .
Pour $a \notin {0, 1}$ , justifier que $(S_{a, b})$ est un système de Cramer et le résoudre.
Pour $a = 0$ , puis pour $a = 1$ : donner une condition nécessaire et suffisante sur $b$ pour que le système soit compatible, et décrire alors l'ensemble des solutions.
Interpréter le résultat de la question 3 en termes de $Im u_{a}$ et de $Ker u_{a}$ .

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Niveau devoir6 points

6. Matrices de projecteurs : rang, trace et similitude

Soit $n \geq 2$ . On dit que $A \in ℳ_{n} (𝕂)$ est une matrice de projecteur si $A^{2} = A$ .

Soit $A$ une matrice de projecteur, de rang $r$ , et $u$ l'endomorphisme de $𝕂^{n}$ canoniquement associé. (a) Rappeler pourquoi $𝕂^{n} = Im u \oplus Ker u$ et $Im u = Ker (u - i d)$ . (b) En déduire que $A$ est semblable à $D_{r} = (\begin{array}{cc} I_{r} & 0 \\ 0 & 0_{n - r} \end{array})$ (écriture par blocs), puis que $tr A = rg A$ .
Exemple. Soit $A = (\begin{array}{ccc} 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 2 & 0 & - 1 \end{array})$ . Vérifier que $A^{2} = A$ , donner $rg A$ sans calcul supplémentaire, puis trouver $P$ inversible telle que $P^{- 1} A P = D_{2}$ .
Montrer que deux matrices de projecteur de $ℳ_{n} (𝕂)$ sont semblables exactement lorsque leurs traces coïncident.
Deux matrices de $ℳ_{2} (ℝ)$ ayant même trace et même rang sont-elles toujours semblables ?
Soit $A$ une matrice de projecteur telle que $tr A = n$ . Montrer que $A = I_{n}$ .

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5. $rg A = tr A = n$ , donc $A$ est inversible ; en multipliant $A^{2} = A$ par $A^{- 1}$ , on obtient $A = I_{n}$ .

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Niveau devoir6 points

7. L'opérateur de différence sur $ℝ_{3} [X]$

Pour $P \in ℝ_{3} [X]$ , on pose $Δ (P) = P (X + 1) - P (X)$ . On note $ℬ_{0} = (1, X, X^{2}, X^{3})$ .

Montrer que $Δ$ est un endomorphisme de $ℝ_{3} [X]$ et écrire $A = {Mat}_{ℬ_{0}} (Δ)$ .
Déterminer le rang, le noyau et l'image de $Δ$ .
Trouver l'unique $Q \in ℝ_{3} [X]$ tel que $Q (0) = 0$ et $Δ (Q) = X^{2}$ (résoudre un système avec $A$ ). En déduire, pour $n \in ℕ$ , la valeur de $\sum_{k = 0}^{n} k^{2}$ .
On pose $ε_{4} = X^{3}$ , $ε_{3} = Δ (ε_{4})$ , $ε_{2} = Δ (ε_{3})$ , $ε_{1} = Δ (ε_{2})$ . Calculer ces polynômes, montrer que $ℬ_{1} = (ε_{1}, ε_{2}, ε_{3}, ε_{4})$ est une base de $ℝ_{3} [X]$ et écrire $J = {Mat}_{ℬ_{1}} (Δ)$ . Que peut-on dire de $A$ et $J$ ? En déduire $A^{4}$ .

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Niveau devoir6 points

8. Traces d'endomorphismes de $ℳ_{n} (𝕂)$

Cas $n = 2$ , $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ . Écrire les matrices de $L_{A}$ et de $T$ dans la base $(E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22})$ et calculer leurs traces.
Cas général. On rappelle que $E_{i j} E_{k l} = δ_{j k} E_{i l}$ . Exprimer $L_{A} (E_{i j})$ et $R_{A} (E_{i j})$ dans la base $(E_{k l})$ et en déduire $tr L_{A}$ , $tr R_{A}$ , puis la trace de $M \mapsto A M - M A$ .
Calculer $tr T$ . Vérifier que $q = \frac{1}{2} (i d + T)$ est un projecteur, préciser son image et son noyau, et en déduire, par un calcul de trace, les dimensions de $𝒮_{n} (𝕂)$ et $𝒜_{n} (𝕂)$ (matrices symétriques et antisymétriques).
Vérifier la cohérence avec la formule $tr s = \dim F - \dim G$ pour une symétrie $s$ par rapport à $F$ parallèlement à $G$ .

