Nombres réels

1. Les deux membres sont positifs, donc l'inéquation équivaut à $(2x-3{)}^2\le (x+1{)}^2$, soit $$(2x-3{)}^2-(x+1{)}^2=((2x-3)-(x+1))((2x-3)+(x+1))=(x-4)(3x-2)\le 0.$$ Ce produit de deux facteurs affines est négatif ou nul exactement entre ses racines $\frac{2}{3}$ et $4$ : $\boxed{{\displaystyle S=[\frac{2}{3},4]}}$.

2. On découpe selon le signe de $x-1$ et de $x+2$.

• Si $x\le -2$ : $(1-x)+(-x-2)=-2x-1=5$ donne $x=-3$, qui vérifie bien $x\le -2$.
• Si $-2\le x\le 1$ : $(1-x)+(x+2)=3\mathrm{\ne }5$ : pas de solution.
• Si $x\ge 1$ : $(x-1)+(x+2)=2x+1=5$ donne $x=2$, qui vérifie bien $x\ge 1$.

Donc $\boxed{{\displaystyle S=\{-3,2\}}}$. (Lecture : $\mid x-1\mid +\mid x+2\mid$ est la somme des distances de $x$ à $1$ et à $-2$ ; elle vaut $3$ entre ces points.)

3. Comme $\mid x\mid \le 1$ et $\mid y\mid \le 1$, on a $\mid xy\mid \le 1$, donc $1+xy\ge 0$. Les deux membres de l'inégalité voulue sont positifs ; il suffit donc de comparer leurs carrés : $$(1+xy{)}^2-(x+y{)}^2=1+x^2{y}^2-x^2-y^2=(1-x^2)(1-y^2)\ge 0,$$ car $x^2\le 1$ et $y^2\le 1$. Ainsi $(x+y{)}^2\le (1+xy{)}^2$, et comme la racine carrée est croissante sur ${ℝ}_{+}$ : $\boxed{{\displaystyle \mid x+y\mid \le 1+xy}}$.

4. L'hypothèse s'écrit $\frac{3}{2}\le x\le \frac{5}{2}$, donc $x>0$ et $\frac{7}{2}\le x+2\le \frac{9}{2}$. D'où $$\mid x^2-4\mid =\mid x-2\mid \mid x+2\mid \le \frac{1}{2}\times \frac{9}{2}=\frac{9}{4}\mathrm{.}$$ Ensuite $\mid \frac{1}{x}-\frac{1}{2}\mid ={\displaystyle \frac{\mid 2-x\mid }{2\mid x\mid }}$ ; le numérateur est majoré par $\frac{1}{2}$, et $2\mid x\mid =2x\ge 3$, donc $\boxed{{\displaystyle \mid \frac{1}{x}-\frac{1}{2}\mid \le {\displaystyle \frac{1\mathrm{/}2}{3}}={\displaystyle \frac{1}{6}}}}$. On a majoré le numérateur et minoré le dénominateur (positif).

Ensemble $A$. Pour $n\in \mathbb{N}$ : ${\displaystyle \frac{n-1}{2n+1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{3}{2(2n+1)}}$. Le terme $\frac{3}{2(2n+1)}$ décroît quand $n$ croît, donc $n\mapsto \frac{n-1}{2n+1}$ est croissante sur $\mathbb{N}$.

• Plus petit élément : la valeur en $n=0$, soit $\boxed{{\displaystyle \min A=\inf A=-1}}$.
• Tout élément vérifie $\frac{n-1}{2n+1}<\frac{1}{2}$ : $\frac{1}{2}$ majore $A$. Soit $\epsilon >0$ ; par la propriété d'Archimède, il existe $n\in \mathbb{N}$ tel que $n>\frac{3}{4\epsilon }$, et alors $\frac{3}{2(2n+1)}<\frac{3}{4n}<\epsilon$, c'est-à-dire $\frac{n-1}{2n+1}>\frac{1}{2}-\epsilon$. Par la caractérisation (fiche §6), $\boxed{{\displaystyle \sup A=\frac{1}{2}}}$. L'inégalité étant stricte pour tout $n$, $\frac{1}{2}\mathrm{\notin }A$ : le maximum de $A$ n'existe pas.

Ensemble $B$. Pour $m,n\ge 1$ : $\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\le 1-\frac{1}{n}<1$ et $\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\ge \frac{1}{m}-1>-1$. Donc $B\subset ]-1,1[$.

