Réduction des endomorphismes (Fiche) · Révisions prépa

Sous-espaces stables et éléments propres

Sous-espace stable. On dit que $F$ , sous-espace de $E$ , est stable par $u$ lorsque $u (F) \subset F$ . On note alors $u_{F}$ l'endomorphisme induit : $u_{F} : F \to F$ , $x \mapsto u (x)$ . Si $F$ a pour base $(e_{1}, \dots, e_{p})$ complétée en une base $ℬ$ de $E$ , la matrice de $u$ dans $ℬ$ est triangulaire par blocs $(\begin{array}{cc} A_{1} & B \\ 0 & C \end{array})$ avec $A_{1}$ la matrice de $u_{F}$ . Si $E = F_{1} \oplus \dots \oplus F_{r}$ avec chaque $F_{i}$ stable, la matrice dans une base adaptée est diagonale par blocs.

Si $u \circ v = v \circ u$ , alors $u$ laisse stables le noyau et l'image de $v$ ; c'est le cas du noyau et de l'image de $P (u)$ , pour tout $P \in 𝕂 [X]$ .
Une droite $Vect (x)$ , $x \neq 0$ , est stable par $u$ si et seulement si $u (x)$ est colinéaire à $x$ .

Valeur propre, vecteur propre. $λ \in 𝕂$ est valeur propre de $u$ s'il existe $x \in E$ , $x \neq 0_{E}$ , tel que $u (x) = λ x$ ; un tel $x$ est un vecteur propre associé. L'ensemble des valeurs propres est le spectre $Sp (u)$ (parfois $sp (u)$ , ou ${Sp}_{𝕂} (A)$ quand le corps compte). Pour $λ \in 𝕂$ , on pose $E_{λ} (u) = Ker (u - λ {i d}_{E}),$ et pour $λ \in Sp (u)$ c'est le sous-espace propre associé à $λ$ (il contient $0_{E}$ et tous les vecteurs propres associés).

En dimension finie, les équivalences suivantes sont à connaître par cœur : $λ \in Sp (u) ⟺ u - λ {i d}_{E} non injectif ⟺ u - λ {i d}_{E} \notin G L (E) ⟺ \det (u - λ {i d}_{E}) = 0.$ En particulier $0 \in Sp (u) ⟺ u$ n'est pas inversible.

Somme directe des sous-espaces propres. Hypothèses : $λ_{1}, \dots, λ_{p}$ valeurs propres de $u$ deux à deux distinctes. Conclusion : la somme $E_{λ_{1}} (u) + \dots + E_{λ_{p}} (u)$ est directe. En particulier des vecteurs propres pris pour des valeurs propres deux à deux différentes forment une famille libre, et $u$ a au plus $n$ valeurs propres.

Lien avec les polynômes. Si $u (x) = λ x$ , alors $P (u) (x) = P (λ) x$ pour tout $P \in 𝕂 [X]$ . Conséquences :

si $P (u) = 0$ , toute valeur propre de $u$ est racine de $P$ (la réciproque est fausse : $P$ peut avoir des racines inutiles) ;
${P (λ), λ \in Sp (u)} \subset Sp (P (u))$ , avec égalité lorsque $𝕂 = ℂ$ (on le voit par trigonalisation, §7).

Exemples à savoir refaire. Sur $𝒞^{\infty} (ℝ, ℝ)$ , la dérivation a pour spectre $ℝ$ , avec $E_{λ} = Vect (x \mapsto e^{λ x})$ (dimension infinie : le spectre peut être infini). Sur $𝕂_{n} [X]$ , la dérivation n'a que la valeur propre $0$ . Un projecteur $p \neq 0, {i d}_{E}$ a pour spectre ${0, 1}$ ; une symétrie $s \neq \pm {i d}_{E}$ a pour spectre ${- 1, 1}$ .

