Suites et séries de fonctions (Exercices) · Révisions prépa

Application du cours5 points

1. Trois suites de fonctions

Pour $n \geq 1$ et $x \geq 0$ , on pose $f_{n} (x) = \frac{x}{x + n}$ . Étudier la convergence simple de $(f_{n})$ sur $ℝ_{+}$ , puis sa convergence uniforme sur $[0, a]$ ( $a > 0$ ) et sur $ℝ_{+}$ .
Pour $n \geq 1$ , on pose $g_{n} (x) = x^{1 / n}$ pour $x \in] 0, 1]$ et $g_{n} (0) = 0$ . Étudier la convergence simple de $(g_{n})$ sur $[0, 1]$ , puis sa convergence uniforme sur $[0, 1]$ , sur $] 0, 1]$ et sur $[a, 1]$ ( $0 < a < 1$ ).
Pour $n \geq 1$ et $x \in [0, 1]$ , on pose $k_{n} (x) = \frac{n^{2} x}{(1 + n x)^{3}}$ . (a) Montrer que $k_{n} (x) \to 0$ pour tout $x \in [0, 1]$ . (b) Calculer $k_{n} ⁣ (\frac{1}{2 n})$ . La convergence est-elle uniforme sur $[0, 1]$ ? sur $[a, 1]$ pour $0 < a < 1$ ? (c) Calculer $\int_{0}^{1} k_{n} (x) d x$ et sa limite. Conclure.

Application du cours5 points

1. Trois suites de fonctions

Pour $n \geq 1$ et $x \geq 0$ , on pose $f_{n} (x) = \frac{x}{x + n}$ . Étudier la convergence simple de $(f_{n})$ sur $ℝ_{+}$ , puis sa convergence uniforme sur $[0, a]$ ( $a > 0$ ) et sur $ℝ_{+}$ .
Pour $n \geq 1$ , on pose $g_{n} (x) = x^{1 / n}$ pour $x \in] 0, 1]$ et $g_{n} (0) = 0$ . Étudier la convergence simple de $(g_{n})$ sur $[0, 1]$ , puis sa convergence uniforme sur $[0, 1]$ , sur $] 0, 1]$ et sur $[a, 1]$ ( $0 < a < 1$ ).
Pour $n \geq 1$ et $x \in [0, 1]$ , on pose $k_{n} (x) = \frac{n^{2} x}{(1 + n x)^{3}}$ . (a) Montrer que $k_{n} (x) \to 0$ pour tout $x \in [0, 1]$ . (b) Calculer $k_{n} ⁣ (\frac{1}{2 n})$ . La convergence est-elle uniforme sur $[0, 1]$ ? sur $[a, 1]$ pour $0 < a < 1$ ? (c) Calculer $\int_{0}^{1} k_{n} (x) d x$ et sa limite. Conclure.

Application du cours6 points

2. Modes de convergence de trois séries

Étudier la convergence simple, uniforme et normale des séries de fonctions suivantes, sur les parties indiquées.

$\sum_{n \geq 1} u_{n}$ avec $u_{n} (x) = \frac{x}{(1 + x)^{n}}$ , sur $ℝ_{+}$ puis sur $[a, + \infty [$ ( $a > 0$ ). On calculera la somme.
$\sum_{n \geq 1} v_{n}$ avec $v_{n} (x) = (- 1)^{n} \frac{x}{n + x}$ , sur $ℝ_{+}$ puis sur $[0, a]$ ( $a > 0$ ). Y a-t-il convergence absolue ?
$\sum_{n \geq 1} w_{n}$ avec $w_{n} (x) = x^{3} e^{- n x^{2}}$ , sur $ℝ_{+}$ . Calculer la somme $W (x)$ et en déduire, sans calcul de limite, la limite de $\frac{x^{3}}{e^{x^{2}} - 1}$ quand $x \to 0^{+}$ .

