Définition. Un polynôme à coefficients dans $𝕂$ est une suite $(a_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$ d'éléments de $𝕂$ nulle à partir d'un certain rang. On note $X$ la suite $(0,1,0,0,\dots )$ ; on a alors $X^k=(0,\dots ,0,1,0,\dots )$ (le $1$ au rang $k$) et $$P=\sum _{k=0}^n{a}_k{X}^k=a_0+a_{1}X+\cdots +a_n{X}^n\mathrm{.}$$ L'ensemble de ces polynômes est noté $𝕂[X]$. Somme et produit : $(\sum a_k{X}^k)(\sum b_k{X}^k)={\sum }_k{c}_k{X}^k$ avec $c_k={\sum }_{i=0}^k{a}_i{b}_{k-i}$.

Identification des coefficients. Deux polynômes coïncident exactement lorsque leurs coefficients de même rang sont tous égaux. C'est l'outil de base des exercices « déterminer les réels $a,b,c$ tels que… ».

Degré. Pour $P\mathrm{\ne }0$, le degré $\mathrm{deg}P$ (noté aussi $d^{\circ }P$) est le plus grand $k$ tel que $a_k\mathrm{\ne }0$ ; $a_{\mathrm{deg}P}$ est le coefficient dominant, et $P$ est unitaire si ce coefficient vaut $1$. Convention : $\mathrm{deg}0=-\mathrm{\infty }$.

• $\mathrm{deg}(P+Q)\le \max (\mathrm{deg}Q,\mathrm{deg}P)$, l'égalité étant assurée si $\mathrm{deg}P\mathrm{\ne }\mathrm{deg}Q$ ;
• $\mathrm{deg}(PQ)=\mathrm{deg}P+\mathrm{deg}Q$ (car $𝕂$ est un corps : le produit des coefficients dominants est non nul) ;
• $\mathrm{deg}(P\circ Q)=\mathrm{deg}P\times \mathrm{deg}Q$ pour $Q$ non constant, où $P\circ Q=P(Q)=\sum a_k{Q}^k$.

On note ${𝕂}_n[X]=\{P\in 𝕂[X],\mathrm{deg}P\le n\}$ (stable par somme, pas par produit).

Structure. $(𝕂[X],+,\times )$ est un anneau commutatif intègre (si $PQ=0$, alors $P=0$ ou $Q=0$), qui n'est pas un corps. Ses inversibles sont les constantes non nulles : $PQ=1$ impose $\mathrm{deg}P+\mathrm{deg}Q=0$.

Parité. $P$ est pair si $P(-X)=P$ (seules les puissances paires de $X$ apparaissent), impair si $P(-X)=-P$.

Théorème. Hypothèses : $A\in 𝕂[X]$, $B\in 𝕂[X]$, $B\mathrm{\ne }0$. Conclusion : on peut trouver un couple $(Q,R)\in 𝕂[X{]}^2$, et un seul, vérifiant $A=BQ+R$ avec $\mathrm{deg}R<\mathrm{deg}B$. On appelle $Q$ le quotient et $R$ le reste ; « division euclidienne » s'abrège souvent en « D.E ».

L'unicité vient du degré : si $BQ+R=B{Q}^{\mathrm{\prime }}+R^{\mathrm{\prime }}$, alors $B(Q-Q^{\mathrm{\prime }})=R^{\mathrm{\prime }}-R$ est de degré $<\mathrm{deg}B$, ce qui force $Q=Q^{\mathrm{\prime }}$.

Poser la division. On divise le terme de plus haut degré du dividende par celui de $B$, on soustrait, et on recommence tant que le degré du reste reste $\ge \mathrm{deg}B$. Exemple : $X^4+1=(X^2-X+1)(X^2+X)+(-X+1)$.

Trouver un reste sans poser la division. On écrit $A=BQ+R$ avec $R$ de degré $<\mathrm{deg}B$ inconnu, puis on évalue aux racines de $B$ :

• reste par $X-a$ : $R=A(a)$ ;
• reste par $(X-a)(X-b)$ avec $a\mathrm{\ne }b$ : $R=\alpha X+\beta$, où $\alpha a+\beta =A(a)$ et $\alpha b+\beta =A(b)$ ;
• reste par $(X-a{)}^2$ : $R=\alpha X+\beta$ avec $\alpha a+\beta =A(a)$ et, en dérivant $A=(X-a{)}^{2}Q+R$, $\alpha =A^{\mathrm{\prime }}(a)$ ;
• reste par $X^2+1$ : on évalue en $i$ et on identifie parties réelle et imaginaire (si $A$ est réel, le reste aussi).

Le quotient et le reste ne changent pas si l'on regarde $A$ et $B$ réels comme polynômes de $ℂ[X]$ (unicité).

