Réduction des endomorphismes (Exercices) · Révisions prépa · Ridami

Algèbre · 2e année

Réduction des endomorphismes

Application du cours4 points

1. Diagonaliser et calculer les puissances

On considère $A = (\begin{array}{ccc} 1 & - 1 & 1 \\ 2 & 1 & - 2 \\ 2 & - 1 & 0 \end{array}) \in ℳ_{3} (ℝ)$ .

Calculer $χ_{A}$ sous forme factorisée. (On pourra commencer par l'opération $C_{1} \leftarrow C_{1} + C_{2} + C_{3}$ .)
Déterminer les sous-espaces propres de $A$ . Justifier que $A$ est diagonalisable.
Donner $P \in G L_{3} (ℝ)$ et $D$ diagonale telles que $A = P D P^{- 1}$ , puis calculer $P^{- 1}$ .
En déduire $A^{n}$ pour tout $n \in ℕ$ , puis vérifier que la formule obtenue pour $n = - 1$ donne bien $A^{- 1}$ .

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1. $χ_{A} (X) = ∣ \begin{array}{ccc} X - 1 & 1 & - 1 \\ - 2 & X - 1 & 2 \\ - 2 & 1 & X \end{array} ∣$ . Avec $C_{1} \leftarrow C_{1} + C_{2} + C_{3}$ , la première colonne devient $^{t} (X - 1, X - 1, X - 1)$ ; on factorise $X - 1$ : $χ_{A} = (X - 1) ∣ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & - 1 \\ 1 & X - 1 & 2 \\ 1 & 1 & X \end{array} ∣ \underset{\begin{array}{c} L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1} \\ L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1} \end{array}}{=} (X - 1) ∣ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & X - 2 & 3 \\ 0 & 0 & X + 1 \end{array} ∣ .$ Le dernier déterminant est triangulaire : $χ_{A} = (X - 1) (X - 2) (X + 1)$ . Contrôle : la somme des racines vaut $2 = tr A$ , leur produit $- 2 = \det A$ .

2. Résolution de $(A - λ I_{3}) X = 0$ pour $X =^{t} (x, y, z)$ :

$λ = 1$ : $- y + z = 0$ , $2 x - 2 z = 0$ , $2 x - y - z = 0$ donnent $x = y = z$ : $E_{1} (A) = Vect^{t} (1, 1, 1)$ .
$λ = 2$ : $- x - y + z = 0$ , $2 x - y - 2 z = 0$ , $2 x - y - 2 z = 0$ ; on trouve $y = 0$ , $z = x$ : $E_{2} (A) = Vect^{t} (1, 0, 1)$ .
$λ = - 1$ : $2 x - y + z = 0$ , $2 x + 2 y - 2 z = 0$ , $2 x - y + z = 0$ ; on trouve $x = 0$ , $z = y$ : $E_{- 1} (A) = Vect^{t} (0, 1, 1)$ .

$χ_{A}$ est scindé sur $ℝ$ à racines simples ( $3$ valeurs propres distinctes en dimension $3$ ) : $A$ est diagonalisable (fiche §6, condition suffisante).

3. En rangeant les vecteurs propres dans l'ordre des valeurs propres $1, 2, - 1$ : $P = (\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}), D = diag (1, 2, - 1), P^{- 1} = (\begin{array}{ccc} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ - 1 & 0 & 1 \end{array}) .$ (On vérifie $P P^{- 1} = I_{3}$ ; le calcul de $P^{- 1}$ se fait par résolution de $P X = Y$ .)

4. $A^{n} = P D^{n} P^{- 1}$ avec $D^{n} = diag (1, 2^{n}, (- 1)^{n})$ . Le produit donne $A^{n} = (\begin{array}{ccc} 1 & 1 - 2^{n} & 2^{n} - 1 \\ 1 - (- 1)^{n} & 1 & (- 1)^{n} - 1 \\ 1 - (- 1)^{n} & 1 - 2^{n} & (- 1)^{n} + 2^{n} - 1 \end{array}) (n \in ℕ) .$ Comme $0 \notin Sp (A)$ , $A$ est inversible, $A^{- 1} = P D^{- 1} P^{- 1}$ et la même formule vaut pour $n = - 1$ : $A^{- 1} = (\begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ 2 & 1 & - 2 \\ 2 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} \end{array})$ . On vérifie que $A A^{- 1} = I_{3}$ (par exemple, première ligne de $A$ fois colonnes de $A^{- 1}$ : $1 - 2 + 2 = 1$ , $\frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{2} = 0$ , $- \frac{1}{2} + 2 - \frac{3}{2} = 0$ ).

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Application du cours4 points

2. Diagonalisabilité selon un paramètre

Pour $a \in ℝ$ , on pose $A_{a} = (\begin{array}{ccc} 1 & a & 1 \\ 0 & 2 & a \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$ .

Déterminer $χ_{A_{a}}$ et $Sp (A_{a})$ .
Déterminer les valeurs de $a$ pour lesquelles $A_{a}$ est diagonalisable.
Pour $a = 1$ , diagonaliser $A_{1}$ et donner son polynôme minimal.
Calculer $(A_{a} - I_{3}) (A_{a} - 2 I_{3})$ et retrouver le résultat de la question 2. Donner $π_{A_{a}}$ pour tout $a$ .

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1. $A_{a}$ est triangulaire supérieure : $χ_{A_{a}} = (X - 1)^{2} (X - 2)$ et $Sp (A_{a}) = {1, 2}$ , $1$ double et $2$ simple, quel que soit $a$ .

2. $χ_{A_{a}}$ est scindé ; $\dim E_{2} = 1$ (valeur propre simple). Donc la diagonalisabilité de $A_{a}$ équivaut à $\dim E_{1} (A_{a}) = 2$ , c'est-à-dire $rg (A_{a} - I_{3}) = 1$ . Or $A_{a} - I_{3} = (\begin{array}{ccc} 0 & a & 1 \\ 0 & 1 & a \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$ : ses deux premières lignes $(0, a, 1)$ et $(0, 1, a)$ sont colinéaires si et seulement si $a \cdot a - 1 \cdot 1 = 0$ . Ainsi $rg (A_{a} - I_{3}) = 1 ⟺ a^{2} = 1$ , et $A_{a} diagonalisable ⟺ a \in {- 1, 1} .$

3. $a = 1$ : $E_{1} (A_{1})$ est le plan $y + z = 0$ , de base $^{t} (1, 0, 0)$ , $^{t} (0, - 1, 1)$ ; $E_{2} (A_{1})$ : $- x + y + z = 0$ , $z = 0$ , soit $Vect^{t} (1, 1, 0)$ . Avec $P = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array})$ , on a $A_{1} = P diag (1, 1, 2) P^{- 1}$ . Comme $A_{1}$ est diagonalisable de spectre ${1, 2}$ : $π_{A_{1}} = (X - 1) (X - 2)$ (fiche §6, critère 6).

4. Le calcul donne $(A_{a} - I_{3}) (A_{a} - 2 I_{3}) = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & a^{2} - 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$ . Les diviseurs unitaires de $χ_{A_{a}}$ ayant toutes les valeurs propres pour racines sont $(X - 1) (X - 2)$ et $(X - 1)^{2} (X - 2)$ ; le second annule $A_{a}$ (Cayley-Hamilton). Donc :

si $a^{2} = 1$ , $π_{A_{a}} = (X - 1) (X - 2)$ , scindé à racines simples : $A_{a}$ est diagonalisable ;
si $a^{2} \neq 1$ , $π_{A_{a}} = (X - 1)^{2} (X - 2)$ a une racine double : $A_{a}$ n'est pas diagonalisable.

On retrouve la question 2 par le critère du polynôme minimal.

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Application du cours4 points

3. Exploiter un polynôme annulateur

Soit $M = (\begin{array}{ccc} 3 & 1 & 1 \\ - 1 & 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 1 \end{array})$ .

Calculer $M^{2}$ et vérifier que $M^{2} - 3 M + 2 I_{3} = 0$ .
Sans calculer $χ_{M}$ , montrer que $M$ est diagonalisable, déterminer $Sp (M)$ et $π_{M}$ .
Déterminer la dimension de chaque sous-espace propre ; en déduire $χ_{M}$ , $tr M$ et $\det M$ .
Montrer que $M$ est inversible et exprimer $M^{- 1}$ en fonction de $M$ et $I_{3}$ .
Pour $n \in ℕ$ , écrire la division euclidienne de $X^{n}$ par $X^{2} - 3 X + 2$ et en donner le reste ; en déduire $M^{n}$ . La formule reste-t-elle vraie pour $n = - 1$ ?

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1. $M^{2} = (\begin{array}{ccc} 7 & 3 & 3 \\ - 3 & 1 & - 3 \\ - 3 & - 3 & 1 \end{array})$ et $3 M - 2 I_{3} = (\begin{array}{ccc} 7 & 3 & 3 \\ - 3 & 1 & - 3 \\ - 3 & - 3 & 1 \end{array})$ : on a bien $M^{2} - 3 M + 2 I_{3} = 0$ .

2. $P = X^{2} - 3 X + 2 = (X - 1) (X - 2)$ annule $M$ et est scindé à racines simples : $M$ est diagonalisable (fiche §6, critère 5). Toute valeur propre est racine de $P$ , donc $Sp (M) \subset {1, 2}$ . Si $Sp (M)$ était réduit à ${1}$ (resp. ${2}$ ), $M$ , diagonalisable, serait égale à $I_{3}$ (resp. $2 I_{3}$ ), ce qui n'est pas. Donc $Sp (M) = {1, 2}$ et $π_{M}$ , unitaire, divise $P$ et admet $1$ et $2$ pour racines : $π_{M} = (X - 1) (X - 2)$ .

