$\mathbb{Q}=\{\frac{p}{q},p\in \mathbb{Z},q\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$. Un réel qui n'est pas rationnel est irrationnel ; l'ensemble des irrationnels se note $ℝ\setminus \mathbb{Q}$.

• $\sqrt{2}\mathrm{\notin }\mathbb{Q}$ : si $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ avec $p\wedge q=1$, alors $p^2=2q^2$, donc $p$ est pair, puis $q$ aussi : contradiction. Le même schéma (avec un nombre premier $\mathrm{\ell }$ à la place de $2$) prouve que $\sqrt{\mathrm{\ell }}\mathrm{\notin }\mathbb{Q}$.
• Un réel est rationnel si et seulement si son écriture décimale est finie ou périodique à partir d'un certain rang.
• Règles de calcul : la somme et le produit de deux rationnels sont rationnels. Si $r\in \mathbb{Q}$ et $x\mathrm{\notin }\mathbb{Q}$, alors $r+x\mathrm{\notin }\mathbb{Q}$ et, pour $r\mathrm{\ne }0$, $rx\mathrm{\notin }\mathbb{Q}$ (sinon $x=(r+x)-r$ ou $x=\frac{rx}{r}$ serait rationnel). En revanche, la somme ou le produit de deux irrationnels peut être rationnel : $\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$, $\sqrt{2}\times \sqrt{2}=2$.

$(ℝ,+,\times )$ est un corps commutatif, muni d'une relation d'ordre $\le$ (réflexive, antisymétrique, transitive) totale : deux réels sont toujours comparables. Par définition, $x\le y⟺y-x\ge 0$.

Règles de manipulation des inégalités ($a,b,c,d$ réels).

Pour retrancher, on passe d'abord à l'opposé : $c\le d⟺-d\le -c$, puis on additionne. Pour diviser, on multiplie par l'inverse après avoir encadré celui-ci.

Maximum, minimum de deux réels : $\max (a,b)={\displaystyle \frac{a+b+\mid a-b\mid }{2}}$ et $\min (a,b)={\displaystyle \frac{a+b-\mid a-b\mid }{2}}$.

Un outil fondamental. Si $a\le b+\epsilon$ pour tout $\epsilon >0$, alors $a\le b$ (sinon, $\epsilon =\frac{a-b}{2}>0$ donne une contradiction). Même chose pour montrer $a=b$ : on montre $\mid a-b\mid \le \epsilon$ pour tout $\epsilon >0$.

Pour $x$ réel, $\mid x\mid =\max (x,-x)$, c'est-à-dire $x$ si $x\ge 0$ et $-x$ si $x\le 0$. Le réel $\mid x-y\mid$ est la distance entre $x$ et $y$ sur la droite réelle.

Propriétés. Pour $x,y$ réels et $r\ge 0$ :

• $\mid x\mid \ge 0$, avec égalité seulement pour $x=0$ ; $\mid xy\mid =\mid x\mid \mid y\mid$ ; $\sqrt{x^2}=\mid x\mid$ ; $-\mid x\mid \le x\le \mid x\mid$.
• $\mid x\mid \le r⟺-r\le x\le r$ ; plus généralement $\mid x-a\mid \le r⟺x\in [a-r,a+r]$.
• $\mid x\mid \ge r⟺(x\le -r$ ou $x\ge r)$.

Inégalités triangulaires. Hypothèses : $x,y\in ℝ$. Conclusion : $\mid \mid x\mid -\mid y\mid \mid \le \mid x+y\mid \le \mid x\mid +\mid y\mid$ (et de même avec $x-y$ au milieu). Il y a égalité à droite si et seulement si $x$ et $y$ sont de même signe ($xy\ge 0$). Par récurrence : $\mid {\sum }_{k=1}^n{x}_k\mid \le {\sum }_{k=1}^n\mid x_k\mid$.

Résoudre une équation ou une inéquation avec des valeurs absolues.

• Deux membres positifs : $\mid A\mid \le \mid B\mid ⟺A^2\le B^2⟺(A-B)(A+B)\le 0$.
• Sinon : découper $ℝ$ selon le signe de chaque expression (tableau de signes), puis résoudre sur chaque morceau en vérifiant que la solution trouvée appartient bien au morceau.

À connaître et à savoir redémontrer en deux lignes :

Chaîne des moyennes ($a,b>0$) : ${\displaystyle \frac{2ab}{a+b}}\le \sqrt{ab}\le {\displaystyle \frac{a+b}{2}}\le \sqrt{{\displaystyle \frac{a^2+b^2}{2}}}$ (moyennes harmonique, géométrique, arithmétique, quadratique), avec égalité partout si et seulement si $a=b$.

