Structures algébriques

1. La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $ℝ$, de limites $-\mathrm{\infty }$ en $-\mathrm{\infty }$ et $+\mathrm{\infty }$ en $+\mathrm{\infty }$ : c'est une bijection de $ℝ$ sur $ℝ$, de réciproque $t\mapsto \sqrt[3]{t}$. Pour $x,y$ réels, $x^3+y^3\in ℝ$, donc $x\ast y=f^{-1}(x^3+y^3)$ existe et appartient à $ℝ$ : $\ast$ est une loi de composition interne sur $ℝ$.

2. $f(x\ast y)=(\sqrt[3]{x^3+y^3}{)}^3=x^3+y^3=f(x)+f(y)$.

• Associativité : $f((x\ast y)\ast z)=f(x\ast y)+f(z)=x^3+y^3+z^3$ et de même $f(x\ast (y\ast z))=x^3+y^3+z^3$. Comme $f$ est injective, $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$.
• Commutativité : $x^3+y^3=y^3+x^3$, donc $x\ast y=y\ast x$.
• Neutre : $x\ast 0=\sqrt[3]{x^3}=x$, et $0\ast x=x$ par commutativité : $0$ est neutre.
• Symétrique : $x\ast (-x)=\sqrt[3]{x^3-x^3}=0$ : le symétrique de $x$ est $-x$.

$(ℝ,\ast )$ est donc un groupe commutatif, de neutre $0$ ; et $f$ est un isomorphisme de $(ℝ,\ast )$ sur $(ℝ,+)$ (fiche §5, transport de structure).

3. Par récurrence sur $n$, $f(x\ast \cdots \ast x)=nf(x)=n{x}^3$, d'où $\boxed{{\displaystyle x\ast \cdots \ast x=\sqrt[3]{n{x}^3}=\sqrt[3]{n}x}}$. Pour $n=2$ : $x\ast x=2⟺\sqrt[3]{2}x=2⟺x={\displaystyle \frac{2}{\sqrt[3]{2}}}=\sqrt[3]{4}$ (car $\frac{8}{2}=4$). Solution unique : $\boxed{{\displaystyle x=\sqrt[3]{4}}}$.

4. $H=f^{-1}(\mathbb{Z})$. On a $0=\sqrt[3]{0}\in H$. Soit $x=\sqrt[3]{a}$ et $y=\sqrt[3]{b}$ dans $H$ ($a,b\in \mathbb{Z}$). Le symétrique de $y$ est $-y=\sqrt[3]{-b}$ et $x\ast (-y)=\sqrt[3]{a+(-b)}=\sqrt[3]{a-b}$ avec $a-b\in \mathbb{Z}$. Par la caractérisation (fiche §3), $H$ est un sous-groupe de $(ℝ,\ast )$.

5. Pour $x,y,z$ réels : $x\times (y\ast z)=x\sqrt[3]{y^3+z^3}=\sqrt[3]{x^3{y}^3+x^3{z}^3}=(xy)\ast (xz)$, car $(x\sqrt[3]{t}{)}^3=x^{3}t$. Comme $\times$ est commutative, la distributivité à droite en découle. Ainsi : (i) $(ℝ,\ast )$ est un groupe commutatif (question 2) ; (ii) $\times$ est associative, commutative, de neutre $1$ ; (iii) $\times$ est distributive sur $\ast$. Donc $(ℝ,\ast ,\times )$ est un anneau commutatif, dont le « zéro » est le neutre $0$ de $\ast$. Enfin $1\mathrm{\ne }0$ et tout $x\mathrm{\ne }0$ a pour inverse $\frac{1}{x}$ pour $\times$ : $\boxed{{\displaystyle (ℝ,\ast ,\times )\text{ est un corps}}}$. (On remarque que $f(xy)=f(x)f(y)$ : $f$ respecte les deux lois.)