• Soit $\epsilon >0$ et $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tel que $\frac{1}{n}<\epsilon$ (Archimède). Avec $m=1$ : $1-\frac{1}{n}\in B$ et $1-\frac{1}{n}>1-\epsilon$. Donc $\boxed{{\displaystyle \sup B=1}}$, et $1\mathrm{\notin }B$.
• $B$ est symétrique : échanger $m$ et $n$ change $\frac{1}{m}-\frac{1}{n}$ en son opposé, donc $B=-B$ et $\inf B=-\sup B$ : $\boxed{{\displaystyle \inf B=-1}}$, et $-1\mathrm{\notin }B$.

$B$ n'a ni plus grand ni plus petit élément.

Ensemble $C$. Soit $x\ge 1$ et $k=E(x)$ ; on a $k\ge 1$ et $k\le x<k+1$.

• $E(x)\le x$ donne $\frac{E(x)}{x}\le 1$, avec égalité pour $x=1$ : $\boxed{{\displaystyle \max C=\sup C=1}}$.
• $\frac{E(x)}{x}=\frac{k}{x}>\frac{k}{k+1}\ge \frac{1}{2}$, car $\frac{k}{k+1}=1-\frac{1}{k+1}$ et $k\ge 1$. Donc $\frac{1}{2}$ minore $C$ et n'est pas atteint (inégalité stricte).
• Soit $\epsilon \in ]0,\frac{1}{2}[$. Pour $x\in [1,2[$, $\frac{E(x)}{x}=\frac{1}{x}$. Le réel $\frac{2}{1+2\epsilon }$ appartient à $]1,2[$ ; choisissons $x\in ]\frac{2}{1+2\epsilon },2[$. Alors $\frac{1}{x}<\frac{1+2\epsilon }{2}=\frac{1}{2}+\epsilon$. Ainsi $\boxed{{\displaystyle \inf C=\frac{1}{2}}}$ et $C$ n'a pas de plus petit élément.

1. $-3\le -\frac{7}{3}<-2$, donc $E\text{\hspace{0.17em}⁣}(-\frac{7}{3})=-3$. $49\le 50<64$ donne $7\le \sqrt{50}<8$, donc $E(\sqrt{50})=7$. Enfin $1<2<4$ donne $1<\sqrt{2}<2$, donc $-2<-\sqrt{2}<-1$ et $E(-\sqrt{2})=-2$.

2. Si $x\in \mathbb{Z}$, alors $-x\in \mathbb{Z}$ et $E(x)+E(-x)=x-x=0$. Sinon, $x$ n'est pas entier, donc $E(x)<x<E(x)+1$ (inégalités strictes). En multipliant par $-1$ : $-E(x)-1<-x<-E(x)$. L'entier $-E(x)-1$ vérifie donc $-E(x)-1\le -x<(-E(x)-1)+1$ : c'est $E(-x)$. Ainsi $E(x)+E(-x)=-1$.

3. Notons $k=E(x)$ ; alors $2x=2k+2t$ avec $2k\in \mathbb{Z}$ et $E(2x)=2k+E(2t)$.

• Si $0\le t<\frac{1}{2}$ : $0\le 2t<1$, donc $E(2t)=0$ et $E(2x)=2k$.
• Si $\frac{1}{2}\le t<1$ : $1\le 2t<2$, donc $E(2t)=1$ et $E(2x)=2k+1$.

Équation. Dans le premier cas, l'équation s'écrit $3k=7$, impossible pour un entier $k$. Dans le second, $3k+1=7$, soit $k=2$, avec $t\in [\frac{1}{2},1[$, c'est-à-dire $x=2+t\in [\frac{5}{2},3[$. Réciproquement, pour $x\in [\frac{5}{2},3[$ : $E(x)=2$ et $5\le 2x<6$, donc $E(2x)=5$ et la somme vaut $7$. $\boxed{{\displaystyle S=[\frac{5}{2},3[}}$.

4. Par définition, $E({10}^n\sqrt{2})\le {10}^n\sqrt{2}<E({10}^n\sqrt{2})+1$ ; en divisant par ${10}^n>0$, on obtient $d_n\le \sqrt{2}<d_n+{10}^{-n}$.

