Pour $g:A\to 𝕂$ bornée, on pose $$\parallel g{\parallel }_{\mathrm{\infty }}=\parallel g{\parallel }_{\mathrm{\infty },A}=\underset{x\in A}{\sup }\mid g(x)\mid \mathrm{.}$$ C'est une norme sur l'espace $ℬ(A,𝕂)$ des fonctions bornées sur $A$, appelée norme de la convergence uniforme. On précise toujours la partie : $\parallel g{\parallel }_{\mathrm{\infty },[0,1]}$ et $\parallel g{\parallel }_{\mathrm{\infty },{ℝ}_{+}}$ peuvent être très différents.

Lire un sup. $\parallel g{\parallel }_{\mathrm{\infty },A}\le M$ signifie : $\mid g(x)\mid \le M$ pour tout $x\in A$, avec $M$ indépendant de $x$. Pour calculer un sup, on étudie la fonction (dérivée, tableau de variations) ; pour le minorer, il suffit d'une valeur $\mid g(x_0)\mid$ bien choisie.

Définition. $(f_n)$ converge simplement sur $A$ vers $f:A\to 𝕂$ si, pour chaque $x\in A$ fixé, la suite numérique $(f_n(x))$ converge vers $f(x)$ : $$\mathrm{\forall }x\in A,\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }n\ge N,\mid f_n(x)-f(x)\mid \le \epsilon \mathrm{.}$$ Ici $N$ dépend de $\epsilon$ et de $x$. La fonction $f$, appelée limite simple, s'obtient en fixant $x$ et en calculant une limite de suite.

La convergence simple conserve les inégalités larges, la monotonie, la convexité, le caractère lipschitzien (avec la même constante). Elle ne conserve pas la continuité : sur $[0,1]$, $x^n$ tend vers $0$ si $x<1$ et vers $1$ si $x=1$ ; cette limite simple est discontinue en $1$. Elle ne permet pas non plus d'intervertir limite et intégrale (§5).

Définition. $(f_n)$ converge uniformément sur $A$ vers $f$ si $$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }n\ge N,\mathrm{\forall }x\in A,\mid f_n(x)-f(x)\mid \le \epsilon \mathrm{.}$$ Le rang $N$ ne dépend que de $\epsilon$ : le « $\mathrm{\forall }x$ » est passé après le « $\mathrm{\exists }N$ ». De façon équivalente : $f_n-f$ est bornée pour $n$ assez grand et $$\parallel f_n-f{\parallel }_{\mathrm{\infty },A}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{⟶}0.$$ La convergence uniforme entraîne la convergence simple, vers la même limite. La réciproque est fausse (exemple de $x^n$).

Méthode pour l'établir. (1) Calculer la limite simple $f$. (2) Majorer $\mid f_n(x)-f(x)\mid \le {\alpha }_n$ pour tout $x\in A$, avec ${\alpha }_n$ indépendant de $x$ et ${\alpha }_n\to 0$ ; ou calculer exactement $\parallel f_n-f{\parallel }_{\mathrm{\infty }}$ par une étude de fonction.

Méthode pour la nier. Trouver $x_n\in A$ tel que $\mid f_n(x_n)-f(x_n)\mid$ ne tend pas vers $0$ (souvent $x_n=\frac{1}{n}$, ou le point où $\mid f_n-f\mid$ est maximal). Autres arguments : $f_n-f$ non bornée pour tout $n$ ; limite simple discontinue alors que les $f_n$ sont continues (§4).

Exemples.

• $f_n(x)={\displaystyle \frac{\sin (nx)}{n}}$ : $\parallel f_n{\parallel }_{\mathrm{\infty },ℝ}=\frac{1}{n}\to 0$, convergence uniforme sur $ℝ$ vers $0$.
• $f_n(x)=x^n$ sur $[0,a]$ avec $0<a<1$ : $\parallel f_n{\parallel }_{\mathrm{\infty }}=a^n\to 0$. Sur $[0,1[$ : $\parallel f_n{\parallel }_{\mathrm{\infty }}=1$ pour tout $n$, pas de convergence uniforme.
• $f_n(x)={\displaystyle \frac{nx}{1+n^4{x}^4}}$ sur ${ℝ}_{+}$ : limite simple nulle, mais $f_n\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{2}$ : pas de convergence uniforme.