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1. Convergence simple. $u_{n} (0) = 0$ . Pour $x > 0$ , $q = \frac{1}{1 + x} \in] 0, 1 [$ et $\sum_{n \geq 1} x q^{n}$ est géométrique convergente : $\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{x}{(1 + x)^{n}} = x \cdot \frac{q}{1 - q} = x \cdot \frac{1 / (1 + x)}{x / (1 + x)} = 1.$ La somme $U$ vaut $0$ en $0$ et $1$ sur $] 0, + \infty [$ . Sur $ℝ_{+}$ : les $u_{n}$ sont continues et $U$ est discontinue en $0$ : pas de convergence uniforme sur $ℝ_{+}$ (fiche §9), donc pas de convergence normale non plus. Sur $[a, + \infty [$ : pour $x \geq a$ , $u_{n} (x) = \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{1}{(1 + x)^{n - 1}} \leq \frac{1}{(1 + a)^{n - 1}}$ car $\frac{x}{1 + x} \leq 1$ . Ce majorant ne dépend pas de $x$ et $\sum (1 + a)^{1 - n}$ est géométrique de raison $\frac{1}{1 + a} < 1$ : convergence normale, donc uniforme, sur $[a, + \infty [$ .

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Application du cours5 points

3. La fonction $f (x) = \sum \frac{e^{- n x}}{n^{2}}$

Pour $x \geq 0$ , on pose $f (x) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{e^{- n x}}{n^{2}}$ . On admet $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6}$ .

Montrer que $f$ est définie et continue sur $ℝ_{+}$ , et donner $f (0)$ .
Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ , puis un équivalent de $f (x)$ quand $x \to + \infty$ .
(a) Pour $y \in [0, 1 [$ , on pose $g (y) = \sum_{n \geq 1} \frac{y^{n}}{n}$ . Justifier que $g$ est une fonction $C^{1}$ sur $[0, 1 [$ , puis que $g (y) = - \ln (1 - y)$ . (b) Prouver que $f$ est une fonction $C^{1}$ sur $] 0, + \infty [$ , avec $f^{'} (x) = \ln (1 - e^{- x})$ .
La fonction $f$ est-elle dérivable à droite en $0$ ?

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1. Pour $x \geq 0$ : $0 < \frac{e^{- n x}}{n^{2}} \leq \frac{1}{n^{2}}$ , majorant indépendant de $x$ , terme d'une série convergente. La série converge normalement sur $ℝ_{+}$ , donc uniformément ; chaque terme est continu : $f$ est continue sur $ℝ_{+}$ et $f (0) = \frac{π^{2}}{6}$ .

2. Limite. Chaque terme tend vers $0$ en $+ \infty$ et la convergence est uniforme sur $ℝ_{+}$ : par le théorème de la double limite, $f (x) \to \sum 0 = 0$ . Équivalent. $e^{x} f (x) = \sum_{n \geq 1} \frac{e^{- (n - 1) x}}{n^{2}}$ . Les termes sont encore majorés par $\frac{1}{n^{2}}$ sur $ℝ_{+}$ (convergence normale) et tendent vers $1$ pour $n = 1$ , vers $0$ pour $n \geq 2$ . Double limite : $e^{x} f (x) \to 1$ , c'est-à-dire $f (x) \underset{+ \infty}{\sim} e^{- x}$ .

3.(a) Soit $b \in] 0, 1 [$ . Les fonctions $y \mapsto \frac{y^{n}}{n}$ sont $C^{1}$ , la série converge en $y = 0$ , et la série dérivée $\sum y^{n - 1}$ vérifie $∣ y^{n - 1} ∣ \leq b^{n - 1}$ sur $[0, b]$ : convergence normale sur $[0, b]$ . Par dérivation terme à terme, $g$ est $C^{1}$ sur $[0, b]$ et $g^{'} (y) = \sum_{n \geq 1} y^{n - 1} = \frac{1}{1 - y}$ . Comme $b$ est quelconque, cela vaut sur $[0, 1 [$ ; avec $g (0) = 0$ : $g (y) = - \ln (1 - y)$ .

(b) Les fonctions $u_{n} : x \mapsto \frac{e^{- n x}}{n^{2}}$ sont $C^{1}$ et $u_{n}^{'} (x) = - \frac{e^{- n x}}{n}$ . Pour $a > 0$ et $x \geq a$ : $∣ u_{n}^{'} (x) ∣ \leq e^{- n a}$ , terme d'une série géométrique convergente : $\sum u_{n}^{'}$ converge normalement sur $[a, + \infty [$ . Avec la convergence simple de $\sum u_{n}$ , le théorème de dérivation terme à terme donne : $f$ est $C^{1}$ sur $[a, + \infty [$ pour tout $a > 0$ , donc sur $] 0, + \infty [$ , et $f^{'} (x) = - \sum_{n \geq 1} \frac{{(e^{- x})}^{n}}{n} = - g ⁣ (e^{- x}) = \ln (1 - e^{- x}) (e^{- x} \in] 0, 1 [) .$

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Application du cours5 points

4. Intégrer terme à terme sans convergence normale

On pose $φ (x) = \frac{\ln (1 + x)}{x}$ pour $x \in] 0, 1]$ et $φ (0) = 1$ , et $u_{n} (x) = (- 1)^{n} \frac{x^{n}}{n + 1}$ pour $x \in [0, 1]$ et $n \in ℕ$ .