3. $M - 2 I_{3} = (\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \end{array})$ est de rang $1$ , donc $\dim E_{2} (M) = 2$ ; comme $M$ est diagonalisable, $\dim E_{1} (M) = 3 - 2 = 1$ . D'où $χ_{M} = (X - 1) (X - 2)^{2}$ , $tr M = 1 + 2 + 2 = 5$ (on retrouve $3 + 1 + 1$ ) et $\det M = 1 \cdot 2 \cdot 2 = 4$ .

4. $M (M - 3 I_{3}) = - 2 I_{3}$ , donc $M \cdot \frac{1}{2} (3 I_{3} - M) = I_{3}$ : $M$ est inversible et $M^{- 1} = \frac{1}{2} (3 I_{3} - M) = (\begin{array}{ccc} 0 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \end{array}) .$

5. $X^{n} = Q_{n} (X) (X - 1) (X - 2) + a_{n} X + b_{n}$ . En évaluant en $1$ et en $2$ : $a_{n} + b_{n} = 1$ et $2 a_{n} + b_{n} = 2^{n}$ , d'où $a_{n} = 2^{n} - 1$ et $b_{n} = 2 - 2^{n}$ . Comme $(M - I_{3}) (M - 2 I_{3}) = 0$ : $M^{n} = (2^{n} - 1) M + (2 - 2^{n}) I_{3} = (\begin{array}{ccc} 2^{n + 1} - 1 & 2^{n} - 1 & 2^{n} - 1 \\ 1 - 2^{n} & 1 & 1 - 2^{n} \\ 1 - 2^{n} & 1 - 2^{n} & 1 \end{array}) .$ Pour $n = - 1$ , la formule donne $- \frac{1}{2} M + \frac{3}{2} I_{3} = \frac{1}{2} (3 I_{3} - M) = M^{- 1}$ : elle reste vraie. (Plus généralement elle vaut pour tout $n \in ℤ$ , car $M = P diag (1, 2, 2) P^{- 1}$ et $1^{n} = a_{n} + b_{n}$ , $2^{n} = 2 a_{n} + b_{n}$ restent vrais.)

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Application du cours4 points

4. Un endomorphisme de $ℝ_{n} [X]$

Soit $n \geq 2$ et $f : ℝ_{n} [X] \to ℝ_{n} [X]$ , $P \mapsto P + (1 - X) P^{'}$ .

Vérifier que $f$ est linéaire et envoie $ℝ_{n} [X]$ dans lui-même.
Calculer $f (X^{k})$ pour chaque $k \in [⁣ [0, n] ⁣]$ ; montrer que $f$ a une matrice triangulaire dans la base $(1, X, \dots, X^{n})$ , puis en déduire $Sp (f)$ .
Justifier que $f$ est diagonalisable et préciser la dimension de ses sous-espaces propres.
Calculer $f ((X - 1)^{k})$ et en déduire une base de vecteurs propres de $f$ .
Déterminer $Ker f$ et $Im f$ .
Déterminer tous les polynômes $P \in ℝ_{n} [X]$ tels que $f (P) = X^{2} - 2 X$ . Le polynôme $X^{2}$ est-il dans $Im f$ ?

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1. La linéarité vient de celle de la dérivation. Si $\deg P \leq n$ , alors $\deg ((1 - X) P^{'}) \leq 1 + (n - 1) = n$ ; donc $f (P) \in ℝ_{n} [X]$ .

2. $f (X^{k}) = X^{k} + (1 - X) k X^{k - 1} = (1 - k) X^{k} + k X^{k - 1}$ (et $f (1) = 1$ ). La colonne $k$ de la matrice n'a de coefficients non nuls qu'en positions $k - 1$ et $k$ : la matrice est triangulaire supérieure, de diagonale $1, 0, - 1, \dots, 1 - n$ . Donc $Sp (f) = {1 - k, 0 \leq k \leq n} = {1, 0, - 1, \dots, 1 - n} .$

3. Ce sont $n + 1$ valeurs propres distinctes en dimension $n + 1$ : $f$ est diagonalisable et chaque sous-espace propre est une droite.

4. $f ((X - 1)^{k}) = (X - 1)^{k} + (1 - X) k (X - 1)^{k - 1} = (X - 1)^{k} - k (X - 1)^{k} = (1 - k) (X - 1)^{k}$ . Les polynômes $(X - 1)^{k}$ , $0 \leq k \leq n$ , sont non nuls et échelonnés en degré : $((X - 1)^{k})_{0 \leq k \leq n}$ est une base de $ℝ_{n} [X]$ formée de vecteurs propres, et $E_{1 - k} (f) = Vect ((X - 1)^{k})$ .

5. $Ker f = E_{0} (f) = Vect (X - 1)$ . Dans la base propre, $f$ multiplie la coordonnée sur $(X - 1)^{k}$ par $1 - k$ ; seule la coordonnée sur $X - 1$ est annulée : $Im f = Vect ((X - 1)^{k}, k \neq 1)$ , de dimension $n$ (cohérent avec le théorème du rang).

6. $X^{2} - 2 X = (X - 1)^{2} - 1$ . Puisque $f ((X - 1)^{2}) = - (X - 1)^{2}$ et $f (1) = 1$ , le polynôme $P_{0} = - (X - 1)^{2} - 1$ vérifie $f (P_{0}) = (X - 1)^{2} - 1$ . Les solutions sont $P_{0} + Ker f$ : $P = - (X - 1)^{2} - 1 + c (X - 1), c \in ℝ .$ En revanche $X^{2} = (X - 1)^{2} + 2 (X - 1) + 1$ a une coordonnée non nulle sur $X - 1$ : $X^{2} \notin Im f$ .

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Niveau devoir6 points

5. Trigonalisation et puissances

Soit $A = (\begin{array}{ccc} 3 & - 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array})$ et $f$ l'endomorphisme de $ℝ^{3}$ canoniquement associé.

Montrer que $χ_{A} = (X - 1) (X - 2)^{2}$ .
Déterminer $E_{1} (A)$ et $E_{2} (A)$ . La matrice $A$ est-elle diagonalisable ?
On pose $v_{1} =^{t} (0, 1, 1)$ et $v_{2} =^{t} (1, 1, 0)$ . Déterminer $v_{3} =^{t} (0, 0, c)$ tel que $(A - 2 I_{3}) v_{3} = v_{2}$ . Montrer que $(v_{1}, v_{2}, v_{3})$ est une base de $ℝ^{3}$ et écrire la matrice $T$ de $f$ dans cette base.
Déterminer $π_{A}$ .
Calculer $T^{n}$ pour $n \in ℕ$ .
Retrouver $A^{n}$ grâce à la division euclidienne de $X^{n}$ par $π_{A}$ .

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1. $χ_{A} = ∣ \begin{array}{ccc} X - 3 & 1 & - 1 \\ - 2 & X & - 1 \\ - 1 & 1 & X - 2 \end{array} ∣$ . Avec $C_{1} \leftarrow C_{1} + C_{2}$ , la première colonne devient $^{t} (X - 2, X - 2, 0)$ : $χ_{A} = (X - 2) ∣ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & - 1 \\ 1 & X & - 1 \\ 0 & 1 & X - 2 \end{array} ∣ \underset{L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}}{=} (X - 2) ∣ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & X - 1 & 0 \\ 0 & 1 & X - 2 \end{array} ∣ = (X - 2) \cdot (X - 1) (X - 2),$ en développant selon la première colonne puis la deuxième ligne. Donc $χ_{A} = (X - 1) (X - 2)^{2}$ .

2. $λ = 1$ : $2 x - y + z = 0$ , $2 x - y + z = 0$ , $x - y + z = 0$ ; on obtient $x = 0$ , $z = y$ : $E_{1} (A) = Vect (v_{1})$ . $λ = 2$ : $A - 2 I_{3} = (\begin{array}{ccc} 1 & - 1 & 1 \\ 2 & - 2 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 \end{array})$ ; la troisième ligne donne $x = y$ , puis la première $z = 0$ : $E_{2} (A) = Vect (v_{2})$ . $2$ est valeur propre double mais $\dim E_{2} (A) = 1 < 2$ : $A$ n'est pas diagonalisable (fiche §6, critère 4).

3. $(A - 2 I_{3})^{t} (0, 0, c) = c^{t} (1, 1, 0)$ (troisième colonne de $A - 2 I_{3}$ ) : on prend $c = 1$ , $v_{3} =^{t} (0, 0, 1)$ . La matrice $(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array})$ des trois vecteurs a pour déterminant $- 1 \neq 0$ (développer selon la dernière colonne) : c'est une base. On a $f (v_{1}) = v_{1}$ , $f (v_{2}) = 2 v_{2}$ et $f (v_{3}) = 2 v_{3} + v_{2}$ . Donc $T = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}), A = P T P^{- 1} avec P = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}) .$

4. $π_{A}$ divise $χ_{A}$ et a pour racines $1$ et $2$ : c'est $(X - 1) (X - 2)$ ou $(X - 1) (X - 2)^{2}$ . Le premier n'annule pas $A$ , sinon $A$ serait diagonalisable (critère 6). Donc $π_{A} = (X - 1) (X - 2)^{2} = χ_{A}$ .

