Polynômes et fractions rationnelles (Exercices) · Révisions prépa · Ridami

Algèbre · 1re année

Polynômes et fractions rationnelles

Application du cours5 points

1. Quatre divisions euclidiennes

Effectuer la division euclidienne de $A = X^{5} - 3 X^{3} + 2 X^{2} + X - 1$ par $B = X^{2} + X - 1$ dans $ℝ [X]$ .
Soit $n \in ℕ$ . Calculer le reste $R_{n}$ obtenu en divisant $X^{n}$ par $X^{2} - 4$ (on distinguera $n$ pair et $n$ impair).
Même question pour $X^{100}$ , divisé cette fois par $(X + 1)^{2}$ .
On note $ω = e^{i π / 3}$ . Vérifier que $ω$ et $\overset{ˉ}{ω}$ sont les racines de $X^{2} - X + 1$ , puis montrer qu'en divisant $X^{2026} + X + 1$ par $X^{2} - X + 1$ , on obtient le reste $1$ .

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1. On abaisse le degré terme à terme (fiche §2) :

$X^{5} = X^{3} \cdot X^{2}$ : on retranche $X^{3} B = X^{5} + X^{4} - X^{3}$ , il reste $- X^{4} - 2 X^{3} + 2 X^{2} + X - 1$ ;
on retranche $- X^{2} B = - X^{4} - X^{3} + X^{2}$ , il reste $- X^{3} + X^{2} + X - 1$ ;
on retranche $- X B = - X^{3} - X^{2} + X$ , il reste $2 X^{2} - 1$ ;
on retranche $2 B = 2 X^{2} + 2 X - 2$ , il reste $- 2 X + 1$ , de degré $1 < 2$ : on s'arrête.

Ainsi $Q = X^{3} - X^{2} - X + 2, R = 1 - 2 X$ , et l'on vérifie $B Q + R = A$ en développant.

2. Le diviseur est de degré $2$ , donc le reste s'écrit $R_{n} = α X + β$ avec $α, β \in ℝ$ : $X^{n} = (X^{2} - 4) Q_{n} + α X + β$ . En évaluant en $2$ et en $- 2$ , racines de $X^{2} - 4$ : $2 α + β = 2^{n}$ et $- 2 α + β = (- 2)^{n}$ . D'où $β = \frac{2^{n} + (- 2)^{n}}{2}, α = \frac{2^{n} - (- 2)^{n}}{4} .$

Si $n$ est pair : $α = 0$ , $β = 2^{n}$ , donc $R_{n} = 2^{n}$ .
Si $n$ est impair : $α = 2^{n - 1}$ , $β = 0$ , donc $R_{n} = 2^{n - 1} X$ .

(Contrôle direct : $X^{2} \equiv 4$ modulo $X^{2} - 4$ , donc $X^{2 p} = (X^{2})^{p}$ a pour reste $4^{p}$ .)

3. On écrit $X^{100} = (X + 1)^{2} Q + α X + β$ . En évaluant en $- 1$ : $1 = - α + β$ . En dérivant : $100 X^{99} = 2 (X + 1) Q + (X + 1)^{2} Q^{'} + α$ , puis en évaluant en $- 1$ : $- 100 = α$ . Donc $β = 1 + α = - 99$ et $R = - 100 X - 99 .$

4. $ω^{2} = e^{2 i π / 3} = ω - 1$ (car $ω + \overset{ˉ}{ω} = 2 \cos \frac{π}{3} = 1$ et $ω \overset{ˉ}{ω} = 1$ ) : $ω$ et $\overset{ˉ}{ω}$ sont les racines de $X^{2} - X + 1$ (somme $1$ , produit $1$ ). De plus $ω^{3} = e^{i π} = - 1$ , donc $ω^{6} = 1$ .

Comme $2026 = 6 \times 337 + 4$ , on a $ω^{2026} = ω^{4} = ω^{3} \cdot ω = - ω$ , d'où $ω^{2026} + ω + 1 = 1$ . Le polynôme $A = X^{2026} + X + 1$ étant réel, $A (\overset{ˉ}{ω}) = \overline{A (ω)} = 1$ . Écrivons $A = (X^{2} - X + 1) Q + α X + β$ avec $α, β$ réels. En évaluant en $ω$ et $\overset{ˉ}{ω}$ : $α ω + β = 1$ et $α \overset{ˉ}{ω} + β = 1$ . Par différence, $α (ω - \overset{ˉ}{ω}) = 0$ avec $ω - \overset{ˉ}{ω} = i \sqrt{3} \neq 0$ , donc $α = 0$ et $β = 1$ : $R = 1$ . Autrement dit, $X^{2} - X + 1$ divise $X^{2026} + X$ .

Après avoir comparé avec le corrigé :

Application du cours4 points

2. Une racine triple et la formule de Taylor

On considère $P = X^{5} - 6 X^{4} + 13 X^{3} - 14 X^{2} + 12 X - 8 \in ℝ [X]$ .

Montrer que $2$ est racine de $P$ et déterminer son ordre de multiplicité.
Écrire la formule de Taylor de $P$ au point $2$ , puis en déduire la factorisation de $P$ dans $ℝ [X]$ et dans $ℂ [X]$ .
Déterminer les réels $a$ et $b$ pour lesquels $(X - 1)^{2}$ divise $X^{5} + a X^{2} + b X + 1$ . Le réel $1$ est-il alors racine triple ?

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1. On calcule les dérivées successives : $P^{'} = 5 X^{4} - 24 X^{3} + 39 X^{2} - 28 X + 12$ , $P^{''} = 20 X^{3} - 72 X^{2} + 78 X - 28$ , $P^{'''} = 60 X^{2} - 144 X + 78$ , $P^{(4)} = 120 X - 144$ , $P^{(5)} = 120$ . En $2$ : $P (2) = 32 - 96 + 104 - 56 + 24 - 8 = 0$ , $P^{'} (2) = 80 - 192 + 156 - 56 + 12 = 0$ , $P^{''} (2) = 160 - 288 + 156 - 28 = 0$ et $P^{'''} (2) = 240 - 288 + 78 = 30 \neq 0$ . D'après la caractérisation par les dérivées (fiche §5), $2 est racine triple de P$ .

2. On a aussi $P^{(4)} (2) = 96$ et $P^{(5)} (2) = 120$ . Comme $\deg P = 5$ , la formule de Taylor en $2$ donne $P = \frac{30}{3!} (X - 2)^{3} + \frac{96}{4!} (X - 2)^{4} + \frac{120}{5!} (X - 2)^{5} = 5 (X - 2)^{3} + 4 (X - 2)^{4} + (X - 2)^{5} .$ On factorise : $P = (X - 2)^{3} [(X - 2)^{2} + 4 (X - 2) + 5] = (X - 2)^{3} (X^{2} + 1)$ . Le facteur $X^{2} + 1$ est de discriminant $- 4 < 0$ , donc irréductible dans $ℝ [X]$ : $P = (X - 2)^{3} (X^{2} + 1) dans ℝ [X], P = (X - 2)^{3} (X - i) (X + i) dans ℂ [X] .$

3. Posons $T = X^{5} + a X^{2} + b X + 1$ . $(X - 1)^{2} ∣ T$ équivaut à « $1$ est racine au moins double », soit $T (1) = T^{'} (1) = 0$ : $2 + a + b = 0$ et $5 + 2 a + b = 0$ . Par différence, $a = - 3$ , puis $b = 1$ . Ainsi $a = - 3, b = 1$ et $T = X^{5} - 3 X^{2} + X + 1$ . Alors $T^{''} = 20 X^{3} - 6$ et $T^{''} (1) = 14 \neq 0$ : $1$ est racine double, pas triple. On trouve d'ailleurs $T = (X - 1)^{2} (X^{3} + 2 X^{2} + 3 X + 1)$ , et le second facteur vaut $7 \neq 0$ en $1$ .

Après avoir comparé avec le corrigé :

Application du cours5 points

3. PGCD, Bézout et PPCM : le parallèle avec $ℤ$

On considère dans $ℝ [X]$ les polynômes $A = X^{5} + X^{4} + 1$ et $B = X^{4} + 2 X^{3} + X^{2} - 1$ .

À l'aide de l'algorithme d'Euclide, déterminer $D = A \land B$ .
En « remontant » l'algorithme, trouver $U, V \in ℝ [X]$ tels que $A U + B V = D$ .
Déterminer les racines complexes communes à $A$ et $B$ . Vérifier directement que $j$ est racine de $A$ .
On écrit $A = D A_{1}$ et $B = D B_{1}$ . Montrer que $A_{1} \land B_{1} = 1$ , puis calculer $A \lor B$ .
Trouver l'ensemble des couples $(U, V) \in ℝ [X]^{2}$ vérifiant $A U + B V = D$ .

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1. Divisions successives (chaque reste se vérifie en développant) :

$A = (X - 1) B + R_{1}$ avec $R_{1} = X^{3} + X^{2} + X$ ;
$B = (X + 1) R_{1} + R_{2}$ avec $R_{2} = - X^{2} - X - 1$ ;
$R_{1} = (- X) R_{2} + 0$ .

Le dernier reste non nul est $R_{2} = - (X^{2} + X + 1)$ ; on le rend unitaire : $D = X^{2} + X + 1$ (fiche §3).

2. On exprime $R_{2}$ en fonction de $A$ et $B$ : $R_{2} = B - (X + 1) R_{1}$ et $R_{1} = A - (X - 1) B$ , donc $R_{2} = B - (X + 1) (A - (X - 1) B) = - (X + 1) A + (1 + (X^{2} - 1)) B = - (X + 1) A + X^{2} B .$ Comme $D = - R_{2}$ : $(X + 1) A - X^{2} B = D$ , soit $U = X + 1$ , $V = - X^{2}$ . Vérification : $(X + 1) (X^{5} + X^{4} + 1) = X^{6} + 2 X^{5} + X^{4} + X + 1$ et $X^{2} B = X^{6} + 2 X^{5} + X^{4} - X^{2}$ ; la différence vaut $X^{2} + X + 1$ .

3. Une racine commune à $A$ et $B$ est racine de $A U + B V = D$ ; réciproquement, $D$ divise $A$ et $B$ . Les racines communes sont donc celles de $D = (X - j) (X - \overset{ˉ}{j})$ : $j et \overset{ˉ}{j} = j^{2}$ . Directement : $j^{5} + j^{4} + 1 = j^{2} + j + 1 = 0$ .

4. Les quotients sont $A_{1} = X^{3} - X + 1$ et $B_{1} = X^{2} + X - 1$ (on le vérifie en développant $D A_{1}$ et $D B_{1}$ ). De $A U + B V = D$ on tire, en simplifiant par $D \neq 0$ dans l'anneau intègre $ℝ [X]$ : $A_{1} U + B_{1} V = 1$ , donc $A_{1} \land B_{1} = 1$ par le théorème de Bézout. (Autre preuve : si $r$ est racine de $B_{1}$ , alors $r^{2} = 1 - r$ , $r^{3} = r - r^{2} = 2 r - 1$ et $A_{1} (r) = 2 r - 1 - r + 1 = r \neq 0$ .) Comme dans $ℤ$ , $A \lor B = D A_{1} B_{1}$ (car $(A \land B) (A \lor B) = A B$ pour $A, B$ unitaires) : $A \lor B = (X^{2} + X + 1) (X^{3} - X + 1) (X^{2} + X - 1) = X^{7} + 2 X^{6} - X^{4} + X^{2} + X - 1 .$

5. Soit $(U, V)$ une solution. En retranchant la solution $(X + 1, - X^{2})$ et en divisant par $D$ : $A_{1} (U - (X + 1)) = - B_{1} (V + X^{2})$ . Donc $B_{1}$ divise $A_{1} (U - (X + 1))$ et $A_{1} \land B_{1} = 1$ : par le lemme de Gauss, $B_{1} ∣ U - (X + 1)$ . On écrit $U = X + 1 + K B_{1}$ avec $K \in ℝ [X]$ ; en reportant, $A_{1} K B_{1} = - B_{1} (V + X^{2})$ , puis en simplifiant par $B_{1} \neq 0$ : $V = - X^{2} - K A_{1}$ . Réciproquement, ces couples conviennent car $A (K B_{1}) - B (K A_{1}) = D K A_{1} B_{1} - D K B_{1} A_{1} = 0$ . Conclusion : ${(U, V)} = {(X + 1 + K (X^{2} + X - 1), - X^{2} - K (X^{3} - X + 1)), K \in ℝ [X]} .$ C'est exactement la méthode de l'équation $a x + b y = c$ dans $ℤ$ (fiche Arithmétique), le paramètre entier $k$ devenant un polynôme $K$ . Le couple obtenu en 2 est le seul vérifiant $\deg U < \deg B_{1}$ et $\deg V < \deg A_{1}$ .