Polynôme caractéristique

Définition. Pour $A \in ℳ_{n} (𝕂)$ , $χ_{A} (X) = \det (X I_{n} - A)$ . C'est un polynôme unitaire de degré $n$ : $χ_{A} = X^{n} - tr (A) X^{n - 1} + \dots + (- 1)^{n} \det A .$ Le polynôme caractéristique ne change pas quand on remplace $A$ par une matrice semblable ( $\det (X I_{n} - P^{- 1} A P) = \det (P^{- 1} (X I_{n} - A) P)$ ) ; on définit donc $χ_{u} = χ_{A}$ pour $A$ matrice de $u$ dans n'importe quelle base. Certains cours prennent $\det (A - X I_{n}) = (- 1)^{n} χ_{A}$ : mêmes racines, il suffit de lire la convention de l'énoncé.

En dimension $2$ : $χ_{A} = X^{2} - tr (A) X + \det A$ .
$χ_{^{t} A} = χ_{A}$ ; si $A$ est triangulaire (ou triangulaire par blocs), $χ_{A}$ est le produit des $X - a_{i i}$ (ou des polynômes caractéristiques des blocs diagonaux).
Valeurs propres = racines de $χ_{u}$ dans $𝕂$ . L'ordre de multiplicité $m_{λ}$ d'une valeur propre est sa multiplicité comme racine de $χ_{u}$ ; on parle de valeur propre simple ( $m_{λ} = 1$ ), double…
Une matrice réelle peut n'avoir aucune valeur propre réelle : $(\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array})$ a $χ = X^{2} + 1$ . Dans $ℂ$ , $χ_{A}$ est toujours scindé ; pour $A$ réelle, les valeurs propres non réelles vont par paires conjuguées de même multiplicité.
Si $χ_{u}$ est scindé, $χ_{u} = \prod_{λ} (X - λ)^{m_{λ}}$ et $tr u = \sum m_{λ} λ$ , $\det u = \prod λ^{m_{λ}}$ (relations coefficients-racines).

Polynôme caractéristique d'un endomorphisme induit. Si $F$ est stable par $u$ , alors $χ_{u_{F}}$ divise $χ_{u}$ (déterminant triangulaire par blocs).

Dimension d'un sous-espace propre. Hypothèses : $λ \in Sp (u)$ , d'ordre de multiplicité $m_{λ}$ . Conclusion : $1 \leq \dim E_{λ} (u) \leq m_{λ}$ . Preuve : $E_{λ} (u)$ est stable et $u$ y induit $λ i d$ , donc $(X - λ)^{\dim E_{λ}}$ divise $χ_{u}$ . Conséquence : pour une valeur propre simple, $\dim E_{λ} (u) = 1$ .

Polynômes d'endomorphismes et polynômes annulateurs

La définition de $P (u)$ , les règles $(P Q) (u) = P (u) \circ Q (u)$ , la commutativité de $𝕂 [u]$ et l'existence d'un polynôme annulateur non nul en dimension finie sont acquises en 1re année (Espaces vectoriels § 11, Polynômes § 10). Ce qui est nouveau en MP2 :

L'application $φ_{u} : 𝕂 [X] \to ℒ (E)$ , $P \mapsto P (u)$ est un morphisme d'algèbres ; son image est $𝕂 [u]$ et son noyau $I_{u} = {P, P (u) = 0}$ est un idéal de $𝕂 [X]$ , non réduit à ${0}$ en dimension finie.
Bon usage de l'écriture. On écrit $(u - α {i d}_{E}) \circ (u - β {i d}_{E}) = 0$ , ou $P (u) = 0$ avec $P = (X - α) (X - β)$ ; on écrit $P \land Q = 1$ entre polynômes. Écrire « $(u - α {i d}_{E}) \land (u - β {i d}_{E}) = 1$ » n'a aucun sens (relevé par le jury en 2025).
Utiliser un annulateur : localiser le spectre (racines de $P$ ) ; inverser ( $P (0) \neq 0$ donne $u^{- 1} \in 𝕂 [u]$ ) ; calculer $u^{m}$ par la division euclidienne $X^{m} = Q_{m} P + R_{m}$ , d'où $u^{m} = R_{m} (u)$ ; décomposer $E$ (lemme des noyaux, §5).

Polynôme minimal

Définition. L'idéal $I_{u}$ est engendré par un unique polynôme unitaire : c'est le polynôme minimal de $u$ , noté $π_{u}$ (on trouve aussi $μ_{u}$ ou $m_{u}$ ). Ainsi $P (u) = 0 ⟺ π_{u} ∣ P .$ C'est l'annulateur unitaire non nul de plus petit degré. Pour une matrice, $π_{A}$ ; deux matrices semblables ont le même polynôme minimal.