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Synthèse, niveau concours10 points

9. Problème : rang et matrices équivalentes

Partie A — Forme normale (4 points). Soit $f \in ℒ (E, F)$ de rang $r$ .

Soit $S$ un supplémentaire de $Ker f$ dans $E$ . Justifier que $\dim S = r$ . On choisit une base $(e_{1}, \dots, e_{r})$ de $S$ et une base $(e_{r + 1}, \dots, e_{p})$ de $Ker f$ . Montrer que $ℬ = (e_{1}, \dots, e_{p})$ est une base de $E$ et que $(f (e_{1}), \dots, f (e_{r}))$ est une base de $Im f$ .
En déduire une base $𝒞$ de $F$ telle que ${Mat}_{ℬ, 𝒞} (f) = J_{r}$ .
Montrer que toute matrice $A \in ℳ_{n, p} (𝕂)$ de rang $r$ est équivalente à $J_{r}$ , puis que deux matrices de $ℳ_{n, p} (𝕂)$ sont équivalentes exactement lorsque leurs rangs sont égaux.

Partie B — Lignes et colonnes (1 point). 4. Montrer que $rg (^{t} ⁣ A) = rg A$ pour toute $A \in ℳ_{n, p} (𝕂)$ . Interpréter en termes de lignes de $A$ .

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7. Pour toute colonne $X$ , $(A + B) X = A X + B X$ , donc $Im (A + B) \subset Im A + Im B$ , et $rg (A + B) \leq \dim (Im A + Im B) \leq \dim Im A + \dim Im B = rg A + rg B$ (formule de Grassmann).

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Synthèse, niveau concours10 points

10. Problème type concours : matrices de trace nulle

Format du concours : questions numérotées en continu ; répondre dans le cadre prévu pour chaque question.

Partie I — Un lemme et le cas $n = 2$

▶ Q.2 On suppose que $f$ est une homothétie de trace nulle. Montrer que $f = 0$ .

▶ Q.4 Application : $A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array})$ . Trouver $P \in G L_{2} (ℝ)$ telle que $P^{- 1} A P$ soit à diagonale nulle et calculer $P^{- 1} A P$ .

Partie II — Le cas général

▶ Q.7 Démontrer par récurrence sur $n \geq 1$ la propriété : « toute matrice de $ℳ_{n} (𝕂)$ de trace nulle est semblable à une matrice à diagonale nulle ».

Partie III — Commutateurs

▶ Q.8 Montrer que $tr (A B - B A) = 0$ pour toutes $A, B \in ℳ_{n} (𝕂)$ .

▶ Q.10 Montrer que si $A = P C P^{- 1}$ et $C = D X - X D$ , alors $A = A_{1} B_{1} - B_{1} A_{1}$ avec $A_{1} = P D P^{- 1}$ et $B_{1} = P X P^{- 1}$ .

▶ Q.11 Conclure : une matrice de $ℳ_{n} (𝕂)$ est de la forme $A B - B A$ si et seulement si sa trace est nulle.

▶ Q.12 Pour la matrice $C = (\begin{array}{cc} 0 & 7 \\ 1 & 0 \end{array})$ obtenue à la question Q.4, donner $X$ telle que $D X - X D = C$ avec $D = diag (1, 2)$ .

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Q.1 Soit $x \neq 0$ . La famille $(x, f (x))$ est liée et $x \neq 0$ , donc $f (x)$ est colinéaire à $x$ : $f (x) = λ_{x} x$ (scalaire unique car $x \neq 0$ ). Soient $x$ , $y$ non nuls.

Si $(x, y)$ est libre : $x + y \neq 0$ , et $f (x + y) = λ_{x + y} (x + y)$ , mais aussi $f (x + y) = λ_{x} x + λ_{y} y$ . Par liberté, $λ_{x} = λ_{x + y} = λ_{y}$ .
Si $(x, y)$ est liée : $y = μ x$ avec $μ \neq 0$ , et $f (y) = μ f (x) = λ_{x} y$ , donc $λ_{y} = λ_{x}$ .

Le scalaire $λ = λ_{x}$ ne dépend donc pas de $x$ , et $f (x) = λ x$ pour tout $x$ (aussi pour $x = 0$ ) : $f = λ {i d}_{E}$ .

Q.2 Si $f = λ {i d}_{E}$ , $tr f = n λ$ . Comme $n \neq 0$ dans $𝕂$ ( $𝕂 = ℝ$ ou $ℂ$ ), $n λ = 0$ impose $λ = 0$ , donc $f = 0$ .