Après avoir comparé avec le corrigé :

Application du cours5 points

4. Éléments simples et une primitive

Écrire sur $ℝ$ la décomposition en éléments simples de $F_{1} = \frac{X^{4} + 1}{X^{3} - X}$ .
Même travail pour $F_{2} = \frac{3 X + 1}{(X - 1)^{2} (X + 2)}$ .
Donner la décomposition en éléments simples de $F_{3} = \frac{X^{5}}{(X^{2} + 1)^{2}}$ , d'abord sur $ℝ$ , ensuite sur $ℂ$ .
En déduire une primitive de $f : x \mapsto \frac{x^{4} + 1}{x^{3} - x}$ sur $] 1, + \infty [$ .

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1. Partie entière. $X^{4} + 1 = X (X^{3} - X) + X^{2} + 1$ , donc $F_{1} = X + \frac{X^{2} + 1}{X (X - 1) (X + 1)}$ . La fraction est irréductible (aucun des réels $0, 1, - 1$ n'annule $X^{4} + 1$ ) ; ses pôles $0, 1, - 1$ sont simples, d'où la forme $\frac{X^{2} + 1}{X (X - 1) (X + 1)} = \frac{a}{X} + \frac{b}{X - 1} + \frac{c}{X + 1}$ . On multiplie par le facteur correspondant puis on évalue (fiche §12) : $a = \frac{0 + 1}{(0 - 1) (0 + 1)} = - 1$ , $b = \frac{1 + 1}{1 \cdot 2} = 1$ , $c = \frac{1 + 1}{(- 1) (- 2)} = 1$ . Donc $F_{1} = X - \frac{1}{X} + \frac{1}{X - 1} + \frac{1}{X + 1} .$ Contrôle : $x F_{1} (x) - x^{2} \to - 1 + 1 + 1 = 1$ en $+ \infty$ , et c'est bien la limite de $\frac{x^{3} + x}{x^{3} - x}$ .

2. $\deg F_{2} = - 2 < 0$ : partie entière nulle. Forme : $F_{2} = \frac{a}{(X - 1)^{2}} + \frac{b}{X - 1} + \frac{c}{X + 2}$ .

$c = {[\frac{3 X + 1}{(X - 1)^{2}}]}_{X = - 2} = \frac{- 5}{9}$ ;
$a = {[\frac{3 X + 1}{X + 2}]}_{X = 1} = \frac{4}{3}$ ;
$\lim_{x \to + \infty} x F_{2} (x) = 0$ (car $\deg F_{2} = - 2$ ) et cette limite vaut $b + c$ : $b = \frac{5}{9}$ .

$F_{2} = \frac{4}{3 (X - 1)^{2}} + \frac{5}{9 (X - 1)} - \frac{5}{9 (X + 2)} .$ Contrôle en $0$ : $F_{2} (0) = \frac{1}{2}$ et $\frac{4}{3} - \frac{5}{9} - \frac{5}{18} = \frac{24 - 10 - 5}{18} = \frac{1}{2}$ .

3. Dans $ℝ (X)$ : divisions successives par $X^{2} + 1$ . D'abord $X^{5} = X (X^{2} + 1)^{2} - 2 X^{3} - X$ , puis $- 2 X^{3} - X = - 2 X (X^{2} + 1) + X$ . Ainsi $X^{5} = X (X^{2} + 1)^{2} - 2 X (X^{2} + 1) + X$ et $F_{3} = X - \frac{2 X}{X^{2} + 1} + \frac{X}{(X^{2} + 1)^{2}} (deux \overset{ˊ}{e} l \overset{ˊ}{e} ments de 2e esp \overset{ˋ}{e} ce) .$ Dans $ℂ (X)$ : $\frac{2 X}{X^{2} + 1} = \frac{1}{X - i} + \frac{1}{X + i}$ , et pour $\frac{X}{(X^{2} + 1)^{2}} = \frac{α}{(X - i)^{2}} + \frac{β}{X - i} + \frac{\overset{ˉ}{α}}{(X + i)^{2}} + \frac{\overset{ˉ}{β}}{X + i}$ (coefficients conjugués car la fraction est réelle) : $α = {[\frac{X}{(X + i)^{2}}]}_{X = i} = \frac{i}{(2 i)^{2}} = - \frac{i}{4}$ . On calcule alors la somme des deux termes d'ordre $2$ : $- \frac{i}{4 (X - i)^{2}} + \frac{i}{4 (X + i)^{2}} = \frac{i}{4} \cdot \frac{(X - i)^{2} - (X + i)^{2}}{(X^{2} + 1)^{2}} = \frac{i}{4} \cdot \frac{- 4 i X}{(X^{2} + 1)^{2}} = \frac{X}{(X^{2} + 1)^{2}}$ . Elle vaut déjà toute la fraction : par unicité de la décomposition, $β = 0$ , et $F_{3} = X - \frac{1}{X - i} - \frac{1}{X + i} - \frac{i}{4 (X - i)^{2}} + \frac{i}{4 (X + i)^{2}} .$

4. Sur $] 1, + \infty [$ , $x$ , $x - 1$ et $x + 1$ sont strictement positifs et $f (x) = x - \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1}$ . Une primitive est $F (x) = \frac{x^{2}}{2} - \ln x + \ln (x - 1) + \ln (x + 1) = \frac{x^{2}}{2} + \ln \frac{x^{2} - 1}{x} .$

Après avoir comparé avec le corrigé :

Niveau devoir6 points

5. Deux équations polynomiales

Partie A. Déterminer tous les polynômes $P \in ℝ [X]$ tels que $(X^{2} + 1) P^{''} = 6 P$ .

Partie B. On cherche les polynômes $P \in ℂ [X]$ tels que $(*) P (X^{2}) = P (X) P (X - 1) .$

Vérifier que $P = 0$ et, pour tout $m \in ℕ$ , $P = (X^{2} + X + 1)^{m}$ sont solutions de $(*)$ .
Soit $P$ une solution non nulle. Montrer que $P$ est unitaire.
Soit $a \in ℂ$ une racine de $P$ . Montrer que $a^{2}$ et $(a + 1)^{2}$ sont aussi racines de $P$ .
En déduire que $∣ a ∣ \in {0, 1}$ et $∣ a + 1 ∣ \in {0, 1}$ , puis que $a \in {j, \overset{ˉ}{j}}$ .
Conclure.

Voir le corrigé

Partie A. Soit $P \neq 0$ solution, de degré $n$ et de coefficient dominant $c \neq 0$ . Si $n \leq 1$ , alors $P^{''} = 0$ donc $6 P = 0$ : absurde. Donc $n \geq 2$ ; le terme de degré $n$ de $(X^{2} + 1) P^{''}$ est $n (n - 1) c X^{n}$ , et celui de $6 P$ est $6 c X^{n}$ . En identifiant : $n (n - 1) = 6$ , soit $n^{2} - n - 6 = (n - 3) (n + 2) = 0$ : $n = 3$ . Écrivons $P = a X^{3} + b X^{2} + c X + d$ : $P^{''} = 6 a X + 2 b$ et $(X^{2} + 1) P^{''} = 6 a X^{3} + 2 b X^{2} + 6 a X + 2 b$ . L'égalité avec $6 P$ donne, par identification, $2 b = 6 b$ , $6 a = 6 c$ , $2 b = 6 d$ , soit $b = 0$ , $c = a$ , $d = 0$ . Réciproquement, $P = a (X^{3} + X)$ convient : $(X^{2} + 1) \cdot 6 a X = 6 a (X^{3} + X)$ . $𝒮_{A} = {a (X^{3} + X), a \in ℝ} (le cas a = 0 donne le polyn \hat{o} me nul) .$

Partie B.

1. $P = 0$ convient. Pour $P_{1} = X^{2} + X + 1$ : $P_{1} (X - 1) = (X - 1)^{2} + (X - 1) + 1 = X^{2} - X + 1$ et $P_{1} (X) P_{1} (X - 1) = (X^{2} + 1)^{2} - X^{2} = X^{4} + X^{2} + 1 = P_{1} (X^{2})$ . Si $P = P_{1}^{m}$ , alors $P (X^{2}) = P_{1} (X^{2})^{m} = (P_{1} (X) P_{1} (X - 1))^{m} = P (X) P (X - 1)$ .

2. Soit $c$ le coefficient dominant et $n = \deg P$ . Le coefficient dominant de $P (X^{2})$ est $c$ (degré $2 n$ ), celui de $P (X) P (X - 1)$ est $c^{2}$ (degré $2 n$ ). Donc $c^{2} = c$ avec $c \neq 0$ : $c = 1$ .

3. En évaluant $(*)$ en $a$ : $P (a^{2}) = P (a) P (a - 1) = 0$ . En évaluant en $a + 1$ : $P ((a + 1)^{2}) = P (a + 1) P (a) = 0$ .

4. Par récurrence, $a^{2^{k}}$ est racine de $P$ pour tout $k \in ℕ$ . Si $∣ a ∣ \notin {0, 1}$ , les modules $∣ a ∣^{2^{k}}$ sont deux à deux distincts (suite strictement monotone), donc $P$ aurait une infinité de racines : impossible puisque $P \neq 0$ (fiche §4). Ainsi $∣ a ∣ \in {0, 1}$ . Le même raisonnement appliqué à la racine $b = (a + 1)^{2}$ donne $∣ b ∣ = ∣ a + 1 ∣^{2} \in {0, 1}$ , donc $∣ a + 1 ∣ \in {0, 1}$ .

Si $a = 0$ : $(0 + 1)^{2} = 1$ est racine, et $∣ 1 + 1 ∣ = 2 \notin {0, 1}$ : contradiction.
Si $a = - 1$ : $a^{2} = 1$ est racine, même contradiction.
Il reste $∣ a ∣ = ∣ a + 1 ∣ = 1$ . Avec $a = e^{i θ}$ : $∣ 1 + e^{i θ} ∣^{2} = 2 + 2 \cos θ = 1$ , donc $\cos θ = - \frac{1}{2}$ et $a \in {j, \overset{ˉ}{j}}$ .

