Une loi de composition interne (lci) sur un ensemble $E$ est une application $E\times E\to E$, $(x,y)\mapsto x\ast y$. Le point décisif est le mot interne : pour tous $x,y$ de $E$, le résultat $x\ast y$ doit encore appartenir à $E$. La soustraction est une lci sur $\mathbb{Z}$, pas sur $\mathbb{N}$ ; la division est une lci sur ${ℝ}^{\ast }$, pas sur $ℝ$.

• Unicité du neutre : si $e$ et $e^{\mathrm{\prime }}$ sont neutres, $e=e\ast e^{\mathrm{\prime }}=e^{\mathrm{\prime }}$.
• Unicité du symétrique (loi associative avec neutre) : si $x^{\mathrm{\prime }}$ et $x^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ conviennent, $x^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=x^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\ast (x\ast x^{\mathrm{\prime }})=(x^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\ast x)\ast x^{\mathrm{\prime }}=x^{\mathrm{\prime }}$.
• Symétrique d'un produit : si $x$ et $y$ sont symétrisables, $x\ast y$ l'est et $(x\ast y{)}^{-1}=y^{-1}\ast x^{-1}$ (ordre inversé).
• Simplification : si $x$ est symétrisable, $x\ast y=x\ast z\Rightarrow y=z$ (composer à gauche par $x^{-1}$).
• Partie stable : $A\subset E$ est stable si $\mathrm{\forall }x,y\in A,x\ast y\in A$ ; la loi induite sur $A$ est alors une lci de $A$.

Notations : en notation multiplicative, symétrique $=$ inverse $x^{-1}$ et puissances $x^n$ ($x^0=e$) ; en notation additive, symétrique $=$ opposé $-x$ et multiples $nx$. Pour une loi associative et $x$ symétrisable : $x^m\ast x^p=x^{m+p}$ et $(x^m{)}^p=x^{mp}$ pour $m,p\in \mathbb{Z}$. En revanche $(x\ast y{)}^n=x^n\ast y^n$ exige que $x$ et $y$ commutent.

Table d'une loi (ensemble fini) : la case (ligne $x$, colonne $y$) contient $x\ast y$. Neutre : ligne et colonne qui recopient l'en-tête. Commutative : table symétrique par rapport à la diagonale. L'associativité, elle, ne se lit pas sur la table.

Définition. $(G,\ast )$ est un groupe si $\ast$ est une lci sur $G$, associative, admettant un neutre $e$, et si tout élément de $G$ admet un symétrique. Si de plus $\ast$ est commutative, le groupe est commutatif (ou abélien).

Groupes de référence.

• Additifs : $(\mathbb{Z},+)$, $(\mathbb{Q},+)$, $(ℝ,+)$, $(ℂ,+)$.
• Multiplicatifs : $({\mathbb{Q}}^{\ast },\times )$, $({\mathbb{Q}}_{+}^{\ast },\times )$, $({ℝ}^{\ast },\times )$, $({ℝ}_{+}^{\ast },\times )$, $({ℂ}^{\ast },\times )$, $𝕌=\{z\in ℂ,\mid z\mid =1\}$, ${𝕌}_n=\{z\in ℂ,z^n=1\}=\{{\omega }^k,0\le k\le n-1\}$ avec $\omega =e^{2i\pi \mathrm{/}n}$ ($\mathrm{card}{𝕌}_n=n$).
• $(S_X,\circ )$ : bijections d'un ensemble $X$ sur lui-même, groupe non commutatif dès que $X$ a au moins 3 éléments.

Ce qui n'est pas un groupe. $(\mathbb{N},+)$ (pas d'opposé de $1$) ; $({\mathbb{Z}}^{\ast },\times )$ ($2$ n'a pas d'inverse) ; $(ℝ,\times )$ ($0$ n'a pas d'inverse) ; $(𝒫(E),\cup )$ (une partie non vide n'a pas de symétrique).