$𝕂[X]$ et $\mathbb{Z}$ sont deux anneaux intègres munis d'une division euclidienne : le degré joue le rôle de la valeur absolue, les constantes non nulles celui de $\pm 1$, les polynômes irréductibles celui des nombres premiers. Presque tous les énoncés de la fiche « Arithmétique dans Z » se transposent, avec les mêmes preuves (elles n'utilisent que la division euclidienne). On ne retient ici que ce qui change.

Divisibilité. $A\mid B$ signifie que $B=AQ$ pour un certain polynôme $Q$ (on lit aussi « $A\mathrm{/}B$ » dans certains cours). Si $B\mathrm{\ne }0$ et $A\mid B$, alors $\mathrm{deg}A\le \mathrm{deg}B$. Pour $B\mathrm{\ne }0$ : $A\mid B⟺$ le reste de la division de $B$ par $A$ est nul.

PGCD. Pour $(A,B)\mathrm{\ne }(0,0)$, le PGCD $A\wedge B$ est l'unique polynôme unitaire $D$ tel que les diviseurs communs à $A$ et $B$ soient exactement les diviseurs de $D$ (c'est un diviseur commun de degré maximal). On le calcule par l'algorithme d'Euclide : $A\wedge B=B\wedge R$, et l'on obtient le PGCD en divisant le dernier reste non nul par son coefficient dominant.

Bézout, Gauss, PPCM : énoncés identiques à ceux de $\mathbb{Z}$.

• Identité de Bézout : on peut écrire $A\wedge B=AU+BV$ avec des polynômes $U,V$ bien choisis (on remonte l'algorithme d'Euclide).
• Théorème de Bézout : $A\wedge B=1⟺\mathrm{\exists }(U,V),AU+BV=1$.
• Lemme de Gauss : si $A\mid BC$ et $A\wedge B=1$, alors $A\mid C$. Corollaire : si $A\mid C$, $B\mid C$ et $A\wedge B=1$, alors $AB\mid C$.
• PPCM $A\vee B$ : unitaire, $(A\wedge B)(A\vee B)=AB$ lorsque $A$ et $B$ sont unitaires.

Particularités propres aux polynômes.

1. Le PGCD ne dépend pas du corps : pour $A,B\in ℝ[X]$, l'algorithme d'Euclide se déroule dans $ℝ[X]$, donc le PGCD calculé dans $ℂ[X]$ est le même. Deux polynômes réels premiers entre eux dans $ℝ[X]$ le restent dans $ℂ[X]$.
2. Lien avec les racines (voir §4) : dans $ℂ[X]$, $A\wedge B=1$ si et seulement si $A$ et $B$ n'ont aucune racine complexe commune ; les racines de $A\wedge B$ sont les racines communes, chacune avec la plus petite des deux multiplicités.
3. Contraintes de degré dans Bézout : si $A\wedge B=1$, $\mathrm{deg}A\ge 1$ et $\mathrm{deg}B\ge 1$, il existe un unique couple $(U_0,V_0)$ avec $A{U}_0+B{V}_0=1$, $\mathrm{deg}{U}_0<\mathrm{deg}B$ et $\mathrm{deg}{V}_0<\mathrm{deg}A$ ; tous les couples s'écrivent $(U_0+BK,V_0-AK)$, $K\in 𝕂[X]$. (Même preuve que pour $ax+by=c$ : on soustrait et on applique Gauss.)

Fonction polynomiale. À $P=\sum a_k{X}^k$ on associe $\tilde{P}:x\mapsto \sum a_k{x}^k$ ; on écrit simplement $P(x)$. On a $(P+Q)(x)=P(x)+Q(x)$, $(PQ)(x)=P(x)Q(x)$ et $(P\circ Q)(x)=P(Q(x))$.

Racine. Lorsque $P(a)=0$, on dit que $a\in 𝕂$ annule $P$, ou que $a$ est une racine (un « zéro ») de $P$. Théorème : $a$ est racine de $P$ $⟺$ $(X-a)\mid P$ (le reste de la division par $X-a$ vaut $P(a)$).

Racines distinctes. Si $a_1,\dots ,a_r$ sont des racines deux à deux distinctes de $P$, alors ${\prod }_{i=1}^r(X-a_i)$ divise $P$ (récurrence, ou Gauss : les $X-a_i$ sont premiers entre eux deux à deux).

Nombre de racines. Hypothèses : $P\mathrm{\ne }0$, $\mathrm{deg}P=n$. Conclusion : $P$ a au plus $n$ racines distinctes dans $𝕂$. Conséquences très utilisées :

• un polynôme de degré $\le n$ qui s'annule en $n+1$ points distincts est nul ;
• seul le polynôme nul possède une infinité de racines ;
• deux polynômes qui coïncident en une infinité de points sont égaux. Ainsi $P\mapsto \tilde{P}$ est injective : sur $ℝ$ ou $ℂ$, on peut identifier polynôme et fonction polynomiale (ce serait faux sur un corps fini, hors programme).