5. Une solution non constante est unitaire, scindée sur $ℂ$ (d'Alembert-Gauss) et n'a pour racines que $j$ et $j^{2} = \overset{ˉ}{j}$ : $P = (X - j)^{p} (X - j^{2})^{q}$ avec $p, q \in ℕ$ . On utilise $(j^{2})^{2} = j$ , $- 1 - j = j^{2}$ et $- 1 - j^{2} = j$ : $P (X^{2}) = (X^{2} - j)^{p} (X^{2} - j^{2})^{q} = (X - j^{2})^{p} (X + j^{2})^{p} (X - j)^{q} (X + j)^{q},$ $P (X) P (X - 1) = (X - j)^{p} (X - j^{2})^{q} (X + j^{2})^{p} (X + j)^{q} .$ Les nombres $j$ , $j^{2}$ , $- j$ , $- j^{2}$ sont deux à deux distincts ; la multiplicité de $j$ vaut $q$ à gauche et $p$ à droite. Donc $p = q$ et $P = ((X - j) (X - \overset{ˉ}{j}))^{p} = (X^{2} + X + 1)^{p}$ . Avec la question 1 et le cas constant ( $P = 1$ ) : $𝒮_{B} = {0} \cup {(X^{2} + X + 1)^{m}, m \in ℕ} .$

Après avoir comparé avec le corrigé :

Niveau devoir6 points

6. Les racines de $X^{3} - 3 X + 1$

Soit $P = X^{3} - 3 X + 1 \in ℝ [X]$ .

Montrer que $P$ admet trois racines réelles distinctes $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ , situées dans $] - 2, 2 [$ .
Donner $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ , $x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3}$ et $x_{1} x_{2} x_{3}$ .
Calculer, sans déterminer les racines, $S_{2} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}$ , $T = \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \frac{1}{x_{3}}$ et $S_{3} = x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3}$ .
Former le polynôme unitaire de degré $3$ dont les racines sont $x_{1}^{2}$ , $x_{2}^{2}$ , $x_{3}^{2}$ .
Pour $θ \in ℝ$ , exprimer $P (2 \cos θ)$ à l'aide de $\cos 3 θ$ . En déduire $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ .
En déduire les valeurs de $\cos \frac{2 π}{9} + \cos \frac{4 π}{9} + \cos \frac{8 π}{9}$ et de $\cos \frac{2 π}{9} \cos \frac{4 π}{9} \cos \frac{8 π}{9}$ .

Voir le corrigé

1. La fonction $x \mapsto P (x)$ est continue sur $ℝ$ et $P (- 2) = - 1 < 0$ , $P (0) = 1 > 0$ , $P (1) = - 1 < 0$ , $P (2) = 3 > 0$ . Par le théorème des valeurs intermédiaires, $P$ s'annule dans chacun des intervalles $] - 2, 0 [$ , $] 0, 1 [$ et $] 1, 2 [$ . On obtient trois racines distinctes ; comme $\deg P = 3$ , ce sont toutes les racines, et elles sont simples. $P$ est scindé sur $ℝ$ : $P = (X - x_{1}) (X - x_{2}) (X - x_{3})$ .

2. Relations coefficients-racines ( $a_{3} = 1$ , $a_{2} = 0$ , $a_{1} = - 3$ , $a_{0} = 1$ ) : $σ_{1} = 0, σ_{2} = - 3, σ_{3} = - 1 .$

3. $S_{2} = σ_{1}^{2} - 2 σ_{2} = 6$ . Les racines sont non nulles ( $σ_{3} \neq 0$ ) et $T = \frac{x_{2} x_{3} + x_{1} x_{3} + x_{1} x_{2}}{x_{1} x_{2} x_{3}} = \frac{σ_{2}}{σ_{3}} = 3$ . Chaque racine vérifie $x_{i}^{3} = 3 x_{i} - 1$ ; en sommant : $S_{3} = 3 σ_{1} - 3 = - 3$ .

4. On cherche $Q = X^{3} - s_{1} X^{2} + s_{2} X - s_{3}$ avec $s_{1} = \sum x_{i}^{2} = 6$ , $s_{3} = (x_{1} x_{2} x_{3})^{2} = 1$ et $s_{2} = x_{1}^{2} x_{2}^{2} + x_{1}^{2} x_{3}^{2} + x_{2}^{2} x_{3}^{2} = σ_{2}^{2} - 2 σ_{1} σ_{3} = 9 - 0 = 9,$ car $σ_{2}^{2} = \sum_{i < k} x_{i}^{2} x_{k}^{2} + 2 x_{1} x_{2} x_{3} (x_{1} + x_{2} + x_{3})$ . Donc $Q = X^{3} - 6 X^{2} + 9 X - 1$ .

5. Avec $\cos 3 θ = 4 \cos^{3} θ - 3 \cos θ$ : $P (2 \cos θ) = 8 \cos^{3} θ - 6 \cos θ + 1 = 2 \cos 3 θ + 1.$ Pour $θ \in {\frac{2 π}{9}, \frac{4 π}{9}, \frac{8 π}{9}}$ , $3 θ \in {\frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, \frac{8 π}{3}}$ et $\cos 3 θ = - \frac{1}{2}$ , donc $P (2 \cos θ) = 0$ . Ces trois angles sont distincts dans $] 0, π [$ , où $\cos$ est strictement décroissant : on obtient trois racines distinctes, donc toutes. En les rangeant : $x_{1} = 2 \cos \frac{8 π}{9}, x_{2} = 2 \cos \frac{4 π}{9}, x_{3} = 2 \cos \frac{2 π}{9} .$

6. Avec $σ_{1} = 0$ : $\cos \frac{2 π}{9} + \cos \frac{4 π}{9} + \cos \frac{8 π}{9} = 0$ . Avec $σ_{3} = - 1$ : $8 \cos \frac{2 π}{9} \cos \frac{4 π}{9} \cos \frac{8 π}{9} = - 1$ , donc $\cos \frac{2 π}{9} \cos \frac{4 π}{9} \cos \frac{8 π}{9} = - \frac{1}{8} .$ (On obtient aussi, avec $S_{2} = 6$ , $\cos^{2} \frac{2 π}{9} + \cos^{2} \frac{4 π}{9} + \cos^{2} \frac{8 π}{9} = \frac{3}{2}$ .)

Après avoir comparé avec le corrigé :

Niveau devoir6 points

7. Factorisations et valeurs trigonométriques

Partie A.

Déterminer les racines complexes de $X^{5} + 1$ , puis factoriser $X^{5} + 1$ dans $ℂ [X]$ et dans $ℝ [X]$ .
Vérifier que $X^{5} + 1 = (X + 1) (X^{4} - X^{3} + X^{2} - X + 1)$ . En identifiant deux écritures de $X^{4} - X^{3} + X^{2} - X + 1$ , calculer $\cos \frac{π}{5} + \cos \frac{3 π}{5}$ et $\cos \frac{π}{5} \cos \frac{3 π}{5}$ , puis en déduire $\cos \frac{π}{5}$ .

Partie B. Soit $n \in ℕ^{*}$ .

Factoriser $X^{2 n} + 1$ dans $ℝ [X]$ .
En déduire que $\prod_{k = 0}^{n - 1} \sin \frac{(2 k + 1) π}{4 n} = \frac{\sqrt{2}}{2^{n}}$ .

Voir le corrigé

Partie A.

1. $z^{5} = - 1 = e^{i π}$ équivaut à $z = e^{i (2 k + 1) π / 5}$ , $k \in [⁣ [0, 4] ⁣]$ : cinq racines distinctes $e^{i π / 5}$ , $e^{3 i π / 5}$ , $- 1$ , $e^{7 i π / 5} = \overline{e^{3 i π / 5}}$ , $e^{9 i π / 5} = \overline{e^{i π / 5}}$ . Le polynôme est unitaire de degré $5$ : $X^{5} + 1 = \prod_{k = 0}^{4} (X - e^{i (2 k + 1) π / 5}) dans ℂ [X] .$ En regroupant les racines conjuguées ( $(X - e^{i θ}) (X - e^{- i θ}) = X^{2} - 2 \cos θ X + 1$ , de discriminant $4 \cos^{2} θ - 4 < 0$ pour $θ \notin π ℤ$ ) : $X^{5} + 1 = (X + 1) (X^{2} - 2 \cos \frac{π}{5} X + 1) (X^{2} - 2 \cos \frac{3 π}{5} X + 1) dans ℝ [X] .$

2. On développe $(X + 1) (X^{4} - X^{3} + X^{2} - X + 1) = X^{5} + 1$ (les termes intermédiaires se télescopent). Par intégrité de $ℝ [X]$ , on simplifie par $X + 1$ : $X^{4} - X^{3} + X^{2} - X + 1 = (X^{2} - 2 c_{1} X + 1) (X^{2} - 2 c_{2} X + 1)$ avec $c_{1} = \cos \frac{π}{5}$ , $c_{2} = \cos \frac{3 π}{5}$ . Le second membre vaut $X^{4} - 2 (c_{1} + c_{2}) X^{3} + (2 + 4 c_{1} c_{2}) X^{2} - 2 (c_{1} + c_{2}) X + 1$ . En identifiant : $c_{1} + c_{2} = \frac{1}{2}, c_{1} c_{2} = - \frac{1}{4} .$ Donc $c_{1}$ et $c_{2}$ sont les racines de $t^{2} - \frac{1}{2} t - \frac{1}{4}$ , soit $\frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$ . Comme $\frac{π}{5} \in] 0, \frac{π}{2} [$ , $c_{1} > 0$ : $\cos \frac{π}{5} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ (et $\cos \frac{3 π}{5} = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$ ).

Partie B. 1. Les racines de $X^{2 n} + 1$ sont les $z_{k} = e^{i θ_{k}}$ avec $θ_{k} = \frac{(2 k + 1) π}{2 n}$ , $k \in [⁣ [0, 2 n - 1] ⁣]$ , deux à deux distinctes. Aucune n'est réelle ( $θ_{k} \notin π ℤ$ car $2 k + 1$ est impair et $2 n$ pair), et $\overline{z_{k}} = z_{2 n - 1 - k}$ . En regroupant $z_{k}$ et $z_{2 n - 1 - k}$ pour $0 \leq k \leq n - 1$ : $X^{2 n} + 1 = \prod_{k = 0}^{n - 1} (X^{2} - 2 \cos \frac{(2 k + 1) π}{2 n} X + 1) .$

2. En évaluant en $1$ : $2 = \prod_{k = 0}^{n - 1} (2 - 2 \cos θ_{k}) = \prod_{k = 0}^{n - 1} 4 \sin^{2} \frac{θ_{k}}{2}$ (car $1 - \cos θ = 2 \sin^{2} \frac{θ}{2}$ ). Ainsi $\prod_{k = 0}^{n - 1} \sin^{2} \frac{(2 k + 1) π}{4 n} = \frac{2}{4^{n}}$ . Pour $0 \leq k \leq n - 1$ , $\frac{(2 k + 1) π}{4 n} \in] 0, \frac{π}{2} [$ , donc chaque sinus est strictement positif, et $\prod_{k = 0}^{n - 1} \sin \frac{(2 k + 1) π}{4 n} = \frac{\sqrt{2}}{2^{n}} .$ (Pour $n = 1$ : $\sin \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ; pour $n = 2$ : $\sin \frac{π}{8} \sin \frac{3 π}{8} = \frac{1}{2} \sin \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ .)

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Niveau devoir6 points

8. Une matrice, son polynôme annulateur et deux projecteurs

On considère $A = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}) \in ℳ_{3} (ℝ)$ et $P = X^{2} - X - 2$ .