$\deg π_{u} = \dim 𝕂 [u]$ et $({i d}_{E}, u, \dots, u^{d - 1})$ est une base de $𝕂 [u]$ , où $d = \deg π_{u}$ .
Racines de $π_{u}$ = valeurs propres de $u$ (dans $𝕂$ ). En effet, toute valeur propre annule $π_{u}$ ; et si $π_{u} (λ) = 0$ , écrire $π_{u} = (X - λ) Q$ : $Q (u) \neq 0$ par minimalité, et un vecteur $y = Q (u) (x) \neq 0$ vérifie $(u - λ i d) (y) = 0$ .
Si $F$ est stable par $u$ , alors $π_{u_{F}}$ divise $π_{u}$ (car $π_{u} (u_{F}) = 0$ ).
Exemples : $π_{λ i d} = X - λ$ ; un projecteur $p \neq 0, i d$ a $π_{p} = X^{2} - X$ ; une nilpotente d'indice $q$ a $π = X^{q}$ ; $π_{A} = (X - 1)^{2}$ pour $A = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array})$ .

Comment trouver $π_{A}$ . Partir d'un annulateur connu (souvent $χ_{A}$ , grâce à Cayley-Hamilton §8) ; $π_{A}$ en est un diviseur unitaire qui contient chaque valeur propre au moins une fois. On teste les candidats par degré croissant. Exemple : $χ_{A} = (X - 1)^{2} (X - 2)$ laisse deux candidats, $(X - 1) (X - 2)$ et $(X - 1)^{2} (X - 2)$ ; on calcule $(A - I) (A - 2 I)$ .

Lemme des noyaux

Théorème (décomposition des noyaux). Hypothèses : $P_{1}, \dots, P_{r} \in 𝕂 [X]$ deux à deux premiers entre eux, $P = P_{1} P_{2} \dots P_{r}$ , $u \in ℒ (E)$ . Conclusion : $Ker P (u) = Ker P_{1} (u) \oplus \dots \oplus Ker P_{r} (u)$ . De plus, les projecteurs associés à cette somme directe (restreints à $Ker P (u)$ ) sont des polynômes en $u$ .

Preuve pour deux facteurs (le cas général se fait par récurrence sur $r$ ). Bézout : $U P_{1} + V P_{2} = 1$ , donc ${i d}_{E} = U (u) P_{1} (u) + V (u) P_{2} (u)$ . Pour $x \in Ker P (u)$ , on pose $x_{2} = U (u) P_{1} (u) (x)$ et $x_{1} = V (u) P_{2} (u) (x)$ : alors $x = x_{1} + x_{2}$ , $P_{1} (u) (x_{1}) = V (u) P (u) (x) = 0$ et de même $P_{2} (u) (x_{2}) = 0$ . Si $x \in Ker P_{1} (u) \cap Ker P_{2} (u)$ , la même identité donne $x = 0$ .

Cas le plus utilisé. Si $P (u) = 0$ avec $P = P_{1} \dots P_{r}$ (facteurs premiers entre eux deux à deux), alors $E = Ker P_{1} (u) \oplus \dots \oplus Ker P_{r} (u),$ et chaque $Ker P_{i} (u)$ est stable par $u$ . Dans une base adaptée, $u$ est représenté par une matrice diagonale par blocs.

Points de rédaction exigés. Citer le théorème par son nom ; vérifier explicitement que les facteurs sont premiers entre eux (racines distinctes, ou relation de Bézout écrite) ; préciser le polynôme annulateur utilisé. Le jury 2025 cite cette hypothèse parmi celles qui sont le plus souvent oubliées.

Diagonalisation

Définition. $u$ est diagonalisable lorsque $E$ possède une base dont tous les vecteurs sont propres pour $u$ ; dans une telle base, $u$ est représenté par une matrice diagonale. $A$ est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale : $A = P D P^{- 1}$ , les colonnes de $P$ étant des vecteurs propres et les coefficients de $D$ les valeurs propres associées, dans le même ordre.