1. Pour $\sigma$ : $1\mapsto 5\mapsto 2\mapsto 7\mapsto 1$, puis $3\mapsto 8\mapsto 6\mapsto 3$, et $4$ est fixe : $\boxed{{\displaystyle \sigma =(1527)(386)}}$. Pour $\tau$ : $1\mapsto 3\mapsto 2\mapsto 1$, $5\leftrightarrow 6$, $7\leftrightarrow 8$, $4$ fixe : $\boxed{{\displaystyle \tau =(132)(56)(78)}}$.

2. $\sigma \tau (i)=\sigma (\tau (i))$ : $\sigma \tau (1)=\sigma (3)=8$, $\sigma \tau (2)=\sigma (1)=5$, $\sigma \tau (3)=\sigma (2)=7$, $\sigma \tau (4)=4$, $\sigma \tau (5)=\sigma (6)=3$, $\sigma \tau (6)=\sigma (5)=2$, $\sigma \tau (7)=\sigma (8)=6$, $\sigma \tau (8)=\sigma (7)=1$. De même pour $\tau \sigma (i)=\tau (\sigma (i))$ : $$\sigma \tau =\left(\begin{array}{cccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ 8& 5& 7& 4& 3& 2& 6& 1\end{array}\right)=(18)(25376),\tau \sigma =\left(\begin{array}{cccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ 6& 8& 7& 4& 1& 2& 3& 5\end{array}\right)=(16285)(37)\mathrm{.}$$ On a $\sigma \tau \mathrm{\ne }\tau \sigma$ : $\sigma$ et $\tau$ ne commutent pas (illustration de la non-commutativité de $S_8$).

3. On inverse chaque cycle : ${\sigma }^{-1}=(7251)(683)=(1725)(368)$, soit ${\sigma }^{-1}=\left(\begin{array}{cccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ 7& 5& 6& 4& 1& 8& 2& 3\end{array}\right)$.

4. Par les cycles : $\epsilon (\sigma )=(-1{)}^{4-1}(-1{)}^{3-1}=-1$. Par les inversions : pour chaque position $i$, on compte les $j>i$ tels que $\sigma (j)<\sigma (i)$ dans la suite $5,7,8,4,2,3,1,6$ : $4+5+5+3+1+1+0+0=19$ inversions, nombre impair, donc $\epsilon (\sigma )=-1$ : les deux méthodes concordent. (Contrôle avec la formule $(-1{)}^{n-m}$ : $\sigma$ a $m=3$ cycles en comptant le point fixe $4$, et $(-1{)}^{8-3}=-1$.) Ensuite $\epsilon (\tau )=(+1)(-1)(-1)=1$ et, la signature étant un morphisme, $\epsilon (\sigma \tau )=\epsilon (\sigma )\epsilon (\tau )=\boxed{{\displaystyle -1}}$, ce que confirme la décomposition $(18)(25376)$ : $(-1)\times (+1)$.

5. Les cycles $c_1=(1527)$ et $c_2=(386)$ sont disjoints, donc commutent : ${\sigma }^k=c_1^k{c}_2^k$, et $c_1^k{c}_2^k=\mathrm{i}\mathrm{d}$ si et seulement si $c_1^k=\mathrm{i}\mathrm{d}$ et $c_2^k=\mathrm{i}\mathrm{d}$ (supports disjoints), c'est-à-dire $4\mid k$ et $3\mid k$, soit $12\mid k$. Le plus petit $k$ est $\boxed{{\displaystyle 12}}$. Comme $2026=12\times 168+10$, ${\sigma }^{2026}={\sigma }^{10}=c_1^{10}{c}_2^{10}=c_1^2{c}_2^1$ (car $10\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ et $10\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$). Or $c_1^2$ envoie $1\mapsto 2$, $2\mapsto 1$, $5\mapsto 7$, $7\mapsto 5$ : $c_1^2=(12)(57)$. Donc $\boxed{{\displaystyle {\sigma }^{2026}=(12)(57)(386)}}$.