Calculer $A^{2}$ et vérifier que $P (A) = 0_{3}$ .
En déduire que $A$ est inversible et exprimer $A^{- 1}$ comme polynôme en $A$ .
Pour $n \in ℕ$ , calculer le reste de $X^{n}$ dans sa division par $P$ , puis exprimer $A^{n}$ en fonction de $A$ et $I_{3}$ .
(a) Décomposer $\frac{1}{P}$ en éléments simples dans $ℝ (X)$ et en déduire $U, V \in ℝ_{0} [X]$ tels que $(X + 1) U + (X - 2) V = 1$ . (b) On pose $p = \frac{1}{3} (A + I_{3})$ et $q = \frac{1}{3} (2 I_{3} - A)$ . Montrer que $p + q = I_{3}$ , $p q = q p = 0_{3}$ , $p^{2} = p$ , $q^{2} = q$ et $A = 2 p - q$ . (c) Retrouver l'expression de $A^{n}$ , puis vérifier que la formule obtenue reste vraie pour $n = - 1$ .

Voir le corrigé

1. On calcule $A^{2} = (\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}) = A + 2 I_{3}$ . Donc $P (A) = A^{2} - A - 2 I_{3} = 0_{3}$ (attention au $I_{3}$ du terme constant, fiche §10).

2. $A^{2} - A = 2 I_{3}$ s'écrit $A \cdot \frac{1}{2} (A - I_{3}) = \frac{1}{2} (A - I_{3}) \cdot A = I_{3}$ . Donc $A$ est inversible et $A^{- 1} = \frac{1}{2} (A - I_{3})$ .

3. $P = (X - 2) (X + 1)$ . On écrit $X^{n} = P Q_{n} + a_{n} X + b_{n}$ ; en évaluant en $2$ et en $- 1$ : $2 a_{n} + b_{n} = 2^{n}$ et $- a_{n} + b_{n} = (- 1)^{n}$ , d'où $a_{n} = \frac{2^{n} - (- 1)^{n}}{3}, b_{n} = \frac{2^{n} + 2 (- 1)^{n}}{3} .$ Comme $(P Q_{n}) (A) = P (A) Q_{n} (A) = 0_{3}$ , on obtient $A^{n} = \frac{2^{n} - (- 1)^{n}}{3} A + \frac{2^{n} + 2 (- 1)^{n}}{3} I_{3}$ . Contrôle : $n = 0$ donne $I_{3}$ , $n = 1$ donne $A$ , $n = 2$ donne $A + 2 I_{3}$ .

4. (a) Les pôles $2$ et $- 1$ sont simples : $\frac{1}{(X - 2) (X + 1)} = \frac{1 / 3}{X - 2} - \frac{1 / 3}{X + 1}$ . En multipliant par $P$ : $1 = \frac{1}{3} (X + 1) - \frac{1}{3} (X - 2)$ , soit $U = \frac{1}{3}, V = - \frac{1}{3}$ . C'est une relation de Bézout entre $X + 1$ et $X - 2$ .

(b) En évaluant cette relation en $A$ : $p + q = \frac{1}{3} (A + I_{3}) + \frac{1}{3} (2 I_{3} - A) = I_{3}$ . Ensuite $p q = - \frac{1}{9} (A + I_{3}) (A - 2 I_{3}) = - \frac{1}{9} P (A) = 0_{3}$ , et de même $q p = 0_{3}$ (deux polynômes en $A$ commutent). Puis $p^{2} = p (I_{3} - q) = p - p q = p$ et $q^{2} = q - q p = q$ . Enfin $2 p - q = \frac{1}{3} (2 A + 2 I_{3} - 2 I_{3} + A) = A$ .

(c) $2 p$ et $- q$ commutent et leur produit est nul ; par la formule du binôme (licite car ils commutent), pour $n \geq 1$ tous les termes croisés disparaissent : $A^{n} = (2 p)^{n} + (- q)^{n} = 2^{n} p + (- 1)^{n} q$ , et pour $n = 0$ on a bien $p + q = I_{3}$ . En remplaçant $p$ et $q$ : $A^{n} = \frac{2^{n}}{3} (A + I_{3}) + \frac{(- 1)^{n}}{3} (2 I_{3} - A) = \frac{2^{n} - (- 1)^{n}}{3} A + \frac{2^{n} + 2 (- 1)^{n}}{3} I_{3},$ ce qui redonne la question 3. Pour $n = - 1$ : $\frac{1}{2} p - q = \frac{1}{6} (A + I_{3}) - \frac{1}{3} (2 I_{3} - A) = \frac{1}{6} (3 A - 3 I_{3}) = \frac{1}{2} (A - I_{3}) = A^{- 1}$ .

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Synthèse, niveau concours10 points

9. Problème : interpolation de Lagrange et éléments simples

Soient $n \geq 2$ un entier, $a_{1}, \dots, a_{n}$ des éléments de $𝕂$ deux à deux distincts, $N = \prod_{k = 1}^{n} (X - a_{k})$ et, pour $i \in [⁣ [1, n] ⁣]$ , $L_{i} = \prod_{k \neq i} \frac{X - a_{k}}{a_{i} - a_{k}} .$

Partie A — Polynômes de Lagrange.

Donner le degré de $L_{i}$ et calculer $L_{i} (a_{j})$ pour $i, j \in [⁣ [1, n] ⁣]$ .
On pose $M_{i} = \prod_{k \neq i} (X - a_{k})$ . Montrer que $N^{'} (a_{i}) = M_{i} (a_{i})$ , puis que $L_{i} = \frac{N}{(X - a_{i}) N^{'} (a_{i})}$ .
Montrer que pour tout $A \in 𝕂_{n - 1} [X]$ , $A = \sum_{i = 1}^{n} A (a_{i}) L_{i}$ .
Déterminer l'unique $T \in ℝ_{2} [X]$ tel que $T (- 1) = 4$ , $T (0) = 1$ et $T (2) = 1$ .

Partie B — Éléments simples de $A / N$ . 5. Soit $A \in 𝕂_{n - 1} [X]$ . Montrer que la décomposition en éléments simples de $\frac{A}{N}$ est $\frac{A}{N} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{A (a_{i})}{N^{'} (a_{i}) (X - a_{i})}$ . 6. En comparant les coefficients de $X^{n - 1}$ dans la question 3, montrer que $\sum_{i = 1}^{n} \frac{a_{i}^{k}}{N^{'} (a_{i})}$ vaut $0$ pour $0 \leq k \leq n - 2$ et $1$ pour $k = n - 1$ . 7. Vérifier ces trois égalités lorsque $n = 3$ et $(a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (1, 2, 3)$ .

Partie C — Une application. Soit $m \in ℕ^{*}$ et $N_{m} = X (X + 1) \dots (X + m) = \prod_{k = 0}^{m} (X + k)$ . 8. Montrer que $N_{m}^{'} (- k) = (- 1)^{k} k! (m - k)!$ pour $k \in [⁣ [0, m] ⁣]$ , puis que $\frac{1}{N_{m}} = \frac{1}{m!} \sum_{k = 0}^{m} \frac{(- 1)^{k} C_{m}^{k}}{X + k}$ . 9. En déduire que $\sum_{k = 0}^{m} \frac{(- 1)^{k} C_{m}^{k}}{k + 1} = \frac{1}{m + 1}$ . 10. Pour $M \in ℕ^{*}$ , calculer $S_{M} = \sum_{p = 1}^{M} \frac{1}{p (p + 1) (p + 2)}$ et la limite de $(S_{M})$ .

Voir le corrigé

1. $L_{i}$ est le produit de $n - 1$ facteurs de degré $1$ : $\deg L_{i} = n - 1$ . Pour $j \neq i$ , le facteur d'indice $k = j$ s'annule en $a_{j}$ : $L_{i} (a_{j}) = 0$ . Pour $j = i$ , chaque facteur vaut $1$ : $L_{i} (a_{i}) = 1$ . Donc $L_{i} (a_{j}) = δ_{i j}$ .

2. $N = (X - a_{i}) M_{i}$ , donc $N^{'} = M_{i} + (X - a_{i}) M_{i}^{'}$ et $N^{'} (a_{i}) = M_{i} (a_{i}) = \prod_{k \neq i} (a_{i} - a_{k}) \neq 0$ (les $a_{k}$ sont distincts). Ainsi $L_{i} = \frac{M_{i}}{M_{i} (a_{i})} = \frac{N}{(X - a_{i}) N^{'} (a_{i})}$ .

3. Le polynôme $D = A - \sum_{i} A (a_{i}) L_{i}$ est de degré $\leq n - 1$ et, d'après 1, $D (a_{j}) = A (a_{j}) - A (a_{j}) = 0$ pour tout $j$ : il a $n$ racines distinctes, donc $D = 0$ (fiche §4).

4. Avec $(a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (- 1, 0, 2)$ : $L_{1} = \frac{X (X - 2)}{(- 1) (- 3)} = \frac{X^{2} - 2 X}{3}$ , $L_{2} = \frac{(X + 1) (X - 2)}{(1) (- 2)} = - \frac{X^{2} - X - 2}{2}$ , $L_{3} = \frac{(X + 1) X}{3 \cdot 2} = \frac{X^{2} + X}{6}$ . Le polynôme cherché est $T = 4 L_{1} + L_{2} + L_{3}$ (existence par 1, unicité par 3 appliquée à la différence de deux solutions) : $T = \frac{8 X^{2} - 16 X - 3 X^{2} + 3 X + 6 + X^{2} + X}{6} = \frac{6 X^{2} - 12 X + 6}{6} = (X - 1)^{2} .$ Vérification : $T (- 1) = 4$ , $T (0) = 1$ , $T (2) = 1$ .

5. On divise l'égalité de la question 3 par $N$ et on utilise 2 : $\frac{L_{i}}{N} = \frac{1}{(X - a_{i}) N^{'} (a_{i})}$ . On obtient une somme d'éléments simples de $𝕂 (X)$ relatifs aux pôles simples $a_{i}$ , sans partie entière ( $\deg \frac{A}{N} < 0$ ). Par unicité de la décomposition, c'est la décomposition de $\frac{A}{N}$ . (On retrouve la formule $\frac{A (a)}{B^{'} (a)}$ de la fiche §12 ; si $A (a_{i}) = 0$ , le terme correspondant disparaît.)

6. Le coefficient de $X^{n - 1}$ dans $L_{i} = \frac{M_{i}}{N^{'} (a_{i})}$ est $\frac{1}{N^{'} (a_{i})}$ ( $M_{i}$ est unitaire de degré $n - 1$ ). Dans l'égalité de 3, le coefficient de $X^{n - 1}$ vaut donc $\sum_{i} \frac{A (a_{i})}{N^{'} (a_{i})}$ à droite, et le coefficient $c_{n - 1} (A)$ de $X^{n - 1}$ dans $A$ à gauche. Pour $A = X^{k}$ : si $0 \leq k \leq n - 2$ , $c_{n - 1} (X^{k}) = 0$ ; si $k = n - 1$ , $c_{n - 1} (X^{n - 1}) = 1$ . D'où $\sum_{i = 1}^{n} \frac{a_{i}^{k}}{N^{'} (a_{i})} = 0 (0 \leq k \leq n - 2), \sum_{i = 1}^{n} \frac{a_{i}^{n - 1}}{N^{'} (a_{i})} = 1 .$

7. $N^{'} (1) = (1 - 2) (1 - 3) = 2$ , $N^{'} (2) = (2 - 1) (2 - 3) = - 1$ , $N^{'} (3) = (3 - 1) (3 - 2) = 2$ . Alors $\frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{2} = 0$ ( $k = 0$ ), $\frac{1}{2} - 2 + \frac{3}{2} = 0$ ( $k = 1$ ) et $\frac{1}{2} - 4 + \frac{9}{2} = 1$ ( $k = 2$ ).