Soit $x \in] 0, 1 [$ . En intégrant terme à terme sur $[0, x]$ le développement $\frac{1}{1 + t} = \sum_{n \geq 0} (- t)^{n}$ , montrer que $φ (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n} (x)$ . Vérifier que l'égalité vaut aussi en $x = 0$ .
Montrer que $\sum u_{n}$ converge uniformément sur $[0, 1]$ mais pas normalement. En déduire $\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{(- 1)^{n}}{n + 1} = \ln 2$ .
On admet $\sum_{k \geq 1} \frac{1}{k^{2}} = \frac{π^{2}}{6}$ . Montrer que $\int_{0}^{1} \frac{\ln (1 + x)}{x} d x = \frac{π^{2}}{12}$ .
Par la même méthode, écrire $\int_{0}^{1} \frac{\arctan x}{x} d x$ sous forme de série.

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1. Pour $t \in [0, x]$ , $∣ (- t)^{n} ∣ \leq x^{n}$ avec $0 < x < 1$ : la série $\sum (- t)^{n}$ converge normalement sur le segment $[0, x]$ , vers $\frac{1}{1 + t}$ . Les termes sont continus ; par intégration terme à terme sur $[0, x]$ : $\ln (1 + x) = \int_{0}^{x} \frac{d t}{1 + t} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \int_{0}^{x} (- t)^{n} d t = \sum_{n = 0}^{+ \infty} (- 1)^{n} \frac{x^{n + 1}}{n + 1} .$ En divisant par $x > 0$ : $φ (x) = \sum_{n \geq 0} u_{n} (x)$ . En $x = 0$ : $u_{0} (0) = 1$ et $u_{n} (0) = 0$ pour $n \geq 1$ , de somme $1 = φ (0)$ .

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Niveau devoir7 points

5. Théorème de Weierstrass : moments nuls

On admet le théorème de Weierstrass (fiche §10).

Soit $f$ continue sur $[a, b]$ telle que $\int_{a}^{b} f (t) P (t) d t = 0$ pour toute fonction polynomiale $P$ . Montrer que $f = 0$ .
Soit $f$ continue sur $[0, 1]$ telle que $\int_{0}^{1} f (t) t^{2 n + 1} d t = 0$ pour tout $n \in ℕ$ . Montrer que $f = 0$ .
Soit $f$ continue sur $[0, 1]$ telle que $\int_{0}^{1} f (t) t^{n} d t = 0$ pour tout entier $n \geq 3$ . Montrer que $f = 0$ .
Soit $f$ continue sur $[- 1, 1]$ . Montrer que : $(\forall n \in ℕ, \int_{- 1}^{1} f (t) t^{2 n} d t = 0) ⟺ f$ est impaire.
Soit $f$ continue sur $[0, 1]$ . Montrer qu'il existe des polynômes $P_{n}$ , tous nuls en $0$ , tels que $∥ P_{n} - f ∥_{\infty, [0, 1]} \to 0$ , si et seulement si $f (0) = 0$ .

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1. Par Weierstrass, il existe des polynômes $P_{n}$ avec $∥ P_{n} - f ∥_{\infty, [a, b]} \to 0$ . Par hypothèse $\int_{a}^{b} f P_{n} = 0$ . Or $∣ \int_{a}^{b} f^{2} - \int_{a}^{b} f P_{n} ∣ \leq \int_{a}^{b} ∣ f ∣ ∣ f - P_{n} ∣ \leq (b - a) ∥ f ∥_{\infty} ∥ f - P_{n} ∥_{\infty} \to 0.$ Donc $\int_{a}^{b} f^{2} = 0$ . La fonction $f^{2}$ est continue, positive, d'intégrale nulle sur $[a, b]$ avec $a < b$ : elle est nulle, et $f = 0$ .

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Niveau devoir8 points

6. Une somme continue, non dérivable en $0$

Pour $x \in ℝ$ et $n \geq 1$ , on pose $u_{n} (x) = \frac{\ln (1 + n^{2} x^{2})}{n^{2}}$ . On admet $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6}$ .