Multiplicité. Pour $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $a$ est racine d'ordre $m$ (ou de multiplicité $m$) de $P$ si $(X-a{)}^m\mid P$ et $(X-a{)}^{m+1}\nmid P$. De façon équivalente : $P=(X-a{)}^{m}Q$ avec $Q(a)\mathrm{\ne }0$. Racine simple ($m=1$), double ($m=2$), multiple ($m\ge 2$). Si $a_1,\dots ,a_r$ sont des racines distinctes de multiplicités $m_1,\dots ,m_r$, alors $\prod (X-a_i{)}^{m_i}$ divise $P$, donc $m_1+\cdots +m_r\le \mathrm{deg}P$ : un polynôme non nul de degré $n$ a au plus $n$ racines comptées avec leur multiplicité.

Dérivée formelle. Pour $P={\sum }_{k=0}^n{a}_k{X}^k$, on pose $P^{\mathrm{\prime }}={\sum }_{k=1}^{n}k{a}_k{X}^{k-1}$, puis $P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=(P^{\mathrm{\prime }}{)}^{\mathrm{\prime }}$, $P^{(k)}$… Règles : $(\lambda P+Q{)}^{\mathrm{\prime }}=\lambda P^{\mathrm{\prime }}+Q^{\mathrm{\prime }}$, $(PQ{)}^{\mathrm{\prime }}=P^{\mathrm{\prime }}Q+P{Q}^{\mathrm{\prime }}$, $(P\circ Q{)}^{\mathrm{\prime }}=Q^{\mathrm{\prime }}\times (P^{\mathrm{\prime }}\circ Q)$, et formule de Leibniz $(PQ{)}^{(n)}={\sum }_{k=0}^n{C}_n^k{P}^{(k)}{Q}^{(n-k)}$.

• Si $\mathrm{deg}P=n\ge 1$, alors $\mathrm{deg}{P}^{\mathrm{\prime }}=n-1$ ; $P^{(n)}=n!a_n$ est constant et $P^{(n+1)}=0$.
• $P^{\mathrm{\prime }}=0⟺P$ constant ; $((X-a{)}^m{)}^{(k)}={\displaystyle \frac{m!}{(m-k)!}}(X-a{)}^{m-k}$ pour $k\le m$.

Formule de Taylor pour les polynômes. Hypothèses : $P\in 𝕂[X]$, $\mathrm{deg}P\le n$, $a\in 𝕂$. Conclusion : ${\displaystyle P=\sum _{k=0}^n\frac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a{)}^k}$. C'est une égalité exacte (pas d'approximation, pas de reste), à ne pas confondre avec les développements limités d'Analyse. Elle donne l'écriture de $P$ « en puissances de $X-a$ », par exemple pour un changement de variable $X=a+Y$.

Caractérisation de la multiplicité par les dérivées. Hypothèses : $P\in 𝕂[X]$, $a\in 𝕂$, $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Conclusion : $a$ est racine d'ordre $m$ de $P$ $⟺$ $P(a)=P^{\mathrm{\prime }}(a)=\cdots =P^{(m-1)}(a)=0$ et $P^{(m)}(a)\mathrm{\ne }0$. Preuve : par Taylor en $a$, $(X-a{)}^m\mid P$ équivaut à la nullité des $m$ premiers coefficients $\frac{P^{(k)}(a)}{k!}$. Conséquences :

• $a$ est racine multiple de $P$ $⟺$ $P(a)=P^{\mathrm{\prime }}(a)=0$ ;
• si $a$ est racine d'ordre $m\ge 1$ de $P$, alors $a$ est racine d'ordre $m-1$ de $P^{\mathrm{\prime }}$ (non racine si $m=1$) ;
• $P$ a une racine multiple dans $ℂ$ $⟺$ $P\wedge P^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\ne }1$.

Scindé. $P$ non constant est scindé sur $𝕂$ s'il s'écrit $P=\lambda {\prod }_{i=1}^n(X-x_i)$ avec $\lambda \in {𝕂}^{\ast }$ et $x_1,\dots ,x_n\in 𝕂$ (non nécessairement distincts) : la somme des multiplicités de ses racines dans $𝕂$ vaut alors $\mathrm{deg}P$. Scindé à racines simples : les $x_i$ sont deux à deux distincts.