8. Ici les points sont $0, - 1, \dots, - m$ et $N_{m}^{'} (- k) = \prod_{l \neq k} (- k + l) = \prod_{l = 0}^{k - 1} (l - k) \times \prod_{l = k + 1}^{m} (l - k) = (- 1)^{k} k! \times (m - k)!$ . D'après 5 avec $A = 1$ (et $m + 1 \geq 2$ points) : $\frac{1}{N_{m}} = \sum_{k = 0}^{m} \frac{(- 1)^{k}}{k! (m - k)! (X + k)} = \frac{1}{m!} \sum_{k = 0}^{m} \frac{(- 1)^{k} C_{m}^{k}}{X + k} .$

9. $1$ n'est pas un pôle ; on évalue en $1$ : $N_{m} (1) = 1 \cdot 2 \dots (m + 1) = (m + 1)!$ , d'où $\frac{1}{(m + 1)!} = \frac{1}{m!} \sum_{k = 0}^{m} \frac{(- 1)^{k} C_{m}^{k}}{k + 1}$ . En multipliant par $m!$ : $\sum_{k = 0}^{m} \frac{(- 1)^{k} C_{m}^{k}}{k + 1} = \frac{1}{m + 1}$ . (Pour $m = 2$ : $1 - 1 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ .)

10. Pour $m = 2$ : $\frac{1}{X (X + 1) (X + 2)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{X} - \frac{2}{X + 1} + \frac{1}{X + 2}) = \frac{1}{2} [(\frac{1}{X} - \frac{1}{X + 1}) - (\frac{1}{X + 1} - \frac{1}{X + 2})]$ . En évaluant en $p \geq 1$ et en sommant, les deux sommes sont télescopiques : $S_{M} = \frac{1}{2} [(1 - \frac{1}{M + 1}) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{M + 2})] = \frac{1}{4} - \frac{1}{2 (M + 1) (M + 2)} \underset{M \to + \infty}{⟶} \frac{1}{4} .$

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Synthèse, niveau concours10 points

10. Problème type concours : polynômes positifs et sommes de deux carrés

On note $Σ = {A^{2} + B^{2}, (A, B) \in ℝ [X]^{2}}$ . On se propose de montrer qu'un polynôme $P \in ℝ [X]$ vérifie $P (x) \geq 0$ pour tout $x \in ℝ$ si et seulement si $P \in Σ$ . Les questions sont numérotées en continu.

Partie I — Préliminaires.

▶ Q.1 Soient $a, b, c, d$ des éléments d'un anneau commutatif. Vérifier que $(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = (a c - b d)^{2} + (a d + b c)^{2}$ . En déduire que $Σ$ est stable par produit.

▶ Q.2 Pour $Q = \sum_{k} q_{k} X^{k} \in ℂ [X]$ , on pose $\overline{Q} = \sum_{k} \overline{q_{k}} X^{k}$ , $U = \sum_{k} Re (q_{k}) X^{k}$ et $V = \sum_{k} Im (q_{k}) X^{k}$ . Montrer que $U, V \in ℝ [X]$ , $Q = U + i V$ , $\overline{Q} = U - i V$ et $Q \overline{Q} = U^{2} + V^{2}$ .

▶ Q.3 Montrer que tout élément de $Σ$ prend des valeurs positives ou nulles sur $ℝ$ .

Partie II — Première démonstration, par la factorisation dans $ℝ [X]$ . Soit $P \in ℝ [X]$ non nul tel que $P (x) \geq 0$ pour tout $x \in ℝ$ .

▶ Q.4 Montrer que, si $P$ n'est pas constant, son degré est pair et son coefficient dominant strictement positif.

▶ Q.5 Soit $a$ une racine réelle de $P$ , d'ordre $m$ . Montrer que $m$ est pair.

▶ Q.6 En déduire que $P = c \prod_{i} (X - a_{i})^{2 k_{i}} \prod_{l} (X^{2} + p_{l} X + q_{l})^{n_{l}}$ , avec $c > 0$ , les $a_{i}$ réels et $p_{l}^{2} - 4 q_{l} < 0$ .

▶ Q.7 Montrer que chaque facteur de cette écriture appartient à $Σ$ , puis conclure.

Partie III — Seconde démonstration et exemples.

▶ Q.8 En partant de la factorisation de $P$ dans $ℂ [X]$ , construire $Q \in ℂ [X]$ tel que $P = Q \overline{Q}$ , et retrouver $P \in Σ$ .

▶ Q.9 Factoriser $X^{4} + 4$ dans $ℝ [X]$ (on pourra écrire $X^{4} + 4 = (X^{2} + 2)^{2} - 4 X^{2}$ ), puis l'écrire comme somme de deux carrés à l'aide de Q.1.

▶ Q.10 Déterminer les racines complexes de $X^{4} + X^{2} + 1$ et appliquer la méthode de Q.8 pour écrire $X^{4} + X^{2} + 1$ comme somme de deux carrés.

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Q.1 On développe : $(a c - b d)^{2} + (a d + b c)^{2} = a^{2} c^{2} - 2 a b c d + b^{2} d^{2} + a^{2} d^{2} + 2 a b c d + b^{2} c^{2} = (a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2})$ (la commutativité sert à écrire $a b c d = b a c d$ …). Dans l'anneau commutatif $ℝ [X]$ , le produit de $A^{2} + B^{2}$ et $C^{2} + D^{2}$ s'écrit donc $(A C - B D)^{2} + (A D + B C)^{2} \in Σ$ .

Q.2 Les coefficients $Re (q_{k})$ et $Im (q_{k})$ sont réels et nuls pour $k$ assez grand : $U, V \in ℝ [X]$ . Coefficient par coefficient, $q_{k} = Re (q_{k}) + i Im (q_{k})$ et $\overline{q_{k}} = Re (q_{k}) - i Im (q_{k})$ , d'où $Q = U + i V$ et $\overline{Q} = U - i V$ . Enfin, dans l'anneau commutatif $ℂ [X]$ , $Q \overline{Q} = (U + i V) (U - i V) = U^{2} - i^{2} V^{2} = U^{2} + V^{2}$ .

Q.3 Pour $x$ réel, $A (x)$ et $B (x)$ sont réels, donc $A (x)^{2} + B (x)^{2} \geq 0$ .

Q.4 Soient $n = \deg P \geq 1$ et $c$ son coefficient dominant. Pour $x \neq 0$ , $\frac{P (x)}{x^{n}} \to c$ quand $x \to \pm \infty$ . Si $n$ était impair, $P (x)$ serait du signe de $c$ pour $x$ grand positif et du signe de $- c$ pour $x$ grand négatif : $P$ prendrait une valeur strictement négative. Donc $n$ est pair ; alors $P (x)$ est du signe de $c$ pour $∣ x ∣$ grand, donc $c > 0$ . (Si $P$ est constant, $P = c > 0$ directement.)

Q.5 On écrit $P = (X - a)^{m} Q$ avec $Q (a) \neq 0$ . Par continuité de $x \mapsto Q (x)$ , il existe $η > 0$ tel que $Q (x)$ ait le signe de $Q (a)$ pour $∣ x - a ∣ < η$ . Si $m$ était impair, $(x - a)^{m}$ changerait de signe en $a$ , donc $P (x)$ aussi sur $] a - η, a + η [$ : $P$ prendrait une valeur strictement négative, contradiction. Donc $m est pair$ .

Q.6 D'après la factorisation dans $ℝ [X]$ (fiche §8), $P = c \prod_{i} (X - a_{i})^{m_{i}} \prod_{l} (X^{2} + p_{l} X + q_{l})^{n_{l}}$ où $c$ est le coefficient dominant, les $a_{i}$ les racines réelles distinctes et $m_{i}$ leurs ordres. Par Q.5, $m_{i} = 2 k_{i}$ ; par Q.4, $c > 0$ .

Q.7 $c = (\sqrt{c})^{2} + 0^{2}$ ; $(X - a_{i})^{2 k_{i}} = ((X - a_{i})^{k_{i}})^{2} + 0^{2}$ ; et, puisque $q_{l} - \frac{p_{l}^{2}}{4} > 0$ , $X^{2} + p_{l} X + q_{l} = (X + \frac{p_{l}}{2})^{2} + (\sqrt{q_{l} - \frac{p_{l}^{2}}{4}})^{2} .$ Tous les facteurs sont dans $Σ$ , qui est stable par produit (Q.1) : $P \in Σ$ . Avec Q.3 (et $0 = 0^{2} + 0^{2}$ ), on a montré : $\forall x \in ℝ, P (x) \geq 0 ⟺ P \in Σ .$

Q.8 Dans $ℂ [X]$ , les racines non réelles de $P$ vont par paires conjuguées de même multiplicité (fiche §8) : $P = c \prod_{i} (X - a_{i})^{2 k_{i}} \prod_{l} [(X - z_{l}) (X - \overline{z_{l}})]^{n_{l}}$ avec $Im z_{l} > 0$ . Posons $Q = \sqrt{c} \prod_{i} (X - a_{i})^{k_{i}} \prod_{l} (X - z_{l})^{n_{l}}$ . La conjugaison des coefficients est compatible avec le produit ( $\overline{Q_{1} Q_{2}} = \overline{Q_{1}} \overline{Q_{2}}$ , car le coefficient de $X^{k}$ de $Q_{1} Q_{2}$ est une somme de produits), donc $\overline{Q} = \sqrt{c} \prod_{i} (X - a_{i})^{k_{i}} \prod_{l} (X - \overline{z_{l}})^{n_{l}}$ et $Q \overline{Q} = P$ . Par Q.2, $P = U^{2} + V^{2} \in Σ$ .

Q.9 $X^{4} + 4 = (X^{2} + 2)^{2} - (2 X)^{2} = (X^{2} - 2 X + 2) (X^{2} + 2 X + 2)$ ; les deux facteurs ont un discriminant égal à $- 4 < 0$ : c'est la factorisation dans $ℝ [X]$ . On écrit $X^{2} - 2 X + 2 = (X - 1)^{2} + 1^{2}$ et $X^{2} + 2 X + 2 = (X + 1)^{2} + 1^{2}$ , puis Q.1 avec $a = X - 1$ , $b = 1$ , $c = X + 1$ , $d = 1$ : $X^{4} + 4 = ((X - 1) (X + 1) - 1)^{2} + ((X - 1) + (X + 1))^{2} = (X^{2} - 2)^{2} + (2 X)^{2} .$ Vérification : $X^{4} - 4 X^{2} + 4 + 4 X^{2} = X^{4} + 4$ .

Q.10 $X^{4} + X^{2} + 1 = (X^{2} + 1)^{2} - X^{2} = (X^{2} + X + 1) (X^{2} - X + 1)$ ; les racines sont $j, \overset{ˉ}{j}$ (premier facteur) et $- j, - \overset{ˉ}{j}$ (second facteur), car $(- z)^{2} - (- z) + 1 = z^{2} + z + 1$ . On choisit une racine dans chaque paire conjuguée : $Q = (X - j) (X + \overset{ˉ}{j})$ . Avec $\overset{ˉ}{j} - j = - i \sqrt{3}$ et $j \overset{ˉ}{j} = 1$ : $Q = X^{2} + (\overset{ˉ}{j} - j) X - j \overset{ˉ}{j} = X^{2} - i \sqrt{3} X - 1, U = X^{2} - 1, V = - \sqrt{3} X .$ Donc $X^{4} + X^{2} + 1 = (X^{2} - 1)^{2} + 3 X^{2}$ , ce que l'on vérifie : $X^{4} - 2 X^{2} + 1 + 3 X^{2} = X^{4} + X^{2} + 1$ .

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Niveau devoir10 points

11. Polynômes de Tchebychev

Classique du programme : polynômes de Tchebychev.