• $100\sqrt{2}=\sqrt{20000}$ et ${141}^2=19881\le 20000<20164={142}^2$, donc $E(100\sqrt{2})=141$ et $\boxed{{\displaystyle d_2=\mathrm{1,41}}}$.
• $1000\sqrt{2}=\sqrt{2000000}$ et ${1414}^2=1999396\le 2000000<2002225={1415}^2$, donc $\boxed{{\displaystyle d_3=\mathrm{1,414}}}$.

1. Si $r+x$ était un rationnel $s$, alors $x=s-r$ serait rationnel (différence de deux rationnels) : contradiction. Si $r\mathrm{\ne }0$ et $rx=s\in \mathbb{Q}$, alors $x=\frac{s}{r}\in \mathbb{Q}$ : contradiction.

2. Soit $P=\{k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,K]\text{\hspace{0.17em}⁣}],x_k\le a\}$. C'est une partie de $\mathbb{N}$ non vide ($0\in P$) et finie : elle a un plus grand élément $p$. Comme $x_K\ge b>a$, on a $K\mathrm{\notin }P$, donc $p<K$ et $p+1\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,K]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. Par maximalité de $p$, $p+1\mathrm{\notin }P$, donc $x_{p+1}>a$. Enfin $x_{p+1}\le x_p+h\le a+h<a+(b-a)=b$. Le réel $x_{p+1}$ convient : $\boxed{{\displaystyle a<x_{p+1}<b}}$.

3. Avec la quantité conjuguée : $$x_{k+1}-x_k=\sqrt{m+k+1}-\sqrt{m+k}=\frac{1}{\sqrt{m+k+1}+\sqrt{m+k}}\mathrm{.}$$ C'est un réel strictement positif. Comme $\sqrt{m+k+1}>\sqrt{m}$ et $\sqrt{m+k}\ge \sqrt{m}$, le dénominateur est strictement supérieur à $2\sqrt{m}$, d'où $x_{k+1}-x_k<\frac{1}{2\sqrt{m}}$.

4. Par Archimède, on choisit $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tel que $m>\frac{1}{4(b-a{)}^2}$ ; alors $2\sqrt{m}>\frac{1}{b-a}$, c'est-à-dire $h=\frac{1}{2\sqrt{m}}<b-a$. On choisit ensuite un entier $K\ge (b+\sqrt{m}{)}^2$ (Archimède encore) ; alors $m+K\ge K\ge (b+\sqrt{m}{)}^2$, donc $x_K\ge b$. Les réels $x_0=0\le a$, $x_1,\dots ,x_K$ vérifient toutes les hypothèses de la question 2 (croissance stricte et pas majoré par $h$ d'après la question 3). Il existe donc $k$ avec $a<\sqrt{m+k}-\sqrt{m}<b$ : le couple $(n,m)=(m+k,m)$ convient.

5. Soient $a<b$ deux réels.

• Si $a\ge 0$ : la question 4 donne un élément de $D$ dans $]a,b[$.
• Si $a<0<b$ : $0=\sqrt{0}-\sqrt{0}\in D\cap ]a,b[$.
• Si $b\le 0$ : $0\le -b<-a$, et la question 4 donne $n,m$ avec $-b<\sqrt{n}-\sqrt{m}<-a$, donc $a<\sqrt{m}-\sqrt{n}<b$, et $\sqrt{m}-\sqrt{n}\in D$.

Dans tous les cas $D\cap ]a,b[\mathrm{\ne }\mathrm{\varnothing }$ : $\boxed{{\displaystyle D\text{ est dense dans }ℝ}}$.

6. $\sqrt{27}-\sqrt{25}=\sqrt{27}-5$. Or $\frac{1}{10}<\sqrt{27}-5<\frac{1}{5}⟺\mathrm{5,1}<\sqrt{27}<\mathrm{5,2}⟺\mathrm{26,01}<27<\mathrm{27,04}$ (carrés de réels positifs), ce qui est vrai.

1. $2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)=(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2\ge 0$. Il y a égalité si et seulement si les trois carrés sont nuls, c'est-à-dire $\boxed{{\displaystyle a=b=c}}$.

2. En développant : $$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=3+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})+(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})\mathrm{.}$$ Chaque parenthèse est de la forme $t+\frac{1}{t}$ avec $t>0$, donc vaut au moins $2$ (fiche §4). La somme est donc au moins $3+6=9$. Si $x+y+z=1$, l'inégalité devient $\boxed{{\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge 9}}$, avec égalité pour $x=y=z=\frac{1}{3}$.