Convergence uniforme sur tout segment. On dit que $(f_n)$ converge uniformément sur tout segment de $I$ si elle converge uniformément sur chaque $[a,b]\subset I$. C'est plus faible que la convergence uniforme sur $I$ (cas de $x^n$ sur $[0,1[$) et c'est souvent ce qu'on obtient sur un intervalle ouvert ; c'est aussi tout ce dont ont besoin la continuité et la dérivation.

Critère de Cauchy uniforme. $(f_n)$ converge uniformément sur $A$ si et seulement si $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }N,\mathrm{\forall }p,q\ge N,\parallel f_p-f_q{\parallel }_{\mathrm{\infty },A}\le \epsilon$. Il sert quand la limite est inconnue (il repose sur la complétude de $𝕂$).

Opérations. Une combinaison linéaire de suites uniformément convergentes converge uniformément. Pour un produit, il faut en plus que les limites soient bornées.

Théorème (continuité de la limite). Hypothèses : (i) chaque $f_n$ est continue en $a\in A$ (resp. sur $A$) ; (ii) $(f_n)$ converge uniformément sur $A$ vers $f$. Conclusion : $f$ est continue en $a$ (resp. sur $A$).

Comme la continuité est locale, sur un intervalle $I$ il suffit que la convergence soit uniforme sur tout segment de $I$ (ou au voisinage de chaque point). Preuve en « $\epsilon \mathrm{/}3$ » : $\mid f(x)-f(a)\mid \le \mid f(x)-f_n(x)\mid +\mid f_n(x)-f_n(a)\mid +\mid f_n(a)-f(a)\mid$.

Contraposée très utile : si les $f_n$ sont continues et la limite simple ne l'est pas, la convergence n'est pas uniforme. La réciproque est fausse : une limite continue n'assure pas la convergence uniforme ($\frac{nx}{1+n^4{x}^4}$, §3).

Théorème de la double limite. Soit $a$ un point adhérent à $A$, ou $a=+\mathrm{\infty }$ si $A$ n'est pas majorée ($-\mathrm{\infty }$ de même). Hypothèses : (i) $(f_n)$ converge uniformément sur $A$ vers $f$ ; (ii) pour chaque $n$, $f_n(x)\to {\mathrm{\ell }}_n\in 𝕂$ quand $x\to a$. Conclusion : la suite $({\mathrm{\ell }}_n)$ converge vers un $\mathrm{\ell }\in 𝕂$, et $f(x)\to \mathrm{\ell }$ quand $x\to a$. Autrement dit $$\underset{x\to a}{\lim }\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{x\to a}{\lim }{f}_n(x)\mathrm{.}$$ L'existence de $\lim {\mathrm{\ell }}_n$ fait partie de la conclusion : elle vient de $\mid {\mathrm{\ell }}_p-{\mathrm{\ell }}_q\mid \le \parallel f_p-f_q{\parallel }_{\mathrm{\infty }}$ (suite de Cauchy). Sans convergence uniforme, l'interversion peut être fausse : pour $f_n(x)=x^n$ sur $[0,1[$ et $a=1$, on trouve $0\mathrm{\ne }1$.

Théorème. Hypothèses : (i) chaque $f_n$ est continue sur le segment $[a,b]$ ; (ii) $(f_n)$ converge uniformément sur $[a,b]$ vers $f$. Conclusion : $f$ est continue sur $[a,b]$ et $${\int }_a^b{f}_n(t)dt\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{⟶}{\int }_a^{b}f(t)dt\mathrm{.}$$ Preuve en une ligne : $\mid {\int }_a^b{f}_n-{\int }_a^{b}f\mid \le (b-a)\parallel f_n-f{\parallel }_{\mathrm{\infty },[a,b]}$ (inégalité de la moyenne).

Primitives. Si les $f_n$ sont continues sur un intervalle $I$, si $x_0\in I$ et si $(f_n)$ converge uniformément sur tout segment de $I$ vers $f$, alors $x\mapsto {\int }_{x_0}^x{f}_n$ converge uniformément sur tout segment de $I$ vers $x\mapsto {\int }_{x_0}^{x}f$.

Mises en garde.

• La convergence uniforme est suffisante, pas nécessaire : on peut avoir $\int f_n\to \int f$ sans elle.
• Sans elle, l'interversion peut échouer : $f_n(x)={\displaystyle \frac{n^{2}x}{(1+nx{)}^3}}$ tend simplement vers $0$ sur $[0,1]$, mais ${\int }_0^1{f}_n\to \frac{1}{2}$ (exercice 1).
• Le théorème est limité aux segments : $f_n=\frac{1}{n}{\mathrm{𝟏}}_{[0,n]}$ converge uniformément vers $0$ sur ${ℝ}_{+}$ et ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{f}_n=1$. Sur un intervalle quelconque, on utilisera la convergence dominée (chapitre « Intégrales à paramètre »).