On définit une suite $(T_{n})_{n \in ℕ}$ de $ℝ [X]$ par $T_{0} = 1, T_{1} = X, T_{n + 2} = 2 X T_{n + 1} - T_{n} (n \in ℕ) .$

(1 point) Calculer $T_{2}$ , $T_{3}$ et $T_{4}$ .
(2 points) Montrer que, pour $n \geq 1$ , le polynôme $T_{n}$ a pour degré $n$ et pour coefficient dominant $2^{n - 1}$ , et que $T_{n} (- X) = (- 1)^{n} T_{n} (X)$ pour tout $n \in ℕ$ .
(1,5 point) Montrer que, pour tout $θ \in ℝ$ et tout $n \in ℕ$ , $T_{n} (\cos θ) = \cos (n θ)$ .
(2,5 points) Soit $n \geq 1$ . Déterminer les racines de $T_{n}$ dans $ℝ$ : montrer que ce sont $n$ réels distincts, que l'on exprimera avec des cosinus, puis écrire $T_{n}$ sous forme factorisée dans $ℝ [X]$ .
(1,5 point) Déduire des questions précédentes les valeurs exactes de $\cos \frac{π}{8}$ et $\cos \frac{3 π}{8}$ , puis celle du produit $\cos \frac{π}{8} \cos \frac{3 π}{8} \cos \frac{5 π}{8} \cos \frac{7 π}{8}$ .
(1,5 point) Montrer que $T_{m} \circ T_{n} = T_{m n}$ pour tous $m, n \in ℕ$ . Calculer $T_{6}$ .

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1. $T_{2} = 2 X \cdot X - 1 = 2 X^{2} - 1$ , puis $T_{3} = 2 X (2 X^{2} - 1) - X = 4 X^{3} - 3 X$ et $T_{4} = 2 X (4 X^{3} - 3 X) - (2 X^{2} - 1) = 8 X^{4} - 8 X^{2} + 1$ .

2. Degré et coefficient dominant. Montrons par récurrence double sur $n \geq 1$ la propriété $𝒫 (n)$ : « $T_{n}$ et $T_{n + 1}$ ont pour degrés $n$ et $n + 1$ et pour coefficients dominants $2^{n - 1}$ et $2^{n}$ ». $𝒫 (1)$ est vraie : $T_{1} = X$ et $T_{2} = 2 X^{2} - 1$ . Si $𝒫 (n)$ est vraie, alors $2 X T_{n + 1}$ a pour degré $n + 2$ , son coefficient dominant valant $2 \times 2^{n} = 2^{n + 1}$ , tandis que $\deg T_{n} = n < n + 2$ . Donc $T_{n + 2} = 2 X T_{n + 1} - T_{n}$ a pour degré $n + 2$ et pour coefficient dominant $2^{n + 1}$ (fiche §1) ; $𝒫 (n + 1)$ est établie.

Parité. $T_{0} (- X) = T_{0}$ et $T_{1} (- X) = - T_{1}$ conviennent. Si $T_{n} (- X) = (- 1)^{n} T_{n}$ et $T_{n + 1} (- X) = (- 1)^{n + 1} T_{n + 1}$ , alors $T_{n + 2} (- X) = - 2 X (- 1)^{n + 1} T_{n + 1} - (- 1)^{n} T_{n} = (- 1)^{n + 2} (2 X T_{n + 1} - T_{n}) = (- 1)^{n + 2} T_{n + 2} .$ Ainsi $T_{n}$ est pair si $n$ est pair et impair si $n$ est impair.

3. Fixons $θ$ . $T_{0} (\cos θ) = 1 = \cos 0$ et $T_{1} (\cos θ) = \cos θ$ . Supposons $T_{n} (\cos θ) = \cos n θ$ et $T_{n + 1} (\cos θ) = \cos (n + 1) θ$ . Comme $\cos (n + 2) θ + \cos n θ = 2 \cos (n + 1) θ \cos θ$ (formule de transformation d'une somme en produit), $T_{n + 2} (\cos θ) = 2 \cos θ \cos (n + 1) θ - \cos n θ = \cos (n + 2) θ .$ La récurrence double est complète : $T_{n} (\cos θ) = \cos n θ$ .

4. Posons, pour $k \in {0, \dots, n - 1}$ , $θ_{k} = \frac{(2 k + 1) π}{2 n}$ et $x_{k} = \cos θ_{k}$ . On a $0 < θ_{0} < θ_{1} < \dots < θ_{n - 1} < π$ (car $θ_{n - 1} = π - \frac{π}{2 n}$ ) et $\cos$ est strictement décroissante sur $[0, π]$ : les $x_{k}$ sont distincts (et $x_{0} > x_{1} > \dots > x_{n - 1}$ ). D'après la question 3, $T_{n} (x_{k}) = \cos \frac{(2 k + 1) π}{2} = 0.$ Les $x_{k}$ sont donc $n$ racines distinctes de $T_{n}$ , de degré $n$ : ce sont toutes les racines (fiche §4), toutes simples, et $T_{n} = 2^{n - 1} \prod_{k = 0}^{n - 1} (X - \cos \frac{(2 k + 1) π}{2 n})$ (le coefficient $2^{n - 1}$ est le coefficient dominant de la question 2).

5. Pour $n = 4$ : $x_{0} = \cos \frac{π}{8}$ , $x_{1} = \cos \frac{3 π}{8}$ , $x_{2} = \cos \frac{5 π}{8} = - x_{1}$ et $x_{3} = \cos \frac{7 π}{8} = - x_{0}$ . Ce sont les racines de $T_{4} = 8 X^{4} - 8 X^{2} + 1$ , donc $x_{0}^{2}$ et $x_{1}^{2}$ sont racines de $8 Y^{2} - 8 Y + 1$ , de discriminant réduit $16 - 8 = 8$ : $Y = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{4}$ . Comme $\cos$ décroît sur $[0, \frac{π}{2}]$ , $\cos \frac{π}{8} > \cos \frac{3 π}{8} > 0$ , d'où $\cos \frac{π}{8} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}, \cos \frac{3 π}{8} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} .$ Enfin, en évaluant la forme factorisée en $0$ : $T_{4} (0) = 1 = 8 \prod_{k = 0}^{3} (- x_{k}) = 8 x_{0} x_{1} x_{2} x_{3}$ , d'où $\cos \frac{π}{8} \cos \frac{3 π}{8} \cos \frac{5 π}{8} \cos \frac{7 π}{8} = \frac{1}{8} .$ (Contrôle : le produit vaut $\cos^{2} \frac{π}{8} \cos^{2} \frac{3 π}{8} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{4} = \frac{2}{16}$ .)

6. Pour tout $θ$ , par la question 3 appliquée deux fois, $(T_{m} \circ T_{n}) (\cos θ) = T_{m} (\cos n θ) = \cos (m n θ) = T_{m n} (\cos θ) .$ Les polynômes $T_{m} \circ T_{n}$ et $T_{m n}$ coïncident donc en tout point de $[- 1, 1]$ , qui est infini : leur différence a une infinité de racines, elle est nulle (fiche §4). Ainsi $T_{m} \circ T_{n} = T_{m n}$ . Par exemple $T_{6} = T_{2} \circ T_{3} = 2 (4 X^{3} - 3 X)^{2} - 1 = 32 X^{6} - 48 X^{4} + 18 X^{2} - 1$ .

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Niveau devoir10 points

12. Polynômes de Legendre et théorème de Rolle

Classique du programme : polynômes de Legendre.

Pour $n \in ℕ$ , on pose $P_{n} = (X^{2} - 1)^{n}$ et $L_{n} = P_{n}^{(n)}$ (dérivée $n$ -ième de $P_{n}$ ). On rappelle le théorème de Rolle, résultat d'Analyse que l'on admet ici : pour $f : [a, b] \to ℝ$ continue, dérivable en tout point intérieur à $[a, b]$ et telle que $f (a) = f (b)$ , il existe $c$ strictement compris entre $a$ et $b$ vérifiant $f^{'} (c) = 0$ . On l'emploiera pour des fonctions polynomiales, dont la dérivée est la fonction polynomiale associée à la dérivée formelle.

(1 point) Calculer $L_{0}$ , $L_{1}$ , $L_{2}$ , $L_{3}$ .
(1,5 point) Montrer que $L_{n}$ a pour degré $n$ et pour coefficient dominant $\frac{(2 n)!}{n!}$ , et que $L_{n} (- X) = (- 1)^{n} L_{n} (X)$ .
(1 point) Montrer que $L_{n} (1) = 2^{n} n!$ et $L_{n} (- 1) = (- 1)^{n} 2^{n} n!$ .
(3,5 points) Soit $n \geq 1$ . Montrer que $1$ et $- 1$ sont racines de $P_{n}^{(k)}$ pour $0 \leq k \leq n - 1$ . En déduire, par récurrence sur $k$ et grâce au théorème de Rolle, que $P_{n}^{(k)}$ possède au moins $k$ racines distinctes dans $] - 1, 1 [$ pour $0 \leq k \leq n$ . Conclure que $L_{n}$ a $n$ racines réelles simples, toutes dans $] - 1, 1 [$ .
(3 points) Montrer que $(X^{2} - 1) P_{n}^{'} = 2 n X P_{n}$ . En dérivant $n$ fois cette égalité, établir que $(X^{2} - 1) L_{n}^{'} = n (n + 1) P_{n}^{(n - 1)}$ pour $n \geq 1$ , puis que $(X^{2} - 1) L_{n}^{''} + 2 X L_{n}^{'} - n (n + 1) L_{n} = 0.$

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1. $L_{0} = P_{0} = 1$ . $P_{1} = X^{2} - 1$ , donc $L_{1} = 2 X$ . $P_{2} = X^{4} - 2 X^{2} + 1$ , $P_{2}^{'} = 4 X^{3} - 4 X$ , donc $L_{2} = 12 X^{2} - 4$ . $P_{3} = X^{6} - 3 X^{4} + 3 X^{2} - 1$ ; $P_{3}^{'} = 6 X^{5} - 12 X^{3} + 6 X$ , $P_{3}^{''} = 30 X^{4} - 36 X^{2} + 6$ , d'où $L_{3} = P_{3}^{'''} = 120 X^{3} - 72 X$ .

2. $P_{n}$ est de degré $2 n$ , de coefficient dominant $1$ . Chaque dérivation abaisse le degré d'une unité et multiplie le coefficient dominant par le degré courant (fiche §5) : le coefficient dominant de $P_{n}^{(n)}$ est $2 n (2 n - 1) \dots (n + 1) = \frac{(2 n)!}{n!} \neq 0$ et son degré est $2 n - n = n$ . Comme $P_{n} (- X) = P_{n} (X)$ , $P_{n}$ est pair ; la dérivée d'un polynôme de parité donnée est de parité contraire (si $Q (- X) = ε Q (X)$ , dériver donne $- Q^{'} (- X) = ε Q^{'} (X)$ ), donc après $n$ dérivations $L_{n} (- X) = (- 1)^{n} L_{n} (X)$ .

3. Écrivons $P_{n} = (X - 1)^{n} (X + 1)^{n}$ et appliquons la formule de Leibniz : $L_{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} ((X - 1)^{n})^{(k)} ((X + 1)^{n})^{(n - k)} .$ Pour $k < n$ , $((X - 1)^{n})^{(k)} = \frac{n!}{(n - k)!} (X - 1)^{n - k}$ s'annule en $1$ . Seul reste le terme $k = n$ : $L_{n} (1) = n! (1 + 1)^{n} = 2^{n} n!$ . La parité de la question 2 donne $L_{n} (- 1) = (- 1)^{n} L_{n} (1) = (- 1)^{n} 2^{n} n!$ .