6. $(a_1\cdots a_p)=(a_1{a}_2)(a_2{a}_3)\cdots (a_{p-1}{a}_p)$ donne $\sigma =(15)(52)(27)(38)(86)$ : cinq transpositions, nombre impair, conforme à $\epsilon (\sigma )=-1$.

1. $A$ : $1=2^0\in A$ et $2^k(2^l{)}^{-1}=2^{k-l}\in A$ : oui. $B$ : $2\in B$ mais $2^{-1}=\frac{1}{2}\mathrm{\notin }B$ : non ($B$ est stable par produit mais pas par passage à l'inverse).

2. $C$ : pour $z\in {ℂ}^{\ast }$, $\mid z\mid >0$, donc la condition est $\mid z\mid \in {\mathbb{Q}}_{+}^{\ast }$. On a $1\in C$ et, pour $z,w\in C$, $\mid z{w}^{-1}\mid =\frac{\mid z\mid }{\mid w\mid }\in {\mathbb{Q}}_{+}^{\ast }$ : oui (c'est l'image réciproque de ${\mathbb{Q}}_{+}^{\ast }$ par le morphisme $z\mapsto \mid z\mid$). $D$ : $1^6=1\mathrm{\ne }-1$, donc $1\mathrm{\notin }D$ : non (de plus $D$ n'est pas stable : si $z,w\in D$, $(zw{)}^6=1$).

3. $6\in 6\mathbb{Z}$ et $10\in 10\mathbb{Z}$, mais $16\mathrm{\notin }6\mathbb{Z}\cup 10\mathbb{Z}$ : la réunion n'est pas stable, non. Ensuite (fiche §3) : $6\mathbb{Z}\cap 10\mathbb{Z}=(6\vee 10)\mathbb{Z}=\boxed{{\displaystyle 30\mathbb{Z}}}$ et $6\mathbb{Z}+10\mathbb{Z}=(6\wedge 10)\mathbb{Z}=\boxed{{\displaystyle 2\mathbb{Z}}}$. Justification directe de la seconde : $6a+10b$ est pair, et $2=2\times 6+(-1)\times 10$ (Bézout), donc tout multiple de $2$ s'écrit $6a+10b$.

4. $F$ : $\mathrm{i}\mathrm{d}\in F$ ; si $\sigma (4)=\tau (4)=4$, alors ${\tau }^{-1}(4)=4$ et $\sigma {\tau }^{-1}(4)=4$ : oui. Ses éléments sont déterminés par une permutation de $\{1,2,3\}$, donc $\mathrm{card}F=3!=6$. $T$ : $(12)(23)=(123)\mathrm{\notin }T$ : non.

1. $1=\frac{1}{2^0}\in D$. Soit $x=\frac{a}{2^k}$ et $y=\frac{b}{2^l}$ dans $D$. Alors $x-y={\displaystyle \frac{a{2}^l-b{2}^k}{2^{k+l}}}\in D$ et $xy={\displaystyle \frac{ab}{2^{k+l}}}\in D$ (numérateurs entiers, exposants dans $\mathbb{N}$). Par la caractérisation des sous-anneaux, $D$ est un sous-anneau de $\mathbb{Q}$. Il est intègre : il est commutatif, non nul, et si $xy=0$ dans $D$, c'est aussi vrai dans le corps $\mathbb{Q}$, donc $x=0$ ou $y=0$.

2. Si $\frac{1}{3}=\frac{a}{2^k}$, alors $3a=2^k$ : $3$ diviserait $2^k$, ce qui contredit l'unicité de la décomposition en facteurs premiers ($3$ premier ne divise pas $2$). Donc $\frac{1}{3}\mathrm{\notin }D$. L'élément $3\in D$ est non nul et son seul inverse possible dans $\mathbb{Q}$, $\frac{1}{3}$, n'est pas dans $D$ : $\boxed{{\displaystyle D\text{ n’est pas un corps}}}$.