3. Inégalité du milieu : $\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{1}{2}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^2\ge 0$. À gauche : comme $\sqrt{ab}>0$ et $a+b>0$, $\frac{2ab}{a+b}\le \sqrt{ab}⟺2ab\le \sqrt{ab}(a+b)⟺2\sqrt{ab}\le a+b$ (division par $\sqrt{ab}>0$), ce qui est l'inégalité du milieu. À droite : les deux membres sont positifs, donc il suffit de comparer leurs carrés : $\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{(a+b{)}^2}{4}=\frac{2a^2+2b^2-a^2-2ab-b^2}{4}=\frac{(a-b{)}^2}{4}\ge 0$. Chaque inégalité est une égalité si et seulement si $a=b$.

4. Par la formule du binôme, $(1+x{)}^n={\sum }_{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)x^k$, et tous les termes sont positifs car $x\ge 0$. En ne gardant que ceux d'indices $0$, $1$ et $2$ (ce qui est possible car $n\ge 2$) : $(1+x{)}^n\ge 1+nx+\frac{n(n-1)}{2}{x}^2$. Avec $x=1$ et $n\ge 2$ : $2^n\ge 1+n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n^2+n+2}{2}>\frac{n(n+1)}{2}$, d'où $\frac{n}{2^n}<\frac{2}{n+1}$. Pour $n=1$ : $\frac{1}{2}<1=\frac{2}{2}$. L'inégalité est donc vraie pour tout $\boxed{{\displaystyle n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}}$.

5.(a) Pour $n\ge 1$ : ${\displaystyle \frac{(n+1)\mathrm{/}{2}^{n+1}}{n\mathrm{/}{2}^n}}={\displaystyle \frac{n+1}{2n}}\le 1$ car $n+1\le 2n$. Les termes étant positifs, $n\mapsto \frac{n}{2^n}$ est décroissante sur ${\mathbb{N}}^{\ast }$.

5.(b) Pour $n\ge 1999$ : $\frac{n}{2^n}<\frac{2}{n+1}\le \frac{2}{2000}={10}^{-3}$. Ainsi $N=1999$ convient (il n'est pas optimal).

5.(c) $2^{13}=8192$ et $13\times 1000=13000>8192$, donc $\frac{13}{2^{13}}>{10}^{-3}$. Par décroissance, $\frac{n}{2^n}\ge \frac{13}{2^{13}}>{10}^{-3}$ pour tout $n\le 13$. Ensuite $2^{14}=16384\ge 14000$, donc $\frac{14}{2^{14}}\le {10}^{-3}$, et par décroissance l'inégalité reste vraie pour $n\ge 14$. Le plus petit entier cherché est $\boxed{{\displaystyle 14}}$. La majoration grossière de la question 4 donnait $1999$ : elle suffit pour prouver l'existence, pas pour trouver le seuil.

Partie A. Pour $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $2mn\le m^2+n^2$, donc $\frac{mn}{m^2+n^2}\le \frac{1}{2}$, avec égalité pour $m=n$ : $\boxed{{\displaystyle \max A=\frac{1}{2}}}$. Tous les éléments de $A$ sont strictement positifs : $0$ minore $A$ et $0\mathrm{\notin }A$. Soit $\epsilon >0$ et $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tel que $\frac{1}{n}<\epsilon$ (Archimède) ; avec $m=1$ : $\frac{n}{1+n^2}<\frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}<\epsilon$. Par la caractérisation, $\boxed{{\displaystyle \inf A=0}}$, et le minimum de $A$ n'existe pas.

Partie B.

1. $nE(x)$ est un entier et $nE(x)\le nx$ (multiplication de $E(x)\le x$ par $n>0$). Or un entier inférieur ou égal à $nx$ est inférieur ou égal à $E(nx)$ (fiche §9). Donc $E(nx)\ge nE(x)$, soit $\frac{E(nx)}{n}\ge E(x)$. Pour $n=1$, l'élément vaut $E(x)$ : $\boxed{{\displaystyle \min C_x=E(x)}}$.