Règles de calcul dans un groupe. On peut simplifier à gauche et à droite ; l'équation $a\ast x=b$ a l'unique solution $x=a^{-1}\ast b$. Conséquence pour un groupe fini : dans la table, chaque élément apparaît une fois et une seule dans chaque ligne et dans chaque colonne.

Groupe produit (vu dans les devoirs) : si $(G,\ast )$ et $(H,\cdot )$ sont des groupes, $G\times H$ muni de $(g,h)(g^{\mathrm{\prime }},h^{\mathrm{\prime }})=(g\ast g^{\mathrm{\prime }},h\cdot h^{\mathrm{\prime }})$ est un groupe, de neutre $(e_G,e_H)$.

Définition. On appelle sous-groupe de $(G,\ast )$ toute partie $H\subset G$ contenant $e$, stable par $\ast$, et telle que $x\in H\Rightarrow x^{-1}\in H$. Un sous-groupe est lui-même un groupe pour la loi induite.

Caractérisation (à utiliser en priorité). Hypothèses : $(G,\ast )$ est un groupe ; $H\subset G$. Conclusion : $H$ a une structure de sous-groupe de $G$ exactement lorsque (i) $H\mathrm{\ne }\mathrm{\varnothing }$ (en pratique : $e\in H$) et (ii) $\mathrm{\forall }x,y\in H,x\ast y^{-1}\in H$ (en additif : $x-y\in H$).

Réflexe pour prouver une structure de groupe : l'inclure dans un groupe connu et montrer que c'est un sous-groupe. On n'a alors rien à redémontrer sur l'associativité.

Opérations.

• L'intersection d'une famille quelconque de sous-groupes reste un sous-groupe.
• Une réunion de deux sous-groupes $H\cup K$ n'est un sous-groupe que si $H\subset K$ ou $K\subset H$. Exemple : $2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}$ contient $2$ et $3$ mais pas $5$.
• Sous-groupe engendré par un élément : $⟨a⟩=\{a^k,k\in \mathbb{Z}\}$ est le plus petit sous-groupe contenant $a$. Si $⟨a⟩=G$, on dit que $a$ engendre $G$ (est un générateur de $G$).

Sous-groupes de $(\mathbb{Z},+)$. Ce sont exactement les $n\mathbb{Z}$ avec $n\in \mathbb{N}$, et $n$ est unique. Idée de la preuve : si $H\mathrm{\ne }\{0\}$, $n=\min (H\cap {\mathbb{N}}^{\ast })$ ; on a $n\mathbb{Z}\subset H$, et pour $x\in H$, le reste $r=x-qn$ de la division euclidienne est dans $H$ avec $0\le r<n$, donc $r=0$. Liens avec l'arithmétique (chapitre précédent) : $$a\mathbb{Z}\subset b\mathbb{Z}⟺b\mid a,a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}=(a\wedge b)\mathbb{Z},a\mathbb{Z}\cap b\mathbb{Z}=(a\vee b)\mathbb{Z}\mathrm{.}$$

Sous-groupes de ${𝕌}_n$. ${𝕌}_d\subset {𝕌}_n⟺d\mid n$ et ${𝕌}_n\cap {𝕌}_m={𝕌}_{n\wedge m}$. Les sous-groupes de ${𝕌}_n$ sont exactement les ${𝕌}_d$ pour $d$ diviseur de $n$ (même preuve que pour $\mathbb{Z}$ : plus petit exposant $r\ge 1$ tel que ${\omega }^r\in H$, puis division euclidienne). ${𝕌}_n$ a donc autant de sous-groupes que $n$ a de diviseurs.

Une permutation de $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ est une bijection de $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ sur lui-même. Muni de la composition, l'ensemble $S_n$ des permutations est un groupe, le groupe symétrique, de cardinal $n!$. On note $\sigma \tau =\sigma \circ \tau$ : on applique $\tau$ d'abord.