5. $T$ est diagonale par blocs : $(1)$ et $B = 2 I_{2} + N$ avec $N = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array})$ , $N^{2} = 0$ . Comme $2 I_{2}$ et $N$ commutent, le binôme donne $B^{n} = 2^{n} I_{2} + n 2^{n - 1} N$ (valable aussi pour $n = 0$ ). D'où $T^{n} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^{n} & n 2^{n - 1} \\ 0 & 0 & 2^{n} \end{array})$ .

6. $X^{n} = Q_{n} π_{A} + R_{n}$ avec $R_{n} = α X^{2} + β X + γ$ . On a $R_{n} (1) = 1$ , $R_{n} (2) = 2^{n}$ et, $2$ étant racine double de $π_{A}$ , en dérivant l'égalité puis en évaluant en $2$ : $R_{n}^{'} (2) = n 2^{n - 1}$ . Ce système donne $α = n 2^{n - 1} - 2^{n} + 1, β = 2^{n + 2} - 3 n 2^{n - 1} - 4, γ = n 2^{n} - 3 \cdot 2^{n} + 4.$ Avec $A^{2} = (\begin{array}{ccc} 8 & - 4 & 4 \\ 7 & - 3 & 4 \\ 3 & - 3 & 4 \end{array})$ et $A^{n} = α A^{2} + β A + γ I_{3}$ : $A^{n} = (\begin{array}{ccc} (n + 2) 2^{n - 1} & - n 2^{n - 1} & n 2^{n - 1} \\ 2^{n} + n 2^{n - 1} - 1 & 1 - n 2^{n - 1} & n 2^{n - 1} \\ 2^{n} - 1 & 1 - 2^{n} & 2^{n} \end{array}) .$ Contrôles : $n = 0$ donne $I_{3}$ , $n = 1$ donne $A$ ; c'est aussi $P T^{n} P^{- 1}$ .

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Niveau devoir6 points

6. Lemme des noyaux pour $X (X - 1)^{2}$

On fixe un espace $E$ de dimension finie $n \geq 1$ sur $𝕂$ , et $u \in ℒ (E)$ tel que $u \circ (u - {i d}_{E})^{2} = 0$ . On note $F = Ker u$ et $G = Ker (u - {i d}_{E})^{2}$ .

Montrer que $E = F \oplus G$ et que $F$ et $G$ sont stables par $u$ .
Vérifier l'égalité $(X - 1)^{2} - X (X - 2) = 1$ . En déduire que $p = (u - {i d}_{E})^{2}$ est le projecteur sur $F$ parallèlement à $G$ , et exprimer le projecteur $q$ sur $G$ parallèlement à $F$ comme polynôme en $u$ .
Montrer que $Sp (u) \subset {0, 1}$ et que si $u$ n'est pas diagonalisable, alors $1 \in Sp (u)$ .
Établir l'équivalence : $u$ diagonalisable $⟺ u^{2} = u$ .
Montrer que $rg u = \dim G$ et que $tr u = rg u$ .
Application. $B = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ - 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array})$ . Vérifier que $B (B - I_{3})^{2} = 0$ et que $B$ n'est pas diagonalisable. Déterminer $Ker B$ , $Ker (B - I_{3})^{2}$ , la matrice du projecteur $p$ , et une base de $ℝ^{3}$ dans laquelle la matrice de $B$ est $(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$ .

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1. Les polynômes $X$ et $(X - 1)^{2}$ sont premiers entre eux (pas de racine commune dans $ℂ$ ) et leur produit annule $u$ . Le lemme des noyaux (fiche §5) donne $E = Ker u \oplus Ker (u - {i d}_{E})^{2} = F \oplus G$ . Ce sont des noyaux de polynômes en $u$ , qui commutent avec $u$ : ils sont stables par $u$ .

2. $(X - 1)^{2} - X (X - 2) = X^{2} - 2 X + 1 - X^{2} + 2 X = 1$ . En évaluant en $u$ : ${i d}_{E} = (u - {i d}_{E})^{2} - u \circ (u - 2 {i d}_{E})$ . Posons $p = (u - {i d}_{E})^{2}$ et $q = - u \circ (u - 2 {i d}_{E}) = 2 u - u^{2}$ , de sorte que $p + q = {i d}_{E}$ .

Si $x \in G$ , $p (x) = 0$ par définition de $G$ .
Si $x \in F$ , $q (x) = - (u - 2 {i d}_{E}) (u (x)) = 0$ , donc $p (x) = x$ .

Pour $x = x_{F} + x_{G}$ (décomposition de la question 1), $p (x) = x_{F}$ : $p$ est le projecteur sur $F$ parallèlement à $G$ , et $q = 2 u - u^{2}$ est le projecteur associé sur $G$ parallèlement à $F$ .

3. $X (X - 1)^{2}$ annule $u$ , donc toute valeur propre en est racine : $Sp (u) \subset {0, 1}$ . Si $1 \notin Sp (u)$ , alors $u - {i d}_{E}$ est inversible, et $u \circ (u - {i d}_{E})^{2} = 0$ donne $u = 0$ , qui est diagonalisable. Par contraposée, si $u$ n'est pas diagonalisable, $1 \in Sp (u)$ .

4. Si $u^{2} = u$ , le polynôme $X (X - 1)$ , scindé à racines simples, annule $u$ : $u$ est diagonalisable. Réciproquement, si $u$ est diagonalisable, $π_{u}$ est scindé à racines simples ; il divise $X (X - 1)^{2}$ , donc il divise $X (X - 1)$ , et $u^{2} - u = 0$ .

5. Sur $F$ , $u$ est nul. Sur $G$ , l'endomorphisme induit $u_{G}$ vérifie $(u_{G} - {i d}_{G})^{2} = 0$ : sa seule valeur propre possible est $1$ , donc $0 \notin Sp (u_{G})$ et $u_{G}$ est un automorphisme de $G$ . Ainsi $Im u = u (F) + u (G) = {0} + G = G$ et $rg u = \dim G$ . Dans une base adaptée à $F \oplus G$ , la matrice de $u$ est $(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & C \end{array})$ avec $C = I + N$ , $N^{2} = 0$ ; une matrice nilpotente est de trace nulle (elle est trigonalisable de diagonale nulle), donc $tr u = tr C = \dim G = rg u$ .

6. On calcule $B - I_{3} = (\begin{array}{ccc} - 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array})$ , $(B - I_{3})^{2} = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & 1 \end{array})$ et $B (B - I_{3})^{2} = 0$ . En revanche $B^{2} - B = B (B - I_{3}) = (\begin{array}{ccc} - 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 1 \end{array}) \neq 0$ : d'après la question 4, $B$ n'est pas diagonalisable.

$Ker B$ : $y + z = 0$ et $- x + y + z = 0$ , soit $x = 0$ , $z = - y$ : $Ker B = Vect^{t} (0, - 1, 1)$ .
$Ker (B - I_{3})^{2}$ : $x - z = 0$ : plan de base $^{t} (1, 0, 1)$ , $^{t} (0, 1, 0)$ .
$p = (B - I_{3})^{2} = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & 1 \end{array})$ ; on vérifie $p^{2} = p$ , $p^{t} (0, - 1, 1) =^{t} (0, - 1, 1)$ , et $p$ nul sur le plan $x = z$ .
Base : $w_{1} =^{t} (0, - 1, 1) \in Ker B$ ; $w_{2} =^{t} (1, 0, 1)$ vérifie $B w_{2} = w_{2}$ ; on cherche $w_{3}$ avec $(B - I_{3}) w_{3} = w_{2}$ : $- x + y + z = 1$ , $- x + z = 0$ , $y = 1$ , d'où $w_{3} =^{t} (0, 1, 0)$ convient. Dans $(w_{1}, w_{2}, w_{3})$ (déterminant $1 \neq 0$ ), $B w_{1} = 0$ , $B w_{2} = w_{2}$ , $B w_{3} = w_{3} + w_{2}$ : la matrice est celle demandée.

Contrôle de la question 5 : $rg B = 2 = \dim Ker (B - I_{3})^{2}$ et $tr B = 0 + 1 + 1 = 2$ .

Après avoir comparé avec le corrigé :

Niveau devoir5 points

7. Trois suites couplées

On définit trois suites réelles par $u_{0}, v_{0}, w_{0}$ donnés et, pour tout $k \in ℕ$ , $u_{k + 1} = \frac{v_{k} + 3 w_{k}}{4}, v_{k + 1} = \frac{u_{k} + v_{k}}{2}, w_{k + 1} = \frac{u_{k} + w_{k}}{2} .$

Écrire la relation sous la forme $X_{k + 1} = A X_{k}$ avec $X_{k} =^{t} (u_{k}, v_{k}, w_{k})$ et $A \in ℳ_{3} (ℚ)$ .
On pose $B = 4 A$ . Calculer $χ_{B}$ , en déduire les valeurs propres de $A$ .
Trouver trois vecteurs propres de $A$ formant une base, puis une matrice $P$ telle que $P^{- 1} A P$ soit diagonale.
Montrer que $s_{k} = 2 u_{k} + v_{k} + 3 w_{k}$ ne dépend pas de $k$ .
Montrer que les trois suites convergent vers la même limite $ℓ = \frac{2 u_{0} + v_{0} + 3 w_{0}}{6}$ .
Expliciter $u_{k}$ , $v_{k}$ , $w_{k}$ lorsque $(u_{0}, v_{0}, w_{0}) = (6, 0, 0)$ .

Voir le corrigé

1. $A = \frac{1}{4} (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{array})$ , et $X_{k} = A^{k} X_{0}$ par récurrence.