Théorème (caractérisations). Les propositions suivantes sont équivalentes :

$u$ est diagonalisable ;
$E = ⨁_{λ \in Sp (u)} E_{λ} (u)$ ;
$\sum_{λ \in Sp (u)} \dim E_{λ} (u) = n$ ;
$χ_{u}$ est scindé sur $𝕂$ et $\dim E_{λ} (u) = m_{λ}$ pour toute valeur propre $λ$ ;
$u$ admet un polynôme annulateur scindé à racines simples ;
$π_{u}$ est scindé à racines simples, autrement dit $π_{u} = \prod_{λ \in Sp (u)} (X - λ)$ .

( $5 \Rightarrow 2$ est le lemme des noyaux appliqué à $\prod (X - λ_{i})$ ; $1 \Rightarrow 6$ : $\prod_{λ \in Sp (u)} (X - λ)$ annule $u$ sur chaque vecteur d'une base propre.)

Condition suffisante (pas nécessaire). Hypothèse : $χ_{u}$ est scindé à racines simples (soit $n$ valeurs propres distinctes). Conclusion : $u$ est diagonalisable, et chaque sous-espace propre est une droite. La réciproque est fausse : $I_{n}$ est diagonalisable et $χ_{I_{n}} = (X - 1)^{n}$ .

Conséquences utiles.

Si $u$ est diagonalisable et $F$ stable par $u$ , alors $u_{F}$ est diagonalisable (car $π_{u_{F}} ∣ π_{u}$ ).
$u$ diagonalisable avec une seule valeur propre $λ$ $⟺ u = λ {i d}_{E}$ . Ainsi une nilpotente non nulle n'est jamais diagonalisable, ni $λ I_{n} + N$ avec $N$ nilpotente non nulle.
Diagonalisable dans $ℳ_{n} (ℂ)$ mais pas dans $ℳ_{n} (ℝ)$ : $(\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array})$ . Toujours préciser le corps.
Réduction simultanée (résultat classique des devoirs) : si $u$ et $v$ sont diagonalisables et commutent, les sous-espaces propres de l'un sont stables par l'autre, et il existe une base de vecteurs propres communs à $u$ et $v$ .
Matrice de rang $1$ : $χ_{A} = X^{n - 1} (X - tr A)$ ; la diagonalisabilité de $A$ équivaut à $tr A \neq 0$ .

Diagonaliser une matrice en pratique.

Calculer $χ_{A}$ (opérations sur lignes et colonnes pour factoriser avant de développer) ; en déduire $Sp (A)$ et les multiplicités.
Pour chaque $λ$ , résoudre $(A - λ I_{n}) X = 0$ ; $\dim E_{λ} = n - rg (A - λ I_{n})$ .
Conclure par le critère 3 ou 4 ; si $A$ est diagonalisable, écrire $P$ (vecteurs propres en colonnes) et $D$ , puis $A = P D P^{- 1}$ .
Contrôles gratuits : $tr A = tr D$ , $\det A = \det D$ , $A P = P D$ (plus rapide à vérifier que $P^{- 1} A P = D$ ).

Trigonalisation

Définition. $u$ est trigonalisable s'il existe une base où sa matrice est triangulaire supérieure ; pour une matrice $A$ , cela veut dire $A = P T P^{- 1}$ avec $T$ triangulaire supérieure. La diagonale de $T$ porte alors les valeurs propres, chacune répétée selon sa multiplicité.

Théorème. $u$ est trigonalisable $⟺ χ_{u}$ est scindé sur $𝕂$ . Preuve du sens réciproque : récurrence sur $n$ ; on prend un vecteur propre $e_{1}$ , on complète en une base, la matrice est $(\begin{array}{cc} λ & * \\ 0 & B \end{array})$ avec $χ_{B}$ scindé (il divise $χ_{u}$ ), et on applique l'hypothèse de récurrence à $B$ .

Conséquences.