2. Majorant : $E(nx)\le nx$ donne $\frac{E(nx)}{n}\le x$ pour tout $n$. Plus petit : soit $\epsilon >0$ et $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tel que $\frac{1}{n}<\epsilon$. Comme $E(nx)>nx-1$ : $\frac{E(nx)}{n}>x-\frac{1}{n}>x-\epsilon$. Par la caractérisation de la borne supérieure, $\boxed{{\displaystyle \sup C_x=x}}$.

3. Si $x=\frac{p}{q}$ avec $p,q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ (possible car $x>0$), alors pour $n=q$ : $\frac{E(qx)}{q}=\frac{E(p)}{q}=\frac{p}{q}=x$, donc $x\in C_x$ et $x=\max C_x$. Réciproquement, si $x\in C_x$, il existe $n\ge 1$ tel que $x=\frac{E(nx)}{n}$, quotient d'un entier par un entier non nul : $x\in \mathbb{Q}$. Donc $\boxed{{\displaystyle x=\max C_x⟺x\in \mathbb{Q}}}$.

4. Pour $x=\frac{7}{3}$ : $\min C_x=E\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{7}{3}\right)=2$ et $\max C_x=\frac{7}{3}$, atteint pour $n=3$. Pour $x=\sqrt{2}$ (irrationnel) : $\min C_x=1$, $\sup C_x=\sqrt{2}$ et pas de plus grand élément : les éléments $\frac{E(n\sqrt{2})}{n}$ sont des rationnels qui s'approchent de $\sqrt{2}$ par en dessous sans l'atteindre.

1. L'ensemble $\{f(x),x\in X\}$ est non vide (car $X\mathrm{\ne }\mathrm{\varnothing }$) et majoré ($f$ est bornée) ; il a donc une borne supérieure (propriété fondamentale de $ℝ$). Même chose pour $g$, et pour $f+g$, qui est bornée : $\mid f+g\mid \le \mid f\mid +\mid g\mid$.

2. Pour tout $x\in X$ : $f(x)+g(x)\le {\sup }_{X}f+{\sup }_{X}g$. Le réel ${\sup }_{X}f+{\sup }_{X}g$ majore donc $\{f(x)+g(x),x\in X\}$, et il est supérieur ou égal au plus petit des majorants : $\boxed{{\displaystyle \underset{X}{\sup }(f+g)\le \underset{X}{\sup }f+\underset{X}{\sup }g}}$. Exemple strict : $X=[0,1]$, $f(x)=x$, $g(x)=1-x$. Alors $f+g=1$ et ${\sup }_X(f+g)=1$, alors que ${\sup }_{X}f+{\sup }_{X}g=1+1=2$. Les deux bornes supérieures sont atteintes en des points différents ($1$ et $0$).

3. Pour tout $x$ : $f(x)\ge {\inf }_{X}f$, donc ${\sup }_X(f+g)\ge f(x)+g(x)\ge {\inf }_{X}f+g(x)$. Ainsi, pour tout $x$, $g(x)\le {\sup }_X(f+g)-{\inf }_{X}f$ : ce réel majore $g$, donc ${\sup }_{X}g\le {\sup }_X(f+g)-{\inf }_{X}f$, ce qui est l'inégalité voulue. Si $f$ est constante égale à $c$, alors ${\inf }_{X}f={\sup }_{X}f=c$ et les questions 2 et 3 donnent $c+{\sup }_{X}g\le {\sup }_X(c+g)\le c+{\sup }_{X}g$, d'où l'égalité.

4.(a) Pour $x$ fixé, $\{h(x,y),y\in Y\}$ est non vide et minoré ($h$ bornée), donc $\phi (x)$ existe ; de même $\psi (y)$ existe. Pour tous $x,y$ : $\phi (x)\le h(x,y)$ ($\phi (x)$ minore les valeurs à $x$ fixé) et $h(x,y)\le \psi (y)$ ($\psi (y)$ majore les valeurs à $y$ fixé). Donc $\phi (x)\le \psi (y)$.

4.(b) $\phi$ et $\psi$ sont bornées (par les bornes de $h$), donc ${\sup }_X\phi$ et ${\inf }_Y\psi$ existent. Fixons $y$ : d'après (a), $\psi (y)$ majore $\{\phi (x),x\in X\}$, donc ${\sup }_X\phi \le \psi (y)$. Cette inégalité vaut pour tout $y$ : ${\sup }_X\phi$ minore $\{\psi (y),y\in Y\}$, donc $\boxed{{\displaystyle \underset{X}{\sup }\phi \le \underset{Y}{\inf }\psi }}$.