2. $χ_{B} = ∣ \begin{array}{ccc} X & - 1 & - 3 \\ - 2 & X - 2 & 0 \\ - 2 & 0 & X - 2 \end{array} ∣$ . Chaque ligne de $B$ a pour somme $4$ : avec $C_{1} \leftarrow C_{1} + C_{2} + C_{3}$ , la première colonne devient $(X - 4)^{t} (1, 1, 1)$ , et $χ_{B} = (X - 4) ∣ \begin{array}{ccc} 1 & - 1 & - 3 \\ 1 & X - 2 & 0 \\ 1 & 0 & X - 2 \end{array} ∣ \underset{\begin{array}{c} L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1} \\ L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1} \end{array}}{=} (X - 4) ∣ \begin{array}{cc} X - 1 & 3 \\ 1 & X + 1 \end{array} ∣ = (X - 4) (X^{2} - 4) .$ Donc $χ_{B} = (X - 4) (X - 2) (X + 2)$ , $Sp (B) = {4, 2, - 2}$ et, puisque $A = \frac{1}{4} B$ , $Sp (A) = {1, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}}$ .

3. Trois valeurs propres distinctes : $A$ est diagonalisable. Vecteurs propres (on résout $(B - μ I_{3}) X = 0$ ) :

$μ = 4$ : $X =^{t} (1, 1, 1)$ (somme des lignes) ;
$μ = 2$ : $- 2 x + y + 3 z = 0$ , $2 x = 0$ : $X =^{t} (0, - 3, 1)$ ;
$μ = - 2$ : $2 x + y + 3 z = 0$ , $2 x + 4 y = 0$ , $2 x + 4 z = 0$ : $X =^{t} (- 2, 1, 1)$ .

Avec $P = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & - 2 \\ 1 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array})$ : $P^{- 1} A P = diag (1, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ .

4. $s_{k + 1} = \frac{v_{k} + 3 w_{k}}{2} + \frac{u_{k} + v_{k}}{2} + \frac{3 (u_{k} + w_{k})}{2} = \frac{4 u_{k} + 2 v_{k} + 6 w_{k}}{2} = s_{k}$ . Donc $s_{k} = s_{0}$ pour tout $k$ . (Le vecteur ligne $(2, 1, 3)$ est un vecteur propre de $^{t} A$ pour la valeur propre $1$ .)

5. Écrivons $X_{0} = α^{t} (1, 1, 1) + β^{t} (0, - 3, 1) + γ^{t} (- 2, 1, 1)$ (base propre). Alors $X_{k} = α^{t} (1, 1, 1) + β {(\frac{1}{2})}^{k}^{t} (0, - 3, 1) + γ {(- \frac{1}{2})}^{k}^{t} (- 2, 1, 1)$ . Comme $∣ \pm \frac{1}{2} ∣ < 1$ , chaque coordonnée tend vers $α$ : les trois suites convergent vers $α$ . Par la question 4, $s_{k} = s_{0}$ pour tout $k$ ; en passant à la limite (somme de suites convergentes), $2 α + α + 3 α = s_{0}$ . Donc $ℓ = α = \frac{2 u_{0} + v_{0} + 3 w_{0}}{6}$ .

6. $X_{0} =^{t} (6, 0, 0)$ : $α = 2$ ; il reste $^{t} (4, - 2, - 2) = β^{t} (0, - 3, 1) + γ^{t} (- 2, 1, 1)$ , d'où $γ = - 2$ et $β = 0$ . Ainsi $u_{k} = 2 + 4 {(- \frac{1}{2})}^{k}, v_{k} = w_{k} = 2 - 2 {(- \frac{1}{2})}^{k} .$ Contrôle : $u_{1} = \frac{0 + 0}{4} = 0 = 2 - 2$ , $v_{1} = \frac{6 + 0}{2} = 3 = 2 + 1$ .

Après avoir comparé avec le corrigé :

Niveau devoir7 points

8. Un endomorphisme de $ℳ_{n} (ℝ)$

Soit $n \geq 2$ . On note $𝒮_{n}$ et $𝒜_{n}$ les sous-espaces des matrices symétriques et antisymétriques de $ℳ_{n} (ℝ)$ , $𝒮_{n}^{0} = {S \in 𝒮_{n}, tr S = 0}$ , et l'on considère $Ψ : ℳ_{n} (ℝ) \to ℳ_{n} (ℝ), M \mapsto^{t} M + tr (M) I_{n} .$

Q.1 ▶ Montrer que $Ψ$ est un endomorphisme de $ℳ_{n} (ℝ)$ .

Q.2 ▶ Calculer $Ψ (I_{n})$ , puis $Ψ (S)$ pour $S \in 𝒮_{n}^{0}$ et $Ψ (A)$ pour $A \in 𝒜_{n}$ .

Q.3 ▶ Montrer que $ℳ_{n} (ℝ) = Vect (I_{n}) \oplus 𝒮_{n}^{0} \oplus 𝒜_{n}$ .

Q.4 ▶ En déduire que $Ψ$ est diagonalisable ; donner $Sp (Ψ)$ et la dimension de chaque sous-espace propre.

Q.5 ▶ Donner $χ_{Ψ}$ , $\det Ψ$ et $tr Ψ$ . Retrouver $tr Ψ$ en calculant les $Ψ (E_{i j})$ dans la base canonique.

Q.6 ▶ Déterminer $π_{Ψ}$ . En déduire que $Ψ$ est inversible et écrire $Ψ^{- 1}$ comme polynôme en $Ψ$ .

Q.7 ▶ Soit $B \in ℳ_{n} (ℝ)$ . Résoudre l'équation $^{t} M + tr (M) I_{n} = B$ d'inconnue $M$ .

Q.8 ▶ Pour $a \in ℝ$ , on pose $Ψ_{a} (M) =^{t} M + a tr (M) I_{n}$ . Déterminer les valeurs de $a$ pour lesquelles $Ψ_{a}$ n'est pas inversible ; préciser alors $Ker Ψ_{a}$ et $Im Ψ_{a}$ .

Q.9 ▶ Déterminer les réels $a$ tels que $Ψ_{a} \circ Ψ_{a} = i d$ .

Voir le corrigé

Q.1 La transposition et la trace sont linéaires ; $Ψ (λ M + N) = λ Ψ (M) + Ψ (N)$ , et $Ψ (M) \in ℳ_{n} (ℝ)$ .

Q.2 $Ψ (I_{n}) = I_{n} + n I_{n} = (n + 1) I_{n}$ . Pour $S \in 𝒮_{n}^{0}$ : $Ψ (S) = S + 0 = S$ . Pour $A \in 𝒜_{n}$ : les coefficients diagonaux sont nuls, donc $tr A = 0$ et $Ψ (A) = - A$ .

Q.3 On sait que $ℳ_{n} (ℝ) = 𝒮_{n} \oplus 𝒜_{n}$ . Dans $𝒮_{n}$ , tout $S$ s'écrit $S = \frac{tr S}{n} I_{n} + (S - \frac{tr S}{n} I_{n})$ , le second terme étant symétrique de trace nulle ; et $Vect (I_{n}) \cap 𝒮_{n}^{0} = {0}$ (si $λ I_{n}$ est de trace nulle, $n λ = 0$ ). Donc $𝒮_{n} = Vect (I_{n}) \oplus 𝒮_{n}^{0}$ , puis $ℳ_{n} (ℝ) = Vect (I_{n}) \oplus 𝒮_{n}^{0} \oplus 𝒜_{n}$ . Dimensions : $1$ , $\frac{n (n + 1)}{2} - 1$ et $\frac{n (n - 1)}{2}$ , de somme $n^{2}$ .

Q.4 Les trois sous-espaces sont contenus respectivement dans $E_{n + 1} (Ψ)$ , $E_{1} (Ψ)$ , $E_{- 1} (Ψ)$ , et leur somme est $ℳ_{n} (ℝ)$ : il existe une base formée de vecteurs propres, donc $Ψ$ est diagonalisable. Les valeurs $n + 1$ , $1$ , $- 1$ sont distinctes ( $n \geq 2$ ) et chacun des trois sous-espaces est non nul ( $𝒮_{n}^{0}$ contient $E_{11} - E_{22}$ , $𝒜_{n}$ contient $E_{12} - E_{21}$ ). Puisque ces trois sous-espaces propres remplissent déjà tout l'espace, aucune autre valeur propre n'est possible et les inclusions sont des égalités : $Sp (Ψ) = {n + 1, 1, - 1}, \dim E_{n + 1} = 1, \dim E_{1} = \frac{n (n + 1)}{2} - 1, \dim E_{- 1} = \frac{n (n - 1)}{2} .$

Q.5 $χ_{Ψ} = (X - n - 1) (X - 1)^{\frac{n (n + 1)}{2} - 1} (X + 1)^{\frac{n (n - 1)}{2}}$ ; $\det Ψ = (n + 1) (- 1)^{\frac{n (n - 1)}{2}}$ ; $tr Ψ = (n + 1) + \frac{n (n + 1)}{2} - 1 - \frac{n (n - 1)}{2} = 2 n$ . Directement : $Ψ (E_{i j}) = E_{j i} + δ_{i j} I_{n}$ . La coordonnée de $Ψ (E_{i j})$ sur $E_{i j}$ vaut $0$ si $i \neq j$ et $1 + 1 = 2$ si $i = j$ . La somme des coefficients diagonaux de la matrice de $Ψ$ vaut donc $2 n$ .