Toute matrice de $ℳ_{n} (ℂ)$ est trigonalisable. Une matrice réelle est trigonalisable dans $ℳ_{n} (ℂ)$ , et dans $ℳ_{n} (ℝ)$ si et seulement si $χ_{A}$ est scindé sur $ℝ$ .
Dans $ℂ$ : $tr A = \sum$ des valeurs propres (avec multiplicité), $\det A = \prod$ ; $Sp (P (A)) = {P (λ), λ \in Sp (A)}$ et $tr (A^{k}) = \sum λ_{i}^{k}$ .
$A \in ℳ_{n} (ℂ)$ est nilpotente $⟺ Sp (A) = {0} ⟺ χ_{A} = X^{n}$ .

Trigonaliser en pratique (taille 3). Avec $χ_{A} = (X - λ)^{2} (X - μ)$ , $λ \neq μ$ , et $\dim E_{λ} = 1$ : prendre $v_{1} \in E_{μ}$ , $v_{2} \in E_{λ}$ non nuls, puis chercher $v_{3}$ tel que $(A - λ I_{3}) v_{3} = v_{2}$ (système compatible, voir §9). Dans la base $(v_{1}, v_{2}, v_{3})$ : $T = (\begin{array}{ccc} μ & 0 & 0 \\ 0 & λ & 1 \\ 0 & 0 & λ \end{array}) .$ Avec $χ_{A} = (X - λ)^{3}$ et $\dim E_{λ} = 2$ , prendre $v_{3} \notin E_{λ}$ , puis $v_{2} = (A - λ I_{3}) v_{3}$ (qui est dans $E_{λ}$ ) et compléter. Les énoncés indiquent souvent la forme de $T$ attendue : la suivre.

Théorème de Cayley-Hamilton

Théorème. Hypothèse : $u \in ℒ (E)$ (resp. $A \in ℳ_{n} (𝕂)$ ). Conclusion : $χ_{u} (u) = 0$ (resp. $χ_{A} (A) = 0_{n}$ ). Autrement dit $π_{u}$ divise $χ_{u}$ , et $\deg π_{u} \leq n$ .

Idée de preuve : dans $ℂ$ , trigonaliser $A = P T P^{- 1}$ , $T$ de diagonale $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ ; on montre par récurrence que $(T - λ_{1} I_{n}) \dots (T - λ_{k} I_{n})$ annule les $k$ premiers vecteurs de base ; pour $k = n$ , $χ_{A} (T) = 0$ . Une matrice réelle se traite dans $ℂ$ ( $χ_{A}$ est le même).

Piège classique. « $χ_{A} (A) = \det (A I_{n} - A) = \det (0) = 0$ » est faux : on ne remplace pas $X$ par une matrice à l'intérieur d'un déterminant, et $χ_{A} (A)$ est une matrice, pas un nombre.

Conséquences.

$π_{u}$ et $χ_{u}$ ont les mêmes racines ; si $χ_{u} = \prod (X - λ)^{m_{λ}}$ , alors $π_{u} = \prod (X - λ)^{k_{λ}}$ avec $1 \leq k_{λ} \leq m_{λ}$ .
En dimension $2$ : $A^{2} = tr (A) A - \det (A) I_{2}$ . Si $\det A \neq 0$ , $A^{- 1} = \frac{1}{\det A} (tr (A) I_{2} - A)$ .
Si $A$ est inversible, $A^{- 1}$ est un polynôme en $A$ de degré au plus $n - 1$ .
Toute puissance $A^{m}$ est combinaison linéaire de $I_{n}, A, \dots, A^{n - 1}$ .

Sous-espaces caractéristiques et décomposition de Dunford

Sous-espaces caractéristiques. On suppose $χ_{u} = \prod_{i = 1}^{r} (X - λ_{i})^{m_{i}}$ scindé, $λ_{i}$ distincts. Le sous-espace caractéristique associé à $λ_{i}$ est $F_{i} = Ker (u - λ_{i} {i d}_{E})^{m_{i}} \supset E_{λ_{i}} (u) .$ Conclusions (Cayley-Hamilton puis lemme des noyaux) :

$E = F_{1} \oplus \dots \oplus F_{r}$ , chaque $F_{i}$ est stable par $u$ ;
l'endomorphisme induit sur $F_{i}$ s'écrit $λ_{i} i d + n_{i}$ avec $n_{i}$ nilpotent ;
$\dim F_{i} = m_{i}$ (car $χ_{u_{F_{i}}} = (X - λ_{i})^{\dim F_{i}}$ et le produit de ces polynômes vaut $χ_{u}$ ) ;
$u$ est diagonalisable $⟺ F_{i} = E_{λ_{i}} (u)$ pour tout $i$ .