Théorème de d'Alembert-Gauss (admis). Dans $ℂ[X]$, un polynôme de degré $\ge 1$ possède au moins une racine complexe. Par récurrence sur le degré : tout polynôme non constant est scindé sur $ℂ$. Dans $ℝ[X]$, c'est faux ($X^2+1$).

Relations coefficients-racines. Soit $P=a_n{X}^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_0$, $a_n\mathrm{\ne }0$, scindé, de racines $x_1,\dots ,x_n$ (répétées selon leur multiplicité). On note ${\sigma }_k={\sum }_{1\le i_1<\cdots <i_k\le n}{x}_{i_1}\cdots x_{i_k}$ les fonctions symétriques élémentaires. Alors $${\sigma }_k=(-1{)}^k\frac{a_{n-k}}{a_n}(1\le k\le n),\text{en particulier}\sum x_i=-\frac{a_{n-1}}{a_n},\prod x_i=(-1{)}^n\frac{a_0}{a_n}\mathrm{.}$$ Degré 2 : $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$, $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$. Degré 3 ($a{X}^3+b{X}^2+cX+d$) : ${\sigma }_1=-\frac{b}{a}$, ${\sigma }_2=\frac{c}{a}$, ${\sigma }_3=-\frac{d}{a}$.

Calculs symétriques usuels : $\sum x_i^2={\sigma }_1^2-2{\sigma }_2$ ; $\sum \frac{1}{x_i}=\frac{{\sigma }_{n-1}}{{\sigma }_n}$ (si ${\sigma }_n\mathrm{\ne }0$) ; pour $\sum x_i^3$, on utilise $x_i^3=-\frac{b}{a}{x}_i^2-\frac{c}{a}{x}_i-\frac{d}{a}$ (chaque racine vérifie l'équation) et on somme.

Réciproque utile. Si $x_1+x_2=s$ et $x_1{x}_2=p$, alors $x_1,x_2$ sont les racines de $X^2-sX+p$ ; de même pour trois nombres avec $X^3-{\sigma }_1{X}^2+{\sigma }_{2}X-{\sigma }_3$. C'est la méthode pour résoudre un système symétrique.

$P$ est irréductible dans $𝕂[X]$ s'il est non constant et si ses seuls diviseurs sont les constantes non nulles et les polynômes associés à $P$. Tout polynôme de degré $1$ est irréductible. Tout polynôme non constant possède un diviseur irréductible.

• Dans $ℂ[X]$ : les irréductibles sont exactement les polynômes de degré 1 (d'Alembert-Gauss).
• Dans $ℝ[X]$ : les irréductibles sont les polynômes de degré 1 et ceux de degré 2 à discriminant strictement négatif.
• Un polynôme réel de degré $2$ ou $3$ est irréductible sur $ℝ$ si et seulement s'il n'a pas de racine réelle ; dès le degré $4$, c'est faux : $X^4+1=(X^2-\sqrt{2}X+1)(X^2+\sqrt{2}X+1)$ n'a pas de racine réelle mais n'est pas irréductible.
• Un polynôme réel de degré impair a au moins une racine réelle (ses racines non réelles vont par paires conjuguées, §8).

Théorème (décomposition en facteurs irréductibles). Tout polynôme non nul s'écrit, de façon unique à l'ordre près, comme le produit de son coefficient dominant et de polynômes irréductibles unitaires (c'est la « décomposition primaire » de certains énoncés). Concrètement :

• dans $ℂ[X]$ : $P=\lambda {\prod }_{i=1}^r(X-a_i{)}^{m_i}$, les $a_i$ racines distinctes, $m_i$ leurs multiplicités ;
• dans $ℝ[X]$ : $P=\lambda {\prod }_i(X-a_i{)}^{m_i}{\prod }_j(X^2+p_{j}X+q_j{)}^{n_j}$ avec $a_i$ réels et $p_j^2-4q_j<0$.

Racines conjuguées. Si $P\in ℝ[X]$ et $z\in ℂ$, alors $P(\bar{z})=\overline{P(z)}$ : si $z$ est racine, $\bar{z}$ aussi, avec la même multiplicité (appliquer le résultat aux dérivées). Pour $z=\rho e^{i\theta }$ non réel : $$(X-z)(X-\bar{z})=X^2-2\mathrm{Re}(z)X+\mid z{\mid }^2=X^2-2\rho \cos \theta X+{\rho }^2\mathrm{.}$$ Méthode pour factoriser dans $ℝ[X]$ : factoriser d'abord dans $ℂ[X]$, puis regrouper chaque racine non réelle avec sa conjuguée.