4. Racines $\pm 1$ . $1$ est racine d'ordre $n$ de $P_{n}$ . Par la caractérisation de la multiplicité (fiche §5), à chaque dérivation l'ordre baisse d'une unité : $1$ est racine d'ordre $n - k$ de $P_{n}^{(k)}$ , donc racine de $P_{n}^{(k)}$ dès que $k \leq n - 1$ . Même raisonnement pour $- 1$ .

Récurrence. Montrons pour $0 \leq k \leq n$ la propriété $ℋ (k)$ : « $P_{n}^{(k)}$ possède $k$ racines distinctes dans $] - 1, 1 [$ ». $ℋ (0)$ est vide. Supposons $ℋ (k)$ avec $k \leq n - 1$ ; notons $a_{1} < \dots < a_{k}$ ces racines et $a_{0} = - 1$ , $a_{k + 1} = 1$ ; ce sont $k + 2$ racines distinctes de la fonction polynomiale $P_{n}^{(k)}$ (par le point précédent). Sur chaque intervalle $[a_{i}, a_{i + 1}]$ ( $0 \leq i \leq k$ ), le théorème de Rolle s'applique à $P_{n}^{(k)}$ : il existe $b_{i} \in] a_{i}, a_{i + 1} [$ tel que $(P_{n}^{(k)})^{'} (b_{i}) = P_{n}^{(k + 1)} (b_{i}) = 0$ . Les intervalles ouverts $] a_{i}, a_{i + 1} [$ sont disjoints, les $b_{i}$ sont distincts, et tous sont dans $] - 1, 1 [$ : on a $k + 1$ racines, c'est $ℋ (k + 1)$ .

Conclusion. $ℋ (n)$ donne $n$ racines distinctes dans $] - 1, 1 [$ pour $L_{n}$ , polynôme de degré $n$ (question 2) : ce sont toutes ses racines, elles sont simples, et $L_{n} = \frac{(2 n)!}{n!} \prod_{i = 1}^{n} (X - b_{i}), - 1 < b_{1} < \dots < b_{n} < 1.$

5. $P_{n}^{'} = n (X^{2} - 1)^{n - 1} \cdot 2 X$ , donc $(X^{2} - 1) P_{n}^{'} = 2 n X (X^{2} - 1)^{n} = 2 n X P_{n}$ . Dérivons $n$ fois par la formule de Leibniz. Dans le membre de gauche, $(X^{2} - 1)^{'} = 2 X$ , $(X^{2} - 1)^{''} = 2$ et les dérivées suivantes sont nulles : $(X^{2} - 1) P_{n}^{(n + 1)} + n \cdot 2 X P_{n}^{(n)} + \frac{n (n - 1)}{2} \cdot 2 P_{n}^{(n - 1)} .$ Dans le membre de droite, $X^{'} = 1$ , $X^{''} = 0$ : $2 n (X P_{n}^{(n)} + n P_{n}^{(n - 1)})$ . En simplifiant les termes en $2 n X L_{n}$ : $(X^{2} - 1) L_{n}^{'} = (2 n^{2} - n (n - 1)) P_{n}^{(n - 1)} = n (n + 1) P_{n}^{(n - 1)} .$ Dérivons une dernière fois, sachant que $(P_{n}^{(n - 1)})^{'} = L_{n}$ : $2 X L_{n}^{'} + (X^{2} - 1) L_{n}^{''} = n (n + 1) L_{n}$ , c'est-à-dire $(X^{2} - 1) L_{n}^{''} + 2 X L_{n}^{'} - n (n + 1) L_{n} = 0 .$ (Contrôle avec $L_{2} = 12 X^{2} - 4$ : $24 (X^{2} - 1) + 2 X \cdot 24 X - 6 (12 X^{2} - 4) = 0$ .)

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Révisions prépa

Algèbre · 1re année

Polynômes et fractions rationnelles

Application du cours5 points

1. Quatre divisions euclidiennes

Effectuer la division euclidienne de $A = X^{5} - 3 X^{3} + 2 X^{2} + X - 1$ par $B = X^{2} + X - 1$ dans $ℝ [X]$ .
Soit $n \in ℕ$ . Calculer le reste $R_{n}$ obtenu en divisant $X^{n}$ par $X^{2} - 4$ (on distinguera $n$ pair et $n$ impair).
Même question pour $X^{100}$ , divisé cette fois par $(X + 1)^{2}$ .
On note $ω = e^{i π / 3}$ . Vérifier que $ω$ et $\overset{ˉ}{ω}$ sont les racines de $X^{2} - X + 1$ , puis montrer qu'en divisant $X^{2026} + X + 1$ par $X^{2} - X + 1$ , on obtient le reste $1$ .

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1. On abaisse le degré terme à terme (fiche §2) :

$X^{5} = X^{3} \cdot X^{2}$ : on retranche $X^{3} B = X^{5} + X^{4} - X^{3}$ , il reste $- X^{4} - 2 X^{3} + 2 X^{2} + X - 1$ ;
on retranche $- X^{2} B = - X^{4} - X^{3} + X^{2}$ , il reste $- X^{3} + X^{2} + X - 1$ ;
on retranche $- X B = - X^{3} - X^{2} + X$ , il reste $2 X^{2} - 1$ ;
on retranche $2 B = 2 X^{2} + 2 X - 2$ , il reste $- 2 X + 1$ , de degré $1 < 2$ : on s'arrête.

Ainsi $Q = X^{3} - X^{2} - X + 2, R = 1 - 2 X$ , et l'on vérifie $B Q + R = A$ en développant.

Si $n$ est pair : $α = 0$ , $β = 2^{n}$ , donc $R_{n} = 2^{n}$ .
Si $n$ est impair : $α = 2^{n - 1}$ , $β = 0$ , donc $R_{n} = 2^{n - 1} X$ .

(Contrôle direct : $X^{2} \equiv 4$ modulo $X^{2} - 4$ , donc $X^{2 p} = (X^{2})^{p}$ a pour reste $4^{p}$ .)

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Application du cours4 points

2. Une racine triple et la formule de Taylor

On considère $P = X^{5} - 6 X^{4} + 13 X^{3} - 14 X^{2} + 12 X - 8 \in ℝ [X]$ .

Montrer que $2$ est racine de $P$ et déterminer son ordre de multiplicité.
Écrire la formule de Taylor de $P$ au point $2$ , puis en déduire la factorisation de $P$ dans $ℝ [X]$ et dans $ℂ [X]$ .
Déterminer les réels $a$ et $b$ pour lesquels $(X - 1)^{2}$ divise $X^{5} + a X^{2} + b X + 1$ . Le réel $1$ est-il alors racine triple ?

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Après avoir comparé avec le corrigé :

Application du cours5 points

3. PGCD, Bézout et PPCM : le parallèle avec $ℤ$

On considère dans $ℝ [X]$ les polynômes $A = X^{5} + X^{4} + 1$ et $B = X^{4} + 2 X^{3} + X^{2} - 1$ .

À l'aide de l'algorithme d'Euclide, déterminer $D = A \land B$ .
En « remontant » l'algorithme, trouver $U, V \in ℝ [X]$ tels que $A U + B V = D$ .
Déterminer les racines complexes communes à $A$ et $B$ . Vérifier directement que $j$ est racine de $A$ .
On écrit $A = D A_{1}$ et $B = D B_{1}$ . Montrer que $A_{1} \land B_{1} = 1$ , puis calculer $A \lor B$ .
Trouver l'ensemble des couples $(U, V) \in ℝ [X]^{2}$ vérifiant $A U + B V = D$ .

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1. Divisions successives (chaque reste se vérifie en développant) :

$A = (X - 1) B + R_{1}$ avec $R_{1} = X^{3} + X^{2} + X$ ;
$B = (X + 1) R_{1} + R_{2}$ avec $R_{2} = - X^{2} - X - 1$ ;
$R_{1} = (- X) R_{2} + 0$ .

Le dernier reste non nul est $R_{2} = - (X^{2} + X + 1)$ ; on le rend unitaire : $D = X^{2} + X + 1$ (fiche §3).

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Application du cours5 points

4. Éléments simples et une primitive

Écrire sur $ℝ$ la décomposition en éléments simples de $F_{1} = \frac{X^{4} + 1}{X^{3} - X}$ .
Même travail pour $F_{2} = \frac{3 X + 1}{(X - 1)^{2} (X + 2)}$ .
Donner la décomposition en éléments simples de $F_{3} = \frac{X^{5}}{(X^{2} + 1)^{2}}$ , d'abord sur $ℝ$ , ensuite sur $ℂ$ .
En déduire une primitive de $f : x \mapsto \frac{x^{4} + 1}{x^{3} - x}$ sur $] 1, + \infty [$ .

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2. $\deg F_{2} = - 2 < 0$ : partie entière nulle. Forme : $F_{2} = \frac{a}{(X - 1)^{2}} + \frac{b}{X - 1} + \frac{c}{X + 2}$ .

$c = {[\frac{3 X + 1}{(X - 1)^{2}}]}_{X = - 2} = \frac{- 5}{9}$ ;
$a = {[\frac{3 X + 1}{X + 2}]}_{X = 1} = \frac{4}{3}$ ;
$\lim_{x \to + \infty} x F_{2} (x) = 0$ (car $\deg F_{2} = - 2$ ) et cette limite vaut $b + c$ : $b = \frac{5}{9}$ .

Après avoir comparé avec le corrigé :

Niveau devoir6 points

5. Deux équations polynomiales

Partie A. Déterminer tous les polynômes $P \in ℝ [X]$ tels que $(X^{2} + 1) P^{''} = 6 P$ .

Partie B. On cherche les polynômes $P \in ℂ [X]$ tels que $(*) P (X^{2}) = P (X) P (X - 1) .$

Vérifier que $P = 0$ et, pour tout $m \in ℕ$ , $P = (X^{2} + X + 1)^{m}$ sont solutions de $(*)$ .
Soit $P$ une solution non nulle. Montrer que $P$ est unitaire.
Soit $a \in ℂ$ une racine de $P$ . Montrer que $a^{2}$ et $(a + 1)^{2}$ sont aussi racines de $P$ .
En déduire que $∣ a ∣ \in {0, 1}$ et $∣ a + 1 ∣ \in {0, 1}$ , puis que $a \in {j, \overset{ˉ}{j}}$ .
Conclure.

Voir le corrigé

Partie B.

3. En évaluant $(*)$ en $a$ : $P (a^{2}) = P (a) P (a - 1) = 0$ . En évaluant en $a + 1$ : $P ((a + 1)^{2}) = P (a + 1) P (a) = 0$ .

Si $a = 0$ : $(0 + 1)^{2} = 1$ est racine, et $∣ 1 + 1 ∣ = 2 \notin {0, 1}$ : contradiction.
Si $a = - 1$ : $a^{2} = 1$ est racine, même contradiction.
Il reste $∣ a ∣ = ∣ a + 1 ∣ = 1$ . Avec $a = e^{i θ}$ : $∣ 1 + e^{i θ} ∣^{2} = 2 + 2 \cos θ = 1$ , donc $\cos θ = - \frac{1}{2}$ et $a \in {j, \overset{ˉ}{j}}$ .

Après avoir comparé avec le corrigé :

Niveau devoir6 points

6. Les racines de $X^{3} - 3 X + 1$

Soit $P = X^{3} - 3 X + 1 \in ℝ [X]$ .