Q.6 $Ψ$ est diagonalisable de spectre ${n + 1, 1, - 1}$ : $π_{Ψ} = (X - n - 1) (X - 1) (X + 1) = X^{3} - (n + 1) X^{2} - X + (n + 1)$ . Ainsi $Ψ^{3} - (n + 1) Ψ^{2} - Ψ = - (n + 1) i d$ , soit $Ψ \circ (Ψ^{2} - (n + 1) Ψ - i d) = - (n + 1) i d$ , et comme $n + 1 \neq 0$ : $Ψ^{- 1} = \frac{1}{n + 1} (- Ψ^{2} + (n + 1) Ψ + i d) .$

Q.7 L'équation s'écrit $Ψ (M) = B$ , de solution unique $M = Ψ^{- 1} (B)$ . Notons $t = tr B$ . On a $Ψ (B) =^{t} B + t I_{n}$ , et $Ψ^{2} (B) = Ψ (^{t} B + t I_{n}) = B + t I_{n} + tr (^{t} B + t I_{n}) I_{n} = B + (n + 2) t I_{n}$ . Donc $M = \frac{1}{n + 1} (- B - (n + 2) t I_{n} + (n + 1) (^{t} B + t I_{n}) + B) =^{t} B - \frac{tr B}{n + 1} I_{n} .$ Vérification : $tr M = t - \frac{n t}{n + 1} = \frac{t}{n + 1}$ et $^{t} M + tr (M) I_{n} = B - \frac{t}{n + 1} I_{n} + \frac{t}{n + 1} I_{n} = B$ .

Q.8 Le raisonnement des questions Q.2 à Q.4 s'applique : $Ψ_{a} (I_{n}) = (1 + n a) I_{n}$ , $Ψ_{a} = i d$ sur $𝒮_{n}^{0}$ , $Ψ_{a} = - i d$ sur $𝒜_{n}$ . $Ψ_{a}$ est diagonalisable de valeurs propres $1 + n a$ , $1$ , $- 1$ ; elle est non inversible si et seulement si $0$ est valeur propre, soit $a = - \frac{1}{n}$ . Alors $Ker Ψ_{a} = E_{0} = Vect (I_{n})$ et $Im Ψ_{a} = 𝒮_{n}^{0} \oplus 𝒜_{n} = {M, tr M = 0}$ (image d'une base propre ; c'est bien un hyperplan, en accord avec le théorème du rang).

Q.9 $Ψ_{a}$ est diagonalisable : $Ψ_{a}^{2} = i d$ si et seulement si toutes ses valeurs propres vérifient $λ^{2} = 1$ , c'est-à-dire $(1 + n a)^{2} = 1$ : $a = 0 ou a = - \frac{2}{n}$ . Pour $a = 0$ , $Ψ_{0}$ est la transposition ; pour $a = - \frac{2}{n}$ , c'est une autre symétrie, qui envoie $I_{n}$ sur $- I_{n}$ .

Après avoir comparé avec le corrigé :

Synthèse, niveau concours8 points

9. Suites récurrentes linéaires et opérateur de décalage

Soient $a, b, c \in ℂ$ avec $c \neq 0$ , $P = X^{3} - a X^{2} - b X - c$ , et $𝒮 = {u = (u_{k})_{k \in ℕ} \in ℂ^{ℕ}, \forall k \in ℕ, u_{k + 3} = a u_{k + 2} + b u_{k + 1} + c u_{k}} .$ Pour $u \in 𝒮$ , on note $T (u)$ la suite $(u_{k + 1})_{k \in ℕ}$ (décalage d'un rang).

Partie A — Structure de $𝒮$

Q.1 ▶ Montrer que $𝒮$ est un sous-espace vectoriel de $ℂ^{ℕ}$ et que $φ : 𝒮 \to ℂ^{3}$ , $u \mapsto (u_{0}, u_{1}, u_{2})$ est un isomorphisme. En déduire $\dim 𝒮$ .

Q.2 ▶ Montrer que $T$ est un endomorphisme de $𝒮$ et que $P (T) = 0$ .

Q.3 ▶ On note $e^{(0)}, e^{(1)}, e^{(2)}$ les éléments de $𝒮$ de conditions initiales respectives $(1, 0, 0)$ , $(0, 1, 0)$ , $(0, 0, 1)$ . Écrire la matrice $C$ de $T$ dans la base $ℰ = (e^{(0)}, e^{(1)}, e^{(2)})$ et calculer $χ_{T}$ .

Q.4 ▶ Montrer que la famille $(e^{(2)}, T (e^{(2)}), T^{2} (e^{(2)}))$ est libre. En déduire que $π_{T} = χ_{T} = P$ .

Partie B — Cas d'une racine double

On suppose désormais $P = (X - λ)^{2} (X - μ)$ avec $λ \neq μ$ (et donc $λ μ \neq 0$ ).

Q.5 ▶ Montrer que $𝒮 = Ker (T - λ i d)^{2} \oplus Ker (T - μ i d)$ .

Q.6 ▶ On pose $α = (λ^{k})_{k}$ , $β = (k λ^{k})_{k}$ et $γ = (μ^{k})_{k}$ . Vérifier que ce sont des éléments de $𝒮$ , calculer $T (α)$ , $T (β)$ , $T (γ)$ , et en déduire $Ker (T - λ i d)^{2} = Vect (α, β)$ et $Ker (T - μ i d) = Vect (γ)$ .

Q.7 ▶ En déduire que les éléments de $𝒮$ sont exactement les suites $u_{k} = (x + y k) λ^{k} + z μ^{k}$ , $(x, y, z) \in ℂ^{3}$ .

Q.8 ▶ Écrire la matrice de $T$ dans la base $(α, β, γ)$ . $T$ est-il diagonalisable ? Donner sa décomposition de Dunford $T = d + ν$ en décrivant $d$ et $ν$ sur cette base.

Partie C — Exemple

Q.9 ▶ Déterminer la suite $(u_{k})$ définie par $u_{0} = u_{1} = 0$ , $u_{2} = 9$ et $u_{k + 3} = 3 u_{k + 1} - 2 u_{k}$ .

Voir le corrigé

Q.1 La suite nulle est dans $𝒮$ , et la relation est linéaire en $u$ : $𝒮$ est stable par combinaison linéaire. $φ$ est linéaire. Elle est injective : si $u_{0} = u_{1} = u_{2} = 0$ , une récurrence immédiate donne $u_{k} = 0$ pour tout $k$ . Elle est surjective : des valeurs $(u_{0}, u_{1}, u_{2})$ quelconques définissent, par la relation, une suite de $𝒮$ . Donc $φ$ est un isomorphisme et $\dim 𝒮 = 3$ .

Q.2 Si $u \in 𝒮$ et $v = T (u)$ , alors $v_{k + 3} = u_{k + 4} = a u_{k + 3} + b u_{k + 2} + c u_{k + 1} = a v_{k + 2} + b v_{k + 1} + c v_{k}$ : $v \in 𝒮$ . $T$ est linéaire. Enfin $(P (T) u)_{k} = u_{k + 3} - a u_{k + 2} - b u_{k + 1} - c u_{k} = 0$ pour tout $k$ : $P (T) = 0$ .

Q.3 Les conditions initiales de $T (u)$ sont $(u_{1}, u_{2}, u_{3})$ avec $u_{3} = a u_{2} + b u_{1} + c u_{0}$ . Donc $T (e^{(0)})$ a pour conditions initiales $(0, 0, c)$ , soit $T (e^{(0)}) = c e^{(2)}$ ; $T (e^{(1)}) \leftrightarrow (1, 0, b)$ , soit $e^{(0)} + b e^{(2)}$ ; $T (e^{(2)}) \leftrightarrow (0, 1, a)$ , soit $e^{(1)} + a e^{(2)}$ : $C = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ c & b & a \end{array}), χ_{T} = ∣ \begin{array}{ccc} X & - 1 & 0 \\ 0 & X & - 1 \\ - c & - b & X - a \end{array} ∣ .$ En développant selon la première colonne : $χ_{T} = X (X (X - a) - b) - c ((- 1) (- 1) - 0) = X^{3} - a X^{2} - b X - c = P$ .

Q.4 $T (e^{(2)}) = e^{(1)} + a e^{(2)}$ et $T^{2} (e^{(2)}) = T (e^{(1)}) + a T (e^{(2)}) = e^{(0)} + a e^{(1)} + (a^{2} + b) e^{(2)}$ . La matrice de ces trois vecteurs dans $ℰ$ est $(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & a \\ 1 & a & a^{2} + b \end{array})$ , de déterminant $- 1$ (développer selon la première ligne) : la famille est libre. Si un polynôme $Q = q_{0} + q_{1} X + q_{2} X^{2}$ non nul annulait $T$ , on aurait $q_{0} e^{(2)} + q_{1} T (e^{(2)}) + q_{2} T^{2} (e^{(2)}) = 0$ , contradiction. Donc $\deg π_{T} \geq 3$ ; comme $π_{T}$ divise $P$ (Q.2), unitaire de degré $3$ : $π_{T} = P = χ_{T}$ .

Q.5 $(X - λ)^{2}$ et $X - μ$ sont premiers entre eux ( $λ \neq μ$ ) et leur produit $P$ annule $T$ : c'est le lemme des noyaux.