La convergence uniforme de $(f_n)$ ne transmet pas la dérivabilité : $f_n(x)=\sqrt{x^2+\frac{1}{n}}$ converge uniformément sur $ℝ$ vers $\mid x\mid$ (car $0\le f_n(x)-\mid x\mid \le \frac{1}{\sqrt{n}}$), qui n'est pas dérivable en $0$. C'est la suite des dérivées qu'il faut contrôler.

Théorème (dérivation de la limite). Soit $I$ un intervalle. Hypothèses : (i) chaque $f_n$ est de classe $C^1$ sur $I$ ; (ii) $(f_n)$ converge simplement sur $I$ vers $f$ (il suffit même que $(f_n(x_0))$ converge pour un $x_0\in I$) ; (iii) $(f_n^{\mathrm{\prime }})$ converge uniformément sur tout segment de $I$ vers une fonction $g$. Conclusion : $f$ est de classe $C^1$ sur $I$, $f^{\mathrm{\prime }}=g$, c'est-à-dire ${(\lim f_n)}^{\mathrm{\prime }}=\lim f_n^{\mathrm{\prime }}$, et $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur tout segment de $I$.

Idée de la preuve : $f_n(x)=f_n(x_0)+{\int }_{x_0}^x{f}_n^{\mathrm{\prime }}$, puis on passe à la limite avec le §5 et le théorème fondamental de l'analyse.

Classe $C^k$. Si les $f_n$ sont $C^k$ sur $I$, si $(f_n^{(j)})$ converge simplement pour $0\le j\le k-1$ et si $(f_n^{(k)})$ converge uniformément sur tout segment de $I$, alors $f$ est $C^k$ et $f^{(j)}=\lim f_n^{(j)}$ pour $j\le k$.

À une suite $(u_n)$ de fonctions de $A$ dans $𝕂$, on associe les sommes partielles $S_n={\sum }_{k=0}^n{u}_k$. La série de fonctions $\sum u_n$ est la suite de fonctions $(S_n)$ : tout ce qui précède s'applique.

• Convergence simple sur $A$ : pour chaque $x\in A$, la série numérique $\sum u_n(x)$ converge. On note $S(x)={\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n(x)$ (la somme) et $R_n(x)={\sum }_{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k(x)$ (le reste), de sorte que $S=S_n+R_n$.
• Convergence uniforme sur $A$ : $(S_n)$ converge uniformément vers $S$, c'est-à-dire, après convergence simple, $$\parallel R_n{\parallel }_{\mathrm{\infty },A}=\underset{x\in A}{\sup }\mid \sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k(x)\mid \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{⟶}0.$$

Condition nécessaire. Si $\sum u_n$ converge uniformément sur $A$, alors $u_n=R_{n-1}-R_n$ tend uniformément vers $0$ sur $A$. Contraposée : si $\parallel u_n{\parallel }_{\mathrm{\infty },A}\to ̸0$, la convergence n'est pas uniforme.

Séries alternées (version uniforme). On suppose que, pour chaque $x\in A$, $u_n(x)=(-1{)}^n{a}_n(x)$ avec $(a_n(x){)}_n$ décroissante et de limite nulle. Le critère des séries alternées donne, pour tout $x$ : $\mid R_n(x)\mid \le a_{n+1}(x)$. Donc si ${\sup }_{x\in A}{a}_{n+1}(x)\to 0$, la série converge uniformément sur $A$. C'est l'outil standard quand la convergence normale échoue (exercices 2 et 4).

Définition. $\sum u_n$ converge normalement sur $A$ si chaque $u_n$ est bornée sur $A$ et si la série numérique $\sum \parallel u_n{\parallel }_{\mathrm{\infty },A}$ converge. En pratique, on cherche ${\alpha }_n\ge 0$ indépendant de $x$ tel que $$\mathrm{\forall }x\in A,\mid u_n(x)\mid \le {\alpha }_n\text{et}\sum {\alpha }_n\text{ converge}\mathrm{.}$$

Théorème. La convergence normale sur $A$ entraîne la convergence absolue en chaque point et la convergence uniforme sur $A$. Preuve : $\mid R_n(x)\mid \le {\sum }_{k>n}\mid u_k(x)\mid \le {\sum }_{k>n}\parallel u_k{\parallel }_{\mathrm{\infty }}$, reste d'une série numérique convergente, indépendant de $x$.