Comment démontrer une inégalité $A\le B$ (dans l'ordre où on les essaie) :

1. étudier le signe de $B-A$ : factoriser, faire apparaître un carré, réduire au même dénominateur ;
2. procéder par équivalences en gardant le contrôle du signe (élever au carré deux membres positifs, multiplier par un réel positif) ;
3. combiner des inégalités usuelles déjà connues ;
4. étudier une fonction $f(x)=B(x)-A(x)$ (variations, minimum) ;
5. récurrence pour les inégalités qui dépendent d'un entier $n$.

Soit $A$ une partie de $ℝ$.

• $M$ est un majorant de $A$ si $\mathrm{\forall }x\in A,x\le M$ ; $A$ est dite majorée quand l'ensemble de ses majorants n'est pas vide. Même chose pour minorant et minorée avec $x\ge m$.
• $A$ est bornée si elle est majorée et minorée, c'est-à-dire $\mathrm{\exists }K\ge 0,\mathrm{\forall }x\in A,\mid x\mid \le K$.
• $a$ est le plus grand élément (ou maximum) de $A$ si $a\in A$ et $a$ majore $A$ ; il est unique quand il existe et on le note $\max A$. De même pour le plus petit élément $\min A$.

Un majorant n'est pas unique (tout réel plus grand en est un autre) ; un maximum, s'il existe, l'est. Exemple : $[0,1[$ a pour minimum $0$ mais n'a pas de maximum : si $a\in [0,1[$, le réel $\frac{a+1}{2}$ est encore dans $[0,1[$ et dépasse $a$.

Parties d'entiers. Toute partie non vide de $\mathbb{N}$ a un plus petit élément. Une partie non vide de $\mathbb{Z}$ qui est majorée (resp. minorée) a un plus grand (resp. plus petit) élément. Une partie finie non vide de $ℝ$ a toujours un maximum et un minimum.

Définition. La borne supérieure de $A$, notée $\sup A$, est le minimum de l'ensemble des majorants de $A$, quand ce minimum existe. Symétriquement, la borne inférieure $\inf A$ est le maximum de l'ensemble des minorants.

Théorème (propriété de la borne supérieure). C'est l'axiome qui caractérise $ℝ$ parmi les corps ordonnés. Hypothèses : $A\subset ℝ$, $A\mathrm{\ne }\mathrm{\varnothing }$, $A$ majorée. Conclusion : $\sup A$ existe dans $ℝ$. Version inférieure : si $A$ est minorée et non vide, $\inf A$ existe. Les deux hypothèses sont à vérifier par écrit : $\mathrm{\varnothing }$ n'a pas de borne supérieure réelle, $\mathbb{N}$ non plus.

Lien avec le maximum. Si $A$ a un plus grand élément, alors $\sup A=\max A$. Inversement, $\sup A$ est un maximum si et seulement si $\sup A\in A$. Exemple : $\sup [0,1[=1\mathrm{\notin }[0,1[$.

Caractérisation de la borne supérieure. Hypothèses : $A\subset ℝ$ non vide, $s\in ℝ$. Conclusion : $s=\sup A$ si et seulement si (i) $\mathrm{\forall }x\in A,x\le s$ ($s$ majore $A$) ; (ii) $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }x\in A,s-\epsilon <x$ (aucun réel $s-\epsilon$ ne majore $A$). Pour la borne inférieure : $\mathrm{\forall }x\in A,x\ge m$ et $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }x\in A,x<m+\epsilon$.

Variante : (ii) peut se remplacer par « pour tout majorant $M$ de $A$, $s\le M$ ». Une troisième caractérisation, par une suite d'éléments de $A$ qui tend vers $s$, sera vue dans la fiche « Suites numériques ».

$\mathbb{Q}$ ne suffit pas. Dans $\mathbb{Q}$, la partie $\{r\in \mathbb{Q},r>0,r^2<2\}$ est non vide et majorée, mais n'a pas de plus petit majorant rationnel (il devrait valoir $\sqrt{2}$). C'est pourquoi les théorèmes d'existence (limite monotone, valeurs intermédiaires) sont vrais dans $ℝ$ et faux dans $\mathbb{Q}$.

Opérations ($A$, $B$ non vides et bornées, $\lambda$ réel) :

Pour démontrer une telle égalité, on prouve deux inégalités : l'une parce que le membre de droite est un majorant, l'autre par la caractérisation (ii) ou par « le plus petit des majorants ».