4.(c) Pour chaque $x\in \{0,1\}$, il existe $y\mathrm{\ne }x$, donc $\phi (x)=0$ et ${\sup }_X\phi =0$. Pour chaque $y$, $h(y,y)=1$, donc $\psi (y)=1$ et ${\inf }_Y\psi =1$. On obtient $0<1$ : l'inégalité est stricte. On ne peut donc pas, en général, échanger un « sup » et un « inf ».

1. Les multiples de $d$ dans $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ sont $d,2d,\dots ,jd$, où $j$ est le plus grand entier tel que $jd\le n$, c'est-à-dire tel que $j\le \frac{n}{d}$. Le plus grand entier inférieur ou égal à $\frac{n}{d}$ est $E\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{n}{d}\right)$ ; il y a donc $\boxed{{\displaystyle E\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{n}{d}\right)}}$ multiples.

2. Notons $M_d$ l'ensemble des multiples de $d$ dans $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,1000]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. Comme $3$ et $7$ sont premiers entre eux, un entier est multiple de $3$ et de $7$ si et seulement s'il est multiple de $21$ : $M_3\cap M_7=M_{21}$. Donc $$\mathrm{card}(M_3\cup M_7)=E\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1000}{3}\right)+E\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1000}{7}\right)-E\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1000}{21}\right)=333+142-47=\boxed{{\displaystyle 428}}\mathrm{.}$$ ($3\times 333=999$, $7\times 142=994$, $21\times 47=987$ et $21\times 48=1008$.)

3.(a) Pour $i\ge 1$, $p^i$ divise $k$ si et seulement si $i\le v_p(k)$. Les entiers $i\ge 1$ qui conviennent sont donc $1,2,\dots ,v_p(k)$ : il y en a $v_p(k)$.

3.(b) $v_p(n!)={\sum }_{k=1}^n{v}_p(k)$ (l'exposant d'un produit est la somme des exposants). D'après (a), $v_p(k)={\sum }_{i\ge 1}{\delta }_{i,k}$ où ${\delta }_{i,k}$ vaut $1$ si $p^i$ divise $k$ et $0$ sinon. En échangeant les deux sommes finies (pour $p^i>n$, aucun $k\le n$ n'est multiple de $p^i$) : $$v_p(n!)=\sum _{i\ge 1}\sum _{k=1}^n{\delta }_{i,k}=\sum _{i\ge 1}\mathrm{card}\{k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}],p^i\mid k\}=\sum _{i\ge 1}E\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{n}{p^i}\right)$$ d'après la question 1.

3.(c) Le nombre de zéros finaux est le plus grand $j$ tel que ${10}^j$ divise $100!$, c'est-à-dire tel que $2^j$ et $5^j$ divisent $100!$ ; il vaut $\min (v_2(100!),v_5(100!))$. Or $v_5(100!)=E(20)+E(4)+E(\mathrm{0,8})=20+4=24$ et $v_2(100!)=50+25+12+6+3+1=97$. Donc $100!$ se termine par $\boxed{{\displaystyle 24\text{ z}\acute{\text{e}}\text{ros}}}$.

4. Pour $k\ge 1$ et $j\in \mathbb{N}$ : $E(\sqrt{k})=j⟺j\le \sqrt{k}<j+1⟺j^2\le k<(j+1{)}^2$ (carrés de réels positifs). Pour $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,m^2-1]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on a $1\le \sqrt{k}<m$, donc $E(\sqrt{k})\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,m-1]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, et pour chaque $j$ de cet intervalle, les $k$ tels que $E(\sqrt{k})=j$ sont les entiers de $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[j^2,(j+1{)}^2-1]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, au nombre de $(j+1{)}^2-j^2=2j+1$. En regroupant les termes selon la valeur de $E(\sqrt{k})$ : $$\sum _{k=1}^{m^2-1}E(\sqrt{k})=\sum _{j=1}^{m-1}j(2j+1)=2\cdot \frac{(m-1)m(2m-1)}{6}+\frac{(m-1)m}{2}=\frac{(m-1)m(2(2m-1)+3)}{6}=\frac{(m-1)m(4m+1)}{6}\mathrm{.}$$ Pour $m=10$ : ${\displaystyle \sum _{k=1}^{99}E(\sqrt{k})=\frac{9\times 10\times 41}{6}=\boxed{{\displaystyle 615}}}$.