Montrer que $\sum u_{n}$ converge normalement sur tout segment $[- a, a]$ , mais pas sur $ℝ$ . En déduire que $f = \sum_{n = 1}^{+ \infty} u_{n}$ est définie, continue et paire sur $ℝ$ .
Prouver que $f$ est une fonction $C^{1}$ sur $] 0, + \infty [$ , avec $f^{'} (x) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{2 x}{1 + n^{2} x^{2}}$ .
Soit $x > 0$ . Montrer que $π - 2 \arctan x \leq f^{'} (x) \leq π$ .
(a) En déduire que $f$ est dérivable à droite en $0$ , de nombre dérivé $π$ , et qu'elle n'est pas dérivable en $0$ . (b) La série $\sum u_{n}^{'}$ converge-t-elle uniformément sur $] 0, 1]$ ?
Montrer que $f (x) - \frac{π^{2}}{3} \ln x$ admet une limite finie $L$ quand $x \to + \infty$ , que l'on exprimera comme somme d'une série. En déduire un équivalent de $f (x)$ en $+ \infty$ .

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1. Pour $∣ x ∣ \leq a$ : $0 \leq u_{n} (x) \leq α_{n} = \frac{\ln (1 + n^{2} a^{2})}{n^{2}}$ . Or $n^{3 / 2} α_{n} = \frac{\ln (1 + n^{2} a^{2})}{\sqrt{n}} \to 0$ (croissances comparées, car $\ln (1 + n^{2} a^{2}) \leq \ln ((1 + a^{2}) n^{2}) = \ln (1 + a^{2}) + 2 \ln n$ pour $n \geq 1$ ). Donc $α_{n} = o ⁣ (n^{- 3 / 2})$ et $\sum α_{n}$ converge : convergence normale sur $[- a, a]$ . Sur $ℝ$ , $u_{n}$ n'est pas bornée : pas de convergence normale sur $ℝ$ . Tout réel $x$ appartient à un segment $[- a, a]$ : $f$ est définie sur $ℝ$ ; les $u_{n}$ sont continues et la convergence est uniforme sur tout segment : $f$ est continue sur $ℝ$ . Les $u_{n}$ sont paires, donc $f$ aussi, et $f (0) = 0$ .

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Niveau devoir7 points

7. Une fonction continue sans dérivée aux points dyadiques

Pour $x \in ℝ$ , on note $d (x) = \min_{k \in ℤ} ∣ x - k ∣$ la distance de $x$ à l'entier le plus proche, et on pose $T (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{d (2^{n} x)}{2^{n}} .$

Montrer que $d$ est $1$ -périodique, paire, que $0 \leq d \leq \frac{1}{2}$ , que $d (x) = ∣ x ∣$ pour $∣ x ∣ \leq \frac{1}{2}$ et que $∣ d (x) - d (y) ∣ \leq ∣ x - y ∣$ .
Montrer que $T$ est définie, continue et $1$ -périodique sur $ℝ$ , et que $0 \leq T \leq 1$ .
Montrer que $T (x) = d (x) + \frac{1}{2} T (2 x)$ pour tout réel $x$ .
Calculer $T ⁣ (2^{- k})$ pour $k \in ℕ^{*}$ . En déduire que $T$ n'a pas de nombre dérivé à droite en $0$ . Calculer $T ⁣ (\frac{1}{3})$ .
Calculer $\int_{0}^{1} T (x) d x$ .
Soit $x_{0} = \frac{p}{2^{m}}$ avec $p \in ℤ$ , $m \in ℕ$ . Montrer que $T$ n'est pas dérivable en $x_{0}$ .

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1. L'ensemble ${∣ x - k ∣, k \in ℤ}$ a un plus petit élément, atteint en l'entier $k_{x} = E ⁣ (x + \frac{1}{2})$ , et $d (x) = ∣ x - k_{x} ∣ \leq \frac{1}{2}$ . Remplacer $x$ par $x + 1$ décale $ℤ$ sur lui-même, remplacer $x$ par $- x$ change $k$ en $- k$ : $d$ est $1$ -périodique et paire. Pour $∣ x ∣ \leq \frac{1}{2}$ : $∣ x - 0 ∣ \leq \frac{1}{2} \leq ∣ x - k ∣$ pour tout $k \neq 0$ , donc $d (x) = ∣ x ∣$ . Pour $x, y$ réels et $k = k_{y}$ : $d (x) \leq ∣ x - k ∣ \leq ∣ x - y ∣ + ∣ y - k ∣ = ∣ x - y ∣ + d (y)$ ; en échangeant les rôles, $∣ d (x) - d (y) ∣ \leq ∣ x - y ∣$ .