Lemme de séparation. Si $A$ et $B$ sont non vides et si $a\le b$ pour tous $a\in A$, $b\in B$, alors $\sup A$ et $\inf B$ existent et $\sup A\le \inf B$ (chaque $b$ majore $A$, donc $\sup A\le b$ ; puis $\sup A$ minore $B$).

$\overline{ℝ}=ℝ\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}$, avec $-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty }$ pour tout réel $x$. Par convention, $\sup A=+\mathrm{\infty }$ si $A$ est non vide et non majorée, et $\inf A=-\mathrm{\infty }$ si $A$ est non vide et non minorée. Avec cette convention, toute partie non vide de $ℝ$ a une borne supérieure et une borne inférieure dans $\overline{ℝ}$.

Calculs : $x+(+\mathrm{\infty })=+\mathrm{\infty }$ pour $x$ réel ; $x\times (+\mathrm{\infty })=+\mathrm{\infty }$ si $x>0$, $-\mathrm{\infty }$ si $x<0$. Formes indéterminées : $(+\mathrm{\infty })+(-\mathrm{\infty })$, $0\times (\pm \mathrm{\infty })$, $\frac{\pm \mathrm{\infty }}{\pm \mathrm{\infty }}$. On ne divise jamais par $\pm \mathrm{\infty }$ « pour trouver $0$ » sans le dire.

Théorème. Hypothèses : $a>0$ et $b\in ℝ$. Conclusion : il existe $n\in \mathbb{N}$ tel que $na>b$.

Idée de la preuve (par l'absurde, avec la borne supérieure) : sinon $\{na,n\in \mathbb{N}\}$ est non vide, majorée par $b$, donc admet une borne supérieure $s$ ; comme $(n+1)a\le s$ pour tout $n$, le réel $s-a<s$ majore encore l'ensemble : contradiction.

Conséquences utilisées sans cesse.

• Pour tout $\epsilon >0$, il existe $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tel que $\frac{1}{n}<\epsilon$ (prendre $a=\epsilon$, $b=1$). C'est l'argument qui permet de « trouver un élément assez proche » dans la caractérisation de la borne supérieure.
• $\mathbb{N}$ n'est pas majorée dans $ℝ$ ; si $q>1$, l'ensemble $\{q^n,n\in \mathbb{N}\}$ n'est pas majoré (Bernoulli : $q^n\ge 1+n(q-1)$).
• Si $x\ge 0$ vérifie $x\le \frac{1}{n}$ pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, alors $x=0$.

Théorème-définition. Chaque réel $x$ se place entre deux entiers consécutifs d'une seule façon : un seul $n\in \mathbb{Z}$ vérifie $n\le x<n+1$. On le note $E(x)$ : c'est la partie entière de $x$, c'est-à-dire le plus grand entier inférieur ou égal à $x$. (Existence : $\{k\in \mathbb{Z},k\le x\}$ est une partie de $\mathbb{Z}$ non vide, grâce à Archimède, et majorée par $x$ ; son maximum convient. Unicité : deux tels entiers vérifient $-1<n-n^{\mathrm{\prime }}<1$.)

Encadrements à écrire spontanément : $E(x)\le x<E(x)+1$ et $x-1<E(x)\le x$. Pour un entier $k$ : $E(x)=k⟺k\le x<k+1$ — c'est la traduction à utiliser dans les équations.

Propriétés ($x,y$ réels, $m\in \mathbb{Z}$) :

• $E(x)=x⟺x\in \mathbb{Z}$ ; $E(x+m)=E(x)+m$ ; $E$ est croissante sur $ℝ$ (mais pas strictement).
• Pour $m$ entier : $m\le x⟺m\le E(x)$.
• $E(x)+E(y)\le E(x+y)\le E(x)+E(y)+1$ : en général $E(x+y)\mathrm{\ne }E(x)+E(y)$.
• $E(-x)=-E(x)$ si $x\in \mathbb{Z}$, $E(-x)=-E(x)-1$ sinon. Ainsi $E(-\mathrm{2,5})=-3$ et non $-2$.
• Partie fractionnaire : $x-E(x)\in [0,1[$ ; elle vaut $0$ exactement quand $x$ est entier, et elle est inchangée si l'on ajoute un entier à $x$.
• Comptage : pour $n,d\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, il y a exactement $E\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{n}{d}\right)$ multiples de $d$ dans $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$.