Schéma des implications $$\text{normale }⟹\text{ uniforme }⟹\text{ simple},\text{normale }⟹\text{ absolue en tout point }⟹\text{ simple}\mathrm{.}$$ Aucune réciproque n'est vraie :

• $\sum \frac{(-1{)}^n}{n}$ (fonctions constantes) converge uniformément sur $ℝ$ sans converger normalement ;
• $\sum (-1{)}^n\frac{x}{n+x}$ converge uniformément sur $[0,1]$ sans converger absolument en aucun $x>0$ (exercice 2) ;
• $\sum x^n(1-x)$ converge simplement sur $[0,1]$ (somme $1$ sur $[0,1[$, $0$ en $1$) sans converger uniformément.

Normale sur tout segment, normale sur $I$. « $\sum \frac{x}{n^2}$ converge normalement sur tout segment de $ℝ$ » est vrai ; « sur $ℝ$ » est faux ($\parallel u_n{\parallel }_{\mathrm{\infty },ℝ}=+\mathrm{\infty }$). Toujours écrire sur quelle partie on travaille.

On applique les §4 à §6 à la suite $(S_n)$. Soit $I$ un intervalle.

Pour $C^{\mathrm{\infty }}$ : vérifier l'hypothèse de la dernière ligne pour tout $k$. Dans les sujets, la convergence uniforme demandée s'obtient presque toujours par convergence normale sur $[a,b]$ ou sur $[a,+\mathrm{\infty }[$.

Limite en une borne par la double limite. Exemple : ${\sum }_{n\ge 1}\frac{e^{-nx}}{n^2}$ converge normalement sur ${ℝ}_{+}$ (majorant $\frac{1}{n^2}$) et chaque terme tend vers $0$ en $+\mathrm{\infty }$ : la somme tend vers $0$ en $+\mathrm{\infty }$.

Par des fonctions en escalier. Sur un segment $[a,b]$, toute fonction continue par morceaux s'approche uniformément par des fonctions en escalier (c'est la construction de l'intégrale, Intégration §3).

Théorème de Weierstrass. Hypothèse : $f$, à valeurs dans $𝕂$, est continue sur $[a,b]$, qui est un segment ($a<b$). Conclusion : il existe une suite $(P_n)$ de fonctions polynomiales telle que $\parallel f-P_n{\parallel }_{\mathrm{\infty },[a,b]}\to 0$. Autrement dit, les polynômes forment une partie dense de $(C([a,b],𝕂),\parallel \cdot {\parallel }_{\mathrm{\infty }})$.

• La démonstration n'est pas exigible ; deux preuves classiques sont des sujets de problème : polynômes de Bernstein, ou noyaux $(1-t^2{)}^n$ (exercice 9).
• Segment indispensable : si des polynômes convergent uniformément sur $ℝ$ tout entier, leur limite est un polynôme ; aucune suite de polynômes n'approche donc $\exp$ uniformément sur $ℝ$.
• Les dérivées des $P_n$ n'ont aucune raison de converger : $x\mapsto \mid x\mid$ s'approche uniformément par des polynômes sur $[-1,1]$.

Application type (« moments nuls »). Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et ${\int }_a^{b}f(t)t^{n}dt=0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, alors $f=0$. On prend $P_n\to f$ uniformément ; par linéarité ${\int }_a^{b}f{P}_n=0$, et $\mid {\int }_a^{b}f{P}_n-{\int }_a^b{f}^2\mid \le (b-a)\parallel f{\parallel }_{\mathrm{\infty }}\parallel P_n-f{\parallel }_{\mathrm{\infty }}\to 0$, d'où ${\int }_a^b{f}^2=0$ et $f=0$ (fonction continue positive d'intégrale nulle). Variantes : exercice 5.