Écriture en deux lignes : $\sigma =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& \cdots & n\\ \sigma (1)& \sigma (2)& \cdots & \sigma (n)\end{array}\right)$. L'inverse s'obtient en échangeant les deux lignes puis en réordonnant les colonnes. Pour $n\ge 3$, $S_n$ n'est pas commutatif : $(12)(23)=(123)$ mais $(23)(12)=(132)$.

Cycles. Pour $a_1,\dots ,a_p$ distincts ($p\ge 2$), le $p$-cycle $(a_1{a}_2\cdots a_p)$ envoie $a_1\mapsto a_2\mapsto \cdots \mapsto a_p\mapsto a_1$ et fixe les autres éléments ; $\{a_1,\dots ,a_p\}$ est son support et $p$ sa longueur. Un 2-cycle est une transposition. On a $(a_1\cdots a_p)=(a_2\cdots a_p{a}_1)$ (même cycle), $(a_1\cdots a_p{)}^{-1}=(a_p\cdots a_1)$, et un $p$-cycle $c$ vérifie $c^p=\mathrm{i}\mathrm{d}$, avec $c^k\mathrm{\ne }\mathrm{i}\mathrm{d}$ pour $1\le k<p$. Toute transposition vérifie ${\tau }^2=\mathrm{i}\mathrm{d}$.

Théorème (décomposition en cycles). Toute permutation $\sigma \mathrm{\ne }\mathrm{i}\mathrm{d}$ s'écrit comme produit de cycles à supports disjoints, de façon unique à l'ordre des facteurs près. Deux cycles à supports disjoints commutent. Méthode : partir de $1$, suivre $1\mapsto \sigma (1)\mapsto {\sigma }^2(1)\mapsto \cdots$ jusqu'au retour à $1$, puis recommencer avec le plus petit entier non encore rencontré. Les points fixes n'apparaissent pas.

Puissances. Si $\sigma =c_1{c}_2\cdots c_r$ (cycles disjoints de longueurs $p_1,\dots ,p_r$), alors ${\sigma }^k=c_1^k{c}_2^k\cdots c_r^k$ et le plus petit $k\ge 1$ tel que ${\sigma }^k=\mathrm{i}\mathrm{d}$ est $p_1\vee p_2\vee \cdots \vee p_r$ (ppcm des longueurs). Pour calculer ${\sigma }^N$, on réduit $N$ modulo ce ppcm.

Transpositions. $(a_1{a}_2\cdots a_p)=(a_1{a}_2)(a_2{a}_3)\cdots (a_{p-1}{a}_p)$ : un $p$-cycle est produit de $p-1$ transpositions. Donc toute permutation est un produit de transpositions ($S_n$ est engendré par ses transpositions). La décomposition n'est pas unique : $(123)=(12)(23)=(13)(12)$.

Signature. Une inversion de $\sigma$ est un couple $(i,j)$ avec $i<j$ et $\sigma (i)>\sigma (j)$. Si $N(\sigma )$ est le nombre d'inversions, on pose $$\epsilon (\sigma )=(-1{)}^{N(\sigma )}=\prod _{1\le i<j\le n}\frac{\sigma (j)-\sigma (i)}{j-i}\mathrm{.}$$

Théorème. (i) $\epsilon (\sigma {\sigma }^{\mathrm{\prime }})=\epsilon (\sigma )\epsilon ({\sigma }^{\mathrm{\prime }})$ pour tous $\sigma ,{\sigma }^{\mathrm{\prime }}\in S_n$ ; (ii) $\epsilon (\tau )=-1$ pour toute transposition $\tau$ ; (iii) $\epsilon$ est la seule application $S_n\to \{-1,1\}$ vérifiant (i) et (ii).

Conséquences.