3. Les $\pm 2^m$ sont inversibles : si $m\ge 0$, $2^m\in D$ et son inverse $\frac{1}{2^m}\in D$ ; si $m<0$, $2^m=\frac{1}{2^{-m}}\in D$ et son inverse $2^{-m}\in D$. Même chose pour $-2^m$. Réciproquement, soit $x=\frac{a}{2^k}$ inversible, d'inverse $\frac{b}{2^l}$ : $\frac{ab}{2^{k+l}}=1$, donc $ab=2^{k+l}$. Ainsi $a$ divise $2^{k+l}$ ; ses seuls facteurs premiers possibles sont $2$, donc $a=\pm 2^r$ avec $r\in \mathbb{N}$, et $x=\pm 2^{r-k}$. Conclusion : $\boxed{{\displaystyle U(D)=\{\pm 2^m,m\in \mathbb{Z}\}}}$.

4. Soit $B$ un sous-anneau de $\mathbb{Q}$ contenant $\frac{1}{2}$. Il contient $1$, donc $\mathbb{Z}$ (sommes et opposés de $1$), et il est stable par produit, donc contient ${\left(\frac{1}{2}\right)}^k$ et $a\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^k$ pour tout $a\in \mathbb{Z}$ : $D\subset B$. Comme $D$ lui-même est un sous-anneau contenant $\frac{1}{2}$, c'est le plus petit.

1. Soit $x\in E$. $f_2(x)=\frac{1}{x}$ existe, n'est pas nul et vaut $1$ seulement si $x=1$ : $f_2(x)\in E$. $f_3(x)=1-x$ vaut $0$ (resp. $1$) seulement si $x=1$ (resp. $0$). $f_4(x)=\frac{1}{1-x}$ existe ($x\mathrm{\ne }1$), n'est jamais nul et vaut $1$ seulement si $x=0$. $f_5(x)=1-\frac{1}{x}$ existe, vaut $0$ seulement si $x=1$, et ne vaut jamais $1$. $f_6(x)=\frac{x}{x-1}$ existe, vaut $0$ seulement si $x=0$, et ne vaut jamais $1$ (cela donnerait $x=x-1$). Donc $f_k(E)\subset E$ pour tout $k$. Calculs : $f_2(f_2(x))=x$ ; $f_3(f_3(x))=1-(1-x)=x$ ; $f_6(f_6(x))={\displaystyle \frac{\frac{x}{x-1}}{\frac{x}{x-1}-1}}={\displaystyle \frac{\frac{x}{x-1}}{\frac{1}{x-1}}}=x$ ; $f_4(f_5(x))={\displaystyle \frac{1}{1-\frac{x-1}{x}}}={\displaystyle \frac{1}{\frac{1}{x}}}=x$ et $f_5(f_4(x))={\displaystyle \frac{\frac{1}{1-x}-1}{\frac{1}{1-x}}}=1-(1-x)=x$. Ainsi chaque $f_k$ admet une réciproque qui est une application de $E$ dans $E$ ($f_1,f_2,f_3,f_6$ sont leurs propres réciproques ; $f_4$ et $f_5$ sont réciproques l'une de l'autre) : ce sont des bijections de $E$, et $G\subset S_E$.

2. $f_2\circ f_3(x)={\displaystyle \frac{1}{1-x}}=f_4(x)$ et $f_3\circ f_2(x)=1-{\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{x-1}{x}}=f_5(x)$. Comme $f_4\mathrm{\ne }{f}_5$ (par exemple $f_4(2)=-1$ et $f_5(2)=\frac{1}{2}$), la composition n'est pas commutative sur $G$.

3. Le terme ligne $f_i$, colonne $f_j$ est $f_i\circ f_j$ (calculs analogues à ceux de la question 2) :

Par exemple $f_4\circ f_4(x)={\displaystyle \frac{1}{1-\frac{1}{1-x}}}={\displaystyle \frac{1-x}{-x}}={\displaystyle \frac{x-1}{x}}=f_5(x)$. Toutes les cases sont dans $G$ : $G$ est stable par $\circ$. Il contient ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_E=f_1$ et, d'après la question 1, l'inverse de chacun de ses éléments. Donc $\boxed{{\displaystyle G\text{ est un sous-groupe de }(S_E,\circ )}}$ (non commutatif, de cardinal 6).