Q.8 $tr (A B - B A) = tr (A B) - tr (B A) = 0$ par linéarité de la trace et $tr (A B) = tr (B A)$ .

Q.10 $A_{1} B_{1} - B_{1} A_{1} = P D P^{- 1} P X P^{- 1} - P X P^{- 1} P D P^{- 1} = P (D X - X D) P^{- 1} = P C P^{- 1} = A$ .

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Niveau devoir10 points

11. Endomorphisme nilpotent : indice, base adaptée, inverse de $i d - f$

Classique du programme : endomorphisme nilpotent.

(2,5 points) Justifier l'existence de $x \in E$ tel que $f^{p - 1} (x) \neq 0$ . Prouver que les $p$ vecteurs $x, f (x), \dots, f^{p - 1} (x)$ sont linéairement indépendants. En déduire $p \leq n$ .
(1 point) Conclure que $f^{n} = 0$ : la puissance $n$ -ième d'un tel $f$ est toujours nulle.
(2 points) Montrer que ${i d}_{E} - f$ est inversible et que $({i d}_{E} - f)^{- 1} = \sum_{k = 0}^{p - 1} f^{k}$ . Application : inverser $B = (\begin{array}{ccc} 1 & - 1 & - 2 \\ 0 & 1 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$ en l'écrivant $I_{3} - N$ .
(2,5 points) On suppose maintenant $p = n$ . Soit $x \in E$ tel que $f^{n - 1} (x) \neq 0$ et $ℬ = (x, f (x), \dots, f^{n - 1} (x))$ . a) Établir que $ℬ$ constitue une base de $E$ , puis exprimer ${Mat}_{ℬ} (f)$ . b) Déterminer $rg f$ , $Ker f$ et $\dim Ker f^{k}$ pour $1 \leq k \leq n$ .
(2 points) Sur $ℝ^{3}$ , avec $(e_{1}, e_{2}, e_{3})$ pour base canonique, on étudie l'application linéaire $f$ de matrice $A = (\begin{array}{ccc} 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \end{array})$ . a) Calculer $A^{2}$ et $A^{3}$ . Quel est l'indice de nilpotence de $f$ ? b) Avec $x = e_{1} = (1, 0, 0)$ , former la base $ℬ = (x, f (x), f^{2} (x))$ et la matrice $P$ obtenue en juxtaposant, en colonnes, les coordonnées de ces trois vecteurs, puis vérifier $P^{- 1} A P = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array})$ . c) Calculer $(I_{3} - A)^{- 1}$ .

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2. Comme $p \leq n$ et $f^{p} = 0$ , on a $f^{n} = f^{n - p} \circ f^{p} = 0$ : $f^{n} = 0$ . (En particulier, si $A \in ℳ_{n} (𝕂)$ est nilpotente, alors $A^{n} = 0_{n}$ .)

Après avoir comparé avec le corrigé :

1. Écrire des matrices dans des bases

2. Composition, produit, inverse et puissances

3. Changement de base et puissances

4. Rang avec paramètre, noyau et image

5. Système linéaire à deux paramètres

6. Matrices de projecteurs : rang, trace et similitude

7. L'opérateur de différence sur ℝ3[X]

8. Traces d'endomorphismes de ℳn(𝕂)

9. Problème : rang et matrices équivalentes

10. Problème type concours : matrices de trace nulle

11. Endomorphisme nilpotent : indice, base adaptée, inverse de id−f

1. Écrire des matrices dans des bases

2. Composition, produit, inverse et puissances

3. Changement de base et puissances

4. Rang avec paramètre, noyau et image

5. Système linéaire à deux paramètres

6. Matrices de projecteurs : rang, trace et similitude

7. L'opérateur de différence sur ℝ3[X]

8. Traces d'endomorphismes de ℳn(𝕂)

9. Problème : rang et matrices équivalentes

10. Problème type concours : matrices de trace nulle

11. Endomorphisme nilpotent : indice, base adaptée, inverse de id−f

7. L'opérateur de différence sur $ℝ_{3} [X]$

8. Traces d'endomorphismes de $ℳ_{n} (𝕂)$

11. Endomorphisme nilpotent : indice, base adaptée, inverse de $i d - f$

7. L'opérateur de différence sur $ℝ_{3} [X]$

8. Traces d'endomorphismes de $ℳ_{n} (𝕂)$

11. Endomorphisme nilpotent : indice, base adaptée, inverse de $i d - f$