La fonction zêta de Riemann

$$\zeta (x)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^x}\mathrm{.}$$

1. Définition : série de Riemann, convergente si et seulement si $x>1$. Domaine $]1,+\mathrm{\infty }[$.
2. Convergence : pour $a>1$ et $x\ge a$, $0<n^{-x}\le n^{-a}$ : convergence normale sur $[a,+\mathrm{\infty }[$. Elle n'est pas uniforme sur $]1,+\mathrm{\infty }[$ : pour $n$ fixé, $R_n(x)\ge {\sum }_{k=n+1}^N{k}^{-x}$, qui tend vers ${\sum }_{k=n+1}^N\frac{1}{k}$ quand $x\to 1^{+}$, et cette somme est aussi grande qu'on veut, donc ${\sup }_{x>1}{R}_n(x)=+\mathrm{\infty }$.
3. Régularité : $\zeta$ est $C^{\mathrm{\infty }}$ sur $]1,+\mathrm{\infty }[$ avec ${\zeta }^{(k)}(x)=(-1{)}^k{\sum }_{n\ge 2}\frac{(\ln n{)}^k}{n^x}$ (convergence normale sur $[a,+\mathrm{\infty }[$ car $\frac{(\ln n{)}^k}{n^x}\le \frac{(\ln n{)}^k}{n^a}$ et $\frac{(\ln n{)}^k}{n^a}=o\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{n^{(1+a)\mathrm{/}2}}\right)$). Donc $\zeta$ est strictement décroissante (${\zeta }^{\mathrm{\prime }}<0$) et convexe (${\zeta }^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}>0$).
4. Limite en $+\mathrm{\infty }$ : double limite sur $[2,+\mathrm{\infty }[$ ($1$ pour $n=1$, $0$ sinon) : $\zeta (x)\to 1$.
5. Comportement en $1^{+}$ : $t\mapsto t^{-x}$ décroît ; la comparaison série-intégrale donne $\frac{1}{x-1}\le \zeta (x)\le 1+\frac{1}{x-1}$, donc et $\zeta (x)\to +\mathrm{\infty }$.
6. Valeur admise dans les sujets : $\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$.

La fonction zêta alternée

${\displaystyle \eta (x)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^x}}$ est définie sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ (critère des séries alternées). Le reste vérifie $\mid R_n(x)\mid \le (n+1{)}^{-x}\le (n+1{)}^{-a}$ pour $x\ge a>0$ : convergence uniforme sur $[a,+\mathrm{\infty }[$, donc $\eta$ est continue sur $]0,+\mathrm{\infty }[$. Pour $0<a\le 1$, cette convergence n'est pas normale sur $[a,+\mathrm{\infty }[$ ($\sum n^{-a}$ diverge) ; elle n'est même pas uniforme sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, car ${\sup }_{x>0}{n}^{-x}=1$ ne tend pas vers $0$. Pour $x>1$, en séparant les indices pairs : $\eta (x)=(1-2^{1-x})\zeta (x)$.

Étudier une fonction donnée comme somme de série, $S(x)=\sum u_n(x)$ : un plan

1. Domaine : pour $x$ fixé, nature de la série numérique (Riemann, comparaison, critère alterné, géométrique).
2. Convergence normale sur les parties $[a,b]$ ou $[a,+\mathrm{\infty }[$ ; dire où elle échoue.
3. Continuité sur le domaine (convergence uniforme sur tout segment).
4. Limites aux bornes : double limite quand la convergence est uniforme jusqu'à la borne ; sinon minoration (termes positifs : $S(x)\ge {\sum }_{n\le N}{u}_n(x)$) ou comparaison série-intégrale pour un équivalent.
5. Dérivabilité : convergence normale de $\sum u_n^{\mathrm{\prime }}$ sur $[a,b]$ ; signe de $S^{\mathrm{\prime }}$, variations.
6. Relation fonctionnelle éventuelle ($S(x+1)$ en fonction de $S(x)$, par décalage d'indice), puis allure de la courbe.

Étudier la convergence d'une suite de fonctions

1. Fixer $x$ et calculer $f(x)=\lim f_n(x)$ (en distinguant les cas : $x=0$, $x>0$…).
2. Étudier $g_n=\mid f_n-f\mid$ : majoration directe par ${\alpha }_n\to 0$, ou dérivée et tableau de variations pour obtenir $\parallel g_n{\parallel }_{\mathrm{\infty }}$.
3. Si $\parallel g_n{\parallel }_{\mathrm{\infty }}\to ̸0$ sur $A$, chercher des parties plus petites ($[a,+\mathrm{\infty }[$, $[0,a]$, $[a,1]$) où la convergence est uniforme.