• Un $p$-cycle a pour signature $(-1{)}^{p-1}$ : un 3-cycle est pair, un 4-cycle est impair.
• Si $\sigma$ est produit de $k$ transpositions, $\epsilon (\sigma )=(-1{)}^k$ : toutes les décompositions de $\sigma$ en transpositions ont un nombre de facteurs de même parité.
• $\epsilon ({\sigma }^{-1})=\epsilon (\sigma )$ et $\epsilon (\sigma \tau {\sigma }^{-1})=\epsilon (\tau )$.
• Formule rapide : si $\sigma$ a $m$ cycles en comptant les points fixes comme des cycles de longueur 1, alors $\epsilon (\sigma )=(-1{)}^{n-m}$.
• $\sigma$ est paire si $\epsilon (\sigma )=1$, impaire sinon. L'ensemble $A_n$ des permutations paires est un sous-groupe de $S_n$, de cardinal $\frac{n!}{2}$ pour $n\ge 2$.

Statut. Dans l'extrait de programme reproduit par certains cours, les morphismes figurent en 2e année. Mais les examens d'Algèbre MP1 de décembre les utilisent régulièrement, en rappelant souvent la définition dans l'énoncé. À connaître donc, au moins ce qui suit.

Définition. $(G,\ast )$ et $(G^{\mathrm{\prime }},\cdot )$ étant des groupes, $f:G\to G^{\mathrm{\prime }}$ est un morphisme de groupes si $\mathrm{\forall }x,y\in G,f(x\ast y)=f(x)\cdot f(y)$. Un morphisme bijectif est un isomorphisme ; sa réciproque est alors un morphisme.

Propriétés. $f(e)=e^{\mathrm{\prime }}$ ; $f(x^{-1})=f(x{)}^{-1}$ ; $f(x^k)=f(x{)}^k$ pour $k\in \mathbb{Z}$. L'image $\mathrm{Im}f=f(G)$ est un sous-groupe de $G^{\mathrm{\prime }}$ ; le noyau $\mathrm{Ker}f=f^{-1}(\{e^{\mathrm{\prime }}\})$ est un sous-groupe de $G$ ; plus généralement l'image directe et l'image réciproque d'un sous-groupe sont des sous-groupes.

Critère d'injectivité. Hypothèse : $f$ est un morphisme de groupes. Conclusion : $f$ est injectif $⟺\mathrm{Ker}f=\{e\}$. (Preuve : $f(x)=f(y)⟺f(x\ast y^{-1})=e^{\mathrm{\prime }}$.)

Exemples à connaître. $\exp :(ℝ,+)\to ({ℝ}_{+}^{\ast },\times )$ et $\ln$ en sens inverse (isomorphismes) ; $\mid \cdot \mid :({ℂ}^{\ast },\times )\to ({ℝ}_{+}^{\ast },\times )$, de noyau $𝕌$ ; $\theta \mapsto e^{i\theta }$ de $(ℝ,+)$ sur $(𝕌,\times )$, de noyau $2\pi \mathbb{Z}$ ; $k\mapsto {\omega }^k$ de $(\mathbb{Z},+)$ sur $({𝕌}_n,\times )$, de noyau $n\mathbb{Z}$ ; la signature $\epsilon :(S_n,\circ )\to (\{-1,1\},\times )$, de noyau $A_n$.

Transport de structure. Si $f:E\to G$ est une bijection vers un groupe $(G,\cdot )$, la loi $x\ast y=f^{-1}(f(x)\cdot f(y))$ fait de $E$ un groupe, et $f$ devient un isomorphisme. C'est la façon la plus rapide de traiter beaucoup de « lois étranges » des devoirs : on cherche la bijection qui les simplifie.

Statut. Même remarque que pour les morphismes : notion souvent définie dans l'énoncé en MP1.

On dit que $x\in G$ est d'ordre fini lorsqu'une puissance $x^k$ avec $k\ge 1$ vaut $e$ ; le plus petit tel $k$ est l'ordre de $x$, noté ici $o(x)$. Si $o(x)=d$ :

• pour tout $k\in \mathbb{Z}$, $x^k=e⟺d\mid k$ (division euclidienne de $k$ par $d$) ;
• $⟨x⟩=\{e,x,\dots ,x^{d-1}\}$ a exactement $d$ éléments.