Q.6 Appartenance à $𝒮$ : $α_{k + 3} - a α_{k + 2} - b α_{k + 1} - c α_{k} = λ^{k} P (λ) = 0$ , de même pour $γ$ avec $P (μ) = 0$ ; pour $β$ , $β_{k + 3} - a β_{k + 2} - b β_{k + 1} - c β_{k} = λ^{k} (k P (λ) + λ P^{'} (λ)) = 0$ car $λ$ est racine double de $P$ . Calcul de $T$ : $T (α) = (λ^{k + 1})_{k} = λ α$ , $T (γ) = μ γ$ , et $T (β) = ((k + 1) λ^{k + 1})_{k} = λ β + λ α$ . Donc $(T - λ i d) α = 0$ et $(T - λ i d) β = λ α$ , puis $(T - λ i d)^{2} β = 0$ : $Vect (α, β) \subset Ker (T - λ i d)^{2}$ . De même $Vect (γ) \subset Ker (T - μ i d)$ . La famille $(α, β)$ est libre (si $x λ^{k} + y k λ^{k} = 0$ pour $k = 0, 1$ , alors $x = 0$ puis $y λ = 0$ , $y = 0$ ). Ainsi $\dim Ker (T - λ i d)^{2} \geq 2$ , $\dim Ker (T - μ i d) \geq 1$ , et la somme des dimensions vaut $3$ (Q.5) : les inclusions sont des égalités.

Q.7 Par Q.5 et Q.6, $(α, β, γ)$ est une base de $𝒮$ : $u \in 𝒮 ⟺ u = x α + y β + z γ$ , c'est-à-dire $u_{k} = (x + y k) λ^{k} + z μ^{k}$ .

Q.8 D'après Q.6, la matrice de $T$ dans $(α, β, γ)$ est $(\begin{array}{ccc} λ & λ & 0 \\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & μ \end{array})$ . $π_{T} = (X - λ)^{2} (X - μ)$ a une racine double : $T$ n'est pas diagonalisable. Décomposition de Dunford : $d$ défini par $d (α) = λ α$ , $d (β) = λ β$ , $d (γ) = μ γ$ (diagonalisable), et $ν = T - d$ défini par $ν (α) = 0$ , $ν (β) = λ α$ , $ν (γ) = 0$ ; $ν^{2} = 0$ . Les matrices de $d$ et $ν$ , $diag (λ, λ, μ)$ et $λ E_{12}$ , commutent (le bloc $λ I_{2}$ commute avec tout bloc $2 \times 2$ ). Par unicité, c'est la décomposition de Dunford de $T$ .

Q.9 $P = X^{3} - 3 X + 2 = (X - 1)^{2} (X + 2)$ ( $1$ est racine, $P^{'} (1) = 0$ , et $P (- 2) = - 8 + 6 + 2 = 0$ ). Donc $u_{k} = x + y k + z (- 2)^{k}$ . Les conditions initiales donnent $x + z = 0$ , $x + y - 2 z = 0$ , $x + 2 y + 4 z = 9$ ; d'où $y = 3 z$ , puis $9 z = 9$ : $z = 1$ , $x = - 1$ , $y = 3$ : $u_{k} = 3 k - 1 + (- 2)^{k} .$ Contrôle : $u_{3} = 3 u_{1} - 2 u_{0} = 0$ et la formule donne $9 - 1 - 8 = 0$ .

Après avoir comparé avec le corrigé :

Synthèse, niveau concours10 points

10. Décomposition de Dunford et système différentiel

Dans les parties I et II, $E$ désigne un espace de dimension finie $n \geq 2$ sur $𝕂$ , et $u \in ℒ (E)$ vérifie $χ_{u} = (X - λ)^{r} (X - μ)^{s}$ , avec $λ \neq μ$ et $r, s \geq 1$ . On pose $F = Ker (u - λ {i d}_{E})^{r}$ et $G = Ker (u - μ {i d}_{E})^{s}$ .

Partie I — Existence

Q.1 ▶ Montrer que $E = F \oplus G$ et que $F$ , $G$ sont stables par $u$ .

Q.2 ▶ Justifier l'existence de $U, V \in 𝕂 [X]$ tels que $U (X - λ)^{r} + V (X - μ)^{s} = 1$ . On pose $p = V (u) \circ (u - μ {i d}_{E})^{s}$ . Montrer que $p$ est le projecteur sur $F$ parallèlement à $G$ .

Q.3 ▶ On pose $d = λ p + μ ({i d}_{E} - p)$ et $ν = u - d$ . Montrer que $d$ est diagonalisable, que $ν$ est nilpotent et que $d \circ ν = ν \circ d$ .

Partie II — Unicité

On admet que deux endomorphismes diagonalisables qui commutent sont diagonalisables dans une même base.

Q.4 ▶ Soit $(d^{'}, ν^{'})$ un couple tel que $u = d^{'} + ν^{'}$ , $d^{'}$ diagonalisable, $ν^{'}$ nilpotent, $d^{'} \circ ν^{'} = ν^{'} \circ d^{'}$ . Montrer que $d^{'}$ et $ν^{'}$ commutent avec $u$ , puis avec $d$ et $ν$ .

Q.5 ▶ Montrer que $d - d^{'}$ est diagonalisable et que $ν^{'} - ν$ est nilpotent. Conclure que $d^{'} = d$ et $ν^{'} = ν$ .

Partie III — Un exemple

Soit $A = (\begin{array}{ccc} 3 & 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{array})$ .

Q.6 ▶ Calculer $χ_{A}$ . Déterminer $E_{1} (A)$ , $E_{2} (A)$ ; $A$ est-elle diagonalisable ?

Q.7 ▶ Vérifier que $(X - 1)^{2} - X (X - 2) = 1$ . En déduire les matrices $P_{F}$ et $P_{G}$ des projecteurs sur $F = Ker (A - I_{3})^{2}$ parallèlement à $G = Ker (A - 2 I_{3})$ , et inversement, comme polynômes en $A$ , puis les calculer.

Q.8 ▶ En déduire la décomposition de Dunford $A = D + N$ : exprimer $D$ et $N$ comme polynômes en $A$ et les calculer. Vérifier $N^{2} = 0$ .

Q.9 ▶ Établir l'égalité $A^{k} = P_{F} + 2^{k} P_{G} + k N$ pour chaque entier naturel $k$ .

Partie IV — Système différentiel

On cherche les fonctions $X : ℝ \to ℳ_{3, 1} (ℝ)$ de classe $𝒞^{1}$ telles que $X^{'} = A X$ et $X (0) = X_{0}$ donné (dérivation coefficient par coefficient).

Q.10 ▶ Soit $X$ une telle fonction. On pose $Y = P_{F} X$ et $Z = P_{G} X$ . Montrer que $Y^{'} = A Y$ , $Z^{'} = A Z$ , puis que $Z^{'} = 2 Z$ et $Y^{'} = Y + N Y$ .

Q.11 ▶ En déduire $Z (t) = e^{2 t} P_{G} X_{0}$ . En posant $W (t) = e^{- t} Y (t)$ , montrer que $W^{''} = 0$ , puis que $Y (t) = e^{t} (P_{F} X_{0} + t N P_{F} X_{0})$ .

Q.12 ▶ Conclure : $X (t) = e^{t} (P_{F} X_{0} + t N X_{0}) + e^{2 t} P_{G} X_{0}$ , et vérifier que cette fonction est bien solution.

Voir le corrigé

Q.1 D'après Cayley-Hamilton, $χ_{u} (u) = 0$ . Les polynômes $(X - λ)^{r}$ et $(X - μ)^{s}$ sont premiers entre eux (racines distinctes) : le lemme des noyaux donne $E = F \oplus G$ . Noyaux de polynômes en $u$ , $F$ et $G$ sont stables par $u$ .

Q.2 Premiers entre eux, ces polynômes vérifient une relation de Bézout. En l'évaluant en $u$ : ${i d}_{E} = U (u) (u - λ i d)^{r} + p$ . Pour $x \in G$ , $p (x) = V (u) ((u - μ i d)^{s} (x)) = 0$ . Pour $x \in F$ , $U (u) (u - λ i d)^{r} (x) = 0$ donc $p (x) = x$ . Pour $x = x_{F} + x_{G}$ , $p (x) = x_{F}$ : $p$ est le projecteur sur $F$ parallèlement à $G$ .

Q.3 $d$ vaut $λ i d$ sur $F$ et $μ i d$ sur $G$ : une base adaptée à $F \oplus G$ est formée de vecteurs propres de $d$ , donc $d$ est diagonalisable. Sur $F$ , $ν = u - λ i d$ , donc $ν^{r}$ est nul sur $F$ ; sur $G$ , $ν = u - μ i d$ , donc $ν^{s}$ est nul sur $G$ ( $F$ et $G$ étant stables par $u$ , ils le sont par $ν$ ). Ainsi $ν^{\max (r, s)} = 0$ : $ν$ est nilpotent. Enfin $p$ est un polynôme en $u$ , donc $d$ et $ν = u - d$ aussi : ils commutent.

Q.4 $u \circ d^{'} = (d^{'} + ν^{'}) \circ d^{'} = d^{'} \circ d^{'} + ν^{'} \circ d^{'} = d^{'} \circ d^{'} + d^{'} \circ ν^{'} = d^{'} \circ u$ ; de même pour $ν^{'}$ . Commutant avec $u$ , $d^{'}$ et $ν^{'}$ commutent avec tout polynôme en $u$ , en particulier avec $d$ et $ν$ .