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Niveau devoir10 points

8. Type Maths I : $ζ$ , sa dérivée et une primitive

Pour $x > 1$ , on note $ζ (x) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n^{x}}$ . On ne demande pas de redémontrer les résultats de la fiche §11, sauf ceux de Q.2.

Q.1 ▶ Montrer que la série $\sum n^{- x}$ converge normalement sur $[a, + \infty [$ pour tout $a > 1$ . Q.2 ▶ Montrer que cette série ne converge pas uniformément sur $] 1, + \infty [$ . Q.3 ▶ Prouver que $ζ$ est une fonction $C^{1}$ sur $] 1, + \infty [$ , avec $ζ^{'} (x) = - \sum_{n \geq 2} \frac{\ln n}{n^{x}}$ . En déduire le sens de variation de $ζ$ . Q.4 ▶ Pour $x > 1$ , on pose $g_{x} (t) = \frac{\ln t}{t^{x}}$ pour $t \geq 1$ . Montrer que $g_{x}$ est décroissante sur $[3, + \infty [$ et que, pour $A \geq 1$ , $\int_{A}^{+ \infty} g_{x} (t) d t = A^{1 - x} (\frac{\ln A}{x - 1} + \frac{1}{(x - 1)^{2}}) .$ Q.5 ▶ Montrer que $\int_{3}^{+ \infty} g_{x} \leq \sum_{n \geq 3} g_{x} (n) \leq g_{x} (3) + \int_{3}^{+ \infty} g_{x}$ . En déduire que $ζ^{'} (x) \underset{x \to 1^{+}}{\sim} - \frac{1}{(x - 1)^{2}}$ . Q.6 ▶ Pour $x > 1$ , on pose $F (x) = \sum_{n = 2}^{+ \infty} \frac{1}{n^{x} \ln n}$ . Prouver que $F$ est une fonction $C^{1}$ sur $] 1, + \infty [$ , avec $F^{'} (x) = 1 - ζ (x)$ . Q.7 ▶ Déterminer la limite de $F$ en $+ \infty$ . En déduire que $\int_{x}^{+ \infty} (ζ (t) - 1) d t$ converge et vaut $F (x)$ pour tout $x > 1$ ; écrire $\int_{2}^{+ \infty} (ζ (t) - 1) d t$ comme somme d'une série. Q.8 ▶ Montrer que $\sum_{n \geq 2} \frac{1}{n \ln n}$ diverge, puis que $F (x) \to + \infty$ quand $x \to 1^{+}$ . Q.9 ▶ En déduire la nature de l'intégrale $\int_{1}^{2} (ζ (t) - 1) d t$ .

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Q.1 Pour $x \geq a > 1$ : $0 < n^{- x} \leq n^{- a}$ , majorant indépendant de $x$ , terme d'une série de Riemann convergente : convergence normale sur $[a, + \infty [$ .

Q.2 Les termes sont positifs. Fixons $n$ et $N > n$ . Pour $x > 1$ : $R_{n} (x) = \sum_{k > n} k^{- x} \geq \sum_{k = n + 1}^{N} k^{- x}$ . Cette somme finie tend vers $\sum_{k = n + 1}^{N} \frac{1}{k}$ quand $x \to 1^{+}$ , donc $\sup_{x > 1} R_{n} (x) \geq \sum_{k = n + 1}^{N} \frac{1}{k}$ pour tout $N$ . La série harmonique diverge : $\sup_{x > 1} R_{n} (x) = + \infty$ pour tout $n$ , et la convergence n'est pas uniforme sur $] 1, + \infty [$ .

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Synthèse, niveau concours12 points

9. Problème type Maths I : une démonstration du théorème de Weierstrass

Pour $n \in ℕ^{*}$ , on pose $c_{n} = \int_{- 1}^{1} (1 - t^{2})^{n} d t$ et $K_{n} (t) = \frac{(1 - t^{2})^{n}}{c_{n}}$ pour $t \in [- 1, 1]$ , de sorte que $\int_{- 1}^{1} K_{n} = 1$ . On note $C = C ([0, 1], ℝ)$ , muni de $∥ \cdot ∥_{\infty}$ .