L'exemple de référence : $X^n-1$. Ses racines sont les ${\omega }_k=e^{2ik\pi \mathrm{/}n}$, $0\le k\le n-1$, toutes simples : $$X^n-1=\prod _{k=0}^{n-1}(X-e^{2ik\pi \mathrm{/}n})\mathrm{.}$$ Dans $ℝ[X]$, on regroupe ${\omega }_k$ et ${\omega }_{n-k}=\overline{{\omega }_k}$ : pour $n=2p+1$, $X^n-1=(X-1){\prod }_{k=1}^p(X^2-2\cos \frac{2k\pi }{n}X+1)$ ; pour $n=2p$, on ajoute le facteur $X+1$ et le produit va de $1$ à $p-1$. Identité utile : $1+X+\cdots +X^{n-1}={\displaystyle \frac{X^n-1}{X-1}}={\prod }_{k=1}^{n-1}(X-{\omega }_k)$ ; en $X=1$, elle donne ${\prod }_{k=1}^{n-1}(1-{\omega }_k)=n$, d'où des produits trigonométriques grâce à $\mid 1-e^{i\theta }\mid =2\mid \sin \frac{\theta }{2}\mid$.

Astuces de factorisation dans $ℝ[X]$ : faire apparaître une différence de carrés, $X^4+X^2+1=(X^2+1{)}^2-X^2=(X^2-X+1)(X^2+X+1)$ ; reconnaître $X^2+X+1=(X-j)(X-\bar{j})$.

Soient $a_1,\dots ,a_n$ des éléments de $𝕂$ deux à deux distincts ($n\ge 1$), et $N={\prod }_{i=1}^n(X-a_i)$.

Polynômes de Lagrange. ${\displaystyle L_i=\prod _{k\mathrm{\ne }i}\frac{X-a_k}{a_i-a_k}}$, pour $1\le i\le n$. Chaque $L_i$ est de degré $n-1$ et $L_i(a_j)={\delta }_{ij}$ ($1$ si $i=j$, $0$ sinon). On a aussi $L_i={\displaystyle \frac{N}{(X-a_i)N^{\mathrm{\prime }}(a_i)}}$.

Théorème d'interpolation. Hypothèses : $a_1,\dots ,a_n$ deux à deux distincts, $b_1,\dots ,b_n\in 𝕂$. Conclusion : un seul polynôme $T\in {𝕂}_{n-1}[X]$ vérifie $T(a_i)=b_i$ pour tout $i$ ; c'est $T={\sum }_{i=1}^n{b}_i{L}_i$. Les polynômes $P$ (de degré quelconque) vérifiant $P(a_i)=b_i$ pour tout $i$ sont exactement les $T+NQ$, $Q\in 𝕂[X]$.

• Unicité : la différence de deux solutions de degré $\le n-1$ a $n$ racines distinctes, elle est nulle.
• Conséquences : pour tout $P\in {𝕂}_{n-1}[X]$, $P=\sum P(a_i)L_i$ ; en particulier ${\sum }_i{L}_i=1$. Pour tout $A\in 𝕂[X]$, le reste de la division de $A$ par $N$ est ${\sum }_{i}A(a_i)L_i$.
• Avec les espaces vectoriels (chapitre suivant), la famille $(L_1,\dots ,L_n)$ deviendra une base de ${𝕂}_{n-1}[X]$.

Comme le calcul matriciel précède ce chapitre, les devoirs tunisiens évaluent très souvent un polynôme en une matrice. Pour $P=\sum a_k{X}^k$ et $A\in {ℳ}_n(𝕂)$, on pose $P(A)=\sum a_k{A}^k$, avec $A^0=I_n$ (le terme constant $a_0$ devient $a_0{I}_n$).

• $(\lambda P+Q)(A)=\lambda P(A)+Q(A)$ et $(PQ)(A)=P(A)Q(A)$ ; donc $P(A)$ et $Q(A)$ commutent.
• $P$ est un polynôme annulateur de $A$ si $P(A)=0_n$.
• Calcul de $A^m$ : si $P(A)=0_n$ et si $X^m=P{Q}_m+R_m$ (division euclidienne), alors $A^m=R_m(A)$ ; le reste $R_m$ se trouve par évaluation aux racines de $P$ (§2).
• Inverse : si $P={\sum }_{k=0}^d{a}_k{X}^k$ annule $A$ avec $a_0\mathrm{\ne }0$, alors $A\left({\sum }_{k\ge 1}{a}_k{A}^{k-1}\right)=-a_0{I}_n$, donc $A$ est inversible et $A^{-1}=-\frac{1}{a_0}{\sum }_{k=1}^d{a}_k{A}^{k-1}$ est un polynôme en $A$.
• Une relation de Bézout $PU+QV=1$ donne $P(A)U(A)+Q(A)V(A)=I_n$ : on s'en sert dans les problèmes de février. Le polynôme minimal n'est pas au programme de 1re année : quand un sujet l'utilise, il en donne la définition.