Q.5 $d$ et $d^{'}$ sont diagonalisables et commutent : dans une base commune de vecteurs propres, $d - d^{'}$ a une matrice diagonale ; elle est diagonalisable. $ν$ et $ν^{'}$ commutent et sont nilpotents d'indices au plus $q$ et $q^{'}$ : par le binôme (licite car ils commutent), $(ν^{'} - ν)^{q + q^{'}} = \sum_{k = 0}^{q + q^{'}} (\binom{q + q^{'}}{k}) ν^{' k} (- ν)^{q + q^{'} - k} = 0$ , chaque terme contenant $ν^{' k}$ avec $k \geq q^{'}$ ou $ν^{q + q^{'} - k}$ avec $q + q^{'} - k \geq q$ . Or $d - d^{'} = ν^{'} - ν$ : cet endomorphisme est diagonalisable et nilpotent, sa seule valeur propre est $0$ , donc il est nul (fiche §6). D'où $d^{'} = d$ et $ν^{'} = ν$ .

Q.6 Comme dans l'exercice 5, on factorise : $χ_{A} = ∣ \begin{array}{ccc} X - 3 & - 1 & 1 \\ 1 & X & - 1 \\ - 1 & 0 & X - 1 \end{array} ∣$ ; $C_{1} \leftarrow C_{1} + C_{3}$ donne la colonne $^{t} (X - 2, 0, X - 2)$ , puis $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}$ : $χ_{A} = (X - 2) ∣ \begin{array}{ccc} 1 & - 1 & 1 \\ 0 & X & - 1 \\ 0 & 1 & X - 2 \end{array} ∣ = (X - 2) (X (X - 2) + 1) = (X - 2) (X - 1)^{2} .$ $E_{1} (A)$ : $2 x + y - z = 0$ , $- x - y + z = 0$ , $x = 0$ , donc $E_{1} (A) = Vect^{t} (0, 1, 1)$ ; $E_{2} (A)$ : $x + y - z = 0$ , $- x - 2 y + z = 0$ , $x - z = 0$ , donc $y = 0$ et $E_{2} (A) = Vect^{t} (1, 0, 1)$ . Comme $\dim E_{1} (A) = 1 < 2$ , $A$ n'est pas diagonalisable.

Q.7 $(X - 1)^{2} - X (X - 2) = 1$ (exercice 6). En évaluant en $A$ : $I_{3} = (A - I_{3})^{2} + (- A (A - 2 I_{3}))$ . Comme à l'exercice 6 (ou Q.2) : $- A (A - 2 I_{3}) = 2 A - A^{2}$ est nul sur $G$ et vaut l'identité sur $F$ ; $(A - I_{3})^{2}$ est nul sur $F$ et vaut l'identité sur $G$ . Donc $P_{F} = 2 A - A^{2}$ , $P_{G} = (A - I_{3})^{2}$ . Avec $A^{2} = (\begin{array}{ccc} 7 & 3 & - 3 \\ - 2 & - 1 & 2 \\ 4 & 1 & 0 \end{array})$ : $P_{F} = (\begin{array}{ccc} - 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ - 2 & - 1 & 2 \end{array}), P_{G} = (\begin{array}{ccc} 2 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}) .$ Contrôles : $P_{F} + P_{G} = I_{3}$ , $P_{G}^{t} (1, 0, 1) =^{t} (1, 0, 1)$ , $tr P_{F} = 2 = \dim F$ .

Q.8 Par la partie I (avec $λ = 1$ , $μ = 2$ ) : $D = P_{F} + 2 P_{G} = 2 A - A^{2} + 2 (A - I_{3})^{2} = A^{2} - 2 A + 2 I_{3}$ et $N = A - D = - A^{2} + 3 A - 2 I_{3} = - (A - I_{3}) (A - 2 I_{3})$ : $D = (\begin{array}{ccc} 3 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}), N = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ - 1 & - 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & 1 \end{array}) .$ $N^{2} = (A - I_{3})^{2} (A - 2 I_{3})^{2}$ est un multiple de $χ_{A} (A) = 0$ ; on le vérifie aussi directement (les colonnes de $N$ sont dans le noyau de $N$ ). Étant tous deux des polynômes en $A$ , $D$ et $N$ commutent, et $D$ est diagonalisable ( $D = P_{F} + 2 P_{G}$ ).

Q.9 $D$ et $N$ commutent et $N^{2} = 0$ : $A^{k} = D^{k} + k D^{k - 1} N$ pour $k \geq 1$ . Or $P_{F}$ et $P_{G}$ sont des projecteurs associés ( $P_{F} P_{G} = P_{G} P_{F} = 0$ ), donc $D^{k} = P_{F} + 2^{k} P_{G}$ . De plus $N P_{G} = 0$ ( $N$ est nul sur $G$ , car $(A - 2 I_{3})$ y est nul) et $N P_{F} = N$ , donc $D^{k - 1} N = N D^{k - 1} = N (P_{F} + 2^{k - 1} P_{G}) = N$ . D'où $A^{k} = P_{F} + 2^{k} P_{G} + k N$ , formule aussi vraie pour $k = 0$ .

Q.10 $P_{F}$ est une matrice constante, donc $Y = P_{F} X$ est de classe $𝒞^{1}$ et $Y^{'} = P_{F} X^{'} = P_{F} A X = A P_{F} X = A Y$ ( $P_{F}$ est un polynôme en $A$ ). De même $Z^{'} = A Z$ . Comme $Z (t) \in G = Ker (A - 2 I_{3})$ , $A Z = 2 Z$ ; comme $Y (t) \in F$ , $A Y = D Y + N Y = Y + N Y$ ( $D$ vaut l'identité sur $F$ ).

Q.11 Chaque coordonnée $z_{i}$ de $Z$ vérifie $z_{i}^{'} = 2 z_{i}$ , donc $z_{i} (t) = z_{i} (0) e^{2 t}$ (équation du premier ordre de 1re année) : $Z (t) = e^{2 t} P_{G} X_{0}$ . $W (t) = e^{- t} Y (t)$ est de classe $𝒞^{1}$ et $W^{'} = - W + e^{- t} (Y + N Y) = N W$ ; $W^{'}$ est donc de classe $𝒞^{1}$ et $W^{''} = N W^{'} = N^{2} W = 0$ . Chaque coordonnée de $W$ est affine : $W (t) = W (0) + t W^{'} (0) = Y (0) + t N Y (0)$ . Avec $Y (0) = P_{F} X_{0}$ : $Y (t) = e^{t} (P_{F} X_{0} + t N P_{F} X_{0})$ .

Q.12 $X = Y + Z$ et $N P_{F} = N$ donnent $X (t) = e^{t} (P_{F} X_{0} + t N X_{0}) + e^{2 t} P_{G} X_{0}$ . Réciproquement, cette fonction vérifie $X (0) = P_{F} X_{0} + P_{G} X_{0} = X_{0}$ et $X^{'} (t) = e^{t} (P_{F} X_{0} + N X_{0} + t N X_{0}) + 2 e^{2 t} P_{G} X_{0}$ . Or $A P_{F} = P_{F} + N$ (car $A P_{F} = D P_{F} + N P_{F}$ ), $A N = N$ (car $A N = D N + N^{2}$ et $D N = N P_{F} + 2 N P_{G} = N$ ) et $A P_{G} = 2 P_{G}$ : donc $A X (t) = e^{t} (P_{F} X_{0} + N X_{0} + t N X_{0}) + 2 e^{2 t} P_{G} X_{0} = X^{'} (t)$ . On a ainsi obtenu l'unique solution du problème.

Après avoir comparé avec le corrigé :

Révisions prépa

Algèbre · 2e année

Réduction des endomorphismes

Application du cours4 points

1. Diagonaliser et calculer les puissances

On considère $A = (\begin{array}{ccc} 1 & - 1 & 1 \\ 2 & 1 & - 2 \\ 2 & - 1 & 0 \end{array}) \in ℳ_{3} (ℝ)$ .

Calculer $χ_{A}$ sous forme factorisée. (On pourra commencer par l'opération $C_{1} \leftarrow C_{1} + C_{2} + C_{3}$ .)
Déterminer les sous-espaces propres de $A$ . Justifier que $A$ est diagonalisable.
Donner $P \in G L_{3} (ℝ)$ et $D$ diagonale telles que $A = P D P^{- 1}$ , puis calculer $P^{- 1}$ .
En déduire $A^{n}$ pour tout $n \in ℕ$ , puis vérifier que la formule obtenue pour $n = - 1$ donne bien $A^{- 1}$ .

Voir le corrigé

2. Résolution de $(A - λ I_{3}) X = 0$ pour $X =^{t} (x, y, z)$ :

$λ = 1$ : $- y + z = 0$ , $2 x - 2 z = 0$ , $2 x - y - z = 0$ donnent $x = y = z$ : $E_{1} (A) = Vect^{t} (1, 1, 1)$ .
$λ = 2$ : $- x - y + z = 0$ , $2 x - y - 2 z = 0$ , $2 x - y - 2 z = 0$ ; on trouve $y = 0$ , $z = x$ : $E_{2} (A) = Vect^{t} (1, 0, 1)$ .
$λ = - 1$ : $2 x - y + z = 0$ , $2 x + 2 y - 2 z = 0$ , $2 x - y + z = 0$ ; on trouve $x = 0$ , $z = y$ : $E_{- 1} (A) = Vect^{t} (0, 1, 1)$ .

$χ_{A}$ est scindé sur $ℝ$ à racines simples ( $3$ valeurs propres distinctes en dimension $3$ ) : $A$ est diagonalisable (fiche §6, condition suffisante).

Après avoir comparé avec le corrigé :

Application du cours4 points

2. Diagonalisabilité selon un paramètre

Pour $a \in ℝ$ , on pose $A_{a} = (\begin{array}{ccc} 1 & a & 1 \\ 0 & 2 & a \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$ .