Partie A — Le noyau

Q.1 ▶ Montrer que $(1 - t^{2})^{n} \geq 1 - n t^{2}$ pour $t \in [- 1, 1]$ . En déduire que $c_{n} \geq \frac{4}{3 \sqrt{n}}$ . Q.2 ▶ Soit $δ \in] 0, 1 [$ . Montrer que $\sup_{δ \leq ∣ t ∣ \leq 1} K_{n} (t) \leq \sqrt{n} (1 - δ^{2})^{n}$ et que ce majorant tend vers $0$ .

Partie B — Approximation d'une fonction nulle aux bords

Soit $g \in C$ telle que $g (0) = g (1) = 0$ . On note $\hat{g}$ la fonction égale à $g$ sur $[0, 1]$ et à $0$ ailleurs. Pour $x \in [0, 1]$ , on pose $P_{n} (x) = \int_{- 1}^{1} \hat{g} (x + t) K_{n} (t) d t$ .

Q.3 ▶ Montrer que $\hat{g}$ est continue et uniformément continue sur $ℝ$ . Q.4 ▶ Montrer que $P_{n} (x) = \int_{0}^{1} g (u) K_{n} (u - x) d u$ pour $x \in [0, 1]$ , et en déduire que $P_{n}$ est une fonction polynomiale sur $[0, 1]$ . Q.5 ▶ Montrer que $∣ P_{n} (x) - g (x) ∣ \leq \int_{- 1}^{1} ∣ \hat{g} (x + t) - \hat{g} (x) ∣ K_{n} (t) d t$ pour $x \in [0, 1]$ . Q.6 ▶ Soit $ε > 0$ et $η \in] 0, 1 [$ tel que $∣ s - s^{'} ∣ \leq η \Rightarrow ∣ \hat{g} (s) - \hat{g} (s^{'}) ∣ \leq ε$ . Montrer que $∥ P_{n} - g ∥_{\infty} \leq ε + 4 ∥ g ∥_{\infty} \sqrt{n} (1 - η^{2})^{n}$ . Conclure que $(P_{n})$ converge uniformément vers $g$ sur $[0, 1]$ .

Partie C — Conséquences

Q.7 ▶ Soit $f \in C$ . Construire des polynômes $R_{n}$ tels que $∥ R_{n} - f ∥_{\infty} \to 0$ (on pourra considérer $g (x) = f (x) - f (0) - x (f (1) - f (0))$ ). Étendre le résultat au cas d'un segment $[a, b]$ quelconque. Q.8 ▶ Soit $(Q_{n})$ une suite de polynômes convergeant uniformément sur $[0, 1]$ vers $x \mapsto ∣ x - \frac{1}{2} ∣$ . Montrer que la suite $(Q_{n}^{'})$ ne converge uniformément sur $[0, 1]$ vers aucune fonction. Q.9 ▶ L'ensemble des fonctions polynomiales est-il une partie fermée de $(C, ∥ \cdot ∥_{\infty})$ ?

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Q.1 Pour $u \geq - 1$ et $n \geq 1$ , $(1 + u)^{n} \geq 1 + n u$ (inégalité de Bernoulli, par récurrence : $(1 + u)^{n + 1} \geq (1 + n u) (1 + u) = 1 + (n + 1) u + n u^{2}$ , en utilisant $1 + u \geq 0$ ). Avec $u = - t^{2} \geq - 1$ : $(1 - t^{2})^{n} \geq 1 - n t^{2}$ . La fonction $(1 - t^{2})^{n}$ est positive sur $[- 1, 1]$ , et $1 - n t^{2} \geq 0$ sur $[- \frac{1}{\sqrt{n}}, \frac{1}{\sqrt{n}}] \subset [- 1, 1]$ , donc $c_{n} \geq \int_{- 1 / \sqrt{n}}^{1 / \sqrt{n}} (1 - n t^{2}) d t = 2 (\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{n}{3 n^{3 / 2}}) = \frac{4}{3 \sqrt{n}} .$

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Synthèse, niveau concours12 points

10. Problème type Maths I : l'équation $f^{'} (x) = f (x / 2)$

On définit une suite de fonctions sur $ℝ$ par $f_{0} = 1$ et, pour tout $n \in ℕ$ et $x \in ℝ$ , $f_{n + 1} (x) = 1 + \int_{0}^{x} f_{n} ⁣ (\frac{t}{2}) d t$ . On pose $a_{k} = \frac{1}{k! 2^{k (k - 1) / 2}}$ pour $k \in ℕ$ .