Valeurs décimales approchées. Pour $x$ réel et $n\in \mathbb{N}$, le décimal $d_n={\displaystyle \frac{E({10}^{n}x)}{{10}^n}}$ vérifie $d_n\le x<d_n+{10}^{-n}$ : $d_n$ est la valeur approchée de $x$ par défaut à ${10}^{-n}$ près, $d_n+{10}^{-n}$ celle par excès. Sans calculatrice, on obtient $E({10}^n\sqrt{a})$ en encadrant ${10}^{2n}a$ entre deux carrés d'entiers consécutifs.

Définition. On dit que $D\subset ℝ$ est dense dans $ℝ$ lorsque chaque intervalle $]a,b[$ avec $a<b$ rencontre $D$. Autrement dit : entre deux réels distincts, on trouve toujours un élément de $D$.

Théorème. $\mathbb{Q}$ est dense dans $ℝ$, et $ℝ\setminus \mathbb{Q}$ aussi.

• Rationnels : soient $a<b$. Par Archimède, on choisit $q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tel que $\frac{1}{q}<b-a$, puis on pose $p=E(qa)+1$. Alors $qa<p\le qa+1$, donc $a<\frac{p}{q}\le a+\frac{1}{q}<b$.
• Irrationnels : on applique ce qui précède à $]\frac{a}{\sqrt{2}},\frac{b}{\sqrt{2}}[$ pour obtenir un rationnel $r\mathrm{\ne }0$ (l'intervalle contient une infinité de rationnels), puis $r\sqrt{2}$ est un irrationnel de $]a,b[$.

Conséquences.

• Dans tout intervalle ouvert non vide, rationnels et irrationnels sont en nombre infini (on recommence dans les sous-intervalles).
• L'ensemble $𝔻$ des nombres décimaux $\frac{k}{{10}^n}$ est dense dans $ℝ$ (même preuve avec $q={10}^n$).
• Principe des petits pas : si des points $x_0<x_1<x_2<\dots$ partent de $x_0\le a$, dépassent $b$ et avancent chaque fois d'au plus $h<b-a$, alors l'un d'eux tombe dans $]a,b[$. C'est le schéma de presque toutes les preuves de densité.
• Pour prouver qu'une partie $D$ est dense : partir de $a<b$ quelconques et construire un élément de $D\cap ]a,b[$. Pour prouver qu'elle ne l'est pas : exhiber un intervalle ouvert non vide sans élément de $D$ (exemple : $\mathbb{Z}\cap ]\frac{1}{4},\frac{3}{4}[=\mathrm{\varnothing }$).

Définition. Une partie $I$ de $ℝ$ est un intervalle si, dès qu'elle contient deux réels $x\le y$, elle contient tout le segment $[x,y]$ (on dit que $I$ est convexe) : $\mathrm{\forall }x,y\in I,\mathrm{\forall }z\in ℝ,(x\le z\le y\Rightarrow z\in I)$. Équivalent : $\mathrm{\forall }x,y\in I,\mathrm{\forall }t\in [0,1],(1-t)x+ty\in I$.

Classification (conséquence de la borne supérieure, avec $a=\inf I$ et $b=\sup I$ dans $\overline{ℝ}$) : tout intervalle est de l'une des formes $[a,b]$, $[a,b[$, $]a,b]$, $]a,b[$, $[a,+\mathrm{\infty }[$, $]a,+\mathrm{\infty }[$, $]-\mathrm{\infty },b]$, $]-\mathrm{\infty },b[$, $ℝ$, $\mathrm{\varnothing }$ (et les singletons $\{a\}=[a,a]$).

Contre-exemples : ${ℝ}^{\ast }$, $[0,1]\cup [2,3]$ et $\mathbb{Q}$ ne sont pas des intervalles ($0$ manque entre $-1$ et $1$ ; $\frac{3}{2}$ manque ; $\sqrt{2}$ manque entre $1$ et $2$). Une intersection d'intervalles est un intervalle ; une réunion, pas toujours.

Déterminer la borne supérieure (et le maximum) d'un ensemble $A$

1. Décrire $A$ concrètement : si $A=\{f(n),n\in \mathbb{N}\}$, étudier les variations de $f$ ; simplifier l'expression ($\frac{n-1}{2n+1}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2(2n+1)}$).
2. Deviner le candidat $s$, puis prouver qu'il majore $A$ (inégalité valable pour tout élément).
3. Prouver que c'est le plus petit : soit en trouvant $s\in A$ (alors $s=\max A$), soit par la caractérisation : pour $\epsilon >0$ donné, exhiber un élément $x\in A$ avec $x>s-\epsilon$ (souvent grâce à Archimède).
4. Conclure sur le maximum : il existe si et seulement si $s\in A$ ; pour montrer $s\mathrm{\notin }A$, utiliser une inégalité stricte.