Dans une base adaptée, $u$ a une matrice diagonale par blocs, le bloc $i$ étant $λ_{i} I_{m_{i}} + N_{i}$ avec $N_{i}$ nilpotente (et on peut la prendre triangulaire supérieure stricte). C'est la forme réduite la plus fine au programme.

Décomposition de Dunford. Hypothèse : $χ_{u}$ scindé sur $𝕂$ (toujours vrai si $𝕂 = ℂ$ ). Conclusion : $u$ s'écrit d'une seule façon sous la forme $u = d + n, d diagonalisable, n nilpotent, d \circ n = n \circ d .$ Les deux termes $d$ et $n$ s'expriment comme polynômes en $u$ .

Construction : si $p_{i}$ est le projecteur sur $F_{i}$ parallèlement à $⨁_{j \neq i} F_{j}$ (un polynôme en $u$ d'après le lemme des noyaux), on pose $d = \sum λ_{i} p_{i}$ et $n = u - d$ . Sur $F_{i}$ , $n$ coïncide avec $u - λ_{i} i d$ , donc $n^{\max m_{i}} = 0$ . Unicité (schéma) : si $u = d^{'} + n^{'}$ est une autre décomposition, $d^{'}$ et $n^{'}$ commutent avec $u$ , donc avec $d$ et $n$ (polynômes en $u$ ) ; $d - d^{'} = n^{'} - n$ est à la fois diagonalisable (réduction simultanée) et nilpotent (binôme), donc nul.

Attention. La commutation fait partie de la définition : $(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}) + (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array})$ n'est pas la décomposition de Dunford (les deux matrices ne commutent pas) ; cette matrice est diagonalisable, donc $d = u$ et $n = 0$ .

Selon les années, Dunford est démontré en cours ou dans le sujet (concours 2025, partie III) : il faut savoir refaire la construction par les projecteurs, pas seulement citer le nom.

Applications : puissances, suites récurrentes, systèmes

Puissances d'une matrice

Par diagonalisation : $A = P D P^{- 1} \Rightarrow A^{m} = P D^{m} P^{- 1}$ (pour $m \in ℤ$ si $A$ est inversible). Variante sans calculer $P^{- 1}$ : si $A$ est diagonalisable de valeurs propres distinctes $λ_{1}, \dots, λ_{r}$ , alors $A^{m} = \sum λ_{i}^{m} L_{i} (A)$ où les $L_{i}$ sont les polynômes de Lagrange associés aux $λ_{i}$ (Polynômes § 9) ; les $L_{i} (A)$ sont les projecteurs propres.
Par un polynôme annulateur : $X^{m} = Q_{m} P + R_{m}$ , $\deg R_{m} < \deg P$ , donc $A^{m} = R_{m} (A)$ . On trouve $R_{m}$ en évaluant aux racines de $P$ et, pour une racine double $a$ , en dérivant : $R_{m} (a) = a^{m}$ et $R_{m}^{'} (a) = m a^{m - 1}$ .
Par Dunford / binôme : $A = D + N$ avec $D N = N D$ et $N^{q} = 0$ : $A^{m} = \sum_{k = 0}^{q - 1} (\binom{m}{k}) D^{m - k} N^{k}$ pour $m \geq q - 1$ . La somme commence à $k = 0$ (Calcul matriciel § 8).