4. Valeurs sur $X$ : $f_2$ : $-1\mapsto -1$, $\frac{1}{2}\mapsto 2$, $2\mapsto \frac{1}{2}$ ; $f_3$ : $-1\mapsto 2$, $\frac{1}{2}\mapsto \frac{1}{2}$, $2\mapsto -1$ ; $f_4$ : $-1\mapsto \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}\mapsto 2$, $2\mapsto -1$ ; $f_5$ : $-1\mapsto 2$, $\frac{1}{2}\mapsto -1$, $2\mapsto \frac{1}{2}$ ; $f_6$ : $-1\mapsto \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}\mapsto -1$, $2\mapsto 2$. Chaque $f\in G$ envoie $X$ dans $X$ et est injective, donc $f(X)=X$ ($X$ est fini) : $\phi (f)\in S_X$. Morphisme : pour $f,g\in G$ et $a\in X$, $\phi (f\circ g)(a)=f(g(a))=\phi (f)(\phi (g)(a))$, donc $\phi (f\circ g)=\phi (f)\circ \phi (g)$. Injectivité : si $\phi (f)={\mathrm{i}\mathrm{d}}_X$, $f$ fixe $-1$, $\frac{1}{2}$ et $2$ ; d'après la liste ci-dessus, seule $f_1$ convient. Donc $\mathrm{Ker}\phi =\{f_1\}$ et $\phi$ est injectif (fiche §5). Bijectivité : $\phi$ est injective entre deux ensembles de même cardinal $6=3!$, donc bijective. $\boxed{{\displaystyle \phi \text{ est un isomorphisme de }G\text{ sur }{S}_X}}$.

5. Avec la numérotation donnée : $\phi (f_1)=\mathrm{i}\mathrm{d}$, $\phi (f_2)=(23)$, $\phi (f_3)=(13)$, $\phi (f_6)=(12)$, $\phi (f_4)=(123)$, $\phi (f_5)=(132)$.

6. Soit $H$ un sous-groupe de $G$. Si $H$ contient $f_4$ ou $f_5$, il contient les deux (l'un est l'inverse de l'autre). Si $H$ contient deux éléments distincts parmi les involutions $f_2,f_3,f_6$, il contient leur composé, qui est $f_4$ ou $f_5$ (table). Si $H$ contient $f_4$, $f_5$ et une involution $f$, il contient $f\circ f_4$ et $f\circ f_5$, qui sont les deux autres involutions (table) : $H=G$. Il reste donc exactement : $\{f_1\}$, $\{f_1,f_2\}$, $\{f_1,f_3\}$, $\{f_1,f_6\}$, $\{f_1,f_4,f_5\}$ et $G$, qui sont bien des sous-groupes (stables par la table, contenant $f_1$ et les inverses). $\boxed{{\displaystyle G\text{ a exactement 6 sous-groupes}}}$, comme $S_3$.

1. $({\omega }^k{)}^m=e^{2i\pi km\mathrm{/}18}=1⟺18\mid km$. Écrivons $18=d{n}^{\mathrm{\prime }}$ et $k=d{k}^{\mathrm{\prime }}$ avec $n^{\mathrm{\prime }}\wedge k^{\mathrm{\prime }}=1$. Alors $18\mid km⟺n^{\mathrm{\prime }}\mid k^{\mathrm{\prime }}m⟺n^{\mathrm{\prime }}\mid m$, la dernière équivalence par le lemme de Gauss ($n^{\mathrm{\prime }}\wedge k^{\mathrm{\prime }}=1$). Le plus petit $m\ge 1$ multiple de $n^{\mathrm{\prime }}=\frac{18}{d}$ est $n^{\mathrm{\prime }}$ lui-même : $\boxed{{\displaystyle \text{l’ordre de }{\omega }^k\text{ est }\frac{18}{18\wedge k}}}$. (Pour $k=0$ : ordre $1$.)