Déterminer $χ_{A_{a}}$ et $Sp (A_{a})$ .
Déterminer les valeurs de $a$ pour lesquelles $A_{a}$ est diagonalisable.
Pour $a = 1$ , diagonaliser $A_{1}$ et donner son polynôme minimal.
Calculer $(A_{a} - I_{3}) (A_{a} - 2 I_{3})$ et retrouver le résultat de la question 2. Donner $π_{A_{a}}$ pour tout $a$ .

Voir le corrigé

1. $A_{a}$ est triangulaire supérieure : $χ_{A_{a}} = (X - 1)^{2} (X - 2)$ et $Sp (A_{a}) = {1, 2}$ , $1$ double et $2$ simple, quel que soit $a$ .

si $a^{2} = 1$ , $π_{A_{a}} = (X - 1) (X - 2)$ , scindé à racines simples : $A_{a}$ est diagonalisable ;
si $a^{2} \neq 1$ , $π_{A_{a}} = (X - 1)^{2} (X - 2)$ a une racine double : $A_{a}$ n'est pas diagonalisable.

On retrouve la question 2 par le critère du polynôme minimal.

Après avoir comparé avec le corrigé :

Application du cours4 points

3. Exploiter un polynôme annulateur

Soit $M = (\begin{array}{ccc} 3 & 1 & 1 \\ - 1 & 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 1 \end{array})$ .

Calculer $M^{2}$ et vérifier que $M^{2} - 3 M + 2 I_{3} = 0$ .
Sans calculer $χ_{M}$ , montrer que $M$ est diagonalisable, déterminer $Sp (M)$ et $π_{M}$ .
Déterminer la dimension de chaque sous-espace propre ; en déduire $χ_{M}$ , $tr M$ et $\det M$ .
Montrer que $M$ est inversible et exprimer $M^{- 1}$ en fonction de $M$ et $I_{3}$ .
Pour $n \in ℕ$ , écrire la division euclidienne de $X^{n}$ par $X^{2} - 3 X + 2$ et en donner le reste ; en déduire $M^{n}$ . La formule reste-t-elle vraie pour $n = - 1$ ?

Voir le corrigé

Après avoir comparé avec le corrigé :

Application du cours4 points

4. Un endomorphisme de $ℝ_{n} [X]$

Soit $n \geq 2$ et $f : ℝ_{n} [X] \to ℝ_{n} [X]$ , $P \mapsto P + (1 - X) P^{'}$ .

Vérifier que $f$ est linéaire et envoie $ℝ_{n} [X]$ dans lui-même.
Calculer $f (X^{k})$ pour chaque $k \in [⁣ [0, n] ⁣]$ ; montrer que $f$ a une matrice triangulaire dans la base $(1, X, \dots, X^{n})$ , puis en déduire $Sp (f)$ .
Justifier que $f$ est diagonalisable et préciser la dimension de ses sous-espaces propres.
Calculer $f ((X - 1)^{k})$ et en déduire une base de vecteurs propres de $f$ .
Déterminer $Ker f$ et $Im f$ .
Déterminer tous les polynômes $P \in ℝ_{n} [X]$ tels que $f (P) = X^{2} - 2 X$ . Le polynôme $X^{2}$ est-il dans $Im f$ ?

Voir le corrigé

1. La linéarité vient de celle de la dérivation. Si $\deg P \leq n$ , alors $\deg ((1 - X) P^{'}) \leq 1 + (n - 1) = n$ ; donc $f (P) \in ℝ_{n} [X]$ .

3. Ce sont $n + 1$ valeurs propres distinctes en dimension $n + 1$ : $f$ est diagonalisable et chaque sous-espace propre est une droite.

Après avoir comparé avec le corrigé :

Niveau devoir6 points

5. Trigonalisation et puissances

Soit $A = (\begin{array}{ccc} 3 & - 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array})$ et $f$ l'endomorphisme de $ℝ^{3}$ canoniquement associé.

Montrer que $χ_{A} = (X - 1) (X - 2)^{2}$ .
Déterminer $E_{1} (A)$ et $E_{2} (A)$ . La matrice $A$ est-elle diagonalisable ?
On pose $v_{1} =^{t} (0, 1, 1)$ et $v_{2} =^{t} (1, 1, 0)$ . Déterminer $v_{3} =^{t} (0, 0, c)$ tel que $(A - 2 I_{3}) v_{3} = v_{2}$ . Montrer que $(v_{1}, v_{2}, v_{3})$ est une base de $ℝ^{3}$ et écrire la matrice $T$ de $f$ dans cette base.
Déterminer $π_{A}$ .
Calculer $T^{n}$ pour $n \in ℕ$ .
Retrouver $A^{n}$ grâce à la division euclidienne de $X^{n}$ par $π_{A}$ .

Voir le corrigé

Après avoir comparé avec le corrigé :

Niveau devoir6 points

6. Lemme des noyaux pour $X (X - 1)^{2}$

On fixe un espace $E$ de dimension finie $n \geq 1$ sur $𝕂$ , et $u \in ℒ (E)$ tel que $u \circ (u - {i d}_{E})^{2} = 0$ . On note $F = Ker u$ et $G = Ker (u - {i d}_{E})^{2}$ .

Montrer que $E = F \oplus G$ et que $F$ et $G$ sont stables par $u$ .
Vérifier l'égalité $(X - 1)^{2} - X (X - 2) = 1$ . En déduire que $p = (u - {i d}_{E})^{2}$ est le projecteur sur $F$ parallèlement à $G$ , et exprimer le projecteur $q$ sur $G$ parallèlement à $F$ comme polynôme en $u$ .
Montrer que $Sp (u) \subset {0, 1}$ et que si $u$ n'est pas diagonalisable, alors $1 \in Sp (u)$ .
Établir l'équivalence : $u$ diagonalisable $⟺ u^{2} = u$ .
Montrer que $rg u = \dim G$ et que $tr u = rg u$ .
Application. $B = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ - 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array})$ . Vérifier que $B (B - I_{3})^{2} = 0$ et que $B$ n'est pas diagonalisable. Déterminer $Ker B$ , $Ker (B - I_{3})^{2}$ , la matrice du projecteur $p$ , et une base de $ℝ^{3}$ dans laquelle la matrice de $B$ est $(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$ .

Voir le corrigé

Si $x \in G$ , $p (x) = 0$ par définition de $G$ .
Si $x \in F$ , $q (x) = - (u - 2 {i d}_{E}) (u (x)) = 0$ , donc $p (x) = x$ .

$Ker B$ : $y + z = 0$ et $- x + y + z = 0$ , soit $x = 0$ , $z = - y$ : $Ker B = Vect^{t} (0, - 1, 1)$ .
$Ker (B - I_{3})^{2}$ : $x - z = 0$ : plan de base $^{t} (1, 0, 1)$ , $^{t} (0, 1, 0)$ .
$p = (B - I_{3})^{2} = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & 1 \end{array})$ ; on vérifie $p^{2} = p$ , $p^{t} (0, - 1, 1) =^{t} (0, - 1, 1)$ , et $p$ nul sur le plan $x = z$ .
Base : $w_{1} =^{t} (0, - 1, 1) \in Ker B$ ; $w_{2} =^{t} (1, 0, 1)$ vérifie $B w_{2} = w_{2}$ ; on cherche $w_{3}$ avec $(B - I_{3}) w_{3} = w_{2}$ : $- x + y + z = 1$ , $- x + z = 0$ , $y = 1$ , d'où $w_{3} =^{t} (0, 1, 0)$ convient. Dans $(w_{1}, w_{2}, w_{3})$ (déterminant $1 \neq 0$ ), $B w_{1} = 0$ , $B w_{2} = w_{2}$ , $B w_{3} = w_{3} + w_{2}$ : la matrice est celle demandée.

Contrôle de la question 5 : $rg B = 2 = \dim Ker (B - I_{3})^{2}$ et $tr B = 0 + 1 + 1 = 2$ .

Après avoir comparé avec le corrigé :

Niveau devoir5 points

7. Trois suites couplées

Écrire la relation sous la forme $X_{k + 1} = A X_{k}$ avec $X_{k} =^{t} (u_{k}, v_{k}, w_{k})$ et $A \in ℳ_{3} (ℚ)$ .
On pose $B = 4 A$ . Calculer $χ_{B}$ , en déduire les valeurs propres de $A$ .
Trouver trois vecteurs propres de $A$ formant une base, puis une matrice $P$ telle que $P^{- 1} A P$ soit diagonale.
Montrer que $s_{k} = 2 u_{k} + v_{k} + 3 w_{k}$ ne dépend pas de $k$ .
Montrer que les trois suites convergent vers la même limite $ℓ = \frac{2 u_{0} + v_{0} + 3 w_{0}}{6}$ .
Expliciter $u_{k}$ , $v_{k}$ , $w_{k}$ lorsque $(u_{0}, v_{0}, w_{0}) = (6, 0, 0)$ .

Voir le corrigé

1. $A = \frac{1}{4} (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{array})$ , et $X_{k} = A^{k} X_{0}$ par récurrence.

3. Trois valeurs propres distinctes : $A$ est diagonalisable. Vecteurs propres (on résout $(B - μ I_{3}) X = 0$ ) :

$μ = 4$ : $X =^{t} (1, 1, 1)$ (somme des lignes) ;
$μ = 2$ : $- 2 x + y + 3 z = 0$ , $2 x = 0$ : $X =^{t} (0, - 3, 1)$ ;
$μ = - 2$ : $2 x + y + 3 z = 0$ , $2 x + 4 y = 0$ , $2 x + 4 z = 0$ : $X =^{t} (- 2, 1, 1)$ .