Suites récurrentes linéaires

Système $X_{k + 1} = A X_{k}$ : $X_{k} = A^{k} X_{0}$ . Si $A = P D P^{- 1}$ , les composantes de $Y_{k} = P^{- 1} X_{k}$ sont des suites géométriques $y_{k}^{(i)} = λ_{i}^{k} y_{0}^{(i)}$ . Si de plus $1$ est valeur propre simple et les autres valeurs propres sont de module $< 1$ , $(X_{k})$ converge (coefficient par coefficient) vers le projeté de $X_{0}$ sur $E_{1} (A)$ parallèlement à $⨁_{λ \neq 1} E_{λ} (A)$ .
Suite scalaire d'ordre $p$ : $u_{k + p} = a_{p - 1} u_{k + p - 1} + \dots + a_{0} u_{k}$ avec $a_{0} \neq 0$ . Le vecteur $X_{k} =^{t} (u_{k}, \dots, u_{k + p - 1})$ vérifie $X_{k + 1} = C X_{k}$ où $C$ est la matrice compagnon, de polynôme caractéristique $P = X^{p} - a_{p - 1} X^{p - 1} - \dots - a_{0}$ . Résultat : si $P = \prod (X - λ_{i})^{m_{i}}$ dans $ℂ$ , les solutions sont les suites $u_{k} = \sum_{i} Q_{i} (k) λ_{i}^{k}$ avec $\deg Q_{i} < m_{i}$ ; elles forment un espace de dimension $p$ . Pour $p = 2$ , on retrouve le cours de 1re année (Suites § 8). La preuve passe par le lemme des noyaux appliqué à l'opérateur de décalage (exercice 9).

Systèmes différentiels $X^{'} = A X$ (aperçu)

Le cadre général (existence et unicité, exponentielle de matrice) est vu au 2e semestre dans le chapitre « Équations différentielles linéaires ». Dès maintenant, la réduction permet de résoudre : si $A = P T P^{- 1}$ , on pose $Y = P^{- 1} X$ ; alors $Y^{'} = T Y$ .

$T$ diagonale : chaque $y_{i}^{'} = λ_{i} y_{i}$ donne $y_{i} (t) = c_{i} e^{λ_{i} t}$ (cours de 1re année, Équations différentielles § 3).
$T$ triangulaire : on résout de la dernière ligne à la première ; chaque ligne est une équation $y^{'} = λ y + b (t)$ (§ 4). Exemple : ${\begin{cases} y_{1}^{'} = 2 y_{1} + y_{2} \\ y_{2}^{'} = 2 y_{2} \end{cases}$ donne $y_{2} = c_{2} e^{2 t}$ puis $y_{1} = (c_{1} + c_{2} t) e^{2 t}$ .

Méthodes types

Montrer qu'un endomorphisme est (ou n'est pas) diagonalisable

Il l'est : $n$ valeurs propres distinctes ; ou un annulateur scindé à racines simples (souvent donné : $u^{3} = u$ , $u^{2} = 3 u - 2 i d$ ) ; ou $\sum \dim E_{λ} = n$ ; ou une base propre exhibée.
Il ne l'est pas : $χ_{u}$ non scindé sur $𝕂$ ; ou une valeur propre avec $\dim E_{λ} < m_{λ}$ ; ou une seule valeur propre $λ$ sans que $u = λ i d$ ; ou $π_{u}$ a une racine multiple.

Étudier une matrice qui dépend d'un paramètre

Calculer $χ_{A}$ sous forme factorisée ; repérer les valeurs du paramètre où deux valeurs propres se confondent.
Hors de ces valeurs : valeurs propres distinctes, donc diagonalisable (si $χ_{A}$ est scindé sur $𝕂$ ).
Aux valeurs critiques : calculer $rg (A - λ I_{n})$ pour la valeur propre multiple et comparer $n - rg$ à $m_{λ}$ .

Éléments propres d'un endomorphisme d'un espace de polynômes ou de matrices

Écrire la matrice dans la base canonique : elle est souvent triangulaire (lire les valeurs propres sur la diagonale).
Ou résoudre directement $f (P) = λ P$ (comparer degrés et coefficients dominants), $φ (M) = λ M$ (décomposer $M$ en parties symétrique et antisymétrique, ou utiliser la trace).
Penser aux décompositions $ℳ_{n} = 𝒮_{n} \oplus 𝒜_{n}$ , $ℳ_{n} = Vect (I_{n}) \oplus Ker tr$ .

Exploiter un polynôme annulateur $P$ (questions « sans calcul »)

Spectre $\subset$ racines de $P$ ; $π_{u} ∣ P$ ; si $P$ est scindé à racines simples, $u$ est diagonalisable ; si $P (0) \neq 0$ , $u$ est inversible et $u^{- 1} \in 𝕂 [u]$ ; trace $= \sum m_{λ} λ$ avec $λ$ parmi les racines de $P$ (d'où $tr u \in ℕ$ si $u^{2} = u$ ).