Dans ${𝕌}_n$, avec $\omega =e^{2i\pi \mathrm{/}n}$ : $o({\omega }^k)={\displaystyle \frac{n}{n\wedge k}}$, et ${\omega }^k$ engendre ${𝕌}_n$ si et seulement si $k\wedge n=1$. Dans $S_n$ : l'ordre d'une permutation est le ppcm des longueurs de ses cycles disjoints.

Théorème (Lagrange, cas commutatif, souvent demandé en problème). Dans un groupe fini commutatif $G$ de cardinal $n$, $x^n=e$ pour tout $x$, donc $o(x)\mid n$. Idée : $y\mapsto xy$ est une bijection de $G$, donc le produit $P$ de tous les éléments vérifie $P=x^{n}P$. (Le résultat reste vrai sans commutativité, avec une autre preuve.)

Définition. $(A,+,\times )$ est un anneau si (i) $(A,+)$ est un groupe commutatif (neutre $0_A$) ; (ii) $\times$ est associative ; (iii) $\times$ est distributive à gauche et à droite sur $+$ ; (iv) $\times$ admet un neutre $1_A$ (en MP1, tout anneau est unitaire). Il est commutatif si $\times$ l'est.

Exemples. $(\mathbb{Z},+,\times )$, $(\mathbb{Q},+,\times )$, $(ℝ,+,\times )$, $(ℂ,+,\times )$ ; $𝕂[X]$ ; ${ℝ}^{ℝ}$ (applications de $ℝ$ dans $ℝ$, lois point par point) ; ${ℳ}_n(𝕂)$ (non commutatif pour $n\ge 2$, vu avec le calcul matriciel).

Calcul dans un anneau.

• $0_A$ est absorbant : $0_A\times x=x\times 0_A=0_A$ ; $(-x)y=x(-y)=-(xy)$.
• Si $1_A=0_A$, l'anneau est réduit à $\{0_A\}$.
• Si $a$ et $b$ commutent ($ab=ba$) : binôme $(a+b{)}^n={\sum }_{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)a^k{b}^{n-k}$ et $a^n-b^n=(a-b){\sum }_{k=0}^{n-1}{a}^k{b}^{n-1-k}$. Sans commutation, ces formules sont fausses.

Inversibles. $x$ est inversible s'il existe $y$ avec $xy=yx=1_A$. L'ensemble $U(A)$ (noté aussi $A^{\ast }$ ou $A^{\times }$) des inversibles est un groupe pour $\times$. Exemples : $U(\mathbb{Z})=\{-1,1\}$, $U(ℝ)={ℝ}^{\ast }$, $U(\mathbb{Z}[i])=\{1,i,-1,-i\}$.

Diviseurs de zéro, intégrité. $a\mathrm{\ne }0$ est un diviseur de zéro s'il existe $b\mathrm{\ne }0$ avec $ab=0$ ou $ba=0$. Un anneau commutatif non réduit à $\{0\}$ et sans diviseur de zéro est intègre : $ab=0\Rightarrow a=0$ ou $b=0$. Dans un anneau intègre, on peut simplifier par un élément non nul. $\mathbb{Z}$, $𝕂[X]$ sont intègres ; ${ℝ}^{ℝ}$ ne l'est pas (deux fonctions non nulles à supports disjoints ont un produit nul). Un inversible n'est jamais diviseur de zéro. $x$ est nilpotent s'il existe $k\ge 1$ avec $x^k=0$.

Sous-anneaux. Hypothèses : $(A,+,\times )$ anneau, $B\subset A$. Conclusion : $B$ est un sous-anneau si et seulement si $1_A\in B$ et $\mathrm{\forall }x,y\in B,x-y\in B$ et $xy\in B$. Exemples : $\mathbb{Z}[i]=\{a+ib,a,b\in \mathbb{Z}\}$ et $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]=\{a+b\sqrt{2},a,b\in \mathbb{Z}\}$ sont des sous-anneaux de $ℂ$.