2. Diviseurs de $18$ : $1,2,3,6,9,18$.

Total : $1+1+2+2+6+6=18$.

3. ${\omega }^k$ engendre ${𝕌}_{18}$ si et seulement si $⟨{\omega }^k⟩$ a 18 éléments, c'est-à-dire si ${\omega }^k$ est d'ordre 18 (fiche §6), soit $k\wedge 18=1$ : $\boxed{{\displaystyle \omega ,{\omega }^5,{\omega }^7,{\omega }^{11},{\omega }^{13},{\omega }^{17}}}$.

4. Un sous-groupe par diviseur : ${𝕌}_1=\{1\}$, ${𝕌}_2=\{1,-1\}$, ${𝕌}_3$, ${𝕌}_6$, ${𝕌}_9$, ${𝕌}_{18}$, soit 6 sous-groupes. ${𝕌}_6$ est formé des ${\omega }^k$ d'ordre divisant 6, c'est-à-dire ${𝕌}_6=\{{\omega }^{3j},0\le j\le 5\}=\{1,{\omega }^3,{\omega }^6,{\omega }^9,{\omega }^{12},{\omega }^{15}\}$ (car ${\omega }^3=e^{i\pi \mathrm{/}3}$).

5. $\psi (k+l)={\omega }^{k+l}={\omega }^k{\omega }^l=\psi (k)\psi (l)$ : morphisme. Il est surjectif car tout élément de ${𝕌}_{18}$ est un ${\omega }^k$. $\mathrm{Ker}\psi =\{k,{\omega }^k=1\}=\boxed{{\displaystyle 18\mathbb{Z}}}$ (question 1 avec l'ordre $18$ de $\omega$). Enfin ${\omega }^k\in {𝕌}_6⟺{\omega }^{6k}=1⟺18\mid 6k⟺3\mid k$ : $\boxed{{\displaystyle {\psi }^{-1}({𝕌}_6)=3\mathbb{Z}}}$, sous-groupe de $\mathbb{Z}$ comme prévu (image réciproque d'un sous-groupe).

6. ${𝕌}_6\cap {𝕌}_9={𝕌}_{6\wedge 9}=\boxed{{\displaystyle {𝕌}_3}}$ (fiche §3). Ensuite, ${𝕌}_6$ et ${𝕌}_9$ sont inclus dans ${𝕌}_{18}$, qui est stable : tout produit $uv$ est dans ${𝕌}_{18}$. Réciproquement, ${\omega }^3\in {𝕌}_6$ et ${\omega }^2\in {𝕌}_9$, et $\omega ={\omega }^3\cdot ({\omega }^2{)}^{-1}$ ; donc ${\omega }^k=({\omega }^3{)}^k({\omega }^2{)}^{-k}=uv$ avec $u={\omega }^{3k}\in {𝕌}_6$ et $v={\omega }^{-2k}\in {𝕌}_9$. D'où l'égalité.

1. On applique $(bc)$ puis $(ab)$ : $a\mapsto a\mapsto b$ ; $b\mapsto c\mapsto c$ ; $c\mapsto b\mapsto a$ ; tout autre élément est fixe. C'est le cycle $a\mapsto b\mapsto c\mapsto a$, soit $(abc)$. Par récurrence sur $p$ (en appliquant ce calcul à $(a_1{a}_2)(a_2\cdots a_p)$), $(a_1\cdots a_p)=(a_1{a}_2)(a_2{a}_3)\cdots (a_{p-1}{a}_p)$, produit de $p-1$ transpositions. La signature étant un morphisme valant $-1$ sur les transpositions : $\boxed{{\displaystyle \epsilon ((a_1\cdots a_p))=(-1{)}^{p-1}}}$.