Calculer $A^{m}$ : quelle méthode ?

Matrice diagonalisable de petite taille : diagonalisation ou Lagrange. Annulateur de degré $2$ connu : division euclidienne. Matrice $λ I + N$ ou non diagonalisable : binôme / Dunford, ou division par $π_{A}$ avec dérivée en la racine double.

Erreurs fréquentes

Confondre condition nécessaire et condition suffisante : « $A$ diagonalisable donc $χ_{A}$ scindé à racines simples » est faux ( $I_{n}$ ). C'est l'erreur la plus citée par le jury de Mathématiques II en 2025.
Oublier l'hypothèse « premiers entre eux » dans le lemme des noyaux, ou appliquer le lemme à un polynôme qui n'annule pas $u$ .
Écritures dénuées de sens : $\land$ entre endomorphismes, « $(X - α {i d}_{E})$ », division par une matrice, $χ_{A} (A) = \det (A - A)$ .
Binôme de Newton sans vérifier la commutation ( $A B = B A$ ), ou somme commencée à $k = 1$ .
Prendre $0_{E}$ pour vecteur propre, ou dire « $λ$ valeur propre car $Ker (u - λ i d)$ est un sous-espace ».
Ne pas préciser le corps : une matrice réelle peut être diagonalisable dans $ℳ_{n} (ℂ)$ et pas dans $ℳ_{n} (ℝ)$ .
Écrire $A = P^{- 1} D P$ avec les vecteurs propres en colonnes de $P$ : c'est $A = P D P^{- 1}$ . Ou ranger les valeurs propres de $D$ dans un autre ordre que les colonnes de $P$ .
« Mêmes polynômes caractéristiques donc semblables » : faux ( $I_{2}$ et $(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array})$ ). Vrai seulement si les deux matrices sont diagonalisables.
Croire que les racines d'un annulateur sont toutes des valeurs propres ( $X^{3} - X$ annule $I_{n}$ ).
Dunford : proposer une décomposition dont les termes ne commutent pas ; ou oublier que $d$ et $n$ sont des polynômes en $u$ .
Rédaction : théorème cité sans son nom ni ses hypothèses, abréviations (« diag », « vp »), résultat non encadré.

Vocabulaire et notations des devoirs tunisiens

Mathématiques II = Algèbre en MP2 ; en-tête « Section : MP 2 », « Épreuve : Mathématiques II », devoirs de 2 h au 1er semestre, « Premier devoir de contrôle » puis « Devoir de synthèse n°1 » ou « Premier examen ».
$χ_{u}$ ou $χ_{A}$ (souvent défini dans l'énoncé par $χ_{A} (x) = \det (x I_{n} - A)$ ), $π_{u}$ ou $m_{u}$ pour le polynôme minimal, $Sp (u)$ ou $sp (u)$ , ${Sp}_{ℂ} (A)$ ; $E_{λ} (u)$ pour le sous-espace propre ; « valeur propre d'ordre de multiplicité $m$ » ; $𝕂$ (parfois IK ou k) pour $ℝ$ ou $ℂ$ .
$𝕂 [u]$ (ou $𝕂 [f]$ ) pour les polynômes en $u$ ; $𝒞 (u)$ pour le commutant ${v, u \circ v = v \circ u}$ ; $u_{F}$ pour l'endomorphisme induit ; $Mat (u, ℬ)$ ou $M_{ℬ} (u)$ ; $^{t} A$ pour la transposée.
Objets classiques définis dans les énoncés : endomorphisme cyclique, matrice compagnon, commutant, sous-espace caractéristique, valeurs co-propres, racine carrée d'une matrice, codiagonalisable (diagonalisable dans une même base).
Formules rituelles : « tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite » ; « l'étudiant veillera à préciser la référence du résultat utilisé ». Au concours, questions numérotées Q.1, Q.2… sur tout le sujet et document réponse.
Calculatrice interdite : les valeurs propres des matrices proposées sont des entiers ou des racines de l'unité, jamais des décimaux à approcher.

Réduction des endomorphismes