Outil de norme. Pour $\mathbb{Z}[i]$, $N(z)=z\bar{z}=a^2+b^2$ ; pour $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$, $N(a+b\sqrt{2})=a^2-2b^2$. Dans les deux cas $N(z{z}^{\mathrm{\prime }})=N(z)N(z^{\mathrm{\prime }})$, $N$ est à valeurs dans $\mathbb{Z}$, et $z$ est inversible si et seulement si $N(z)\in \{-1,1\}$.

Définition. Un corps est un anneau commutatif $(𝕂,+,\times )$ avec $1\mathrm{\ne }0$, dans lequel tout élément non nul est inversible. De façon équivalente : $(𝕂,+)$ et $(𝕂\setminus \{0\},\times )$ sont des groupes commutatifs et $\times$ est distributive sur $+$. En MP1, tout corps est commutatif.

Exemples. $\mathbb{Q}$, $ℝ$, $ℂ$ ; $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]=\{a+b\sqrt{2},a,b\in \mathbb{Q}\}$ ; $\{0,1\}$ muni de $1+1=0$ (le plus petit corps). Contre-exemples : $\mathbb{Z}$ ($2$ non inversible), $𝕂[X]$ ($X$ non inversible).

• Un corps est intègre : si $ab=0$ et $a\mathrm{\ne }0$, alors $b=a^{-1}ab=0$. Réciproque fausse ($\mathbb{Z}$).
• Sous-corps : $L\subset 𝕂$ est un sous-corps si $1\in L$, $x-y\in L$ pour $x,y\in L$, et $x{y}^{-1}\in L$ pour $x\in L$, $y\in L\setminus \{0\}$. Méthode type pour $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ : l'inverse de $a+b\sqrt{2}\mathrm{\ne }0$ est ${\displaystyle \frac{a-b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}}$ (quantité conjuguée), et $a^2-2b^2\mathrm{\ne }0$ car $\sqrt{2}\mathrm{\notin }\mathbb{Q}$.

Statut. Au programme de 2e année ; apparaît en MP1 seulement dans des problèmes qui en donnent la définition.

Dans un anneau commutatif $A$, une partie $I$ est un idéal si $(I,+)$ est un sous-groupe de $(A,+)$ et si $\mathrm{\forall }x\in I,\mathrm{\forall }a\in A,ax\in I$ (stabilité par multiplication par n'importe quel élément de $A$).

• $\{0\}$ et $A$ sont des idéaux ; $xA=\{xa,a\in A\}$ est un idéal.
• Un idéal contient $1_A$ (ou un inversible) si et seulement s'il est égal à $A$.
• Les idéaux de $\mathbb{Z}$ sont les $n\mathbb{Z}$ (ce sont ses sous-groupes) ; la somme et l'intersection de deux idéaux sont des idéaux.
• Un anneau commutatif non nul est un corps si et seulement si ses seuls idéaux sont $\{0\}$ et $A$.
• Un sous-anneau n'est pas un idéal en général : $\mathbb{Z}$ est un sous-anneau de $\mathbb{Q}$ mais $\frac{1}{2}\cdot 1\mathrm{\notin }\mathbb{Z}$.

Montrer que $(E,\ast )$ est un groupe

1. Loi interne : pour $x,y\in E$, vérifier que $x\ast y$ est bien défini et appartient à $E$ (souvent un encadrement).
2. Si $E$ est inclus dans un groupe connu pour la même loi : montrer que c'est un sous-groupe (caractérisation). Terminé.
3. Sinon : associativité (calcul des deux membres), neutre (le deviner, puis vérifier les deux côtés), symétrique de chaque $x$ (résoudre $x\ast y=e$, puis vérifier que $y\in E$).
4. Plus élégant : trouver une bijection $f$ vers un groupe connu telle que $f(x\ast y)=f(x)\cdot f(y)$ (transport de structure).