Partie A — Construction d'une solution

Q.1 ▶ Montrer que $f_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k}$ pour tout $n$ et tout $x$ . Q.2 ▶ Soit $a > 0$ . Montrer que la série $\sum a_{k} x^{k}$ converge normalement sur $[- a, a]$ . On note $f$ sa somme sur $ℝ$ . Comment $(f_{n})$ converge-t-elle vers $f$ sur un segment ? Q.3 ▶ La suite $(f_{n})$ converge-t-elle uniformément sur $ℝ$ ? Q.4 ▶ Montrer que $f (x) = 1 + \int_{0}^{x} f ⁣ (\frac{t}{2}) d t$ pour tout réel $x$ . En déduire que $f$ est $C^{1}$ sur $ℝ$ , avec $f (0) = 1$ et $f^{'} (x) = f ⁣ (\frac{x}{2})$ pour tout $x$ . Q.5 ▶ Prouver que $f$ est $C^{\infty}$ , avec $f^{(k)} (x) = 2^{- k (k - 1) / 2} f ⁣ (\frac{x}{2^{k}})$ pour tout $k \in ℕ$ . Retrouver $f^{(k)} (0)$ .

Partie B — Unicité

Q.6 ▶ Soit $g : ℝ \to ℝ$ de classe $C^{1}$ telle que $g (0) = 1$ et $g^{'} (x) = g ⁣ (\frac{x}{2})$ pour tout $x$ . On pose $h = f - g$ , on fixe $a > 0$ et on note $M = \sup_{[- a, a]} ∣ h ∣$ . Montrer que $∣ h (x) ∣ \leq M \frac{∣ x ∣^{n}}{n!}$ pour tout $x \in [- a, a]$ et tout entier $n \geq 0$ . Conclure.

Partie C — Propriétés de $f$

Q.7 ▶ Montrer que, pour $x \geq 0$ , $1 + x \leq f (x) \leq e^{x}$ , et que $f$ est croissante et convexe sur $ℝ_{+}$ . Q.8 ▶ Soit $ε > 0$ . Montrer que $f (x) e^{- ε x} \to 0$ quand $x \to + \infty$ . Comparer avec la croissance des polynômes. Q.9 ▶ On pose $b_{k} = a_{k} 2^{k}$ . Calculer $b_{0}, \dots, b_{4}$ , montrer que $(b_{k})_{k \geq 1}$ est décroissante de limite nulle, puis que $f (- 2) < 0$ . En déduire que $f$ s'annule sur $] - 2, 0 [$ .

Voir le corrigé

Q.1 Récurrence. $f_{0} = 1 = a_{0}$ . Si $f_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k}$ , alors $f_{n + 1} (x) = 1 + \sum_{k = 0}^{n} a_{k} \int_{0}^{x} \frac{t^{k}}{2^{k}} d t = 1 + \sum_{k = 0}^{n} \frac{a_{k}}{(k + 1) 2^{k}} x^{k + 1} .$ Or $\frac{a_{k}}{(k + 1) 2^{k}} = \frac{1}{(k + 1)! 2^{k (k - 1) / 2 + k}} = \frac{1}{(k + 1)! 2^{(k + 1) k / 2}} = a_{k + 1}$ . Donc $f_{n + 1} (x) = a_{0} + \sum_{k = 1}^{n + 1} a_{k} x^{k}$ .

Après avoir comparé avec le corrigé :

1. Trois suites de fonctions

1. Trois suites de fonctions

2. Modes de convergence de trois séries

3. La fonction f(x)=∑e−nxn2

4. Intégrer terme à terme sans convergence normale

5. Théorème de Weierstrass : moments nuls

6. Une somme continue, non dérivable en 0

7. Une fonction continue sans dérivée aux points dyadiques

8. Type Maths I : ζ, sa dérivée et une primitive

9. Problème type Maths I : une démonstration du théorème de Weierstrass

10. Problème type Maths I : l'équation f′(x)=f(x/2)

3. La fonction $f (x) = \sum \frac{e^{- n x}}{n^{2}}$

6. Une somme continue, non dérivable en $0$

8. Type Maths I : $ζ$ , sa dérivée et une primitive

10. Problème type Maths I : l'équation $f^{'} (x) = f (x / 2)$