1. $\alpha -1>0$ et $\alpha >\alpha -1$, donc $\beta =\frac{\alpha }{\alpha -1}>1$. Ensuite $\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }=\frac{1}{\alpha }+\frac{\alpha -1}{\alpha }=1$. Si $\beta$ était rationnel, alors $\frac{1}{\alpha }=1-\frac{1}{\beta }$ serait rationnel et non nul, donc $\alpha$ aussi : contradiction.

2. Si $n\alpha =k\in \mathbb{Z}$ avec $n\ge 1$, alors $\alpha =\frac{k}{n}\in \mathbb{Q}$ : contradiction. Si $\frac{N+1}{\alpha }=r\in \mathbb{Q}$, alors $r>0$ et $\alpha =\frac{N+1}{r}\in \mathbb{Q}$ : contradiction. Comme $\beta$ est aussi un irrationnel strictement positif, le même raisonnement s'applique à $\beta$.

3. $(n+1)\alpha =n\alpha +\alpha \ge n\alpha +1$ car $\alpha >1$. La partie entière étant croissante, $E((n+1)\alpha )\ge E(n\alpha +1)=E(n\alpha )+1$. Ainsi $n\mapsto E(n\alpha )$ est strictement croissante sur ${\mathbb{N}}^{\ast }$ : deux valeurs de $n$ distinctes donnent des entiers distincts. De plus $E(n\alpha )\ge E(\alpha )\ge 1$, donc $S_{\alpha }\subset {\mathbb{N}}^{\ast }$. Tout cela vaut aussi pour $\beta$.

4. Si $E(y)\le N$, alors $y<E(y)+1\le N+1$. Réciproquement, si $y<N+1$, alors $E(y)\le y<N+1$, et l'entier $E(y)$, strictement inférieur à l'entier $N+1$, vérifie $E(y)\le N$. Ainsi $E(n\alpha )\le N⟺n\alpha <N+1⟺n<u$, avec $u=\frac{N+1}{\alpha }>0$ non entier (question 2). Pour un entier $n$ : si $n<u$, alors $n\le E(u)$ ; si $n\le E(u)$, alors $n\le u$ et $n\mathrm{\ne }u$, donc $n<u$. Les entiers $n\ge 1$ comptés sont donc $1,2,\dots ,E(u)$ : $\boxed{{\displaystyle a(N)=E\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{N+1}{\alpha }\right)}}$. De même $b(N)=E\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{N+1}{\beta }\right)$.

5. Posons $s=u-E(u)$ et $t=v-E(v)$. Comme $u$ et $v$ ne sont pas entiers, $s,t\in ]0,1[$, donc $s+t\in ]0,2[$. Or $s+t=(u+v)-E(u)-E(v)$ est un entier. Le seul entier de $]0,2[$ est $1$ : $E(u)+E(v)=u+v-1$. On applique ce résultat à $u=\frac{N+1}{\alpha }$ et $v=\frac{N+1}{\beta }$, non entiers (question 2), de somme $(N+1)(\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta })=N+1$ : $\boxed{{\displaystyle a(N)+b(N)=N}}$.

6. Soit $N\ge 1$. L'entier $a(N)-a(N-1)$ compte les $n\ge 1$ tels que $E(n\alpha )=N$ ; il vaut $0$ ou $1$ car les $E(n\alpha )$ sont deux à deux distincts (question 3). Même chose pour $b(N)-b(N-1)$. D'après la question 5 (valable aussi pour $N-1\ge 0$) : $$(a(N)-a(N-1))+(b(N)-b(N-1))=N-(N-1)=1.$$ Une somme de deux termes valant $0$ ou $1$ égale à $1$ : exactement un des deux vaut $1$. Donc $N$ appartient à exactement un des ensembles $S_{\alpha }$, $S_{\beta }$. Comme ces ensembles sont contenus dans ${\mathbb{N}}^{\ast }$ : $\boxed{{\displaystyle S_{\alpha }\cup S_{\beta }={\mathbb{N}}^{\ast }\text{ et }{S}_{\alpha }\cap S_{\beta }=\mathrm{\varnothing }}}$.