Montrer que $P$ admet trois racines réelles distinctes $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ , situées dans $] - 2, 2 [$ .
Donner $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ , $x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3}$ et $x_{1} x_{2} x_{3}$ .
Calculer, sans déterminer les racines, $S_{2} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}$ , $T = \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \frac{1}{x_{3}}$ et $S_{3} = x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3}$ .
Former le polynôme unitaire de degré $3$ dont les racines sont $x_{1}^{2}$ , $x_{2}^{2}$ , $x_{3}^{2}$ .
Pour $θ \in ℝ$ , exprimer $P (2 \cos θ)$ à l'aide de $\cos 3 θ$ . En déduire $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ .
En déduire les valeurs de $\cos \frac{2 π}{9} + \cos \frac{4 π}{9} + \cos \frac{8 π}{9}$ et de $\cos \frac{2 π}{9} \cos \frac{4 π}{9} \cos \frac{8 π}{9}$ .

Voir le corrigé

2. Relations coefficients-racines ( $a_{3} = 1$ , $a_{2} = 0$ , $a_{1} = - 3$ , $a_{0} = 1$ ) : $σ_{1} = 0, σ_{2} = - 3, σ_{3} = - 1 .$

Après avoir comparé avec le corrigé :

Niveau devoir6 points

7. Factorisations et valeurs trigonométriques

Partie A.

Déterminer les racines complexes de $X^{5} + 1$ , puis factoriser $X^{5} + 1$ dans $ℂ [X]$ et dans $ℝ [X]$ .
Vérifier que $X^{5} + 1 = (X + 1) (X^{4} - X^{3} + X^{2} - X + 1)$ . En identifiant deux écritures de $X^{4} - X^{3} + X^{2} - X + 1$ , calculer $\cos \frac{π}{5} + \cos \frac{3 π}{5}$ et $\cos \frac{π}{5} \cos \frac{3 π}{5}$ , puis en déduire $\cos \frac{π}{5}$ .

Partie B. Soit $n \in ℕ^{*}$ .

Factoriser $X^{2 n} + 1$ dans $ℝ [X]$ .
En déduire que $\prod_{k = 0}^{n - 1} \sin \frac{(2 k + 1) π}{4 n} = \frac{\sqrt{2}}{2^{n}}$ .

Voir le corrigé

Partie A.

Après avoir comparé avec le corrigé :

Niveau devoir6 points

8. Une matrice, son polynôme annulateur et deux projecteurs

On considère $A = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}) \in ℳ_{3} (ℝ)$ et $P = X^{2} - X - 2$ .

Calculer $A^{2}$ et vérifier que $P (A) = 0_{3}$ .
En déduire que $A$ est inversible et exprimer $A^{- 1}$ comme polynôme en $A$ .
Pour $n \in ℕ$ , calculer le reste de $X^{n}$ dans sa division par $P$ , puis exprimer $A^{n}$ en fonction de $A$ et $I_{3}$ .
(a) Décomposer $\frac{1}{P}$ en éléments simples dans $ℝ (X)$ et en déduire $U, V \in ℝ_{0} [X]$ tels que $(X + 1) U + (X - 2) V = 1$ . (b) On pose $p = \frac{1}{3} (A + I_{3})$ et $q = \frac{1}{3} (2 I_{3} - A)$ . Montrer que $p + q = I_{3}$ , $p q = q p = 0_{3}$ , $p^{2} = p$ , $q^{2} = q$ et $A = 2 p - q$ . (c) Retrouver l'expression de $A^{n}$ , puis vérifier que la formule obtenue reste vraie pour $n = - 1$ .

Voir le corrigé

2. $A^{2} - A = 2 I_{3}$ s'écrit $A \cdot \frac{1}{2} (A - I_{3}) = \frac{1}{2} (A - I_{3}) \cdot A = I_{3}$ . Donc $A$ est inversible et $A^{- 1} = \frac{1}{2} (A - I_{3})$ .

Après avoir comparé avec le corrigé :

Synthèse, niveau concours10 points

9. Problème : interpolation de Lagrange et éléments simples

Partie A — Polynômes de Lagrange.

Donner le degré de $L_{i}$ et calculer $L_{i} (a_{j})$ pour $i, j \in [⁣ [1, n] ⁣]$ .
On pose $M_{i} = \prod_{k \neq i} (X - a_{k})$ . Montrer que $N^{'} (a_{i}) = M_{i} (a_{i})$ , puis que $L_{i} = \frac{N}{(X - a_{i}) N^{'} (a_{i})}$ .
Montrer que pour tout $A \in 𝕂_{n - 1} [X]$ , $A = \sum_{i = 1}^{n} A (a_{i}) L_{i}$ .
Déterminer l'unique $T \in ℝ_{2} [X]$ tel que $T (- 1) = 4$ , $T (0) = 1$ et $T (2) = 1$ .

Voir le corrigé

Après avoir comparé avec le corrigé :

Synthèse, niveau concours10 points

10. Problème type concours : polynômes positifs et sommes de deux carrés

Partie I — Préliminaires.

▶ Q.3 Montrer que tout élément de $Σ$ prend des valeurs positives ou nulles sur $ℝ$ .

Partie II — Première démonstration, par la factorisation dans $ℝ [X]$ . Soit $P \in ℝ [X]$ non nul tel que $P (x) \geq 0$ pour tout $x \in ℝ$ .

▶ Q.4 Montrer que, si $P$ n'est pas constant, son degré est pair et son coefficient dominant strictement positif.

▶ Q.5 Soit $a$ une racine réelle de $P$ , d'ordre $m$ . Montrer que $m$ est pair.

▶ Q.6 En déduire que $P = c \prod_{i} (X - a_{i})^{2 k_{i}} \prod_{l} (X^{2} + p_{l} X + q_{l})^{n_{l}}$ , avec $c > 0$ , les $a_{i}$ réels et $p_{l}^{2} - 4 q_{l} < 0$ .

▶ Q.7 Montrer que chaque facteur de cette écriture appartient à $Σ$ , puis conclure.

Partie III — Seconde démonstration et exemples.

▶ Q.8 En partant de la factorisation de $P$ dans $ℂ [X]$ , construire $Q \in ℂ [X]$ tel que $P = Q \overline{Q}$ , et retrouver $P \in Σ$ .

▶ Q.9 Factoriser $X^{4} + 4$ dans $ℝ [X]$ (on pourra écrire $X^{4} + 4 = (X^{2} + 2)^{2} - 4 X^{2}$ ), puis l'écrire comme somme de deux carrés à l'aide de Q.1.

▶ Q.10 Déterminer les racines complexes de $X^{4} + X^{2} + 1$ et appliquer la méthode de Q.8 pour écrire $X^{4} + X^{2} + 1$ comme somme de deux carrés.

Voir le corrigé

Q.3 Pour $x$ réel, $A (x)$ et $B (x)$ sont réels, donc $A (x)^{2} + B (x)^{2} \geq 0$ .

Après avoir comparé avec le corrigé :

Niveau devoir10 points

11. Polynômes de Tchebychev

Classique du programme : polynômes de Tchebychev.

On définit une suite $(T_{n})_{n \in ℕ}$ de $ℝ [X]$ par $T_{0} = 1, T_{1} = X, T_{n + 2} = 2 X T_{n + 1} - T_{n} (n \in ℕ) .$

(1 point) Calculer $T_{2}$ , $T_{3}$ et $T_{4}$ .
(2 points) Montrer que, pour $n \geq 1$ , le polynôme $T_{n}$ a pour degré $n$ et pour coefficient dominant $2^{n - 1}$ , et que $T_{n} (- X) = (- 1)^{n} T_{n} (X)$ pour tout $n \in ℕ$ .
(1,5 point) Montrer que, pour tout $θ \in ℝ$ et tout $n \in ℕ$ , $T_{n} (\cos θ) = \cos (n θ)$ .
(2,5 points) Soit $n \geq 1$ . Déterminer les racines de $T_{n}$ dans $ℝ$ : montrer que ce sont $n$ réels distincts, que l'on exprimera avec des cosinus, puis écrire $T_{n}$ sous forme factorisée dans $ℝ [X]$ .
(1,5 point) Déduire des questions précédentes les valeurs exactes de $\cos \frac{π}{8}$ et $\cos \frac{3 π}{8}$ , puis celle du produit $\cos \frac{π}{8} \cos \frac{3 π}{8} \cos \frac{5 π}{8} \cos \frac{7 π}{8}$ .
(1,5 point) Montrer que $T_{m} \circ T_{n} = T_{m n}$ pour tous $m, n \in ℕ$ . Calculer $T_{6}$ .

Voir le corrigé

1. $T_{2} = 2 X \cdot X - 1 = 2 X^{2} - 1$ , puis $T_{3} = 2 X (2 X^{2} - 1) - X = 4 X^{3} - 3 X$ et $T_{4} = 2 X (4 X^{3} - 3 X) - (2 X^{2} - 1) = 8 X^{4} - 8 X^{2} + 1$ .

Après avoir comparé avec le corrigé :

Niveau devoir10 points

12. Polynômes de Legendre et théorème de Rolle

Classique du programme : polynômes de Legendre.

(1 point) Calculer $L_{0}$ , $L_{1}$ , $L_{2}$ , $L_{3}$ .
(1,5 point) Montrer que $L_{n}$ a pour degré $n$ et pour coefficient dominant $\frac{(2 n)!}{n!}$ , et que $L_{n} (- X) = (- 1)^{n} L_{n} (X)$ .
(1 point) Montrer que $L_{n} (1) = 2^{n} n!$ et $L_{n} (- 1) = (- 1)^{n} 2^{n} n!$ .
(3,5 points) Soit $n \geq 1$ . Montrer que $1$ et $- 1$ sont racines de $P_{n}^{(k)}$ pour $0 \leq k \leq n - 1$ . En déduire, par récurrence sur $k$ et grâce au théorème de Rolle, que $P_{n}^{(k)}$ possède au moins $k$ racines distinctes dans $] - 1, 1 [$ pour $0 \leq k \leq n$ . Conclure que $L_{n}$ a $n$ racines réelles simples, toutes dans $] - 1, 1 [$ .
(3 points) Montrer que $(X^{2} - 1) P_{n}^{'} = 2 n X P_{n}$ . En dérivant $n$ fois cette égalité, établir que $(X^{2} - 1) L_{n}^{'} = n (n + 1) P_{n}^{(n - 1)}$ pour $n \geq 1$ , puis que $(X^{2} - 1) L_{n}^{''} + 2 X L_{n}^{'} - n (n + 1) L_{n} = 0.$

Voir le corrigé

Après avoir comparé avec le corrigé :

1. Quatre divisions euclidiennes

2. Une racine triple et la formule de Taylor

3. PGCD, Bézout et PPCM : le parallèle avec ℤ

4. Éléments simples et une primitive

5. Deux équations polynomiales

6. Les racines de X3−3X+1

7. Factorisations et valeurs trigonométriques

8. Une matrice, son polynôme annulateur et deux projecteurs

9. Problème : interpolation de Lagrange et éléments simples

10. Problème type concours : polynômes positifs et sommes de deux carrés

11. Polynômes de Tchebychev

12. Polynômes de Legendre et théorème de Rolle

1. Quatre divisions euclidiennes

2. Une racine triple et la formule de Taylor

3. PGCD, Bézout et PPCM : le parallèle avec ℤ

4. Éléments simples et une primitive

5. Deux équations polynomiales

6. Les racines de X3−3X+1

7. Factorisations et valeurs trigonométriques

8. Une matrice, son polynôme annulateur et deux projecteurs

9. Problème : interpolation de Lagrange et éléments simples

10. Problème type concours : polynômes positifs et sommes de deux carrés

11. Polynômes de Tchebychev

12. Polynômes de Legendre et théorème de Rolle

3. PGCD, Bézout et PPCM : le parallèle avec $ℤ$

6. Les racines de $X^{3} - 3 X + 1$

3. PGCD, Bézout et PPCM : le parallèle avec $ℤ$

6. Les racines de $X^{3} - 3 X + 1$