Étudier une permutation

1. Écrire la décomposition en cycles disjoints (suivre les orbites).
2. Signature : produit des $(-1{)}^{p-1}$ sur les cycles, ou $(-1{)}^{n-m}$, ou parité du nombre d'inversions (deux méthodes pour se contrôler).
3. Plus petit $k$ avec ${\sigma }^k=\mathrm{i}\mathrm{d}$ : ppcm des longueurs ; ${\sigma }^N$ : réduire $N$ modulo ce ppcm.
4. Composition : calculer $\sigma \tau (i)=\sigma (\tau (i))$ pour chaque $i$, dans cet ordre.

Déterminer tous les sous-groupes d'un groupe concret

• De $\mathbb{Z}$ ou de ${𝕌}_n$ : ils sont « monogènes » ($n\mathbb{Z}$, ${𝕌}_d$) ; on raisonne avec le plus petit élément strictement positif (ou le plus petit exposant) et la division euclidienne.
• D'un groupe fini quelconque : un sous-groupe contient $e$, est stable par produit et inverse ; on part des sous-groupes engendrés par un élément, puis on les combine. Lagrange (cas commutatif) limite les cardinaux possibles.

Montrer qu'un ensemble est un anneau ou un corps

Le présenter comme sous-anneau (sous-corps) de $ℂ$, ${ℝ}^{ℝ}$, $𝕂[X]$… Pour les inversibles d'un anneau de nombres : introduire une norme multiplicative à valeurs entières.

1. Oublier que la loi est interne : montrer associativité et neutre sans vérifier que $x\ast y\in E$.
2. Écrire $(xy{)}^{-1}=x^{-1}{y}^{-1}$ dans un groupe non commutatif, ou utiliser le binôme pour des éléments qui ne commutent pas.
3. Vérifier le neutre d'un seul côté pour une loi non commutative ; chercher un symétrique avant d'avoir un neutre.
4. Montrer qu'une partie est un sous-groupe sans montrer qu'elle est non vide (ou contient $e$).
5. Croire qu'une réunion de sous-groupes est un sous-groupe.
6. Composer dans le mauvais sens : $\sigma \tau$ applique $\tau$ en premier.
7. Oublier que la décomposition en transpositions n'est pas unique (seule sa parité l'est) ; dire qu'un 3-cycle est impair.
8. Confondre « $x^k=e$ » et « $k$ est l'ordre de $x$ » : $x^k=e$ dit seulement que l'ordre divise $k$.
9. Conclure qu'un anneau est intègre parce qu'il est commutatif ; ou qu'un anneau intègre est un corps.
10. Dans un anneau, « simplifier » $ab=ac$ par $a$ sans savoir que $a$ est inversible ou que l'anneau est intègre (et $a\mathrm{\ne }0$).
11. Rédaction : « d'après le cours » sans nommer le résultat ; abréviations (« s.g », « lci ») dans une copie.

• Symétrisable, élément symétrique (au lieu d'inverse pour une loi quelconque) ; « justifier que $\ast$ définit une loi de composition interne » ; « $(G,\ast )$ est un groupe abélien ».
• Groupe des inversibles noté $A^{\ast }$, $U(A)$ ou $A^{\times }$ selon les énoncés ; ${𝕌}_n$ ou $U_n$ pour les racines $n$-ièmes de l'unité, ${\omega }_k=e^{2ik\pi \mathrm{/}n}$.
• Groupe symétrique noté $S_n$ (ou ${𝔖}_n$), signature $\epsilon (\sigma )$ ; noyau d'un morphisme $\mathrm{Ker}f$ ou $\ker (f)$.
• pgcd $a\wedge b$, ppcm $a\vee b$ ; partie entière $E(x)$ ; ensembles $ℝ,\mathbb{Z}$ (parfois IR, Z dans les documents anciens).
• Énoncés : « Montrer que… », « En déduire… », « Vérifier que… », « Déterminer tous les sous-groupes de… ». Les problèmes de décembre rappellent souvent une définition (« On dit que $\phi$ est un morphisme de groupes si… ») : la lire attentivement, elle fixe les notations.
• Calculatrice interdite : les calculs de permutations, de puissances et de racines de l'unité se font à la main.