Définition. $𝕂(X)$ est l'ensemble des quotients $F={\displaystyle \frac{A}{B}}$ avec $A,B\in 𝕂[X]$, $B\mathrm{\ne }0$, où ${\displaystyle \frac{A}{B}}={\displaystyle \frac{C}{D}}$ signifie $AD=BC$. C'est un corps qui contient $𝕂[X]$ (on y inverse tout polynôme non nul).

Représentant irréductible. Toute fraction non nulle s'écrit de façon unique $F={\displaystyle \frac{A}{B}}$ avec $A\wedge B=1$ et $B$ unitaire ; on l'obtient en divisant $A$ et $B$ par leur PGCD (dans $ℂ[X]$ : en simplifiant les racines communes).

Degré. $\mathrm{deg}{\displaystyle \frac{A}{B}}=\mathrm{deg}A-\mathrm{deg}B\in \mathbb{Z}\cup \{-\mathrm{\infty }\}$ (indépendant du représentant). $\mathrm{deg}(F+G)\le \max (\mathrm{deg}G,\mathrm{deg}F)$ et $\mathrm{deg}(FG)=\mathrm{deg}F+\mathrm{deg}G$.

Racines et pôles. Pour $F={\displaystyle \frac{A}{B}}$ irréductible : les racines de $F$ sont celles de $A$, les pôles de $F$ sont les racines de $B$ ; l'ordre d'un pôle est sa multiplicité dans $B$. Sur $𝕂$ privé des pôles, $F$ définit une fonction rationnelle $x\mapsto \frac{A(x)}{B(x)}$. Il faut mettre $F$ sous forme irréductible avant de parler de pôles : $\frac{X^2-1}{X-1}=X+1$ n'a pas de pôle.

Partie entière. Hypothèses : $F={\displaystyle \frac{A}{B}}\in 𝕂(X)$. Conclusion : $F$ s'écrit d'une seule manière $F=E+G$, avec $E\in 𝕂[X]$, $G\in 𝕂(X)$ et $\mathrm{deg}G<0$. Le polynôme $E$, appelé partie entière de $F$, n'est autre que le quotient obtenu en divisant $A$ par $B$ (et $G=\frac{R}{B}$ avec $R$ le reste).

• si $\mathrm{deg}F<0$, la partie entière est nulle ;
• si $\mathrm{deg}F=0$, c'est la constante $\frac{\text{coef. dominant de }A}{\text{coef. dominant de }B}$ ;
• $G$ est parfois appelée partie polaire globale de $F$.

Dans $ℂ(X)$. Hypothèses : $F={\displaystyle \frac{A}{B}}$ irréductible, $B=\lambda {\prod }_{i=1}^r(X-a_i{)}^{m_i}$ (les $a_i$ distincts), $E$ la partie entière de $F$. Conclusion : il existe des complexes ${\lambda }_{i,k}$, uniques, tels que $$F=E+\sum _{i=1}^r\sum _{k=1}^{m_i}\frac{{\lambda }_{i,k}}{(X-a_i{)}^k}\mathrm{.}$$ Les fractions $\frac{\lambda }{(X-a{)}^k}$ sont les éléments simples de $ℂ(X)$ ; ${\sum }_k\frac{{\lambda }_{i,k}}{(X-a_i{)}^k}$ est la partie polaire relative au pôle $a_i$.

Dans $ℝ(X)$. Si $B=\lambda {\prod }_i(X-a_i{)}^{m_i}{\prod }_j(X^2+p_{j}X+q_j{)}^{n_j}$ (facteurs irréductibles réels), alors $F$ s'écrit de façon unique $$F=E+\sum _i\sum _{k=1}^{m_i}\frac{{\lambda }_{i,k}}{(X-a_i{)}^k}+\sum _j\sum _{k=1}^{n_j}\frac{{\mu }_{j,k}X+{\nu }_{j,k}}{(X^2+p_{j}X+q_j{)}^k},$$ tous les coefficients étant réels. Vocabulaire tunisien : $\frac{\lambda }{(X-a{)}^k}$ est un élément simple de 1re espèce, $\frac{\mu X+\nu }{(X^2+pX+q{)}^k}$ (avec $p^2-4q<0$) un élément simple de 2e espèce.

Calcul des coefficients : boîte à outils.