2. On applique de droite à gauche $(1i)$, $(1j)$, $(1i)$ : $i\mapsto 1\mapsto j\mapsto j$ ; $j\mapsto j\mapsto 1\mapsto i$ ; $1\mapsto i\mapsto i\mapsto 1$ ; les autres éléments sont fixes. On obtient $(ij)$. Toute transposition $(ij)$ est donc soit de la forme $(1k)$ (si $1\in \{i,j\}$), soit un produit de trois telles transpositions ; comme toute permutation est un produit de transpositions (fiche §4), elle est un produit de transpositions $(1k)$.

3.(a) Pour $i<j$, $\rho (i)=n+1-i>n+1-j=\rho (j)$ : tous les couples sont des inversions, soit $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{2}\right)=\frac{n(n-1)}{2}$, et $\epsilon (\rho )=(-1{)}^{n(n-1)\mathrm{/}2}$.

(b) $\rho$ échange $i$ et $n+1-i$ ; pour $n=2m$ : $\rho =(1n)(2n-1)\cdots (mm+1)$ ; pour $n=2m+1$, même chose et $m+1$ est fixe. Dans les deux cas $\rho$ est produit de $m=E\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{n}{2}\right)$ transpositions disjointes : $\epsilon (\rho )=(-1{)}^{E(n\mathrm{/}2)}$.

(c) Si $n=2m$ : $\frac{n(n-1)}{2}=m(2m-1)=2m^2-m\equiv m(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$. Si $n=2m+1$ : $\frac{n(n-1)}{2}=(2m+1)m=2m^2+m\equiv m(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$. Les deux expressions ont donc la même parité. $\rho$ est paire si et seulement si $m=E(n\mathrm{/}2)$ est pair, c'est-à-dire $\boxed{{\displaystyle n\equiv 0\text{ ou }1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)}}$ (par exemple $\rho$ est impaire pour $n=2,3$, paire pour $n=4,5$).

4. $A_n=\mathrm{Ker}\epsilon$, noyau du morphisme $\epsilon :S_n\to \{-1,1\}$ : c'est un sous-groupe (fiche §5). Soit $\tau =(12)$ et $g:S_n\to S_n$, $\sigma \mapsto \tau \sigma$ ; $g$ est bijective (de réciproque elle-même, car ${\tau }^2=\mathrm{i}\mathrm{d}$) et $\epsilon (\tau \sigma )=-\epsilon (\sigma )$ : $g$ échange les permutations paires et impaires, donc réalise une bijection de $A_n$ sur $S_n\setminus A_n$. Ces deux ensembles ont le même cardinal, de somme $n!$ : $\boxed{{\displaystyle \mathrm{card}{A}_n=\frac{n!}{2}}}$.

5. Un 3-cycle de $S_4$ est déterminé par son support (4 choix de l'élément fixe) et par l'un des deux cycles possibles sur ce support ($(abc)$ ou $(acb)$) : $4\times 2=8$ cycles. Les produits de deux transpositions disjointes sont $(12)(34)$, $(13)(24)$, $(14)(23)$ : 3. Ces 11 permutations et l'identité sont paires (signatures $(-1{)}^2=1$ et $(-1)(-1)=1$), soit 12 éléments distincts, et $\mathrm{card}{A}_4=\frac{24}{2}=12$ : $A_4$ est formé exactement de l'identité, des huit 3-cycles et des trois doubles transpositions.

1. Pour $x\in E$ : ${\mathrm{𝟙}}_A(x){\mathrm{𝟙}}_B(x)=1⟺x\in A$ et $x\in B$, d'où la première formule. Pour la seconde, on examine les quatre cas : si $x$ est dans $A$ et dans $B$, le membre de droite vaut $1+1-2=0$ ; s'il est dans un seul des deux, il vaut $1$ ; s'il n'est dans aucun, il vaut $0$. C'est exactement ${\mathrm{𝟙}}_{A\mathrm{\Delta }B}(x)$.