Justifier l'existence d'une borne supérieure sans la calculer

« $A$ est une partie de $ℝ$, non vide car elle contient $\dots$, majorée par $\dots$ ; d'après la propriété de la borne supérieure, $\sup A$ existe. » Ne pas chercher sa valeur si l'énoncé ne la demande pas.

Résoudre une équation avec $E$

Poser $k=E(\dots )$, traduire par l'encadrement $k\le \cdots <k+1$, en déduire les valeurs possibles de l'entier $k$, puis revenir à $x$ et vérifier chaque candidat. Pour $E(2x)$, distinguer selon que la partie fractionnaire de $x$ est $<\frac{1}{2}$ ou $\ge \frac{1}{2}$.

Montrer qu'une partie est dense

Fixer $a<b$ ; utiliser Archimède pour obtenir un « pas » plus petit que $b-a$ ; placer un élément de la partie juste après $a$ grâce à une partie entière (type $p=E(qa)+1$) ou au principe des petits pas.

Raisonner avec la borne supérieure dans un problème

Si l'énoncé introduit $s=\sup A$, on dispose de deux informations : $s$ majore $A$, et pour tout $\epsilon >0$ il existe $x\in A$ dans $]s-\epsilon ,s]$. Une démonstration par l'absurde « si $f(s)<s$ alors $\dots$ » consiste presque toujours à fabriquer un élément de $A$ trop grand ou un majorant trop petit.

1. Oublier une hypothèse de la propriété de la borne supérieure : écrire « $\sup A$ existe » sans dire que $A$ est non vide et majorée.
2. Confondre borne supérieure et maximum : $\sup A$ n'appartient pas forcément à $A$ ; dire « $A$ admet un maximum » demande de montrer $\sup A\in A$.
3. Soustraire ou diviser des inégalités membre à membre ; multiplier une inégalité par un réel dont on ne connaît pas le signe ; élever au carré des réels négatifs.
4. Écrire $E(x+y)=E(x)+E(y)$, $E(2x)=2E(x)$ ou $E(-x)=-E(x)$ : faux en général ($x=y=\frac{1}{2}$, $x=\frac{1}{2}$, $x=\frac{1}{2}$).
5. Croire que le produit ou la somme de deux irrationnels est irrationnel.
6. Dans la caractérisation, faire dépendre $\epsilon$ de l'élément choisi : c'est $\epsilon$ qui est donné d'abord, l'élément $x$ (ou l'entier $n$) dépend de $\epsilon$.
7. Conclure $\mid x+y\mid =\mid x\mid +\mid y\mid$ sans vérifier que $x$ et $y$ sont de même signe ; écrire $\sqrt{x^2}=x$ pour $x$ quelconque.
8. Résoudre une équation avec valeurs absolues ou partie entière sans vérifier que les solutions trouvées sont dans le cas étudié.
9. Utiliser une limite de suite dans ce chapitre alors que l'énoncé demande la caractérisation avec $\epsilon$ (ou alors, le dire clairement et citer le résultat).

• Partie entière toujours notée $E(x)$ dans les séries et les devoirs ; « partie fractionnaire » désigne $x-E(x)$.
• Borne supérieure / inférieure : $\sup (A)$, $\inf (A)$ ; on lit aussi « $\mathrm{Sup}$ », « $\mathrm{Inf}$ » ; plus grand élément noté $\max (A)$.
• Ensembles $ℝ$, $\mathbb{Q}$, ${\mathbb{N}}^{\ast }$, ${ℝ}_{+}^{\ast }$ (parfois IR, IN dans des documents tapés à l'ancienne) ; intervalle d'entiers $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$.
• Questions types : « Justifier que $A$ admet une borne supérieure », « Trouver $\sup A$, $\inf A$, puis dire si $A$ a un maximum ou un minimum », « Montrer que $\dots$ est dense dans $ℝ$ », « Résoudre dans $ℝ$ l'équation $\dots$ ». Barème affiché par exercice.
• Pas de calculatrice : une valeur approchée se justifie par des carrés d'entiers (${141}^2\le 20000<{142}^2$), jamais par un affichage.
• Dans un problème, un résultat de l'énoncé peut être admis pour continuer : on ne reste pas bloqué sur une question.