1. Partie entière : division euclidienne (si $\mathrm{deg}A\ge \mathrm{deg}B$) ; toujours la faire en premier.
2. Pôle simple $a$ : $\lambda =[(X-a)F](a)={\displaystyle \frac{A(a)}{B^{\mathrm{\prime }}(a)}}$. La seconde formule évite de développer le reste de $B$.
3. Pôle d'ordre $m$ : le coefficient de $\frac{1}{(X-a{)}^m}$ vaut $[(X-a{)}^{m}F](a)$. Les autres s'obtiennent en retranchant ce terme (on obtient une fraction de pôle $a$ d'ordre $\le m-1$), ou en posant $X=a+Y$ et en identifiant.
4. Limite en $+\mathrm{\infty }$ de $xF(x)$ (quand $\mathrm{deg}F\le -1$) : elle vaut la somme des coefficients ${\lambda }_{i,1}$ des $\frac{1}{X-a_i}$ et des ${\mu }_{j,1}$ ; elle donne une relation linéaire entre coefficients (les termes d'ordre $k\ge 2$ n'y contribuent pas).
5. Valeurs particulières : évaluer en un point qui n'est pas un pôle ($x=0$ souvent).
6. Symétries : si $F$ est paire ou impaire, l'unicité de la décomposition impose des relations ($\lambda$ de $a$ et de $-a$…) ; si $F$ est réelle, les coefficients relatifs à $a$ et $\bar{a}$ sont conjugués.
7. Passage de $ℂ(X)$ à $ℝ(X)$ : regrouper $\frac{\lambda }{X-a}+\frac{\bar{\lambda }}{X-\bar{a}}=\frac{2\mathrm{Re}(\lambda )X-2\mathrm{Re}(\lambda \bar{a})}{X^2-2\mathrm{Re}(a)X+\mid a{\mid }^2}$.
8. Éléments de 2e espèce d'ordre $>1$ : divisions euclidiennes successives du numérateur par $X^2+pX+q$.

Décomposition de $P^{\mathrm{\prime }}\mathrm{/}P$. Si $P=\lambda {\prod }_{i=1}^r(X-a_i{)}^{m_i}$ dans $ℂ[X]$, alors $$\frac{P^{\mathrm{\prime }}}{P}=\sum _{i=1}^r\frac{m_i}{X-a_i}\mathrm{.}$$ Cas de $1\mathrm{/}N$ avec $N={\prod }_{i=1}^n(X-a_i)$, $a_i$ distincts : ${\displaystyle \frac{1}{N}}={\sum }_{i=1}^n{\displaystyle \frac{1}{N^{\mathrm{\prime }}(a_i)(X-a_i)}}$ (lien avec Lagrange, §9).

Lien avec l'Analyse. Une primitive d'une fonction rationnelle s'obtient terme à terme : $\int \frac{dx}{x-a}=\ln \mid x-a\mid$, $\int \frac{dx}{(x-a{)}^k}=\frac{-1}{(k-1)(x-a{)}^{k-1}}$ pour $k\ge 2$, et les éléments de 2e espèce donnent des $\ln$ et des $\arctan$. Les sommes télescopiques $\sum \frac{1}{k(k+1)}$ reposent aussi sur une décomposition en éléments simples.

Déterminer un polynôme vérifiant une équation ($P(X^2)=\dots$, $(P^{\mathrm{\prime }}{)}^2=\dots$, $P\circ P=\dots$)

1. Degré : comparer les degrés des deux membres (et les coefficients dominants) ; on obtient souvent $\mathrm{deg}P$ et le coefficient dominant.
2. Racines : si $a$ est racine, montrer qu'une autre valeur ($a^2$, $a+1$…) l'est aussi ; l'ensemble des racines étant fini, on en déduit des contraintes fortes ($\mid a\mid \in \{0,1\}$…).
3. Identification des coefficients une fois le degré connu ; ne pas oublier la solution $P=0$ et de vérifier les solutions trouvées.

Montrer que $B$ divise $A$

• Si $B=\prod (X-b_i{)}^{k_i}$ est scindé : vérifier que chaque $b_i$ est racine de $A$ d'ordre $\ge k_i$ (dérivées) ;
• pour $X^2+X+1$ : montrer que $j$ est racine (alors $\bar{j}$ aussi si $A$ est réel), en réduisant les puissances avec $j^3=1$ ;
• sinon : division euclidienne, ou récurrence sur un paramètre $n$.

Calculer une multiplicité

Calculer $P(a),P^{\mathrm{\prime }}(a),P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a),\dots$ jusqu'à la première valeur non nulle ; ou écrire $X=a+Y$ (Taylor) et chercher la plus petite puissance de $Y$ présente.

Factoriser un polynôme

1. Chercher des racines évidentes ($0,\pm 1,\pm 2$, $i$, $j$, racines de l'unité) et leurs multiplicités ; diviser par les facteurs trouvés.
2. Utiliser les relations coefficients-racines si une information sur les racines est donnée (« la somme de deux racines vaut… »).
3. Factoriser dans $ℂ[X]$, puis regrouper les conjuguées pour $ℝ[X]$. Ne pas oublier le coefficient dominant.