2. Notons $a={\mathrm{𝟙}}_A$, $b={\mathrm{𝟙}}_B$, $c={\mathrm{𝟙}}_C$ ; ces fonctions vérifient $a^2=a$.

• Associativité de $\mathrm{\Delta }$ : ${\mathrm{𝟙}}_{(A\mathrm{\Delta }B)\mathrm{\Delta }C}=(a+b-2ab)+c-2(a+b-2ab)c=a+b+c-2(ab+bc+ca)+4abc$, expression symétrique en $a,b,c$ ; on obtient la même pour ${\mathrm{𝟙}}_{A\mathrm{\Delta }(B\mathrm{\Delta }C)}$, donc $(A\mathrm{\Delta }B)\mathrm{\Delta }C=A\mathrm{\Delta }(B\mathrm{\Delta }C)$.
• Commutativité évidente ; neutre $\mathrm{\varnothing }$ ($A\mathrm{\Delta }\mathrm{\varnothing }=A$) ; opposé : $A\mathrm{\Delta }A=\mathrm{\varnothing }$, donc l'opposé de $A$ est $A$ lui-même. $(𝒫(E),\mathrm{\Delta })$ est un groupe commutatif.
• $\cap$ est associative, commutative, de neutre $E$.
• Distributivité : ${\mathrm{𝟙}}_{A\cap (B\mathrm{\Delta }C)}=a(b+c-2bc)=ab+ac-2(ab)(ac)$ car $a^2=a$ ; c'est ${\mathrm{𝟙}}_{(A\cap B)\mathrm{\Delta }(A\cap C)}$.

Donc $\boxed{{\displaystyle (𝒫(E),\mathrm{\Delta },\cap )\text{ est un anneau commutatif}}}$, de zéro $\mathrm{\varnothing }$ et d'unité $E$.

3. Si $A\cap X=E$, alors $A\supset E$, donc $A=E$ ; et $E$ est inversible ($E\cap E=E$). $\boxed{{\displaystyle U(𝒫(E))=\{E\}}}$. Si $E$ a au moins deux éléments, soit $A$ une partie différente de $\mathrm{\varnothing }$ et de $E$ (par exemple un singleton) : $A\mathrm{\ne }\mathrm{\varnothing }$, $E\setminus A\mathrm{\ne }\mathrm{\varnothing }$ et $A\cap (E\setminus A)=\mathrm{\varnothing }$ : l'anneau n'est pas intègre. Si $E=\{x_0\}$, l'anneau est $\{\mathrm{\varnothing },E\}$, où $E$ est inversible : c'est un corps à deux éléments, donc intègre. Conclusion : intègre $⟺\mathrm{card}E=1$.

4. Dans le groupe $(𝒫(E),\mathrm{\Delta })$, on compose par l'opposé de $A$, qui est $A$ : $A\mathrm{\Delta }X=B⟺X=A\mathrm{\Delta }B$. Solution unique $X=A\mathrm{\Delta }B$. Application : $X=\{1,2\}\mathrm{\Delta }\{2,3\}=\boxed{{\displaystyle \{1,3\}}}$ ; vérification : $\{1,2\}\mathrm{\Delta }\{1,3\}=\{2,3\}$.

5. $(x+x{)}^2=x+x$ et, en développant (distributivité), $(x+x{)}^2=x^2+x^2+x^2+x^2=x+x+x+x$. En simplifiant dans le groupe $(R,+)$ : $x+x=0$. Ensuite $(x+y{)}^2=x+y$ et $(x+y{)}^2=x^2+xy+yx+y^2=x+xy+yx+y$, d'où $xy+yx=0$, soit $xy=-(yx)$. Or $-(yx)=yx$ d'après ce qui précède (appliqué à l'élément $yx$). Donc $xy=yx$ : $\boxed{{\displaystyle R\text{ est commutatif}}}$. L'anneau de la question 2 en est un exemple.