Étudier les modes de convergence d'une série $\sum u_n$

1. Convergence simple (et absolue) à $x$ fixé.
2. Calculer ou majorer $\parallel u_n{\parallel }_{\mathrm{\infty }}$ : si $\sum \parallel u_n{\parallel }_{\mathrm{\infty }}$ converge, convergence normale, donc uniforme.
3. Si $\parallel u_n{\parallel }_{\mathrm{\infty }}\to ̸0$ : pas de convergence uniforme.
4. Si la convergence normale échoue mais que $\parallel u_n{\parallel }_{\mathrm{\infty }}\to 0$ : majorer le reste (critère alterné uniforme, comparaison série-intégrale, calcul exact quand la somme est connue).

Intervertir somme et intégrale sur un segment

Établir la convergence uniforme sur $[a,b]$ (souvent normale), citer le théorème, puis calculer ${\int }_a^b{u}_n$ terme par terme. Exemple : ${\int }_0^1\frac{\ln (1+x)}{x}dx={\sum }_{n\ge 1}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{12}$ (exercice 4).

Montrer qu'une somme n'est pas dérivable en un point

Utiliser la limite de la dérivée ($S^{\mathrm{\prime }}(x)\to \pm \mathrm{\infty }$, ou deux limites latérales différentes), ou un taux d'accroissement minoré ($\frac{S(x)-S(0)}{x}\ge {\sum }_{n\le N}\frac{u_n(x)-u_n(0)}{x}$ pour des termes à taux positifs). Exercices 3, 6 et 7.

1. Majorant qui dépend de $x$ : écrire « $\mid u_n(x)\mid \le \frac{1}{n^{2}x}$, donc convergence normale sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ » est faux ; ce majorant donne la convergence normale sur $[a,+\mathrm{\infty }[$ seulement. Les rapports du jury relèvent cette faute chaque année.
2. Confondre convergence normale sur tout segment et convergence normale sur l'intervalle.
3. Intervertir sans le dire ($\lim \sum$, $\int \sum$, ${(\sum )}^{\mathrm{\prime }}$) : chaque interversion se justifie en nommant le théorème et en vérifiant ses hypothèses (continuité des $u_n$, segment, mode de convergence).
4. Dériver terme à terme en vérifiant la convergence uniforme de $\sum u_n$ au lieu de celle de $\sum u_n^{\mathrm{\prime }}$.
5. Croire que « limite continue » entraîne « convergence uniforme » ; ou conclure « pas de convergence uniforme » sans argument.
6. Calculer $\sup \mid f_n-f\mid$ en oubliant les bornes de l'intervalle, ou avec une limite simple $f$ qui dépend de $n$.
7. Appliquer l'intégration terme à terme sur un intervalle non borné avec la seule convergence uniforme.
8. Utiliser le théorème de Weierstrass sur un intervalle qui n'est pas un segment, ou pour une fonction non continue.
9. Rédaction : les abréviations « CVS, CVU, CVN » des résumés sont à proscrire dans une copie ; préciser à chaque fois la partie ($[a,+\mathrm{\infty }[$, ${ℝ}_{+}^{\ast }$…) et encadrer le résultat.

• Norme $\parallel f{\parallel }_{\mathrm{\infty }}=\sup \mid f\mid$, dite norme de la convergence uniforme ; on écrit aussi $\parallel f{\parallel }_{\mathrm{\infty },I}$ ou ${\sup }_{x\in I}\mid f(x)\mid$. Espace $C([a,b],ℝ)$ muni de $\parallel \cdot {\parallel }_{\mathrm{\infty }}$ ; continue par morceaux : $C_m$ ou ${𝒞}_{pm}$.
• Consignes typiques : étudier successivement les convergences simple et uniforme d'une suite ; étudier les « modes de convergence » d'une série (simple, absolue, uniforme, normale) ; prouver qu'une somme est $C^1$ ou $C^{\mathrm{\infty }}$ sur un intervalle ouvert ; chercher un équivalent de la somme en une borne ; dire si la convergence reste uniforme sur l'intervalle tout entier.
• Coefficients binomiaux notés $C_n^k$ dans de nombreux énoncés (polynômes de Bernstein) ; $\ln$, $\mathrm{ch}$, $\mathrm{sh}$, $\mathrm{th}$ ; partie entière $E(x)$.
• Devoirs : examen de décembre en 3 h, souvent un exercice et un problème (ou deux problèmes) ; au concours (Maths I, 4 h), questions numérotées Q.1, Q.2… sur un document réponse. Aucune calculatrice : les résultats sont exacts.
• Un résultat de l'énoncé peut être admis pour la suite : traiter la question suivante sans attendre.