Calculer $A\wedge B$ et des coefficients de Bézout

Algorithme d'Euclide (divisions successives), PGCD = dernier reste non nul rendu unitaire, puis remontée. Vérifier $AU+BV$ à la fin. Si l'on connaît les racines, $A\wedge B=\prod (X-c{)}^{\min ({\alpha }_c,{\beta }_c)}$ sur les racines communes $c$.

Décomposer une fraction en éléments simples

Forme irréductible → partie entière → factorisation du dénominateur → forme de la décomposition avec coefficients inconnus → pôles simples par $\frac{A(a)}{B^{\mathrm{\prime }}(a)}$ → plus haut ordre des pôles multiples → limite de $xF(x)$, valeurs particulières, parité → vérification en une valeur (par exemple $x=0$ ou $x=2$).

1. Degré de la somme : écrire $\mathrm{deg}(P+Q)=\max (\mathrm{deg}Q,\mathrm{deg}P)$ sans condition ($X^2+1$ et $-X^2$).
2. Oublier le polynôme nul dans « déterminer tous les $P$ tels que… », ou diviser par $P$ sans savoir $P\mathrm{\ne }0$.
3. Confondre racine et multiplicité : $P(a)=P^{\mathrm{\prime }}(a)=0$ prouve seulement que $a$ est racine au moins double.
4. « Pas de racine réelle donc irréductible dans $ℝ[X]$ » : vrai en degré $2$ ou $3$ seulement ($X^4+1$).
5. Relations coefficients-racines appliquées à un polynôme non scindé sur le corps considéré, ou en oubliant de diviser par le coefficient dominant, ou en oubliant le signe $(-1{)}^k$.
6. PGCD non normalisé : le PGCD est unitaire ; « $A\wedge B=2X-2$ » n'a pas de sens, on écrit $X-1$.
7. Pôles d'une fraction non simplifiée : $\frac{(X-1)(X+2)}{(X-1{)}^2}$ n'a pas $1$ comme pôle double mais simple.
8. Forme de décomposition fausse : oublier la partie entière ; mettre une constante au-dessus d'un facteur de 2e espèce (il faut $\mu X+\nu$) ; oublier les termes d'ordres intermédiaires d'un pôle multiple.
9. Formule $\frac{A(a)}{B^{\mathrm{\prime }}(a)}$ appliquée à un pôle multiple (elle ne vaut que pour un pôle simple).
10. Évaluer en une matrice sans le $I_n$ : pour $P=X^2-3X+2$, $P(A)=A^2-3A+2I_n$, pas « $A^2-3A+2$ ».
11. Rédaction : « $X=a$ » pour dire « on évalue en $a$ » est toléré à l'oral mais pas dans une copie ; on écrit « en évaluant l'égalité en $a$ ». Préciser dans quel anneau on travaille ($ℝ[X]$ ou $ℂ[X]$) à chaque factorisation.

• $𝕂=ℝ$ ou $ℂ$ (« IK » dans les documents anciens) ; $𝕂[X]$, ${𝕂}_n[X]$ (ou ${ℝ}_n[X]$) ; $𝕂(X)$ pour les fractions.
• Degré noté $\mathrm{deg}P$ ou $d^{\circ }P$ ; « coefficient dominant », « polynôme unitaire », « D.E » pour division euclidienne.
• Divisibilité $A\mid B$, parfois écrite $A\mathrm{/}B$ dans les cours ; PGCD $A\wedge B$ ou $\mathrm{pgcd}(A,B)$, PPCM $A\vee B$.
• « Racine d'ordre $m$ », « ordre de multiplicité », « racine simple / double / triple » ; « polynôme scindé à racines simples ».
• « Décomposition primaire » ou « décomposition en produit de facteurs irréductibles », demandée sur $ℂ$ d'abord, sur $ℝ$ ensuite.
• Fractions : « partie entière », « partie polaire », « pôle d'ordre $m$ », « élément simple de 1re espèce / de 2e espèce » ; la consigne demande souvent la décomposition sur $ℝ$, puis sur $ℂ$.
• Coefficients binomiaux notés $C_n^k$ dans la plupart des énoncés ; $j=e^{2i\pi \mathrm{/}3}$ ; ${\delta }_{ij}$ (symbole de Kronecker) pour Lagrange.
• Énoncés de devoir : suites de polynômes définies par récurrence (degré, coefficient dominant, parité, racines trigonométriques), polynômes évalués en une matrice, couples de Bézout obtenus par une décomposition en éléments simples. Barème affiché.
• Calculatrice interdite : les racines cherchées sont « évidentes » ou s'expriment avec des cosinus d'angles remarquables ; aucune valeur décimale n'est attendue.